Về một số bất đẳng thức đối với hàm lồi tổng quát và áp dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

TRẦN THỊ TUYẾT LAN

VỀ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI VỚI
HÀM LỒI TỔNG QUÁT VÀ ÁP DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Bình Định - 2020


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

TRẦN THỊ TUYẾT LAN

VỀ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI VỚI
HÀM LỒI TỔNG QT VÀ ÁP DỤNG

Chun ngành: Tốn giải tích
Mã số: 8460102

Người hướng dẫn
PGS. TS. ĐINH THANH ĐỨC


i

Mục lục

MỞ ĐẦU

1

1 HÀM LỒI

4

2

1.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

HÀM LỒI TỔNG QUÁT
2.1

2.2

16

Hàm J-lồi tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.2

Một số bất đẳng thức của hàm J-lồi tổng quát . . . 18

Hàm lồi tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.1

Giới thiệu và một vài kết quả . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.2

Các đặc trưng của hàm lồi tổng quát . . . . . . . . . 25

2.2.3

Đạo hàm của hàm lồi tổng quát . . . . . . . . . . . 28

3 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC VÀ ÁP DỤNG

31

3.1

Giới thiệu lịch sử của nguyên lý trội . . . . . . . . . . . . . 31

3.2

Bất đẳng thức giao hoán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3

Một số kết quả khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.4

Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4.1

Bất đẳng thức mở rộng của Lim . . . . . . . . . . . 40


ii

3.4.2

Bất đẳng thức mở rộng của Petrovi´c . . . . . . . . . 42

3.4.3

Một bất đẳng thức của hàm lồi tổng quát . . . . . . 43

3.4.4

Bất đẳng thức dạng Hermite-Hadamard . . . . . . . 44

3.4.5

Bất đẳng thức liên hệ giữa hàm lồi và hàm lồi tổng
quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.4.6

Bất đẳng thức trung bình . . . . . . . . . . . . . . . 48

KẾT LUẬN

51

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO

52


iii

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan luận văn với đề tài Về một số bất đẳng thức về
hàm lồi tổng qt và áp dụng là cơng trình nghiên cứu khoa học của
tôi dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Đinh Thanh Đức, nội dung không sao
chép của bất kỳ ai và chưa từng được cơng bố dưới bất kì hình thức nào,
các kết quả không phải của riêng tôi đều được trích dẫn nguồn gốc rõ ràng.
Bình Định, ngày

tháng

năm 2020

Học viên thực hiện đề tài

Trần Thị Tuyết Lan


1

MỞ ĐẦU

Các hàm lồi ([1], [3]) có nhiều tính chất đáng chú ý và được sử dụng
rộng rãi trong nhiều lý thuyết và ứng dụng thực tiễn, đặc biệt trong giải
tích lồi và tối ưu hố. Các bất đẳng thức đối với hàm lồi tổng quát ([10])
là một chủ đề hấp dẫn với nhiều kết quả phong phú và luôn thu hút sự
quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu.
Trong những năm gần đây, nhiều cơng trình nghiên cứu và ứng dụng
cũng như những hướng đi mới để tiếp cận các bất đẳng thức đối với hàm
lồi tổng quát và áp dụng đã được các nhà tốn học tìm hiểu và phát triển.
Để có một cái nhìn chi tiết hơn và tổng kết những kết quả đạt được cho
các bất đẳng thức đối với hàm lồi tổng quát cũng như áp dụng của nó
trong việc giải bài tốn có liên quan, tôi chọn đề tài “Về một số bất đẳng
thức đối với hàm lồi tổng quát và áp dụng”.
Hàm lồi tổng qt ([10]) có vai trị quan trọng trong nhiều lĩnh vực
nghiên cứu về toán lý thuyết và toán ứng dụng. Đặc biệt các bất đẳng
thức đối với hàm lồi tổng qt có nhiều tính chất đặc biệt trong ứng dụng
thực tiễn. Hàm lồi ra đời vào cuối thế kỷ thứ 19. Những người đặt nền
móng đầu tiên cho hàm lồi cú th k n l O. Hăolder (1889), O. Stolz
(1893) và J. Hadamard (1893). Vào đầu thế kỉ 20, Jensen lần đầu tiên
nhận thấy tầm quan trọng và nghiên cứu một cách có hệ thống về hàm lồi.

2

Sau đó, hàm lồi cũng như bất đẳng thức đối với hàm lồi tổng quát nhận
được nhiều sự quan tâm nghiên cứu và đã phát triển mạnh mẽ, trở thành
một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của giải tích toán học.
Trong luận văn này, ta sẽ tổng kết một số kết quả đáng lưu ý về một số
bất đẳng thức đối với hàm lồi tổng quát và áp dụng. Trình bày một cách
có hệ thống, chi tiết các kiến thức về một số bất đẳng thức đối với hàm lồi
tổng quát và áp dụng từ việc nêu định lý, chứng minh định lý và áp dụng.
Luận văn bao gồm: Mở đầu, Nội dung, Kết luận, và Tài liệu tham khảo.
Nội dung của luận văn gồm ba chương.
Chương 1: Hàm lồi
Chương này trình bày về định nghĩa hàm lồi, hàm lõm, ví dụ và một
số tính chất cơ bản của hàm lồi.
Chương 2: Hàm lồi tổng quát
Chương này trình bày định nghĩa, tính chất, định lý của hàm J-lồi, hàm
J-lồi tổng qt và sau đó chúng tơi giới thiệu định nghĩa và tính chất, định
lý đối với hàm lồi tổng quát.
Chương 3: Một số bất đẳng thức và áp dụng
Chương này trình bày nguyên lý trội, bất đẳng thức giao hoán, một số
bất đẳng thức khác được suy ra từ nguyên lý trội và bất đẳng thức giao
hoán, cuối cùng là một số áp dụng của bất đẳng thức đối với hàm lồi tổng
quát.
Luận văn được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của
thầy hướng dẫn PGS. TS. Đinh Thanh Đức, Trường Đại học Quy Nhơn.
Tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy đã giúp
đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. Tơi cũng xin

3

gửi lời cảm ơn đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng
Đào tạo Sau Đại học, Khoa Tốn cùng q thầy cơ giáo giảng dạy lớp cao
học Tốn giải tích khóa 21 đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tơi
trong q trình học tập và thực hiện đề tài. Tôi cũng xin bày tỏ lịng biết
ơn đến người thân, bạn bè đã ln giúp đỡ động viên để tơi hồn thành
khóa học và luận văn này.
Mặc dù luận văn được thực hiện với sự nỗ lực cố gắng hết sức của bản
thân, nhưng do điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức và kinh
nghiệm nghiên cứu còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu
sót. Tơi rất mong nhận được những góp ý của q thầy cơ giáo để luận
văn được hoàn thiện hơn.


4

Chương 1
HÀM LỒI

Hàm lồi có nhiều tính chất đặc biệt, thực sự cơ bản nhưng hữu ích,
đáng chú ý và được sử dụng nhiều trong lý thuyết và ứng dụng thực tiễn,
đặc biệt trong giải tích lồi và tối ưu hóa. Trong chương này, chúng tơi sẽ
trình bày về định nghĩa hàm lồi, lõm, ý nghĩa hình học, một số ví dụ về
hàm lồi, lõm và sau đó trình bày một số tính chất thú vị của chúng. Các
kiến thức của chương này chủ yếu tham khảo trong các tài liệu các tài liệu
[1], [3], [6].

1.1

Định nghĩa

Cho I ⊂ R là một khoảng (khoảng mở hoặc khoảng đóng hoặc nửa
khoảng).
Định nghĩa 1.1.1 (Hàm lồi và hàm lõm). Một hàm f : I → R được gọi
là

(i) lồi nếu với mọi a, b ∈ I , t ∈ [0, 1] ta có
f ((1 − t)a + tb) ≤ (1 − t)f (a) + tf (b).

(1.1)

(ii) lồi ngặt nếu với mọi a, b ∈ I , a = b, t ∈ [0, 1] ta có
f ((1 − t)a + tb) < (1 − t)f (a) + tf (b).

(1.2)


5

(iii) lõm nếu −f là hàm lồi, nghĩa là
f ((1 − t)a + tb) ≥ (1 − t)f (a) + tf (b).

(1.3)

Nhận xét 1.1.2 (Ý nghĩa hình học của hàm lồi). Từ định nghĩa của hàm
lồi và hàm lõm, ta rút ra ý nghĩa hình học của chúng như sau:
- Cho f là một hàm lồi, khi đó đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ thuộc
đồ thị hàm số f (x) thì khơng nằm phía dưới đồ thị f (x).

- Cho f là một hàm lõm, khi đó đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ thuộc
đồ thị hàm số f (x) thì khơng nằm phía trên đồ thị f (x).

Hình 1.1: Đồ thị của hàm lồi

Thật vậy, hàm F (t) = (1 − t)f (a) + tf (b) với t ∈ [0, 1] là hàm số của
đoạn thẳng nối hai điểm (a, f (a)) và (b, f (b)). Từ Định nghĩa 1.1.1, ta suy
ra

F (t) ≥ f ((1 − t)a + tb)
với mọi t ∈ [0, 1]. Do đó, đoạn thẳng F ln ở phía trên hoặc trùng đồ thị

f trên [a, b].


6

Nhận xét 1.1.3. Nếu hàm số f xác định trên R thì có thể f lồi trên khoảng
này nhưng lõm trên khoảng khác. Chẳng hạn, hàm số f (x) = sin(x) lồi
trên khoảng (π; 2π) nhưng lõm trên khoảng (0; π). Chính vì vậy người ta
thường xét tính lồi, lõm của hàm số trên một khoảng I ⊂ R.
Ví dụ 1.1.4. Sau đây là một số ví dụ cơ bản về hàm lồi:

Hình 1.2: Các hàm lồi

Ví dụ 1.1.5. Sau đây là một số ví dụ cơ bản về hàm lõm:

Hình 1.3: Các hàm lõm

Sau khi định nghĩa hàm lồi trên một khoảng, chúng tơi sẽ xem xét một

số tính chất cơ bản của nó.


7

1.2

Các tính chất

Trước tiên, chúng tơi xem xét một tính chất quan trọng của hàm lồi
được suy ra trực tiếp từ định nghĩa. Tính chất này sẽ được dùng trong các
mệnh đề tiếp theo.
Mệnh đề 1.2.1. Nếu f : I → R là một hàm lồi thì với mọi a, b, c ∈ I ,

a < b < c, ta có
f (b) − f (a) f (c) − f (a) f (c) − f (b)
≤
≤
.
b−a
c−a
c−b

(1.4)

Hình 1.4:

Chứng minh. Chúng ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đầu tiên trong (1.4),
còn bất đẳng thức thứ hai chứng minh tương tự. Vì f là lồi nên ta có

f ((1 − t)a + tc) ≤ (1 − t)f (a) + tf (c)

với mọi

t ∈ [0, 1].

(1.5)

Vì a < b < c nên tồn tại t0 ∈ (0, 1) sao cho

b = (1 − t0 )a + t0 c.

(1.6)


8

Thay t = t0 vào bất phương trình (1.5) ta được

f (b) ≤ (1 − t0 )f (a) + t0 f (c).
Từ (1.6) suy ra t0 =

(1.7)

b−a
b−a
. Khi đó, thay t0 =
vào (1.7) ta thu được
c−a
c−a

f (b) ≤ 1 −

b−a
b−a
f (a) +
f (c).
c−a
c−a

b−a
b−a
f (a) +
f (c).
c−a
c−a
f (b) − f (a) f (c) − f (a)
⇔
≤
.
b−a
c−a

⇔ f (b) − f (a) ≤ −

Tiếp theo, một hệ quả quan trọng của Mệnh đề 1.2.1 là bất kỳ hàm lồi

f : I → R nào cũng liên tục trong phần trong của I , ký hiệu intI . Hơn
nữa, chúng ta cũng có thể chứng minh rằng các đạo hàm trái và phải của

f tại bất kỳ điểm nào trong intI đều tồn tại.
Mệnh đề 1.2.2. Bất kỳ hàm lồi f : I → R đều liên tục trên intI .
Chứng minh. Với mọi x ∈ intI , ta cần chứng minh f liên tục tại x. Thật
vậy, vì x ∈ intI nên tồn tai δ > 0 sao cho (x − δ, x + δ) ⊂ intI . Từ (1.4),
cho a = x − δ , c = x, b = y ∈ (x − δ, x), thay vào bất đẳng thức thứ hai
của (1.4) ta được

f (x) − f (x − δ) f (x) − f (y)
≤
.
δ
x−y
Tương tự, thay a = x, c = x + δ , b = y ∈ (x, x + δ) vào bất đẳng thức
thứ nhất của (1.4) ta được

f (x) − f (y) f (x + δ) − f (x)
≤
.
x−y
δ


9

Từ đó, với bất kỳ y ∈ (x − δ, x + δ), ta có

f (x) − f (y)
≤K
x−y

với

K ∈ R+ .

f (x) − f (y)
bị chặn trên và bị chặn dưới. Vì vậy, cố định > 0 và
x−y
chọn δ =
thì |x − y| < . Vậy f liên tục tại mọi x ∈ intI .
K

Suy ra

Mệnh đề 1.2.3. Nếu f : I → R là hàm lồi thì đạo hàm trái f− và đạo
hàm phải f+ tồn tại trên intI và f− (x) ≤ f+ (x) với mọi x ∈ intI . Hơn
nữa, f+ và f− là tăng trên intI .
Chứng minh. Ta cần xác định đạo hàm trái và phải của f tại x = b với
bất kỳ b ∈ intI . Từ (1.4) ta có

f (b) − f (a) f (c) − f (a)
≤
b−a
c−a
f (b) − f (a) f (c) − f (b)
≤
,
a→b
b−a
c−b
f (c) − f (b)

suy ra giới hạn trên tồn tại và f− (b) ≤
. Tương tự, ta cũng
c−b
f (c) − f (b)
chứng minh được đạo hàm phải của f tại b tồn tại và f+ (b) ≥
.
c−b
Từ đó suy ra f− (b) ≤ f+ (b) với bất kỳ b ∈ intI .
⇒ lim

Mặt khác, nếu a < b < c ∈ intI , ta có

f+ (a) ≤

f (b) − f (a) f (c) − f (a)
≤
≤ f− (c).
b−a
c−a

Vì vậy, với bất kỳ x < y ∈ intI , ta có

f− (x) ≤ f+ (x) ≤ f− (y) ≤ f+ (y).
Vậy f− , f+ là tăng trên intI .


10

Nhận xét 1.2.4. Tính lồi kéo theo khả vi tại mọi điểm trong intI , chúng
ta chỉ chứng minh được đạo hàm trái và phải tồn tại trong Mệnh đề 1.2.3,

nhưng chúng khơng nhất thiết bằng nhau.
Ví dụ 1.2.5. Xét hàm lồi f (x) = |x| trên R. Tại mọi điểm thuộc R, đạo
hàm trái và phải của f tồn tại. Tuy nhiên, đạo hàm trái và phải của f
không bằng nhau tại x = 0, nhưng chúng bằng nhau tại mọi điểm khác.
Vì vậy f khả vi mọi nơi trừ gốc tọa độ.

Hình 1.5: Đồ thị của f (x) = |x|

Định nghĩa 1.2.6. Một hàm f : X → Y , trong đó X, Y ⊂ R, được gọi
là Lipschitz nếu tồn tại một hằng số K ∈ R sao cho với mọi x, y ∈ X ,

|f (x) − f (y)| ≤ K|x − y|.
Nhận xét 1.2.7. Các hàm Lipschitz là liên tục tuyệt đối và liên tục đều.
Mệnh đề 1.2.8. Nếu f : I → R là hàm lồi thì f Lipschitz trên bất kỳ
khoảng con compact chứa trong intI .
Chứng minh. Cho [a, b] ⊂ intI bất kỳ. Chọn x, y ∈ [a, b] sao cho x < y .
Khi đó, đạo hàm trái và phải của f tại x, y, a, b tồn tại trên intI . Vì đạo


11

hàm trái và phải của f là đơn điệu nên

f+ (a) ≤ f+ (x) ≤

f (x) − f (y)
≤ f− (y) ≤ f− (b).
x−y

Đặt K := max {|f+ (a)| , |f− (b)|}. Khi đó với bất kỳ x, y ∈ [a, b], ta suy ra

f (x) − f (y)
≤K
x−y
⇒ |f (x) − f (y)| ≤ K |x − y| .

Định lý 1.2.9. Nếu một hàm f : Rm → Rn thì f khả vi hầu khắp nơi
nhưng khơng khả vi tại hữu hạn điểm.
Chứng minh của định lý này xem tại [6]. Từ Định lý 1.2.9, chúng tôi
thu được phát biểu tương tự cho hàm lồi như sau:
Mệnh đề 1.2.10. Hàm lồi f : I → R là khả vi hầu khắp nơi.
Chứng minh. Mệnh đề này là hệ quả của Định lý 1.2.9. Vì f là hàm lồi
nên từ Mệnh đề 1.2.8 suy ra f Lipschitz trên bất kỳ khoảng con compact
chứa trong intI . Do đó, từ Định lý 1.2.9, ta có thể xây dựng intI bằng
cách hợp hữu hạn các tập compact. Vì thế nên chúng ta có thể kết luận
rằng f khả vi hầu khắp nơi trên I .
Vậy chúng tôi đã chứng minh được bất kỳ hàm lồi f : I → R đều khả
vi hầu khắp nơi. Tiếp theo chúng tôi sẽ xem xét một trường hợp khi f khả
vi trong định lý sau:
Định lý 1.2.11. Nếu một hàm f : I → R khả vi mọi nơi trên intI thì vi
phân của f là một hàm tăng trên intI . Hơn nữa, nếu f là hàm khả vi cấp
hai thì f lồi nếu và chỉ nếu f (x) không âm.


12

Chứng minh. Nếu f khả vi mọi nơi, tức là với mọi x ∈ intI ta có f− (x) =

f+ (x). Từ Mệnh đề 1.2.3 ta có f− , f+ là các hàm tăng trên intI . Vì vậy
f (x) là hàm tăng.

Mặt khác, nếu f là hàm lồi khả vi cấp hai thì dễ thấy f (x) ≥ 0 trên

intI vì f (x) là hàm tăng.
Ngược lại, giả sử f là hàm khả vi cấp hai sao cho f (x) ≥ 0 với mọi

x ∈ intI . Khi đó, từ Định lý Taylor, với bất kỳ y ∈ intI ta có
1
f (x) = f (y) + f (y)(x − y) + f (ξ)(x − y)2
2
với x < ξ < y . Do đó, ta có

f (x) − f (y) ≥ f (y)(x − y).

(1.8)

Xét x = a < y = b < c sao cho b = (1 − t)a + tc, t ∈ [0, 1], thay vào bất
đẳng thức (1.8) ta được

f (a) − f (b) ≥ tf (b)(a − c).

(1.9)

Tương tự, xét a < y = b < x = c sao cho b = (1 − t)a + tc, t ∈ [0, 1], thay
vào bất đẳng thức (1.8) ta được

f (c) − f (b) ≥ (1 − t)f (b)(c − a).

(1.10)

Nhân bất đẳng thức (1.9) và (1.10) lần lượt với 1 − t và t, sau đó cộng

chúng lại ta được

f (b) ≤ (1 − t)f (a) + tf (c)
trong đó b = (1−t)a+tc, với mọi t ∈ [0, 1]. Vậy f là hàm lồi trên intI .
Định nghĩa 1.2.12 (Dưới vi phân). Cho hàm f : I → R, ta nói rằng f
nhận một đường hỗ trợ (support line) tại x ∈ I nếu tồn tại λ ∈ R sao cho

f (y) ≥ f (x) + λ(y − x) với mọi y ∈ I.

(1.11)


13

Ký hiệu ∂f (x) là tập tất cả các λ thỏa mãn (1.11). ∂f (x) được gọi là
dưới vi phân của f tại x. Về mặt hình học, dưới vi phân cho chúng ta độ
dốc của các đường hỗ trợ cho đồ thị của f . Dưới vi phân là tập lồi và có
thể rỗng.

Hình 1.6: Sự tồn tại các đường hỗ trợ tại các điểm trong

Bổ đề 1.2.13. Cho f là hàm lồi trên khoảng I . Khi đó ∂f (x) = ∅ tại
mọi x ∈ intI . Hơn nữa, với mọi hàm ϕ : I → R sao cho ϕ(x) ∈ ∂f (x)
với bất kỳ x ∈ intI thì bất đẳng thức sau đúng

f− (x) ≤ ϕ(x) ≤ f+ (x)
và do đó ϕ khơng giảm trên intI .
Chứng minh. Với bất kỳ x ∈ intI , xét b ∈ I , b > x. Từ Mệnh đề 1.2.1 ta
có được bất đẳng thức sau

f+ (x) ≤

f (b) − f (x)
.
b−x

Vì vậy, nếu chọn λ ≤ f+ (x), ta suy ra

f (x) + λ(b − x) ≤ f (b) với mọi b > x.


14

Tương tự, với mọi b ∈ I , b < x ta có

f (x) − f (b)
≤ f− (x).
x−b
Chọn λ ≥ f− (x), ta suy ra

f (x) + λ(b − x) ≤ f (b) với mọi b < x.
Vậy nếu ta chọn bất kỳ λ ∈ [f− (x), f+ (x)], ta được

f (x) + λ(b − x) ≤ f (b) với mọi b ∈ I.
Từ Mệnh đề 1.2.3, ta có f− (x) ≤ f+ (x) với mọi x ∈ intI , suy ra [f− (x), f+ (x)]
khác rỗng, tức là luôn tồn tại λ ∈ [f− (x), f+ (x)] với mọi x ∈ intI . Vậy

∂f (x) = ∅ tại mọi x ∈ intI .
Hơn nữa, với mọi hàm ϕ : I → R sao cho ϕ(x) ∈ ∂f (x) với bất kỳ

x ∈ intI thì ϕ(x) ∈ [f− (x), f+ (x)] hay
f− (x) ≤ ϕ(x) ≤ f+ (x).
Mà theo Mệnh đề 1.2.3, f+ và f− là tăng trên intI nên suy ra ϕ không
giảm trên intI .
Định lý 1.2.14. Cho f là hàm lồi trên khoảng I và ϕ : I → R sao cho

ϕ(x) ∈ ∂f (x) với bất kỳ x ∈ intI . Khi đó
f (z) = sup {f (x) + (z − x)ϕ(x)}
với mọi z ∈ I .
Chứng minh. Với bất kỳ ϕ(x) ∈ ∂f (x), ∀x ∈ intI , ta có

pϕ(x) (z) = f (x) + (z − x)ϕ(x)


15

là một đường hỗ trợ của f . Ngoài ra, pϕ(x) (z) nằm dưới đồ thị của f tại z
nên ta có

f (z) ≥ pϕ(x) (z).
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Tóm lại, trong chương này, chúng tơi đã giới thiệu về hàm lồi, hàm lõm,
ví dụ và một số tính chất cơ bản của hàm lồi.


16

Chương 2
HÀM LỒI TỔNG QUÁT

Trong chương này, trước hết chúng tơi giới thiệu về các hàm J-lồi tổng
qt, tính chất và một số bất đẳng thức của hàm J-lồi tổng qt; sau đó
chúng tơi tiếp tục nghiên cứu và trình bày về các hàm lồi tổng quát, các
đặc điểm, tính chất của nó. Các kiến thức của chương này chủ yếu tham
khảo trong các tài liệu [7], [8], [9], [10].

2.1

Hàm J-lồi tổng quát

Trong phần này, chúng tôi tiếp tục nghiên cứu về các hàm J-lồi tổng
quát. Đầu tiên, chúng tôi sẽ giới thiệu về hàm J-lồi, hàm J-lồi tổng quát,
sau đó chúng tơi sẽ giới thiệu một số bất đẳng thức của hàm J-lồi tổng
quát.

2.1.1

Định nghĩa

Định nghĩa 2.1.1 (Hàm J-lồi). Cho D ⊂ Rn là tập lồi mở. Một hàm

f : D → R được gọi là hàm J-lồi (hoặc hàm lồi Jensen) nếu thỏa mãn bất
đẳng thức hàm Jensen

f

x+y
2

≤

f (x) + f (y)
2

(2.1)


17

với mọi x, y ∈ D. Nếu f thỏa mãn bất đẳng thức

f

x+y
2

<

f (x) + f (y)
2

với mọi x = y thì f được gọi là hàm J-lồi ngặt.
Các hàm J-lồi (n = 1) được giới thiệu bởi nhà toán học J.W. Jensen
vào năm 1906, bên cạnh đó những hàm thỏa mãn điều kiện tương tự được
nghiên cứu bởi Hadamard, Hermite, Hăolder v Stolz.
n nm 1992, nh toỏn hc M. R. Taskovi´c ([10]) đã giới thiệu về khái
niệm hàm J-lồi tổng quát như sau:
Định nghĩa 2.1.2 (Hàm J-lồi tổng quát). Một hàm f : D → R, trong
đó D ⊂ Rn là tập lồi, được gọi là hàm J-lồi tổng quát nếu có một hàm

g : f (D)2 → R sao cho
f

x+y
2

≤ max{f (x), f (y), g(f (x), f (y))}

(2.2)

với mọi x, y ∈ D.
Chú ý rằng, tập tất cả các hàm J-lồi có thể là tập con riêng của tập tất
cả các hàm J-lồi tổng quát.
Định nghĩa 2.1.3. Một hàm f : D → R được gọi là J-lõm tổng quát nếu
có một hàm d : f (D)2 → R sao cho

min{f (x), f (y), d(f (x), f (y))} ≤ f

x+y
2

(2.3)

với mọi x, y ∈ D. Nếu hàm f : D → R là J-lồi tổng quát và J-lõm tổng
quát, khi đó f là một hàm J-trong tổng quát (general J-inner function).


18

2.1.2

Một số bất đẳng thức của hàm J-lồi tổng quát

Các định lý sau đây cho ta thấy một số bất đẳng thức của hàm J-lồi
tổng quát.
Định lý 2.1.4. Cho D ⊂ Rn là tập lồi mở. Nếu f : D → R là hàm J-lồi
tổng qt thì có một hàm g : f (D)n → R sao cho

f

x1 + · · · + xn
n

≤ max {f (x1 ) , . . . , f (xn ) , g (f (x1 ) , . . . , f (xn ))}
(2.4)

với mỗi n ∈ N và với mỗi x1 , . . . , xn ∈ D. Dấu bằng xảy ra nếu và chỉ nếu

x := x1 = . . . = xn và f (x) = g(f (x), . . . , f (x)).
Định lý 2.1.5. Cho D ⊂ Rn là tập lồi mở. Nếu f : D → R là hàm J-lồi
tổng qt thì có một hàm g : f (D)2 → R sao cho

f (λx + (1 − λ)y) ≤ max{f (x), f (y), g(f (x), f (y))}

(2.5)

với mỗi x, y ∈ D và với mỗi λ ∈ Q ∩ [0, 1], trong đó Q là tập các số hữu
tỷ.
Chú ý: Nếu f : D → R là hàm J-lồi tổng quát và liên tục thì (2.5) đúng
với mọi số thực λ ∈ [0, 1].

Định lý 2.1.6. Cho D ⊂ Rn là tập lồi, F ⊂ R là một trường. Nếu một
hàm f : D → R ∪ {−∞} thỏa mãn (2.5) với mọi λ ∈ F ∩ [0, 1] thì
n

f

λk xk

≤ max {f (x1 ) , . . . , f (xn ) , g (f (x1 ) , . . . , f (xn ))} (2.6)

k=1

với g : f (D)n → R, với mỗi n ∈ N, với tùy ý λ1 , . . . , λn ∈ F ∩ [0, 1] sao
cho λ1 + . . . + λn = 1, và với mọi x1 , . . . , xn ∈ D.


19

Do đó , với x1 , . . . , xn ∈ D tùy ý, bất đẳng thức (2.6) đúng cho mỗi
hàm J-lồi tổng quát f : D → R với λ1 , . . . , λn ∈ Q ∩ [0, 1] tùy ý sao cho

λ1 + . . . + λn = 1, và (2.6) đúng cho mỗi hàm J-lồi tổng quát liên tục
f : D → R với tùy ý λ1 , . . . , λn ∈ [0, 1] sao cho λ1 + . . . + λn = 1.
Định lý 2.1.7. Cho D ∪ {0} ⊂ Rn là tập lồi, F ⊂ R là một trường. Nếu

f : D ∪ {0} → R ∪ {−∞} với 2 ≤ ρ ≤ n, với mọi λ1 , . . . , λρ ∈ F ∩ [0, 1],
λ1 + . . . + λρ = 1 và
ρ

f

λi xi

≤ max {f (x1 ) , . . . , f (xρ ) , g (f (x1 ) , . . . , f (xρ ))}

(2.7)

i=1

với g : f (D ∪ {0})ρ → R và với mọi x1 , . . . , xρ ∈ D thì f là hàm J-lồi
tổng quát.
Định nghĩa 2.1.8. Một hàm f : D → R, trong đó D ⊂ Rn lồi, ta nói
rằng hàm ψ(J)-lồi nếu có một hàm ψ : R0+ → R0+ sao cho ψ(0) = 0 và

f

x+y
2

≤

f (x) + f (y) 1
+ ψ( x − y )
2
2

với mọi x, y ∈ D.
Mệnh đề 2.1.9. Cho D ⊂ Rn là tập lồi mở. Nếu f : D → R là một hàm

ψ(J)-lồi thì bất đẳng thức sau đúng

f

x1 + · · · + xn
n

1
≤
n

n

f (xi ) +
i=1

1
ψ ( xi − xj )
n i
(2.8)

với mỗi n ∈ D và với mọi x1 , . . . , xn ∈ D. Dấu bằng xảy ra trong (2.8)
nếu và chỉ nếu x1 = . . . = xn .
Một hàm f : D → R, trong đó D ⊂ Rn lồi, ta nói rằng hàm ψ(J)-lồi
tổng quát nếu có một hàm g : f (D)2 → R và một hàm tăng ψ : R0+ → R0+


20

sao cho ψ(0) = 0 và

x+y
≤ max{f (x), f (y), g(f (x), f (y))} + ψ( x − y )
2
với mọi x, y ∈ D.
f

Mệnh đề 2.1.10. Cho D ⊂ Rn là tập lồi mở. Nếu f : D → R là một
hàm ψ(J)-lồi tổng qt thì có một hàm g : f (D)n → R sao cho
x1 + · · · + xn
f
≤ max {f (x1 ) , . . . , f (xn ) , g (f (x1 ) , . . . , f (xn ))} +
n

1
+
n

n

ψ
i=1

1
xi −
n

n

xi
i=1

(2.9)
với mỗi n ∈ D và với mọi x1 , . . . , xn ∈ D. Dấu bằng xảy ra trong (2.9)
nếu và chỉ nếu x := x1 = . . . = xn và f (x) = g(f (x), . . . , f (x)).
Mệnh đề 2.1.11. Cho D ⊂ Rn là tập lồi mở. Nếu f : D → R là một
hàm ψ(J)-lồi tổng quát thì tồn tại hàm g : f (D)2 → R và ψ : R0+ → R0+
thỏa mãn ψ(0) = 0 sao cho

f (f (λx+(1−λ)y)) ≤ max{f (x), f (y), g(f (x), f (y))}+max{λ, 1−λ}ψ( x−y )
(2.10)
với mỗi λ ∈ Q ∩ [0, 1] và với mọi x, y ∈ D. Dấu bằng xảy ra trong (2.10)
nếu và chỉ nếu x = y và f (x) = g(f (x), f (x)).
Mệnh đề 2.1.12. Cho D ⊂ Rn là tập lồi và F ⊂ R là một trường. Nếu

f : D → R ∪ {−∞} thỏa mãn (2.10) với mỗi λ ∈ F ∩ [0, 1], thì có một
hàm g : f (D)n → R sao cho
n

f

λi xi

≤ max {f (x1 ) , . . . , f (xn ) , g (f (x1 ) , . . . , f (xn ))} +

i=1

max {λi , λj } ψ ( xi − xj )

+
i

(2.11)