phat trien tu duy sang tao giai toan dai so 8

Bùi văn tuyên (Chủ biên)
nguyễn đức tr-ờng - NGUYễN TAM SƠN

PHáT TRIểN TƯ DUY SáNG TạO
GIảI TOáN đạI Số 8

1


Phân công biên soạn
Bùi Văn Tuyên
Nguyễn Đức Trường
Nguyễn Tam Sơn

Chủ biên
Chương I, II
Chương III, IV

2


Lời nói đầu
(Bộ sách phát triển tư duy sáng tạo giải toán)
Các em học sinh thân mến !
Các thầy giáo, cô giáo thân mến !
Bộ sách phát triển tƣ duy sáng tạo giải Toán 6, 7, 8, 9 gồm 8 cuốn, mỗi lớp hai tập: Đại số và Hình học đƣợc
các tác giả biên soạn nhằm giúp các em học sinh học tập tốt mơn Tốn ở THCS hiện nay và THPT sau này.
Các tác giả cố gằng lựa chọn những bài tập thuộc các dạng điển hình, sắp xếp thành một hệ thống để bồi dƣỡng
học sinh khá giỏi các lớp THCS. Sách đƣợc viết theo các chƣơng tƣơng ứng với các chƣơng trong sách giáo
khoa Toán. Mỗi chƣơng đƣợc viết theo các chuyên đề cơ bản, chuyên đề nâng cao, đánh số liên tục từ đầu sách

đến cuối sách để bạn đọc dễ theo dõi.
Mỗi chuyên đề có ba phần:
A. Kiến thức cần nhớ: Phần này tóm tắt những kiến thức cơ bản, những kiên thức bổ sung cần thiết để làm cơ
sở giải các bài tập thuộc các dạng của chuyên đề.
B. Một số ví dụ: Phần này đƣa ra những ví dụ chọn lọc, tiêu biểu chứa đựng những kĩ năng và phƣơng pháp
luận mà chƣơng trình địi hỏi.
Mỗi ví dụ thƣờng có: Tìm cách giải, trình bày lời giải kèm theo những nhận xét, lƣu ý, bình luận và phƣơng
pháp giải, về những sai lầm thƣờng mắc nhằm giúp học sinh tích lũy thêm kinh nghiệm giải toán, học toán.
C. Bài tập vận dụng:
Phần này, các tác giả đƣa ra một hệ thống các bài tập đƣợc phân loại theo các dạng toán, tăng dần độ khó cho
học sinh khá giỏi. Có những bài tập đƣợc trích từ các đề thi học sinh giỏi Tốn trong và ngoài nƣớc. Các em hãy
cố gắng tự giải. Nếu gặp khó khăn có thể xem hƣớng dẫn hoặc lời giải ở cuối sách.
Các tác giả hi vong cuốn sách này là một tài liệu có ích giúp các em học sinh nâng cao trình độ và năng lực giải
tốn, góp phần đào tạo, bồi dƣỡng học sinh giỏi ở cấp THCS.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong biên soạn song cuốn sách này vẫn khó tránh khỏi những sai sót. Chúng tơi
mong nhận đƣợc những ý kiến đóng góp của bạn đọc.
Xin chân thành cảm ơn!
CÁC TÁC GIẢ

3


các chuyên đề bồi d-ỡng
Ch-ơng I
phép nhân và phép chia các đa thức
Chuyờn 1. PHẫP NHN CC A THC
A. KiÕn thøc cÇn nhí
1. Muốn nhân một đơn thức với một đa thức ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với
nhau.
A.( B + C) = AB + AC

2. Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức
kia rồi cộng các tích với nhau.
(A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD
B. Mét sè vÝ dơ
Ví dụ 1. Thực hiện phép tính:
a) A  

2x
15x  6y  ;
3

b) B   5x 2  3y  4x 2  2y  .
Giải
a) A  

2x
 2x 
.15x      6y 
3
 3 

A  10x 2  4xy .
4
2
2
2
b) B  20x  10x y  12x y  6y

B  20x 4  2x 2 y  6y2 .
Ví dụ 2. Tính giá trị biểu thức sau:

1
a) A  (5x  7).(2 x  3)  (7 x  2)( x  4) tại x  ;
2
b) B  ( x  2 y).( y  2 x)  ( x  2 y).( y  2 x) tại x = 2; y = - 2 .

Giải
Tìm cách giải. Nếu thay giá trị của biến vào biểu thức thì ta đƣợc số rất phức tạp. Khi thực hiện sẽ gặp khó
khan, dễ dẫn tới sai lầm. Do vậy chúng ta cần thực hiện nhân đa thức với đa thức rồi thu gọn đa thức. Cuối cùng
mới thay số.
Trình bày lời giải
a) Ta có: A  (5x  7).(2 x  3)  (7 x  2)( x  4)
4




 

= 10x 2  15x  14x  21  7x 2  28x  2x  8



= 10x 2  15x  14x  21  7x 2  28x  2x  8
= 3x 2  27x  13 .
2

1
 1
1
5

Thay x  vào biểu thức, ta có: A  3.    27.  13  .
2
2
4
 2
Vậy với x 

1
5
thì giá trị biểu thức A  .
2
4

b) Ta có:
B  ( x  2 y ).( y  2 x)  ( x  2 y ).( y  2 x)
 xy  2 x 2  2 y 2  4 xy  xy  2 x 2  2 y 2  4 xy
 10 xy

Thay x = 2; y = - 2 vào biểu thức ta có: B  10.2.(2)  40.
Vậy với x = 2; y = - 2 thì giá trị biểu thức B = - 40.

Ví dụ 3. Tìm x, biết :
a) 4 x( x  5)  ( x 1)(4 x  3)  23 ;
b) ( x  5)( x  4)  ( x  1)( x  2)  7 .
Giải
Tìm cách giải. Để tìm x, trong vế trái có thực hiện phép nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức. Vì vậy
ta khai triển và rút gọn vế trái ấy, sau đó tìm x.
Trình bày lời giải
a)

4 x( x  5)  ( x  1)(4 x  3)  23

4x2  20x  4x2  3x  4x  3  23
13x  3  23
13x  23  3
-13x = 26
x = -2.
b)

( x  5)( x  4)  ( x  1)( x  2)  7

x2  4x  5x  20  x2  2x  x  2  7
-8x + 22 = 7
-8x = -15

x

15
.
8

5


Ví dụ 4. Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
2
3
a) A  x.(2 x  1)  x .( x  2)  ( x  x  5) .
2
3

2
b) B  x.(3x  x  5)  (2 x  3x 16)  x.( x  x  2) .

Giải
Tìm cách giải. Chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào biến x, tức là sau khi rút gọn kết quả thì
biểu thức khơng chứa biến x. Do vậy để giải bài toán này, chúng ta thực hiện biến đổi nhân đơn thức với đơn
thức, nhân đa thức với đa thức và thu gọn kết quả. Nếu kết quả không chứa biến x, suy ra điều phải chứng minh.
Trình bày lời giải
a) Biến đổi biểu thức A, ta có:

A  x.(2 x  1)  x 2 .( x  2)  ( x 3  x  5)
A  2 x 2  x  x3  2 x 2  x3  x  5
A  6.
Suy ra giá trị của A không phụ thuộc vào x.
b) Biến đổi biểu thức B, ta có:

B  x.(3x 2  x  5)  (2 x3  3x  16)  x.( x 2  x  2)
B  3x3  x 2  5 x  2 x3  3x  16  x 3  x 2  2 x
B  3x3  3x3  x 2  x 2  5 x  5 x  16
B  16.
Suy ra giá trị của B không phụ thuộc vào x.
Ví dụ 5. Tính nhanh
7
1
4
2
1
1
a) A  4
.


.1


5741 3759 3759 5741 3759 3759.5741
1
3
1
6516
4
6
b) B  2
.

.3


3150 6547 1050 6517 1050 3150.6517
Giải
Tìm cách giải. Quan sát kỹ biểu thức, nếu thực hiện trực tiếp các phép tình bài tốn dễ dẫn đến sai lầm; ta nhận
thấy nhiều số giống nhau, do vậy chúng ta nghĩ tới đặt phần giống nhau bởi một chữ. Sau đó biến đổi biểu thức
chứa chữ đó. Cách giải nhƣ vậy gọi là phƣơng pháp đại số.
Trình bày lời giải
a) Đặt x 

1
1
;y
khi đó biểu thức có dạng:
5741

3759

A  (4  7 x). y  4 y.(1  2 x)  y  xy
A  4 y  7 xy  4 y  8 xy  y  xy
A y
 A

1
3759
6


b)Đặt x 

1
1
;y
khi đó biểu thức có dạng:
3150
6517

B  (2  x).3 y  3x.(4  y )  12 x  6 xy
B  6 y  3xy  12 x  3xy  12 x  6 xy
B  6y
 B  6.

1
6

6517 6517

C. Bµi tËp vËn dơng
1.1. Rút gọn các biểu thức sau
a) A  (4 x 1).(3x  1)  5x.( x  3)  ( x  4).( x  3) ;

b) B  (5x  2).( x  1)  3x.( x2  x  3)  2x.( x  5).( x  4) .
1.2. Viết kết quả phép nhân sau dƣới dạng lũy thừa giảm dần của biến x:
2
a) ( x  x  1).( x  3) ;
2
b) ( x  3x  1).(2  4 x) ;

c) ( x  3x  2).(3  x  2 x) .
1.3. Chứng minh rằng giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x:
a) C  (5x  2)( x  1)  ( x  3)(5x  1)  17( x  3)
2

b) D  (6 x  5)( x  8)  (3x  1)(2 x  3)  9(4 x  3)
1.4. Tìm x, biết:
a) 5( x  3)( x  7)  (5x  1)( x  2)  25
b) 3( x  7)( x  5)  ( x 1)(3x  2)  13

1.5. Rút gọn và tính giá trị biểu thức:
a) A  (4  5x).(3x  2)  (3  2 x).( x  2) tại x  2 .
1
1
B  5x.( x  4 y)  4 y.( y  5x) tại x   ; y  
5
2
1.6. Tính giá trị biểu thức :

a) A  x6  2021x5  2021x4  2021x3  2021x2  2021x  2021 tại x  2020 ;

b)

b) B  x10  20 x9  20 x8  ...  20 x2  20 x  20 với x  19 .
1.7. Tìm các hệ số a, b, c biết:
2
2
4
3
2
a) 2 x (ax  2bx  4c)  6 x  20 x  8x đúng với mọi x ;
2
3
2
b) (ax  b).( x  cx  2)  x  x  2 đúng với mọi x.

1.8. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì:

A  (2  n).(n2  3n  1)  n.(n2  12)  8 chia hết cho 5.
1.9. Đặt 2x = a + b + c. Chứng minh rằng:

( x  a).( x  b)  ( x  b).( x  c)  ( x  c).( x  a)  ab  bc  ca  x 2 .
7


1.10. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn ab  bc  ca  abc và a  b  c  1. Chứng minh rằng:
(a 1).(b 1).(c 1)  0 .

Chuyên đề 2. CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ

A. KiÕn thøc cÇn nhí


 A  B

2

 A2  2AB  B2 (1)



 A  B

2

 A2  2AB  B2 (2)



A2  B2  (A  B)  A _ B (3)



 A  B

 A3  3A2B  3B2A  B3  A3  B3  3AB(A  B)



 A _ B

 A3  3A2B  3AB2  B3  A3  B3  3AB(A _ B) (5)



A3  B3   A  B A2  AB  B2



A3  B3

3

3


  A  B  A

2


 AB  B 
2

(4)

(6)
(7)

B. Mét sè vÝ dơ

Ví dụ 1. Rút gọn biểu thức:
2
2
a) A  ( x  2)  4.( x  2).( x  2)  ( x  4) ;
2
2
2
2
b) B  (3x  2 x  1).(3x  2 x  1)  (3x  1) ;
2
2
2
2
c) C  ( x  5x  2)  2.(5x  2).( x  5x  2)  (5x  2) .

Giải
Tìm cách giải. Rút gọn biểu thức là biến đổi viết biểu thức ấy dƣới dạng đơn giản hơn.Trong mỗi biểu thức đều
ẩn chứa hằng đẳng thức, vì vậy chúng ta dùng hằng đẳng thức để khai triển và thu gọn các đơn thức đồng dạng.
Trình bày lời giải
a) Ta có:
A  ( x  2) 2  4.( x  2).( x  2)  ( x  4) 2
 x 2  4 x  4  4.( x 2  4)  x 2  8 x  16
 6 x 2  4 x  4.

b) Ta có:
B  (3x 2  2 x  1).(3x 2  2 x  1)  (3 x 2  1) 2
 (3x 2  1) 2  (2 x) 2  (3x 2  1) 2
 (2 x) 2  4 x 2 .
8

c) Ta có:
C  ( x 2  5 x  2) 2  2.(5 x  2).( x 2  5 x  2)  (5 x  2) 2
 ( x 2  5 x  2)  (5 x  2) 

2

 ( x 2 )2  x 4 .

Ví dụ 2. Cho x +y = -7 và x2+y2 = 11. Tính x3 +y3 ?
Giải
Tìm cách giải. Sử dụng hằng đẳng thức (1) và giả thiết ta có thể tính đƣợc tích xy. Mặt khác phân tích kết luận
bằng hằng đẳng thức (4), ta chỉ cần biết thêm tích xy là xong. Từ đó ta có lời giải sau.
Trình bày lời giải
Từ x + y = -7  x2  2xy  y2  49 .
Mà x2  y2  11  11  2xy  49  xy  12 .



Ta có: x3  y3  x  y



3

 3xy  x  y    7  3.12  7 .
3

 x3 +y3 = - 91.
Ví dụ 3. Tính giá trị biểu thức:

a) A = x2 + 10x + 26 tại x= 95.
3
2
b) B  x  3x  3x  1 tại x  21 .

Giải
Tìm cách giải. Quan sát kỹ biểu thức, ta nhận thấy có bóng dáng của hằng đẳng thức. Do vậy chúng ta nên vận
dụng đƣa về hằng đẳng thức. Sau đó thay số vào để tính, bài tốn sẽ đơn giản hơn.
Trình bày lời giải
a) Ta có:
A  x 2  10 x  26
 x 2  10 x  25  1  ( x  5)2  1.

Thay x = 95 vào biểu thức A = (95 + 5)2 + 1 = 10001.
b) Ta có:
B  x3  3x 2  3x  1
 x3  3x 2  3x  1  2
 ( x  1)3  2.





3

Với x  21  B  21  1  2  8000  2  8002.

9

Ví dụ 4. Tính nhanh:
a) A 

20203  1
;
20202  2019

b) B 

20203  1
.
20202  2021

Giải
Tìm cách giải. Quan sát kỹ đề bài, ta nhận thấy mỗi phân số đều ẩn chứa hằng đẳng thức. Do vậy, việc dùng
hằng đẳng thức để phân tích ra thừa số là suy luận tự nhiên.
Trình bày lời giải
a) A 

20203  1
(2020  1).(20202  2020  1)

 2021.
20202  2019
20202  2020  1

b) B 

20203  1
(2020  1).(20202  2020  1)


 2019.
20202  2021
20202  2020  1

3
3
2
Ví dụ 5. Cho x – y = 2. Tính giá trị A  2.( x  y )  3.( x  y) .

Giải
Tìm cách giải. Dựa vào giả thiết và kết luận ta nghĩ tới hai hƣớng sau:


Biến đổi biểu thức A nhằm xuất hiện x – y để thay bằng số 2.



Từ giả thiết, suy ra x = y + 2 thay vào kết luận, ta đƣợc biểu thức chỉ chứa biến y. Sau đó rút gọn biểu thức.

Trình bày lời giải
Cách 1. Ta có:

A  2.( x3  y 3 )  3.( x  y ) 2
 2.( x  y ).( x 2  y 2  xy )  3 ( x  y ) 2  4 xy 
 4.( x 2  y 2  2 xy  3xy )  3( x  y ) 2  12 xy
 4.( x  y ) 2  3.( x  y ) 2  12 xy  12 xy  ( x  y ) 2  4 .
Cách 2. Từ giả thiết, suy ra x = y + 2 thay vào biểu thức A ta có:





A  2  y  2  y 3  3  y  2  y 



3

2



=2 y3  6y2  12y  8  y3  3 2y  2

2

=12y2  24y  16  12y2  24y  12  4.
2
2
Ví dụ 6. Tìm các số thực x, y thỏa mãn x  26 y  10 xy  14 x  76 y  58  0 .

Giải
Tìm cách giải. Để tìm số thực x, y thỏa mãn đa thức hai biến bậc hai bằng 0, chúng ta định hƣớng biến đổi đƣa
2
2
đa thức đó thành tổng bình phƣơng của hai biểu thức. Sau đó áp dụng A  B  0 khi và chỉ khi A = 0 và B =
0. Từ đó tìm đƣợc x, y.

10

Trình bày lời giải
Ta có: x2  26 y 2  10 xy  14 x  76 y  58  0
 x  10 xy  25 y  14( x  5 y)  49  y  6 y  9  0
2

2

2

 ( x  5 y)  14( x  5 y)  49  ( y  3)  0
2

2

 ( x  5 y  7)  ( y  3)  0
2

2

 x  5 y  7  0  x  22

.
y 3  0
y  3



Ví dụ 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P  x2  xy  y 2  2 x  3 y  2015 .
Giải
Tìm cách giải. Để tìm giá trị nhỏ nhất của một đa thức bậc hai, chúng ta dùng hằng đẳng thức (1) và (2) để biến
đổi đa thức thành tổng các bình phƣơng cộng với một số. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức đạt đƣợc khi và chỉ khi
tổng các bình phƣơng bằng 0.
Trình bày lời giải
Ta có

y 2 3y2
P  (x  ) 
 2 x  3 y  2015
2
4
y
y
3y2
P  ( x  ) 2  2.( x  )  1 
 2 y  2014
2
2
4
y
3
8
16
2
P  ( x   1) 2  .( y 2  y  )  2012
2
4

3
9
3
y
3
4
2
2
P  ( x   1) 2  .( y  ) 2  2012  2012
2
4
3
3
3
1
y


 x  3
 x  2  1  0
2
P  2012  

4
3
y   0
y  4

3
3


Vậy giá trị nhỏ nhất của P  2012

2
1
4
khi và chỉ khi x  ; y  .
3
3
3

Ví dụ 8. Cho a, b, c thỏa mãn đồng thời a  b  c  6 và a 2  b2  c2  12 . Tính giá trị của biểu thức:

P  (a  3)2020  (b  3)2020  (c  3)2020 .
Giải
Tìm cách giải. Giả thiết cho hai đẳng thức mà lại có ba biến a, b, c có vai trị nhƣ nhau. Do vậy chúng ta dự
đoán dấu bằng xảy ra khi a = b = c và từ giả thiết suy ra a = b = c = 2. Để tìm ra đƣợc kết quả này, chúng ta vận



 
2

 
2



dụng tổng các bình phƣơng bằng 0. Do đó nên bắt đầu từ a  2  b  2  c  2
đƣơng để ra giả thiết. Khi trình bày thì lại bắt đầu từ giả thiết.

11

2

 0 và biến đổi tƣơng


Trình bày lời giải
2
2
2
2
2
2
Ta có a  b  c  12  a  b  c  12  0

 a2  b2  c2  24  12  0  a2  b2  c2  4  a  b  c  12  0

 a2  4a  4  b2  4b  4  c2  4c  4  0  a  2   b  2  c  2  0
2

2

2

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 2.
. P  (1)2020  (1)2020  (1)2020 = 3.
Ví dụ 9. Cho a2 - b2 = 4c2. Chứng minh rằng: (5a- 3b - 8c)(5a - 3b + 8c) = (3a - 5b)2.
Giải
Tìm cách giải. Quan sát đẳng thức cần chứng minh, chúng ta nhận thấy vế trái có chứa c, vế phải khơng chứa c.

Do vậy chúng ta cần biến đổi vế trái của đẳng thức, sau đó khử c bằng cách thay 4c2 = a2 - b2 từ giả thiết. Để
thực hiện nhanh và chính xác, chúng ta nhận thấy vế trái có dạng hằng đẳng thức (3).
Trình bày lời giải
Biến đổi vế trái:
(5a- 3b - 8c)(5a - 3b + 8c) = (5a – 3b)2 - 64c2
= (25a2 - 30ab + 9b2) - 64c2
= (25a2 - 30ab + 9b2) – 16(a2 - b2) ( do 4c2 = a2 - b2)
= 9a2 - 30ab + 25b2
= (3a -5b)2 .
Vế trái bằng vế phải. Suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 10. Phân tích số 27000001 ra thừa số nguyên tố. Tính tổng các ƣớc số ngun tố của nó.
Giải
Tìm cách giải. Chúng ta có thể vận dụng hằng đẳng thức để phân tích một số ra thừ số ngun tố.
Trình bày lời giải





Ta có: 27000001  3003  1  300  1 3002  300  1

301 300  1  302   301. 300  1  30 . 300  1  30


2

 301.271.331  7.43.271.331 .
Tổng các ƣớc số nguyên tố của nó là: 7 + 43 + 271 + 331 = 652.
4
2 2

4
8
4 4
8
Ví dụ 11. Cho các số x, y thỏa mãn đẳng thức x  x y  y  4; x  x y  y  8.
12
2 2
12
Hãy tính giá trị biểu thức A  x  x y  y .

Giải
Ta có
12


( x 4  x 2 y 2  y 4 )( x 4  x 2 y 2  y 4 )  ( x 4  y 4 )2  x 4 y 4
 x8  x 4 y 4  y 8  8  x 4  x 2 y 2  y 4  2
4
4
Kết hợp với giả thiết suy ra x  y  3 và x 2 y 2  1 .

   y 

12
2 2
12
Ta có: A  x  x y  y = x 4

3

4

3

 x 2y 2

A  ( x 4  y 4 ).( x8  x 4 y 4  y 8 )  x 2 y 2
 3. ( x 4  y 4 ) 2  3x 4 y 4   1
 3. 32  3  1  19
C. Bµi tËp vËn dơng
Tìm hệ số x 2 của đa thức sau khi khai triển:

2.1.

a) A  ( x  2)2  ( x  2)2  ( x  3)3  (3x  1)3 ;
b) B  (2 x 1)2  ( x  2)2  ( x  3)3  (3x 1)3 .
2.2.

Tính giá trị biểu thức
a) A = x2 + 0,2x + 0,01tại x = 0,9.

b) B = x3 + 3x2 + 3x + 2 với x = 19.
c) C = x4 – 2x3 + 3x2 – 2x + 2 với x2 – x = 8.
2.3.

Tính hợp lý:

3562  1442
a) A 
;

2562  2442
c) C = 1632- 92.136+ 462

b) B = 2532+ 94.253+ 472

d) D = (1002+ 982+ ...+ 22) - (992+ 972+ ...+ 12).

;



 . 2019 2020  2021 .
2020  1
 1

20212 20202  2019

2.4.

Tính giá trị biểu thức : A 

2.5.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

2020

2



 1 20203

a)

A  5x 2  5 y 2  8xy  2 y  2x  2020 .

b)

B  5x2  2y2  4xy  2x  4y  2020 .

c)

M  5x2  y2  z2  4x  2xy  z  1 .

2.6.

;

Tìm x, biết:

2
2
a) ( x  2)  ( x  3)  2.( x  2).( x  3)  19.
2
2
b) ( x  2).( x  2 x  4)  x.( x  5)  15.

13

2

2

3


3
2
c) ( x  1)  (2  x).(4  2 x  x )  3x.( x  2)  17.

2.7.

Biết xy = 11 và x2y + xy2 + x + y = 2016. Hãy tính giá trị : x2 + y2.

2.8.

Cho a – b = 7. Tính giá trị biểu thức:
A  a2  a  1  b2  b  1  3ab  a  b  1  ab .

2.9.

Chứng minh rằng với mọi x ta có:

a) x.( x  6)  10  0 ;
b) ( x  3).( x  5)  3  0 ;
2
c) x  x  1  0 .

2.10.

Tìm x, y biết:

a) x2 - 2x + 5 + y2 - 4y = 0;
b) 4x2 + y2 - 20x - 2y + 26 = 0;
c) 9x2 + 4y2 + 4y – 12x + 5 = 0.
2.11. Chứng minh không tồn tại x; y thỏa mãn:
2
2
a) x  4 y  4 x  4 y  10  0;
2
2
b) 3x  y  10 x  2 xy  29  0;
2
2
c) 4 x  2 y  2 y  4 xy  5  0.

2.12.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2
a) A  15  8x  x ;
2
b) B  4 x  x  2 ;

2
2
c) C   x  y  4x  4 y  2.

2.13.

2
2
3
3
Cho các số thực x; y thỏa mãn điều kiện x  y  3 ; x  y  17 . Tính giá trị biểu thức x  y .

2.14.

3
3
3
3
Cho x  y  a  b (1) và x  y  a  b (2).

Chứng minh rằng: x2  y 2  a 2  b2 .
2.15.

Cho a + b + c = 2p. Chứng minh rằng:
a) 2bc + b2 + c2 - a2 = 4p(p - a);
b) (p - a)2 + (p - b)2 + (p - c)2 = a2 + b2 + c2 - p2.
Cho A  99....9 . Hãy so sánh tổng các chữ số của A2 với tổng các chữ số của A.

2.16.

2020 chữ số 9

2.17.

Chứng minh rằng:



Nếu a  b

   b  c  c  a   a  b  2c   b  c  2a   c  a  2b
2

2

2

2

2

14

2

thì a = b= c.


2.18. Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng n4  4n là hợp số
(Thi học sinh giỏi Tốn 9,tỉnh Quảng Bình , năm học 2012 – 2013)
2.19.

a) Cho a + b = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của A= a2 + b2.
b) Cho x + 2y = 8. Tìm giá trị lớn nhất của B = xy.

2.20.

Tìm giá trị nhỏ nhất của A  3( x 2  y 2 ) biết x2  y 2  xy  12 .
( Tuyển sinh vào lớp 10, THPT chuyên Bình Dương, năm học 2014- 2015)

2.21.

Cho các số nguyên

a, b, c thoả mãn: (a  b)3  (b  c)3  (c  a)3  210 . Tính giá trị của biểu thức

A a b  bc  c a .
2.22.

Chứng minh không tồn tại hai số nguyên x, y thỏa mãn x2 - y2 = 2020 .

Chuyên đề 3. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
A. KiÕn thøc cÇn nhí
1. Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một tích của các đa thức khác.
2. Các phƣơng pháp thƣờng dùng:
- Đặt nhân tử chung.
- Dùng hằng đẳng thức.
- Nhóm các hạng tử.
- Phối hợp nhiều phƣơng pháp. Có khi ta phải dùng những phƣơng pháp đặc biệt khác (xem chun đề 6)
B. Mét sè vÝ dơ
Ví dụ 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 12x3y - 6x2y + 3x2y2 ;
b) 5x2y(x - 7) - 5xy(7 - x).
Giải

Tìm cách giải. Quan sát đề bài, chúng ta thấy các đa thức trên đều có nhân tử chung.
Bước 1. Chọn hệ số là ƢCLN của các hệ số.
Bước 2. Phần biến gồm tất cả các biến chung, mỗi biến lấy với số mũ nhỏ nhất của nó trong các hạng tử. Nếu
trong đó có hai nhân tử đối nhau, chúng ta đổi dấu một trong hai nhân tử và dấu đứng trƣớc nó.
Trình bày lời giải
a) 12x3y - 6x2y + 3x2y2 = 3x2y(4x – 2 + y) .
b) 5x2y(x -7) - 5xy(7- x) =5x2y(x-7) + 5xy(x - 7) = 5xy(x - 7)(x +1).
Ví dụ 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 100x2 - 9y2 ;
b) 9(a + b)2 - 4(a - 2b)2;
c) 8x3 + 27y3 ;
15


d) 125 - 75x + 9x2 - x3.
Giải
Tìm cách giải. Nhận thấy trong ví dụ này mỗi đa thức đều có dạng hằng đẳng thức. Do vậy chúng ta vận dụng
hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử.
Trình bày lời giải
a) 100x2 - 9y2 = (10x -3y)(10x +3y).
b) 9(a+b)2- 4(a-2b)2 = [3(a+b)-2(a-2b)][3(a+b)+2(a-2b)] = (a-7b)(5a -b).
c) 8x3+27y3 = (2x+3y)(4x2 - 6xy + 9y2) .
d) 125-75x+15x2-x3 = (5- x)3.
Ví dụ 3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x(a + b) + a + b.
b) 3a2x - 3a2y + abx – aby.
c) ax + bx + cx + 2a + 2b + 2c.
Giải
Tìm cách giải. Mỗi đa thức trên khơng có nhân tử chung, khơng xuất hiện hằng đẳng thức. Quan sát kỹ nhận
thấy nếu nhóm các hạng thử thích hợp thì xuất hiện nhân tử chung.

Trình bày lời giải
a) x(a+b)+a+b = (a+b)(x+1)
b) 3a2x- 3a2y+ abx - aby = 3a2(x-y) + ab(x-y) = a(x-y)(3a+b)
c) ax+bx+cx+2a+2b+2c = x(a+b+c)+ 2(a+b+c) = (x+2)(a+b+c)
Ví dụ 4. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) a 2 – b2 – 4a + 4b;
b) (xy + 4)2 – (2x + 2y)2;
c) (a2 + b2 + ab)2 – a2b2 – b2c2 – c2a2.
Giải
Tìm cách giải. Nhận thấy mỗi đa thức đều ẩn chứa trong đó hằng đẳng thức. Vậy chúng ta có thể nhóm nhằm
xuất hiện hằng đẳng thức.
Trình bày lời giải
a)  a  b a  b   4  a  b    a  b a  b  4 

.

b)  xy  4  2x  2y  xy  4  2x  2y 





 x  y  2  2  y  2 x  y  2  2  y  2
  x  2 y  2 x  2 y  2







.





c) a2  b2  ab  ab a2  b2  ab  ab  c2 a2  b2



16














= a2  b2 a  b



2



 c2 a2  b2



2
 a2  b2  a  b   c2 



 a2  b2  a  b  c a  b  c 

.

2
2
Ví dụ 5. Cho các số thực a, b, c đôi một phân biệt và thỏa mãn a (b  c)  b (c  a)  2012
2
Tính giá trị biểu thức M  c (a  b).

(Tuyển sinh 10, THPT chuyên, ĐHSP Hà Nội, năm học 2012 – 2013)
Giải
Tìm cách giải. Từ giả thiết chúng ta khơng thể tính giá trị cụ thể của a, b, c. Do vậy bằng việc quan sát và nghĩ
tới việc phân tích đa thức thành nhân tử để tìm mối quan hệ giữa a, b và c. Từ đó tìm đƣợc giá trị biểu thức M.
Trình bày lời giải
Ta có :
a 2 (b  c)  b 2 (c  a)  a 2b  a 2c  b 2c  b 2 a  0





 ab  a  b   c a 2  b 2  0
 (a  b)(ab  bc  ca)  0

Vì a ≠ b nên :
 ab  bc  ca  0
 (b  c)(ab  bc  ca)  0  b 2 a  b 2c  bc 2  ac 2  0  b 2 a  b 2c  bc 2  ac 2
 c 2 (a  b)  b 2 (a  c).

Vậy M = 2012.
C. Bµi tËp vËn dơng
Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

3.1.

a) ab(x - 2) - a2(x - 2) ;
b) 4x3y2 - 8x2y3 + 12x3y .
3.2. Phân tích đa thức thành nhân tử
a) (xy + 1)2 - (x + y)2 ;
b)

(a  b  c)2  (a  b  c)2  4c2 ;

c) (a2 + 9)2 - 36a2.
3.3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) 3a – 3b + a2 – 2ab + b2;

b) a 2 + 2ab + b2 – 2a – 2b + 1;
17


c) 4b2c2  (b2  c2  a2 )2 .
3.4. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) x2- 4xy + 4y2 - 9a2;
b) xy(a2 + b2) - ab(x2 + y2);
c) x2(a- b) - 2xy(a- b)+ ay2 - by2 ;
d) 8xy3 - x(x-y)3.
3.5. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) A = x 2  4 x 2 y2  y2  2 xy ;
b) B = x 6  y 6 ;
c) C  4 xy( x2  y 2 )  6( x3  y3  x 2 y  xy 2 )  9( x 2  y 2 )
c) D = 25  a2  2ab  b2 .
3.6. Phân tích đa thức thành nhân tử:
3
2
2
3
a) x  3x y  4 xy  12 y ;
3
2
2
3
b) x  4 y  2 xy  x  8 y ;

c) 3x 2 (a  b  c)  36 xy(a  b  c)  108y 2 (a  b  c).
d) a(x2 + 1) – x(a2 + 1).
3.7. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x3  1  5x 2  5  3x  3 ;
b) a5  a4  a3  a2  a  1 ;
c) x3  3x 2  3x  1  y3 ;
d) 5x3  3x 2 y  45xy2  27y3 .
3.8. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x 3 – x2 – x + 1;
b) x 4 – x2 + 2x – 1;
c) 4a2b2 – (a2 + b2 – 1)2;
3.9.Cho x, y, z là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.
2 2
2
2
2 2
Đặt A  4x y  ( x  y  z ) . Chứng minh rằng A  0 .
3
2
a  3a  5a  17  0;
Cho các số a, b lần lƣợt thỏa mãn các hệ thức:  3
2
b  3b  5b  11  0.
Tính a  b.

3.10.

18


3.11.

Cho a, b, c thỏa mãn a  b  c  abc . Chứng minh rằng:

a(b2 1)(c2  1)  b(a2  1)(c2  1)  c(a2  1)(b2 1)  4abc.

Chuyên đề 4. HẰNG ĐẲNG THỨC MỞ RỘNG
A. KiÕn thøc cÇn nhí
1. Bình phƣơng của một đa thức

a

 a2  .....  a n   a12  a22  .....  a22  2a1a2  2a1a3  ...  2a1a n
2

1

 2a2a3  2a2a4  ...  2a2an  ...  2a n1a n

.

Đặc biệt ta có :
2



 a  b  c

 a2  b2  c2  2ab  2ac  2bc

2



 a  b  c

 a2  b2  c2  2ab  2ac  2bc

a  b  c  d

2

 a2  b2  c2  d2  2ab  2ac  2ad  2bc  2bd  2cd

2. Bảng khai triển hệ số : (a + b)n
Với n = 0 : 1
Với n = 1 : 1 1
Với n = 2 : 1 2 1
Với n = 3 : 1 3 3 1
Với n = 4 : 1 4

6

4

1

Với n = 5 : 1 5 10 10 5 1
………………………………………………
Mỗi dòng đều bắt đầu bằng 1 và kết thúc bằng 1.
Mỗi số ở một dòng kể từ dòng thứ hai đều bằng số liền trên cộng với số bên trái của số liền trên.
Bảng trên đây đƣợc gọi là tam giác Pa-xcan, cho ta biết hệ số khi khai triển (a + b)n. Chẳng hạn cho n các giá trị
từ 0 đến 5 ta đƣợc :

(a + b)0 = 1
(a + b)1 = a + b
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a + b)4 = a3 + 4a3b + 6a2b2 +4a b3 + b4
(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 +10a2 b3 +5a b4 + b5

19


Chú ý : khi khai triển (a - b)n ta vẫn làm nhƣ trên và các số hạng chứa b với lũy thừa lẻ thì mang dấu trừ đằng
trƣớc.
3. Khai triển nhị thức an  bn và an  bn (n lẻ).
a) a2 - b2 = (a - b)(a + b) ;
a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) ;
an - bn = (a - b)(an - 1 + an - 2b + an - 3b2 + … + abn - 2 + bn - 1) ;
b) a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
a5 + b5 = (a + b)(a4 - a3b + a2b2 - ab3 + b5) ;
a2k + 1 + b2k + 1 = (a + b)(a2k - a2k - 1b + a2k - 2b2 - … + a2b2k - 2 - ab2k - 1 + b2k) ;
4. Đẳng thức bậc ba

 a  b  c

3

 a3  b3  c3  3  a  b  b  c c  a 

;



a3  b3  c3  3abc   a  b  c a2  b2  c2  ab  bc  ca

.

Đặc biệt :


3
3
3
Nếu a + b + c = 0 thì a  b  c  3abc  0



3
3
3
Nếu a  b  c  3abc  0 thì a + b + c = 0 hoặc a = b = c.

B. Mét sè vÝ dơ
Ví dụ 1. Cho a + b + c = 0 và a2  b2  c2  1 . Tính giá trị biểu thức. M  a4  b4  c4 .
Giải
Tìm cách giải. Để tạo ra kết luận, ta cần xuất phát từ a2  b2  c2  1 và bình phƣơng hai vế. Tuy nhiên khi
đó lại xuất hiện a2b2  b2c2  c2a2 và cần tính biểu thức này. Để tính biểu thức đó ta cần tính đƣợc
ab  bc  ca . Suy luận tự nhiên ta cần bình phƣơng a + b + c = 0. Bằng cách phân tích, lập luận nhƣ trên ta đã
tìm ra cách giải.
Trình bày lời giải



Từ a + b + c = 0  a  b  c



2

 0  a2  b2  c2  2ab  2bc  2ca  0 .

2
2
2
Mà a  b  c  1  ab  bc  ca  

2
1
1
  ab  bc  ca  
2
4

 a2b2  b2c2  c2a2  2ab2c  2bc2a  2ca2b 
 a2b2  b2c2  c2a2  2abc  a  b  c  



Từ a2 + b2 + c2 = 1  a2  b2  c2



2

1
4

1
1
 a2b2  b2c2  c2a2 
4
4





 12  a4  b4  c4  2 a2b2  b2c2  c2a2  1

20


4
4
4
a  b  c  2

1
1
 1  a 4  b4  c4  .
4
2

Ví dụ 2. Rút gọn biểu thức:

A  ( x  y  z  t )2  ( x  y  z  t )2  ( x  z  y  t ) 2  ( x  t  y  z ) 2 .
Giải
Khai triển ta có:

 x  y  z  t

2

 x2  y2  z2  t2  2xy  2xz  2xt  2yz  2yt  2zt

 x  y  z  t

2

 x2  y2  z2  t2  2xy  2xz  2xt  2yz  2yt  2zt

x  z  y  t

 x 2  z 2  y 2  t 2  2xy  2xz  2xt  2yz  2yt  2zt

 x  t  y  z

 x2  y2  z2  t2  2xy  2xz  2xt  2yz  2yt  2zt

2

2

Cộng từng vế lại ta đƣợc:

 x  y  z  t    x  y  z  t    x  z  y  t    x  t  y  z
2



 4 x2  y2  z2  t2

2

2

2




Nhận xét. Ngoài ra, ta có thể vận dụng đẳng thức a  b

  a  b

x  y  z  t  x  y  z  t

2

2
2
 2  x  y    z  t  




 x  y  z  t  x  y  z  t

2

2
2
 2  x  y    z  t  



2

2

2

2





 2 a2  b2 để giải. Thật vậy:


   x  y  z  t    x  z  y  t    x  t  y  z
 2  x  y    x  y    z  t    z  t  




Suy ra A  x  y  z  t
2



2

2

2

 

2



2

2

2





 2 2 x2  y2  2 z2  t2   4 x2  y  z2  t2 .


Ví dụ 3. Cho a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c = 0. Chứng minh rằng:







2 a5  b5  c5  5abc a2  b2  c2

.

Giải
3
3
3
Tìm cách giải. Nhận thấy a5 = a3.a2 , nên để xuất hiện vế phải chúng ta cần thay thế 3abc  a  b  c vào vế
5
5
5
phải, sau đó khai triển. Khi khai triển xong, chúng ta cần biến đổi phần cịn lại khơng phải là a  b  c trở
thành một phần của kết luận là xong.

Trình bày lời giải
21

Vì a  b  c  0  a3  b3  c3  3abc



 
 b  c   b c


 a   c a

Xét: 3abc a2  b2  c2  a3  b3  c3 a2  b2  c2
 a5  b5  c5  a3

2

2

3

2

2

3

2



 b2

 . (1)

Xét b  c  a  b2  c2  2bc  a2  b2  c2  a2  2bc ;
2
2
2
2
2
2
Tƣơng tự c  a  b  2ac;a  b  c  2ab .















Thay vào (1) suy ra : 3abc a2  b2  c2  a5  b5  c5  a3 a2  2bc  b3 b2  2ac  c3 c2  2ab







= 2 a5  b5  c5  2abc a2  b2  c2 .









Hay 2 a5  b5  c5  5abc a2  b2  c2 .
Nhận xét. Nếu đặt a  x  y , b  y  z, c  z  x thì ta có bài tốn sau. Chứng minh rằng:

 x  y    y  z   z  x    x  y    y  z  z  x 
2

2

2

3

3

2

3

3

 x  y    y  z   z  x 


các số thực x, y, z thỏa mãn 2  y 2  yz  z 2   3x 2  36.

5

5

5

5

. Ví dụ 4. Xét

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: A  x  y  z.
( tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên Nam Định, năm học 2014- 2015)
Giải
Tìm cách giải. Giả thiết cho vế trái là đa thức bậc hai, mà kết luận là tìm cực trị đa thức bậc nhất. Do vậy để
vận dụng đƣợc giả thiết ta cần xét A2, sau đó khéo léo tách đa thức đó để vận dụng triệt để giả thiết.
Trình bày lời giải
2
2
2
2
2

Ta có: A  ( x  y  z )  x  y  z  2xy  2 yz  2zx

A2  2  y 2  z 2  yz   3x 2   x 2  2xy  y 2    x 2  2 xz  z 2 

A2  36  ( x  y)2  ( x  z)2  36.
Suy ra maxA = 6 tại x  y  z  2,
minA = - 6 tại x  y  z  2 .
Ví dụ 5. Với a, b, c là các số thực thỏa mãn:

(3a  3b  3c)3  24  (3a  b  c)3  (3b  c  a)3  (3c  a  b)3.
Chứng minh rằng: (a  2b)(b  2c)(c  2a)  1.
(tuyển sinh lớp 10, THPT Chuyên ĐHKHTN, ĐHQGHà Nội,
năm học 2015-2016)
Giải
22


Tìm cách giải. Quan sát kĩ đề bài, ta nhận thấy khai triển hai vế rồi phân tích thành nhân tử là quá dài, phức tạp
và có thể dẫn đến sai lầm. Do vai trò nhƣ nhau của giả thiết ,kết luận và giảm bớt sự khai triển ta có thể đổi
3
3
3
3
biến: x  3a  b  c, y  3b  c  a, z  3c  a  b . Khi đó giả thiết có dạng: ( x  y  z )  24  x  y  z . Vì vế
3
3
3
3
trái của kết luận có dạng là nhân tử nên ta dùng đẳng thức ( x  y  z)  x  y  z  3( x  y)( y  z )( z  x) . Từ
đó ta có lời giải sau:

Trình bày lời giải
Đặt x  3a  b  c, y  3b  c  a, z  3c  a  b
 x  y  z  3a  3b  3c .
Từ giả thiết, ta suy ra: ( x  y  z )3  24  x3  y3  z 3 .
Theo hằng đẳng thức, ta có: ( x  y  z)3  x3  y3  z 3  3( x  y)( y  z )( z  x)
Suy ra 3( x  y)( y  z )( z  x)  24
 (2a  4b)(2b  4c)(2c  4a)  8
 (a  2b)(b  2c)(c  2a)  1.
Điều phải chứng minh.
C. Bµi tËp vËn dơng



4.1. Rút gọn a  b  c

  a  b  c  a  b  c   b  c  a 
2

2

2

2

.

4.2. Tìm hệ số x 3 của đa thức sau khi khai triển:

a) A  ( x  3)3  ( x  4)4  ( x  5)5 ;

b) B  ( x  2)3  ( x  3)4  ( x  4)5 .
4.3. Một tam giác có ba cạnh là a, b, c thỏa mãn điều kiện: (a  b  c)2  3(ab  bc  ca) . Hỏi tam giác đó là
tam giác gì?
4.4. Cho a + b + c = 0 vµ a2 + b2 + c2 = 2.

TÝnh a4 + b4 + c4.

4.5. Cho x + y + z = 0 vµ xy + yz + zx = 0. Tính giá trị của biểu thức :
B = (x – 1)2015 + y2016 + (z + 1)2017.
4.6.





 



2

2
2
2
2
2
2
Cho a  b  c x  y  z  ax  by  cz với abc ≠ 0. Chứng minh rằng:

x y z

  .
a b c
4.7.Cho a  b  c  2; a2  b2  c2  4 và

x y z
  .
a b c

Chứng minh rằng: xy + yz + zx = 0.
4.8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: F ( x)  x 4  2x 3  3x 2  2x  2 .
4.9. Cho a, b, c thỏa mãn điều kiện a  b  c  1 và a3  b3  c3  1. Tính giá trị của biểu thức A  a n  bn  c n
với n là số tự nhiên lẻ.
23


4.10. Chứng minh hằng đẳng thức sau: x4 + y 4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2.
4.11. Cho a, b, c thỏa mãn a+ b+ c = 0 Chứng minh rằng:
a) a4+b4+c4 = 2(a2b2+a2c2+b2c2) .
b) a4+ b4 + c4 =2(ab + bc + ca)2.
4.12.
a)
b)
c)

Cho x, y, z thỏa mãn x + y + z = 0. Chứng minh rằng :
5(x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = 6(x5 + y5 + z5) ;
x7 + y7 + z7 = 7xyz(x2y2 + y2z2 + z2x2) ;
10(x7 + y7 + z7) = 7(x2 + y2 + z2)(x5 + y5 + z5).

Chuyên đề 5. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÁC

A. KiÕn thøc cÇn nhí
Chứng ta đã biết ba phƣơng pháp để phân tích một đa thức thành nhân tử là đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng
thức , nhóm các hạng tử và phối hợp ba phƣơng pháp đó. Tuy nhiên có những đa thức mặc dù rất đơn giản, nếu
chỉ biết dùng ba phƣơng pháp đó thơi thì khơng thể phân tích thành nhân tử đƣợc. Do đó trong chun đề này
chúng ta sẽ xét thêm một số phƣơng pháp khác để phân tích đa thức thành nhân tử .
 Phƣơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử.





Phƣơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử
Phƣơng pháp đổi biến
Phƣơng pháp đồng nhất hệ số
Phƣơng pháp xét giá trị riêng của các biến

B. Mét sè vÝ dô
1. Phƣơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử
VÝ dô 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: f(x) = 2x2 - 3x + 1.
Giải
C¸ch 1: Tách hạng tử thứ hai: -3x = -2x - x.
Ta cã f(x) = (2x2 - 2x) - (x - 1) = 2x(x - 1) - (x - 1) = (x - 1)(2x - 1).
C¸ch 2: Tách hạng tử thứ nhất và hạng tử thứ hai: 2x2 = x2 + x2.
Ta cã f(x) = (x2 - 2x + 1) + (x2 - x) = (x - 1)2 + x(x - 1) = (x - 1)[(x - 1) + x]
= (x - 1)(2x - 1).
Nhận xét. Để phân tích tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c ra nhân tử, ta tách hạng tử bx
b2x sao cho b1b2 = ac và b1 + b2 = b.
3

2

VÝ dơ 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: f(x) = x - x - 4.
Giải
Tìm cách giải. Ta lần lƣợt kiểm tra với x = 1; 2; 4 , ta thấy f(2) = 0.
Đa thức f(x) có nghiệm x = 2, do đó khi phân tích thành nhân tử, f(x) chứa nhân tử x - 2.
24

thành b1x +