Bài giảng Nguyên lý thực hành bảo hiểm - Chương 4

TRƯỜNG ĐẠI HỌC LẠC HỒNG KHOA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH
Bài giảng môn: Cơ Kết Cấu 1 PGS.TS. Trương Tích Thiện
Chương 4: Xác định chuyển vị trong hệ thanh phẳng
đàn hồi tuyến
t
í
nh


Nội dung
4.1. Biến dạng của thanh chịu kéo nén đúng tâm
4.2. Biến dạng góc của thanh chịu xoắn thuần túy
4.3. Biến dạng của thanh chịu uốn phẳng
4.4. Tính chuyển vị theo phương pháp năng lượng
















TRƯỜNG ĐẠI HỌC LẠC HỒNG KHOA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH

Bài giảng môn: Cơ Kết Cấu 1 PGS.TS. Trương Tích Thiện
4.1. Biến dạng của thanh chịu kéo nén đúng tâm
Trên mặt cắt ngang thanh chịu kéo (nén) đúng tâm chỉ có thành phần lực dọc
Nz tạo ra ứng suất pháp , ứng suất pháp sẽ gây ra biến dạng dài theo phương z.
Xét thanh chịu kéo nén đúng tâm dưới tác dụng của lực P (hình 4.1). Trong
chương tính bền môn sức bền vật liệu, ta đã có biểu thức


Hình 4.1
Biểu thức trên cho ta biết biến dạng dài tương đối của một đoạn dz nào đó thì
bằng tỷ số giữa lực dọc Nz của đoạn đó với độ cứng EF của thanh (E: hệ số
modulus đàn hồi của vật liệu, F: diện tích tiết diện ngang của thanh).
Từ kết quả trên ta tính độ biến dạng dài tuyệt đối trong đoạn dz:
(4.1)

Ta có thể phát triển công thức trên để tính biến dạng dài tuyệt đối cho cả đoạn
chiều dài A của thanh bằng phương pháp tích phân xác định:
(4.2)

Công thức (4.2) là công thức tổng quát để xác định biến dạng tuyệt đối cho cả
chiều dài A của thanh chịu kéo (nén) đúng tâm. Trong trường hợp tính toán cụ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC LẠC HỒNG KHOA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH
Bài giảng môn: Cơ Kết Cấu 1 PGS.TS. Trương Tích Thiện
thể ta có thể chia ra các trường hợp sau:
1) Nếu Nz = const, EF = const trong suốt chiều dài A của thanh thì:
(4.3)
2) Nếu Nz ≠ const, EF ≠ const, trường hợp này có thể là biểu đồ lực dọc thay đổi
theo từng đoạn, hay thanh được làm bằng nhiều loại vật liệu khác nhau nối lại (E
≠ const) hoặc cấu tạo thanh có mặt cắt ngang thay đổi. Để tính toán cho đơn giản,
ta nên chia thanh ra thành n đoạn sao cho trên mỗi đoạn có chiều dài là Ai thì

và biến dạng dài tuyệt đối của thanh sẽ được tính bằng công thức:

(4.4)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC LẠC HỒNG KHOA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH
Bài giảng môn: Cơ Kết Cấu 1 PGS.TS. Trương Tích Thiện
Thí dụ 4.1

Hình 4.2
Tính biến dạng dài tuyệt đối của thanh có sơ đồ chịu lực và kích thước như trên
hình
4.2.
Cho E = 2.105 N/mm
2
, diện tích mặt cắt ngang: F
AB
=
20
mm
2
,
F
BC
= 30 mm
2
, F
CD
=
60

mm
2
.

Để tính toán biến dạng dài tuyệt đối của thanh có biểu đồ NZ thay đổi theo từng
đoạn, ta dùng công thức (4.3).

Vậy biến dạng dài tuyệt đối của thanh là 0,01 mm.
4.2. Biến dạng góc của thanh chịu xoắn thuần túy
Khi thanh chịu xoắn (xoắn thuần túy hay uốn và xoắn đồng thời) trên mặt cắt
ngang có moment xoắn MZ. Thành phần nội lực này gây ra biến dạng góc gọi là
góc xoắn tương đối ϕ của thanh.
Cũng trong chương tính bền ta có biểu thức:
TRƯỜNG ĐẠI HỌC LẠC HỒNG KHOA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH
Bài giảng môn: Cơ Kết Cấu 1 PGS.TS. Trương Tích Thiện

Hình 4.3

Dựa vào biểu thức này ta cũng có lý luận và cách tính biến dạng góc khi thanh
chịu xoắn tương tự như khi tính biến dạng dài khi thanh chịu kéo nén ở phần trên.

(4.5)
GJ
O
: độ cứng của thanh; G: hệ số modulus đàn hồi trượt, J
O
: moment quán tính
chống xoắn của mặt cắt ngang đối với tâm O.
Đối với tiết diện tròn:

* Nếu Mz = const, GJ
O
= const:
* Nếu Mz ≠ const, GJ
O
≠ const, chia ra thành n đoạn sao cho
(4.6)
4.3. Biến dạng của thanh chịu uốn phẳng
4.3.1. Khái niệm
TRƯỜNG ĐẠI HỌC LẠC HỒNG KHOA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH
Bài giảng môn: Cơ Kết Cấu 1 PGS.TS. Trương Tích Thiện
 Khi thanh chịu uốn người ta thường gọi là dầm.
 Sau khi chịu uốn trục thanh vẫn nằm trong mặt phẳng tải trọng thì gọi là
uốn phẳng.
 Trục dầm sau khi bị biến dạng thì được gọi là đường đàn hồi. Trong mặt
phẳng Oyz, phương trình của đường đàn hồi được biểu diễn bằng hàm y = f(z).
Khảo sát biến dạng của dầm chịu tác dụng của lực P như hình 4.4.

Hình 4.4
 Xét một điểm K bất kỳ trên trục dầm, sau biến dạng điểm K dịch chuyển
đến K’, ta gọi KK’ là chuyển vị của thanh dầm tại K.
 Để tính toán được đơn giản, người ta phân KK’ thành hai thành phần:
 Thành phần u song song với trục z (nằm ngang), trong điều kiện dầm có
biến dạng bé chuyển vị u rất nhỏ so với v nên có thể bỏ qua.
 Thành phần v song song với trục y (thẳng đứng) được gọi là độ võng của
dầm. Ta thấy độ võng của dầm phụ thuộc
 vào tọa độ của mặt cắt ngang của dầm, nên có thể biểu diễn phương
trình của độ võng bởi hàm: v(z) = y(z) (phương trình đường đàn hồi).
 Trong quá trình chịu uốn mặt cắt ngang vẫn phẳng và xoay một góc , ta
gọi biến dạng góc là góc xoay của mặt cắt ngang. Do biến dạng bé, góc

xoay tại K xấp xỉ bằng hệ số góc của tiếp tuyến với đường đàn hồi tại
K’, cho nên ta có thể tính: θ(z) = y’(z) = v’(z)
Vậy đạo hàm bậc nhất của độ võng (hay đường đàn hồi) là góc xoay của mặt
cắt ngang khi dầm bị biến dạng.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC LẠC HỒNG KHOA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH
Bài giảng môn: Cơ Kết Cấu 1 PGS.TS. Trương Tích Thiện
Tóm lại, khi tính biến dạng cho thanh chiụ uốn ta cần tính:
 Độ võng: v(z) = y(z)
 Góc xoay: (z) = y’(z)
Như vậy, để tính độ võng hay góc xoay, ta phải biết hàm y’(z), có nghĩa là ta cần
phải có phương trình của đường đàn hồi.
4.3.2. Phương trình vi phân gần đúng của đường đàn hồi
Xét một đoạn cong dz của đường đàn hồi. Gọi dx là biến dạng góc của hai mặt
cắt ngang khi dz bị uốn cong và đ: bán kính cong của đường đàn hồi. Trong
điều kiện biến dạng và kích thước bé ta có mối quan hệ:
(1)

Trong chương tính bền, ta đã chứng minh được biểu thức

Do đó:
(2)
Mặt khác, theo toán học đường đàn hồi được biểu diễn bởi hàm y(z), nên độ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC LẠC HỒNG KHOA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH
Bài giảng môn: Cơ Kết Cấu 1 PGS.TS. Trương Tích Thiện
cong của nó được tính theo công thức:
(3)
So sánh giữa (2) & (3), ta có thể viết:
(4)
Phương trình (4) là phương trình vi phân tổng quát của đường đàn hồi.
Tuy nhiên, để tính toán được đơn giản và có kết quả đúng với thực tế, ta có thể

xem vô cùng bé bậc cao 1 + y’2(z) ≈ 1 và chọn một dấu sao cho phù hợp với quy
ước dấu của y”(z) và Mx (lưu ý rằng EJ
x
là độ cứng của dầm, là đại lượng
luôn dương).

Hình 4.6
Để xét dấu giữa y”(z) và Mx, ta khảo sát quan hệ của chúng qua sự biến dạng
trong hệ trục Oyz. Ta nhận thấy
TRƯỜNG ĐẠI HỌC LẠC HỒNG KHOA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH
Bài giảng môn: Cơ Kết Cấu 1 PGS.TS. Trương Tích Thiện

y”(z) và Mx luôn ngược dấu nhau, nên phương trình vi phân gần đúng của
đường đàn hồi sẽ là:
(4.7)
Dựa vào (4.7), ta có thể tính độ võng và góc xoay bằng phưong pháp tích
phân bất định.
4.3.3. Tính độ võng và góc xoay bằng phương pháp tích phân bất định
Từ sơ đồ ngoại lực đã cho ta viết được biểu thức moment uốn là hàm Mx(z). Từ
đó ta thiết lập phương trình vi phân gần đúng của đường đàn hồi:

Tích phân lần thứ nhất ta sẽ được phương trình của góc xoay:
(4.8)
Tích phân lần thứ hai ta sẽ được phương trình của độ võng hay phương trình của
đường đàn hồi: