CHUYÊN ĐỀ CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY TRONG TAM GIÁC

CHUYÊN ĐỀ CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY TRONG TAM GIÁC
Dạng 1: Đường trung tuyến
Bài 1. Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau ở G. Cho biết
�
�
BD < CE, so sánh GBC và GCB

Bài 2. Tam giác ABC có các đường trung tuyến BC và CE bằng nhau. Chứng minh
ABC là tam giác cân.
Bài 3. Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của BM. Trên
tia đối của tia IA lấy điểm E sao cho IE = IA.
a) Điểm M là trọng tâm của tam giác nào?
b) Gọi F là trung điểm của CE. Chứng minh 3 điểm A, M, F thẳng hàng.
Bài 4. Chứng minh rằng trong một tam giác, mỗi đường trung tuyến nhỏ hớn tổng hai
đường trung tuyến kia.
Bài 5. Chứng minh rằng trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh
huyền bằng một nửa cạnh huyền.
Bài 6. Chứng minh rằng nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh
bằng một nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vng.
Dạng 2: Tia phân giác
�

Bài 7. Tam giác ABC có A  120�, tia phân giác của góc A cắt BC ở D. Tia phân giác
góc ADC cắt đường thẳng BA ở I. Gọi K và E là chân đường vng góc kẻ từ I đến
AC và BC. Chứng minh rằng IK = IE.
Bài 8. Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Kẻ tia Mx vng
góc BC (tia Mx và A nằm khác phía đối với BC). Trên tia Mx lấy điểm E sao cho ME
= MB.
a) Tam giác BEC là tam giác gì?
b) Gọi H và K là chân các đường vng góc kẻ từ E đến các đường thẳng AB và
�

�

AC. Chứng minh: BEH  CEK
c) Chứng minh rằng AE là tia phân giác của góc A.
�

Bài 9. Cho tam giác ABC có A  100�. Gọi CD là tia đối của tia CB. Tia phân giác của
góc B cắt tia phân giác của góc ACD tại K. Tính số đo góc BAK
Bài 10. Cho tam giác ABC có đường phân giác góc B và C cắt nhau tại I. Qua I kẻ
đường thẳng song song với AB cắt AC và BC ở D và E.
Chứng minh rằng DE = AD + BE


Bài 11. Cho tam giác ABC vuông tại A. Các tia phân giác của các góc B và C cắt

H �BC 
nhau tại K. Kẻ KH vng góc BC 
. Biết HK = 1cm, HB = 2cm, HC = 3cm.
Tính chu vi tam giác ABC.

Bài 12. Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm D trên cạnh AB sao cho
1
1
�
�
ACD  �
ACB
ABE  �
ABC

3
3
. Lấy điểm E trên cạnh AC sao cho
. BE và CD cắt nhau tại

O. Gọi K là giao điểm của các đường phân giác trong tam giác OBC. Tam giác DEK
là tam giác gì?
Bài 13. Tam giác ABC có I là giao điểm các tia phân giác của góc B và C. Gọi D là
H �BC 
giao điểm của AI và BC. Kẻ IH vuông góc với BC 
. Chứng minh rằng
�  CID
�
BIH
�
Bài 14. Cho tam giác ABC có C  30�. Tia phân giác của B� và đường phân giác góc
ngồi tại A cắt nhau ở E. Tính số đo góc BCE.

Bài 15. Tam giác ABC cân tại A. Tia phân giác của góc A cắt đường trung tuyến BD
tại K. Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh rằng 3 điểm I, C, K thẳng hàng.

 . Các tia
Bài 16. Cho tam giác ABC vng tại A. Kẻ AH vng góc với BC 
phân giác của các góc HAC và AHC cắt nhau ở I. Tia phân giác của góc HAB cắt BC
ở D. Chứng minh rằng CI đi qua trung điểm của AD.
H �BC

Dạng 3. Đường trung trực