bài 2 HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG toán lớp 11

BÀI 2
Chương III

LỚP HÌNH HỌC

11

HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC


BÀI 2
Chương III

LỚP HÌNH HỌC

11

LỚP

HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC

11

HÌNH HỌC

Chương 3: VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN.
QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN

Bài 2
HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC
I

TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN

II

VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG

III

GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN

IV

HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC


BÀI 2
Chương III

LỚP HÌNH HỌC

11

HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC

Câu 1 Nêu cách xác định góc giữa hai vectơ và đều khác trong hình học phẳng.
Trả lời

Trong mặt phẳng cho hai véctơ và đều khác véc tơ và một điểm O bất kì.

A
Góc giữa
hai vectơ

O

B


BÀI 2
Chương III

LỚP HÌNH HỌC

11

HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC

Câu 2 a) Nêu định nghĩa tích vơ hướng của hai vectơ trong mặt phẳng?
Từ đó suy ra cách tính góc của 2 véc tơ?
b) Điền vào bảng bên dưới.
Trả lời
a) Trong mặt phẳng, cho ,  .
Tích vơ hướng của hai vectơ và là một số, kí hiệu
= .cos()


BÀI 2
Chương III

LỚP HÌNH HỌC

11

HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC

Câu 2 a) Nêu định nghĩa tích vơ hướng của hai vectơ trong mặt phẳng?
Từ đó suy ra cách tính góc của 2 véc tơ?
b) Điền vào bảng bên dưới.
Trả lời

= .cos()

b) Cho và
Góc

cos

• ( Hai véc tơ cùng hướng)

 

1

 

• ( Hai véc tơ vng góc)

 

0

 

0

• ( Hai véc tơ ngược hướng)

 

-1

 

-

Khi ta được
Hay


BÀI 2
Chương III

LỚP HÌNH HỌC

HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC

11
TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN
I

1 Góc giữa hai vectơ trong khơng gian
Định nghĩa

Trong khơng gian, cho .



A

,
Kí hiệu là góc giữa hai vectơ và

Ví Cho
dụ 1:
tứ diện đều ABCD có H là trung điểm của

cạnh AB. Hãy tính góc giữa các cặp vectơ.
( AB , AC ) = BAC = 60





( CD , DA )

= ADE = 120

( CH , BC )

= HCF = 1500

0

C



B



C



A



E

H

B

0





D



F


BÀI 2
Chương III

LỚP HÌNH HỌC

HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC

11
TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN
I
1 Góc giữa hai vectơ trong không gian
Định nghĩa

Trong mặt phẳng, cho u , v  0.

Tích vơ hướng của hai vectơ u và v là một số, kí hiệu u . v
u . v = |u| . |v| .cos( u , v )
Tính chất

Quy ước : Nếu u = 0 hoặc v = 0 thì: u . v = 0

BÀI 2
Chương III

LỚP HÌNH HỌC

HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC

11
TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN
I
1 Góc giữa hai vectơ trong không gian
Nhận xét

* Nếu u và v cùng hướng thì u . v =|u|.|v|
* Nếu u và v ngược hướng thì u . v = -|u|.|v|
* Nếu u và v vng góc thì u . v = 0
* Ta có u =|u|
2

2


BÀI 2
Chương III

LỚP HÌNH HỌC

HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC

11

TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN
I
1 Góc giữa hai vectơ trong khơng gian
Bài tập :
2 Dạng 1:Tính tích vơ hướng của hai véctơ trong không gian
Phương pháp:
- Áp dụng cơng thức:
- Sử dụng tính chất và các nhận xét.
Dạng 2:Tính góc của hai véctơ trong khơng gian
1

Phương
pháp:
1
Cách 1: Áp dụng định nghĩa góc của 2 véc tơ trong khơng gian.
Cách 2: Sử dụng các nhận xét và tính chất


BÀI 2
Chương III

LỚP HÌNH HỌC

HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC

11
TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN
I
1 Góc giữa hai vectơ trong khơng gian
Dạng 1: Tính tích vơ hướng của hai véctơ trong khơng gian

Ví dụ 1

Cho góc giữa và bằng .
Tính tích vơ hướng của hai véctơ và

Bài giải


BÀI 2
Chương III

LỚP HÌNH HỌC

HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC

11
TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN
I
1 Góc giữa hai vectơ trong khơng gian
Dạng 1: Tính tích vơ hướng của hai véctơ trong khơng gian
Ví dụ 2

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vng cạnh a,
và tam giác ABC vng tại A. Khi đó

Bài
giải

S

B

A

D

C


BÀI 2
Chương III

LỚP HÌNH HỌC

HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC

11
TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN
I
1 Góc giữa hai vectơ trong khơng gian
Dạng 1: Tính tích vơ hướng của hai véctơ trong khơng gian

Ví dụ 3 Cho hình lập phương có cạnh . Gọi là trung điểm . Giá trị là:

A. .

B. .

C. .

D. .

Bài giải

B'

A'

D'

C'

A

B

M

D

C


BÀI 2
Chương III

LỚP HÌNH HỌC

HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC

11
TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN
I
1 Góc giữa hai vectơ trong khơng gian
Dạng 2:Tính góc của hai véctơ trong khơng gian
Ví dụ 1

Cho hình lập phương .
Hãy tính góc giữa cặp vectơ và?
A. .

B. .

C. .

D. .

Bài giải

F

E

Ta có: (do là hình chữ nhật)
H

.
(Vì là hình vng)

G

A

D

B

C


BÀI 2
Chương III

LỚP HÌNH HỌC

HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC

11
TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN
I
1 Góc giữa hai vectơ trong khơng gian
Dạng 2:Tính góc của hai véctơ trong khơng gian

Ví dụ 2
Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đơi một vng góc và . Gọi M là
trung điểm AB. Tính góc giữa hai vectơ OM và BC.
Bài giải
cos(OM , BC) =

OM . BC

=

OM . BC

C

= OM . BC

2
. 2
2
1
Mặt khác OM . BC = (OA + OB).(OC - OB)
2
12
= ( OA .OC - OA .OB + OB .OC - OB )
2
Vì OA, OB, OC đơi một vng góc và OB = 1 nên:
OM . BC

OA . OC = OA . OB = OB . OC = 0, OB = 1

2

BC = 2

OM =

O

AB
2

=

2
2

B
A

M

Suy ra: cos(OM , BC) = Vậy: (OM , BC) = 1200

1
2


BÀI 2
Chương III

LỚP HÌNH HỌC

HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC

11
TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN
I

1 Góc giữa hai vectơ trong khơng gian
Dạng 2:Tính góc của hai véctơ trong khơng gian
Ví dụ 3 Cho hình chóp có , các cạnh cịn lại đều bằng .

Góc giữa hai vectơ và bằng
A. .

B. .

C. .

D. .

Bài giải

Ta có

Suy ra .


BÀI 2
Chương III

LỚP HÌNH HỌC

HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC

11
TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN
I

1 Góc giữa hai vectơ trong khơng gian
Dạng 2:Tính góc của hai véctơ trong khơng gian
Ví dụ 4

Cho hình lập phương . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ
và ?
A.

B.

C.

D.

Bài giải

F

E

H

G

A

D

B

C


BÀI 2
Chương III

LỚP HÌNH HỌC

HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC

11
II VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG
Định nghĩa
Vectơ a khác vectơ - không được gọi là
vectơ chỉ phương của đường thẳng d
nếu giá của vectơ song song hoặc trùng
với đường thẳng d
k 0

a

(d)



a
(d’)

b

a

a

ka

(d)

(d)

b

(d1)
(d2)

A

d1 // d2  a , b cùng phương


BÀI 2
Chương III

LỚP HÌNH HỌC

HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC

11
II VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG
Ví dụ 1

Bài giải

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ . Véctơ chỉ phương của đường
thẳng AC là

Vì A’C’//AC

C'

B'

A'
D'

B
C

A

D


BÀI 2
Chương III

LỚP HÌNH HỌC

HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC

11
III GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG
GIAN
Định nghĩa

b

Góc giữa hai đường thẳng a và b trong
a
khơng gian là góc giữa hai đường thẳng
a’
O

a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt
song song với a và b
Gọi  là góc giữa hai đường thẳng thì 00    900



a

a



O

a’
b



u

b
00  ( u , v )  900

v
Góc giữa hai đường thẳng
a và b bằng ( u , v )

b’

b

a
v



u
( u , v ) > 900

Góc giữa hai đường thẳng
a và b bằng 1800 – ( u , v )


BÀI 2
Chương III

LỚP HÌNH HỌC

HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC

11
III GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG
GIAN

Phương pháp xác định góc giữa hai đường thẳng
Phương pháp chung xác định góc giữa hai đường thẳng trong không gian?
Phương pháp
Phương pháp dùng định nghĩa

1:
Bước 1:Chọn 1 điểm trên đường thẳng này và kẻ đường thẳng song song với đường

kia.
Bước 2:

Dựa vào hệ thức lượng trong mặt phẳng để tính góc đó.

Phương pháp 2:

Phương pháp vectơ

Bước Dựa vào tích vơ hướng để tính góc giữa 2 vectơ chỉ phương của 2 đường
1:
thẳng.
Bước
2:

Từ góc giữa 2 vectơ chỉ phương suy ra góc giữa 2 đường thẳng.


BÀI 2
Chương III

LỚP HÌNH HỌC

HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC

11
III GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG
GIAN
Ví dụ 1
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính góc giữa các cặp đường
thẳng sau đây:
a) AB và B’C’ b) AC và B’C’



Bài giải



B’

Góc giữa AB và B’C’ bằng góc

ABC = 90

Góc giữa AC và B’C’ bằng góc

ACB = 45

0



A’



C’



D’

B

0



A



C



D


BÀI 2
Chương III

LỚP HÌNH HỌC

HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC

11
III GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG
GIAN
Ví dụ 2

Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a, BC =
Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC.

Bài giải
Ta có:



Tam giác ABC có AB2 + AC2 = 2a2 = BC2
nên tam giác ABC vuông tại A  = 0
Tam giác SAB đều nên () = 120



0

Do đó: = a.a.cos120 =
Vậy:

a

a
a

A

0

 = 120

0

S

a



C

a 2



B


BÀI 2
Chương III

LỚP HÌNH HỌC

HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC

11
III GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG
GIAN
Ví dụ 3 Cho hình lập phương có , tương ứng là trung điểm của và . Góc
giữa hai đường thẳng và bằng:
A. 45o.
B. 60o
C. 30o .
D. 120o.
Bài giải
Gọi là trung điểm của

Vì là hình vng nên ,
suy ra góc giữa và bằng góc giữa và .
Ta có ; ;
Vì là hình lập phương nên:
suy ra
Suy ra tam giác là tam giác đều, suy ra .

Vậy góc giữa hai đường thẳng và bằng .


BÀI 2
Chương III

LỚP HÌNH HỌC

HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC

11
III GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG
GIAN
Ví dụ 4 Cho hình chóp có đáy là hình vng cạnh là ; cạnh và vng góc với
đáy. Gọi là trung điểm của . Tính với là góc tạo bởi hai đường thẳng và .
A. .
B. .
C. .
D. .
Bài giải
Gọi , lần lượt là trung điểm và .

.

Suy ra : .

Xét có , , .
Khi đó

.

BÀI 2
Chương III

LỚP HÌNH HỌC

HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC

11
III GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG
GIAN
Ví dụ 5
Cho tứ diện đều cạnh . Gọi là trung điểm của . Tính cơsin của góc
giữa hai đường thẳng và ?
A. .
B. .
C. .
D. .
Bài giải

Gọi là trung điểm . Khi đó:
Dễ dàng tính được và .

nên

Trong , ta có:

Vậy