Chương III - Bài 2: Hai đường thẳng vuông góc

TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THƠNG BÀ ĐIỂM

TẬP THỂ LỚP 11A5

GIÁO VIÊN: LÂM THỊ MỸ NGA


BÀI 2

HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC


Cho 2 đường thẳng ∆1, ∆2 cắt nhau, khi đó tạo
thành 4 góc.Góc nhỏ nhất trong 4 góc là góc giữa
2 đường thẳng ∆1, ∆2 .
00 ≤ (∆1, ∆2 ) ≤ 900
∆1 ≡ ∆2 ( hoặc ∆1 // ∆2)⇔(∆1, ∆2 ) = 00
∆1 ⊥ ∆2 ⇔ (∆1, ∆2 ) =900
∆1

O
∆2


I. Góc giữa 2 đường thẳng :
1. Định nghĩa:
Cho hai đường thẳng ∆ 1 và ∆ 2 bất kỳ trong khơng
gian, góc giữa hai đường thẳng ∆ 1 và ∆ 2 là góc giữa
hai đường thẳng ∆ ’1 và ∆ ’2 cùng đi qua một điểm
và lần lượt cùng phương với ∆ 1 và ∆ 2

Kí hiệu : (∆ 1 , ∆ 2) = ( ∆ , ∆
'
1

'
2

)

∆1

O
•

∆

'
1

∆ '2

O
•

∆

'
1

O

4

•
2 3
∆2

1

∆'2


NHẬN XÉT
Góc gữa hai đường thẳng khơng vượt q 900
Xác định góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2, ta có thể
lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng.
uu uu
r r
uuu u 2 là hai vectơ chỉ phương của ∆ và ∆ và
1r uu
, r
1
2
( u1, u 2 ) = α :
nếu 00 ≤ α ≤ 900 thì (∆ 1 , ∆ 2) = α
uu
r
u1
nếu α ≥ 900 thì (∆ 1 , ∆ 2) = 1800 − α
'

∆1
∆1
uu
r
uu
r
u2 α
α u2
O
'
∆ '2 ∆1
O

•

O
•

•

∆2

∆

'
2


2. Ví dụ:
a. Cho hình chóp SABC có SA = SB = SC = AB = AC

= a và BC = a 2 . Tính góc giữa hai đường thẳng SC
rr
r r
r r
và AB
a.b = a b cos a, b
Giải
S

(

∆ABC vuông cân tại A ,∆SBC vuông cân tại S
∆SAC, ∆SAB đều

)

a

a
cos( SC , AB ) = SC.AB
SC.AB
a
( SA + AC )AB
=
a
A
B
SC.AB
−AS .AB + AC .AB
a

2
=
a
SC.AB
a2
C
−AS . ABcosSAB + 0 − 2
= − 1 ⇒(SC, AB)= 1200
=
=
a2
2
SC.AB
Vậy: (SC, AB) = 600


Cách 2
a
Ta có: OM = MN =
2
a
a 3
a 5
SO =
BO =
M
2
2
ON là trung tuyến ∆SOB, ta có :
OS2 + OB2 SB2 3a2 A

−
ON2 =
4 = 4
a •
2
O
Áp dụng hệ quả đl cosin của ∆OMN
C
2
2
2
OM + MN – ON
cosOMN =
2MN. MO
a2
4
= − a a = − 1 ⇒ OMN = 1200
2. .
2
2 2
Vậy: (SC, AB) = (OM,MN ) = 600

S
a

N
a
a

B

a

2

Chon O Dan do Cung co


Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của BC và AD. Biết AB = CD = 2a và MN = a 3
Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD
A

Gọi O là trung điểm của AC
⇒ OM , ON lần lượt là ĐTB của
∆ABC, ∆ACD.
⇒ OM = ON = a và OM // AB,
ON // CD
B
⇒ (AB, CD) = (OM, ON)

Áp dụng hệ qủa đl cosin cho ∆MON :

2a

a

•N

O•
a

a 3

D
M

•

2a

C
OM2 + ON2 – MN2 = − 1
cosMON =
2
2OM. ON
⇒ MON = 1200
Vậy: (AB, CD) = (OM, ON) = 600

Cc


CỦNG CỐ
Định nghĩa góc giữa hai đường thẳng trong khơng gian:
Góc giữa hai đường thẳng ∆ 1 và ∆ 2 là góc giữa hai
đường thẳng ∆ ’1 và ∆ ’2 cùng đi qua một điểm và
lần lượt cùng phương với ∆ 1 và ∆ 2
Số đo góc giữa hai đường thẳng :
00 ≤ (∆ 1, ∆ 2 ) ≤ 900
Nếu góc giữa 2 vectơ chỉ phương của hai đường thẳng
là 300 thì góc giữa hai đường thẳng là bao nhiêu độ ?

(∆ 1, ∆ 2 ) = 300
Nếu góc giữa 2 vectơ chỉ phương của hai đường thẳng
là 1700 thì góc giữa hai đường thẳng là bao nhiêu độ ?
(∆ 1, ∆ 2 ) = 1800 – 1700 = 100

Dan do


S
a

a

N

M
a
a

A
a

B

•

O

a

2

C

Dan do c2 Cung co


Buổi học kết thúc