Tài liệu Hình học Euclid và phi Euclid pdf

Hình học Euclid
Euclide
Hình học Euclide (Ơclit) là bộ môn hình học cổ điển được xây dựng dựa trên cơ sở công
nhận, không chứng minh
hệ tiên đề sau của Euclide:
•
Hai điểm bất kỳ không trùng nhau xác định một đường thẳng và chỉ duy nhất một
đường thẳng đó.

Đường thẳng qua hai điểm A, B

3 điểm A, B, C xác định mặt phẳng
•
Ba điểm bất kỳ không thẳng hàng (hay không nằm trên một đường thẳng) xác
định một và chỉ duy nhất một mặt phẳng.
•
Nếu có ít nhất hai điểm khác nhau của một đường thẳng mà cùng thuộc về một
mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đó đều thuộc về mặt phẳng đó.

Đường thẳng trên mặt phẳng

2 mặt phẳng giao nhau
•
Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng ít nhất còn có một điểm chung
nữa.
•
Từ một điểm bất kì nằm ngoài một đường thẳng, có thể kẻ được một và duy nhất
chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó. (Tiên đề song song) Phát
biểu khác:
o
Nếu hai đường thẳng cắt một đường thẳng thứ ba tạo ra hai góc trong cùng

phía có tổng nhỏ hơn hai góc vuông, thì hai đường đó khi kéo dài đủ xa
phải cắt nhau về phía ấy.
o
Hoặc đơn giản: tổng các góc trong một tam giác bằng 180°

Đường thẳng song song

Hai đường thẳng vuông góc
•
Từ một điểm bất kì nằm ngoài một đường thẳng, có thể kẻ được một và duy nhất
chỉ một đường thẳng vuông góc với đường thẳng đó.
Hình học phi Euclide
Hình học phi Euclid là bộ môn hình học dựa trên cơ sở phủ nhận ít nhất một trong số
những tiên đề Euclid. Hình học phi Euclid được bắt đầu bằng những công trình nghiên
cứu của Lobachevsky (được Lobachevsky gọi là hình học trừu tượng) và phát triển bởi
Bolyai, Gauss, Riemann.
Hình học phi Euclid là cơ sở toán học cho lý thuyết tương đối của Albert Einstein, thông
qua việc đề cập đến độ cong hình học của không gian nhiều chiều.


Sơ thảo về các hình học phi Euclid
Hình học Euclid
Hình học Euclid dựa trên cơ sở công nhận, không cần chứng minh hệ thống các tiên đề
sau:
•
Hai điểm bất kỳ không trùng nhau xác định một đường thẳng và chỉ duy nhất một
đường thẳng đó.
•
Ba điểm bất kỳ không thẳng hàng (hay không nằm trên một đường thẳng) xác
định một và chỉ duy nhất một mặt phẳng.

•
Nếu có ít nhất hai điểm khác nhau của một đường thẳng mà cùng thuộc về một
mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đó đều thuộc về mặt phẳng đó.
•
Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng ít nhất còn có một điểm chung
nữa.
•
Từ một điểm ngoài một đường thẳng, có thể kẻ được một và duy nhất chỉ một
đường thẳng song song với đường thẳng đó. (Tiên đề song song)
Lưu ý, các tiên đề Euclid ngầm hiểu là áp dụng trong hình học phẳng.
Hình học Lobachevsky
Hình học Lobachevsky (còn gọi hình học hyperbolic) do nhà toán học Nga Nikolai
Ivanovich Lobachevsky khởi xướng, dựa trên cơ sở bác bỏ tiên đề về đường thẳng song
song. Lobachevsky giả thiết rằng từ một điểm ngoài đường thẳng ta có thể vẽ được hơn
một đường thẳng khác, nằm trên cùng mặt phẳng với đường thẳng gốc, mà không giao
nhau với đường thẳng gốc (
đường thẳng song song). Từ đó, ông lập luận tiếp rằng từ
điểm đó, có thể xác định được vô số đường thẳng khác cũng
song song với đường thẳng
gốc, từ đó xây dựng nên một
hệ thống lập luận hình học logic.
Để xem xét hình học Lobachevsky ứng dụng vào
lý thuyết không-thời gian cong, cần
thiết phải xem lại khái niệm đường thẳng nối hai điểm. Trong lý thuyết tương đối rộng,
trong
cơ học lượng tử và trong vật lý thiên văn, người ta mặc nhiên thừa nhận đó là
đường đi của
tia sáng-sóng điện từ giữa hai điểm đó.
Trong hình học Euclid, tổng các góc trong của một tam giác bằng 180°, nhưng trong hình
học phi Euclid, tổng các góc đó không bằng 180°, và phụ thuộc vào kích thước của tam

giác đó.
Hình học Elliptic

Trong hình học Hyperbolic, tổng các góc
trong một tam giác nhỏ hơn 180°

Trên hình học mặt cầu, tổng các góc trong
của một tam giác cầu lớn hơn 180°