Phân tích khớp dẻo cho khung thép bằng phương pháp lực

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

TRẦN LÊ ANH VŨ

PHÂN TÍCH KHỚP DẺO CHO KHUNG THÉP
BẰNG PHƯƠNG PHÁP LỰC
Chun ngành :

Xây dựng cơng trình dân dụng và công nghiệp

Mã số ngành

60 58 20

:

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP. Hồ Chí Minh, tháng 6 năm 2013


CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học:
Cán bộ hướng dẫn 1: PGS. TS. NGUYỄN VĂN YÊN
Cán bộ hướng dẫn 2: TS. NGÔ HỮU CƯỜNG
Cán bộ chấm nhận xét 1:
Cán bộ chấm nhận xét 2:

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG TP. HCM,
ngày … tháng … năm 2013.
Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm:
1. ........................................................................................
2. ........................................................................................
3. ........................................................................................
4. ........................................................................................
5. ........................................................................................
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG

TRƯỞNG KHOA
KỸ THUẬT XÂY DỰNG


i
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

Độc Lập - Tự Do - Hạnh Phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ và tên học viên: TRẦN LÊ ANH VŨ

MSHV: 11211027

Ngày, tháng, năm sinh: 17/8/1986

Nơi sinh: Phú n

Chun ngành: Xây dựng cơng trình dân dụng và cơng nghiệp
I.

Mã số: 605820

TÊN ĐỀ TÀI: PHÂN TÍCH KHỚP DẺO CHO KHUNG THÉP BẰNG
PHƯƠNG PHÁP LỰC

II. NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG
1.

Áp dụng phần tử hữu hạn khung theo phương pháp khớp dẻo thớ có kể đến ảnh
hưởng của ứng suất dư, phi tuyến vật liệu và chiều dài khớp dẻo.

2.

Sử dụng giải thuật lặp phi tuyến Newton-Raphson để giải bài toán khung thép
phẳng chịu tác dụng của lực tĩnh.

3.

Phát triển chương trình tính tốn bằng ngơn ngữ lập trình MATLAB.

4.

So sánh kết quả đạt được với kết quả từ các tài liệu tham khảo để chứng tỏ độ
tin cậy của chương trình đã phát triển. Nêu nhận xét và kết luận.

III. NGÀY GIAO NHIỆM VỤ:

02/07/2012

IV. NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ:

21/06/2013

V. HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN:
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN 1:

PGS.TS. NGUYỄN VĂN YÊN

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN 2:

TS.

NGÔ HỮU CƯỜNG
Tp. HCM, ngày ... tháng ... năm 2013

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

BAN QUẢN LÝ CHUYÊN NGÀNH

PGS. TS. NGUYỄN VĂN YÊN
TS. NGÔ HỮU CƯỜNG
TRƯỞNG KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG


ii

LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, tôi muốn gửi lời cảm ơn chân thành đến tất cả những người đã
quan tâm, giúp đỡ tôi về chuyên môn, vật chất và tinh thần trong suốt thời gian theo
học chương trình đào tạo Thạc sĩ tại trường Đại học Bách Khoa TP.HCM.
Trước hết, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Nguyễn Văn Yên đã
tận tình hướng dẫn, động viên, nhắc nhở kịp thời để giúp tơi hồn thành luận văn.
Đặc biệt, tôi xin được cảm ơn TS. Ngô Hữu Cường đã trực tiếp hướng dẫn,
cung cấp tài liệu cũng như những lời khuyên quý báu để giúp tôi trong q trình
thực hiện luận văn.
Tơi xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô Khoa Kỹ thuật Xây dựng, trường Đại
Học Bách Khoa Tp. HCM đã truyền dạy cho tôi những kiến thức quý báu trong quá
trình học tại tại trường.
Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đối với Ba-Mẹ cùng các anh chị em trong
gia đình, những người đã không ngừng quan tâm, động viên tôi trong q trình hồn
thành hơn một năm rưỡi chương trình đào tạo Thạc sĩ .
Luận văn thạc sĩ đã hoàn thành với sự nỗ lực của bản thân, tuy nhiên không thể
tránh những thiếu sót. Kính mong q Thầy Cơ chỉ dẫn thêm và có những lời
khun bổ ích cho tơi.
Xin trân trọng cảm ơn.
Tp. HCM, ngày 21 tháng 6 năm 2013

TRẦN LÊ ANH VŨ


iii

TÓM TẮT
Một phần tử hữu hạn dựa trên phương pháp khớp thớ cho cấu kiện khung thép
phẳng được áp dụng trong luận văn này. Phần tử này có kể đến ứng suất dư và tác

động phi tuyến vật liệu.
Phương pháp lực được áp dụng để thiết lập ma trận độ mềm thơng qua hàm
nội suy lực, trong đó hàm nội suy này được thiết lập dựa vào sự cân bằng lực và có
dạng đơn giản hơn hàm nội suy chuyển vị rất nhiều. Phương pháp này khắc phục
được hai nhược điểm lớn của phương pháp chuyển vị truyền thống đó là nó đúng
với mọi cấu kiện có mặt cắt ngang khơng chỉ là hình lăng trụ và khơng cần chia cấu
kiện thành nhiều phần tử để có kết quả hội tụ. Với việc chỉ sử dụng một phần tử trên
một cấu kiện, phương pháp lực làm tăng hiệu quả tính tốn, giảm dung lượng bộ
nhớ đệm của máy tính và tiết kiệm thời gian.
Để phản ánh sự chảy dẻo trong cấu kiện khung, luận văn này sử dụng phương
pháp khớp dẻo và có kể đến chiều dài của khớp dẻo. Khớp dẻo này được giả thuyết
xảy ra ở hai đầu mút của phần tử, trong khi đó, phần cịn lại của phần tử được xem
như vẫn ứng xử đàn hồi phi tuyến. Phương pháp tích phân số Gauss-Radau được sử
dụng trong luận văn vì có những ưu điểm hơn so với các phương pháp khác.
Phương pháp giải lặp Newton-Raphson được áp dụng để giải hệ phương trình
cân bằng gia tăng. Một chương trình máy tính được viết bằng ngơn ngữ lập trình
MATLAB được phát triển dựa trên thuật tốn đề xuất và kết quả số của nó được so
sánh với các kết quả khác có sẵn để chứng minh tính chính xác và sự hiệu quả của
phương pháp áp dụng.


iv

ABSTRACT
A finite element based on fiber-hinge concept for modeling steel frame
members by is applied in this thesis. The element is capable of including residual
stresses and the effects of material nonlinearity.
The forced-based method is applied to formulate the flexibility stiffness matrix
by using force interpolation function, which is derived by the force equilibrium and
is more simple than displacement interpolation function. This method overcomes

two disadvantages of traditional displacement-based method because it is accurate
for all members, including members with non-prismatic sections, and the member
need not to divide into many elements in order to have converged solution. With
modeling only one element for member, the force-based method increases
computational efficiency and then saves the solving time.
To reflect the inelastic behavior of frame members, this thesis applies the
fiber-hinge method and considers the length of hinge. This plastic hinge is assumed
to be lumped at both ends of the element, whereas the remaining of the element is
considered to be elastic. The Gauss-Radau integration method is used because it has
more advantages compared with the others.
The Newton-Raphson incremental-iterative algorithm is applied to solve the
equations of equilibrium in incremental form. A computer program written in
MATLAB programing language is developed based on the proposed nonlinear
algorithm and its numerical results are compared with other existing results to
validate the accuracy and efficiency of the proposed program.


v

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công việc do chính tơi thực hiện dưới sự hướng dẫn
của PGS. TS. Nguyễn Văn Yên và TS. Ngô Hữu Cường.
Các kết quả trong luận văn là đúng sự thật và chưa được công bố ở các nghiên
cứu khác.
Tôi xin chịu trách nhiệm về cơng việc thực hiện của mình.
Tp. HCM, ngày 21 tháng 06 năm 2013

TRẦN LÊ ANH VŨ

1

MỤC LỤC
NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ ..................................................................I 
LỜI CAM ĐOAN ............................................................................................. V 
DANH MỤC HÌNH VẼ .................................................................................... 3 
DANH MỤC BẢNG BIỂU ............................................................................... 5 
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT ...................................... 6 
CHƯƠNG I. TỔNG QUAN ................................................................................ 8 
I.1. Đặt vấn đề ................................................................................................ 8 
I.2. Tình hình nghiên cứu ............................................................................... 9 
I.2.1 Tình hình nghiên cứu ngồi nước ................................................... 9 
I.2.2 Tình hình nghiên cứu trong nước ................................................. 11 
I.3. Mục tiêu của đề tài ................................................................................. 11 
I.4. Cấu trúc luận văn ................................................................................... 12 
CHƯƠNG II. MƠ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN ............................................ 13 
II.1. Phần tử hữu hạn theo phương pháp lực ................................................ 13 
II.2. Phương pháp tích phân khớp dẻo ......................................................... 15 
II.2.1 Tích phân điểm giữa .................................................................... 17 
II.2.2 Tích phân điểm đầu ..................................................................... 17 
II.2.3 Tích phân hai điểm Gauss-Radau ............................................... 18 
II.2.4 Tích phân hai điểm Gauss-Radau cải tiến .................................. 19 
II.3. Mơ hình phần tử thớ ............................................................................. 21 
CHƯƠNG III. CHƯƠNG TRÌNH TÍNH TỐN ............................................ 27 
III.1. Thuật giải phi tuyến ............................................................................ 27 
III.1.1 Các giả thuyết và phương trình quan hệ cơ bản ........................ 27 
III.1.2 Xác định trạng thái phần tử bằng phương pháp lực .................. 28 
III.2. Lưu đồ tính tốn .................................................................................. 40 
CHƯƠNG IV. VÍ DỤ ÁP DỤNG ...................................................................... 43 
IV.1. Dầm công xôn chịu tải tập trung tại đầu tự do ................................... 43 

2

IV.2. Cột đầu ngàm đầu khớp chịu tải trọng uốn – nén đồng thời .............. 48 
IV.3. Khung một tầng hai nhịp .................................................................... 51 
IV.4. Khung cổng Vogel 1 tầng ................................................................... 53 
CHƯƠNG V. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ................................................... 58 
V.1. Kết luận ................................................................................................ 58 
V.2. Kiến nghị .............................................................................................. 59 
TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................. 60 
PHỤ LỤC ........................................................................................................ 62 
LÝ LỊCH TRÍCH NGANG ............................................................................ 67 


3

DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 1: Phần tử dầm cột với sơ đồ 2 gối tựa đơn giản ............................................. 14 
Hình 2: Chiều dài khớp dẻo đối với phần tử có sơ đồ gối tựa đơn giản ................... 16 
Hình 3: Tích phân điểm giữa và tích phân điểm đầu trên vùng khớp dẻo ................ 18 
Hình 4: Tích phân hai điểm Gauss-Radau áp dụng cho vùng khớp dẻo ................... 19 
Hình 5: Tích phân hai điểm Gauss-Radau cải tiến áp dụng cho vùng khớp dẻo ...... 20 
Hình 6: Lực - chuyển vị phần tử và nội lực – biến dạng mặt cắt .............................. 22 
Hình 7:Thơng số tiết diện chữ I và mơ hình thớ phần tử. ......................................... 24 
Hình 8: Biểu đồ thuật giải Newton-Raphson biểu diễn các cấp bước tải k. ............. 30 
Hình 9: Biểu đồ các bước lặp i trong bước tải thứ k ở cấp độ tồn bộ kết cấu. ........ 31 
Hình 10: Biểu đồ trạng thái phần tử trong bước lặp i gồm nhiều bước lặp con thứ j
................................................................................................................................... 39 
Hình 11: Sơ đồ trạng thái mặt cắt trong bước lặp i gồm nhiều bước lặp con thứ j . 39 

Hình 12: Dầm công xôn chịu tải tập trung tại đầu tự do ........................................... 43 
Hình 13:Sơ đồ nút và phần tử và chiều dài khớp dẻo bài tốn dầm cơng xơn ......... 44 
Hình 14: Mơ hình ứng suất dư theo ECCS. .............................................................. 44 
Hình 15: Quan hệ hệ số tải – chuyển vị đầu mút bài tốn dầm cơng xơn với chiều
dài khớp thay đổi trong trường hợp khơng ứng suất dư............................................ 45 
Hình 16: : Quan hệ hệ số tải – chuyển vị đầu mút bài tốn dầm cơng xơn với chiều
dài khớp thay đổi trong trường hợp có ứng suất dư .................................................. 45 
Hình 17: Biểu đồ so sánh quan hệ lực – chuyển vị trường hợp khơng kể ứng suất dư
và có kể ứng suất dư .................................................................................................. 46 
Hình 18: Biểu đồ so sánh quan hệ lực – chuyển vị bài toán Dầm cơng xơn ............ 47 
Hình 19: Cột đầu ngàm đầu khớp chịu tải trọng uốn – nén đồng thời ...................... 48 


4

Hình 20: Sơ đồ đánh tên nút phần tử và chiều dài khớp dẻo của bài toán cột thép
đầu ngàm đầu khớp ................................................................................................... 49 
Hình 21: Biểu đồ so sánh quan hệ lực – chuyển vị bài toán Cột thép đầu ngàm đầu
khớp ........................................................................................................................... 50 
Hình 22: Khung hai nhịp một tầng hai nhịp.............................................................. 51 
Hình 23: Sơ đồ đánh tên nút phần tử và chiều dài khớp dẻo của bài toán khung 1
tầng 2 nhịp. ................................................................................................................ 52 
Hình 24: Biểu đồ so sánh quan hệ lực – chuyển vị bài toán Khung một tầng hai nhịp.
................................................................................................................................... 53 
Hình 25: Khung cổng Vogel 1 tầng .......................................................................... 54 
Hình 26: Sơ đồ đánh tên nút phần tử và chiều dài khớp dẻo của bài toán khung cổng
Vogel 1 tầng. ............................................................................................................. 55 
Hình 27: Biểu đồ so sánh quan hệ lực – chuyển vị bài toán Khung cổng Vogel 1
tầng. ........................................................................................................................... 56 

5

DANH MỤC BẢNG BIỂU
Bảng 1: Thông số tiết diện bài tốn dầm cơng xơn ................................................... 43 
Bảng 2: So sánh kết quả bài tốn dầm cơng xơn về hệ số tải tới hạn u................... 46 
Bảng 3: Thông số tiết diện bài toán cột thép đầu ngàm đầu khớp ............................ 48 
Bảng 4: So sánh kết quả bài toán cột đầu ngàm đầu khớp về tải trọng tới hạn Pu.... 50 
Bảng 5: Thông số tiết diện bài toán khung một nhịp hai tầng .................................. 51 
Bảng 6: So sánh kết quả bài toán khung một tầng hai nhịp về tải trọng tới hạn Pu . 53 
Bảng 7: Thơng số tiết diện bài tốn Khung cổng Vogel 1 tầng. ............................... 55 
Bảng 8: So sánh kết quả bài toán Khung cổng Vogel 1 tầng về hệ số tải tới hạn lu
................................................................................................................................... 56 


6

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

A

Diện tích mặt cắt ngang tiết diện

E

Module đàn hồi vật liệu

Etan

Ma trận độ cứng tiếp tuyến của tất cả các thớ

F

Ma trận độ mềm phần tử

K

Ma trận độ cứng phần tử

Ks

Ma trận độ cứng tổng thể

D( x)

Véc tơ lực mặt cắt (Nội lực)

DR ( x)

Véc tơ phản lực mặt cắt

DU ( x)

Véc tơ lực khơng cân bằng tại mặt cắt

I

Moment qn tính tĩnh của mặt cắt

Lele

Ma trận chuyển chuyển vị kết cấu sang chuyển vị phần tử

My

Moment chảy dẻo

M z ( x)

Moment uốn mặt cắt

N ( x)

Lực dọc mặt cắt

P

Ngoại lực của hệ kết cấu

Pu

Tải trọng cực hạn kết cấu

Q

Lực phần tử trong hệ cơ bản

X , Y , Z Toạ độ tổng thể
b( x )

Ma trận hàm nội suy lực

d ( x)

Véc tơ biến dạng mặt cắt


7

f ( x)

Ma trận độ mềm mặt cắt

k ( x)

Ma trận độ cứng mặt cắt

l ( x)

Ma trận chuyển đổi biến dạng mặt cắt sang biến dạng thớ

p

Chuyển vị của hệ kết cấu trong hệ tổng thể

q

Chuyển vị của phần tử trong hệ cơ bản

r

Biến dạng dư mặt cắt

s

Chuyển vị dư phần tử

x, y , z

Toạ độ địa phương

y fib , z fib Toạ độ fiber trong mặt cắt



Hệ số tái bền tuyến tính



Hệ số chiều dài khớp dẻo

 ( x)

Véc tơ biến dạng thớ

u

Hệ số tải trọng tới hạn

 ( x)

Véc tơ ứng suất thớ

y

Ứng suất chảy dẻo



Trọng số điểm lấy tích phân



Toạ độ điểm lấy tích phân


8

Chương I. TỔNG QUAN
Thép là một trong những vật liệu xây dựng phổ biến và ngày càng được sử
dụng rộng rãi trong nước và trên thế giới cho nhiều loại kết cấu khác nhau. Các kết
quả thực nghiệm và ứng xử chịu lực thật của các cơng trình thực tế cho thấy rằng
kết cấu thép có nhiều ưu điểm vượt trội như khả năng chịu lực và độ tin cậy cao, độ
dai cao, trọng lượng nhẹ và thời gian thi cơng nhanh.
Như ta đã biết, thép có biểu đồ quan hệ ứng suất – biến dạng không phải là
một đường thẳng hay nói cách khác thép là một vật liệu có ứng xử phi tuyến. Vì vậy,
nhu cầu cần một cơng cụ tính tốn và mơ phỏng chính xác sự làm việc của kết cấu
thép là một vấn đề cấp bách. Phương pháp phổ biến nhất hiện nay là sử dụng mơ
hình phần tử hữu hạn. Luận văn này tập trung thiết lập phần tử dầm cột bằng
phương pháp phần tử hữu hạn dựa trên phương pháp lực dùng phương pháp khớp

dẻo có kể đến ứng xử phi tuyến vật liệu.
I.1. Đặt vấn đề

Khi kết cấu chịu tải trọng ngang lớn hoặc tải động đất thì trong mơ phỏng kết
cấu cần thiết phải kể đến ứng xử ngoài miền đàn hồi của vật liệu. Ứng xử này thể
hiện trong việc hình thành những vùng chảy dẻo trong hệ kết cấu. Việc phân tích
dẻo có thể chia thành hai loại là dẻo tập trung và dẻo phân bố tương ứng với
phương pháp khớp dẻo và vùng dẻo. Phương pháp khớp dẻo xem gần đúng sự chảy
dẻo chỉ tập trung tại các đầu mút cấu kiện. Trong khi đó, phương pháp vùng dẻo
cho phép xem xét sự lan truyền dẻo dọc theo chiều dài cấu kiện như ứng xử thực
của hệ kết cấu. Mơ hình phần tử có thể dựa vào phương pháp chuyển vị hoặc
phương pháp lực. Phương pháp chuyển vị thường dùng hàm nội suy Hermit để diễn
tả phương trình chuyển vị. Đối với phương pháp lực, ma trận độ mềm được thiết lập
thông qua hàm nội suy lực dựa trên sự cân bằng lực của phần tử. Hàm nội suy lực
này có dạng đơn giản hơn nhiều hàm nội suy chuyển vị.


9

Phương pháp chuyển vị dựa hoàn toàn vào phương pháp phần tử hữu hạn cổ
điển, tức là biến dạng phần tử được tính tốn dựa vào một trường chuyển vị xấp xỉ
giả thiết, từ đó thiết lập phương trình cân bằng cho phần tử. Đối với bài toán phi
tuyến, phương pháp chuyển vị quy định biến dạng dọc trục là khơng đổi và biểu đồ
độ cong là tuyến tính dọc theo chiều dài phần tử. Do vậy, phương pháp này có hai
nhược điểm lớn: Một là, phương pháp này chỉ đúng cho phần tử có mặt cắt là hình
lăng trụ, hai là cần chia nhiều phần tử để biểu diễn biến dạng có bậc cao hơn.
Trong khi đó, phương pháp lực lại dựa vào phương trình cân bằng lực chính
xác có sẵn bên trong hệ cơ bản của phần tử dầm-cột. Phương trình cân bằng giữa
lực hai đầu phần tử và nội lực là chính xác kể cả trong trường hợp phi tuyến vật liệu.
Nội lực được xác định từ lực hai đầu phần tử trong hệ cơ bản. Nhờ đó, phương pháp

này khắc phục được hai nhược điểm nêu trên của phương pháp chuyển vị. Tuy
nhiên, để tăng độ chính xác cho bài tốn, phương pháp lực cần nhiều điểm lấy tích
phân hơn.
I.2. Tình hình nghiên cứu
I.2.1 Tình hình nghiên cứu ngồi nước

Phương pháp chuyển vị được tính tốn dựa vào lý thuyết phần tử hữu hạn đã
có từ rất lâu, trong khi đó, phương pháp lực được xem là phương pháp mới, được
phát triển sau phương pháp chuyển vị truyền thống và là một ứng dụng đơn giản
hóa từ mơ hình cân bằng của phương pháp phần tử hữu hạn. Nhưng chỉ trong vòng
năm năm trở lại đây, phương pháp này mới thật sự phát triển với việc áp dụng phân
tích phi tuyến cho hệ kết cấu. Sau đây là quá trình phát triển của phương pháp lực
cùng với những nghiên cứu đã được công bố trên thế giới.
Spacone cùng cộng sự (1996) [1] đề xuất phương pháp lực cho phần tử dầm
cột. Thay vì dựa vào chuyển vị, phương pháp này dựa vào lực tại nút phần tử để nội
suy ra nội lực tại một mặt cắt bất kì.
Neuenhofer và Filippou (1997) [2] phân tích ưu điểm của phương pháp lực
cho phần tử dầm cột đối với phương pháp chuyển vị. Phương pháp lực thiết lập ma


10

trận độ mềm phần tử thông qua các hàm nội suy dựa vào phương trình vi phân bậc
hai cho phần tử chịu moment uốn và lực dọc trục, ưu điểm của nó là tạo ra ứng xử
chính xác cho tính chất phi tuyến vật liệu.
de Souza (2000) [3] phân tích phần tử hữu hạn dựa vào phương pháp lực cho
khung có ứng xử ngồi miền đàn hồi và chuyển vị lớn. Ý tưởng chính của phương
pháp là dùng hàm nội suy lực thỏa phương trình cân bằng trong cấu hình biến dạng
phần tử. Từ đó, thay vì đi xác định ma trận độ cứng một cách khó khăn thì có thể
thay bằng xác định ma trận độ mềm cho phần tử.

Scott (2004) [4] và Scott và Fenves (2006) [5] đưa ra phương pháp tích phân
khớp dẻo dựa vào cầu phương Gauss-Radau. Phương pháp này thích hợp cho kết
cấu khung phi tuyến vật liệu có giai đoạn giảm bền. Bằng cách gán những tính chất
vật liệu khác nhau cho mặt cắt tại vùng khớp dẻo và vùng đàn hồi của phần tử
khung, phương pháp tích phân khớp dẻo có thể mơ hình hóa chính xác ứng xử của
kết cấu với chỉ một phần tử trên một cấu kiện khung.
Carlton (2007) [6] sử dụng phương pháp tích phân khớp dẻo để mơ hình phần
tử hữu hạn cho cột cầu bê tơng cốt thép có vỏ thép bọc bên ngồi. Tác giả đã chứng
minh được rằng phương pháp tích phân khớp dẻo có thể sử dụng được để mơ hình
cho bài tốn phi tuyến vật liệu đồng thời áp dụng phương pháp này cho bài tốn cột
cầu có vỏ thép.
Calabrese cùng cộng sự (2010) [7] phân tích các vấn đề về phương pháp số
trong mơ hình phân phối dẻo cho kết cấu bê tông cốt thép kể đến ứng xử phi tuyến
vật liệu. Thảo luận về sự ảnh hưởng giữa phương pháp chuyển vị và phương pháp
lực, về ứng xử tái bền và giảm bền, và về các thơng số của tích phân số đến kết quả
của bài toán.
Almeida cùng cộng sự (2012) [8] đánh giá sự tương thích của phương pháp
lực đối với kết cấu khung khi kể đến ứng xử giảm bền của vật liệu.


11

I.2.2 Tình hình nghiên cứu trong nước

Phương pháp phân tích khớp dẻo bằng phương pháp lực hầu như chưa có
nghiên cứu trong nước nào đề cập đến, tuy nhiên, những nghiên cứu sau đã đề cập
đến những khái niệm quan trọng sẽ được nhắc đến trong luận văn này:
Ngô Hữu Cường (2003) [9] thực hiện phân tích vùng dẻo và phi tuyến hình
học cho khung thép bằng phương pháp phần tử hữu hạn dựa trên chuyển vị.
Phạm Minh Vương (2006) [10] sử dụng phương pháp phần tử ba khớp dẻo để

phân tích đàn-dẻo bậc hai khung thép phẳng liên kết nửa cứng.
Đặng Ngọc Cảnh (2010) [11] phân tích vùng dẻo và phi tuyến hình học khung
thép khơng gian bằng phương pháp phần tử hữu hạn dựa trên chuyển vị.
Phạm Quang Thuận (2013) [12] phân tích vùng dẻo khung thép phẳng bằng
phương pháp lực sử dụng tích phân số Gauss-Lobatto.
I.3. Mục tiêu của đề tài

Phương pháp khớp dẻo dựa trên lực đã được phát triển bởi Scott (2004) [4] và
Scott và Fenves (2006) [5] để phân tích phi tuyến cấu kiện bê tơng cốt thép. Luận
văn này tìm hiểu phương pháp nêu trên và phát triển chương trình máy tính phân
tích phi tuyến cấu kiện và khung thép chịu tải trọng tĩnh có xét ứng xử phi tuyến vật
liệu. Nội dung cụ thể bao gồm:
-

Tìm hiểu lý thuyết phương pháp lực trong việc thiết lập ma trận độ mềm
của phần tử dầm-cột trong khung phẳng chịu lực tĩnh có kể đến ứng xử phi
tuyến vật liệu.

-

Thực hiện tích phân số tập trung tại khu vực khớp dẻo nhằm tạo ra kết quả
phân tích chính xác chỉ với một phần tử trên một cấu kiện dầm-cột. Điều
này có ý nghĩa quan trọng là giảm khối lượng tính tốn cho bài tốn.

-

Xây dựng một chương trình ứng dụng bằng ngơn ngữ lập trình MATLAB
để tự động hóa tính tốn bằng máy tính.

12

-

Kiểm tra độ tin cậy của chương trình bằng cách so sánh kết quả đạt được
với kết quả mô phỏng trong chương trình ABAQUS, OPENSEES cùng
như những nghiên cứu trước đây.

-

Rút ra kết luận về những công việc đã thực hiện. Nêu lên những hướng
phát triển đề tài trong tương lai.

I.4. Cấu trúc luận văn

Luận văn bao gồm 4 chương chính.
Chương I trình bày về tổng quan về đề tài nghiên cứu, bao gồm các nghiên
cứu ngoài nước và trong nước và trình bày mục tiêu của đề tài.
Chương II trình bày mơ hình phần tử hữu hạn cho phương pháp lực, quy trình
thiết lập ma trận độ mềm phần tử dầm-cột, sau đó phân tích và chọn lựa phương
pháp tích phân khớp dẻo, từ đó lựa chọn tích phân số Gauss-Radau.
Chương III trình bày thuật tốn giải phi tuyến kết hợp với lý thuyết phương
pháp lực cho ra lưu đồ tính tốn của chương trình, giới thiệu chương trình ứng dụng
đã được thiết lập dựa vào ngôn ngữ lập trình MATLAB.
Chương IV đưa ra ví dụ áp dụng, bài tốn 1 cho dầm cơng xơn chịu uốn, bài
tốn 2 cho cột chịu uốn-nén đồng thời, bài toán 3 cho khung một tầng hai nhịp và
cuối cùng là bài toán 4 cho khung cổng Vogel 1 tầng.
Chương V đưa ra kết luận và kiến nghị.

13

Chương II. MƠ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN
Chương này sẽ trình bày việc thiết lập mơ hình phần tử hữu hạn cho phần tử
dầm-cột phẳng bằng phương pháp lực. Ma trận độ mềm phần tử xây dựng dựa trên
nguyên lý lực ảo. Những lý thuyết này được tham khảo trong Tài liệu [4].
II.1. Phần tử hữu hạn theo phương pháp lực

Trong phần tử dầm cột, mối quan hệ giữa lực hai đầu phần tử và nội lực được
biểu diễn thông qua phương trình

s  bq  s0

(1)

Trong đó, s là nội lực bên trong phần tử, q là lực tại hai đầu phần tử, b là ma
trận nội suy lực, còn s0 là nội lực do tải trọng tác dụng trên phần tử gây ra.
Trong sơ đồ đơn giản như Hình 1, một phân tố dầm với vectơ biến dạng mặt
cắt e và nội lực s trong phần tử dầm cột bao gồm lực dọc và moment uốn có toạ độ
là x được xác định dựa vào ma trận nội suy lực như sau:
1
b
0


0
x
x 
1
L

L
0

(2)


14

v1

q3
q1

Phần tử
v3
25°
v2
21°

Mặt cắt

q2

s
e

Hình 1: Phần tử dầm cột với sơ đồ 2 gối tựa đơn giản
Dựa theo nguyên lý lực ảo - principle of virtual forces [5], quan hệ giữa biến
dạng phần tử và biến dạng mặt cắt như sau:
L

v   bT edx

(3)

0

Trong đó, v là véc tơ biến dạng phần tử, e là véc tơ biến dạng mặt cắt.
Khi đó ma trận độ mềm được xác định theo công thức:
L

f

v
  bT f s bdx
q 0

(4)

Như vậy, trong phương pháp lực ta khơng thể tìm ma trận độ cứng như trong
phương pháp phần tử hữu hạn thông thường một cách dễ dàng, mà thay vào đó là
việc xác định ma trận độ mềm của kết cấu là điều khả thi hơn. Thơng số chính cần
xác định ma trận độ mềm của phần tử dầm cột chính là ma trận độ mềm của từng
mặt cắt trên phần tử, bởi vì giá trị này thay đổi trong trường hợp phi tuyến vật liệu.


15

II.2. Phương pháp tích phân khớp dẻo
Trong trường hợp phi tuyến vật liệu, cơng thức (4) sẽ rất khó khăn để giải

quyết vì độ mềm tại mặt cắt fs  e / s khơng là hằng số. Vì vậy một phương pháp
khác có thể được dùng để giải quyết bài tốn trên đó là phương pháp tích phân số
bằng cách lấy một vài điểm tích phân cùng với các trọng số thích hợp tương ứng.
Phương pháp này được gọi là tích phân khớp dẻo.
Phương pháp tích phân khớp dẻo giả thiết vùng dẻo chỉ xảy ra một vùng nào
đó của cấu kiện mà thôi. Chẳng hạn đối với phần tử dầm cột khơng có ngoại lực tác
dụng trên phần tử thì khớp dẻo chỉ xảy ra ở hai đầu phần tử, cịn đoạn ở giữa vẫn
cịn duy trì trạng thái đàn hồi.
Trong phương pháp tích phân khớp dẻo này, tính chất phi tuyến của vật liệu
được xác định tại một số vị trí cụ thể nơi mà hiện tượng chảy dẻo có thể xảy ra, cịn
các vị trí cịn lại vẫn cịn trạng thái đàn hồi tuyến tính mà ta có thể dễ dàng giải
quyết với dạng tích phân quen thuộc như công thức (3). Như vậy, trong trường hợp
mà ta đã biết sự chảy dẻo có thể xảy ra ở khu vực nào đó thì phương pháp tích phân
khớp dẻo sẽ cải thiện q trình tính tốn đáng kể. Hơn nữa, chiều dài khớp dẻo
chúng ta có thể quan sát và tính tốn bằng thực nghiệm.
Trở lại với trường hợp phần tử dầm cột khơng có tải trên phần tử thì khớp dẻo
chỉ có thể xảy ra ở hai đầu phần tử, vì vậy cơng thức xác định chuyển vị (3) có thể
được chia ra thành 3 thành phần tích phân như sau.
L  l pJ

l pI

v

b
0

T

edx 



l pI

L

b edx 
T



bT edx

L  l pJ

Trong đó, chiều dài khớp dẻo 2 đầu phần tử giả thiết là l pI và LpJ như Hình 2

(5)


16

x

Vùng đàn hồi tuyến tính

LpI
20

L20
pJ

L
92
Hình 2: Chiều dài khớp dẻo đối với phần tử có sơ đồ gối tựa đơn giản

Tích phân số được dùng cho tích phân tại khớp dẻo  tương ứng với trọng số

 . Cịn tích phân phần ở giữa phần tử được tính tốn thơng qua ma trận độ mềm
đàn hồi f el . Công thức (5) có thể được viết lại như sau
NP

v   (bT e |x i )i  f el q

(6)

i 1

Trong đó
L  l pJ

f 
el



bT f sel bdx

(7)

l pI

Giá trị này chúng ta dễ dàng xác định được bởi vì độ mềm tiết diện f sel là hằng
số trong khu vực giữa phần tử có chiều dài  L  l pI  l pJ  . Đối với phần tử dầm chỉ
có lực dọc và moment uốn thì độ mềm tiết diện sẽ là
 EA 0 
f 

 0 EI 

1

el

(8)

Trong đó, E là modul đàn hồi, A là diện tích tiết diện và I là moment quán tính
của tiết diện.
Một cách tương tự, độ mềm của phần tử có thể được thiết lập như sau
NP





f   bT f s b |x i i  f el
i 1

(9)

17

Phần tiếp theo sẽ trình bày các phương pháp tích phân khớp dẻo. Đầu tiên là
tích phân một điểm, bao gồm 2 phương pháp đó là tích phân điểm giữa và tích phân
điểm đầu, thứ hai là tích phân hai điểm Gauss-Radau và cuối cùng là tích phân hai
điểm Gauss-Radau cải tiến.
II.2.1 Tích phân điểm giữa

Tích phân điểm giữa hay cịn được gọi là tích phân một điểm Gauss-Legendre,
điểm lấy tích phân nằm vị trí chính giữa khớp dẻo. Do đó, với sơ đồ như hình 4.4 (a)
thì điểm lấy tích phân có toạ độ là
l pJ 
 l pI
,L 
2 
2

 

(10)

Tương ứng với các trọng số là chiều dài của khớp dẻo

  l pI , l pJ 

(11)

Với điểm lấy tích phân nằm giữa khớp dẻo thì tại mặt cắt có moment lớn nhất

nằm ở 2 đầu phần tử không được xét. Đây là một nhược điểm của phương pháp này.
Hơn nữa đường cong chuyển vị dọc theo phần tử sẽ khơng được biểu diễn chính xác
bởi vì tích phân của hàm bậc hai khơng đúng trong khu vực khớp dẻo.
II.2.2 Tích phân điểm đầu

Thay vì điểm lấy tích phân ở giữa thì phương pháp này lấy tích phân ở đầu
phần tử như trong Hình 3: Tích phân điểm giữa và tích phân điểm đầu trên vùng
khớp dẻo(b). Tích phân cịn gọi là tích phân một điểm Gauss-Radau. Khi đó điểm
lấy tích phân có toạ độ

  0, L

(12)

Tương ứng với các trọng số cũng là chiều dài khớp dẻo

  l pI , l pJ 

(13)


18

Với điểm lấy tích phân nằm ở đầu phần tử thì giá trị moment lớn nhất đã được
xét đến. Tuy nhiên, đường biểu diễn đường cong chuyển vị dọc theo phần tử càng
khơng chính xác trong khu vực khớp dẻo.

1 

L pI

2

(a) Điểm giữa

x

2  L 

Vùng đàn hồi tuyến tính

1  LpI

2  LpJ

LpI
20

LpJ
20

1  0

2  L

(b) Điểm đầu

x

1 

L pJ
2

Vùng đàn hồi tuyến tính

L pI
2

2 

L pJ
2

L
92
Hình 3: Tích phân điểm giữa và tích phân điểm đầu trên vùng khớp dẻo
II.2.3 Tích phân hai điểm Gauss-Radau

Như ở trên đã phân tích, cả 2 phương pháp tích phân một điểm là tích phân
điểm giữa và tích phân điểm đầu đều khơng thể thoả 2 điều kiện đó là: biểu diễn
chính xác đường cong chuyển vị trong vùng khớp dẻo và điểm lấy tích phân phải
nằm ở 2 đầu mút của phần tử. Vì vậy, cần khảo sát đến phương pháp lấy 2 điểm tích
phân trong mỗi vùng khớp dẻo. Phương pháp đơn giản nhất đó là dùng quy luật
hình thang hay cịn gọi là tích phân hai điểm Gauss-Lobatto. Tuy nhiên, phương
pháp này vẫn không biểu diễn đúng đường cong chuyển vị bởi vì tích phân hàm bậc
2 khơng chính xác.