De va dap an Toan huyen 1112

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHÒNG GIÁO DỤC&ĐÀO TẠO HUYỆN BÙ GIA MẬP ĐỀ CHÍNH THỨC. Câu 1: (2 điểm) a/ Chứng minh rằng:. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN Năm học 2011 – 2012 MÔN: Toán THỜI GIAN: 150 phút ( không kể thời gian phát đề ). 1 1 1 1 1 1 < + + +. ..+ < 2 6 52 6 2 72 100 4. Câu 2: ( 2 điểm) Tìm ba chữ số a, b, c sao cho abc < ab + bc + ac Câu 3 : ( 4 điểm) a/ Chứng minh : ( x  y  z )2 3( x 2  y 2  z 2 ) x, y , z  R 1 1 1 x  y  z 1 ; x  , y , z 4 4 4 b/ Cho. Chứng minh : 4 x  1  4 y  1  4 z  1  21 Dấu “=” xảy ra khi x , y , z bằng bao nhiêu ? Câu 4: (4 điểm) a/ Chứng minh rằng : Nếu b là số nguyên tố khác 3 thì số A = 3n + 1 + 2009b 2 là hợp số với mọi n  N 2 b/ Tìm các số tự nhiên n sao cho n +18n + 2020 là số chính phương. Câu 5: (2 điểm ) N. x 2.  x  2010  đạt giá trị lớn nhất. Cho x  0 . Tìm giá trị của x để biểu thức Câu 6: ( 4 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1 và M là một điểm tùy ý trên AC. Qua M kẻ ME, MF vuông góc với AB và BC. Xác định vị trí của M trên AC để diện tích tam giác DEF đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 7: ( 2 điểm) Từ M là một điểm bên ngoài đường tròn (O) kẻ một tiếp tuyến MT và một cát tuyến MAB của đường tròn đó. a/ Chứng minh rằng khi cát tuyến MAB quay quanh M ta luôn có MT2= MA . MB b/ Cho MT = 20 cm và cát tuyến dài nhất cùng xuất phát từ M bằng 50 cm. Tính bán kính của đường tròn. ------------ Hết------------------.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> PHÒNG GIÁO DỤC&ĐÀO TẠO HUYỆN BÙ GIA MẬP. KỲ CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN Năm học 2011 – 2012 Hướng dẫn chấm: Toán. ĐỀ CHÍNH THỨC. Câu 1: (2 điểm). 1 1 1 1 + 2 + 2 +.. .+ 2 5 6 7 1002 1 1 1 1 A< + + +.. .+ 4.5 5.6 6.7 99 .100 ¿ 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ¿= − + − + − +. ..+ − = − 4 5 5 6 6 7 99 100 4 100 ¿. Đặt A=. Ta có. 1 1 1 1 + + +. ..+ 5. 6 6 .7 7 .8 100 . 101 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ¿ − + − + − + .. .+ − = − > 5 6 6 7 7 8 100 101 5 101 6 A>. Câu 2: ( 2 điểm) Chia 2 vế của bất đẳng thức abc < ab + bc + ac cho số dương abc ta được 1 1 1 1< + + c a b. (1). Giả sử a> b>c ≥ 2 . Trong ba phân số Do đó c<3. Vậy c= 2. Thay c vào (1) được. 1 1 1 + > a b 2. 1 1 , a b. , phân số. Trong hai phân số. b<4, mà b > c = 2 , vậy b = 3. Thay b = 3 vào (2) ta được :. 1 1 > a 6. 1 1 1 1 , , thì c a b c. lớn nhất nên. (2) 1 b. lớn hơn nên. 1 1 > b 2. ; 2=. 1 4. , do đó a < 6 , mà a > b = 3 và a là số. nguyên tố , vậy a = 5. Vậy các số a, b, c phải tìm là 2, 3, 5 và các hoán vị của chúng. Câu 3 a/ ( 2 điểm) Xét hiệu :. 1 1 > c 3. , do đó.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 3( x 2  y 2  z 2 )  ( x  y  z )2 3 x 2  3 y 2  3 z 2  x 2  y 2  z 2  2 xy  2 yz  2 zx 2 x 2  2 y 2  2 z 2  2 xy  2 yz  2 zx ( x  y ) 2  ( y  z ) 2  ( z  x) 2 0 x, y, z  R 2 2 2 2 Vây 3( x  y  z ) ( x  y  z ) x, y, z  R 2. 2. 2. 2. Hay ( x  y  z ) 3( x  y  z ) x, y, z  R Dấu “= “ xảy ra khi (x - y)2 +(y – z)2 + (z- x)2 = 0  (x - y)2 = (y – z)2 = (z- x)2 =0  x=y=z=0 Câu 3: b/ ( 2 điểm) Lập luận tương tự ta có :.   .  4z 1 4 z 1 . 4 x 1  4 y 1  4 z 1 4 x 1  4 y 1  4x 1  4 y 1 . 2. 2. 3  4 x  4 y  4 z  3 3.  4  x  y  z   3 3.(4  3) 21  21.  4 x  1  4 y  1  4 z  1  Dấu “= “ xảy ra khi  x  y  z 1. . x  y z . 1 3. Câu 4: a/ (1,5 điểm) Vì b là số nguyên tố khác 3 nên b2 - 1  3. Ta có A = 3n + 1 + 2009b2 = 3( n + 1 + 669b2 ) + 2b2 - 2 = 3( n + 1 + 669b2 ) + 2(b2 - 1)  3 Do A > 3 nên A là hợp số với mọi n  N. b/ (2,5 điểm) 2 2 2 Để n +18n + 2020 là số chính phương thì n +18n + 2020 = m (1) với m nguyên, dương, 2 2 (1)  m -18n - n = 2020  m 2 - n 2 +18n = 2020. . . 2.  m 2 -  n + 9  = 2020 - 81 = 1939   m - n - 9   m + n + 9  = 1939 Mà 1939 = 1939 . 1 = 277 . 7 m + n + 9 = 1939 m + n + 9 = 277   Nên m - n - 9 = 1 hoặc m - n - 9 = 7  m + n + 9 = 1939  m + n = 1930   2n = 1920  n = 960  m n 9 = 1 m n = 10   * Với.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> m + n + 9 = 277   m n 9 = 7  * Với. m + n = 268  2n = 252  n = 126  m - n = 16. Thử lại các giá trị của n vừa tìm được đều thỏa mãn đề bài. Vậy n = 960 và n = 126 là các số cần tìm.. Câu 5: (2 điểm) . 1 N nhỏ nhất.. Do x > 0 nên N > 0  N lớn nhất 2 2 x  2010   1  x  2010  x 2  2.2010 x  20102   4.2010  4.2010 x x x Ta có : N dấu “ = “ xảy ra khi x 2010 . 1 Suy ra giá trị nhỏ nhất của N là 4.2010 = 8040 đạt được khi x = 2010 1 Vậy với x = 2010 thì N đạt giá trị lớn nhất. Giá trị lớn nhất là 8040. Câu 6: (4 điểm). A. E. B. M. D. F. C. Ta có: S(DEF) = S(EMF) + S(MED) + S(MFD) Mà: S(MED) = S(MEA) (Cùng đáy ME và đường cao bằng nhau) S(MFD) = S(MFC) (Cùng đáy MF và đường cao bằng nhau) Do đó: S(DEF) = S(MEA) + S(MFC) + S(MEF) = S(ABC) – S(BEF) 1. 1. 1. = 2 − 2 BE. BF= 2 (1− BE. BF) Suy ra: S(DEF) min  BE.BF max Ta lại có: BE + BF = BE + AE = AB = 1 : Không đổi. Do đó: BE.BF max  BE = BF Lúc đó: M là trung điểm của AC Câu 7: (2 điểm).

<span class='text_page_counter'>(5)</span> a/ ta có góc MTA= góc MBT (cùng chắn cung TA) góc TMB chung Suy ra : MTA  MBT (g.g) . MT MB = MA MT.  MT2 = MA.MB (1) b/ Cát tuyến dài nhất xuất phát từ M là cát tuyến MCD qua tâm O CBD vuông ở B nên CD > CB mà MD = MC + CD > MC + CB > MB Theo (1) ta có: MT2 = MC.MD  202 = (50 - 2R).50  R = 21.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>