Bai giang Tiep tuyen cua do thi

<span class='text_page_counter'>(1)</span>x ; f ( x0 )   (C ) Kiến thức cơ bản: Cho (C) là đồ thị hàm số y  f ( x) và điểm M  0 . Tiếp. tuyến với (C) tại điểm M có phương trình là: y  f ( x0 )  f '( x0 )( x  x0 ) (1) ►Chú ý: 1) Cơ bản ở phương trình (1) là tiếp tuyến phụ thuộc vào x 0 là hoành độ của tiếp điểm vì: khi có x0 thì ta thay x0 vào f(x) và f’(x) để tính f(x0) và f’(x0) 2) Điểm M gọi là tiếp điểm.. Bài toán 1: Cho biết tiếp điểm (hoặc hoành dộ của tiếp điểm) của tiếp tuyến. Cách giải: + Tìm các đại lượng theo x0 trong công thức (1) ở phần kiến thức cơ bản nêu trên. + Áp dụng công thức (1) nêu trên. 2 Ví dụ 1: Cho đồ thị (C) của hàm số y x  4 x  3 . Viết Phương trình tiếp tuyến với (C) tại các giao điểm của (C) với trục hoành.. Giải: 2. + PTHĐGĐ của (C) với trục hoành ( y = 0): x  4 x  3 0  x 1, x 3 (hoành độ tiếp điểm). Vậy có hai tiếp điểm là M(1; 0) và N(3; 0) + Ta có: y ' 2 x  4  y '(1)  2; y '(3) 2 . + Tiếp tuyến với (C) tại điểm M(1; 0) có phương trình: y  0  2( x  1)  y  2 x  2 + Tiếp tuyến với (C) tại điểm N(3; 0) có phương trình: y  0 2( x  3)  y 2 x  6 Vậy phương trình của hai tiếp tuyến cần tìm là: y  2 x  2; y 2 x  6 3. 2. Ví dụ 2: Cho đồ thị (C) của hàm số y x  2 x  2 x  4 . a) Viết Phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành. b) Viết Phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục tung. c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm x0 thỏa mãn y”(x0) = 0. Giải: 2 M x ;y Ta có: y ' 3 x  4 x  2 . Gọi  0 0  là tiếp điểm thì tiếp tuyến có phương trình: y  y0  y '( x0 )( x  x0 )  y  y '( x0 )( x  x0 )  y0 (1). a) Khi M (C ) Ox thì y0 = 0 và x0 là nghiệm phương trình: x3  2 x 2  2 x  4 0  x 2 ; y’(2) = 6, thay các giá trị đã biết vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến: y 6( x  2).

<span class='text_page_counter'>(2)</span> b) Khi M (C ) Oy thì x0 = 0  y0  y (0)  4 và y '( x0 )  y '(0) 2 , thay các giá trị đã biết vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến: y 2 x  4 . c) Khi x0 là nghiệm phương trình y”= 0. Ta có: y” = 6x – 4. 2 88  2  2 2  6 x  4 0  x   x0  y0  y    y '( x0 )  y '    3 27 ;  3  3 3 y” = 0 2 100 y x 3 27 thay các giá trị đã biết vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến: Bài toán 2: Cho biết hệ số góc k của tiếp tuyến Cho đồ thị (C): y = f(x). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) có hệ số góc k. Cách giải 1: (Dùng ý nghĩa hình học của đạo hàm) + Giải phương trình f’(x) = k để tìm hoành độ tiếp điểm x0. + Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M . x0 ; f ( x0 ) . .. Cách giải 2: (Dùng biểu diễn hình học để diễn tả tiếp tuyến). (không cần tìm x0) + Tiếp tuyến cần tìm có phương trình dạng: y kx  b (T ) ; (K đã biết; ta phải tìm b). + Lý luận (T) tiếp xúc với (C) để tìm b. ►Chú ý: Khi giải bài toán ta dùng cách 1 hoặc cách 2 là tùy theo kỷ năng của mỗi học sinh. Thông thường khi giải cách 1 là phải giải phương trình f’(x) = k để tìm tìm hoành độ tiếp điểm, nếu phương trình f’(x) = k khó giải hoặc giải được dễ dàng nhưng nghiệm xấu thì ta nên dùng cách 2.. y. 2 x 1 x  1 và đường thẳng (d): y  3x  2 . Viết phương trình tiếp. Ví dụ 3: Cho đồ thị (C): tuyến với (C) và song song với (d).. Giải: + Tiếp tuyến song song với (d) nên y’ = -3 (hai đường thẳng song song thì có cùng hệ số góc và tung độ gốc khác nhau) + Do. y ' . 3 , ( x 1) ( x  1)2 . . 3  3  ( x  1) 2 1  x 0; x 2 2 ( x  1) .. Vậy ta có: + Tại x = 0 thì y = -1 nên phương trình tiếp tuyến là: y  1  3( x  0)  y  3x  1 + Tại x = 2 thì y = 5 nên phương trình tiếp tuyến là: y  5  3( x  2)  y  3 x  11.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Cả hai tiếp tuyến tìm được thỏa mãn điều kiện song song với (d). Vậy có hai phương trình tiếp tuyến với (C) cần tìm là: y  3x  1; y  3x 11 Ví dụ 4: Cho đồ thị (C): (C) và vuông góc với (d).. y  x 2  2 x và (d ) : y . 1 x 1 2 . Viết phương trình tiếp tuyến với. Giải: b 1 + Tiếp tuyến vuông góc với (d) nên có phương trình dạng: y 2 x  b (T ) ;  ..  x 2  2 x 2 x  b   x 1 2  2 x  2 x  + (T) tiếp xúc với (C) nên:. (1) (2). ; x 0 , x 2.  x  1 0  x 1  x  1 2 x  2 x   2    2 2 4( x  2 x) ( x  1) 3 x  6 x  1 0 2. (2). (1)  b  x 2  2 x  2 x   b.  x 1 1   x  3 2 3  1 3  x  3 3 2 3. . . . . 1 3x 2  6 x  2 x 3. . . 1  2  .1  2  1  3 3  3 .  b  2 . 3 (vì : 3x 2  6 x 1). Vậy tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: y 2 x  2  3 . Bài toán 3: Cho biết tiếp tuyến đi qua điểm A( ;  ) cho trước. (hoặc A là điểm phải tìm) Cho đồ thị (C): y = f(x). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A( ;  ) . Cách giải 1: + Tiếp tuyến có phương trình dạng: y  f ( x0 )  f '( x0 )( x  x0 ) , (với x0 là hoành độ tiếp điểm). + Tiếp tuyến qua A( ;  ) nên   f ( x0 )  f '( x0 )(  x0 ) (*) + Giải phương trình (*) để tìm x0 rồi suy ra phương trình tiếp tuyến. Cách giải 2: + Tiếp tuyến qua A( ;  ) nên có phương trình dạng: y   k ( x   ) (T ) ; (tìm k). + Lý luận (T) tiếp xúc với (C) để tìm k rồi suy ra phương trình tiếp tuyến.. 3 Ví dụ 5: Cho đồ thị (C): y  x  3 x  1 , viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-2; -1)..

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Giải cách 1: 2 Ta có: y ' 3x  3 Gọi M.  x ;x 0. 3 0.  3 x0  1. 2 là tiếp điểm. Hệ số góc của tiếp tuyến là y '( x0 ) 3 x0  3 .. y   x03  3x0  1 (3x02  3)( x  x0 ) Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M là  : 3 2 3 2  qua A(-2;-1) nên ta có:  1   x0  3x0  1 (3x0  3)( 2  x0 )  x0  3x0  4 0.  x0 1  y0  1  ( x0  1)( x02  4 x0  4) 0    x0  2  y0  1. Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là:  : y  1 ;  : y 9 x  17 Giải cách 2: Gọi  là tiếp tuyến của (C) thỏa mãn đi qua A(-2;-1) và có hệ số góc k thì  có phương trình dạng: y  1 k ( x  2)  y kx  2k  1  x3  3 x  1 kx  2k  1 (1)  2  là tiếp tuyến của (C) nên hệ sau có nghiệm: 3x  3 k (2) Thay k ở (2) vào (1) được:  x 1  k 0 x 3  3x  1 (3 x 2  3) x  2(3x 2  3)  1  x 3  3x 2  4 0    x  2  k 9 Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là:  : y  1 ;  : y 9 x  17 2. Ví dụ 6: Cho đồ thị (C): y  x  2 x  2 và đường thẳng (d): x = 1. Tìm điểm A thuộc (d) sao cho từ A kẽ được hai tiếp tuyến với (C) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. ►Chú ý: Đây là ví dụ về tiếp tuyến đi qua điểm A nhưng A là điểm cần tìm Giải: + Vì điểm A  (d ) : x 1 nên ta đặt A(1; a); y’ = 2x – 2 2 + Tiếp tuyến với (C) có phương trình dạng: y  ( x0  2 x0  2) (2 x0  2)( x  x0 ) , (x0 là hoành độ tiếp điểm). 2 2 + Vì (T) qua A(1; a) nên: a  ( x0  2 x0  2) (2 x0  2)(1  x0 )  x0  2 x0  a 0. (*). Theo Vi-ét thì (*) cho: x1  x2 2 và x1 , x2 a + Để qua A(1; a) có hai tiếp tuyến với (C) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau thì (*) phải có hai nghiệm phân biệt thỏa: y '( x1 ). y '( x2 )  1   2 x1  2   2 x2  2   1  4 x1 x2  4( x1  x2 )  5 0  4a  8  5 0  a . + Điều kiện (*) có hai nghiệm phân biệt là:.  ' 1  a  0  1 . 3 0 4 : đúng. 3 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>  3 A  1;  Vậy điểm A cần tìm là  4 . 2x  1 x  1 và điểm I ( 1; 2) . Tìm những điểm M trên Ví dụ 7: Cho đồ thị (C) của hàm số đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM. y. Giải: 2 x0  1 ; x0  1 M  x0 ; y0  x  1 0 Điểm M cần tìm thuộc (C) nên tọa độ có dạng với .  3 3  k  y '( x0 )  , y '   2 2  ( x  1) ( x  1)   0 Tiếp tuyến với (C) tại điểm M có hệ số góc y0 . .  2x  1 IM  x0  1; 0  x  1 0  Đường thẳng IM có VTCP 3  2 IM có hệ số góc k’ = ( x0  1).   3  2   x0  1;  x0  1    , suy ra đường thẳng. Tiếp tuyến với (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM khi và chỉ khi: k.k’ = -1  x0  1  3  y0 2  3 3 3 4    .  1  ( x0  1) 9  x0  1  3  x0  1  3  y0 2  3 ( x0  1) 2 ( x0  1) 2 Vậy có hai điểm M trên (C) cần tìm có tọa độ là: 3. . M  1  3; 2 . . . 3 ; M  1. 3;2  3. . 2. Ví dụ 8: Cho đồ thị (C): y  x  x  2 x  1 . a) Chứng minh trên đồ thị (C) không có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. b) Chứng minh rẳng trong các tiếp tuyến với (C) thì tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 có hệ số góc nhỏ nhất, trong đó x0 là nghiệm phương trình y” = 0. ►Chú ý: Có thể chứng minh trên (C) không có hai tiếp tuyến hoặc có hai tiếp tuyến nhưng hai tiếp tuyến đó không vuông góc với nhau. Giải: 2 a) Ta có y ' 3x  2 x  2  0, x (vì :  ' 1  6  0). Suy ra không tồn tại x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình y’ = 0 để thỏa mãn: y '( x1 ). y '( x2 )  1 .. Chứng tỏ trên đồ thị (C) không có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. 1 y " 6 x  2 ; y " 0  6 x  2 0  x   x0 3 b) + Ta có:.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 1  1 5 x0  là y '    3  3 3 Vậy tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ 2 + Tiếp tuyến với (C) tại điểm bất kỳ có hoành độ x là y '( x) 3 x  2 x  2 . 2 Đặt g ( x) 3 x  2 x  2 . Hàm số g(x) xác định với mọi x thuộc R. Ta có:. g '( x ) 6 x  2; g '( x ) 0  x . Bảng biến thiên:. 1 3. x. 1 3. - g’(x). -. 0. + +. +. +. g(x). 5 3. Từ bảng biến thiên ta thấy tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x0 (Với x0 là nghiệm phương trình y” = 0) có hệ số góc nhỏ nhất. 3 Ví dụ 9: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) của hàm số: y  x  3x  2 sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = 4 2 .. Giải: 3 3 + Gọi A(a; a  3a  2) , B (b; b  3b  2) , a b là hai điểm phân biệt trên (C). 2 + Ta có: y ' 3 x  3 nên các tiếp tuyến với (C) tại A và B có hệ số góc lần lượt là:. y '(a) 3a 2  3 và y '(b) 3b 2  3 . + Tiếp tuyến tại A và B song song với nhau khi: y '(a )  y '(b)  3a 2  3 3b 2  3  (a  b)(a  b) 0  a  b (vì a b  a  b 0) 2. +. AB 4 2  AB 2 32  (a  b) 2   (a3  3a  2)  (b3  3b  2)  32 2. 2.  (a  b) 2   (a 3  b3 )  3(a  b)  32  (a  b)2   (a  b)(a 2  ab  b 2 )  3(a  b)  32 2.  (a  b) 2  (a  b) 2  (a 2  ab  b 2 )  3 32 , thay a = -b ta được: 2. 2. 4b 2  4b 2  b 2  3 32  b2  b 2  b 2  3  8 0  b6  6b 4  10b 2  8 0  b 2  a  2  (b 2  4)(b 4  2b 2  2) 0  b 2  4 0    b  2  a 2 - Với a  2 và b 2  A( 2;0) , B(2;4) -. Với a 2 và b  2  A(2;4) , B(  2;0).

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Tóm lại cặp điểm A, B cần tìm có tọa độ là: ( 2; 0) và (2; 4) 2x  1 x  1 sao cho tiếp tuyến Ví dụ 10: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) của hàm số: của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = 2 10 . y. Giải: 3 x 1 Hàm số được viết lại: 3   3   A  a;2   , B  b;2   a 1   b  1  là cặp điểm trên đồ thị (C) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Gọi  Với điều kiện: a b, a  1, b  1 . y 2 . 3 ( x  1) 2 nên hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B là: Ta có: 3 3 y '(a)  và y '(b)  2 (a  1) (b  1) 2 3 3 y '(a )  y '(b)   2 (a  1) (b  1) 2 Tiếp tuyến tại A và B song song khi: y' .  a  1 b  1  a b    a  b  2  a  1  b  1  a  b  2 (1) (do a b ) 2 3   3 2 2 AB 2 10  AB 40  (a  b)     40  b 1 a 1  2. 2. 3   3  6  2  ( 2b  2)     40  4(b  1)    40  b 1  b  1   b 1  ( do thay a ở (1) ) 2  (b  1) 1  b  1 1  b  1  1  (b  1) 4  10(b  1) 2  9 0    2  b  1 3  b  1  3  (b  1) 9 2.  b 0  a  2  b  2  a 0   b 2  a  4   b  4  a 2 Cặp điểm A và B cần tìm có tọa độ là: ( 2;5) và (0;  1) ; (2;1) và (  4;3). 2 Bài 1: Cho đồ thị (C) của hàm số: y x  4 x  1 , viết phương trình tiếp tuyến với (C) kẽ từ.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> điểm A(2; -6). Giải: + Tiếp tuyến (T) qua A(2; -6) có phương trình dạng: y  6 k ( x  2)  y kx  2k  6 .  x 2  4 x  1 kx  k  6 (1)  (2) + (T) tiếp xúc với đồ thị (C) nên: 2 x  4 k 2 2 + Thay (2) vào (1) ta có: x  4 x  1 (2 x  4) x  2(2 x  4)  6  x  4 x  1 0  x 2  3. -. Với x 2  3 thì k 2(2  3)  4 2 3 nên tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: y 2 3 x  4 3  6. -. Với x 2  3 thì k 2(2  3)  4  2 3 nên tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: y  2 3 x  4 3  6. Có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: y 2 3 x  4 3  6 ; y  2 3 x  4 3  6 .  x 2 x  1 và đường thẳng (d) đi qua điểm I(1; -1), có hệ Bài 2: Cho (C) là đồ thị hàm số: số góc m. Tìm các giá trị của tham số m để (d) và (C) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó chứng minh các tiếp tuyến với (C) tại A và B song song với nhau. y. Giải: * Tìm các giá trị của tham số m để (d) và (C) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B: + (d) đi qua I(1; -1) và có hệ số góc m nên (d): y  1 m( x  1) hay y mx  m  1 .  x 2 mx  m  1 x  1 + Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C):   x  2 (mx  m  1)( x  1) , (x = 1 không phải là nghiệm của phương trình)  mx 2  2mx  m  3 0 (1) + (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt khi (1) có hai nghiệm phân biệt. Vậy ta phải có: m 0 a 0 m 0    m0   2   0  3m  0 m  m(m  3)  0 Vậy m  0 thì (d) và (C) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. * Chứng minh các tiếp tuyến với (C) tại A và B song song với nhau: + Gọi x A , xB là hoành độ các điểm A, B thì x A , xB là nghiệm của phương trình (1).. x A  xB . 2m 2  x A 2  xB m. + Theo Viets ta có: 3 3 3 3 y'   y '( xA )  y '(2  xB )     y '( xB ) 2 2 2 2 ( x  1) (2  x  1) (1  x ) ( x  1) B B B + Ta có: Từ y '( x A )  y '( xB ) chứng tỏ các tiếp tuyến với (C) tại A và B song song với nhau..

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): đường thẳng (d): y 3x  2 .. y. x2 x  1 tại các giao điểm của (C) với. Giải: + Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C): x2 3x  2  x  2 (3 x  2)( x  1) x 1 (x = 1 không phải là nghiệm phương trình)  3 x 2  6 x 0  x 0 ( y  2)  x 2 ( y 4) Vậy có hai giao điểm là: M1(0; -2) và M2(2; 4) 3 y'  ( x  1) 2 . + Ta có:. + Tại tiếp điểm M1(0; -2) thì y’(0) = -3 nên tiếp tuyến có phương trình: y  3x  2 + Tại tiếp điểm M2(2; 4) thì y’(2) = -3 nên tiếp tuyến có phương trình: y  3 x  10 Tóm lại có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: y  3x  2 và y  3 x  10 . 3 Bài 4: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số: y x  3x  1 , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y 9 x  17 .. Giải: Tiếp tuyến  của (C) song song với (d) nên có phương trình dạng: y 9 x  b , b 17 Vì  là tiếp tuyến của (C) nên hệ sau có nghiệm: 3 3  x  3x  1 9 x  b b  x  12 x  1  x 2  b  15  2   2 3x  3 9  x 4  x  2  b 17 Vì điều kiện b 17 nên ta nhận kết quả: x 2  b  15 Vậy tiếp tuyến cần tìm có phương trình: y 9 x  15 . 1 y  x4  2x2 4 Bài 5: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số: , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d): x  5 y  2010 0 . Giải: 1 1 x  402 5 (d) có phương trình: nên (d) có hệ số góc là - 5 . 1  .k  1  k 5 (do   (d )) Gọi  là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k thì 5 . y . 3 3 Ta có: y '  x  4 x nên hoành độ tiếp điểm là nghiệm phương trình: x  4 x 5 9  x 3  4 x  5 0  ( x  1)( x 2  x  5) 0  x  1 0  x 1  y  4.

<span class='text_page_counter'>(10)</span>  9 M  1;  Vậy tiếp điểm M có tọa độ là  4  9 11 y  5( x  1)  y 5 x  4 4 Tiếp tuyến có phương trình: 11 y 5 x  4. Tóm lại: Tiếp tuyến cần tìm có phương trình:. Bài 6: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số: khoảng cách từ điểm I(-1; 2) đến tiếp tuyến là lớn nhất.. y. 2x  2 x  1 , biết rằng. Giải:  2a  2   a;  ,  M  (C )  Gọi  là tiếp tuyến của đồ thị (C) tại tiếp điểm M  a  1  . 4 4 y'   y '(a )  ,  a  1 2 2 ( x  1) ( a  1) Ta có: : y Vậy d  I;  . 2a  2 4  ( x  a)  4 x  (a  1) 2 y  2a 2  4a  2 0 (*) 2 a  1 (a  1). 4( 1)  (a  1) 2 .2  2a 2  4a  2 4  ( a  1) 4 2. Ta có:. . 8 a 1 4  ( a  1) 4. 4  (a  1) 4 22   (a  1) 2  2.2(a  1) 2 .  d  I; . .. 4  ( a  1) 4  2.2( a  1) 2 2 a  1. 8 a 1 4 2 a 1. d I; d I; . Vậy  lớn nhất khi  =4  a  1 2  a 1  22 (a  1) 2     a  1  2  a  3 . Cả hai giá trị đều thỏa mãn a 1 + Với a = 1 thay vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến là: 4 x  4 y  4 0  x  y  1 0 + Với a = -3 thay vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến là: 4 x  4 y  28 0  x  y  7 0. Tóm lại: Có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: x  y  1 0 ; x  y  7 0 x 1 2 x  1 . Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp Bài 7: Cho (C) là đồ thị hàm số: tuyến đó cắt trục hoành , trục tung tương ứng tại các điểm A, B thỏa mãn  OAB vuông cân tại gốc tọa độ O. y. Giải: M  x0 ; y0  Gọi là tiếp điểm. Tiếp tuyến với (C) tại M phải thỏa mãn song song với các đường thẳng y = x hoặc y = -x..

<span class='text_page_counter'>(11)</span> 1 1 y '( x )  0 0 (2 x0  1)2 (2 x  1) 2 nên tiếp tuyến với (C) tại M có hệ số góc là: Ta có: Vậy tiếp tuyến với (C) tại M song song với đường thẳng d: y = -x 1   1  (2 x0  1)2 1 x0  1 2 2 không là nghiệm phương trình) Do đó: (2 x0  1) ;(  2 x0  1 1  x0 0  y0 1    2 x0  1  1  x0  1  y0 0 . Vậy có hai tiếp điểm là: M 1 (0;1) , M 2 ( 1;0) . + Tại điểm M1(0; 1) ta có phương trình tiếp tuyến là: y = - x + 1: thỏa mãn song song với d + Tại điểm M2(-1; ) ta có phương trình tiếp tuyến là: y = - x - 1: thỏa mãn song song với d Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: y  x  1; y  x  1. y ' . 2x  2 x  1 , sao cho tiếp Bài 8: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số: tuyến cắt trục hoành , trục tung tương ứng tại các điểm A, B thỏa mãn 4.OA = OB. y. Giải: M x ;y Gọi  là tiếp tuyến với (C) tại tiếp điểm  0 0  , ( x0  1) OB t anA  4 OA  Vì OAB vuông tại O nên . Vậy tiếp tuyến có hệ số góc là 4 hoặc -4 4 4 y '( x )  0 y'  0 2 2 ( x  1) ( x  1) 0 Ta có: nên tiếp tuyến với (C) tại M có hệ số góc là:.  x0 0  y0  2  x  2  y 6 0  0 Do đó: : Thỏa mãn x0  1 Vậy có hai tiếp điểm là: M (0;  2) , M (  2;6) . + Tại điểm M(0; -2) ta có phương trình tiếp tuyến là: y = 4x – 2 + Tại điểm M(-2; 6) ta có phương trình tiếp tuyến là: y = 4x + 14 Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: y 4 x  2 ; y 4 x  14 4 4  ( x0  1) 2 1  2 ( x0  1). Bài 9: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số: cách từ điểm I(-2; 2) đến tiếp tuyến đó bằng 2 2 .. y. 2x x  2 , biết khoảng. Giải: 2a    a;  Gọi M  a  2  là tiếp điểm, a  2 và gọi  là tiếp tuyến với (C) tại M. 4 4 y'   y '(a )  2 ( x  2) (a  2) 2 . Ta có: : y . 4 2a ( x  a)   4 x  ( a  2) 2 y  2a 2 0 2 (a  2) a2.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> 8 a2. d  I; . 2. 2 2  8(a  2) 2 16  ( a  2) 4   (a  2) 2  4  0. 16  (a  2) 4  a  2 2  a  2  2  a 0  a  4 : thỏa mãn a  2 Thay các giá trị của a vào (1) và thu gọn ta được các tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: x  y 0 ; x  y  8 0 3 2 Bài 10: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) của hàm số: y  x  3x sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = 4 2 .. Giải: 3 2 3 2 + Gọi A(a;  a  3a ) , B (b;  b  3b ) , a b là hai điểm phân biệt trên (C). 2 + Ta có: y '  3x  6 x nên các tiếp tuyến với (C) tại A và B có hệ số góc lần lượt là:. y '( a )  3a 2  6a và y '(b)  3b 2  6b .. + Tiếp tuyến tại A và B song song với nhau khi: y '( a)  y '(b)   3a 2  6a  3b 2  6b  3( a  b)( a  b)  6( a  b) 0  a  b  2 0  a 2  b (vì a b  a  b 0) 2. +. AB 4 2  AB 2 32  (a  b)2   ( a3  3a 2 )  ( b3  3b 2 )  32 2.  (a  b) 2    (a 3  b3 )  3(a 2  b 2 )  32 2.  (a  b) 2    ( a  b)(a 2  ab  b 2 )  3( a  b)(a  b)  32 2.  (a  b) 2  (a  b) 2   (a 2  ab  b 2 )  3(a  b)  32 2.  (a  b) 2  (a  b) 2  (a 2  ab  b 2 )  3(a  b)  32 ; thay a = 2 – b ta được: 2. (2  2b) 2  (2  2b) 2  (2  b) 2  (2  b)b  b 2  6  32 2. 2 2 2  (1  b)  (1  b) (b  2b  2)  8 0  (1  b)  (1  b)  (1  b)  3  8 0 . 2. 2. 2. 2. 2 2 Đặt t (1  b) 0 , ta có phương trình theo t là: t  t (t  3)  8 0  t 3  6t 2  10t  8 0  (t  4)(t 2  2t  2) 0  t 4  b  1  a 3 1  b 2  1  b  2    b 3  a  1 Vậy. -. Với a 3 và b  1  A(3;0) , B ( 1;4) Với a  1 và b 3  A( 1;4) , B (3;0). Tóm lại cặp điểm A, B cần tìm có tọa độ là: (3; 0) và (  1; 4).

<span class='text_page_counter'>(13)</span> y. Bài 11: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) của hàm số: (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = 2 5. x 1 x  1 sao cho tiếp tuyến của. Giải: 2 x 1 Hàm số được viết lại: 2   2   A  a;1   , B  b;1   a  1  b  1  là cặp điểm trên đồ thị (C) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Gọi  Với điều kiện: a b, a 1, b 1 . y 1 . 2 ( x  1) 2 nên hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B là: Ta có: 2 2 y '(a)  và y '(b)  2 (a  1) (b  1) 2 2 2 y '(a )  y '(b)   2 (a  1) (b  1) 2 Tiếp tuyến tại A và B song song khi: y' .  a  1 b  1  a b    a  b  2  a  1  b  1  a  b  2 (1) (do a b ) 2 2   2 2 2 AB 2 5  AB 20  (a  b)     20  a  1 b  1 2. 2. 2   2  2  2  ( 2b  2)     20  4(b  1)    20   b 1 b  1   b  1 ( do thay a ở (1) ) 2  (b  1) 1  b  1 1  b  1  1  (b  1)4  5(b  1) 2  4 0     2  b  1 2  b  1  2  (b  1) 4 2.  b 2  a 0  b 0  a 2   b 3  a  1   b  1  a 3 Cặp điểm A và B cần tìm có tọa độ là: (0;  1) và (2;3) ; (  1;0) và (3;2). 3 Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x  3 x  3 tại điểm M(x0;y0) thỏa mãn y’(x0) = 0..

<span class='text_page_counter'>(14)</span> 1 1 4 y  x3  x2  2 x  3 2 3 . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) Bài 2: Cho đường cong (C):. biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y 4 x  2 .. 3 2 Bài 3: Cho đường cong (C): y  x  3x  4 . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0;-1).. Bài 4: Cho đường cong (C): tuyến đi qua điểm A(-2;0).. y. 2x  5 x  2 . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp. 1 m 1 y  x3  x 2  3 2 3 (Cm) Bài 5: Cho hàm số. Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng -1. Tìm m để tiếp tuyến của (C m) tại điểm M song song với đường thẳng d : 5 x  y 0 . 1 y  x 3  2 x 2  3x 3 Bài 6: Viết phương trình tiếp tuyến  của đồ thị (C) của hàm số tại. điểm có hoành độ x0 thỏa mãn f "( x0 ) và chứng minh rằng  là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất. y. 2x x 1. Cho hàm số: y = Bài 7: Tìm toạ độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A, B và 1 tam giác OAB có diện tích bằng 4 . 2x  1 x  1 có đồ thị (C) và điểm I(1; 2). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho Bài 8: Cho hàm số tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM. y. x 1 2 x  1 . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại Bài 9: Cho (C) là đồ thị hàm số: những điểm thuộc (C) có tọa độ là số nguyên. y. x 1 x  1 . Tìm những điểm trên trục tung mà từ mỗi Bài 10: Cho (C) là đồ thị hàm số: điểm ấy chỉ kẻ được đúng một tiếp tuyến tới đồ thị (C). y.

<span class='text_page_counter'>(15)</span>

<span class='text_page_counter'>(16)</span>