203 bai tap nguyen ham tich phan va ung dung trong cac de thi thu thpt 2021 mon toan

CHUYÊN ĐỀ
GV. LƯƠNG ANH NHẬT

3

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG
TỪ ĐỀ CÁC TRƯỜNG CHUYÊN 2020 - 2021

GV. LƯƠNG ANH NHẬT


NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021

TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12

NGUYÊN HÀM
ĐỊNH NGHĨA – TÍNH CHẤT – NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
Câu 1:
(CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2020-2021 LẦN 02) Mệnh đề nào sau đây sai?
1
Ⓐ  dx = ln x + C .
Ⓑ  e x dx = e x + C .
x
Ⓒ
Câu 2:

 xdx =

x2 + 1
+C .
2

Ⓓ

(CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2020-2021) Hàm số f ( x ) = x 4 − 3x 2
có họ nguyên hàm là
Ⓐ F ( x ) = x 3 − 6 x + C.
Ⓒ F ( x) =

Câu 3:

 sin xdx = cos x + C .

Ⓑ F ( x ) = x 5 + x 3 + C.

x5
+ x 3 + C.
5

Ⓓ F ( x) =

x5
− x 3 + C.
5

(CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2020-2021) Họ nguyên hàm của
hàm số f ( x ) = e2 x là
Ⓐ F ( x ) = e 2 x + C.

Ⓑ F ( x ) = e3 x + C.

Ⓒ F ( x ) = 2e2 x + C.

Ⓓ F ( x) =

1 2x
e + C.
2

Câu 4:

(CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI NĂM 2020-2021) Họ nguyên hàm của hàm số
y = 5 − 3x là:
2
1
2
2
3
3
5 − 3 x + C.
Ⓐ
( 5 − 3 x ) + C. Ⓑ − 5 − 3 x + C . Ⓒ − ( 5 − 3 x ) + C. Ⓓ
9
2
9
3

Câu 5:

(CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2020-2021 LẦN 04) Cho hàm
f ( x ) = 4 x3 − 3x 2 + 2 x − 1 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

Câu 6:

Ⓐ

 f ( x ) dx = 4x

Ⓒ

 f ( x ) dx = 4 x

4

1

− x3 + x 2 − x + C .

Ⓑ

 f ( x ) dx = x

− x3 + x 2 − x + C .

Ⓓ

 f ( x ) dx = 12x

4

4

số

− x3 + x 2 − x + C .
4

− 6 x3 + x 2 − x + C .

(CHUYÊN THÁI BÌNH NĂM 2020-2021 LẦN 04) Cho hàm số f ( x ) = sin 3x . Trong
các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

Câu 7:

Ⓐ

 f ( x ) dx = −3cos3x + C .

Ⓒ

 f ( x ) dx = − 3 cos 3x + C .

1

Ⓑ

 f ( x ) dx = 3cos3x + C .

Ⓓ

 f ( x ) dx = 3 cos 3x + C .

1

(CHUYÊN NGUYỄN BÌNH KHIÊM QUẢNG NAM NĂM 2020-2021) Cho F ( x ) là

 
 
một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = sin 2 x và F   = 1 . Tính F   .
4
6

  1
Ⓐ F = .
6 2

  5
Ⓑ F = .
6 4

  3
Ⓒ F = .
6 4

 
Ⓓ F   = 0.
6

LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI

1 | HNT.E

NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021

TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12

Câu 8:

(CHUYÊN NGUYỄN BÌNH KHIÊM QUẢNG NAM NĂM 2020-2021) Họ tất cả các
2
nguyên hàm của hàm số f ( x) = sin x + .
x
2
Ⓐ cos x − 2 + C .
Ⓑ − cos x + 2ln x + C .
x
Ⓓ cos x + 2 ln x + C .

Ⓒ − cos x − 2ln x + C .
Câu 9:

(CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho C là
một hằng số. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?

Câu 10:

Ⓐ

 2x dx = x

Ⓒ

 x dx = ln | x | +C .

2

+C .

1

Ⓑ

 sinx dx = cos x + C .

Ⓓ

e

x

dx = e x − C .

(CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho hàm số

f ( x ) = sin 3x . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

Câu 11:

1

Ⓐ

 f ( x ) dx = 3cos x + C .

Ⓑ

 f ( x ) dx = 3 cos x + C .

Ⓒ

 f ( x ) dx = 3cos3x + C .

Ⓓ

 f ( x ) dx = − 3 cos 3x + C .

1

(CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Họ nguyên hàm của hàm số
f ( x ) = e x + x là:
2
Ⓐ e + x +C .
2

Ⓑ e +1+ C .
x

x

Câu 12:

2
1 x +1 x 2
Ⓒ
e + + C . Ⓓ 1 ex + x + C .
x +1
2
2
2

(CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Tìm họ nguyên hàm



1 

  x + x − 1  dx
Ⓐ x 2 + ln x − 1 + C .
Câu 13:

Ⓑ x+

1
+C.
x −1

Ⓒ

x2
+ ln x − 1 + C .

2

Ⓓ 1−

1

( x − 1)

2

+C .

(CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Cho hàm số F ( x ) , f ( x ) liên
tục trên khoảng K , khi đó F ( x ) là một nguyên hàm của hàm f ( x ) trên khoảng K
nếu với mọi x  K ta có
Ⓐ F ( x) = f ( x) .

Câu 14:

Ⓑ F ( x ) = f  ( x ) S1  S2 

m3 m3
64
8

 8m 
m .
6
6
3

3

LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI

107 | HNT.E


TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12

NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021

Câu 182: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho hai hàm số

f  x   ax 4  bx3  cx 2  dx  1 và g  x   ex  2 ( a , b, c, d , e là các số thực cho trước).
Biết rằng đồ thị của hai hàm số y  f  x  và y  g  x  tiếp xúc nhau tại hai điểm có
hồnh độ lần lượt là  1; 2 .

Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng
Ⓐ

81
.
20

Ⓑ

81
.
4

Ⓒ

81
.
10

Ⓓ

81
.
40

Lời giải

 y  f  x  , y  g  x 
.
 x  1, x  2

Hình phẳng  H  : 

2

Dựa vào hình vẽ trên diện tích hình phẳng  H  là: S    f  x   g  x   dx .
1

Ta có: f  x   g  x   ax 4  bx 3  cx 2   d  e  x  1
Do đồ thị của hai hàm số y  f  x  và y  g  x  tiếp xúc nhau tại hai điểm có hồnh
độ lần lượt là  1; 2 nên x   1, x  2 là hai nghiệm bội chẵn của phương trình

f  x  g  x  0 .

4
3
2
Suy ra f  x   g  x   ax  bx  cx   d  e  x  1  a  x  1

Đồng nhất hệ số tự do ta được: 1  4a  a 
Do đó f  x   g  x  

2

 x  2

2

.

1
.
4

2
1
1
81
2
2
2
2
 x  1  x  2  hay S   4  x  1  x  2  dx  40 .
4

1

Câu 183: (CHUYÊN LONG AN NĂM 2020-2021 LẦN 03) Cho hàm số y  f ( x ). Đồ thị hàm
số y  f ( x) như hình bên. Đặt g ( x)  x 3  3 f ( x). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI

108 | HNT.E


TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12

NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021

Ⓐ g (2)  g (1)  g (0).

Ⓑ g (0)  g (1)  g (2).

Ⓒ g (1)  g (0)  g (2).

Ⓓ g (2)  g (0)  g (1) .
Lời giải

 x  1
Ta có: g ( x)  3 x  3 f ( x)  3  x  f ( x)  . Suy ra: g ( x )  0  x  f ( x)   x  0
 x  2
2

2

2

BBT:

LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI

109 | HNT.E


TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12

NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021

Từ BBT suy ra max g ( x )  g (0).
 1;2

Theo hình vẽ thì
0

S1  S 2 

2

0

2

2
2
2

2
  x  f ( x) dx     x  f ( x)  dx   3  x  f ( x) dx    3  x  f ( x)  dx
1

0

1

0



0

2

 g ( x)dx    g ( x)dx

1

0

 g (0)  g ( 1)   g (2)  g (0)
 g ( 1)  g (2).

Tóm lại: g (0)  g ( 1)  g (2). Ta chọn đáp án Ⓐ
Câu 184: (CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2020-2021) Cho hình phẳng  H  được giới hạn
bởi các đường y  e x ; y  0 ; x  0 và x  ln 4 . Đường thẳng x  k  k   ; 0  k  ln 4 
chia hình phẳng  H  thành hai phần có diện tích là S1 ; S 2 (xem hình vẽ).

Tìm k để S2  2 S1 .

8
3

Ⓐ k  ln 3 .

Ⓑ k  ln .

Ⓒ k

2
ln 4 .
3

Ⓓ k  ln 2 .

Lời giải
Chọn D
Ta có
ln 4

S2  2S1 


k

k

e x dx  2 e x dx  e x

0

ln 4
k

 2e x

k
0

 4  e k  2e k  2  e k  2  k  ln 2 .

LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI

110 | HNT.E


TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12

NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021

Câu 185: (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2020-2021) Cho hàm số bậc ba

y  f  x  có đồ thị là đường cong bên dưới. Gọi x1 ; x2 lần lượt là hai điểm cực trị thỏa
mãn x2  x1  2 và f  x1   3 f  x2   0 . Đường thẳng song song với trục O x và đi qua
điểm cực tiểu cắt đồ thị hàm số tại điểm thứ hai có hồnh độ x0 và x1  x0 1 . Tính tỉ
số

S1
( S và S2 lần lượt là diện tích hai hình phẳng được gạch ở hình bên dưới).

S2 1

Ⓐ

9
.
8

Ⓑ

5
.
8

3
.
8

Ⓒ

Ⓓ

3
.
5

Lời giải
Do f  x  là hàm số bậc ba nên
f  x   ax 3  bx 2  cx  d ,  a  0   f   x   3ax 2  2bx  c

Mặt khác do hàm số y  f  x  có hai điểm cực trị x1 ; x2 thỏa mãn x2  x1  2 nên
2

f   x   3a  x  x1  x  x2   3a  x  x1  x  x1  2  3a  x  x1   6a  x  x1  .
3

2

Mặt khác f  x  f   xdx  f  x   a  x  x1   3a  x  x1   C , khi đó f  x1   C và



3

2

f  x2   f  x1  2  a  x1  2  x1   3a  x1  2  x1   C  4a  C .
Mà f  x1   3 f  x2   0  C  3   4 a  C   0  C  6 a  f  x2   2 a .
3
2
 f  x   a   x  x1   3  x  x1   6  .



x2

Do S1    f  x   f  x2  dx  a
x0

x1 2

  x  x 
1

x1 1

3

27
2
 3 x  x1   4dx  a .

4

LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI

111 | HNT.E


TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12
x2

x1  2

S2   f  x2 dx 
x0

Vậy

NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021

 2adx  6a .

x1 1

S1 9
 .
S2 8

Câu 186: (CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021 LẦN 02) Cho parabol

 P1  : y   x2  6 cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt
 0  a  6  . Xét parabol  P2 

A, B và đường thẳng d : y  a

đi qua A, B và có đỉnh thuộc đường thẳng y  a . Gọi S1

là diện tích hình phẳng giới hạn bởi  P1  và d ; S2 là diện tích hình phẳng giới hạn
bởi  P2  và trục hồnh (tham khảo hình vẽ).

Biết S1  S2 , tính T  a 3  12a 2  108a .
Ⓑ T  219 .

Ⓐ T  218 .

Ⓒ T  216 .

Ⓓ T  217 .

Lời giải
Xét phương trình hồnh độ giao điểm:  x 2  6  a
 x2  6  a

 x   6a .
6 a

Khi đó S1  2

 x
0

2

 x3
 6a 4
 6  a   2    6 x  ax 
 6  a 6  a .
3
 3
0

x  6  y  0
 y   x2  6

.
Tọa độ giao điểm A, B là nghiệm của hệ 
 x   6  y  0
y  0



 

Vậy A  6; 0 , B



6; 0 .

LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI

112 | HNT.E


TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12

NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021

Gọi  P2  : y  mx 2  nx  p .
Vì parabol  P2  đi qua A, B và có đỉnh thuộc đường thẳng y  a nên


 6m  6 n  p  0  n  0


a 2
6m  6n  p  0   p  a   P2  : y   x  a .
6
p  a


a

m  
6

6

 4 6a
 ax 3
 6
6a
 a

.
Do đó S 2  2    x 2  a dx  2  
 ax 
 2  
 6a  
6
3
3

 18
0
0 



Theo đề bài

S1  S 2 

4
4 6a
3
  6  a   6a 2  216  108a  18a 2  a 3  6a 2
6  a 6  a 
3
3

 a 3  12a 2  108a  216 .

Câu 187: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  và có đồ thị như hình bên. Biết
1

rằng tích phân K   x. f  x  . f   x  dx có giá trị thuộc khoảng nào sau đây?
0

Ⓐ

3

Ⓑ  2;   .
2


 3; 2  .

 2 
Ⓒ   ;0 .

 3 

 3 2
Ⓓ   ;  .
 2 3

Lời giải
Chọn D
u  x  du  dx

Đặt 
2 .
1
dv  f  x  . f   x  dx  v  2  f  x  
1

1

1

2
2
2
x
1
1 1
Khi đó K   f  x      f  x   dx     f  x   dx .
2
20
2 20

0

Cách 1. Từ đồ thị ta thấy

LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI

113 | HNT.E


TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12

NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021

Đồ thị y  f  x  nằm trên đường thẳng y  2  x trên  0;1 .
2

2

2

1
 f  x  
 2  x  dx  7  K  1  1  f  x  dx   2 .
Nên f  x   2  x   
dx  
2
2
6
2 0
2

3
0
0
1

Đồ thị y  f  x  nằm dưới đường thẳng y  2 trên  0;1 .
2

2

2

1
 f  x  
 2  dx  2  K  1  1  f  x   dx   3 .
Nên f  x   2   
dx  
2
2
2 0
2
2
0
0
1

Cách 2. [Khi có rất nhiều điểm thuộc đồ thị trên hình]
Chọn f  x   ax 4  bx 3  cx 2  dx  e . Dựa vào độ thị ta có hệ phương trình
f


f

f

f
f

1

K

 2   1
 1  1
1
1
7
1
0  2  a  , b   , c   , d  , e  2 .
6
6
6
6
1  1
 3  1
2

1 1 1 4 1 3 7 2 1

 3 2
   x  x  x  x  2  dx  0,968 . Suy ra K    ;   .

2 2 0 6
4
6
6

 2 3

Câu 188: Cho hàm số y  ax 4  bx 2  c có đồ thị  C  , biết rằng  C  đi qua điểm A  1; 0  , tiếp
tuyến d tại A của  C  cắt  C  tại hai điểm có hồnh độ lần lượt là 0 và 2 và diện
tích hình phẳng giới hạn bởi d , đồ thị  C  và hai đường thẳng x  0; x  2 có diện
tích bằng

28
(phần tơ màu trong hình vẽ).
5

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi  C  và hai đường thẳng x  1; x  0 có diện tích
bằng
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI

114 | HNT.E


TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12

Ⓐ

2
.
5

NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021

1
.
4

Ⓑ

Ⓒ

2
.
9

Ⓓ

6
.
5

Lời giải
Chọn D
Từ đồ thị ta có phương trình hồnh độ giao điểm là:
2

a  x  1  x  2  x  0  ax 4  3ax 2  2ax  0 ,  a  0 
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi d , đồ thị  C  và hai đường thẳng x  0; x  2 bằng

28

nên:
8

2



ax 4  3ax 2  2ax dx 

0

2 28
28
ax 5
 
 ax 3  ax 2 
 a 1
0 5
5
5

Suy ra phương trình hồnh độ giao điểm là: x4  3x2  2 x  0
Từ đồ thị ta thấy d đi qua điểm A  1; 0  và B  0; k  nên phương trình đường thẳng
d là:

y  kx  k . Suy ra hàm số  C  có dạng: y  x 4  3 x 2   2  k  x  k  0 . Mà đồ thị hàm số

 C  là hàm trùng phương

y  ax 4  bx 2  c nên 2  k  0  k  2

0

Vậy diện tích cần tìm là:

 x

1

4

 3 x 2  2  dx 

6
.
5

Câu 189: (THPT CHUYÊN BẾN TRE NĂM 2020-2021) Cho hàm số y  ax 4  bx 2  c có đồ thị
 C  , biết rằng  C  đi qua điểm A  1;0  , tiếp tuyến d tại A của  C  cắt  C  tại hai
điểm có hồnh độ lần lượt là 0 và 2 và diện tích hình phẳng giới hạn bởi d , đồ thị
 C  và hai đường thẳng x  0; x  2 có diện tích bằng 28 (phần tơ màu trong hình
5
vẽ).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi  C  , d và hai đường thẳng x  1; x  0 có diện
tích bằng
Ⓐ

2
.

5

Ⓑ

1
.
4

Ⓒ

2
.
9

Ⓓ

1
.
5

Lời giải
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI

115 | HNT.E


TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12

NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUN 2020-2021

Gọi phương trình đường thẳng d có dạng y  mx  n .
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi  C  , d và hai đường thẳng x  0, x  2 là
2

2

28
28
4
2
0 | a x  bx  c  mx  n | dx  5   0  a x  bx  c  mx  n  dx  5 *
4

2

Vì  C  và d tiếp xúc tại điểm x  1 và giao nhau tại các điểm có hồnh độ
2





x  0; x  2 nên ta có ax 4  bx 2  c  mx  n  a  x  2  x  x  1  a x 4  3x 2  2 x .

Khi đó:
2

*  a   x 4  3x 2  2 x dx 
0

28
28
 x5
 2 28
28
 a
 a  1.
 a.   x3  x 2  
5
5
5
 5
0 5

Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi  C  , d và hai đường thẳng x  1, x  0 là
0

1
S   | x 4  3x 2  2 x | dx  .
5
1
Lưu ý: Đề bài trên đã bổ sung thêm yếu tố giới hạn bởi đồ thị  C  với đường thẳng d vào
câu hỏi so với đề bài gốc vì nếu đề bài gốc là tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi  C  và hai
đường thẳng x  1; x  0 là khơng hợp lí vì hình phẳng hở nên khơng tính được diện tích,
6
nếu chọn bổ sung giới hạn với trục Ox thì đáp án là khơng có trong 4 đáp án.
5
BÀI TOÁN THỰC TẾ SỬ DỤNG DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Câu 190: (CHUN LONG AN NĂM 2020-2021 LẦN 03) Bồn hoa của một trường X có dạng
hình trịn bán kính bằng 8m . Người ta chia bồn hoa thành các phần như hình vẽ dưới

đây và có ý định trồng hoa như sau: Phần diện tích bên trong hình vng ABCD để
trồng hoⒶ Phần diện tích kéo dài từ 4 cạnh của hình vng đến đường trịn dùng
để trồng cỏ. Ở bốn góc cịn lại, mỗi góc trồng một cây cọ. Biết AB  4m , giá trồng hoa
là 200.000 đ/m2, giá trồng cỏ là 100.000 đ/m2, mỗi cây cọ giá 150.000 đ. Hỏi số tiền để
thực hiện việc trang trí bồn hoa như miêu tả ở trên gần bằng giá trị nào nhất?

Ⓐ 14.465.000 đồng.

Ⓑ 14.865.000 đồng. Ⓒ 13.265.000 đồng. Ⓓ 12.218.000

đồng.
LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI

116 | HNT.E


TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12

NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021

Lời giải
Chọn C

Chọn hệ trục tọa độ sao cho gốc tọa độ trùng với tâm hình trịn, suy ra phương
trình
đường trịn là: x 2  y 2  64 .
Diện tích hình vng ABCD là: S ABCD  4  4  16  m 2  .
 Số tiền để trồng hoa là: T1  16  200.000  3.200.000 .
2

Diện tích trồng cỏ là: S  4 

2





 

64  x 2  2 dx  94, 654 m 2 .

 Số tiền trồng cỏ là: T2  94, 654  100.000  9.465.000 .
Số tiền trồng 4 cây cọ là: T3  150.000  4  600.000 .
Vậy tổng số tiền để thực hiện việc trang trí bồn hoa là:
T  T1  T2  T3  13.265.000 .
Câu 191: (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2020-2021 LẦN 02) Mặt sàn của một thang máy
có dạng hình vng ABCD cạnh 2m được lát gạch màu trắng và trang trí bởi một
hình 4 cánh giống nhau màu sẫm. Khi đặt trong hệ tọa độ Oxy với O là tâm hình
vng sao cho A 1;1 như hình vẽ bên thì các đường cong OA có phương trình y  x2
và y  ax3  bx . Tính giá trị ab biết rằng diện tích trang trí màu sẫm chiếm

1
diện tích
3

mặt sàn.

LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI

117 | HNT.E


TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12

Ⓐ 2 .

NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021

Ⓑ 3 .

Ⓒ 2.

Ⓓ 3.

Lời giải
Vì đường cong OA có phương trình y  ax3  bx đi qua điểm A 1;1 nên

a  b  1  b  1 a
 y  ax3  1  a  x
Diện tích mặt sàn hình vuông là: S ABCD  22  4  m 2 
Diện tích hình một cánh màu sẫm là:
1

1

0

0

S   x 2   ax3  1  a  x  dx    x 2  ax3  ax  x  dx
1

 x 3 ax 4 ax 2 x 2 
1 a a 1 a 1
 

       
4
2
2 0 3 4 2 2 4 6
 3
1
a 1
Theo đề bài, ta có: 4 S  S ABCD  12 S  S ABCD  12     4  a  2  b  1
3
 4 6

Do đó: ab  2 .
Câu 192: (CHUN LÊ Q ĐƠN QUẢNG NINH NĂM 2020-2021) Cho hàm số bậc ba có
đồ thị như hình vẽ, biết f  x  đạt cực tiểu tại điểm x  1 và thỏa mãn  f  x   1 và
2

2

 f  x   1 lần lượt chia hết cho  x  1 và  x  1 . Gọi S1 , S2 lần lượt là diện tích hình
phẳng như hình bên dưới. Tính 2S1  S 2

Ⓐ 4.

Ⓑ

3
.
4

Ⓒ

1
.
2

Ⓓ

LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI

1
.
4

118 | HNT.E


TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12

NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021

Lời giải
Chọn B
2




 f  x   1   x  1
  f  x   1   x  1  f   x   x  1


Theo giả thiết, ta có: 

2
  f  x   1   x  1
  f  x   1   x  1
 f   x   x  1
 f   x  có dạng: f   x   a  x  1 x  1  a  x 2  1  a  0 

 x3

Và f  x   a   x   C
 3


Theo hình vẽ, f  0   0  C  0

 2a
 1  0
  f  x   1   x  1 2  f 1  1  0
3




 3


a

2
2
  f  x   1   x  1
 f  1  1  0  2a  1  0
 3
 x3 3
3  x3
Vậy f  x     x    x
2 3
 2 2

* Phương trình giao điểm của của  C  : y  f  x  với trục hoành:
x  0

x3 3
 x  0  x   3
2 2
x  3

1

1

0

0

Diện tích hình phẳng S1   f  x  dx  
Diện tích hình phẳng S 2  

1

3

x3 3
5
 x dx 
2 2
8

f  x  dx  

1

3

x3 3
1
 x dx 
2 2
2

5 1 3
Vậy: 2 S1  S 2  2.  
8 2 4

Câu 193: (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2020-2021
LẦN 01) Một chiếc xe đua F1 đạt tới vận tốc lớn
nhất là 360 km / h . Đồ thị bên biểu thị vận tốc v
của xe trong 5 giây đầu tiên kể từ lúc xuất phát.
Đồ thị trong 2 giây đầu tiên là một phần của
parabol đỉnh tại gốc tọa độ O , giây tiếp theo là
đoạn thẳng và sau đúng 3 giây thì xe đạt vận
tốc lớn nhất. Biết rằng mỗi đơn vị trục hoành
biểu thị 1 giây, mỗi đơn vị trục tung biểu thị
10 m / s và trong 5 giây đầu xe chuyển động
theo đường thẳng. Hỏi trong 5 giây đó xe đã đi
được quãng đường là bao nhiêu?
Ⓐ 340 (mét).
Ⓑ 420 (mét).
Ⓒ 400 (mét).

Ⓓ 320 (mét).

LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI

119 | HNT.E


TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12

NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021

Lời giải
Chọn D

Giả sử A  2;6  ; B  3;10 

Theo gt thì phương trình của parabol là y 

3 2
x ; phương trình đường thẳng AB là
2

y  4x  2

Vậy trong 5 giây đó xe đã đi được quãng đường là:
3
2 3 2

S  10   x dx    4 x  2  dx  2.10   320 (mét).
2
0 2


THỂ TÍCH GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐỒ THỊ (TRỊN XOAY)
Câu 194: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Thể tích vật thể trịn xoay do
hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y  f  x  , trục Ox và các đường thẳng x  a , x  b ,

 a  b

quay quanh trục Ox được tính theo công thức
b

Ⓐ V  f

b
2

 x  dx .

a

Ⓑ V  f
a

b
2

 x  dx .

Ⓒ V   f  x  dx .
a

b

Ⓓ V    f  x  dx
a

.
Lời giải
Thể tích vật thể trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y  f  x  , trục Ox và
các đường thẳng x  a , x  b ,  a  b  quay quanh trục Ox được tính theo công
b

thức V    f 2  x  dx .

a

LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI

120 | HNT.E


TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12

NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021

Câu 195: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH NĂM 2020-2021) Gọi ( H ) là hình
phẳng giới hạn bởi các đồ thị y  x  x, y  0 trong mặt phẳng Oxy . Quay hình ( H )
quanh trục hồnh ta được một khối trịn xoay có thể tích bằng
1

1

Ⓐ 

x  x dx . Ⓑ

1


0

0



x  x dx . Ⓒ   x 1  x



1

2

Ⓓ

dx .

0



 x 1 x



2

dx .

0

Lời giải

x  0

x  0
xx0 x  x

.
2
x 1
x  x

Xét phương trình
Ta

có
1

V 



0

thể



tích

1

2



khối
1

2



trịn



x  x dx     x 1  x  dx    x 1  x


0

xoay

là

2

 dx .

0

Câu 196: (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH NĂM 2020-2021 LẦN 02) Gọi  D  là hình phẳng giới
hạn bởi các đường y  1 và y  2  x 2 . Thể tích khối trịn xoay giới hạn được tạo thành

khi quay  D  xung quanh trục Ox được tính theo cơng thức
2

Ⓐ V 

2 2

 2  x 

1

2

Ⓑ V     2  x 2  dx .

dx .

1

 2
1

2

2

Ⓒ V     2  x 2  dx  2 .

Ⓓ V 

1

2 2

 2  x 

dx  4 .

 2

Lời giải
Ta có phương trình hồnh độ giao điểm 1  2  x 2  x  1 .
Thể tích khối trịn xoay giới hạn được tạo thành khi quay  D  xung quanh trục Ox
được tính theo cơng thức
1

V    2  x

2 2

1

1

2



1



2



 1 dx     2  x 2   1 dx
2

1

1

1

2

    2  x 2  dx    dx     2  x 2  dx   x
1

1

1

1
1
2
    2  x 2  dx  2 .
1
1

Câu 197: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Cho  H  là hình phẳng giới
hạn bởi parabol y  x 2 và đường tròn x2  y 2  2 . Thể tích V của vật thể tròn xoay
tạo thành khi quay  H  quanh trục hoành là

LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI

121 | HNT.E


TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12

Ⓐ V

NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021

44
.
15

Ⓑ V

5
.
3

Ⓒ V

44
.

15

Ⓓ V 


5

.

Lời giải
 y  2  x2
Ta có: x 2  y 2  2  
.
 y   2  x 2

Hình  H  là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y  2  x 2 và y  x 2 .
Phương trình hồnh độ giao điểm:
1

Ta có V   

1



2 x

2

1

 x  1
2  x2  x2  x4  x2  2  0  
.
x  1
1

3

5

 dx     x  dx     2  x  x  dx    2 x  x3  x5  11  4415 .
2

2 2

1

2

4

1

Câu 198: (THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2020-2021 LẦN 01) Tính thể tích của khối trịn xoay
khi cho hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y  3x  2 và đồ thị hàm số y  x 2 quay
quanh trục Ox .
4
1
4


Ⓐ
.
Ⓑ .
Ⓒ
.
Ⓓ
.
6
5
6
5
Lời giải
Chọn A
Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:

x 1
x 2  3x  2  x 2  3 x  2  0  
x  2
Mà x 2  3x  2 với x  1; 2   Thể tích của khối trịn xoay khi cho hình phẳng giới
hạn bởi đường thẳng y  3x  2 và đồ thị hàm số y  x 2 quay quanh trục Ox là:
2

2

2
 x5

4
2

V     3x  2   x 4  dx      x 4  9 x 2  12 x  4  dx      3 x 3  6 x 2  4 x  


5
 5
1
1
1

4
.
5
Câu 199: (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG TPHCM NĂM 2020-2021) Cho hình phẳng  H  giới
Vậy thể tích của khối trịn xoay cần tính là

hạn bởi đồ thị hàm số y  2 x  x 2 và trục hồnh. Tính thể tích V vật thể trịn xoay
sinh ra khi cho  H  quanh quay trục Ox .
4
Ⓐ V .
3

Ⓑ V

16
.
15

Ⓒ V

4

.
3

Ⓓ V

LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI

16
.
15

122 | HNT.E


TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12

NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021

Lời giải
Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y  2 x  x 2 và trục hồnh là nghiệm của
phương trình:
x  0
2 x  x2  0  
.
 x  2
2

V  . 2 x  x 2  dx 
2

0

16
.
15

Câu 200: (CHUYÊN QUANG TRUNG BÌNH PHƯỚC NĂM 2020-2021) Gọi  H  là hình
phẳng giới hạn bởi y   x 2  x và trục hồnh. Thể tích của khối trịn xoay tạo thành
khi quay hình  H  quanh trục hồnh bằng
Ⓐ


30

Ⓑ

.


6

.

Ⓒ

1
.
30

Ⓓ

1
.
6

Lời giải
Chọn A
Phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hàm số y   x 2  x và trục hoành là
x  0
 x2  x  0  
.
 x 1
1

2

Thể tích của khối trịn xoay cần tìm là V      x 2  x  dx 
0


30

.

Câu 201: (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG NĂM 2020-2021 LẦN 02) Thể tích của khối
trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi y  ln x , trục Ox và đường thẳng x  2 quay
xung quanh trục Ox là
Ⓑ 2 ln2   .
Ⓒ 2 ln2  .
Ⓓ 2ln 2  1 .

Ⓐ 2ln 2  1 .
Lời giải
Ta có:

ln x  0  x  1

Thể tích mặt trịn xoay:
2

V 
1



2
2
2


2
2
2
ln x dx    ln x dx    x.ln x 1   dx    x.ln x 1  x 1  2 ln 2   .


1
1







ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀO CÁC BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG
Câu 202: (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂKLẮC NĂM 2020-2021) Một vật chuyển động có
phương trình vận tốc: v  t   t 3  3t  1 . Quãng đường vật đi được từ thời điểm t  0
đến khi t  3 là
Ⓐ

39
m.
4

Ⓑ 19m .

Ⓒ 20m .

Ⓓ

LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI

15
.
4

123 | HNT.E


TÀI LIỆU LUYỆN THI LỚP 12

NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI CHUYÊN 2020-2021

Lời giải
Quãng đường vật đi được từ thời điểm t  0 đến khi t  3 là:
3
 t4
 3 39
t2
S    t 3  3t  1dt    3  t    m  .
2
4
0 4
0

Câu 203: (CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM 2020-2021 LẦN 03) Một chiếc máy bay
vào vị trí cất cánh chuyển động trên đường băng với vận tốc v  t   t 2  2t  m/s  với t
là thời gian được tính theo đơn vị giây kể từ khi máy bay bắt đầu chuyển động. Biết
máy bay đạt vận tốc 120  m/s  thì nó rời đường băng. Qng đường máy bay đã di
chuyển trên đường băng gần nhất với giá trị nào dưới đây?
Ⓐ 1200  m  .

Ⓑ 1100  m  .

Ⓒ 430  m  .

Ⓓ 330  m  .

Lời giải
Chọn C

Máy bay đạt vận tốc 120  m/s  tại thời điểm thỏa mãn pt: t 2  2t  120  0  t  10.
10

Khi đó quãng đường máy bay di chuyển là s    t 2  2t  dt 
0

1300
 m   430  m  .
3

LƯƠNG ANH NHẬT – 0968373054 – CHĂM CHỈ THÀNH TÀI MIỆT MÀI TẤT GIỎI

124 | HNT.E


HNT EDUCATION
GV. LƯƠNG ANH NHẬT

VỮNG KIẾN THỨC – NHẠY TƯ DUY

Giảng dạy Toán lớp 6 – 12 + Luyện thi đại học
Điện thoại: 0968 373 054

Nguyên hàm – Tích phân – Ứng dụng
LƯU HÀNH NỘI BỘ
HNT.E - 20082021