De thi GVG Huyen

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (492.87 KB, 74 trang )

(1)Tích luỹ chuyên môn Đề thi lý thuyết giáo viên dạy giỏi huyện bậc THCS Câu 1: Chứng minh sau đây đúng hay sai? Vì sao? Nếu sai anh (chị c) hướng dẫn học sinh chứng minh lại cho đúng? Đề ra : Cho đường tròn tâm O . Hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau. M, N lần lượt là trung điểm của AO, BO. Tia CN cắt (O) tại I. Hãy xét xem góc CMI có phải là góc vuông không? Vì sao? Chứng minh: Kẻ thêm một số đường như hình vẽ Giả sử góc CMI = 1v Thì sđ CBI +sđ KAE = 2v (Góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn C G) (1) Mặt khác: sđ CBI + sđ DI = 2v (2) Từ (1) và (2) : sđ KAE = sđ DI .Suy ra KI // DE K nên CMI = CED (Cặp góc đồng vị C) .. A. Mà CED = 1v (Chắn nửa đường tròn C). M. N. B. O. E. Vậy CMI = 1v là đúng Câu 2 :. I D. Hướng dẫn học sinh giải bài toán sau: Tìm k (nguyên n) để phương trình: kx2+ ( 2k -1 ) x + k-2 = 0 Có nghiệm hữu tỷ. Câu 3 : Giải bài toán và hướng dẫn học sinh khái quát hoá bài toán: Cho a, b là các số thực : 0< a, b < 1 . Chứng minh hai bất đẳng thức sau không cùng xẩy ra: a (1-b ) > 1/4 ; b ( a-1 ) > 1/4 Caõu 4 : Cho trước một đoạn thẳng đơn vị (Có độ dài bằng 1) . Chỉ dùng thước và com 2  5 được không? Nếu được hãy trình bày. pa có thể dựng được đoạn thẳng có độ dài cách dựng?. 1.

(2) Tích luỹ chuyên môn Đề thi lý thuyết GVDG huyện I.Trắc nghiệm: (4 điểm) Câu1. Hai chữ số tận cùng của 3999 – 2999 là: A. 59 B. 69 C. 79 D. 89 Câu2. Ký hiệu [ x ] là số nguyên lớn nhất không vượt quá x Giá trị của tổng [ √ 1 ] + [ √ 2 ] + [ √ 3 ] + [ √ 4 ] + …+ [ √35 ] là. A. 124 B. 124 C. 126 D. 127 Câu3. Bán kính của đường tròng nội tiếp một hình thang cân biết hai đáy bằng 16 cm và 64 cm là. A. 5 √ 41 B. 6 √ 41 C. 7 √ 41 D. 8 √ 41 0 Câu 4. Vĩ độ của Hà Nội là 20 01’. Mỗi vòng kinh tuyến của trái đất dài khoảng 40000 km. Độ dài kinh tuyến từ Hà Nội đến Xích Đạo là. A. 2222 B. 2223 C. 2224 D. 2225 II.Tư. Luận: (16 điểm1) Câu 1.( 4 điểm) a. Cho biểu thức: M =. x +3+2 √ x 2 − 9 2 x − 6+ √ x 2 − 9. Rút gọn biểu thức M. b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. H = ( x2 +. 1 )( y2 + y2. 1 ) trong đó x, y là các số dương thay đổi thoả mãn: x + y = 1 x2. *Nhiều học sinh đã giải như sau.. √ x+3+ 2 √( x −3). ¿ 2 x −3+ √ √(x +3) √ x +3 . √ x +3+2 √( x +3)(x − 3) . a. M = = ¿ 2 √ x − 3 √ x − 3+ √( x +3)(x − 3) √ x − 3¿ √ x +3 . ¿ ¿ x +3 . √ = = x+3 x −3 x−3 √ 1 1 x b. Ta có ( x + y )2 0 => x2 + 2 2 y y 1 1 y ( y + x )2 0 => y2 + 2 2 x x. √. Mặt khác vì x > 0; y H = ( x2 +. 0 nên suy ra.. 1 )( y2 + y2. 1 ) x2. 2. Vậy GTNN của H = 4 khi x.y = 1. 2. x .2 y. y x. 4.

(3) Tích luỹ chuyên môn *Phân tích sai lầm của học sinh trong các lời giả trên và đưa ra lời giải đúng. Câu 2: (4 điểm4) a. Tìm các số tự nhiên có 4 chữ số dạng ab42 biết rằng số đó chia hết cho 41 a. 36. b. Tìm phân số b biết phân số đó có giá trị là 45 và BCNN (a;b) = 300 Câu 3C: Cho tam giác ABC. Trên BC lấy D,E sao cho BD = CE. Qua D, E kể DF; EG song song AB ( F;G AC ) Chứng minh: AB = DF + EG - Bài toán có nhiều cách giải. Anh chị hãy trình bày vài cách giải, theo anh (chị) khi dạy học sinh bài tập này cần đặc biệt chú ý mệnh đề nào đã học ở sach sgiáo khoa? Câu 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, AD là phân giác của góc A ( A BC ) Chứng minh: AD2 = AB.AC – DB.DC (Bài toán có ít nhất 3 cách giải hãy trình bày một cách giải và nêu định hướng cho các cách khácB). - Bài số 3 và số 4 có mỗi liên hệ nào với nhau không? Nếu có anh (chị) hãy chỉ ra mỗi liên hệ đó . /. Đề thi lý thuyết GVDG huyện năm học 2007 – 2008 Môn thi: toán I.Phần trắc nghiệm: Anh(Chị) hã ychọn đáp án đúng với lời dẫn của các câu sau Câu1: Chữ số tận cùng của số 31991 là: a. 1 b. 7 c. 9 d. 3 Câu2: Cho dãy số 7; 12; 17; 22; 27; ……. Số thứ 1000 của dãy là: a. 5000 b. 5001 c. 5002 d. 5003 Câu3: Nước Việt Nam dân chủ cộng hoà ra đời sau cách mạng tháng tám năm 1945, đó là năm Dậu. Hàng Can của năm Dậu đó là: a. Kỷ b. ất c. Tân d. Quý 99 55 Câu4: Số dư của phép chia đa thức: f(x) = x +x +x 11 +x 9+x +7 cho đa thức ( x+ 1 ) là: a. 1 b. 4 c. 3 d. 2 1 x+ =3 . Giá trị của biểu thức x. Câu5: Cho. x 5+. 1 x5. là:. a. 123 b. 125 c. 243 d. Kết quả khác Câu6: Cho Δ ABC cân tại A, trên cạnh AB lấy điểm D. Biết AD = DC = CB. Số đo góc A của tam giác là: a. 340 b. 370 c. 360 d. 350 Câu7: Δ ABC cân tại A có AB = 60cm. Đường phân giác của góc B cắt đường cao AH ở AK. 12. K. Biết: KH = 5 a. 40cm. Độ dài BC là: b. 50cm. c. 45cm. 3. d. 60cm.

(4) Tích luỹ chuyên môn Câu8: Trong mặt phẳng, số điểm cách đều các đường thẳng chữa ba cạnh của một tam giác là: a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 II.Phần tự luận Câu1: 1. Chứng minh phân số sau là phân số tối giản với mọi số tự nhiên n 2 n+1 2 2 n −1. 19992 1999 + 2. Rút gọn biểu thức: P = 1+1999 + 2 2000 2000 Câu2: Cho x, y, z là các số dương và x+ y+ z=6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x2 y2 z2 A= + + y + z x +z y + x Câu3: 1. Cho Δ ABC có góc B bằng 600, phân giác AK và CE cắt nhau tại O. Chứng. √. 2. minh rằng: OK = OE. 2. Cho hai điểm A, B nằm cùng phía đối với đường thẳng d. Dựng đường tròn đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng d. Đáp án và biểu điểm môn toán I.Phần trắc nghiệm: (4điểm) Mỗi câu đúng được 0, 5đ Câu Đáp án đúng. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. b. c. b. d. a. c. b. d. II. Phần tự luận: (6 điểm) Câu1: (1, 5đ) 1. Chứng minh phân số tối giản (0, 5đ) Giả sửG: ( 2 n+1 ; 2n2 −1 ) =d .Ta cần chứng minh d=± 1 . Thật vậy:. 4.

(5) Tích luỹ chuyên môn ¿ 2 n+1 ⋮ d 2 n2 −1⋮ d ⇔ 2 ¿ 2 n +n ⋮ d 2 2 n −1⋮ d ⇔ ¿ 2n+1 ⋮ d n+1 ⋮ d ⇔ ¿ 2n+1 ⋮ d 2 n+2 ⋮ d ⇔ 1 ⋮ d ⇔ d=± 1 ¿{ ¿. 2. Rút gọn biểu thức (1đ) 2. 2. 2. 2. 2. 2000 =( 1999+1 ) =1999 +2 ⋅1999+1 ⇒ 1+1999 =2000 −2 ⋅1999 19992 1999 ⇒ P= 2000 −2 ⋅1999+ + 20002 2000 1999 2 1999 1999 1999 ⇒ P= 2000 − + =2000 − + 2000 2000 2000 2000 ⇒ P=2000. Ta có:. √. √(. 2. ). Câu2: Tìm giá trị nhỏ nhất (1, 5đ) áp dụng bất đẳng thức Bu -nhi-a-cốp-x-ki ta có: x 2 + √ y+z. y 2 + √x +z. 2. z √ x+ y. [( ) ( ) ( ) ] (. 2. 2. ⋅ [ ( √ y+ z ) + ( √ x + z ) + ( √ x + y ). x y z ⋅ √ y+ z + ⋅ √ x + z+ ⋅ √ x+ y √ y+ z √ x+ z √ x+ y. ⇔. (. 2. ). x2 y2 z2 + + ⋅2⋅ ( x + y + z ) ≥ ( x + y + z )2 y+ z x + z x + y x2 y2 z2 x+ y+ z 6 ⇔ + + ≥ = =3 y + z x+ z x+ y 2 2 ⇒ MinA =3 ⇔ x= y=z =2. ). Câu3:( 3điểm) 1.Chứng minh được OE=OK (1đ). 5. 2. ].

(6) Tích luỹ chuyên môn X. ⇒ Tứ giác. ét Δ AOC có: AOC. ¿ 1800 −. A +C =120 0 ⇒ EOK=120 0 2. BEOK nội tiếp.. Mà EBO=KBO⇒ EO=KO ⇒EO=KO (đpcm). 2.Dựng hình (2đ) a) Phân tích: Giả sử dã dựng được đường tròn thoả mãn điều kiện bài toán. Ta nhận thấy: IT2 =IA.IB. Trong đó I là giao điểm của đường thẳng AB và đường thẳng d, còn T là tiếp điểm. b) Cách dựng: - Dựng giao điểm I của đường thẳng d và đường thẳng AB - Dựng đoạn thẳng IT trên đường thẳng d có độ dài x sao cho: x2 = IA.IB. - Dựng đường tròn (O) đi qua 3 điểm A, B, T. Đây là đường tròn phải dựng. c) Chứng minh: Do IT2 =IA.IB nên đường tròn (O) tiếp xúc với d tại T và đi qua 2 điểm A, B. d) Biện luận: Trường hợp đường thẳng AB cắt đường thẳng d thì bài toán luôn có hai nghiệm hình Trong trường hợp đường thẳng AB không cắt đường thẳng d thì T là giao điểm của d với đường trung trực của đoạn thẳng AB và bài toán chỉ có một nghiệm hình.. 6.

(7) Tích luỹ chuyên môn. Đề thi lý thuyết GVG môn Toán THCS. Câu 1 (3 điểm3) : Đồng chí hãy cho biết những ưu điểm và những hạn chế của dạy học hợp tác theo nhóm. Theo đồng chi trong môn Toán THCS hiện nay những dạng nào sẽ thuận lợi khi triển khai hoạt động dạy học hợp tác theo nhóm ? Câu 2 (4 điểm4) : Đồng chi hãy giải các bài toán sau. Từ đó hướng dẫn học sinh rút ra bài toán tổng quát : Tính :. 1. 1. 1. 1. 5. 5. 5. 5. A = 1 . 2 + 2. 3 + 3 . 4 +. . .. .. . .. .. .. . .. ..+ 99. 100. B = 2 . 4 + 4 . 6 + 6 .8 +. .. . .. .. . .. .. .. . ..+ 98 . 100 Câu 3 (3 điểm3) : Có một học sinh giải bài toán như sau : Đề ra : Cho tứ giác ABCD, M là trung điểm của AD, N là trung điểm của BC và độ dài MN=. AB+ CD . Chứng minh AB // DC. 2. Giải : (Giả thiết và kết luận đã ghi đúng) A. B. M. N. D C F Trên tia AN chọn điềm F sao cho N là trung điểm của AF. Xét? ANB và?FNC cã: AN = NF (cách vẽ). ¿❑ ANB = FNC (đối đỉnh). BN = CN (giả thiếtg) Suy ra:? ANB =?FNC (c.g.c) ¿❑ ? ABN = FCN (Cặp góc tương ứng). ? CF // AB ? DF // AB? DC // AB (đpcm). Theo đồng chi bài giải trên còn sai lầm ở đâu? Hãy bổ sung để được bài giải đầy đủ. Câu 4 (3 điểm). 1 1 1 1 Cho A= 1.2.3.........2005.2006 (1+ 2 + 3 +. . .. .. .+ 2005 + 2006 ) Chứng minh A là một số tự nhiên chia hết cho 2007. Câu 5 (4 điểm). Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 + + ≥ + + a+b − c b+c −a c+ a −b a b c. 7.

(8) Tích luỹ chuyên môn Câu 6 (3 điểm3): Dựng tam giác ABC biết bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng R, bán kính đường tròn nội tiếp bằng r và góc C bằng  ( < 90 ❑0 ).. Đáp án: Câu 1: ưu điểm của dạy học hợp tác theo nhóm: - Mọi học sinh đều được làm việc, không khí học tập trong lớp thân thiện. - Hiệu quả làm việc của HS cao, nhiều HS được dịp thể hiện khản năng cá nhân và tinh thần giúp đỡ nhau. - HS không chỉ học tập kiếm thức kĩ năng mà còn thu nhận được kết quả về cách làm việc hợp tác cùnh nhau. Điều này góp phần thực hiện một trong bốn mục tiêu về học tập của thế kỷ XXI là học cách làm việc cùng nhau. Hạn chế của dạy học hợp tác theo nhóm: - Hiệu quả học tập phụ thuộc hoạt động của các thành viên, nếu có HS trong nhóm bất hợp tác thì hiệu quả thấp. - Khản năng bao quát của GV là khó khăn, nhất là khi số học sinh trong lớp, trong nhóm còn cao như hiện nay. - Xác định nhiệm vụ mỗi nhóm và mỗi cá nhân trong nhóm tuỳ thuộc vào nhiều yếu tố, trong đó có yêu cầu chungcủa chương trình và đặc điểm cụ thể của HS. Đó là việc không dễ dàng. Những dạng thuận lợi cho việc triển khai hoạt động dạy học hợp tác theo nhóm: - Các bài tập rèn luyện kỹ năng tính toán. - Một số bài tập dạng trắc nghiệm. - Một số hoạt động thực hành trong lớp như dùng máy tính, đo góc... - Một số hoạt động thực hành ngoài trời. Câu 2: 1. 1. 1. 1. Tính. A = 1 . 2 + 2. 3 + 3 . 4 +. . .. .. . .. .. .. . .. ..+ 99. 100 1 1 1 1 1 1 1 = 1− 2 + 2 − 3 + 4 − 4 +.. . .. .. . .. .. . .. 99 − 100 1 = 1− 100 5 1. 99. = 100 1 1. 1 1. 1. 1. 1. B = 2 ( 2 − 4 + 4 − 6 + 6 − 8 + .. .. .. . .. .. . .. .. . .+ 98 − 100 ) 5 1. 1. 5 49. 49. = 2 ( 2 − 100 ) = 2 . 100 ¿ = 40 Qua hai bài toán trên chúng ta rút ra bài toán tổng quát như sau: n. n. n. n. n. C = a a + a . a + a .a + a . a +. . .. .. . .. .. .. . .. ..+ a . a 1 2 2 3 3 4 4 5 k k+1. 8.

(9) Tích luỹ chuyên môn Trong đó :. a2 −a 1=a3 − a2=a 4 −a3 =.. .. . ..=ak +1 − ak. Giải : Trường hợp 1 : Nếu a2 −a 1=a3 − a2=a 4 −a3 =.. .. . ..=ak +1 − ak =n Bài toán này dễ dàng giải được theo cách phân tích của bài toán 1 vì khi đó : n a1 a2. 1. 1. = a - a 1 2. .................... n ak ak +1. Cộng từng vế ta có C:. 1. 1. = a - a k k+ 1 1 a1. C =. 1. - a k+ 1. Trường hợp 2 : Nếu a2 −a 1=a3 − a2=a 4 −a3 =.. .. . ..=ak +1 − ak =b ≠ n Ta có :. n. b. b. b. b. b. C = b ( a a + a . a + a .a + a . a +. . .. .. . .. .. .. . .. ..+ a . a ) 1 2 2 3 3 4 4 5 k k+1. Bài toán này thực chất đã đưa về dạng của bài toán 2. Học sinh dễ dàng tìm được kết n. 1. 1. quả : C = b ( a - a ). 1 k+ 1 Câu 3: Sai lầm của học sinh là đã ngộ nhận ba điểm D, C, F thẳng hàng. Như vậy ta phải chứng minh ba điểm D, C, F thẳng hàng. Bài giải đầy đủ :. Giải :. Trên tia AN chọn điềm F sao cho N là trung điểm của AF. Xét? ANB và?FNC cã: AN = NF (cách vẽ). ¿❑ ANB = FNC (đối đỉnh). BN = CN (giả thiếtg) Suy ra:? ANB =?FNC (c.g.c) ¿❑ ? ABN = FCN (Cặp góc tương ứng). ? CF // AB và CF = AB (cặp cạnh tương ứng) Xét? ADF có MN là đường trung bình. Suy ra: AB+ CD CF+ CD mà MN= 2 = 2. DF MN= 2. (theo gt và t (1)). ?DF=CF+CD ? D, C, F thẳng hàng Do: CF // AB? DF // AB? DC // AB (đpcm). Câu 4:. 9. (1)..

(10) Tích luỹ chuyên môn Ta có:. 1 1 1 1 1+ + +.. . .. ..+ + 2 3 2005 2006 1 1 1 1 1 1 1 ¿(1+ )+( + )+. .. ..+( + )+( + ) 2006 2 2005 1002 1005 1003 1004 2007 2007 2007 2007 ¿ + +.. .. . .. .. . .+ + 1 .2006 2. 2005 1002. 1005 1003 .1004 1 1 1 1 ¿ 2007( + +. .. . .. .. .+ + ) 1. 2006 2 . 2005 1002. 1005 1003 . 1004. Suy ra : A=1 . 2. 3 .. .. . 2005. 2006 . 2007(. 1 1 1 1 + +. .. . .. .. .+ + ) 1. 2006 2 . 2005 1002. 1005 1003 . 1004. 1. 2 .3 . .. 2006 1 . 2. 3 .. .2006 1. 2. 3 .. . 2006 1 .2 .3 . .. 2006 + +. .. . .. .. .+ + ) 1. 2006 2 . 2005 1002. 1005 1003 . 1004 2. 3 .. . 2005+1. 3 . 4 . .. 2004 . 2006+.. . .. .. . .+ 1. 2. 3 .. . 1001. 1003. 1004 . 1006 .. .2006 ¿ 2007 (¿+1 .2 .3 . .. . 1002. 1005. . .2006) ¿ 2007(. Vậy A là số tự nhiên chia hết cho 2007. Câu 5: Theo BĐT Cô si cho x 0, y 0 ta có: x+ y ≥ 2 √ x . y x+ y ¿ 2 ≥ 4 xy Bình phương hai vế ta có: ¿ x+ y. 4. 1 1. 4. ? xy ≥ x+ y ? x + y ≥ x+ y (*) Do a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên: a + b- c 0; b + c - a 0; c + a - b 0. áp dung BĐT (*)ta cót: 1 1 4 2 + ≥ = a+b − c b+c −a a+ b −c +b+ c − a b 1 1 4 2 + ≥ = b+c − a c+ a −b b+ c − a+c +a − b c 1 1 4 2 + ≥ = a+b − c c+ a −b a+ b −c +c +a − b a 1 1 1 1 1 1 Cộng các vế của BĐT ta có: 2.( a+ b −c + b +c − a + c+ a −b )≥ 2. ( a + b + c ) 1 1 1 1 1 1 Suy ra: a+b − c + b+c −a + c+ a −b ≥ a + b + c (đpcm).. Câu 6: Phân tích: Gọi tâm đường tròn ngoại tiếp là O1 , tâm đường tròn nội tiếp là O2 Giả sử dựng được tam giác ABC thoả mãn điều kiện A O bài toán. Ta có A 1 B = 2 (vì C = ) Suy ra? A O1 B dựng được (vì O1 A = O1 B = R). 1. x.

(11) Ta có:. A O2. α B = 90 ❑ + 2 0. Tích luỹ chuyên môn (vì A O2 , B O2. O2. là tia phân. C giác). O1. 0 α Suy ra O2 nằm trên cung AB chứa góc 90 ❑ + 2 và O2 cách AB một khoảng bằng r. B Cách dựng: - Dựng? A O1 B có A O1 B = 2, O1 A = O1 B = R. - Đường thẳng xy // AB cách AB một khoảng bằng r.. y. 0 α - Dựng cung AB chứa góc 90 ❑ + 2 cắt đừng thảng xy tại O2 . - Dựng ( O2 , r). - D ựng tiếp tuyến At và tiếp tuyến Bz cắt nhau tại C Tam giác ABC là tam giác cần dựng. Chứng minh: Ta có: C = 180 ❑0 -(180 ❑0 -) = . Do O1 A = O1 B = R (cách dựng) và A O1 B = 2 . Nên C thuộc cung AB chứa góc . Vậy tam giác ABC đúng. Biện luận: 0 α - Đường thẳng xy cắt cung AB chứa góc 90 ❑ + 2. tai hai điểm ta có hai nghiệm hình.. 0 α - Đường thẳng xy tiếp xúc cung AB chứa góc 90 ❑ + 2. ta có một nghiệm hình.. 0 α - Đường thẳng xy không cắt cung AB chứa góc 90 ❑ + 2. bài toán vô nghiệm hình.. Tích luỹ phần khối 9 Bài 1: Cho tam giác ABC lấy E, F, M thứ tự trên các cạnh AC, AB, sao cho EF//BC. MB = MC. chứng minh: CF, BE , AM đồng qui Cách giải 1:(Dùng định lý ceva). 1.

(12) Tích luỹ chuyên môn. Gọi K là giao điểm của AM và EF theo định lý talet ta có: AF/BF = AK/MK (1) CE/AE = MK/AK (2) BM/CM = 1 (3) Nhân từng vế 3 đẳng thức trên ta được: AF/BF.BM/CM.CE/AE = 1 (4) Đẳng thức (4) cùng với định lý đảo Ceva suy ra AM; BE; CF đồng qui Cách giải 2 (Dùng định lý Menelauyt). Từ A kẻ đường thẳng // BC cắt BE tại N, AM cắt BE tại I. Theo định lý talet thì: AF/BF = AE/EC = AN/BC (5) BC/MC = 2 (6) MI/AI = BM/AN (7) Nhân từng vế của 5.6.7 ta được: AF/BF.BC/MC.MI/AI = AN/BC.2.BM/AN = 1 Đẳng thức cùng với định lý đảo Menelauyt ta suy ra 3 điểm F; I; C thẳng hàng Tức là AM; BE; CF đồng qui.. BàI 2: Cho đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tại D,E,F Chứng minh AD , BE, CF đồng qui Giải: (Cách 1 Dùng định lý ceva). 1.

(13) Tích luỹ chuyên môn. áp dụng tính chất tiếp tuyến cắt nhau ta có: AF = AE; BF = BD; CE = CD Suy ra: AF/BF . BD/CD . CE/AE = AE/BD . BD/CE . CE/AE = 1 áP dụng định lý Ceva cho tam giác ABC => AD; BE; CF đồng qui (Cách 2 dùng định lý Menelauyt): Từ A kẻ đường thẳng // BC cắt CF tại N . gọi I là giao điểm của AD và CF. Ta có: AE/CE . CB/DB . DI/AI = AF/CD . CB/BF . CD/AN = AF/BF . CB/AN = AN/BC . BC/AN = 1 áP dụng định lý Menelauyt cho tam giác ADC => 3 điểm B, I, E thẳng hàng => AD, BE, CF đồng qui BàI 3: Cho tam giác ABC. Đường cao AH lấy D, E thứ tự trên AB, AC sao cho AH là phân giác góc DHE.Chứng minh AH, BE, CD đồng qui Giải: (Cách 1 dùng định lý Ceva). Từ A kẻ //BC cắt HD, HE tại M, N vì HA là phân giác đồng thời là đường cao nên AM = AN Ta có:. 1.

(14) Tích luỹ chuyên môn AD/BD = MA/BH; CE/AE = CH/AN => AD/BD . BH/CH . CE/AE = MA/BH . BH/CH . CH/AN = 1 áp dụng định lý Ceva cho tam giác ABC ta có AH, BE, CD đồng qui. (Cách 2 dùng định lý Menelauyt). Từ A kẻ //BC cắt HD,HE,BE tại M, N, K gọi I là giao điểm của AH và BE Ta có: AD/BD = MA/BH = AN/BH và HI/AI = BH/AK => AD/BD . BH/CH . HI/AI = AN/BH . BC/HC . BH/AK = AN/HC . BC/AK = AE/CE . CE/AE = 1 áp dụng định lý Menelauyt cho tam giác ABH ta => D, I, C thẳng hàng => AH, BE, CD đồng qui BàI 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AK. dựng về phía ngoài tam giác ABC các hình vuông ABEF, ACGH. Chứng minh AK, BG, CE đồng qui GIảI: (Cách 1 dùng định lý Cêva). Gọi D, I là giao điểm của AB với CE và AC với BG Đặt AB = c; AC = b ta có: c2 = BK.BC; b2 = CK.BC => BK/CK = c2/b2 và AD/BD = b/c và CI/AI = b/c => AD/BD . BK/CK . CI/AI = b/c . c2/b2 . b/c = 1 áp dụng định lý ceva cho tam giác ABC => AK, BG, CE đồng qui (Cách 2 dùng định lý Menelauyt). 1.

(15) Tích luỹ chuyên môn. Từ A kẻ // BC cắt BG tại M gọi O là giao điểm của AK và BG Ta có: AD/BD = b/c ; KO/AO = BK/AM => AD/BD . BC/CK . KO/AO = b/c .BC/CK . BK/AM = b/c . BC/AM . BK/CK = b/c . CI/AI .c2/b2 = = b/c .b/c . c2/b2 = 1 áp dụng định lý Menelauyt cho tam giác ABK => 3 điểm D, O, C thẳng hàng => AK, BG, CE đồng qui Qua 4 bài toán trên và với mỗi bài tôi đã đưa ra 2 cách giải bằng cách vận dụng 2 định lý Ceva và định lý Menelauyt. Liệu có phải là 2 định lý trên là hệ quả của nhau? Hay là CEVA <=> MENELAUYT ?các bạn nghĩ sao? Có lẽ trong quãng đời học sinh bạn đã giải rất nhiều bài toán, và trong đó hẳn cũng có những bài rất khó. Tuy nhiên, có khi nào bạn tự hỏi: tại sao mình không tự đặt ra các bài toán, để đố bạn bè chẳng hạn? Nếu thắc mắc đó xuất hiện thì rất đáng mừng, đó là biểu hiện ban đầu của sự sáng tạo. Bài viết này có ý định giúp các bạn hình dung được phần nào lời giải đáp cho thắc mắc trên. Thật ra, hầu như đa phần những bài toán mà chúng ta đã gặp đều không phải là từ trên trời rơi xuống, mà thường là người ta từ một vài ý tưởng nào đó, thêm vào ít nhiều sáng tạo đặt ra. Việc các bạn có thói quen lật đi lật lại vấn đề, suy nghĩ mở rộng, đặt ra bài toán mới sẽ giúp bạn thu được những điều quan trọng hơn lời giải rất nhiều: đó là nhận ra đâu là những kĩ thuật chính (thay vì học thuộc hết các chi tiết một cách vô nghĩa), qua đó giải thích được vì sao giải như vậy, và cao hơn là vì sao nghĩ ra bài toán. BàITOáN: Cho x,y là các số dương thoả mãn: x2+y2 = 1. Tìm GTLN của A= x + 2y nhận xét: Đây là 1 bài toán không quá khó đối với 1 HS khá lớp 9. và khi gặp bài toán này hầu hết HS đều có cách giải như sau: áp dung bất đẳng thức: Ta có:. 1.

(16) Tích luỹ chuyên môn Từ đó suy ra: Lời giải nêu trên khỏi phải bàn luận thêm làm gì. Ngoài cách giải trên có thể giải bài toán theo cách nào khác hay không? Nếu thay đổi GTcủa bài toán, chẳng hạn thay GT thành: Cho x, y là các số dương thoả mãn: Tìm GTLN của A = x + 2y Cách giải trên có thể giải quyết được yêu cầu của bài toán mới nữa hay không? Bạn nghĩ như thế nào?. Đề thi chọn học sinh giỏi toán 9 (vòng 1v) Thời gian 120 phút I. Trắc nghiệm : Hãy chọn một phương án đúng nhất trong các câu sau: 1. Khi rút gọn biểu thức √ 8+√ 60 ta có kết quả là: a. √ 3 + √ 5 b. √ 15 + 1 c. √ 5 - √ 3 d. Một kết quả khác 2. Giá trị bé nhất của biểu thức: A = √ x2 +2 x+1 + √ 4 x 2 +4 x +1 + √ 9 x2 −6 x +1 là: a. 0 b. 2 c. 3 d. Một kết quả khác 3. Tập nghiệm của phương trình: 19 ❑√ x − 1 + 5 ❑√ x −1 + 91 ❑√ x − 3 x+ 2 = 3 là a. {1;2} b. {1;2;3} c. {2;3} d. {1} 4. Để hàm số Y = (m- 3m)x3 + ( m-3)x2 + √ 2 x + 7 là hàm bậc nhất thì giá trị của m phải là: a. m = 0 b. m = o và m = 3 c. m = 3 d. với mọi m thuộc R 2. 2. 5. Điểm cố định mà đường thẳng Y = mx -. m 2. - 1 luôn luôn đi qua khi m thay đổi có toạ. độ là: 1. a. ( 2 ; −1 ). b. ( -1; 2). 1. c. ( 2 ; 1 ). 1. d. ( 1; 1).

(17) Tích luỹ chuyên môn 6. Cho Δ ABC vuông tại A có AB = 2AC, AH là đường cao. Tỷ số HB:HC là: a. 2 b. 4 c. 3 d. 9 7. Tam giác ABC vuông tại A, biết AC = 16; AB = 12. Các đường phân giác trong và ngoài của góc B cắt AC ở D và E. Độ dài DE là: a. 28 b. 32 c. 34 d. 30 8. Cho góc thoả mãn 00 < < 900 ta có các kết luận sau: a. sin < cos b. tg > cotg c. sin <tg d. Chưa thể kết luận được 9. Cho đường tròn có bán kính 12. Độ dài dây cung vuông góc với một bán kính tại trung điểm của bán kính ấy là: a. 3 √ 3 b. 27 c. 6 √ 3 d. 12 √ 3 10. Cho Δ ABC cân tại A; đường cao AH = 2; BC = 8. Độ dài đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: a. 6 b. 8 c. 10 d. 12 II Phần tự luận Câu 1: Rút gọn các biểu thức sau: a. A = √ 4+ √ 7 - √ 4 − √ 7 − √2 b. B = √ x − √ x 2 − 4+ √ x + √ x 2 − 4 (với xv 2) Câu 2: Chứng minh rằng nếu a > b> 0 thì: 2a3 - 12ab + 12b2 + 1 0 Câu 3: Cho Δ ABC vuông tại A, đường cao AH. Tia phân giác của góc HAC cắt HC tại D. Gọi K là hình chiếu của D trên AC. a. Chứng minh Δ ABD cân b. Biết BC = 25 cm; DK = 6cm. Tính độ dài AB. ĐáP áN I. Trắc nghiệm ( Mỗi ý đúng cho 0, 4 điểm) Câu 1 2 3 4 5 6 7 Đáp án a c d c a b d II. Tự luận Câu 1: (2 điểm2) √7 +1¿ 2 a. Ta có:. ¿ ¿ √¿ √ 4+ √7=¿. √7 − 1¿ 2. ( 0, 25 điểm);. 8 c. 9 d. ¿ ¿ ( 0, 25 điểm) √¿ √ 4 − √7=¿. 1. 10 C.

(18) Tích luỹ chuyên môn A=. √7+1 − √ 7+1 − √ 2 √2. ( 0, 25 điểm);. A=. 2 − √ 2 = 0 ( 0, 25 điểm) √2. 2. x −4 x2 − 4 x+ √ ¿ b. B2 = x ¿ x − √ ¿¿ ¿ 2 √ x − 4+ x +√ x2 − 4+2 √ ¿. B2 = x + x + 2. √ x2 − x 2+ 4. ( 0, 5điểm). (0, 25 điểm). B = √ 2(x+ 2) ( 0, 25 điểm) Câu 2: ( 1,5) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức 2a3 - 12b ( a-b) + 1 0 ( 0, 25 điểm) - Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức: a2 4b( a- b) (2) 2 ⇔ ( a - 2b) 0; (đúng)  (2) đúng (0.25đ) 2 từ (2)  3a 12b(a-b) (3) (0.25đ) Muốn chứng minh (1) đúng ta chứng minh 2a3 - 3a2 + 1 0 (4) (0.25đ) 3 2 2 ⇔ 2a 2a a + 1 0 2 ⇔ 2a (a - 1) (a - 1)(a + 1) 0 2 ⇔ (a - 1)(2a a - 1) 0 2 2 ⇔ (a - 1)(a a + a - 1) 0 ⇔ ⇔. ( a −1 ). [ a(a −1)+(a −1)(a+ 1)] ≥0 ( a −1 ) [ ( a −1 ) (2a+ 1) ] ≥ 0. (a - 1)2 (2a + 1) 0 đúng (vì a > 0)  (4) đúng Vì 3a2 12b (a-b) theo (3) 3  2a 12b (a-b) + 1 2a3 3a2 + 1 0 (theo (4)) Câu 3: (2, 5đ) Vẽ hình đúng (0.25đ) ⇔. 1. (0.25đ) (0.25đ).

(19) Tích luỹ chuyên môn. a) (1đ) + Vỡ  AHD =  AKD (Cạnh huyền và gúc nhọn bằng nhau) (0.25đ) D 1= ^ D 2 (cặp góc tương ứng) + Suy ra ^ (0.25đ) D 1=B ^ A D (so le trong) + ^ (0.25đ) ^ D1=B A D ⇒  ABD cân tại B + Suy ra ^ (0.25đ) b) (1.25đ) + Gọi cạnh AB là y ⇒ BD = y (theo (1)) (0.25đ) + Ta có: AB2 = y2 = BH.BC = 25 (y-6) (vì HD = DK) (0.25đ) 2 Hay: y = 25y 150 (0.25đ) ⇔ y2 = 25y + 150 = 0 ⇔ (y 10) (y 15) = 0 (0.25đ) ⇒ AB = 10cm hoặc 15cm (0.25đ). (Học sinh có cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa) Đề tuyển sinh vào lớp 10 khối chuyên năm 2003 Đề thi vòng 1. Thời gian 150 phút.. Câu I: 1, Giải hệ phương trình sau:. ¿ ( x+ y )3=3 z 3 ( y + z ) =3 x ( z+ x )3 =3 y ¿{{ ¿. 2, Tìm m để phương trình: x2 – mx + m = 0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn: x1 x2 + ≥3m . x2 x1. Câu II: 1, Tìm tát cả các giá trị nguyên của x và y sao cho: x2 + xy -3x – y – 19 = 0. 2, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =. 1. x 2 −2 x+2001 . x2.

(20) Tích luỹ chuyên môn Câu III: Cho điểm M thuộc đoạn thẳng AB (M#A, M#B). Gọi O và O’ lần lượt là các đường tròn đường kính AM và BM. Tiếp tuyến chung của (O) và (O’) cắt (O) và (O’) tương ứng tại C và D (C#D). AC và BD cắt nhau tại P. 1, Tứ giác MCPD là hình gì? Vì sao? 2, Chứng minh rằng PM AB. 3, Tìm tập hợp tất cả các điểm P khi M di động trên đoạn thẳng AB (M#A, M#B). 4, Xác định các vị trí của điểm M sao cho đoạn thẳng CD có độ dài bằng 1 cho trước. Đề thi vòng 2 năm 2003. Thời gian 150 phút. ¿ x + y + xy=−1 2 x 2+ y 2+ ( xy ) =3 x 3+ y3 + ( xy )3=−1 ¿{ { ¿. Câu I: 1, Giải hệ phương trình :. 2,. Tính. f(2003) biết rằng:. 1. 1. 2f(x) + 2 f( x ) =. 4 x 2+ 1 2x. ,. ∀ x ≠0. 2002. 2003. Câu II: 1, Chứng minh rằng: A = 200312 +2004 12 − 2 chia hết cho 13. 2, Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: √ x+ √ y= √ x + y +2 . Câu III: Giả sử a, b, c là các số dương thỏa mãn hệ thức: a + b + c = 2. Chứng minh rằng:. √. a2 +. 1 1 1 97 + b 2+ 2 + c 2 + 2 ≥ . 2 4 a b c. √. √. √. Câu IV: 1, Cho tam giác ABC, các đường phân giác AA1, BB1, CC1 cắt nhau tại I. Chứng minh rằng nếu bán kính của đường tròn nội tiếp của các tam giác IA1B1, IA1C1 bằng nhau thì tam giác ABC là tam giác cân. 2, Trong bảng 41 x 41 ô vuông ta đặt các số tự nhiên từ 1 đến 1681 vào các ô vuông đó một cách tùy ý (mỗi ô vuông đặt một và chỉ một sốm). Chứng minh rằng tồn tại hai ô vuông kề nhau (hai ô được gọi là kề nhau nếu chúng có một cạnh chungh) sao cho hiệu của hai số viết trong hai ô đó lớn hơn 20. Đề tuyển sinh vào lớp 10 khối chuyên năm 2004 Đề thi vòng 1. Thời gian 150 phút. Câu I: 1, Tính giá trị của biểu thức: P = x3 + y3 -3(x + y) + 2004 , biết rằng: 3 3 3 3 ; x=√ 3+2 √ 2+ √3 −2 √ 2 y=√ 17+12 √ 2+ √17 − 12 √ 2 2, Rút gọn biểu thức sau: P=. 1 1 1 1 + + +. ..+ . 1+ √ 5 √5+ √ 9 √ 9+ √ 13 √ 2001+ √2005. Câu II: Giải phương trình sau:. 2.

(21) Tích luỹ chuyên môn 1, x + √ x +2004=2004 ; 2, x 3 −3 √ 2 x2 +3 x + √ 2=0 . Câu III: Giả sử tam giác ABC có diện tích bằng 1, gọi a, b, c và ha, hb, hc tương ứng là độ dài các cạnh và các đường cao tam giác ABC. Chứng minh rằng: (a2 + b2 + c2).(ha2 + hb2 + hc2) 36. Dấu đẳng thức xẩy ra khi nào? ❑ 0 Câu IV: Cho tam giác ABC có A =60 , AC = b, AB = c (với b > c). Đường kính EF của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông góc với BC tại M. Gọi I và J là chân đường vuông góc hạ từ E xuống các đường thẳng AB và AC. Gọi H và K là chân đường vuông góc hạ từ F xuống các đường thẳng AB và AC. 1, Chứng minh các tứ giác AIEJ và CMJE nội tiếp . 2, Chứng minh I, J, M thẳng hàng và IJ vuông góc với HK. 3, Tính độ dài cạnh BC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC theo b, c. 4, Tính IH +JK theo b, c. 2. Đề thi vòng 2 năm 2004. Thời gian 150 phút. Câu I: 1, Tìm các giá trị của tham số m để tập nghiệm của phương trình sau có đúng một phần tử. 2. 2. 4. 2. x −2 m x − 2m −7 m +6 =0 . 2 x +7 x +12. 2, Giải hệ phương trình: ¿ 1 1 1 51 x+ y+z+ + + = x y z 4 1 1 1 771 x 2+ y 2 + z 2 + 2 + 2 + 2 = x y z 16 ¿{ ¿. Câu II: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: P = x – y + 2004 , trong đó các số thực xvà y thỏa mãn hệ thức:. x2 y2 + =36 9 16. .. Câu III: Chứng minh rằng tồn tại các số tự nhiên a, b, c nghiệm đúng phương trình x2 + y2 + z2 = 3xyz, và thỏa mãn điều kiện: Min(a, b, c) > 2004. Câu IVC: Cho ngũ giác ABCDE . Gọi M, P, N, Q là các trung điểm của AB, BC, DE, EA. Chứng minh MN đi qua trung điểm của PQ khi và chỉ khi MN //CD. Câu V: Cho đường thẳng xy và một điểm A ccó định nằm ngoài đường thẳng ấy. Điểm M chuyển động trên xy. Trên đoạn thẳng AM lấy điểm I sao cho AI.AM = k2, trong đó k là số dương cho trước và k nhỏ hơn khoảng cách từ A đến đường thẳng xy. Dựng hình vuông AIJK. Tìm tập hợp điểm I và tập hợp điểm K. --------------------------------------------------------Đề thi vòng 3 năm 2004. Thời gian 150 phút.. 2.

(22) Tích luỹ chuyên môn. Câu I: Ch biểu thức: P =. 1 1 1 + +.. .+ 1+ √ 3 √ 3+ √ 5 √2 n+1+ √ 2 n+3. 1, Rút gọn biểu thức P; 2, Tìm số nguyên dương n để P = 23. Câu II: 1, Giải phương trình: √ x+ √2004 − x −3 √ x (2004 − x )=√ 2004 2, Giải hệ phương trình:. ¿ x + y=4 ( x+ 1) .( y +2)=12 ¿{ ¿. Câu III: Giả sử các số thực dương a, b, c thỏa mãn hệ thức: a + b + c = 1. 1 1 1. Chứng minh rằng: a + b + c ≥ 9 . Dấu đẳng thức xẩy ra khi nào? Câu IV: Cho hình thang cân ABCD có hai đáy AB = a, CD = b, hai đường chéo AC và BD ❑ cắt nhau tại O sao cho AOB=600 . 1, Chứng minh rằng các tam giác AOB, COD là những tam giác đều; 2, Tính độ dài các cạnh AD, BC và các đường chéo AC, BD của hình thang ABCD theo a, b. 3, Gọi M, N và P tương ứng là trung điểm của AO, OD và BC. Chứng minh tam giác MNP là tam giác đều. 4, Tính diện tích hình thang ABCD và diện tích tam giác MNP theo a và b. Đề toán rút gọn Câu 1: (Đề tuyển sinh vào lớp 10 Trường Lê Hồng Phong Năm 2003-2004). a. Thu gọn biểu thức: 1 3 √2 −2 √ 3 A= √ 2 − √ 3 3 √ 2+2 √3 b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B= √ x −1 −2 √ x −2+ √ x +7 −6 √ x − 2 Câu 2: (Đề tuyển sinh vào lớp 10 Trường ĐHQG Hà nội Năm 2004-2005) Cho biểu thức: 2 x √ x + x − √ x x +√ x x −1 x − ⋅ + √ M= x −1 2 x+ √ x −1 2 √ x −1 x √ x −1 a. Hãy tìm điều kiện của x để biểu thức M có nghĩa, sau đó rút gọn M b. Với giá trị nào của x thì biểu thức M đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó của M ? Câu 3: Cho biểu thức:. √. (. ). 2.

(23) Tích luỹ chuyên môn x − √x 2 x + √ x 2 ( x −1 ) − + N= x + √ x+ 1 √x √ x −1 a. Rút gọn N b. Tìm giá trị nhỏ nhất của N 2 x c. Tìm x để biểu thức B= √ nhận giá trị nguyên 2. N. Câu 4: Rút gọn biểu thức sau: A= 8+ √ 15 + 8 − √ 15 Câu 5:. √ √. √. 2. Cho biểu thức: T=. 2. b √ ab − √ a2 − a a. a. Tìm điều kiện của a,b để biểu thức T xác định b. Rút gọn biểu thức T Câu 6:Cho biểu thức: 1 1 2 x + − √ Q= Với x 0 và x#4 4 −x 2+ √ x 2 − √ x a. Rút gọn biểu thức Q 1. b. Tìm giá trị của x để Q= 4 Câu 7: Cho biểu thức: x − √ x x −1 + P= √ x √ x −1 a. Tìm điều kiện để biểu thức P có nghĩa. b. Rút gọn biểu thức P. c. Tìm x để giá trị của biểu thức P là 2. Câu 8: Cho biểu thức: a − 4 a − 4 √ a+3 + R= √a − 2 √ a −1 a. Tìm điều kiện để biểu thức R có nghĩa. b. Rút gọn biểu thức R. c. Tìm a để R<3. Câu 9: Cho biểu thức: 2 x − 2√ x 2 ÷ ( x −1 ) + F= x +1− √x − 1 √ x +1 a. Tìm điều kiện để biểu thức F có nghĩa. b. Rút gọn biểu thức F. Câu 10: Cho biểu thức: 1− √ a a −1 ÷ 2 √a − H= √ a+ với a>0; a#1. a+ 1 √ √a a. Rút gọn biểu thức H. b. Tìm giá trị của a để H=2.. (. (. ). )(. ). 2.

(24) Tích luỹ chuyên môn Câu 11: Cho biểu thức: T=. ( √xx−1−1 − √ √x+x 1 ): ( x+√ x√ x ). a. Tìm điều kiện để biểu thức T có nghĩa. b. Rút gọn biểu thức T. Câu 12 Rút gọn biểu thức: √ 17− 12 √ 2 . √17+12 √ 2 Câu 13: Rút gọn biểu thức: √ a− 2 − √ a+2 . √ a − 4 √ 15+ √12 − 1 a. b. √ a+2 √ a −2 √a √5 − 2 2 − √ 3 Câu 14: Rút gọn biểu thức:. (. E= |x − 3|+ √ Câu 15:. )(. Câu 16:. Với 0<a#4.. x 2 −6 x +9 x−3. Thu gọn các biểu thức sau:. A= ( 2 √ 4+ √6 − 2 √5 ) . ( √ 10 − √ 2 ) ; C=. ). √ 15 − √ 12 − 1 ; 2 −√3 √ 5 −2 Thu gọn các biểu thức sau:. √ a− 1 + √a+ 1 . 1 − 2 2 B= Với 0<a#1. a+1 √ a+1 √ a −1 √ a− 2 − √ a+2 . √ a − 4 D= Với 0<a#4. √ a+2 √ a −2 √a 2 2 x+ 4 √ x+ 4 − . A= 8 √ x −2 √ x +2. ( ( (. )( )( ). ). ). a, Tìm TXĐ rồi rút gọn biểu thức A. b, Tính giá trị của biểu thức A khi x=3+ √ 8 ; c, Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên ? x √ x −1 x √ x +1 x +1 − + Câu 17: Cho biểu thức: B= x−√ x x +√ x √ x a, Rút gọn B; 9. b, Tìm x để B= 2 Câu 18:. (. Cho biểu thức: C=. √ x −1 − √ x +1 . 1 − √ x √ x+ 1 √ x − 1 2 √ x 2. )(. a, Rút gọn C;. b, Tìm x để. 2. ). T √x. >2. √ x . 1+ √ x3 − √ x Câu 19: Cho biểu thức: D= √ x 3 −1 x + √ x+1 1+ √ x a, Rút gọn D; b, Tìm x để D=3; √ x + x+ 9 : 3 √ x +1 − 1 Câu 20: Cho biểu thức: E= 3+ √ x 9− x x −3 √ x √ x a, Rút gọn E. b, Tìm x sao cho E<-1. 2 ( √ a+ √ b ) −4 √ ab a √ b+b √ a Câu 21: Cho biểu thức: F= − √a − √ b √ ab. (. 2 x +1. )(. −. (. )(. 2. ). với 0. ). x#1. với 0<x#9..

(25) Tích luỹ chuyên môn a, Tìm điều kiện để F có nghĩa; b, Khi F có nghĩa, chứng tỏ giá trị của F không phụ thuộc vào a. 2 x−y x √ x − y √ y ( √ x +√ y ) − Câu 22: Cho biểu thức: A = . x− y x √ x+ y √ y √x −√ y a, Tìm tập xác định của A; b, Rút gọn A; c, Chứng minh A 0; (Tương tự chứng minh : 0 A < 1) d, So sánh A với 1. (Tương tự so sánh: A với √ A ) 3 3 x x+x + + √ Câu 23: Cho biểu thức: B = √ x − 3 − √ x √ x −3+ √ x √ x +1 a, Tìm TXĐ của B; b, Rút gọn B; c, Tìm x để B > 2;. (. ). d, Tính giá trị của B khi x =. 61 ; 9+2 √5. e, So sánh B với 1,5; g, Tìm giá trị nhỏ nhất của B. √ x −2 − √ x+2 . 1− x 2 Câu 24: Cho biểu thức: C = x −1 x +2 √ x +1 √2 a, Tìm TXĐ của C; b, Rút gọn C; c, Với giá trị nào của x thì C = 0; C > 0; C < 0; d, Tính giá trị của C khi x = 4+2 √ 3 ; e, Tìm giá trị lớn nhất của C. 2√ x−9 x +3 2 √ x+ 1 −√ − Câu 25: Cho biểu thức: D = x −5 √ x+6 √ x −2 3 − √ x a, Tìm x để D có nghĩa; b, Rút gọn D; c, Tìm x để D < 1; d, Tìm giá trị nguyên của x để D nhận giá trị nguyên. 1 1 x+1 + : √ Câu 26: Cho biểu thức : E = x − √ x √ x −1 x − 2 √ x+ 1 a, Tìm TXĐ và rút gọn E; b, Tính giá trị của E với x = 0,25 c, Tìm giá trị của x để E > -1. a 2 a− √ a − Câu 27: Cho biểu thức: F = √a − 1 a − √ a a, Tìm TXĐ rồi rút gọn F; b, Tính giá trị của F với a = 3- √ 8 ; c, Tìm a để F < 0.. (. (. )( ). ). 2.

(26) Tích luỹ chuyên môn √ x + 2 √ x −1 Câu 28: Cho biểu thức G = x √ − 1 √x − x a, Tìm TXĐ của G; b, Rút gọn G; c, Tính giá trị của G khi x = 6+ √ 20 ; d, Tìm x để | A|> A ; e, Tìm x để A > 1 ; A < 2. Câu 29: Cho biểu thức : M =. ( √ x1−3 − √ x1+3 ) : √ x3−3. a, Tìm TXĐ rồi rút gọn M; 1. b, Tìm x để M > 3 ; c, Tìm x để M đạt giá trị lớn nhất. Câu 30: Cho biểu thức : N =. (. 1+. 1 1 . √ x −1 x − √ x. ). a, Tìm TXĐ và rút gọn N; b, Tính giá trị của N khi x = 25; c, Tìm x để N. √ 5+2 √6 . ( √ x −1 )2 =x −2007+ √ 2+ √ 3 .. 2.

(27) Tích luỹ chuyên môn Toán giải và biện luận phương trình bậc 2 Câu 1: Với giá trị nào của m thì phương trình: x2-4x+3m-2=0 có nghiệm là: -2 Câu 2: Với giá trị nào của m thì phương trình: x2-2x+3m=0 có hai nghiệm phân biệt Câu 3: Với giá trị nào của m thì phương trình: 3x2-2x+4m-1=0 có hai nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau. Câu 4: Với giá trị nào của m thì phương trình: x2-3x+m+1=0 có hai nghiệm x1,x2và x12+x22=5 Câu 5: Lập một phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm của phương trình đó là: √5 − √2 √ 5+ √ 2 x ❑1 = và x ❑2 = √ 5+ √ 2 √5 − √2 Câu 6: Với giá trị nào của m thì phương trình: x2-(m+1)x+2m-3=0 có hai nghiệm x ❑1 ,x ❑2 và x ❑1 +x ❑2 +x ❑1 x ❑2 =11. Câu 7: Tìm m để phương trình: x2-5x+4m-3=0 có hai nghiệm x ❑1 ,x ❑2 thoả mãn: x ❑1 =4 x ❑2 ¿ x+ y=−7 xy=12 ¿{ ¿. Câu 8: Tìm x, y biết:. Câu 9: Giá trị nào của a để đường thẳng (d): y=a+x tiếp xúc với Parabol (P): y=x2 Câu 10: Tìm tọa độ giao điểm của (d): y=2x-3 và (P): y=-x2 Câu 11: Biết x ❑1 =-3 là nghiệm phương trình: x2+2x-m+3=0. Tính nghiệm thứ hai x ❑2 và m. Câu 12: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm dương: x2-2(m+2)x+4m+5=0. Câu 13: Với x ❑1 ,x ❑2 là hai nghiệm của phương trình: x2-Sx+P=0 thì các hệ thức sau, hệ thức nào đúng: 1. a. x12+x22=S2-2P 3 1. 3 2. 1. S. b. x + x = P 1 2 2. c. x ❑ + x =S (S − 3 P). d.. 1 1 S2 −2 P + = x 21 x 22 P2. Câu 14: Cho phương trình: mx2+(4-m)x+2m=0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x ❑1 ,x ❑2 thoả mãn: 2(x12+x22)- x ❑1 x ❑2 =0. Câu 15: Cho phương trình: x2-(m-1)x+5m-6=0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x ❑1 ,x ❑2 thoả mãn: 4x ❑1 +3x ❑2 =1 Câu 16: Cho phương trình: x2-2(m+1)x+m2+3=0. Tìm m sao cho các nghệm x ❑1 ,x ❑2 của phương trình thoả mãn: 2(x ❑1 +x ❑2 )-3 x ❑1 x ❑2 +9=0. Câu 17: Gọi x ❑1 ,x ❑2 là hai nghiệm của phương trình: 2x2-3mx-2=0. Tìm giá trị của m để: S= x12+x22 đạt giá trị nhỏ nhất.. 2.

(28) Tích luỹ chuyên môn Câu 18: Gọi x ❑1 ,x ❑2 là hai nghiệm của phương trình: x2+ 1 1 + 2 giá trị của biểu thức: 2 x1 x2. √ 3 x- √ 5 =0. Hãy tính. Câu 19: Cho phương trình : x2+2(m+2)x-4m-12=0 (1) a, Giải phương trình khi m=2; b, Tìm m để phương trình luôn có nghiệm; c, Xác định m để phương trình có hai nghiệm x 1, x 2 thỏa mãn x 1=x 22 Câu 20: Cho phương trình : x2-5mx-4m = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1, x 2 a, Chứng minh rằng : x 21+5 mx 2 − 4 m>0 ; b, Xác định giá trị của m để biểu thức: 2. x +5 mx 1 +12 m m2 + 2 A= 2 x 1 +5 mx 2 +12 m m2. đạt giá trị nhỏ nhất.. Câu 21: Cho phương trình : x2 – 2x + m = 0 a, Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 đều dương;. x1 x2. 10. b, Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 thỏa mãn x + x =− 3 . 2 1 2 Câu 22: Cho phương trình : x – 2 ( m + 1 ) x + m – 4 = 0 (1) a, Giải phương trình với m = 1; b, Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm với mọi giá trị của m; c, Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình (1), Chứng minh A = x1 ( 1 - x2) + x2 ( 1 - x1 ) luôn không phụ thuộc vào m. Câu 23: Cho phương trình bậc hai ẩn là x: x2 + 2 ( m – 1 ) – 2m + 5 = 0 a, Giải và biện luận phương trình theo m. x1 x2. b, Tìm m biết x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình thỏa mãn x + x =2 2 1 c, Tìm m sao cho A = 12 – 10 x1x2 – (x12 + x22) đạt giá trị lớn nhất. Câu 24: Cho phương trình : mx2 – (m – 2)x + m + 1 = 0 a, Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình đã cho khi nó có nghiệm; b, Tìm m để phương trình có 2 nghiệm dương. Câu 25: Cho phương trình : x2 – 2mx + 2m – 1 = 0. (1). a, Chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm ∀ m; b, Gọi A = 2(x12 + x22) – 5x1x2 +, Tìm giá trị lớn nhất của A +, Tìm m để A = 27.. 2.

(29) Tích luỹ chuyên môn. Giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình Câu 1: (Đề tuyển sinh vào lớp 10 Trường PTTH Thanh Chương I Năm: 2004-2005) Nhân dịp kỷ niệm 32 năm ngày giải phóng Miền Nam thống nhất đất nước, 180 học sinh khối 9 ở một trường được điều về tham gia diễu hành. Người ta dự tính: Nếu dùng loại xe lớn chuyên chở một lượt hết số học sinh thì phải điều ít hơn nếu dùng loại xe nhỏ là 2 chiếc. Biết rằng, mỗi xe lớn có nhiều hơn mỗi xe nhỏ là 15 chỗ ngồi. Tính số xe lớn, nếu xe đó được huy động ? Câu 2: Cho mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 360m 2. Nếu tăng chiều rộng 2m và giảm chiều dài 6m thì diện tích mảnh đất không thay đổi. Tính chu vi mảnh đất lúc ban đầu. Câu 3: Hai thành phố A và B cách nhau 48km, gió thổi từ A đế B với vận tốc không đổi 6km/h. Lúc 8 giờ, một người đi mô tô từ A đến B, nghỉ ngơi 30 phút rồi trở lại lại A, anh về đến A lúc 10 giờ 50 phút. Vận tốc của mô tô được cộng thêm hoặc trừ bớt vận tốc của gió, tùy theo mô tô chạy xuôi chiều hay ngược chiều gió. Hãy tính riêng vận tốc của mô tô (tốc độ mô tô khi tốc độ gió bằng 0). Câu 4: Trong phòng học có một số ghế dài. Nếu xếp một ghế ba học sinh thì sáu học sinh không có chỗ. Nếu xếp mỗi ghế bốn học sinh thì thừa một ghế. Hỏi lớp có bao nhiêu ghế và bao nhiêu học sinh? Câu 5: Trên một cánh đồng cấy 60 ha lúa giống mới va 40 ha lúa giốn cũ. Thu hoạch được tất cả 460 tấn thóc. Hỏi năng suất mỗi loại lúa trên 1 ha là bao nhiêu, biết rằng 3 ha trồng lúa mới thu hoạch ít hơn 4 ha trồng lúa cũ là 1 tấn. Câu 6: Hai thợ cùng xây một bức tường trong 7 giờ 12 phút thì xong (vôi vữa và gạch có công nhân khác vận chuyển). Nếu người thứ nhất làm trong 5 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai xây được. 3 4. bức tường. Nếu mỗi người làm một mình thì bao lâu. xây xong bức tường?. 2.

(30) Tích luỹ chuyên môn Câu 7: Hai xe lửa khởi hành đồng thời từ hai ga cách nhau 750 km và đi ngược chiều nhau, sau 10 giờ chúng gặp nhau. Nếu xe thứ nhất khởi hành trước xe thứ hai 3 giờ 45 phút thì sau khi xe thứ hai đi được 8 giờ chúng gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi xe. Câu 8: Trong một phòng họp có 360 ghế được xếp thành các dãy và số ghế trong mỗi dãy đều bằng nhau. Có một lần phòng họp phải xếp thêm một dãy ghế và mỗi dãy tăng thêm một ghế (số ghế trong mỗi dãy vẫn bằng nhau) để đủ chỗ cho 400 đại biểu. Hỏi bình thường trong phòng có bao nhiêu dãy ghế ? Câu 9: Nếu mở cả hai vòi nước chảy vào một bể cạn thì sau 2 giờ 55 phút bể đầy nước. Nếu mở riêng từng vòi thì vòi thứ nhất làm đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì mỗi vòi chảy bao lâu đầy bể ? Câu 10: Một xuồng máy xuôi dòng sông 30 km và ngược dòng 28 km hết một thời gian bằng thời gian mà xuồng đi 59,5 km trên mặt hồ yên lặng. Tính vận tốc của xuồng khi đi trên hồ biết rằng vận tốc của nước chảy trong sông là 3 km/h. Hình học Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB=6cm, AC=8cm. ❑ ❑ a, Tính BC, B ,C . b, Phân giác của góc A cắt BC tại D. Tính BD, CD. c, Từ D kẻ DE và DF lần lượt vuông góc với AB và AC. Tứ giác AEDF là hình gì ? Tính chu vi và diện tích của tứ giác AEDF. Câu 2: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến d của đường tròn. Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến d. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB. Chứng minh rằng: a, CE=CF; b, AC là tia phân giác của góc BAE; c, CH2=AH.BF. Câu 3: Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (M, N là các tiếp điểm). a, Chứng minh rằng OA vuông góc với MN. b, Vẽ đường kính NOC. Chứng minh rằng MC// AO. c, Tính độ dài các cạnh của tam giác AMN biết OM= 3cm, OA= 5cm. Câu 4: Cho đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ các đường kính AOB, AO’C. Gọi DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn, D (O), E (O’). Gọi M là giao điểm của BD và CE. a, Tính số đo góc DAE. b, Tứ giác ADME là hình gì ? Vì sao? c, Chứng minh rằng MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn. Câu 5: Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm C nằm giữa A và O. Vẽ đường tròn (O’) có đường kính CB.. 3.

(31) Tích luỹ chuyên môn a, Kẻ dây DE của đường tròn (O) vuông góc với AC tại trung điểm H của AC. Tứ giác ADCE là hình gì ? Vì sao ? b, Gọi K là giao điểm của DB và đường tròn (O’). Chứng minh rằng ba điểm E, C, K thẳng hàng. c, Chứng minh rằng HK là tiếp tuyến của đường tròn (O’). Câu 6: Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Gọi M là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn, H là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB. Vẽ đường tròn (M, MH). Kẻ các tiếp tuyến AC, BD với đường tròn tâm M (C và D là các tiếp điểm khác H). a, Chứng minh rằng ba điểm C, M, D thẳng hàng và CD là tiếp tuyến của đường tròn (O). b, Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn (O) thì tổng AC + BD không đổi. c, Giả sử CD và AB cắt nhau tại I. Chứng minh rằng tích OH.OI không đổi. Câu 7: Cho hai đường tròn (O, 16cm) và (O’,9cm) tiếp xúc ngoài tại A. Gọi BC là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (B (O), C (O’)). Kẻ tiếp tuyến chung tại A cắt BC ở M. a, Tính góc OMO’. b, Tính độ dài BC. c, Gọi I là trung điểm của OO’. Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn tâm I, bán kính IM. Câu 8: Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn đường kính AD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Kẻ EF vuông góc với AD. Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh rằng: a, Các tứ giác ABEF, DCEF nội tiếp được; b, Tia CA là tia phân giác của góc BCF; c, Tứ giác BCMF nội tiếp được. Câu 9: Từ một điểm M ở bên ngoài đường tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn. Trên cung nhỏ AB lấy một điểm C. Vẽ CD AB, CE MA, CF MB. Gọi I là giao điểm của AC và DE, K là giao điểm của BC và DF. Chứng minh rằng: a, Các tứ giác AECD, BFCD nội tiếp ; b, CD2 = CE.CF; c, Tứ giác ICKD nội tiếp; d, IK CD. ❑ Câu 10: Cho tam giác cân ABC có đáy BC và A =200. Trên nửa mặt phẳng bờ AB ❑ không chứa điểm C lấy điểm D sao cho DA = DB và DAB = 400. Gọi E là giao điểm của AB và CD. a, Chứng minh rằng ACBD là tứ giác nội tiếp. ❑ b, Tính AED . Câu 11: Cho góc xAy = 600 . Một đường tròn tâm O tiếp xúc với hai cạnh Ax và Ay lần lượt tại B và C. Gọi M là một điểm tùy ý trên cung nhỏ BC, tiếp tuyến tại M với đường. 3.

(32) Tích luỹ chuyên môn tròn cắt AB và AC lần lượt tại E và F. Gọi P là giao điểm của BC với OE, gọi Q là giao điểm của BC với OF. a, Chứng minh tam giác ABC đều. b, Chứng minh tứ giác OBEQ nội tiếp. c, Chứng minh EF = 2PQ. Câu 12: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn (I) đường kính BH cắt AB tại D. Vẽ đường tròn (K) đường kính CH cắt AC tại E. Chứng minh rằng: a, AD.AB = AE.AC. b, DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K). c, Diện tích tứ giác DEKI bằng nửa diện tích tam giác ABC. Câu13: Cho đường tròn (O;R) tiếp xúc ngoài (O’;r) tại A. Một tiếp tuyến chung ngoài tiếp xúc với đường tròn (O) và (O’) lần lượt tại B và C. Vẽ AH BC. a, Tính độ dài BC. b, Chứng minh rằng: ba đường OC, O’B và AH đồng quy tại trung điểm của AH. Câu 14: Cho (O;R) và một điểm A ở ngoài đường tròn. Từ một diểm M di động trên đường thẳng d OA tại A. Vẽ các tiếp tuyến MB, MC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Dây BC cắt OM và OA lần lượt tại H và K. a, Chứng minh rằng: OA.OK không đổi, từ đó suy ra BC luôn đi qua một điểm cố định. b, Chứng minh rằng: H di động trên 1 đường tròn cố định. c, Cho biết OA = 2R, hãy xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác MBOC nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó. Câu 15: Cho (O;R) hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đường kính AB lấy điểm E sao cho AE = R √ 2 . Vẽ dây CF đi qua E. tiếp tuyến của đường tròn tại F cắt đường thẳng CD tại M, vẽ dây AF cắt CD tại N. Chứng minh rằng: a, MF//AC. ❑ b, Tia CF là phân giác của BCD . c, MN, OD, OM là đọ dài 3 cạnh của một tam giác vuông. Câu 16: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) tia phân giác trong của góc A cắt BC tại E và cắt đường tròn tại M. a, Chứng minh rằng OM vuông góc với BC; b, Dựng tia phân giác ngoài Ax của góc A; Chứng minh rằng Ax luôn đi qua một điểm cố định; c, Kéo dài Ax cắt BC tại F; Chứng minh rằng FB.EC = FC.EB; d, gọi giao điểm của OM và BC là I; Chứng minh rằng góc AMI=góc AFC. Đề tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2007-2008 Phần I . Trắc nghiệm (2 điểm). 3.

(33) Tích luỹ chuyên môn Em hãy chọn một phương án trả lời đúng trong các phương án (A, B, C, D) của từng câu sau, rồi ghi phương án đã chọn vào bài làm. Câu 1. Đồ thị hàm số y= 3x – 2 cắt trục tung tại điểm có tung độ là: A. 2; Câu 2. Hệ phương trình A. (2; 1) ; Câu 3. Sin300 bằng:. B. -2; ¿ x − y=1 x + y=3 ¿{ ¿. B. (3; 2) ;. C. 3;. 2. D. 3 .. có nghiệm là: C. (0; 1) ;. D. (1; 2). 1 1 3 2 A. 2 ; B. √ ; C. √ ; D. . 2 2 3 √ ❑ Câu 4. Cho tứ giác MNPQ nội tiếp đường tròn (O). Biết MNP =70 0 . Góc MQP có số đo là: A. 1300 ; B. 1200 ; C. 1100 ; D. 1000.. Phần II. Tự luận (8 điểm) Câu 1 (3 điểm). Cho biểu thức A =. ( √ x√−1x − x −1√ x ): √ x1−1. a, Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A. b, Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A < 0. c, Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình A √ x=m− √ x có nghiệm. Câu 2 (2 điểm). Hai xe máy khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B. Xe máy thứ nhất có vận tốc trung bình lớn hơn vận tốc trung bình của xe máy thứ hai 10km/h, nên đến trước xe máy thứ hai 1 giờ. Tính vận tốc trung bình của mỗi xe máy, biết rằng quảng đường AB dài 120km. Câu 3 (3 điểm). Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Điểm H nằm giữa hai điểm A và B (H không trùng với O). Đường thẳng vuông góc với AB tại H, cắt nửa đường tròn trên tại điểm C. Gọi D và E lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AC và BC. a, Tứ giác HDCE là hình gì? Vì sao? b, Chứng minh ADEB là tứ giác nội tiếp. c, Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADEB. Chứng minh DE = 2KO. Tích luỹ phần Toán 8 Chương 1: Phép nhân và phép chia đa thức 1.. Tìm chữ số tận cùng của P = {(77)7:(76)6}6}6. 3.

(34) 2.. Tích luỹ chuyên môn Chứng minh rằng biểu thức z2 + y( 2x –y) – x2 chia hết cho biểu thức x – y + z. 3.. Tìm a, b, c sao cho đa thức x4 + ax2 + bx + c chia hết cho ( x – 3)3. 4.. Tìm giá trị nguyên của biểu thức để giá trị của biểu thức x 3 – 3x2 – 3x -1 chia hết cho giá. của biểu thức x2 + x +1 5.. Phân tích đa thức sau ra thừa số: a4 + 8a3 + 14a2 – 8a -15. 6.. Chứng minh rằng đa thức sau ( a2 + 3a + 1)2 – 1 chia hết cho 24 với a là số tự nhiên. 7.. Chứng minh rằng hiệu của 2 số lẻ thì chia hết cho 8. 8.. Chứng minh rằng biểu thức 10n + 18n -1 chia hết cho 27 với n là số tự nhiên. 9.. Chứng minh rằng nếu m. 10.. Chứng minh rằng 25n4 + 50n3 – n2 -2n chia hết cho 24 nếu n là số nguyên dương tuỳ ý. 11.. Chứng minh rằng 20 + 21 + 22 +…+ 25n-2 + 25n-1 chia hết cho 31 nếu n là số nuyên dương b. 5 thì m = a4 + 4 không thể là số nguyên tố. kì. 12.. Chứng minh rằng nếu a và b không chia hết cho 3 thì a6 – b6 chia hết cho 9. 13.. Chứng minh rằng 4a2 + 3a + 5 chỉ chia hết cho 6 nếu a là số nguyên không chia hết cho 2. cũng không chia hết cho 3. 14.. Hai lần của một số lẻ bất kì có thể là hiệu bình phương của 2 số nguyên không?. 15.. Tìm 3 số tự nhiên liên tiếp biết rằng tổng các tích từng cặp hai số trong 3 số ấy bằng 242.. 16.. Chứng minh rằng nếu một số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số. 17.. Chứng minh rằng các số tự nhiên có tổng bằng 5 thì n 2 tận cùng bằng 25. Số n2 có thể t. cùng bằng 125 không? 18.. Chứng minh rằng nếu tổng 2 số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng ch. hết cho 9 19.. Phân tích thành nhân tử: a, 4x2 -3x -1. b, 3x2 - 22xy - 4x + 8y + 7y2 + 1 20.Giả sử a, b, c là các số nguyên. Chứng minh rằng {(a- c)2 + ( b – d)2 } (a2 + b2) – (ad –bc)2 là số chính phương 21. Cho x + y =1; x3 + y3 = a; x5 + y5 = b. 3.

(35) Tích luỹ chuyên môn Chứng minh rằng: 5a(a + 1) = 9b + 1 22. Chứng minh rằng tổng lập phương của 3 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 9 23. Tìm các số tự nhiên n sao cho n2 + 3n + 39 và n2 + n + 37 chia hết cho 49 Chương II. Phân thức đại số 1. Rút gọn phân số 19 .. . 9 99 .. . 95. với n chữ số 9 ở tử và n chữ số 9 ở mẫu (n là số tự nhiênn) 3. 2. Tính số trị của phân thức sau bằng cách nhanh nhất. 2. 2. a − 4 a −a+ 4 với a =102 3 2 a − 7 a +14 a− 8. 2. 3. Số nào lớn hơn:. 1981− 1980 1981 −1980 hay 1981+ 1980 19812 +19802. 4. Số nào lớn hơn:. 101979 +1 101980 +1 hay 1981 ? 101980 +1 10 +1 a+ b. 5. Tìm số trị của: a− b với 2a2 + 2b2 = 5ab và b > a > 0 6. Chứng minh rằng nếu: 2. c2 + 2(ab – ac – bc) = 0, b c , a+b ≠ c thì. 7. Rút gọn phân thức sau:. a−c¿ ¿ 2 b−c¿ ¿ 2 b +¿ a 2+ ¿ ¿. (x 2+ a)(1+ a)+a2 x2 +1 ( x 2 − a)(1− a)+a2 x2 +1. Chứng minh rằng phân thức trên không p. thuộc vào x, có nghĩa với mọi x và a. 8. Chứng minh rằng nếu x = by +cz (1), y = ax + cz (2), z = ax + by (3) và x + y + z 1 1 1 + + =2 1+ a 1+b 1+ c. 9. Thực hiện phép tính 1 1 1 + + 2 2 2 2 2 (b − c)(a + ac −b − bc) (c − a)(b + ab− c − ac) (a −b)(c + bc − a − ab) 2. Chương III. Phưng trình bậc nhất 1 ẩn. 3. 0t.

(36) Tích luỹ chuyên môn 1. Cho 10 + 11 + 12 =13 + 14 . Hỏi ngoài 5 số trên có những bộ 5 số nguyên nào có tính ch 2. 2. 2. 2. 2. như vậy không? 2. Chứng minh rằng nghiệm của phưng trình sau là một số nguyên. x − 29 x − 27 x − 25 x −23 x −21 x −19 + + + + + 1970 1972 1974 1976 1978 1980 x −1970 x −1972 x − 1974 x −1976 x −1978 x −1980 ¿ + + + + + 29 27 25 23 21 19. 3. Đầu năm học một tổ học sinh được mua một số sách vở và phải trả 72 đồng. Nếu bớt đi 3 ngư thì mỗi người còn lại phải trả thêm 4 đồng. Hỏi tổ đó có bao nhiêu người. 4. Giải phương trình: ||x −2|−3|=1 Một số bài toán khác 1. Có số nguyên x, y thoả mãn đẳng thức 15x2 – 7y2 = 9 không?. 2. Tìm số tự nhiên biết rằng nếu ta bỏ đI 3 chữ só cuối cùng của số đó thì ta được một số mới m lập phương của nó bằng chính số cần tìm. 3. chứng minh rằng phương trình n + S(n) = 1982. Với S (n) là tổng các chữ số của n (n là nguyên không âmn) 4. Tổng của 6 chữ số không âm bằng tích của chúng. Tìm số đó. 5. Cặp số 44 và 18 có tính chất sau. Tổng và hiệu của chúng là số có 2 chữ số, nhưng vị trí đổi ch nhau. Hãy tìm các cặp số mà mỗi số có hai chữ số có tính chất trên. 6. Cho biểu thức: P =. (. 2 x −3 2 x −8 3 21+2 x − 8 x2 + − ): +1 4 x 2 − 12 x +5 13 x −2 x 2 −20 2 x − 1 4 x2 + 4 x − 3. a, Tìm điều kiện của x để biểu thức có ngiã b, Rút gọn P 7.. Chứng minh rằng nếu x + y + z = 0 thì x3 + y3 + z+z3 = 3xyz. Tính giá trị biểu thức: M=. 8.. bc ca ab 1 1 1 + 2 + 2 biet + + =0 2 a b c a b c. ( a, b, c. 0). Giả sử x, y, z thoả mãn x.y.z = 1992. Chứng minh rằng 1992 x y x + + =1 xy +1992 x+1992 yz+ y +1992 xz+ z +1. 10.Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình: x6 – x4 +2x3 + 2x2 = y2. 3.

(37) Tích luỹ chuyên môn 11.Cho biểu thức: A = x +15y + xy + 8x + y +1992. Tìm giá trị nhỏ nhất của A 2. 2. 12.Chứng minh rằng nếu aC, b, c, là các số dương và a + b + c = 1 thì 1. 1+. 13.Giải bất phương trình:. >1992. 1. 1+. 1 1 b+ ¿2 +( c+ )>33 b c 1 a+ ¿ 2+¿ a ¿. 1. 1+. 1+. 1 x. 14.Chứng minh rằng a, b là số dương thì a2 – 3ab2 + 2b2 cũng là số dương. 15.Chứng minh rằng nếu một số có 8 chữ số chia hết cho 101 thì khi viết chữ số cuối cùng lên đầ cũng được số có 8 chữ số chia hết cho 101. 16.Cho tổng của 5 số nguyên bằng 0. Chứng minh rằng tổng các luỹ thừa bậc 5 của 5 số nguyên chia hết cho 15. 1 1 1 17.Thực hiện phép tínhT: (1− 1+2 )(1− 1+2+3 ). ..(1 − 1+2+3+. ..+1986 ). 18.Chứng minh rằng:. 40 4 +514 +91 4 402 +512+ 912 = 2 794 79. 19.Chứng minh rằng nếu x C + y = 1 và xy. 0 thì:. 2(x − y) y x − 3 = 2 2 x −1 y −1 x y +3 3. 20.So sánh hai biểu thức A và B: 1 1 1 1 1 1 A = 124( 1 .1985 + 2. 1986 + .. .+ 16 .2000 ), B= 1 . 17 + 2 .18 +. ..+ 1984 . 2000. 21. lần. Có tồn tại số nguyên dương nào mà nếu ta bỏ đi chữ số đầu tiên thì số đó giảm đi:. a, 5. b, 58 lần. 22.. Cho 4 số a, b, c, d sao cho ab = 1, ac + bd = 2. Chứng minh rằng 1- cd không thể là số âm. 23.. Tìm x biết: 1985. x −1986 −1987. +. x −1985 − 1987 x − 1985− 1986 + =3 1986 1987. 3.

(38) Tích luỹ chuyên môn 2. 24.. 25.. Tìm x biết:. x −1986 ¿ ¿ x −1986 ¿ 2 ¿ 1985− x ¿ 2 −(1985 − x)( x −1986)+¿ ¿ 1985− x ¿ 2+(1985 − x)( x −1986)+¿ ¿ ¿ c d. 1. Cho 4 số a, b, c, d khác 0 trong đó c + d =1 và a + b =ac + bd. chứng minh rằng a = b 26.. Chứng minh bất đẳng thứcC: x21 + x22 + x23 + x42 + x52. 27.. Cho. 28.. Chứng minh rằng nn – n2 – 1 chia hết cho ( n- 1)2 với mọi số nguyên n lớn hơn 1. x1(x2 +x3 + x4 + x5). x x2 =a . TinhP= theo a x 2 + x+ 1 x 4 − x2 +1. Chứng minh ràng đa thức PC (x) = x5 – 3x4 + 6x3 + 6x2 + 9x – 6 không thể có nghiệ. 29. nguyên 30. 31.. Xét biểu thức:. S=. Xét hai biểu thức:. 1 2 1992 + 1 +. ..+ 1991 0 2 2 2. Chứng minh rằng S < 4 2. 2. 2. x y z x y z P= + + ,Q= + + y + z z+ x x + y y+z x+z x+ y. a, Chứng minh rằng nếu P = 1 thì Q = 0 b, Nếu Q = 0 thì nhất thiết P = 1 không? Phần Hình học. 1. Cho tứ giác lồi ABCD. Kéo dài hai cạnh AC và BD về cùng một phía gặp nhau tại E. Kéo d hai cạnh AB và CD về cùng một phía gặp nhau tai M. Kẻ hai đường phân giác của hai góc CED BMC gặp nhau tại K. Tính góc EKM theo các góc trong của tứ giác lồi ABCD.. 2. Cho tam giác ABC, N là điểm giữa của AB, M là điểm giữa của AC, P và Q năm trên BC s. cho BP = PQ = QC. BM cắt NP và AQ tại K và L. So sánh diện tích tứ giác KLQP với diện tích ta giác ABC.. 3.

(39) Tích luỹ chuyên môn 3. Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ BC. Từ I là điểm chính giữa của CD kẻ Ix song song với A. Từ A và B kẻ AH và BE vuông góc với Ix. Chứng minh diện tích tứ giác ABEH bằng diện tích hìn thanh ABCD. 4. Cho góc nhọn xOy và hai điểm A, B nằm trong góc đó. Hãy tìm trên Ox và Oy các điểm C và sao cho ABCD có chu vi nhỏ nhất. 5. Lấy 2 cạnh AB của tam giác ABC (góc BAC g. 600) dựng các tam giác đều ABD và ACE. phía ngoài góc A. Lấy AD và AE làm 2 cạnh, dựng hình bình hành ADFE. Chứng minh tam gi FBC đều.. 6. Chứng minh rằng nếu hai trung tuyến của một tam giác (p và q) vuông góc với nhau thì trun. tuyến thứ 3 là cạnh huyền của một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng hai trung tuyến kia. 7. Cho tam giác ABC các đường cao AK và BD cắt nhau tại G, vẽ đường trung trực HE, HF c AC và BC. Chứng minh BG = 2HE, AG = 2HF.. 8. Cho hình vuông ABCD, đặt một hình vuông A’B’C’D’ sao cho tâm hai hình vuông đó trùn nhau. Chứng minh trung điểm của AA’, BB’, CC’, DD’ là đỉnh của một hình vuông khác.. 9. Dựng tứ giác ABCD biết hai cạnh đối AD = a, BC = b, và hai đường chéo AC = c, BD = d v α. là góc xen giữa hai đường chéo AC và BD.. 10.Cho hình vuông ABCD. Gọi MN lần lượt là trung điểm AB, AD. Nối BN, CM, chúng cắt nh tại P. Chứng minh rằng: a. BN vuông góc CM b. DP = DC 11.. Cho hình bình hành ABCD. Trên BD lấy điểm E, gọi F là điểm đối xứng với C qua E. Q. F, kẻ Fx song song AD, Fy song song AB, Fx cắt AB tại I, Fy cắt AD tại K. Chứng minh rằng I, K E thẳng hàng. 12.. Cho tứ giác ABCD, điểm M nằm trong tứ giác sao cho diện tích ABM bằng diện tích ADM. diện tích BCM bằng diện tích CDM. Chứng minh rằng có một đường chéo của tứ giác đi qua M. 13.. Cho hình bình hành ABCD và đường thẳng xy đi qua A. Gọi E là một điểm nằm trên x. Tìm mỗi liên hệ giữa diện tích các tam giác ABE, ACE, ADE.. 3.

(40) 14.. Tích luỹ chuyên môn Cho tam giác ABC vuông tại B, trung tuyến AM. Trên cạnh AC lấy AN = 1/3AC. Đườn. thẳng qua N song song với AM cắt BC tai P. Chứng minh rằng: a. 2AM = 3NP b. 2AM = 3 BN 15.. Cho hình thang ABCD có đáy lớnCD. Qua A vẽ đường thẳng AK song song với BC. Qua. vẽ đường thẳng BI song song với AD. BI cắt AC ở F, AK cắt BD ở E. Chứng minh rằng: a. EF son song với AB. b. AB2 = CD. EF 16.. Cho tam giác ABC cân ở A, đường cao AH bằng 10cm, đường cao BK bằng 12cm. Tính đ. dài các cạnh của tam giác ABC. 4.

(41) Tích luỹ chuyên môn Chương I: phép nhân và phép chia đa thức Câu 1: P = 7343: 7126= 7127= 74.31+3 = 74k+3( k=31)= (74)k.72 mà 74= 2401 nên) (74)k tận cùng bằng Còn 73= 243 tận cùng bằng 3. Do đó P tận cùng bằng 3. Câu 2: Cách 1: z2 + y(2x- y)- x2= z2+ 2xy- y2- x2= z2-(x2- 2xy+ y2)=z2- (x-y)2=(z+x-y)(z- x+ y), đó biểu thức trên chia hết cho x - y+ z. Cách 2: z2+ y(2x- y)- x2= z2+ 2xy- y2- x2 z2 + 2xy –y2 –x2. x–y+z. z2 + xz – yz. z+y–x. 2xy – y2 – x2 –xz + yz xy – y2 + yz xy – x2- xz xy – x2 –xz 0 Do đó biểu thức z2+ y(2x- y)- x2 chia hết cho x – y + z. Câu 3: Chia đa thức x4 +ax2 + bx + c chia cho ( x-3) 3 được thương là x +9 và còn dư ax 2 + 54x2. bx -216x +243 +c. Muốn đa thức x4 +ax2 + bx + c chia hết cho ( x-3) 3 thì số dư phải bằng 0 tức l ax2 + 54x2 + bx -216x +243 +c = 0 với mọi x. Từ đso suy ra: a = -54; b = 216; c = - 243. Bài 4: Thực hiện phép chia x3 – 3x2 - 3x -1. x2 +x +1. x3 + x2 + x. x–4. - 4x2 -4x -1 - 4x2 -4x - 4 3 Suy ra x3 – 3x2 - 3x -1 chia hết cho x2 +x +1 khi 3 chia hết cho x2 +x +1 do đó x2 +x +1 = ± 3 Câu 5: a4+ 8a3+ 14a2- 8a- 15. 4.

(42) Tích luỹ chuyên môn = a + 8a +16a -a - 8a- 16- a2+ 1 4. 3. 2. 2. =(a4+ 8a3+16a2)- (a2+ 8a+16)-(a2-1) = (a4+4a)2- (a+ 4)2- ( a2- 1) = a2( a+4)2- (a+ 4)2- (a2- 1) = (a+4)2(a2- 1)- (a2- 1) =(a2- 1) [ ( a+ 4 ¿ 2 −1 ) ] =(a- 1)( a+1)(a+ 3)(a+ 5) Câu 6: Trước hết phân tích đa thức đã cho thành nhân tử: (a2+ 3a+ 1)2- 1= (a2+ 3a+ 1+1)(a2+ 3a+ 1- 1) =( a2+ 3a+ 2)( a2+ 3a)= (a+2)(a+1)(a+3)a =a(a+1)(a+2)(a+3) Như vậy đa thức đã cho là một tích của 4 số tự nhiên liên tiếp Ta biết rằng: a) Trong ba số tự nhiên liên tiếpắt có một số chia hết cho 3, vậy đa thức đã cho chia hết cho 3. b) Trong bốn số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng có hai số chẵn liên tiếp nên một trong hai số đó ch hết cho 2 và số còn lại sẽ chia hết cho 4, vậy đa thức đã cho chia hết cho 8. Nhưng (3, 8)= 1, nên tích của 4 số tự nhiên liên tiếp luôn luôn chia hết cho 24, do đó (a 2+ 3a+ 1)2+ chia hết cho 24 Câu 7:. Gọi 2 số lẻ là 2p+1 và 2q+ 1 với p, q là hai số nguyên. Ta phảI chứng min (2p+ 1)2- (2q+ 1)2 chia hết cho 8 Thực vậy (2p+ 1)2- (2q+ 1)2= 42+ 4p+1- 4q2- 4q- 1= 4p(p+1)- 4q(q+1) P(p+1) cũng như q (q+1) chia hết cho 8 và biểu thức đã cho chia hết cho 8. Câu 8: Ta có: 10n- 1=. 99 .. . 9 ⏟ n. (n chữ số 9n). 4.

(43) Vậy 10n+ 18n- 1=. 99 .. . 9 ⏟ n. Tích luỹ chuyên môn 11 .. . 1 ⏟. + 9.2n = 9(. +2n). n. Tích này chia hết cho 9 vì một thừa số là 9. Cần chứng minh tổng trong ngoặc chia hết cho Biến đổi tổng trong ngoặc:. 11 .. . 1 ⏟ n. 11 .. . 1 ⏟. +2n =. n. - n + 3n.. Số n và số các chữ số có cùng số dư trong phép chia cho 3 (Theo dâu hiệu chia hết cho 3T) n 11 .. . 1 ⏟ n. - n chia hết cho 3.. Vậy 10n + 18n -1 chia hết cho 27 Câu9. Bằng cách thêm bớt hạng tử ta có:. M = a4 + 4a2 + 4 – 4a2 = (a2 + 2)2 – (2a2)2 = ( a2 + 2a + 2)( a2 -2a + 2) = {(a+1)2 + 1}{(a-1)2 + 1}. G trị nhỏ nhất của thừa số thứ nhất là 1 nếu a = -1, giá trị nhỏ nhất của thừa số thứ hai là 1 nếu a = Còn trong tất cả các trường hợp khác thì tích lớn hơn 1.. Vậy ta có thể nói rằng ngoài trường hợp a = 1 hoặc a = -1(khi đó m k = 5) thì m có thể phân tíc thành tích của hai thừa số khác 1, cho nên m không thể là số nguyên tố.. Câu 10. 25n4 + 50n3 – n2 -2n = n(25n3 + 50n2 – n – 2) = n(n+2)(25n2-1) = n(n+2)24n2 + n(n+2)(n2= 24n3(n+2) + (n-1)n(n+1)(n+2). Biểu thức cuối cùng này có số hạng thứ nhất chia hết cho 24. Còn số hạng thứ hai là tích của 4 nguyên liên tiếp phải chia hết cho 1.2.3.4 = 24 Câu 11. Nhóm 5 số hạng một rồi đặt thừa số chung của từng nhóm: 20+ 21+ 22+…+ 25n-3+ 25n-2+ 25n- 1. = 1+2+ 22+ 23+ 24+ 25(1+2+ 22+ 23+ 24) + 25.2(1+2+ 22+ 23+ 24)+…+ 25(n-1) (1+2+ 22+ 23+ 24) = ( 1+2 22+ 23+ 24)(1+ 25+ 25.2+…+ 25(n- 1)) = 31(1+ 25+ 25.2+…+ 25(n- 1)) Vậy 20+ 21+ 22+…+ 25n-3+ 25n-2+ 25n- 1 chia hết cho 31 Câu 12: Trước hết phân tích đa thức đã cho a6- b6= (a2- b2)[(a2- b2)2+ 3a2b2] vì a và b không chia hết cho 3, cho nên: a= 3p ± 1,. b= 3q ± 1,. 4.

(44) Tích luỹ chuyên môn 2. a = 3p’+ 1,. 2. b = 3q’+ 1.. Ta thấy rằng cả hai thừa số đều chia hết cho 3 nên tích chia hết cho 9 Vậy a và b không chia hết acho 3 thì a6- b6 chia hết cho 9 Câu 13: Trước hết, ta biến đổi đa thức đã cho: 4a2+ 3a+ 5= (a+1)(4a- 1)+ 6.. Dựa vào tính chất chia hết của một tổng cho một số, ta cần chứng minh (a+1)(4a- 1) cũng chia h cho 6. Đặt A = (a+1)(4a- 1) - Nếu a = 2k thì A = (2k+1)(8k- 1). Cả hai thừa số của A đều là lẻ nên tích cũng lẻ. Một số không chia hết cho 6 nên tích không chia hết cho 6 - Nếu a = 3k thì A = (3k+1)(12k- 1) = 36k2 + 9k -1. Ta thấy36k2 chia hết cho 6 nhưng 9k – 1 không chia hết cho 6 . Vậy A không chia hết cho 6 - Nếu a = 6k + 1 thì A = (6k+2)(24k+ 3) = 144k 2 + 64k +6Các số hạng của A đều chia hết cho Vậy A chia hết cho 6 - Nếu a = 6k - 1 thì A = 6k(24k -5) Có một thừa số chia hết cho 6. Vậy A chia hết cho 6. Vậy 4a2 +3a +5 chia hết cho 6 nếu A là một số nguyên không chia hết cho 2 cũng không chia h cho 3.. Câu 14. Giả sử được, ta gọi số lẻ bất kì là 2a + 1và có 2 (2a + 1) = b 2 – c2 = ( b-c)(b+c) với a, b là những số nguyên.. Ta thấy 2 (2a+1) chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 do đó ( b-c)(b+c) chia hết cho 2 nhưn không chia hết cho 4 (1). a, Nếu b, c là những số chẵn thì ( b-c)(b+c) chẵn do đó ( b-c)(b+c) cũng chẵn và chia hết cho 4, đi này mâu thuẫn với (1).. b, Nếu b chẵn, c lẻ (hoặc ngược lạih) thì ( b-c), (b+c) do đó ( b-c)(b+c) lẻ. Vậy ( b-c)(b+c) khôn chia hết cho 2. Điều này mâu thuẫn với (1). c, Nếu b và c là những số lẻ thì ( b-c), (b+c) chẵn và ( b-c)(b+c) chia hết cho 4. Điều này mâu thuấ với (1). Vây hai lần số lẻ bất kì không thể là hiệu bình phương của hai số nguyên.. 4.

(45) Tích luỹ chuyên môn Câu 15. Giải tương tự như bài 22. Đáp số 8,9, 10 Câu 16 .Tương tự như bài 72 Câu 17. Số tận cùng bằng 5 có dạng 10A + 5 (A là số chụcA) Xét n2 = (10a+5)2 = 100a2 + 100a + 25 = 100a(a+1) + 25. Vậy n2 tận cùng bằng 25, còn số trăm là chẵn vì a (a+1) là tích của hai số nguyên liên tiếp, nên n2 có thể tận cùng bằng 125. Câu 18. Gọi hai số đó là a và b ta có a + b chia hết cho 3. Ta có a3 + b3 = (a+b) ( a2 – ab+b2)= (a+b){(a+b)2 – 3ab} chia hết cho 3 Câu 19. a, (x-1)(4x+1) b, (3x-y-1)(x-7y-1). Cau 20. P = {(a2 + b2) + ( c2 + d2) -2(ac + bd)}( a2+b2) – (ad-bc)2 = {(a2 + b2) – 2(a2 + b2)(ac + bd). (c2 + d2)}(a2 + b2) – (ad –bc)2. Biến đổi hai hạng tử cuối thành ( ac + bd) 2 do đó . P = {(a2 + b2) – ( + bd)}2 = ( a2 + b2 –ac –bd)2 Câu 21. Ta có: (x+y)3 = x3 + y3 + 3xy(x+y) nên 1−a 1 = a =3xy ⇒ xy= 3 .. x5 + y5 = x5 + y5 + x2y3 + x3y2 – x2y3 –x3y2 = x2(x3 + y3) + y2(x3 + y3) – x2y2(x+y) =. (x2 +y2)(x3 +y3) – x2y2(x+y). Do đó: b = {(x+y)2 -2xy}a -. 1 −a 2 ¿ 3 . 2( 1− a) 1−a 2 ¿ = 1− a−¿ 3 3 ¿. [. ]. Rút gọn biểu thức trên ta được điều phải chứng minh Câu 22. Xem bài 79. Câu 23. Đặt A = n2 + 3n + 39 = (n+5)(n-2) + 49, A chia hết cho 49 ⇔ n + 5 và n +2 chia hết cho ⇔ n = 7k + 2 (1) .. Đặt B = n2 + n + 37 = (n + 4)(n- 3) + 49 . B chia hết cho 49 ⇔ n + 4 và n – 3 chia hết cho 7 ⇔ = 7m + 3 (2) Từ (1) và (2) suy ra A, B không đồng thời chia hết cho 49, do đó không tồn tại số tự nhiên n để A B cùng chia hết cho 49. Chương II Phân thức đại số. 4.

(46) Tích luỹ chuyên môn. 199. . . 9 1 Câu 1: Cách 1: Nếu lấy mẫu chia cho tử thì được đúng 5 lần. Vậy 99 .. 95 = 5. Cách 2: 19 = 20 -1 = 2.10 -1 199 = 200 -1 = 2.102 – 1 ….. 199…9 = 2.10n – 195 = 100 -5 = 102 -5 = 101 +1 -5 995 = 1000 – 5 = 103 – 5= 102+1 -5 …. 99…95 = 10n + 1 – 5 199. . . 9 2 .10 n −1 = = 99 .. . 95 10n+1 −5. Vậy:. 1 2(10 n − ) 2 1 = 1 5 10 (10n − ) 2. Câu 2: Phân tích tử và mẫu thành tử a3 - 4a2 - a - 4 = a( a2 - 1) - 4(a2 - 1) = (a2 - 1)(a - 4) = (a - 1)(a+1)(a-4). a3 – 7a2 + 14a -8 = (a-2)(a2+2a+4) – 7a(a-2) = (a-2)(a-1)(a-4) 3. Suy ra. 2. a −4 a −a−4 a+ 1 = 3 2 a − 7 a +14 a− 8 a −2. Tính = ….= 1,03. Câu 3. Theo tính chất cơ bản của phân thức ta có: 1980+1981¿. 2. ¿ ¿ Từ bài toán trên ta suy ra bài toán tổng quát sa 2 2 1981− 1980 1981 −1980 1981−1980 1981 − 1980 = . = ¿ 1981+ 1980 1981+1980 1980+1981. Số nào lớn hơn: x−y x2 − y2 hay 2 2 x+ y x +y. Câu 4. Còn. với x > y > 0. 1979 1979 101979 +1 (10 +0,1)+0,9 (10 +0,1)+ 0,9 1 0,9 = = = + 1980 1980 1980 1979 10 10 +1 10 +1 10 +1 10( 10 +0,1). 1980 1980 101980 +1 (10 +0,1)+0,9 (10 +0,1)+ 0. 9 1 0,9 = = = + 1981 1981 1981 1980 10 10 +1 10 +0,1 .10 10( 10 +0,1) 10 +1. So sánh 2 phân số cùng tử ta có. 4.

(47) Tích luỹ chuyên môn 1979. 1980. 10 +1 10 +1 < 1981 1980 10 +1 10 + 1. Từ bài toán trên ta suy ra bài toán tổng quát như sau. Số nào lớn hơn: 10n +1 10n +1+1 hay 10n+1 +1 10n +2+ 1. với n là số tự nhiên?. Câu 5. 2a2 + 2b2 = 5ab suy ra 2a2 – 5ab + 2b2 = 0 suy ra ( 2a-b)(a-2b)= 0. Vì b>a>0 nên a a+ b. a+2 a. 3a. thoả mãn (1) thì b = 2a. Vậy a− b = a −2 a = − a =−3 Câu 6. Cộng hai vế của c2 + 2(ab – ac – bc) = 0 lấn lượt với a2, b2 ta có a2 = c2 + 2ab -2ac-2bc+ a2 = (a-c)2 + 2b(a-c). (1). b2 = c2 + 2ab-2ac-2bc+ b2 = (b-c)2 + 2a(b- c). (2). Từ (1) và (2) vế trái đẳng thức cần chứng minh có dạng: a − c ¿2 ¿ b − c ¿2 ¿ a − c ¿2 ¿ b − c ¿2 ¿ 2 a − c ¿ +2 b(a −c ) ¿ b − c ¿2 +2 a(b −c ) ¿ 2¿ 2¿ 2 b − c ¿ +2 a( b− c )+¿ ¿ a − c ¿2 +2 b( a− c )+ ¿ ¿ b2 +¿ a2 +¿ ¿. (đpcm) 2. Câu 7. 2. 2. ( x + a)(1+ a)+ a x +1 =¿ ( x 2 −1)(1 −a)+a 2 x 2+ 1. 2 2 2 2 2 x 2 + x 2 a+ a+a 2+ a2 x 2 +1 x ( a + a+1)+( a + a+1) ( x +1)(a +a+1) a2+ a+1 = = = x2 − x 2 a− a+ a2 x 2 +1 x2 (a2 − a+1)+( a2 − a+1) (x2 +1)(a2 − a+1) a2 −a+ 1. 4. 2b. Đ.

(48) Tích luỹ chuyên môn 2. do x +1#0, Rõ ràng phân thức 2. a + a+1 2 a − a+1. không phụ thuộc x. Điều đó chứng tỏ rằng phân thức đã cho không phụ thuộc vào x 1 3 Xét mẫu a - a+ 1= (a- 2 )2 + 4 2. 2. cho nên phân thức. a + a+1 2 a − a+1. ( x2 +a ) (1+a)+a 2 x 2+ a hay 2 có ngh ( x − a ) ( 1− a ) +a 2 x 2+ 1. với mọi x và a Câu 8: Cộng vế với vế của (1), (2),( 3) được: x+ y+ z= by+ cz+ ax+ +cz+ ax+ by= 2(ax+ by+ cz) Thay z= ax+ by vào vế phải của đẳng thức trên được x+ y+ z= 2(z+ cz)= 2z(1+ c) suy ra: 1 2z = 1+c x+ y+ z. với x + y+ z # 0.. Tương tự như vậy được: 1 2x = 1+ a x + y + z 1 2y = 1+b x + y + z. Cộng vế với vế của ba đẳng thức trên ta được: 1 + 1+ c. 1 1 + = 1+b 1+ c. 2( x+ yu+ z ) = 2 (đpcm®) x+ y+z. Câu 9: Phân tích đa thức thành nhân tử: a2+ ac- b2- bc = a(a+c)- b(b+ c) = a( a+b+ c)- b(a+b+ c)= (a-b)( a+b+ c) b2+ ab- c2- ac = b(b+c)- c(c+a) = b(a+b+ c)- c( a+b + c) = (b- c)( a+b+ c) c2+ bc – a2- ab = c(c+ b)- a(a+ b) = c( a+b+ c)- a(a+b+ c)= (c-a)( a+b+ c) Mẫu chung (MC): (a- b)(b- c)(c- a)(a+ b + c). Điều kiện: a+ b+ c # 0, a #b # c # a. Quy đồng mẫu các phân thức trên được:. 4.

(49) c−a a−b b−c + + =0 MC MC MC. Tích luỹ chuyên môn. Chương III: phương trình bậc nhất một ẩn Câu 1: Gọi 2 số nguyên liên tiếp là x - 2, x- 1, x+ 1, x+ 2 thì (x- 2)2+ (x- 1)2 + x2 =(x-+1)2+ (x+2)2 Sau khi rút gọn và chuyển vế được. x2 -12x = 0 ⇔ x(x-2) = 0 ⇔ x = 0; 12. Vậy ngoài năm số trên thì còn 5 số sau có tính chất như đầu bài: -2, -1, 0, 1, 2,. Câu 2: Nhận xét rằng ở tất cả các số hạng của hai vế, nếu ta cộng mẫu với số trừ của tử đều được 199. vì vậy tất cả các số hạng của hai vế đều trừ đi 1 để được tử x -1999. Chuyển các số hạng ở vế phải san vế trái và đặt x -1999 làm nhân tử chung ta được: 1. 1. 1. 1. 1. 1. (x-1999)( 29 + 27 +.. ..+ 19 − 1970 − 1972 −. .. .− 1980 ¿ Nhân tử thứ hai không thể bằng 0. Vậy x -1999 = 0 ⇒ x = 1999 Câu 3. Gọi x là số người của tổ đó (x nguyên dươngx) . 72 Ta có phương trình: ( x-3)( x +4 ¿ = 72. x = 9; x = -6(loạil). Vậy số người của tổ đó là 9 người. Câu 4. Xét hai trường hợp: a, TH1 |x +2|−3=1 b, TH2: |x +2|−3=−1. ⇔ x = 2; x=-6. ⇔ x = 0; x=- 4. Một số bài toán khác Câu 1. Từ 15x2 – 7y2 = 9 suy ra y2 =. 2. 15 x −9 . Ta thấy 15x2 tận cùng là 5 hoặc 0 nên 15x2 -9 tận cùn 7. là 6 hay 1. Do đó y2 tận cùng là 8 hay 3 (vì 8.7 v= 56 và 3.7 = 21). Nhưng số chính phương không tận cùng là 8 hay 3. Vậy không có số nguyên x, y nào thoả mãn đẳng thức trên. Câu 2: số đó phải có 5 chữ số vì nếu 4 chữ số mà bỏ đi 3 chữ số thì số còn lại lớn nhất là 9 mà 93 = 729, chỉ có 3 chữ số. GiảI thích tương tự nếulà 6 chữ số.. 4.

(50) Tích luỹ chuyên môn Gọi số cần tìm là z = abcde . Đạt ab = x, cde =y thì z = x3 do đó 1000x + y = x3, suy ra 1000x x. 3. , nên 1000x x 2 , vậy x > 31 (1). Vì y <1000 nên x3 – 1000x < 1000 hay x(x2 -1000) < 1000. Với x 33 thì x (x2 -1000). 33.89 = 2937 >1000 nên ta có x < 33 (2). Từ (1) và (2) ta có x = 32. Vậy số đó là z = x3 =323 = 32768. Câu 3. Vì n. 1982 nên n có nhiều nhất là 4 chữ số. Gọi 4 chữ số đó là x, y, z, t với 0 ≤ x , y , z ,t ≤ 9.. Ta có xyzt + x + y + z + t =1982 (1) Do 0 ≤ x + y +z +t ≤ 36 . nên từ (1) ta suy ra1982- 36 xyzt. 1982 suy ra x =1; y =9 .. Thay vào (1) ta có 19 zt + 1 +9 + z + t = 1982, hay zt + z + t = 72 hay 11z + 2t = 72 (2) 10 6 Do 0 ≤t ≤ 9 nên 0 ≤2 t ≤ 18 suy ra. 72− 18≤ 11 z +2t ≤72 ⇔ 4 11 ≤ z ≤ 6 11. suy ra z = 5 hay = 6.. Thay vào (2) với z =5 thì t = 8,5(loạil) Z =6 thì t = 3. Vậy n = 1963. Câu 4. Nếu trong 6 số đó có số 0 thì tích bằng 0. Như thế tổng của 6 số bằng 0 nên mỗi số bằng 0. Gọ 6 số tự nhiên tăng dần là 0 ≤ a ≤b ≤ c ≤d ≤ e ≤ g . Theo đầu bài ta có abcdeg = a + b + c + d + e + g 6g (1). Suy ra abcdeg 6 (vì g v > )). Không thể có 3 số lớn hơn 2 vì 2.2.2 = 8 > 6, do đó có nhiều hơn hai số lớn hơn 1. Vậy a = b= c= 1 Thay vào (1) ta có deg = 3+d+ e + g (2) Và deg. 9. Nếu d = 1 thì (2) là eg = 4+ e+ g eg- e- g + 1= 5 (e- 1)(g- 1)= 5 Suy ra e- 1= 1, g- 1= 5, do đó e = 2, g= 6, Nếu d = 2 thì do (3) nên e = 2 hoặc = 3. Nếu e = 2 thì 4g= 7+ g ⇒ 3g= 7, loại. Nếu e = 3 thì (3) là 6g= 8+ g ⇒ 5g= 8, loại. Nếu d. 3 thì e. 3, trái với (3). Kết luận: các số đó là (0,0,0,0,0,0) và (1,1,1,1,2,6).. 5.

(51) Tích luỹ chuyên môn Câu 5: Gọi 2 số phải tìm là A và B. Ta có: A+ B = 10x+ y, A- B = 10y+ x với 9 Suy ra A=. x. y. 1. (1). 11(x + y ) =¿ 11a với a = Error! Objects cannot be created from editing field codes. 2. (2) B=. 9( x − y) = 9b với b = 2. x−y 2. Vì A, B có hai chữ số và y # 0 nên 9. (3) a. b. 2. Từ (2) và (3) suy ra = a+ b, y= a- b Nếu a + b= 9 thì a = 7, b=2, A= 77, B= 18. a= 7, b=2, A= 66, B= 27. a=57, b=4, A= 55, B= 36. Nếu a + b= 8 thì a = 6, b=2, A= 66, B= 18. a= 5, b=3, A= 55, B= 27. Nếu a + b= 7 thì a = 5, b=2, A= 55, B= 18. a= 4, b=3, A= 44, B= 27 Nếu a + b= 6 thì a = 4, b=2, A= 44, B= 18. Nếu a + b= 5 thì a = 3, b= 2, A= 33, B= 18. Vậy có 9 cặp số như trên (kể cả 44 và 18) Câu 6 a) Phân tích 4x2- 12x+ 5= (2x- 1)(2x- 5) 13x- 2x2- 20= (x- 4)(5- 2x) 21+ 2x- 8x2= (3+ 2x)(7- 4x) 4x2+ 4x- 3= (2x- 1)(2x+ 3) 1. Điều kiện để P có nghĩa: x # 2 , x# , x # 4. 5. (4).

(52) Tích luỹ chuyên môn. 3 , x# 2. x#-. 7 . 4. 2 x−3. b) Kết quả rút gọn: P= 2 x − 5 . Câu 7: Xem ví dụ 27 Câu 8: 1992 x. 1992. Nhận xét: xy +1992+1992 = y +1992+1992/ x =. 1992 z yz , = = y +1992+ yz xy + z +1 xyz +yz + y. yz 1992+ y+ yz. Vậy P =. 1992 y + 1992+ y+ yz y +1992+ yz. yz = 1. 1992+ y+ yz. Câu 9. Ta có Error! Objects cannot be created from editing field codes.+ Error! Objects cannot be created from editing field codes.+Error! Objects cannot be created from 1. editing field codes.= 6. ⇒ 6y+ 6x+ 1= xy. ⇒ (x- 6)(y- 6)= 37. Giả sử x. ¿ x −6=−1 y − 6=−37 hoac y thì: ¿ x − 6=37 y −6=1 ¿{ ¿. Trường hợp đầu loại trường hợp sau cho x = 43, y = 7: Câu 10: Biến đổi vế trái: M = x6 – x4 + 2x3 + 2x2 = x2(x+1)2{(x-1)2 + 1}. Nếu x = 0 thì (x-1)2 + 1 không chính phương Nếu x =1 thì M = 4 suy ra y = 2. Nếu x. 2 thì (x-1)2 + 1 không chính phương. Câu 11. A = (x2 + xy +. 59 2 y2 ) + 4 y + 8x + y +1992 = ( x + 4. 5. y 2 59 2 ¿ + y + 8x + y +1992= 2 4.

(53) Tích luỹ chuyên môn y 2 59 2 ¿ + y -3y +1992 -16 = 2 4. (x+4+. y 59 12 x+ +4 ¿ 2+ ( y 2 − y)+1976=¿ 2 4 9 ¿. 6 2 9 ¿ +1976 − 59 59 . y 2 59 x+ + 4 ¿ + ¿ 2 4 ¿. y−. =. 50 6 3 Vậy min A = 1975 59 ⇔ y=59 , x=− 4 59. Câu 12: Nếu A, B, C > 0 thì A2 + B2 + C2 > AC + BC + CA. A +B+ C ¿2 ¿ ¿ A + B+C ¿2 ⇒ A2 + B2 +C2 ≥ ¿ 2 2 2 ⇒ 3( A + B +C )≥ ¿. 1 1 1 Đặt A=a+ a ; B=b+ b ; C=c+ c vế trái là P ta có: a+b+ c a+b+ c a+b+ c 2 + + ¿ a b c 1 1 1 1 = a+ +b+ +c + ¿2 = ¿ a b c 3 1 P> ¿ 3. a+b +c +. b c a c a b 1+1+ + + +1+ + + + 1¿ 2 a a b b c c . Chú ý rằng 1 ¿ 3 4 +6 ¿2=. P. a b + ≥2 b a. (với av, b > 0) nên. 100 >33 3. 1 ¿ 3 5 x +3. Câu 13: Biến đổi thành: 3 x +2 >1992 Câu 14: M = a2 – 3ab2 + 2b2 = a(a2 – b2) + 2b2(b –a ) = (a –b)(a2 + ab - 2b2) = (a- b)2(a + 2b). Do a, b. 0 nên M. 0. Câu 15. Gọi số gồm 7 chữ số đầu là a, chữ số thứ 8 là b, ta có 10a + b chia hết cho 101. Viết chữ số cuối lên đầu ta được 107b + a. Ta có: 107b + a = 10b(106 + 1) +101a – 10(10a + b) = 10b. 101.9901 + 101a - 10(10a + b) ⋮ 101 Câu 16 : Goi năm số nguyên là a, b, c, d, e. Ta có: a +b +c + d + e = 0 ta có. 5.

(54) Tích luỹ chuyên môn a + b + c + d + e = a – a + b - b + c5 – c + d5 – d + e5 – e . Chứng minh rằng mỗi dâu ngoặc đều 5. 5. 5. 5. 5. 5. 5. chia hết cho 15: 1+1986 1 ¿ .1986 1− 2 )= 1 1 A=(1 − )(1− ) .. . ¿ (1+ 2)2 (1+3) .3 2 2. Câu 17:. 4 10 18. 1987 .1986 −2. = 6 . 12 . 20 .. . .. 1986 .1987. 2 5 9 1987 .1986 − 2 . . . .. 3 6 10 1986 .1987. (1). Xét 1987.1986 – 2 = 1986(1988 -1) + 1986 – 1988 = 1986( 1988 – 1 + 1) -1988 = 1988 ( 1986 – 1). = 1986 -1985. (2). Từ (1) và (2) ta có 4.1 5.2 6.3. 1988 .1985. (4 . 5 .6 . .1988)(1 . 2. 3 .. .1985). 1988. 994. A = 2. 3 . 3 . 4 . 4 . 5 . . .. 1986 .1987 = (2 . 3. 4 .. .1986)(3 . 4 . 5 .. . 1987) =1986 . 3 =2979 Câu 18: Đặt 40 = a, 51 = b. 91 = a + b Ta có: a4 + b4 + (a + b)4= a4 + b4 + a4+ 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 = 2(a2 + ab + b2)2 = 794 Câu 19: Biến đổi: −( x − 1) y y 1 = = =− 2 2 2 x −1 (x − 1)( x + x +1) (x −1)(x + x +1) x + x +1 3. Tương tự Ta có:. x 1 =− 2 y −1 y + y +1 3. y x − 3 =¿ x −1 y −1 3. −. (điều kiện x® # 1). (điều kiện y ® # 1) 1 + x + x +1 2. 1 = y + y +1. 2( x − y ) x 2 y 2+ 3. 2. Câu 20: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A = 124 . 1984 (1 − 1985 + 2 − 1986 +. .. .+ 16 − 2000 )=16 (1+ 2 + .. ..+ 16 )−( 1985 + 1986 + .. .+ 2000 ). [. 1 1 1 1 1 1 B = 16 (1 − 17 + 2 − 18 +. ..+ 1984 − 2000 )=¿. 1 1 1 1 1 1 (1+ +.. . .+ )−( + +. .. ..+ ) 16 2 1984 17 18 2000. [. 5. ]. ].

(55) Tích luỹ chuyên môn 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 16 (1+ 2 +.. . .+ 16 )+ 17 +. .. .+ 1984 − 17 − 18 −. .. − 1984 −( 1985 +.. . .+ 2000 ). [. =. 1 1 1+ +.. . .+ 2 16 1 1 1 1 ( ¿ −( + +. . ..+ )) 16 1985 1986 2000. [. ]. ]. Vậy A = B.. Câu 21: Gọi a là chữ số đầu tiên của số A có n chữ số. Gọi B là chữ số sau khi đã bỏ đi chữ số a, ta c A = a.10n- 1 + B (1). a, Nếu A = 57B thì theo (1) có: a.10n – 1 = 56B = 7.8B (2) Giả sử a = 7 thì: 10 n− 1 10n − 1 . 53 =125 . 10n −4 . 10n – 1 = 8B ⇒ B= 3 = 3 2. 10. Vậy số nguyên dương dạng 7125.10k ( k. 0) mà nếu bỏ chữ số 7 thì số đó giảm đi 57 lần. b, Nếu A = 58B thì từ (1) có: a.10n – 1 = 57B = 3.19B. Bế trái a.10n – 1 không chia hết cho 19 vì a là số có một chữ số. Vậy không có sô nguyên dương nào mà khi bỏ chữ sốđầu tiên thì giảm đi 58 lần. Câu22: Vì a.b = 1 nên ta có: ac + bd = 2 = 2ab = ab + ab ⇒ ac − ab=ab − bd ⇒ a (c − b)=b (a − d) . Tích của hai số bằng nhau không thể là số âm nên: ab( c − b)(a −d )≥ 0 ⇒ac + bd −ab − cd ≥ 0 ⇒1 −cd ≥ 0. Câu 23: Trừ 1 vào mỗi phân thức ở vế trái: Kết quả x = 5958 Câu 24: Theo t/c tỷ lệ thức và tính chất của dãy tỷ số bằng nhau: a c a c a+b a − b a+b c + d = ⇒ = = = ⇒ = b d c d c+ d c −d a− b c − d. áp dụng nhận xét trên ta có:. 5.

(56) Tích luỹ chuyên môn 2. x − 1986 ¿ 2 1985− x ¿ +¿ ¿ x − 1986 ¿2 ¿ 1985− x ¿ 2+¿ ¿ ¿ 2¿ ¿. Lại áp dụng nhận xét trên ta có: −1 ¿2 ¿ 3971− 2 x ¿2 ¿ ¿ ¿ ¿ c b 1 bc+ ad 1 = ⇒abc 2+ b2 cd +a 2 cd +abd 2 − ab=0 Câu 25: a + d =ac + bd ⇒ ab ac+ bd ⇒ cd (a 2+ b2)+ab (c 2 +d 2 − 1)=0. (1). Từ c + d = 1, bình phương hai vế ta được: 2. 2. 2. 2. c + d + 2cd=1 ⇒ c +d −1=− 2 cd. Từ (1) và (2) suy ra:. (2). a −b ¿ 2=0 . cd (a2 +b 2)−2 abcd=0 ⇒ cd ¿. Do c ≠ 0 , d ≠ 0⇒ a=b. Câu 26: Xét hiệu: x 21+ x 22 + x 23+ x21 + x 25 - ( x1x2+ x1x3+ x1x4+ x1x5). Vì x ❑12 = 4(. x1 x x x x ) ❑2 nên hiệu trên bằng:( 1 − x 2 )2+ ( 2 − x 2 )2+( 1 − x 4 )2+( 1 − x 5 )2 2 2 2 2 2. 0 x 2. Vậy dấu bằng xẩy ra ⇔ 1 =x 2=x 3=x 4 =x 5 Câu 27: Nếu a = 0 thì x =0, P = 0. 1. 1. 1. 1. Nếu a # 0 thì P có nghĩa và P # 0. Tính: a = x + x+ 1⇒ x + x = a −1 .. 5.

(57) Tích luỹ chuyên môn. Mặt khác:. 1 1 −2 a −2 a −1 ¿2 −3= 2 a a 1 1+ ¿ 2 −2 −1=¿ x 1 1 =x 2 + 2 −1=¿ P x. Do đó P =. a2 1 −2 a −2 a 2. 2. (1). Với biểu thức (1) khi a = 0 ta có P = 0. Vậy P =. a2 1 −2 a −2 a 2. với mọi giá trị của a =. x x + x+ 1 2. Câu 28:. Với n =2 thì nn – n2 + n -1 =1, chia hết cho (n-1)2 = (2 -1)2 = 1 Với n >2 ta có A = nn – n2 + n -1 = ( nn-2-1)n2 +(n-1) = (n-1)(nn-3+…+1)n2 + ( n-1) = (n-1)(nn-1+…+n2 + 1) Xét tổng B = nn-1+…+n2 + 1, B có n – 1 số hạng có thể viết: B = ( nn-1 -1) + (nn-2-1) +… +(n2-1) + (1-1) +(n-1) Mỗi hiệu trong ngoặc đều chia hết cho n -1. Vây A chia hết chia cho ( n-1)2 Câu 29: với x. Z có. P(x) = x5- 3x4+ 6x3- 3x2+ 9x- 6.. Nếu x chia hết cho 3 thì năm số hạng đầu của P (x) x chia hết cho 9, còn 6 không chia hết cho 9, d đó P (x) không chia hết cho 9, nghĩa là P (x) # 0. Nếu x không chia hết cho 3 thì x không chia hết cho 3, còn các số hạng khác của P (x) đều chia h cho 3, do đó P (x) không chia hết cho 3, nghĩa là P ( x) # 0 Vậy P (x) # 0 với ∀ x. Z. Câu 30: Nhân 2 vế của S với 2: 2S=. 2 4 3 4 1991 1992 + 1 + 1 + 2 +. ..+ 1989 + 1990 0 2 2 2 2 2 2. 2 1 3 1 1991 1 = 4+ ( ( 2 + 2 )+( 2 + 2 )+¿ …( 1990 + 1990 ) 2 2 2 2. 5.

(58) Tích luỹ chuyên môn. 1 1 2 3 1991 1992 1992 = 3 2 +( 0 + 1 + 2 +.. .+ 1990 + 1991 )− 1991 + 2 2 2 2 2 2. 1 1 1 + 3 +.. .+ 1990 2 2 2 2. 1 1989 ¿ 2 ¿ =3 1 −¿ 1 1992 1 + S − 1991 + 2 .¿ 2 2 2 1 1990 ¿ 2 =3 1 1992 1 + S − 1991 + −¿ 2 2 2 1 1990 ¿ 2 ⇒ S= 4<4 1992 − ¿ 21991. Câu 31 Nhân 2 vế của P với x, y, z được: Px =. x 2 xy xz + + y+z z+x y+x. P ❑y =. 2. yx y yz + + y+z z+x y+x. 2 zx zy z + + P ❑z =. y+z z+x. y+x. Suy ra: P(x+ y+z)=. x2 y2 z2 + + + y+z z+x y+x. y ( x+ z ) z ( x+ y) x( y+z) + + x+ z x+ y y+z. = Q+ (x+ y+ z). Do đó (P- 1)(x+ y+ z)= Q ( 1) a) Nếu P= 1 thì từ (1) ta có Q = 0 b) Nếu Q = 0 thì có thể P # 1 mà x + y+ z = 0, chẳng hạn với x = 1, y= -2, z= -3 ta có: x. y. z. P= − x + − y + − z = -3 # 1 Vậy nếu Q = 0 thì không nhất thiết P = 1 Đề kiểm định chất lượng - Năm học 2007-2008. 5.

(59) Tích luỹ chuyên môn Môn toán Khối 8 Phần trắc nghiệm Câu 1: Cho M= 4a2b2 - (a2 +b2 - c2 )2Trong đó a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác . Mthoả mãn: a. M > 0 b. M = 0 c. M < 0 d. Một kết quả khác Câu 2: Trong cac đẳng thức sau, đẳng thức nào sai: a. (x-1) (x2 +x +1) = x3 -1 b. 9x2-6x +1 = (3x-1)2 1 1 c. x - x + 2 = (x- 4 )2. 1 1 d. 25x - 2x + 25 = (5x - 5 )2. 2. 2. Câu 3: Thương (4x5+2x4 + 4x3-x -1) : (2x3 +x -1) có giá trị nhỏ nhất là: 1 a. 4. 1 b. - 4. 1 c. 2. 1 d. - 2. Câu 4 : Cho biểu thức : 3 3 P =(1- 2.4 ) (1- 2.5 ) (11 a. p < 2 b. p >. 3 3 4.6 )… (1- n(n  2) ) với n thuộc tự nhiên, 2 n 1 1 1 2 c. p < 4 d. p > 4. Câu 5: Một đa giác có 170 đường chéo số cạnh của đa thức đó là: a. 18 b. 20 c. 22 d. 24  Câu 6C: Cho 4 số a, b, c, d 0 biết: a+d = b+c a + b > c+d c>b+d Kết quả 4 số a, b, c, d là: a. a> b > c > d b. a > c > b >d c. b > a > d > c Câu 7CCho tam giác ABC, BC = a, CA = b , AB = c , góc A = 2góc B, góc B = 2 góc C. a, b, c có quan hệ là: 1 1 1 a. a + b < c. 1 1 1 a + b > c. 1 1 1 a + b = c. b. c. Câu 8: Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau: a. Hình thang có hai cạnh nên bằng nhau là hình thang căn b. Tập hợp các hình bình hành là tập con của tập hợp các hình thoi c. Giao ccủa tập hợp các hình chữ nhật và tập hợp các hình thoi là tập hợp các hình vuông 1 Câu 9: Cho a là một số nguyên lẻ, a > 1 thì (a - 1 ) 2 (a - 1) -1 chia hết cho a. a - 1 b. a - 2 c. a+ 1 d. cả a và c Câu 10: Trung điểm 4 cạnh hình thoi là: a. Các đỉnh hình bình hành b. Các đỉnh hình thang cân c. Các đỉnh hình chữ nhật d. Các đỉnh hình vuông Phần tự luận (6 điểm 6) 1 Câu 1 : a, Tìm các cách viết phân số 6 dưới dạng tổng của hai phân số. 5.

(60) Tích luỹ chuyên môn 1 1 a + b với a, b tự nhiên 1 1 1 b, CMR trong các cách viết a + b = 6 Nếu a, b, 6 có ưới chung lớn nhất là 1 thì. a +b là số chính phương Câu 2C: Cho sáu số tự nhiên có tổng bằng 55 . Chứng minh rằng tồn tại 3 số trong 6 số đó có tổng không nhỏ hơn 33 Câu 3: 1, Cho hình thoi ABCD có AB = AC . Một đường thẳng bất kỳ qua B cắt tia đối của tia AD tại E, cắt tia đối cuả tia CD tại F. Gọi 0 là giao điểm của AF và CE. CMR: a, Tích AE . CF không đổi b, Tam giác AEC đồng dạng tam giác CAF c, Góc EOF có số đo không đổi 2, Dựng tam giác ABC biết góc B = 60 0, đường cao AH = 2cm, trung tuyến BM = 3cm Biểu điểm và đáp án Môn toán 8 I. Trắc nghiệm. 4đ. Mỗi câu 0, 4đ II. Tự luận. Câu 1: 2đ. Mỗi ý 1đ. Câu 2: 1đ. Câu 3: 3đ: - ý 1: 2đ. a. 0, 5đ - ý 2: 1đ.. b. 0,75. c. 0,75. Đáp án Câu. 1 a. 2 c. 3 c. 4 d. 5 b. 6 b. 7 c. 8 c. 9 b. 1 1 1 Câu1 aC, a + b = 6  6a + 6b = ab   ab - 6a - 6b = 0  a ( b - 6 ) - 6 ( b - 6 ) = 36  (b - 6 ) ( a - 6 ) = 36 Giả sử a b thì a - 6  b - 6 . Ta có:. a-6 b -6 a b. 1 36 7 42. 2 18 8 24. 3 12 9 18. 4 9 10 15. 6. 6 6 12 12. 10 c.

(61) Tích luỹ chuyên môn 1 1 1 1 b, Các cách viết để (a, b, 6 ) = 1 là: 7 + 42 , 10 = 15. Ta có: 7 + 42 = 49 = 72 ; 10 + 15 = 25 = 52 Câu 2C: Giả sử 6 số đã cho là a, b, c, d, e, g trong đó a  b  c  d  e  g Ta xét hai trường hợp: Nếu c  10 thì b  11 , a  12 do đó: c + b + a  10 + 11 + 12 = 33 Nếu c  9 thì d  8 , e  7 , g  6  d + e + g  8 + 7 + 6 =21  a + b + c  34 Vậy cả hai trường hợp đều tồn tại 3 số a, b, c có tổng không nhỏ hơn 33 AE AB Câu 3 C; a,  AEB đồng dạng  CBF ( g,g )  BC = CF . AE. CF =AB . BC = AB2 (không đổi k) b, Tam giác ABC là tam giác đều AE CE AC Từ trên  AE. CF = AC  AC AC = CF 2. B. 0. Mặt khác góc EAC = góc ACF = 120 nên  AEC đồng dạng  CAF (g, c, g ) E O có góc CAF = góc AEC (cp góc của 2 tam giác đồng dạng c) A xét tam giác EOF có góc EOF x = góc EAO +góc AEO góc EAO +góc OAC = góc EAC =1200 không đổi 2, Phân tích: Giả sử tam giác ABC đã dựng được có góc B = 600 , đường cao AH =2cm , trung tuyến BM =3cm Kẻ MK  BC , tamgiác AHC có AM =MC , MK // AH. A 1 nên MK là đường trung bình  MK = 2 AH = 1. B. Tam giác BMK dựng được (biết cạnh huyền H K và một cạnh góc vuông) Điểm Athuộc tia Bx sao cho góc KBx = 600 và thuộc đường thẳng song song với BK và cách BK 2cm sau đó dựng điểm C - Cách dựng: - Dựng tamgiác BMK có góc K = 900 , MK =1cm , BM = 3cm - Dựng tia Bxtạo với BK một góc 600. 6. c, Ta. C.

(62) Tích luỹ chuyên môn - Dựng đường thẳng a song song BK và các BK một khoảng 2cm Alà giao của a với Bx AM cắt BK tại C Chứng minh ; Theo cách dựng tam giác ABC có góc B = 600 CK MK 1 tam giác CAH đồng dạng tàgiác CMK  CH = AH = 2  K là trung điểm của CHvà KM AH  M là trung điểm AC  BM là trung tuyến tamgiác ABC. Biện luận: Bài toán có 1 nghiệm hình Đề thi kiểm định chất lượng toán 8 Năm học 2007 - 2008 Thời gian 120 phút I. Trắc nghiệm: Hãy chọn phương án đúng nhất trong các phương án sau: (Khi không có giải thích gì thêmK) Câu 1: Tìm chữ số tận cùng của 31991 A. 3; B. 5; C . 7; D. 1 30 100 Câu 2: So sánh: 10 và 2 A. 1030 < 2100 B. 1030 > 2100 C. 1030 = 2100 D . Không xác định được x. y. z. Câu 3: Biết 3 = 8 = 5 và 3x + y -2z =14. Giá trị của x, y, z lần lượt là A. 6; 16; 10 B. 6; 16; 13 C. 5; 16; 10 D. 16; 12; 6 Câu 4: Tìm x biết: x − 29 x − 27 x − 25 x −23 x −21 x −19 + + + + + 1970 1972 1974 1976 1978 1980 x −1970 x −1972 x − 1974 x −1976 x −1978 x −1980 ¿ + + + + + 29 27 25 23 21 19. A. 1997 B. 1998. C. 1999. D 2000 2 Câu 5: Cho biểu thức E = 4x + 4x + 2 . Khi đó: A. E > 0 với mọi x B. E 0 với mọi x C. E > 0 với mọi x > 0 D. E > 0 với mọi x 0 2 2 2 Câu 6: Nếu a + b + c = ab + bc + ca thì: A. a = b = - c B. a = - b = c C. – a = b = c D. a = b = c Câu 7: Cho đa giác 7 cạnh, số đường chéo của đa giác 7 cạnh đó là: A. 12 B. 14 C .11 D . Một kết quả khác ^ = 300, AB = 6 cm; BD là đường phân giác Câu 8: Cho tam giác ABC vuông tại đỉnh A có C trong của góc B, D thuộc AC. Độ dài cạnh AD là: A .12 cm B. 2 √ 3 C. 9 D. Một kết quả khác: Câu 9: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chọn phương án sai trong các phương án sau:. 6.

(63) Tích luỹ chuyên môn A. AB2 = AH. BH. B.. 1 1 1 = 2+ 2 2 AH AB AC. C. AB2 = BC. BH D. AH.BC = AB.AC Câu 10: Cho tam giác ABC cân ở A. Đường cao AH = 10cm. đường cao BK = 12cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC. A. AB = AC = 12,5 cm ; BC = 15cm B. AB = AC = 15cm; BC = 12.5cm C . AB = AC = 14 cm; BC = 12.5cm D. Một đáp án khác II. Phần tự luận: Câu 1: Cho biểu thức: P = (. 2 x −3 2 x −8 3 21+2 x − 8 x2 + − ): +1 4 x 2 − 12 x +5 13 x −2 x 2 −20 2 x − 1 4 x2 + 4 x − 3. a, Tìm điều kiện của x để biểu thức có nghĩa. b, Rút gọn P. Câu2: 1. a, cho a, b > 0 Chứng minh. a+b 2 ¿ ≥ ab 2 ¿. b, áp dụng: Cho 0 < a, b, c, d < 1. Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thứ sau là sai: 2a(1 – b ) > 1;. 3b(1 – c) > 2; 3b(1 – c) >2;. 8c(1 – d)> 1;. 32d( 1- a) > 3. 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x2 +15y2 + xy + 8x + y +1992.. Câu 3: 1. Gọi H là trực tâm của tam giác đều ABC, đường cao AD. Lấy điểm M bất kì thuộc cạn BC. Gọi E và F theo thứ tự là hình chiếu của M trên AB, AC. Gọi I là trung điểm của AM. a, Xác định dạng của tứ giác DEIF. b, Chứng minh các đường thẳng MH, ID, EF đồng quy. ^ 2. Dựng tam giác ABC biết AC = b, AB = c, B^ − C=α. 6.

(64) Tích luỹ chuyên môn. Đáp án và biểu điểm I. Phần trắc nghiệm: (4điểm4, mỗi câu 0.4 đ) Câu 1 Đáp án C. 2 A. 3 A. 4 C. 5 A. 6 D. 7 B. II. Phần tự luận: Câu 1: a) Phân tích 4x2- 12x+ 5= (2x- 1)(2x- 5) 13x- 2x2- 20= (x- 4)(5- 2x) 21+ 2x- 8x2= (3+ 2x)(7- 4x) 4x2+ 4x- 3= (2x- 1)(2x+ 3) Điều kiện để P có nghĩa: x≠4. 5. x 2 3 x −2 7. x 4 1. x 2. 6. 8 B. 9 A. 10 A.

(65) Tích luỹ chuyên môn. b) Kết quả rút gọn: P=. 2 x−3 . 2 x−5. Câu 2: 1. a Đây chính là BĐT Cô si b. Chứng minh bằng phương pháp phản chứng: Giả sử cả 4 bất đẳng thức đều đúng, nghĩa là: 2a(1 – b ) > 1; 3b(1 – c) > 2; 3b(1 – c) >2; 8c(1 – d)> 1; 32d( 1- a) > 3 Vì 0 < a, b, c, d < 1 nên Nhân vế với vế 4 bđt trên ta có 2a(1 – b ).3b(1 – c) .3b(1 – c).8c(1 – d).32d( 1- a) > 6 ⇔ a(1 – b ).b(1 – c) .b(1 – c).c(1 – d). d( 1- a) >. 1 256. áp dụng câu a ta có a+1 −a 1 a(1- a) ( 2 )= 4. Nên ta có. 1. 1. 1. ; b(1- b) 4 ; c(1 – c) 4 ; d( 1- d ) 4 1 256. a (1 – b ).b(1 – c) .b(1 – c).c(1 – d). d( 1- a). Điều này mâu thuẩn với giả sử. Suy ra đpcm. 2.. A = x 2 +15y2 + xy + 8x + y +1992 = { x 2 + 2x( y. 2. 1992 = .... = ( x + 2 +4 ¿ 50. Vậy min A = 1975 59. +. 59 (y 4. ⇔ x=− 4. 6 ¿ 59. 2. y+8 y+8 2 y+8 2 2 ) + ( ) } +15y ( ) +y 2 2 2 50. + 1975 59. 50. 1975 59. 3 6 ; y= 59 59. Câu 3:1. a, Ta chứng minh DIE và DIF đều. Suy ra DIEF là hình thoi. b. Gọi O là giao điểm của ID và IE. Cần chứng minh M, O, H thẳng hàng. Gọi N là trun điểm của AH. Chứng minh OH và MH cùng song song với IN (sử s dụng t /c đường trung bình. 6.

(66) Tích luỹ chuyên môn A. N I. F G. E B. M. C. H. y A. D. c. x. b α. m. B. C. n a, Phân tích: ^ Giả sử đã phân tích được G ABC có AC = b, AB = c, B^ − C=α Kẻ Ax // BC, kẻ tia Cy sao cho B C^ y= ^B (Cy và A cùng phía đối với BCC) ABCD là hình thang cân nên: ^ D=B C ^ D − BC ^ A= B ^ A=α . Tam giác ACD dựng được (biết hai cạnh và ^ −BC CD = AB = c, A C ứoc xen giữab). Điểm B thoả mãn 2 điều kiện: ^C Nằm trên đường thẳng qua C song song với AD và D ^A B=A D b. Cách dựng ^ D=α - Dựng ACD có AC = b, CD = c; A C - Qua C dựng đường thẳng Cm //AD. D C , cắt Cm ở B. - Dựng tia An sao cho D ^A n= A ^ c. Chứng minh ^ C nên là hình thang cân, do đó AB = CD = c, Tứ giác ADCB có ADT //BC, D ^A B=A D ^ ^ ^ ^ B= A C ^ D=α . Bài toán dựng thoả mãn ^ C=D C B . Ta có A B ^ C − A C B=D C B − A C AB d. Biện luận Bài toán có một nghiệm hình nếu b > c và α < 1800 đề kiểm định chất lượngtoán 8: năm học 2007-2008 môn toán: thời gian làm bài 90 phút. I. phần trắc nghiệm: hãy chọn các phương án đúng trong các câu sau:. 6.

(67) Tích luỹ chuyên môn Câu 1: So sánh A = 2002. 2004 và B = 20032 ta được: A. A B C. A = B 4 3 2 Câu 2: Giá trị của biểu thức A = x – 17x +17x – 17x + 20 tại x = 16 là: A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2 Câu 3: Số a để 4x – 6x + a chia hết cho x – 3 là: A. 18 B. 16 C. –18 D. –16 71071071 Câu 4: Cho phân số 211211211 chọn kết luận đúng:. A. Phân số trên tối giản. B. phân số rút gọn là. 71 21. 71 C. Phân số rút gọn là 211 D. Một kết quả khác x 1  x x 2 Câu 5: Cho phân thức: 3x  4 x  1 với x <0, chọn kết luận đúng. A. Phân thức không rút gọn được. 1 B. Phân thức rút gọn bằng 1  3x. 1 C. Phân thức rút gọn bằng 3x  1. 3x  1 D. Phân thức rút gọn bằng 3x  4 x 1 2. Câu 6: Cho hai số tự nhiên. Số thứ nhất chia cho 5 dư 1, số thứ hai chia cho 5 dư 2. Tổng các bình phương của hai số này chia cho 5 dư: A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 13 1 6   2 Câu 7: Điều kiện xác định của phương trình ( x  3)(2 x  7) 2 x  7 x  9 là:. A. x3 B. x-3,5 C. x3 và x -3 Câu 8: Nghiệm của phương trình: x(x-5)+x-5=0 là: A. x= 0; x=5 B. x=-5; x=1 x=5. D. x3 ; x-3 và x -3,5 C. x=0; x=-1. D. x=-1;. 2x  1 x 6x  2   Câu 9: Phương trình x  1 ( x  1)( x  2) x  2 có nghiệm là:. A. x=0. B. x=1. C. x=0 và x =1. D. x=-1. 2. 12 x  36 x  39 2 Câu 10: Giá trị lớn nhất của biểu thức: A= 4 x  12 x  11 là:. A. 4 B. 7 C. 5 D. 6 Câu 11: Một tứ giác có nhiều nhất mấy góc vuông: A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Câu 12: Cho tứ giác ABCD biết A: B : C: D= 1:2:3: 4. Số đo các góc của tứ giác laà: A. 340; 680; 1020; 1360 B. 360; 720; 1080; 1440 C. 320; 640; 960; 1280 D. 380; 760; 1140; 1520. 6.

(68) Tích luỹ chuyên môn Câu 13: Độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của một tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng 7cm và 24cm là: A. 12cm B. 12,5cm C. 13cm D. 13,5cm Câu 14: Nếu mỗi cạnh của hình chữ nhật giảm 10% thì diện tích hình chữ nhật giảm: A. 22% B. 20% C. 19% D. 18% Câu 15: Nếu  ABC 2 5 thì  ABC 2 A. 15. 1  A B C’ theo tỷ số 3 và  A’B’C’ ’. ’.  A’’B’’C’’ theo tỷ số: 5 B. 6. 6 C. 5.  A’’B’’C’’ theo tỷ số. 15 D. 2. Câu 16: Các trung điểm của bốn cạnh của hình chữ nhật là các đỉnh của: A. Hình thoi B. Hình bình hành C.Hình vuông D. Hình chữ nhật II. Tự luận x5  2 x 4  2 x3  4 x 2  3x  6 x2  2 x  8 A=. Câu 1: Cho biểu thức: a. Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa? b. Tìm các giá trị của x để A =0. 148  x 169  x 186  x 199  x    10 23 21 19 1, Giải phương trình: 25. Câu 2:. 2, Cho a + b + c = 0 và abc  0 . Rút gọn biểu thức:. C=. ab bc ca  2 2  2 2 2 2 a  b  c b  c  a c  a 2  b2 2. Câu 3: 1, Cho hình bình hành ABCD. Trên các cạnh AB và CD lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AM =DN. Đường trung trực của BM lần lượt cắt các đường thẳng MN và BC tại E và F. Chứng minh rằng: a. E và F đối xứng qua AB b. Tứ giác MEBF là hình thoi. c. Hình bình hành ABCD cần thêm điều kiện gì để BCNE là hình thang cân. 2, Dựng hình thang ABCD (AB CD) biết hai đáy AD = 2cm; BC= 4cm và hai đường chéo AC =7cm; BD =5cm.. (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm). 6.

(69) Tích luỹ chuyên môn Đáp án và biểu điểm: TOáN 8 I. Trắc nghiệm. (4 điểm) Mỗi câu đúng 0, 25 điểm. Câu. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10 11 12 13 14 15 16. Phương án. a. b. c. c. b. a. d. d. a. c. d. b. b. c. a. a. II. tự luận (6 điểm) Câu 1: (1, 25 điểm): a. Phân tích (0, 25 điểm): x2 + 2x – 8 = (x - 2)(x +4) Điều kiện A có nghĩa: x  2 và x  - 4 b. (1 điểm): Tìm x để A = 0 : Để A = 0 thì x5 – 2x4+ 2x3 – 4x2 –3x + 6 = 0 và x2 +2x – 8  0 A = 0 khi x = 1 hoặc x = -1 Câu 2: (1, 5 điểm: Mỗi câu 0, 75 điểm): 148  x 169  x 186  x 199  x    10 25 23 21 19 1. Giải phương trình: 148  x 169  x 186  x 199  x (  1)  (  2)  (  3)  (  4) 0 23 21 19  25 1 1 1 1    ) (123 – x ) ( 25 23 21 19 = 0.  123 – x = 0  x = 123 Vậy phương trình có tập nghiệm là: S =123 2. Cho a + b + c = 0 và abc  0 . Rút gọn biểu thức: ab bc ca  2 2  2 2 2 2 2 2 C= a  b  c b  c  a c  a  b 2. Từ a + b + c = 0  a + b = - c Bình phương hai vế ta có (a + b)2 = c2 dẫn đến a2 + b2 – c2 = -2ab Tương tự b2 + c2 – a2= -2bc ; c2 + a2 – b2 = -2ac ab bc ca 1 1 1 3       2 Do đó C =  2ab  2bc  2ca 2 2 2. Câu 3: (3, 0 điểm) 1.a.(1, 0 Điểm) : Gọi H là giao điểm của MB và EF. Tứ giác AMND có: D MN=ND (gt) AM ND (gt)  AMND là hình bình hành. 6. E. A. M H B N. C.

(70) Tích luỹ chuyên môn AD MN  MN BC NE BC  MHE  BHF Có C (g.c.g) Suy ra EH = FH (1) Mặt khác AB  EF (gt) (2) Từ (1) và (2) suy ra E và F đối xứng qua AB b. (0, 25 điểm) : Tứ giác MEBF có MH = HB (gt) EH = EH (cm trên)  MEBF là hình bình hành. Hình bình hành MEBF có MB  EF nên là hình thoi c. (0, 5 điểm) Có BC NE C (cm trên) nên BCNE là hình thang Hình thang BCNE là hình thang cân  C = CBE  C = 2CBA  CBA = 600 Vậy hình bình hành ABCD có CBA = 600 thì BCNE là hình thang cân 2 + Cách dựng: (1, 0 Điểm) y -Dựng DBE có ba cạnh: x A D BD =5cm; DE = 7 cm: BE = 6 cm -Trên tia BE dựng điểm C sao cho BC = 4 cm - Dựng tia Dx BE - Dựng tia Cy BE . Dx cắt Cy tại A Nối AB . Tứ giác ABCD là hình thang cần dựng B C E + Chứng minh (0, 25 Điểm): Theo cách dựng , tứ giác ABCD có AD BC nên là hình thang BC = 4 cm , BD = 5 cm Theo tính chất đoạn chắn song song: AD = CE = BE – BC = 6 – 4 = 2 (cm) và AC = DE = 7(cm) Vậy hình thang ABCD thoả mãn đầu bài toán Đề thi học sinh giỏi khối 8 Đề năm học: 2000-2001. Thời gian: 120 phút. Câu 1: Cho m và n là hai số tự nhiên có tổng bằng 2000 . 2001 Chứng minh rằng: m3 + n3 chia hết cho 6. Câu 2: Giải phương trình sau: a, 2x2 – 5x + 2 = 0 b, x3 + 2x2 – x – 2 = 0 Câu 3: Chứng minh rằng với bất kỳ hai số a và biểu thức ta có: (a10 + b10 )(a2 + b2 ) (a8 + b8 )(a4 + b4 ) ❑ ❑ Câu 4: Tứ giác ABCD có AB = b, CD = a, AD = BC, ADC +BCD =900 . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, CD, AC, BD. a, Chứng minh tứ giác MPNQ là hình vuông. b, Gọi S là diện tích tứ giác MPNQ. Chứng minh rằng: S. 7. ( a −b )2 8.

(71) Tích luỹ chuyên môn Trong trường hợp nào thì có dấu “=” ? Câu 5: Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Gọi D và E là hai điểm lần lượt thuộc hai cạnh 2. BC AB và AC sao cho BD.EC = 4 ❑. DEC. ❑. . Chứng minh rằng: các đường phân giác của A và. gặp nhau trên cạnh BC. ----------------------------------------------------------------------Đề năm học 2002 – 2003. Thời gian 120 phút.. Câu 1: Cho biểu thức P =. |x+ 5| 3. x + x 2 − 20 x. a, Tìm tập xác định của P. b, Rút gọn P. c, Với x > -5. Tìm giá trị lớn nhất của P. Câu 2: a, Giải phương trình: 3|x − 2|+2| x −3|=13 b, Cho x > 1, y > 1, z > 1. Chứng minh bất đẳng thức: 2xyz + 1 > xy + yz + zx. Câu 3: Cho a, b, c là 3 số đôi một khác nhau thỏa mãn điều kiện: ( a + b + c ) 2 = a2 + b2 + c2 . 2. Tính giá trị của biểu thức: P =. 2. 2. a b c + 2 + 2 . 2 a +2 bc b +2 ac c +2 ab. Câu 4: Cho tứ giác lồi ABCD, có M và N là trung điểm của các đường chéo BD và AC. Gọi A’, B’ , C’ , D’ lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, CDA, DAB, ABC. a, Chứng minh rằng A’C’ và B’D’ chia đoạn thẳng MN thành 3 đoạn thẳng bằng nhau. b, Chứng minh rằng 4 đoạn thẳng: AA’ , BB’ , CC’ , DD’ cùng đi qua 1 điểm. ------------------------------------------------------------------------. Đề thi năm học 2003 – 2004. Thời gian 120 phút Câu 1: a, Số điện thoại nhà bạn Nam là một số tự niên có 6 chữ số; chữ số đầu tiên là 6 và cứ hai chữ số kề nhau thì tạo thành một số có hai chữ số chia hết cho 17 hoặc 23. Hãy tìm số điện thoại nhà bạn Nam. b, Tìm các cặp số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: 2xy + x + y = 21. Câu 2: a, Cho a, b, c là 3 số đôi một khác nhau. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào a, b, c: A=. a2 b2 c2 + + ( a −b ) ( a − c ) ( b −a )( b − c ) ( c −a )( c −b ). b, Chứng minh rằng với hai 2 số dương a, b ta luôn có: a3 + 2b3. 7. 3ab2.

(72) Tích luỹ chuyên môn c, Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3. 3. 3. x y z + 2+ 2 2 y z x. P=. Câu 3: Cho hình bình hành ABCD; trên các cạnh BC, DC lấy các điểm M, N tương ứng BM. DN. sao cho BC =DC . Các đoạn thẳng AM và AN cắt BD lần lượt tại E và F. a, Chứng minh BE = DF. b, Chứng minh MF và NE cắt nhau trên đường chéo AC. ❑ Câu 4: Cho tam giác vuông cân ABC ( A =900 ). Hãy dựng một tam giác vuông cân có đỉnh góc vuông nằm trên cạnh AC, hai đỉnh còn lại nằm trên hai cạnh AB và BC sao cho diện tích của nó nhỏ nhất. -------------------------------------------------------------------Đề thi khảo sát chát lượng Đề thi cuối năm 2001-2002. Thời gian 60 phút. Câu 1: Đánh dấu x vào ô thích hợp: Nội dung 2. Đúng. Sai. 2. (x – 1) = x + 2x + 1 4x2 – 16 = (4 + 2x).(2x – 4) Trong hình thang cân, 2 cạnh bên bằng nhau Hình thang có 2 cạnh bên bằng nhau là hình thang cân Câu 2: Rút gọn rồi tính: a, (x + 1)2 + 2(x2 – 1) + (x – 1)2 Tại x = -1 3 2 b, y + 3y +3y + 1 Tại y = 9 Câu 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AC, AB. a, Chứng minh BCDE là hình thang cân. b, Gọi M là giao điểm của BD và CE. Chứng minh đường thẳng AM là đường trung trực của cạnh BC. Câu 4: Cho x + y + z = 0; x, y, z khác 0. Tính giá trị biểu thức:. (1+ xy ).( 1+ yz ) .(1+ zx ) -----------------------------------------------------------------------Đề thi cuối năm 2001-2002. Thời gian 60 phút. Phần I. Trắc nghiệm (2 điểm): Trong mỗi câu (từ 1 đến 4) có các phương án trả lời A, B, c, D trong đó chỉ có một phương án đúng. Em hãy ghi chữ cái đứng trước phương án đúng nhất vào bài làm.. 7.

(73) Tích luỹ chuyên môn 1. 2. x. Câu 1: Điều kiện xác định của phương trình: x +1 − x −1 = ( x +1)(x −1) là: A. x # 1 B. x # ± 1 C. x # -1 D. x # 0; x # ± 1 Câu 2: Tập nhgiệm của phương trình: x2 – x = 3x – 3 là: A. {3} B. {0; 1} C. {1; 3}. D. Một kết quả khác.. Câu 3: Số nào dưới đây là một nghiệm của bất phương trình: -11x < 5: A. -1. 1. B. 1. C. - 2. D. 0. Câu 4: Cho tam giác ABC. Một đường thẳng song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Ta có tỷ lệ thức: MA. AN. A. MB = AC. AM. MN. AM. NC. B. AB =BC C. AB = AC Phần II: Tự luận (8 điểm). MN NA D. BC =NC. Câu 5: Giải bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm trên trục số a. 3x – 7 5 b, 5 – 2x < x + 13 Câu 6: Giải bài toán bằng cách lập phương trình: Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 40 km /h. Cùng lúc đó một xe máy cũng đi từ A đến B với vận tốc 35 km /h nên đến B sau ô tô 30 phút. Tính quảng đường AB. Câu 7: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3 cm; AD = 4 cm. Kẻ AH vuông góc với BD. a. Chứng minh tam giác ABD đồng dạng với tam giác HBA. b. Tính độ dài đoạn BD; AH. c. Gọi K là trung điểm của HD, I là trung điểm của BC. Chứng minh AK IK. -------------------------------------------------------------------Chào bạn Bạn có muốn giỏi tiếng Anh? Bạn có muốn làm thêm tại nhà vào lúc thời gian rảnh? Hãy tham gia vào MẠNG XÃ HỘI HỌC THUẬT HELLOCHAO để học giỏi tiếng Anh lên từng ngày và tham gia chương trình để kiếm thêm thu nhập. Tham gia Lớp Học tiếng Anh giao tiếp 360 là cách duy nhất để giỏi tiếng Anh,. 7.

(74) Tích luỹ chuyên môn phương pháp đã được chứng minh và với hơn 200,000 thành viên đang theo học: Tham gia chương trình Kiếm tiền online cùng HelloChao, giúp các bạn sinh viên năng động có thể kiếm thêm thu nhập tại nhà, chỉ 1 cú click chuột là có thể tham gia chương trình, không mất gì mà chỉ có lợi. Chưa đến 10 ngày triển khai chương trình nhưng 1 số bạn đã đạt doanh số trên 5 triệu đồng: Chúc bạn học thật giỏi cùng HelloChao! - 7.

(75)

De thi GVG Huyen

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về