SKKN su dung hang dang thuc de giai phuong trinh

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Phòng giáo dục nam đàn =====***=====. S¸ng. GI¸o viªn: d¬ng ngäc hµ ĐT: 0984.919.981 & 0386.584.676 kiÕn kinh nghiÖm Trêng THCS H¦NG TH¸I NGHÜA. Sử dụng một số hằng đẳng thức QUEN THUộC để giảI phơng trình. Năm học: 2012-2013.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Phòng giáo dục nam đàn =====***=====. đề tài: Sử dụng một số hằng đẳng thức QUEN THUộC để giảI phơng trình. Năm học: 2012-2013.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> MỤC LỤC Nội dung. Trang. Lời nói đầu ................................................................................. 3. Lí do chọn đề tài ……………………………………………….. 5. Nội dung đề tài .............................................................................. 7. Kết luận ................................................................................................. 17 Tài liệu tam khảo ................................................................................... 19. PHẦN MỘT: ĐẶT VẤN ĐỀ.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Trong phong trào thi đua phát huy lao động và sáng tạo, chắc hẳn ai cũng biết có nhiều cán bộ, công nhân, nhân dân lao động tuổi nghề còn trẻ, tuổi đời còn ít nhưng do suy nghĩ, tìm tòi đã có những sáng kiến tiết kiệm cho nhà Nước hàng chục tỉ đồng. Tuổi trẻ nói chung có nhiều sáng tạo. Trong dạy học toán cũng vậy, chúng ta không chỉ dạy cho học sinh y như trong sách, hoặc chỉ cho học sinh làm một số bài tập lấy ra từ một cuốn sách nào đó. Như thế chưa đủ, khi dạy hoặc học đến một phần nào đó ta phải suy nghĩ tìm tòi, suy rộng ra vấn đề này có liên quan gì đến vấn đề khác và trên cơ sở liên quan đó có thể rút ra những điều bổ ích. Trong dạy và học toán nó cũng giống như trong đời sống nói chung, có những vấn đề tưởng chừng như đã quá quen thuộc, ta tưởng như chúng đã quá rõ ràng không có gì đáng suy nghĩ thêm nữa, mà thực ra trong đó vẫn chứa đựng những vấn đề sâu sắc, suy nghĩ kĩ vẫn còn nhiều điều đáng chú ý, đáng nghiên cứu. Thí dụ như trong chương trình đại số cấp THCS có gì quen thuộc hơn " Bảy hằng đẳng thức", ứng dụng của nó là không nhỏ. Tuy nhiên có những ứng dụng hay của nó mà ta chưa mảy may nghĩ tới, cũng có thể đã nghĩ tới, đã sử dụng nhưng chưa phát huy hết tác dụng của nó. Trong khuôn khổ sáng kiến này tôi xin giới thiệu một ứng dụng của một số hằng đẳng thức quen thuộc để giải phương trình. Mặc dầu trong quá trình tìm tòi tôi đã rất cố gắng chọn lọc một số ví dụ cơ bản và cũng cố gắng trình bày ngắn gọn, rõ ràng dễ hiểu nhưng dẫu sao cũng không tránh khỏi những sai sót, rất mong các đồng chỉ, đồng nghiệp góp ý, chỉ bảo. Trong chương trình toán THCS, bảy hằng đẳng thức có một tầm quan trọng đặc biệt, đặc biệt là hai hằng đẳng thức: (A B)2=A2 2AB+B2. Nó không những giúp cho chúng chúng ta một phương pháp tính nhanh, một phép biến đổi để rút gọn một biểu thức, hay sử dụng chúng để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất… mà nó còn cho ta một ứng dụng hết sức độc đáo đó là giải phương trình nhất là những phương trình mà tưởng chừng như học sinh THCS không thể giải nổi mà.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> khi biết vận dụng những hằng đẳng thức này thì việc giải phương trình đó lại không mấy khó khăn. Tuy nhiên ứng dụng của các hằng đẳng thức này vào giải phương trình tuy chưa được đưa vào một bài dạy cụ thể trong chương trình chính khoá, song không ít bài tập trong SGK (Sách giáo khoa) đã buộc học sinh phải sử dụng chúng thì mới giải được. Tuy vậy ứng dụng của các hằng đẳng thức trên đối với các bài tập trong SGK cũng chỉ dừng lại ở mức độ đơn giản mà nếu những HS ở mức trung bình khá mà chú ý đã phát hiện ra ngay. Hơn thế cũng chưa có tài liệu nào giới thiệu cho giáo viên và học sinh các phương pháp biến đổi để ứng dụng các hằng đẳng thức này vào giải phương trình, trong lúc đó chương trình toán THCS, giải phương trình lại là một dạng toán cơ bản và khó, thường gặp trong các kì thi học sinh giỏi và thi vào lớp 10. Mặc dầu đã có rất nhiều phương pháp giải phương trình như dùng phương pháp đặt ẩn phụ, đưa về phương trình tích, dùng bất đẳng thức, quy về phương trình bậc hai…Trong đó khá nhiều phương trình nếu biết sử dụng hằng đẳng thức thì việc giải phương trình trở nên ngắn gọn và rất hiệu quả. Chính vì lẽ đó tôi đã rút ra được một số dạng biến đổi mà cơ bản là sử dụng các hằng đẳng thức này vào giải một số phương trính khó thường gặp để phục vụ cho công tác giảng dạy của mình. Sau nhiều năm đưa ứng dụng này vào giải phựơng trình tôi thấy việc sử dụng các hằng đẳng thức nói chung, đặc biệt là hai hằng đẳng thức (A B)2=A2 2AB+B2 vào giải phương trình có rất nhiều ưu việt đó là: Biến đổi ngắn gọn,. học sinh dễ tiếp thu và vận dụng nhất là số học sinh giải được nhiều phưong trình khó trong các kỳ thi ngày càng tăng, do đó tôi xin phép giới thiệu một số dạng cơ bản của những phương trình thuộc loại này hy vọng rằng sẽ giúp ích được cho quý đồng nghiệp trong quá trình dạy học.. PHẦN HAI: NỘI DUNG ĐỀ TÀI.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> I/ Mục đích nghiên cứu: Tác giả muốn đưa ra sáng kiến này với mục đích giúp cho học sinh và đồng nghiệp có số cách vận dụng các hằng đẳng thức và chủ yếu là hai hằng đẳng thức (A B)2=A2 2AB+B2 để giải phương trình. Thông qua các ví dụ cụ thể bạn đọc có thể vận dụng từng phương pháp nêu trên vào từng bài toán cụ thể. II/ Cơ sở và phương pháp nghiên cứu: Trên cơ sở những phương pháp và dạng toán thường gặp trong chương trình toán THCS sáng kiến này có nhiệm vụ tổng hợp các phương pháp hiện có một cách hệ thống từ đơn giản đến phức tạp, đồng thời tìm ra những phương pháp mới mẻ mà những phương pháp cũ không thể giải quyết được hoặc nếu sử dụng các phương pháp sẵn có sẽ làm cho bài toán trở nên phức tạp hơn. Đồng thời tác giả cũng đưa ra một vài phương pháp mới lạ, tuy có khó đối với học sinh THCS với mục đích để bạn đọc so sánh và tham khảo. III/ Thực trạng: Trong chương trình toán THCS, các bài toán giải phương trình (hoặc bài toán tìm x, y, a, b,…) lại là một dạng toán cơ bản thường đã có thuật toán giải, nhưng cũng có bài toán giải phương trình nếu không được trang bị một số phương pháp giải thì học sinh sẽ gặp khó khăn trong việc tìm lời giải, đặc biệt trong các kì thi học sinh giỏi và thi vào lớp 10. Mặc dầu đã có rất nhiều phương pháp giải phương trình như dùng phương pháp đặt ẩn phụ, đưa về phương trình tích, dùng bất đẳng thức, quy về phương trình bậc hai…Trong đó khá nhiều phương trình nếu biết sử dụng hằng đẳng thức thì việc giải phương trình trở nên ngắn gọn và rất hiệu quả. Chính vì lẽ đó tôi đã rút ra được một số dạng biến đổi mà cơ bản là sử dụng các hằng đẳng thức này vào giải một số phương trính khó thường gặp để phục vụ cho công tác giảng dạy của mình. Sáng kiến kinh nghiệm "Sử dụng một số hằng đẳng thức quen thuộc để giải phương trình " chủ yếu khai thác, nghiên cứu những dạng toán và phương pháp giải dành cho đối tuợng là học sinh THCS, tuy nhiên những phương pháp này vẫn có thể áp dụng cho đối tượng là học sinh THPT. Đồng thời tác giả cũng mạnh dạn nêu ra một vài phương pháp tương đối khó áp dụng cho học sinh phổ.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> thông nhưng nếu biết cách vận dụng phù hợp chắc chắn sẽ giúp chúng ta giải quyết một số bài toán gải phương trình mà nếu sử dụng phương pháp khác chưa hẳn đã giải quyết được. Trong khuôn khổ đề tài tác giả chủ yếu nghiên cứu các dạng biến đổi phương trình để vận dụng được các hằng đẳng thức trên phục vụ cho giải phương trình trên từng phương trình cụ thể từ đó rút ra những dạng biến đổi cơ bản. Do việc biến đổi của từng phương trình khác nhau là khác nhau nên bản thân không thể rút ra một công thức, hay phương pháp cụ thể có thể áp dụng cho tất cả các phương trình dạng này mà chỉ thông qua các phương trình cụ thể để đồng nghiệp và HS có cách nhìn phù hợp khi giải các tương tự. Tuy nói việc vận dụng các hằng đẳng thức nói chung và đặc biệt hai hằng đẳng thức (A B)2=A2 2AB+B2 vào giải phương trình sẽ làm cho cách giải dễ dàng và đơn giản hơn, nhưng để có cách cách biến đổi phù hợp đòi hỏi HS phải có khả năng tư duy, phân tích tổng hợp tốt, óc sáng tạo cao do đó các dạng toán này chỉ nên áp dụng cho đối tượng HS giỏi cuối cấp THCS và ôn tập cho HS khi đã có các kỹ năng giải các phương trình đơn giản hơn. IV/ Các biện pháp đã tiến hành: Đề tài "Sử dụng một số hằng đẳng thức quen thuộc để giải phương trình" được nghiên cứu dựa trên những dạng bài tập thường gặp, thông qua tìm tòi sáng tạo bản thân tôi đã vận dụng và hướng dẫn học sinh khối 8; 9 vận dụng vào các bài toán tuơng tự từ đó rút ra dạng toàn cơ bản sau: Dạng 1: Phương trình quy về dạng : A2 2AB + B2 = 0 ⇔ (A B)2 = 0 ⇔ (A B) = 0 Dạng 2: Phương trình quy về dạng :. (A B)2 = (C D)2. ⇔. A ± B=C ± D ¿ A ± B=−(C ± D) ¿ ¿ ¿ ¿. Dạng 3: Phương trình quy về dạng :. ⇔. A= ∓ B.

<span class='text_page_counter'>(8)</span>  A B 0  C D 0  E F 0 (A B )2 + (C D )2 + (E F)2 = 0  . Dạng 4: Nghiệm nguyên quy về dạng (A B)2  p với A, B là các số nguyên và p nguyên dương.. DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ DẠNG (A B)2 = 0  (A B) = 0 Ví dụ 1: Giải phương trình sau: x2( x4 - 1 )( x2 + 2 ) + 1 = 0 (1) Lời giải: Phương trình (1)  x2( x2 +1) ( x2 - 1) ( x2 + 2) + 1 = 0  ( x4 + x2 )( x4 + x2 - 2) + 1 = 0  ( x4 + x2 )2 - 2(x4 + x2 ) + 1 = 0  ( x4 + x2 - 1)2 = 0  x4 + x2 - 1 = 0. Đây là một phương trình trùng phương quen thuộc mà ta đã có phương pháp giải. Đặt x2 = t điều kiện t  0 Lúc này ta có phương trình bậc hai ẩn t như sau: t2 + t - 1 = 0  t = 12 - 4.1.(-1) = 5  1 5 2 t1 = > 0 (Thoả mãn điều kiện);  1 5 2 t2 = < 0 ( loại vì không thoả mãn điều kiện t > 0 ).  1 5 2 Lúc này do đặt x = t nên ta có x = 2. 2.  x= . Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.  1 5 2.

<span class='text_page_counter'>(9)</span>  1 5 2 x1= ;.  1 5 2 x2 = -. Ví dụ 2. Giải phương trình:  x2   x  2  x 2  2     2 2 x  1 x  1     20 +5 - 20  x . 4  1 . =0. (2). Lời giải: Điều kiện x 1  x 2  x  2     Đặt  x  1  =y ;  x  1  = z lúc đó phương trình (2) có dạng. 20y2 + 5z2 - 20yz = 0  x  2 x2   2 x  1  = x 1  5(2y - z) = 0  2y = z dẫn đến 2 .  2( x-2 )( x-1)= ( x+2 )( x+1 )  2x2 - 6x + 4 = x2 + 3x + 2  x2 - 9x + 2 = 0 9  73 2 Ta dễ dàng tìm được x1 = ;. 9 2. x2 =. Vậy phương trình (2) có tập nghiệm là . 73. 9  73 9  73 2 2 ;. .. 3 Ví dụ 3: Giải phương trình: x2 + 2 = 2 x  1 (3). Lời giải: Điều kiện: x  1 . Thêm và bớt x ở vế trái của (3) để xuất hiện hằng đẳng thức, lúc đó (3) 2  x+1 + x2 - x + 1 - 2 ( x  1)( x  x  1) = 0 2 2  ( x  1 )2 - 2 ( x  1)( x  x  1) + ( x  x  1 )2 = 0.  ( x 1 . x 2  x  1 )2 = 0. x 1 =. x 2  x 1.  x + 1 = x2 - x + 1  x2 - 2x = 0  x1 = 0 và x2 = 2 ( thoả mãn điều kiện).

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Vậy tập nghiệm của (3) là:  0;2 DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ DẠNG. (A B)2 = (C D)2. ⇔. A ± B=C ± D ¿ A ± B=−(C ± D) ¿ ¿ ¿ ¿. Ví dụ 4 : Giải phương trình: x4 = 24x + 32 (4) Lời giải: Thêm 4x2 + 4 vào hai vế của phương trình (4) ta được: x4 + 4x2 + 4 = 4x2 + 24x + 36 . ( x2 + 2)2 = ( 2x + 6 )2. .  x 2  2 2 x  6  2  x  2  (2 x  6) .  x 2  2 x  4 0(i)  2  x  2 x 8 0(ii). Phương trình (i) có hai nghiệm phân biệt x = 1  5 . Phương trình (ii) vô nghiệm. Vậy tập nghiệm của (4) là: 1  5 ; 1+ 5  DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ DẠNG  A B 0  C D 0  E F 0 (A B )2 + (C D )2 + (E F)2 = 0  . Ví dụ 5: Giải phương trình: x + y + z + 4 = 2 x  2 + 4 y  3 + 6 z  5 (5) Lời giải: Điều kiện x 2 ; y 3 ; z 5 (5)  x-2-2 x  2 +1 +y - 3 - 4 y  3 + 4 + z - 5 - 6 z  5 + 9 = 0  ( x  2 - 1)2 + (. y 3. - 2)2 + ( z  5 - 3 )2 = 0. Vế trái của phựơng trình là tổng của ba biểu thức không âm nên sẽ bằng 0 khi và chỉ khi:.

<span class='text_page_counter'>(11)</span>  x  2  1 0   y  3  2 0    z  5  3 0.  x  2 1   y  3 2    z  5 3 .  x  2 1   y  3 4  z  5 9 . .  x 3   y 7  z 14 . (Thoả mãn điều kiện), vậy nghiệm của phương trình là: (x, y, z)=(3; 7 ; 14) DẠNG 4 : NGHIỆM NGUYÊN QUY VỀ DẠNG (A B)2  P VỚI A, B LÀ CÁC SỐ NGUYÊN VÀ P NGUYÊN DƯƠNG. Ví dụ 6: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2x2+2y2-2xy+x+y -10 = 0 (6) Lời giải: (6)  2( x2 + y2 ) -2xy + x + y - 10 = 0  2( x + y )2 - 4xy - 2xy + x + y - 10 = 0  2( x + y )2 - 6xy + x + y - 10 = 0. Đặt S1 = x + y; S2 = xy thì ta có phương trình: 2S12 - 6S2 + S1 - 10 = 0 1  S2 = 6 ( 2S12 + S1 - 10). Do S2  Z nên S1  2 ( S1 là số nguyên chẵn ) S12 Mặt khác ( x - y)2  0 nên ( x + y )2 - 4xy  0  S2  4 S12 1 Do đó 6 ( 2S12 + S1 - 10)  4. S12 + 2S1 - 20  0  ( S1 +1 )2  21 Vì S1 là số nguyên chẵn nên ( S1 +1 )2   1;9 Do đó S1 =.   4; 2;0;2. 1 S2 = 6 ( 2S12 + S1 - 10) là một số nguyên thì ta chỉ chọn được:  S1   4  S 2 3 hoặc.  S1  2  S 2 0.  x  y  4  x  y 2   Do đó  xy 3 hoặc  xy 0. Giải hai hệ phương trình này ta tìm đụơc các nghiệm nguyên (x; y) của (6) là.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> (-1; -3); (-3; -1); (0; 2); (2; 0). V/ Hiệu quả của việc sử dụng đề tài: Trường THCS Hưng Thái Nghĩa là một trong những trường ở huyện Nam Đàn có học sinh thuộc địa bàn miền núi có hoàn cảnh đặc biệt khó khăn. Do đó rất khó khăn cho việc lựa chọn đối tượng để thực hiện đề tài này. Tuy rằng khối 9 có 5 lớp nhưng bản thân chỉ được phân công giảng dạy tại 1 lớp, chính vì điều kiện ấy bắt buộc tôi phái sử dụng cùng là đối tượng học sinh lớp 9C, nhưng thời gian để so sánh kết quả đạt đượởctong phạm vi 1 học kỳ sau khi sử dụng đề tài. Nội dung đề tài chỉ đề cập đến một phạm vi hẹp trong chương trỡnh toán THCS. Vỡ vậy đó gây rất nhiều khó khăn cho việc đánh giá hiệu quả của đề tài. Tôi đó nghĩ ra cách ra đề bài kiểm tra( không đưa vào để đánh giá học tập của học sinh, mà chỉ dùng để đánh giá hiệu quả của đề tài) trong đó được lồng ghép các bài tập là các dạng toán giải phương trỡnh đó nêu trong đề tài. Bảng thống kê điểm kiểm tra khi chưa sử dụng đề tài ở lớp 9 năm học 2008-2009 Bảng 1 Điể. 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. m Số. 0. 1. 3. 3. 7. 10. 6. 3. 1. 1. 0. 2.8. 8.4. 8.4. 21.6 28. 2.8. 2.8. 0. học sinh đạt đượ c Tỉ lệ (%). 0. 16.8 8.4.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Điể. _. x. m. 1.1  2.3  3.3  4.7  5.10  6.6  7.3  8.1  9.1 35 = = 4,8. trun g bỡn h của lớp ( sĩ số: 35) Từ bảng 1 cho thấy điểm trung bỡnh chung của cả lớp chỉ đạt 4,8 điểm. Số học sinh đạt điểm thấp cũn nhiều, 14 em ( 41,2%) cú điểm dưới trung bỡnh. Bảng thống kê điểm kiểm tra Sau khi thực hiện đề tài ở lớp 9 năm học 2009-2010: Bảng 2 Điểm 0 1 Số học sinh đạt được 0 0 Tỉ lệ (%) 0 0 Điểm trung bỡnh. _. của lớp ( sĩ số: 32). x. 2 0 0. 3 4 5 1 4 15 3.1 12.4 46.9. 6 7 7 3 22.1 9.. 8 9 1 1 3.1 3.. 3. 1. 10 0 0. 3.1  4.5  5.15  6.7  7.2  8.1  9.1 32 = = 5,4. + Từ bảng 2 cho thấy điểm trung bỡnh chung của cả lớp đó đạt được 5,4 điểm. Số học sinh đạt điểm thấp chỉ cũn ớt, 5 em ( 18,6%) cú điểm dưới trung bỡnh. - Bảng thống kê chi tiết so sánh điểm kiểm tra học kỡ I của năm học: 2008-2009 và học kỡ I năm học: 2009-2010 của lớp 9 trường PTCS Nam Thượng. Bảng 3 Loại. Giỏi. Khá. TB. Yếu. Kém. Trên TB. ĐiểmTB.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Cách dạy Cũ Mới. ( %) 2.8 3.1. (%) 11.2 12.4. (%) 44.8 69. (%) 30 15.5. (%) 11.2 3.1. (%) 58.8 81.4. (đ) 4,8 5,4. - Dựa vào bảng 3 ta cú thể thấy rừ hiệu quả của việc sử dụng đề tài: - Loại giỏi tăng: 0.3%. - Loại khá tăng: 1.2%. - Loại trung bỡnh tăng: 24.2%. - Loại yếu giảm: 14.5% - Loại kém giảm: 8.1% - Đặc biệt điểm trung bỡnh chung của cả lớp đó tăng 1.6 điểm.. PHẦN BA: KẾT LUẬN Trong phạm vi sáng kiến này bản thân tôi đã hết sức cố gắng trình bày 4 dạng bài giả phương trình bằng cách sử dụng HĐT (A B)2=A2 2AB+B2. Mỗi dạng toán như vậy có ít nhất là hai ví dụ minh hoạ cơ bản. Có những ví dụ tôi đã đưa ra một vài cách giải khác nhau để bạn đọc tiện so sánh và tìm hướng đi thích hợp nhất trong quá trình giải các bài tuơng tự. Để triển khai sáng kiến này một cách có hiệu quả trước hết chúng ta cần cung cấp cho học sinh một cách tuờng minh các khái niêm mới mẻ mà trong chương trình SGK chưa đề cập tới . Đồng thời mỗi dạng toán như vậy cần chọn những bài toán từ đơn giản, đến phức tạp để học sinh làm quen các dạng toán.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> một cách tự nhiên và hiệu quả. Bên cạnh đó cần phải thống kê những bài tập vận dụng để học sinh lựa chọn phương pháp phù hợp. Trong đề tài này có một số dạng toán mà trong quá trình nghiên cứu bản thân tôi chưa thể nêu ra được cách giải tổng quát mà chỉ thông qua các ví dụ minh hoạ để bạn đọc tự hình thành cách tư duy sáng tạo, tuy nhiên nếu khi đã quen thuộc các dạng toán ta có thể tìm ra một phương pháp cụ thể cho từng dạng toán để phát triển và nhân rộng. Sau nhiều năm ứng dụng hai HĐT này vào chương trình dạy học tôi thấy việc giải quyết các bài tập về phương trình học sinh giải quyết linh hoạt hơn và có những bài giải ngắn gọn và rết dễ hiểu, học sinh dễ tiếp thu và vận dụng nhất là số học sinh giải được nhiều giải phương trình tương đối khó nhất là trong các kỳ thi . Do đó bản thân tôi mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm này hy vọng rằng nó sẽ giúp cho quý vị đồng nghiệp, các em học sinh và các bạn yêu toán những điều thú vị và bổ ích. Mặc dầu trong quá trình tìm tòi tôi đã rất cố gắng chọn lọc một số ví dụ cơ bản và cũng cố gắng trình bày ngắn gọn, rõ ràng dễ hiểu nhưng dẫu sao cũng không tránh khỏi những sai sót, rất mong các đồng chí, đồng nghiệp góp ý, chỉ bảo. Xin chân thành cảm ơn! TÀI LIỆU THAM KHẢO 1/ SGK và SGV lớp 8 hiện hành. 2/ Sách "" Toán bồi dưỡng nâng cao cho học sinh lớp 9 " của nhà xuất bản GD do các tác giả: Vũ Hữu Bình - Tôn Thân và Đỗ Quang thiều biên soạn 3/ SGK và GGV lớp 9 hiện hành. 4/ Tạp chí " Tuyển tập 30 năm toán học và tuổi trẻ " do hội toán học Việt Nam biên soạn. 5/ Sách " Toán nâng cao THCS " của tác giả Phan Văn Đức do NXB Đại học quốc gia TPHCM xuất bản.

<span class='text_page_counter'>(16)</span>

<span class='text_page_counter'>(17)</span>