SKKN Sử dụng hằng đẳng thức để giải bài tập trong chương trình toán THCS

PHÒNG GIÁO DỤC THÀNH PHỐ VĨNH YÊN
Trường THCS Vĩnh Yên

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
SỬ DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ
GIẢI BÀI TẬP


Giáo viên :DƯƠNG THỊ BÍCH THUỶ
Tổ : KHTN
Trường THCS Vĩnh Yên
Năm học :2007-2008
Dương Thị Bích Thuỷ - Trường THCS Vĩnh Yên
PHẦN I : PHẦN MỞ ĐẦU

I.Lý do chọn đề tài:
Giáo dục THCS có vai trò quan trọng trong nền GDPT ở nớc ta. Nó là cầu nối
giữa Tiểu học và THCS . Giáo dục THCS góp phần hình thành cho học sinh những
phẩm chất, năng lực của con người lao động mới đó là : năng động, sáng tạo, thích
ứng với sự phát triển đa dạng với tốc độ nhanh của xã hội .Vì vậy, học sinh phải được
học và tiếp cận với tất cả các bộ môn khoa học cơ bản, trong đó môn toán đóng vai trò
then chốt .Với mục tiêu của việc dạy môn toán ở trường THCS hiện nay các em cần
được cung cấp những kiến thức, phương pháp toán học phổ thông, cơ bản, thiết thực .
Chính vì vậy các em cần được tăng cường luyện tập, rèn luyện kỹ năng tính toán và
vận dụng các kiến thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác.
Trong chương trình môn toán THCS, môn Đại số có rất nhiều ứng dụng. Các bài
toán đại số giúp các em giải được nhiều bài toán một cách thuận lợi hơn và đặc biệt là
rất nhiều bài toán liên hệ với thực tiễn cuộc sống. Đầu học kỳ một của lớp 8, học sinh
đã được học “Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ”. Các hằng đẳng thức này rất quan trọng
đối với nội dung kiến thức môn toán không chỉ ở lớp 8 mà còn cả ở các lớp sau này.
Học về hằng đẳng thức, học sinh phải ghi nhớ khắc sâu được “Bảy hằng đẳng

thức đáng nhớ” , đồng thời phải biết sử dụng các hằng đẳng thức này vào giải một số
dạng bài tập như : Rút gọn biểu thức, tìm x, chứng minh hằng đẳng thức…
Tuy nhiên, để nhìn nhận ra các hằng đẳng thức trong một số trường hợp học sinh
còn lúng túng. Để giúp học sinh có phương pháp biến đổi thành thạo các biểu thức có
liên quan đến hằng đẳng thức là một việc rất cần thiết, đó là các thao tác cơ bản giúp
các em không chỉ về mặt kiến thức mà còn rèn luyện các tư duy toán học rất tốt.
Sử dụng hằng đẳng thức để giải bài tập
2
Dương Thị Bích Thuỷ - Trường THCS Vĩnh Yên
Trong khuôn khổ chuyên đề này, tôi đa ra một số ví dụ minh hoạ với các tình
huống từ đơn giản đến phức tạp nhằm hình thành kỹ năng khi biến đổi biểu thức có
vận dụng đến hằng đẳng thức.
II.Phạm vi :
- Môn Đại số lớp 8.
- Chương I : Phép nhân và phép chia đa thức.
- Các bài toán : Rút gọn, tính toán, chứng minh… .
- Các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập, sách tham khảo.
III.Đối t ượng :
Học sinh lớp 8.
IV.Mục đích :
- Nâng cao chất lượng dạy và học.
- Học sinh hiểu và vận dụng được các hằng đẳng thức vào giải bài tập.
PHẦN II : NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI

A.NỘI DUNG :
I. Cơ sở lý luận,khoa học của đề tài:
Để góp phần hình thành các phẩm chất lao động khoa học cần thiết của con
người lao động mới môn toán học một vai trò rất quan trọng. Học sinh học toán được
hình thành và rèn luyện các kỹ năng tính toán, biến đổi, đo đạc, vẽ hình Các em
rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp lô gic, khả năng quan sát dự đoán; bồi

Sử dụng hằng đẳng thức để giải bài tập
3
Dương Thị Bích Thuỷ - Trường THCS Vĩnh Yên
dưỡng các phẩm chất tư duy linh hoạt, độc lập và sáng tạo. Bước đầu hình thành khả
năng vận dụng kiến thức toán học vào đời sống và các môn học khác.
Do vậy việc dạy và học toán cần đạt các yêu cầu sau:
- Đảm bảo tính hệ thống, khoa học.
- Học đi đôi với hành.
- Tích cực, tự lực, say mê học tập.
- Rèn luyện kỹ năng tính toán, vận dụng kiến thức toán học vào đời sống và vào
các môn học khác.
Để vận dụng được các hằng đẳng thức vào giải bài tập yêu cầu học sinh phải nắm
chắc các hằng đẳng thức sau:
• Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ :
1. (a + b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2
.
2. (a - b)
2
= a
2
- 2ab + b
2
.
3. a
2

- b
2
= (a + b)(a – b).
4. (a + b)
3
= a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
.
5. (a - b)
3
= a
3
- 3a
2
b + 3ab
2
- b
3
.
6. a
3
+ b
3
= (a + b)(a

2
– ab + b
2
).
7. a
3
- b
3
= (a - b)(a
2
+ ab + b
2
).
• Một số hằng đẳng thức tổng quát:
8. (a
1
+ a
2
+… + a
n
) = a
1
2
+ a
2
2
+…+a
n
2
+ 2a

1
a
2
+….+2a
1
a
n
+….+2a
n-1
a
n
9. a
n
– b
n
= (a - b)(a
n-1
+ a
n-2
b +a
n-3
b
2
+ … + ab
n-2
+ b
n
)
(với mọi n nguyên dương).
10. a

n
+ b
n
= (a + b)(a
n-1
- a
n-2
b +a
n-3
b
2
- … – ab
n-2
+ b
n
)
(với mọi n lẻ).
Sử dụng hằng đẳng thức để giải bài tập
4
Dương Thị Bích Thuỷ - Trường THCS Vĩnh Yên
11. (a + b)
n
= a
n
+c
1
a
n-1
b +c
2

a
n-2
b
2
+ … +c
n-1
ab
n-1
+ b
n

Khi khai triển (a + b)
n
ta được một đa thức có n+1 hạng tử, hạng tử đầu
là a
n
, hạng tử cuối là b
n
, các hạng tử khác đều chứa a và b; bậc của mỗi
hạng tử đối với tập hợp biến a, b là n.
Các hệ số c
1
, c
2
, …. c
n-1
được xác định bởi bảng tam giác Pa – xcan như sau:
n = 0 1
n =1 1 1
n =2 1 2 1

n = 3 1 3 3 1
n = 4 1 4 6 4 1
n = 5 1 5 10 10 5 1
c
1
c
2
c
3
c
4
………………………………
Nhận xét :
- Mỗi dòng đều bắt đầu bằng 1 và kết thúc bằng 1.
- Mỗi số trên một dòng kể từ dòng thứ hai đều bằng số liền trên cộng với số bên trái
của số liền trên.
II.Đối tượng :
Môn Đại số 8
III.Nội dung, phư ơng pháp nghiên cứu :
• Xuất phát từ các bài tập trong sách giáo khoa và những kiến thức đã học để
học sinh làm được các dạng bài tập : Rút gọn biểu thức, tính giác trị biểu
thức, chứng minh đẳng thức .
• Để hình thành kỹ năng này cho học sinh khi giảng dạy giáo viên phải tạo ra
các tình huống có vấn đề . Học sinh phải được thực hành nhiều trên cơ sở
vận dụng các kiến thức đã học vào việc giải bài tập.
Sử dụng hằng đẳng thức để giải bài tập
5
Dương Thị Bích Thuỷ - Trường THCS Vĩnh Yên
• Về nguyên tắc phải đi từ cái đã biết đến cái chưa biết,từ đơn giản đến phức
tạp , từ trực quan sinh động đến t duy trừu tượng.

• Phương pháp nghiên cứu chính là:
- Tiến hành giảng dạy theo phương pháp đổi mới.
- Tổng kết rút bài học kinh nghiệm.
- Bước đầu áp dụng thử nghiệm.
3.1 Các ví dụ minh hoạ:
Bài toán 1: Rút gọn biểu thức
I. Cách làm :
- Để rút gọn biểu thức, ta cần vận dụng các hằng đẳng thức cơ bản đã học để
rút gọn.
- Các hằng đẳng thức được vận dụng theo hai chiều ngược nhau. Chẳng hạn :
(A- B)
2
= A
2
- 2AB + B
2
hoặc ngược lại A
2
- 2AB + B
2
= (A- B)
2
II. Bài tập :
1, Bài 1 : Rút gọn biểu thức:
a. A = (x
2
+2)
2
– (x +2)(x – 2)(x
2

+ 4).
b. B = (x
2
-xy + y
2
)(x - y)(x +y)(x
2
+ xy+y
2
).
c. C = (2x + 3)
2
– 2(2x + 3)(2x + 5) + (2x + 5)
2

d. D = (a + b + c)
2
+ (a - b - c)
2
+(b – c - a)
2
+(c –a - b )
2

Giải:
Sử dụng hằng đẳng thức để giải bài tập
6
Dương Thị Bích Thuỷ - Trường THCS Vĩnh Yên
a, A = (x
2

+2)
2
– (x +2)(x – 2)(x
2
+ 4).
= x
4
+ 4x
2
+4 – (x
2
- 4)(x
2
+ 4).
= x
4
+ 4x
2
+4 - x
4
+16.
= 4x
2
+ 20
= 4(x
2
+5).
b, B = (x
2
-xy + y

2
)(x - y)(x +y)(x
2
+ xy+y
2
).
= [(x+y)( (x
2
-xy + y
2
)].[(x- y)(x
2
+ xy+y
2
)].
= (x
3
- y
3
)(x
3
+y
3
)
= x
6
– y
6
c. C = (2x + 3)
2

– 2(2x + 3)(2x + 5) + (2x + 5)
2

= [(2x+3) – (2x +5)].
= ( 2x +3 – 2x – 5)
2
= (-2)
2
= 4.
d. D = (a + b + c)
2
+ (a - b - c)
2
+(b – c - a)
2
+(c –a - b )
2

= a
2
+b
2
+c
2
+2ab + 2ac + 2bc + a
2
+b
2
+c
2

-2ab - 2ac + 2bc + a
2
+b
2
+c
2
+2ab - 2ac - 2bc
= 4(a
2
+b
2
+c
2
) +2(ab –ac + bc).
Bài toán 2 : Tính giá trị của biểu thức.
I. Cách làm : Để tính giá trị của biểu thức ta có thể làm theo hai cách :
+ Thay trực tiếp giá trị của biến vào để tính.
+ Rút gọn biểu thức rồi sau đó thay giá trị của biến vào để tính.
II. Bài tập :
1. Bài 1. Tính hợp lý:
A = 263
2
+ 74. 263 + 37
2
B =
22
22
105215
4763
−

−
Sử dụng hằng đẳng thức để giải bài tập
7
Dương Thị Bích Thuỷ - Trường THCS Vĩnh Yên
C = (3 +1)(3
2
+1)(3
4
+1)(3
8
+1)(3
16
+1)(3
32
+1)
D = (50
2
+ 48
2
+ 46
2
+….+2
2
) – (49
2
+ 47
2
+… +1
2
)

Giải :
A = 263
2
+ 2.37. 263 + 37
2
= (263 + 37)
2
= 300
2
= 90 000.
B =
)105215)(105215(
)4763)(4763(
−+
−+
=
20
1
320
16
110.320
16.110
==
C = (3 +1)(3
2
+1)(3
4
+1)(3
8

+1)(3
16
+1)(3
32
+1)
2C = (3-1)(3+1)(3
2
+1)(3
4
+1)(3
8
+1)(3
16
+1)(3
32
+1)
= (3
2
-1). )(3
2
+1)(3
4
+1)(3
8
+1)(3
16
+1)(3
32
+1)
=(3

4
-1)(3
4
+1)(3
8
+1)(3
16
+1)(3
32
+1)
= (3
8
-1)(3
8
+1)(3
16
+1)(3
32
+1)
= (3
16
-1)(3
16
+1)(3
32
+1)
= (3
32
-1)(3
32

+1)
= 3
64
- 1.

2
13
64
−
=⇒ C
D = (50
2
+ 48
2
+ 46
2
+….+2
2
) – (49
2
+ 47
2
+… +1
2
)
= (50
2
- 49
2
) +(48

2
-47
2
) +…….+(2
2
– 1)
= 50 + 49 + 47 + …. +2 +1
=
2
50).150( +
= 1275
Sử dụng hằng đẳng thức để giải bài tập
8
Dương Thị Bích Thuỷ - Trường THCS Vĩnh Yên
2. Bài 2 :
a. Cho x = -2. Tính giá trị biểu thức:
A = (x-1)
3
– 4x(x+1)(x-1) + 3(x-1)(x
2
+x+1).
b. Cho x – y = 5 . Tính giá trị biểu thức :
B = x(x+2) + y(y-2) – 2xy +65
c. Cho x+y = a , x
2
+y
2
= b. Tính x
3
+y

3
theo a và b.
Giải :
a. A = (x-1)
3
– 4x(x+1)(x-1) + 3(x-1)(x
2
+x+1)
= x
3
– 3x
2
+ 3x – 1 – 4x(x
2
-1) + 3(x
3
– 1)
= x
3
– 3x
2
+ 3x – 1 – 4x
3
+ 4x + 3x
3
– 3
= – 3x
2
+7x – 4
Thay x = -2 vào biểu thức, ta được :

A = -3(-2)
2
+ 7.(-2) – 4 = -30.
b. B = x(x+2) + y(y-2) – 2xy +65
= x
2
+ 2x + y
2
– 2y – 2xy +65
= (x – y)
2
+ 2(x- y) +65
Thay x – y =5 vào biểu thức, ta được :
B = 5
2
+ 2.5 + 65 = 100.
c. Ta có :
x
3
+y
3
= (x +y)(x
2
- xy +y
2
)
= (x +y)[( x
2
+y
2

) – xy]
= a(b – xy) (1)
Từ x+y = a , x
2
+y
2
= b ⇒ (x +y)
2
= a
2

⇒ x
2
+ 2xy + y
2
= a
2
⇒ 2xy + b = a
2
Sử dụng hằng đẳng thức để giải bài tập
9
Dương Thị Bích Thuỷ - Trường THCS Vĩnh Yên
⇒
2
2
ba
xy
−
=
(2)

Từ (1) và (2) ta có :
2
3
)
2
(
32
33
aabba
bayx
−
=
−
−=+
Bài toán 3 : Chứng minh các hằng đẳng thức
I. Cách làm : Để chứng minh hằng đẳng thức ta có nhiều cách để biến đổi:
+ Biến đổi VT về VP hoặc ngược lại.
+ Biến đổi VT và VP cùng bằng một biểu thức.
+ Xét hiệu VT – VP = 0 hoặc VP – VT = 0.
II. Bài tập :
1. Bài 1 : Chứng minh rằng :
a. a
3
+ b
3
= (a+b)
3
– 3ab(a+b)
b. (a
2

+b
2
) (c
2
+d
2
) = (ac + bd)
2
+(ad – bc)
2
c. 2000
2
+2003
2
+2005
2
+2006
2
= 2001
2
+2002
2
+2004
2
+2006
2
Giải :
a. a
3
+ b

3
= (a+b)
3
– 3ab(a+b)
VP = (a+b)
3
– 3ab(a+b)
= a
3
+ 3a
2
b +3ab
2
+b
3
– 3a
2
b – 3ab
2

= a
3
+ b
3

Vậy VT = VP , đẳng thức được chứng minh.
b. (a
2
+b
2

) (c
2
+d
2
) = (ac + bd)
2
+(ad – bc)
2
VT = (a
2
+b
2
) (c
2
+d
2
) = a
2
c
2
+ a
2
d
2
+ b
2
c
2
+ b
2

d
2
(1)
VP = (ac + bd)
2
+(ad – bc)
2

= a
2
c
2
+2abcd + b
2
d
2
+ a
2
d
2
– 2abcd + b
2
c
2

= a
2
c
2
+ a

2
d
2
+ b
2
c
2
+ b
2
d
2
(2)
Từ (1) và (2) suy ra VT = VP , đẳng thức được chứng minh.
Sử dụng hằng đẳng thức để giải bài tập
10
Dương Thị Bích Thuỷ - Trường THCS Vĩnh Yên
c.2000
2
+2003
2
+2005
2
+2006
2
= 2001
2
+2002
2
+2004
2

+2007
2
Xét hiệu VT – VP , ta được :
(2003
2
- 2002
2
) +(2005
2
- 2004
2
)

- (2001
2
- 2000
2
) – (2007
2
– 2006
2
)
= 4005 + 4009 – 4001 – 4013 = 0
VT - VP = 0 , đẳng thức được chứng minh.
2. Bài 2 : Chứng minh rằng :
a. Nếu a + b + c = 0 thì a
3
+b
3
+c

3
= 3abc
b. Nếu a
2
– b
2
– c
2
= 0 thì (5a – 3b +4c)(5a – 3b – 4c) = (3a - 5b)
2

Giải :
a. Nếu a + b + c = 0 thì a
3
+b
3
+c
3
= 3abc
Do a + b + c = 0 ⇒ a = - (b +c)
Ta có a
3
+b
3
+c
3
= [- (b+c)]
3
+b
3

+c
3
= - b
3
- 3b
2
c

– 3 bc
2
-c
3
+b
3
+c
3
= - 3b
2
c

– 3 bc
2

= -3bc(b+c)
= -3bc(-a)
= 3abc.
Vậy nếu a + b + c = 0 thì a
3
+b
3

+c
3
= 3abc
b. Nếu a
2
– b
2
– c
2
= 0 thì (5a – 3b +4c)(5a – 3b – 4c) = (3a - 5b)
2

Từ a
2
– b
2
– c
2
= 0 ⇒ c
2
= a
2
- b
2
Ta có (5a – 3b +4c)(5a – 3b – 4c) = (5a – 3b)
2
– (4c)
2
= 25a
2

– 30 ab +9b
2
– 16c
2
= 25a
2
– 30 ab +9b
2
– 16(a
2
– b
2
)
= 25a
2
– 30 ab +9b
2
– 16a
2
+16b
2

Sử dụng hằng đẳng thức để giải bài tập
11
Dương Thị Bích Thuỷ - Trường THCS Vĩnh Yên
= 9a
2
– 30 ab +25b
2

= (3a – 5b)
2

Vậy nếu a
2
– b
2
– c
2
= 0 thì (5a – 3b +4c)(5a – 3b – 4c) = (3a - 5b)
2


Bài toán 4 : Tìm x, y
a. (x+2)(x
2
– 2x +4) – x(x
2
+2) = 15
b. (x-2)
3
– (x- 3)(x
2
+3x +9) + 6(x
2
+1) = 15
c. x
2
– 2x + y
2

+ 4y +5 = 0
Giải :
a. (x+2)(x
2
– 2x +4) – x(x
2
+2) = 15
x
3
+ 8 - x
3
– 2x = 15
2x = -7
x =
2
7−
b. (x-2)
3
– (x- 3)(x
2
+3x +9) + 6(x
2
+1) = 15
x
3
– 6x
2
+ 12x – 8 - x
3
+ 27 + 6x

2
+ 12x +6 = 15
24x = -10
x =
12
5−

c. x
2
– 2x + y
2
+ 4y +5 = 0
(x
2
– 2x+1) +( y
2
+ 4y +4) = 0
(x-1)
2
+(y+2)
2
= 0
Vì (x-1)
2
≥ 0 với mọi x, y+2)
2
≥ 0 với mọi y nên (x-1)
2
+(y+2)
2

= 0


⇔






=+
=−
0)2(
0)1(
2
2
y
x




−=
=
⇔
2
1
y
x
Sử dụng hằng đẳng thức để giải bài tập

12
Dương Thị Bích Thuỷ - Trường THCS Vĩnh Yên
Bài toán 5 : Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức:
I. Các bước giải một bài toán cực trị:
1. Để tìm GTNN của biểu thức A(x) trong tập xác định D ta làm như sau :
+ Chứng minh A(x) ≥ m với m là hằng số.
+ Chỉ ra A(x
0
) = m (x
0
∈D).
+ Kết luận GTNN của A là m ⇔ x = x
0
2. Để tìm GTLN của biểu thức A(x) trong tập xác định D ta làm như sau :
+ Chứng minh A(x) ≤ m với m là hằng số.
+ Chỉ ra A(x
0
) = m (x
0
∈D).
+ Kết luận GTLN của A là m ⇔ x = x
0
II. Các kiến thức cần sử dụng :
x
2
≥ 0; x
2n
≥ 0 (n ∈N
*
) với mọi x.

Do đó để tìm GTNN (GTLN) của các đa thức, ta thường phải sử dụng các hằng
đẳng thức bậc hai (a + b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2
; (a - b)
2
= a
2
- 2ab + b
2
để biến đổi đa thức
về dạng bình phương của một tổng hoặc bình phương của một hiệu.
III. Bài tập :
1. Bài 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a. A = x
2
+ 2x + 3
b. B = 2x
2
– x +5
c. C = (x-3)
2
+ (x+1)
2
d. D = x
2
- 2x + y

2
– 4y + 6
Giải :
a. A = x
2
+ 2x + 3
= (x+1)
2
+ 2
Vì (x+1)
2
≥ 0 với mọi x nên A≥ 2 với mọi x.
Sử dụng hằng đẳng thức để giải bài tập
13
Dương Thị Bích Thuỷ - Trường THCS Vĩnh Yên
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x= -1.
b. B = 2x
2
– x +5
B = 2(x
2
-
2
1
x ) + 5
= 2(x
2
– 2.
4
1

x +
16
1
) + 5 – 2.
16
1

= 2(x -
4
1
)
2
+ 4
8
7
Vì (x -
4
1
)
2
≥ 0 với mọi x nên A ≥ 4
8
7
với mọi x.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=
4
1
.
c. C = (x-3)
2

+ (x+1)
2
= x
2
– 6x + 9 + x
2
+ 2x + 1
= 2x
2
– 4x + 10
= 2(x
2
– 2x + 1) + 8
= 2(x-1)
2
+ 8
Vì (x- 1)
2
≥ 0 với mọi x nên A≥ 8 với mọi x.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x= 1.

d. D = x
2
- 2x + y
2
– 4y + 6
= (x – 1)
2
+ (y- 2)
2

+ 1
Vì (x- 1)
2
≥ 0 với mọi x ; (y- 2)
2
≥ 0 với mọi y nên A≥ 1 với mọi x, y.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x= 1 và y = 2.
2. Bài 2 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
a. A = - x
2
+ 6x - 5
b. B = - 3x
2
+2x +4
Sử dụng hằng đẳng thức để giải bài tập
14
Dương Thị Bích Thuỷ - Trường THCS Vĩnh Yên
c. C= - x
2
+ 2xy - 4y
2
+ 2x + 10y- 8
Giải :
a. A = - x
2
+ 6x – 5
= - (x
2
- 6x + 9) +4
= 4 – (x – 3)

2
Vì (x- 3)
2
≥ 0 với mọi x nên A ≤ 4 với mọi x.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x=3.

b. B = - 3x
2
+2x +4
= -3(x
2
– 2.
3
1
x +
9
1
) + 4 +
3
1

=
3
13
- 3(x -
3
1
)
2
Vì (x-

3
1
)
2
≥ 0 với mọi x nên A ≤
3
13
với mọi x.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x =
3
1
.
c. C = - x
2
+ 2xy - 4y
2
+ 2x + 10y- 8
= - (x
2
- 2xy + y
2
) – 3(y
2
– 4y + 4) + 2(x – y) + 4
= - [(x- y)
2
- 2(x –y) +1] – 3(y – 2)
2
+ 5
= 5 – [(x – y – 1)

2
+ 3(y – 2)
2
]
Vì (x- y - 1)
2
≥ 0 với mọi x,y ; (y- 2)
2
≥ 0 với mọi y nên A≤ 5 với mọi x, y.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi



=−
=−−
02
01
y
yx




=
=
⇔
2
3
y
x

Bài toán 6 : Sử dụng hằng đẳng thức để giải một số bài toán về chia
hết.
Sử dụng hằng đẳng thức để giải bài tập
15
Dương Thị Bích Thuỷ - Trường THCS Vĩnh Yên
I. Kiến thức sử dụng :
Với mọi số nguyên a, b và số tự nhiên n :
a
n
- b
n
chia hết cho a – b ( a ≠ b)
a
2n+1
+ b
2n+1
chia hết cho a + b ( a ≠ - b)
(a + b)
n
= BS a + b
n
(BS a là bội của a).
Đặc biệt :
(a + 1)
n
= BS a + 1.
(a - 1)
2n
= BS a + 1.
(a - b)

2n+1
= BS a – 1.
II. Bài tập
1. Bài 1 : Chứng minh rằng:
a. 2
51
– 1 chia hết cho 7.
b. 17
19
+ 19
17
chia hết cho 18.
Giải : a. Ta có 2
51
– 1 = (2
3
)
17
– 1 chia hết cho 2
3
– 1 = 7.
b. 17
19
+ 19
17
= (17
19
+ 1) + (19
17
– 1)

Vì 17
19
+ 1 chia hết cho 17+1 =18 và 19
17
– 1 chia hết cho 19 -1 = 18
nên 17
19
+ 19
17
chia hết cho 18.
2. Bài 2 : Tìm số tự nhiên n sao cho 2
n
– 1 chia hết cho 7.
Giải :
- Nếu n = 3k (k∈N) thì 2
n
– 1 = 2
3k
– 1 = 8
k
– 1 chia hết cho 7.
- Nếu n = 3k + 1 (k∈N) thì 2
n
– 1 = 2
3k+1
– 1 = 2.( 2
3k
– 1) + 1 = BS 7 + 1.
- Nếu n = 3k +2 (k∈N) thì 2
n

– 1 = 2
3k+2
– 1 = 4.(2
3k
– 1+3 = BS 7 +3.
Vậy 2
n
– 1 chia hết cho 7 khi và chỉ khi n = 3k (k∈N).
Sử dụng hằng đẳng thức để giải bài tập
16
Dương Thị Bích Thuỷ - Trường THCS Vĩnh Yên
Bài toán 7 : Sử dụng hằng đẳng thức để chứng minh một số là số
chính phương.
1. Bài 1 : Cho M là tích của 4 số nguyên liên tiếp. Chứng minh rằng M + 1 là số
chính phương.
Giải :
Đặt M = n(n+1)(n+2)(n+3) (n∈ Z)
⇒ M +1 = n(n+1)(n+2)(n+3) +1
= (n
2
+ 3n)(n
2
+ 3n + 2) +1
= (n
2
+ 3n)
2
+ 2(n
2
+ 3n) + 1

= (n
2
+ 3n + 1)
2
Vậy tích của 4 số nguyên liên tiếp cộng 1 là số chính phương.
2. Bài 2 : Chứng minh rằng số sau là số chính phương.
A =

14 441 11
2
++

n
n
(n∈ N)
Giải :
Đặt

n
1 11
= a thì 9a + 1 = 10
n
A = a. 10
n
+ a + 4a + 1
= a(9a+1) + 5a +1
= (3a+1)
2
=
2

1
43 33

−n
Vậy A là số chính phương.
3.2 Các bài tập tự luyện:
Bài 1 Rút gọn biểu thức:
a. x(x- a)(x + a) – (x + a)(x
2
– ax + a
2
)
b. (a+b+c)
3
+ (a - b – c)
3
+ (b – c – a)
3
+ (c – a – b)
3
Sử dụng hằng đẳng thức để giải bài tập
17
Dương Thị Bích Thuỷ - Trường THCS Vĩnh Yên
c. (x – y – 1)
3
– (x – y +1)
3
+ 6(x –y)
2
Bài 2 :Chứng minh các hằng đẳng thức:

a. (a+b+c)
3
- a
3
- b
3
– c
3
= 3(a+b)(a+c)(b+c)
b. (a
2
- b
2
)
2
+ (2ab)
2
= (a
2
+b
2
)
2
.
Bài 3 : Cho a + b +c = 2p. Chứng minh rằng :
a. a
2
– b
2
– c

2
+ 2bc = 4(p - b)(p - c)
b. p
2
+ (p – a)
2
+(p – b)
2
+(p – c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2

Bài 4 : Chứng minh rằng số sau là số chính phương.
B =

15 551 11 +

n
n
(n∈ N)
Bài 5 : Tìm GTLN của biểu thức:
A = - x
2
+ 6x +1
B = - x

2
+ 4x
C = - 3x
2
– 2xy – 2x – y
2
+ 2y + 2
D = - x
4
+ 16x
2
+ 12x + 9
Bài 6 : Tìm GTNN của biểu thức :
A = x
2
– 3x + 5
B = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)
C = x
4
+ x
2
– 6x + 9
D = 2x
2
+ y
2
– 2xy – 2x – 2y + 12
Bài 7 : Cho các số tự nhiên a và b . Chứng minh rằng :
a. Nếu a
2

+ b
2
chia hết cho 3 thì a và b chia hết cho 3.
b. Nếu a
2
+ b
2
chia hết cho 7 thì a và b chia hết cho 7.

Sử dụng hằng đẳng thức để giải bài tập
18
Dương Thị Bích Thuỷ - Trường THCS Vĩnh Yên
B. ỨNG DỤNG VÀO THỰC TIỄN CÔNG TÁC GIẢNG DẠY:
Qua quá trình giảng dạy cho cho học sinh tôi nhận thấy các em rất ham học. Các
em đã tìm tòi, suy nghĩ, chủ động tiếp thu kiến thức dưới sự hướng dẫn của giáo viên.
Các em đã được rèn luyện khả năng tư duy toán học và kỹ năng tính toán tương đối
thành thạo.
Từ việc nắm chắc, ghi nhớ các “Hằng đẳng thức” giúp các em đã biết vận dụng lý
thuyết vào giải bài tập và đặc biệt là biết vận dụng kiến thức đã học để giải các bài tập
có ứng dụng thực tế một cách thành thạo. Học sinh đã biết vận dụng hằng đẳng thức
để có lời giải ngắn gọn, khoa học hơn. Cũng từ việc nắm chắc các hằng đẳng thức
giúp các em tiếp cận với các dạng toán một cách tự tin hơn.
PHẦN III : KẾT LUẬN
♣♣♣♣♣
Sử dụng hằng đẳng thức để giải bài tập
19
Dương Thị Bích Thuỷ - Trường THCS Vĩnh Yên
Thông qua việc thực hiện chuyên đề đã giúp học sinh chủ động lĩnh hội kiến thức
hơn, phát huy được tính tích cực chủ động sáng tạo trong học tập cho học sinh. Giáo
viên đã chuẩn bị hệ thống bài tập có chất lượng để tạo cho học sinh sự hứng thú học

tập, tự tìm tòi, khám phá để khắc sâu kiến thức , nâng cao chất lượng bộ môn.
Các bài tập trong chuyên đề này phần các học sinh đã thực hiện tương đối thành
thạo và trình bày lời giải rất tốt.
Với cách khai thác từ các bài tập trong sách giáo khoa nên áp dụng được với tất cả
các đối tượng học sinh . Có một số bài tập nâng cao dành cho học sinh khá và giỏi
cũng được các em vận dụng làm tốt. Tuy nhiên khi áp dụng không thể tránh khỏi
những khiếm khuyết. Tôi rất mong sự đóng góp bổ sung của các đồng chí để đề tài
được hoàn thiện hơn.


TÀI LIỆU THAM KHẢO
- SGK toán 8 tập 1 - NXBGD
- Ôn tập Đại số 8- Nguyễn Ngọc Đạm – Vũ Dương Thuỵ
- Toán nâng cao và các chuyên đề Đại số 8- Vũ Dương Thuỵ
- Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán8- Bùi Văn Tuyên
- Nâng cao và phát triển Toán 8 – Tập một – Vũ Hữu Bình.
Sử dụng hằng đẳng thức để giải bài tập
20
Dương Thị Bích Thuỷ - Trường THCS Vĩnh Yên


Sử dụng hằng đẳng thức để giải bài tập
21