ĐỀ tài NGHIÊN cứu KHOA học của SINH VIÊN THAM GIA CUỘC THI SINH VIÊN NGHIÊN cứu KHOA học năm học 2017 2018 một số ỨNG DỤNG THỰC tế của CHÉO HOÁ MA TRẬN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT
KHOA: KHOA HỌC TỰ NHIÊN

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN THAM GIA
CUỘC THI SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2017-2018

MỘT SỐ ỨNG DỤNG THỰC TẾ CỦA CHÉO HỐ MA TRẬN

Thuộc nhóm ngành khoa học: Khoa học tự nhiên

Tháng 3/2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT
KHOA: KHOA HỌC TỰ NHIÊN

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN THAM GIA
CUỘC THI SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2017-2018

MỘT SỐ ỨNG DỤNG THỰC TẾ CỦA CHÉO HOÁ MA TRẬN
Sinh viên thực hiện: Nguyễn Đức Quang
Lớp: D16TO02

Khoa: Khoa học tự nhiên

Năm thứ: 2

Số năm đào tạo: 3.5

Sinh viên thực hiện: Lê Nguyễn Viết Tường
Lớp: C15TO03

Khoa: Khoa học tự nhiên

Năm thứ: 3

Số năm đào tạo: 3

Người hướng dẫn: TS Nguyễn Thị Kim Ngân

Nam/Nữ: Nam

Dân tộc: Kinh

Ngành học: Cử nhân Toán học
Nam/Nữ: Nam

Dân tộc: Kinh

Ngành học: Cao đẳng sư phạm Toán


UBND TỈNH BÌNH DƯƠNG

CỘNG HỊA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI

1. Thông tin chung:
Tên đề tài: MỘT SỐ ỨNG DỤNG THỰC TẾ CỦA CHÉO HOÁ MA TRẬN
Sinh viên thực hiện: Nguyễn Đức Quang
Lớp: D16TO02
Năm thứ: 2

Nam/Nữ: Nam

Dân tộc: Kinh

Khoa: Khoa học tự nhiên
Số năm đào tạo: 3.5

Sinh viên thực hiện: Lê Nguyễn Viết Tường
Lớp: C15TO03

Khoa: Khoa học tự nhiên

Năm thứ: 3

Số năm đào tạo: 3

Ngành học: Cử nhân Toán học
Nam/Nữ: Nam

Dân tộc: Kinh

Ngành học: Cao đẳng sư phạm Toán

Người hướng dẫn: TS Nguyễn Thị Kim Ngân

2. Mục tiêu đề tài:
Tìm hiểu nghiên cứu một số ví dụ thực tế của phương pháp chéo hóa ma trận [1, III.5], [2,
chap.5].
- Hệ động lực tuyến tính rời rạc xk 1  Axk (ví dụ về di truyền học [3], mối liên hệ giữa thú bị
ăn thịt và thú ăn thịt [2, 5.6], ứng dụng của dãy Markov về dự đoán dân số [2, 4.9], công thức
tổng quát của dãy Fibonacci [4, chap. 10],…).
- Hệ động lực tuyến tính liên tục (hệ phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất) (ví dụ về các
mạch điện [2, 5.7], hệ các thùng chất lỏng trong một nhà máy hóa chất [ 4, chap. 11],…).
3. Tính mới và sáng tạo:
Kết quả của đề tài được sinh viên tổng hợp, nghiên cứu từ nhiều tài liệu nước ngoài.


TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Viết Đông, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Anh Tuấn, Lê Anh Vũ, Toán cao cấpTập 2, NXB Giáo dục 1999.
[2] David C. Lay, Linear algebra and its applications, 4th Edition, Addison-Wesley, 2012.
[3] Ali A. Dad-del, Genetics,
/>ode4.html
[4] Philippe Malbos, Analyse Matricielle et algebra lineaire applique, />4. Kết quả nghiên cứu:
Một báo cáo tổng kết đề tài.
5. Đóng góp về mặt kinh tế - xã hội, giáo dục và đào tạo, an ninh, quốc phòng và khả
năng áp dụng của đề tài:
Đây sẽ là một đề tài hữu ích cho sinh viên ngành Tốn nói riêng và sinh viên khoa Khoa học
tự nhiên nói chung trong quá trình học tập và nghiên cứu. Là tài liệu tham khảo cho mơn Đại
số tuyến tính cũng như Tốn cao cấp A2.
6. Công bố khoa học của sinh viên từ kết quả nghiên cứu của đề tài (ghi rõ họ tên tác giả,
nhan đề và các yếu tố về xuất bản nếu có) hoặc nhận xét, đánh giá của cơ sở đã áp dụng các

kết quả nghiên cứu (nếu có):
Khơng có.

Ngày … tháng … năm 2018
Sinh viên chịu trách nhiệm chính
thực hiện đề tài
(Ký và ghi rõ họ, tên)


Nhận xét của người hướng dẫn về những đóng góp khoa học của sinh viên thực hiện đề
tài (phần này do người hướng dẫn ghi):

Ngày … tháng … năm 2018
Xác nhận của lãnh đạo khoa

Người hướng dẫn

(Ký và ghi rõ họ, tên)

(Ký và ghi rõ họ, tên)


UBND TỈNH BÌNH DƯƠNG

CỘNG HỊA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

THƠNG TIN VỀ SINH VIÊN
CHỊU TRÁCH NHIỆM CHÍNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
Ảnh 4x6

I. SƠ LƯỢC VỀ SINH VIÊN:
Họ và tên: Nguyễn Đức Quang
Ngày, tháng, năm sinh: 15/ 10/ 1998
Nơi sinh: TP.HCM
Lớp: D16TO02

Khóa:

Khoa: Khoa học tự nhiên

Địa chỉ liên hệ: 45B/3- Đồng An 3- Bình Hồ- Thuận An-Bình Dương
Điện thoại: 01204145356

Email:

II. QUÁ TRÌNH HỌC TẬP (kê khai thành tích của sinh viên từ năm thứ 1 đến năm đang
học):
* Năm thứ 1:
Ngành học: Toán học

Khoa: Khoa học tự nhiên

Kết quả xếp loại học tập:
Sơ lược thành tích: HKI:

HKII:

* Năm thứ 2:
Ngành học: Toán học

Khoa: Khoa học tự nhiên

Kết quả xếp loại học tập:
Sơ lược thành tích: HKI:

Xác nhận của lãnh đạo khoa
(Ký và ghi rõ họ, tên)

HKII:
Ngày tháng năm
Sinh viên chịu trách nhiệm chính
thực hiện đề tài
(Ký và ghi rõ họ, tên)


DANH SÁCH NHỮNG THÀNH VIÊN THAM GIA NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI
STT

Họ và tên

MSSV

Lớp

Khoa

1

Nguyễn Đức Quang

1624601010075

D16TO02

KHTN

2

Lê Nguyễn Viết Tường

1511402090133

C15TO03

KHTN


MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 30
1. Tính cấp thiết của đề tài ................................................................................................ 9
2. Mục tiêu đề tài ............................................................................................................... 9
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu, cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu ................ 9
4. Sản phẩm và khả năng ứng dụng .................................................................................. 9
5. Nội dung nghiên cứu ..................................................................................................... 9
Chương I – PHƯƠNG PHÁP CHÉO HÓA MA TRẬN .................................................... 10
1. Giá trị riêng – Vectơ riêng .......................................................................................... 10

1.1. Định nghĩa............................................................................................................. 10
1.2. Định nghĩa............................................................................................................. 10
1.3. Định nghĩa............................................................................................................. 10
1.4. Định nghĩa............................................................................................................. 11
1.5. Tính chất [1, trang 262] ........................................................................................ 11
2. Chéo hóa ma trận ........................................................................................................ 12
2.1. Định nghĩa............................................................................................................. 12
2.2. Điều kiện chéo hóa được ...................................................................................... 12
2.3. Thuật tốn chéo hóa ma trân ................................................................................. 14
Chương II – MỘT SỐ ỨNG DỤNG THỰC TẾ CỦA....................................................... 16
CHÉO HÓA MA TRẬN .................................................................................................... 16
1. Hệ động lực tuyến tính rời rạc [2, 5.6, trang 301] ...................................................... 16
1.1. Bài toán về di truyền học [3] ................................................................................ 16
1.2. Mối liên hệ giữa thú bị ăn thịt và thú ăn thịt [2, 5.6] ............................................ 19
1.3. Ứng dụng của dãy Markov về dự đốn dân số [2, 4.9] ........................................ 20
1.4. Tính số hạng tổng quát của dãy Fibonacci ........................................................... 22
2. Hệ động lực tuyến tính liên tục [2, 5.7] ...................................................................... 23
2.1. Ứng dụng trong mạch điện [2, 5.7]....................................................................... 25
2.2. Hệ thống thùng chất lỏng [4, chương 11] ............................................................. 26
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ............................................................................................ 29
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................................. 30


1

PHẦN MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Đại số tuyến tính là học phần cơ bản của sinh viên ngành Tốn và ứng dụng của nó trong
thực tế rất lớn. Các sách tham khảo về môn học này ở thư viện trường hiện nay rất ít nói đến
những ví dụ thực tế.

Chính vì vậy, chúng tơi quyết định chọn đề tài “Một số ứng dụng thực tế của chéo hóa ma
trận” nhằm muốn tìm hiểu những ứng dụng thực tế, đặc biệt trong các lĩnh vực Tốn, Lý,
Hóa, Sinh, Mơi trường của mơn học này nói chung và phương pháp chéo hóa ma trận nói
riêng để gắn lý thuyết với thực hành, tạo hứng thú trong học tập.
2. Mục tiêu đề tài
Tìm hiểu nghiên cứu một số ví dụ thực tế của phương pháp chéo hóa ma trận [1, III.5], [2,
chap.5].
- Hệ động lực tuyến tính rời rạc xk 1  Axk (ví dụ về di truyền học [3], mối liên hệ giữa thú bị
ăn thịt và thú ăn thịt [2, 5.6], ứng dụng của dãy Markov về dự đốn dân số [2, 4.9], cơng thức
tổng qt của dãy Fibonacci [4, chap. 10],…).
- Hệ động lực tuyến tính liên tục (hệ phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất) (ví dụ về các
mạch điện [2, 5.7], hệ các thùng chất lỏng trong một nhà máy hóa chất [ 4, chap. 11],…).
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu, cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu
- Đối tượng: các ví dụ trong các lĩnh vực Tốn, Lý, Hóa, Sinh, Mơi trường sử dụng kiến thức
chéo hóa ma trận với các tài liệu tham khảo:
[1] Nguyễn Viết Đông, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Anh Tuấn, Lê Anh Vũ, Toán cao cấpTập 2, NXB Giáo dục 1999.
[2] David C. Lay, Linear algebra and its applications, 4th Edition, Addison-Wesley, 2012.
[3] Ali A. Dad-del, Genetics,
/>ode4.html
[4] Philippe Malbos, Analyse Matricielle et algebra lineaire applique, />- Phạm vi nghiên cứu: Phương pháp chéo hóa ma trận và các ứng dụng thực tế của nó.
- Cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu tài liệu, sử dụng phương pháp phân
tích, đánh giá, tổng hợp để trình bày lại các ứng dụng thực tế của chéo hóa ma trận.
4. Sản phẩm và khả năng ứng dụng
Đây sẽ là một đề tài hữu ích cho sinh viên ngành Tốn nói riêng và sinh viên khoa Khoa học
tự nhiên nói chung trong q trình học tập và nghiên cứu. Là tài liệu tham khảo cho môn Đại
số tuyến tính cũng như Tốn cao cấp A2.
5. Nội dung nghiên cứu
Nội dung đề tài gồm hai chương. Ở chương I, chúng tôi nhắc lại cơ sở lý thuyết của phương
pháp chéo hóa ma trận. Ở chương II, chúng tơi đề cập ứng dụng của chéo hóa ma trận với
hai dạng phương trình động lực tuyến tính rời rạc và phương trình động lực tuyến tính liên

tục thường gặp trong các lĩnh vực của cuộc sống.


2

Chương I – PHƯƠNG PHÁP CHÉO HÓA MA TRẬN
Lý thuyết chương I tham khảo sách [1, chương III].
1. Giá trị riêng – Vectơ riêng
1.1. Định nghĩa
Cho f là một toán tử tuyến tính trên K – khơng gian vectơ V. Số   K được gọi là một giá
trị riêng của f nếu tồn tại một vectơ u V \ 0 sao cho

f  u   u.
Vectơ u  0 đó gọi là vectơ riêng của f ứng với giá trị riêng  .
Ví dụ 1: Xét tốn tử tuyến tính f trên khơng gian vectơ 2 .
f: 2 2

 x1; x2 
 2; 2 

Khi đó với
giá trị riêng   1.

 5x1  4 x2 ;8x1  9 x2 
2
ta có f  2; 2    2; 2 

(1.1)

nên  2; 2  là vectơ riêng của f ứng với

1.2. Định nghĩa
Cho ma trận A  M n  K  . Số   K được gọi là giá trị riêng của A nếu tồn tại vectơ

x   x1 , x2 ,..., xn   K n \ 0 sao cho

 x1 
 x1 
x 
x 
2
A     2 
(1.2)
 
 
 
 
 xn 
 xn 
Vectơ x  0 đó gọi là vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng  . Để thuận tiện, đôi khi ta sẽ
viết đẳng thức (1.2) đơn giản là Ax   x, tức là xem x  K n  M n.1  K  .
5 4 
Ví dụ 2: Xét A  
 là ma trận của toán tử tuyến tính f ở ví dụ 1.
8
9


2 2
Khi đó với u   2;  2   2 ta có: A      nên u là vectơ riêng của A ứng với giá trị

 2   2
riêng   1.

1.3. Định nghĩa
Cho   K là một giá trị riêng của tốn tử tuyến tính f trên K – khơng gian vectơ V. Khi đó,
E     u V | f  u   u là không gian con của V và được gọi là không gian con riêng của

f ứng với giá trị riêng  .
Ví dụ 3: Theo ví dụ 1, không gian con riêng ứng với giá trị riêng   1 là


3

E 1   x1 ; x2  

2

| f  x1 ; x2    x1 ; x2 

  x1 ; x2  

2

|  5 x1  4 x2 ;8 x1  9 x2    x1; x2 

  x1 ; x2  

2

| x1  x2  0

1.4. Định nghĩa
Cho A   aij  là ma trận vuông cấp n trên K. Định thức của ma trận A   I n trên K   (với
I n là là ma trận đơn vị cấp n trên K) được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A và kí hiệu
là f A    .
f A     det  A   I n  

a11  
a21

a12
a22  

a1n
a2 n

an1

an 2

ann  

Phương trình f A     0 được gọi là phương trình đặc trưng của ma trận A.
Ví dụ 4: Theo ví dụ 1, trước tiên ta tìm ma trận của f theo cơ sở chính tắc của
f 1;0    5;8 và f  0;1   4;9 

2

. Ta có:

5 4 
Vậy ma trận của f là A  
 . Phương trình đặc trưng của f là:
8 9 
5
4
f A   
 0   2  14  13  0    1 hoặc   13.
8
9

1.5. Tính chất [1, trang 262]
Định lí 1: Nếu o là giá trị riêng bội k (nghĩa là o là nghiệm bội k của đa thức đặc trưng)
của tốn tử tuyến tính f trên V thì dim E  o   k.
Chứng minh
Giả sử E  o  có một cơ sở là  u1 , u2 ,..., ul  .

Bổ sung vào cơ sở này để thu được một cơ sở của V: B   u1 , u2 ,..., ul , ul 1 ,..., un  .

Vì f  u1   ou1 , f  u2   ou2 ,..., f  ul   oul nên ma trận của f trong cơ sở B có dạng:

o
0


A
0


0

Do đó đa thức đặc trưng của A có dạng
Trong đó,     là một đa thức của  .

0

o

0
0

0

o *

0

0

*
*


*


*

*
*

*

f A        o      .
l

Vì f A    nhận o làm nghiệm bội k nên k  1, nghĩa là 1  dim E  o   k.
Định lí 2: Các vectơ riêng của mỗi tốn tử tuyến tính f ứng với các giá trị riêng khác nhau
từng đôi lập thành một hệ độc lập tuyến tính.


4
Chứng minh
Giả sử 1 , 2 ,..., m là các giá trị riêng khác nhau tứng đôi một và u1 , u2 ,..., um là các vectơ
riêng lần lượt ứng với chúng. Ta chứng minh hệ u1 , u2 ,..., um độc lập tuyến tính bằng phép
quy nạp theo m.
Nếu m  1 thì hệ gồm một vectơ riêng u1 là độc lập tuyến tính vì u1  0 .
Giả sử điều khẳng định của định lí đúng cho mọi hệ gồm k vectơ riêng  k  1 và

u1 , u2 ,..., uk 1 là hệ gồm k  1 vectơ riêng lần lượt ứng với k  1 giá trị riêng khác nhau từng
đôi một 1 , 2 ,..., k 1. Ta sẽ chứng minh rằng u1 , u2 ,..., uk 1 độc lập tuyến tính.
Thật vậy, giả sử có đẳng thức
k 1

 u
i 1

i i

0

(1)





Vì f là ánh xạ tuyến tính và ui là vectơ riêng ứng với giá trị riêng i i  1, k  1 nên
k 1

k 1

i f ui   iiui  0 (2)
i 1

Nhân 2 vế của (1) với k 1 ta có:
k

Từ (2) và (3) suy ra


i 1

k 1

i 1

k 1


i 1

 i ui  0

k 1

 i  i ui  0

(3)
(4)

Mà u1 , u2 ,..., uk độc lập tuyến tính (theo giả thiết quy nạp) nên từ (4) ta có:





 k 1  i i  0;

i  1, k

Vì i  k 1 i  1, k nên suy ra i  0; i  1, k.
Từ (1) lại suy ra ak 1uk 1  0, và do uk 1  0 nên  k 1  0.
Do đó ai  0; i  1, k  1, do đó u1 , u2 ,..., uk 1 độc lập tuyến tính.
2. Chéo hóa ma trận
2.1. Định nghĩa
Hai ma trận vuông A và B được gọi là đồng dạng với nhau nếu tồn tại một ma trận vuông T
cấp n khả nghịch sao cho B  T 1 AT .
Một ma trận vng được gọi là chéo hóa được nếu nó đồng dạng với một ma trận chéo.
2.2. Điều kiện chéo hóa được
2.2.1. Định lí [1, Định lí 5.8.1, trang 264]: Điều kiện cần và đủ để ma trận A  M n  K 

chéo hóa được là nó có n vectơ riêng độc lập tuyến tính.
Chứng minh:
Điều kiện cần
Giả sử A  M n  K  chéo hóa được.
Gọi f là tốn tử tuyến tính trên K n có ma trận là A trong cơ sở chính tắc.


5
Khi đó f cũng chéo hóa được, nghĩa là tồn tại cơ sở B   e1 , e2 ,..., en  của K n để ma trận
 1
0
của f có dạng chéo là D  


0
Theo [1, 3.1.1, trang 224], ta có:

0
2
0 
.


0
n 
f  ei   i ei , i  1, n.
0

Như vậy e1 , e2 ,..., en là n vectơ riêng độc lập tuyến tính của f , do đó cũng là n vectơ riêng
độc lập tuyến tính của A.

Điều kiện đủ
Giả sử A  M n  K  có n vectơ riêng độc lập tuyến tính là uk   xk1 , xk 2 ,..., xkn  , k  1, n,
trong đó uk là vectơ riêng ứng với giá trị riêng k (các k có thể trùng nhau).
 xk1 
 xk1   k xk1 
x 
 x   x 
Theo định nghĩa 1.2 ta có: A  k 2   k  k 2    k k 2 
 
  

 
  

 xkn 
 xkn   k xkn 
Lập ma trận C mà các cột lần lượt là các vectơ uk , k  1, n; tức là:

 x11
x
C   12


 x1n

x21
x22
x2 n

xn1 

xn 2 


xnn 

Khi đó:

n xn1 
 1 x11 2 x21
 x
2 x22
n xn 2 
1 12

AC 




n xnn 
1 x1n 2 x2 n
Mặt khác, gọi D là ma trận chéo mà các phần tử trên đường chéo lần lượt là các giá trị riêng
k tương ứng, nghĩa là:
 1
0
D


0

0

2
0

0
0 


n 

Thì ta cũng có:

 1 x11
 x
CD   1 12


1 x1n

2 x21
2 x22
2 x2 n

n xn1 
n xn 2 


n xnn 

6
Vậy AC  CD
Vì các vectơ u1 , u2 ,..., un độc lập tuyến tính

Nên rank  C   n hay det C  0 , do đó tồn tại ma trận nghịch đảo C 1 .
Nhân C 1 vào bên trái hai vế của đẳng thức AC  CD ta có: C 1 AC  C 1CD  D.
Vậy ma trận A được chéo hóa bởi ma trận C.
2.2.2. Định lí
Ma trận A  M n  K  chéo hóa được khi và chỉ khi A có n giá trị riêng kể cả bội và số chiều
của tất cả không gian con riêng bằng số bội của giá trị riêng tương ứng.
Nghĩa là, nếu A  M n  K  có các giá trị riêng phân biệt 1 , 2 ,..., k với số bội tương ứng là

n1 , n2 ,..., nk thì

n1  n2  ...  nk  n
n1  n2  ...  nk  n

A chéo hóa được  

rank  A  i I n   n  ni , i  1, k .
dim E  i   ni , i  1, k
Chứng minh
Điều kiện cần
Giả sử A chéo hóa được, theo định lí 2.2.1, A có n vectơ riêng độc lập tuyến tính là
u11 , u12 ,..., u1m1 , u21 , u22 ,..., u2 m2 ,..., uk1 , uk 2 ,..., ukmk ; trong đó uij là vectơ riêng tương ứng với giá
trị riêng i ; j  1, mi , i  1, k ; m1  m2  ...  mk  n.





Vì dim E  i   ni i  1, k , mà ui1 , ui 2 ,..., uimi độc lập tuyến tính
Nên suy ra mi  ni , i  1, k.
Ta có: n  m1  m2  ...  mk  n1  n2  ...  nk  n.
Do đó n1  n2  ...  nk  n và mi  ni , i  1, k.

Từ đó cũng có dim E  i   ni , i  1, k.
Điều kiện đủ
Giả sử n1  n2  ...  nk  n và dim E  i   ni , i  1, k.
Trong mỗi không gian con riêng E  i  ta chọn một cơ sở Bi gồm ni vectơ, i  1, k .
Gọi B 

k

Bi . Khi đó B gồm n vectơ riêng độc lập tuyến tính của A nên theo định lí 2.2.1, A
i 1

chéo hóa được.
2.3. Thuật tốn chéo hóa ma trân
Cho A  M n  K  . Để chéo hóa A (nếu có thể), ta có thuật tốn sau đây:
Bước 1: Lập đa thức đặc trưng của A và giải phương trình đặc trưng để tìm các giá trị riêng
của A.
+ Nếu A khơng có giá trị riêng nào thì A khơng chéo hóa được. Thuật tốn kết thúc.
+ Giả sử A có k giá trị riêng đôi một phân biệt 1 , 2 ,..., k với số bội tương ứng là
n1 , n2 ,..., nk .
(i) Nếu n1  n2  ...  nk  n thì A khơng chéo hóa được. Thuật toán kết thúc.
(ii) Nếu n1  n2  ...  nk  n thì làm tiếp bước 2.
Bước 2: Với mỗi giá trị riêng i tính rank  A  i I n   ri (lúc đó dim E  i   n  ri ), i  1, k .

7
+ Nếu tồn tại i mà ri  n  ni (nghĩa là dim E  i   ni ) thì A khơng chéo hóa được. Thuật
tốn kết thúc.
+ Nếu ri  n  ni (nghĩa là dim E  i   ni ), i  1, k , thì kết luận A chéo hóa được. Với mỗi

i , tìm một cơ sở của khơng gian con riêng E  i  , i  1, k. Sau đó làm tiếp bước 3.
Bước 3: Lập ma trận C mà các cột lần lượt là các vectơ cơ sở của các không gian con riêng
E  i  , i  1, k.
Khi đó C là ma trận làm chéo hóa A. Hơn nữa, D  C 1 AC là ma trận chéo mà các phần tử
trên đường chéo chính lần lượt là các giá trị riêng của A.
 3 2 0 
Ví dụ 5: Ma trận A   2 3 0  có chéo hóa được khơng? Nếu được hãy đưa nó về dạng
 0 0 5 
chéo.
Giải
2
* Ta có đa thức đặc trưng A   I      5    1 .
* Giải phương trình đặc trưng     5    1  0 ta được các giá trị riêng
2

1  5 (bội 2) và 2  1 (bội 1)
* Tìm các khơng gian con riêng
+ Không gian con riêng E  1  ứng với giá trị riêng 1  5 là không gian nghiệm của hệ

2 x1  2 x2  0
 x1  x2  0

2 x1  2 x2  0
Hệ phương trình có nghiệm tổng qt là  ;  ;   với  ,  

tùy ý.

Vậy E  1    ;  ;   |  ,  

   ;  ;0   0;0;   |  ,   
  1; 1;0     0;0;1 |  ,    .
Do đó dim E     2 (bằng số bội) và có một cơ sở là B  1; 1;0  ;  0;0;1 .
1

1

+ Không gian con riêng E  2  ứng với giá trị riêng 2  1 là không gian nghiệm của hệ

2 x1  2 x2  0
 x1  x2  0

2 x1  2 x2  0  
 x3  0
4 x  0
 3
Hệ phương trình có nghiệm tổng qt là  ; ;0  với  
Vậy E  2    ; ;0  |  

tùy ý.

   1;1;0 |   

Do đó dim E  2   1 (bằng số bội) và có một cơ sở là B2  1;1;0  .
Vì các khơng gian con riêng đều có số chiều bằng số bội của các giá trị riêng tương ứng nên

A chéo hóa được.
 1 0 1
5 0 0 
Đặt T   1 0 1  . Khi đó T 1 AT  0 5 0  .
0 0 1 
 0 1 0 


8

Chương II – MỘT SỐ ỨNG DỤNG THỰC TẾ CỦA
CHÉO HĨA MA TRẬN
1. Hệ động lực tuyến tính rời rạc [2, 5.6, trang 301]
Giá trị riêng và vectơ riêng là chìa khóa để hiểu sự phát triển của hệ động lực được mơ tả với
một phương trình khác biệt (difference equation) xk 1  Axk .
Giả sử A là ma trận chéo hóa được của ánh xạ tuyến tính f có n vectơ riêng độc lập tuyến
tính v1 , v2 ,..., vn tương ứng với các giá trị riêng 1 , 2 ,..., n . Để thuận tiện hơn, ta giả sử
1  2  ...  n .
Khi đó v1 , v2 ,..., vn  là cơ sở của

n

và do đó vectơ x0 ban đầu sẽ được viết dưới dạng

x0  c1v1  c2v2  ...  cnvn .
Khi tính tốn các trường hợp tổng qt, ta sẽ được những vectơ xi như sau:
x1  Ax0  c1 Av1  ...  cn Avn  c11v1  ...  cnnvn .
Tổng quát hơn chúng ta sẽ có:
k
k

xk  c1  1  v1  ...  cn  n  vn với k  1,2,...
Mặt khác xk 1  Axk  A2 xk 1  ...  Ak x1  Ak 1 x0 .

1k
0
0
0 
1 0


0 

k
0
0 2
0 
2
k


Mệnh đề 1: Xét ma trận chéo D 
. Khi đó D 
.









n 
0
 n k 
0 0
 0
Mệnh đề 2: Nếu A chéo hóa được và tồn tại ma trận khả nghịch P, ma trận chéo D sao cho
D  P1 AP thì Ak  PDk P1 .
Chứng minh
Ta có: D  P1 AP nên A  PDP 1
k
Do đó Ak   PDP 1    PDP 1  PDP 1  ... PDP 1   PDP 1PDP 1...PDP 1  PDk P 1
Vậy với những bài tốn có dạng hệ động lực tuyến tính rời rạc, khi tính xk ta cần tính Ak và
theo các mệnh đề trên ta đưa về tính D k một cách đơn giản.
1.1. Bài toán về di truyền học [3]
Một vấn đề phổ biến trong lĩnh vực này là tìm xác suất của một kiểu gen nhất định sau một
số năm. Giả sử chúng ta muốn nghiên cứu tỉ lệ của 3 kiểu gen ở thế hệ thứ n của bò có điều
kiện tỉ lệ ban đầu .
Giáo sư Vetar, tại đại học Davis ở California phát hiện ra rằng những con bị có gen AA có
thể sản xuất sữa chất lượng tốt hơn các kiểu gen khác. Nếu chỉ chọn gen AA kết hợp với các
kiểu gen khác thì xác suất con AA, Aa hoặc aa được là bao nhiêu?
Để phân tích vấn đề, ta sẽ xét 3 trường hợp :
 Nếu lai AA với AA thì ln cho kiểu gen AA. Do đó xác suất của thế hệ con AA , Aa và
aa tương ứng là 1, 0 và 0.
 Nếu lai Aa với AA thì con sẽ có một nửa cơ hội để có gen AA và một nửa gen Aa. Do
đó xác suất của của AA, Aa và aa tương ứng là 1/ 2; 1/ 2 và 0.


9
 Nếu lai aa với AA thì ln cho kiểu gen Aa. Do đó, xác suất của các kiểu gen AA, Aa

và aa tương ứng là 0, 1 và 0.
Khung này được thể hiện qua bảng sau đây:
Kiểu gen của cha mẹ
Kiểu gen của con
AA – AA
AA – Aa
AA – aa
1
0
AA
1/ 2
0
1
Aa
1/ 2
0
0
0
aa

1 1 / 2 0 
Ma trận sau là kết quả của sự quan sát: A  0 1 / 2 1  .
0 0 0 
0 
1  1 / 2 




Trong đó các cột  0  , 1 / 2  và 1  tương ứng là AA lai với AA, AA lai với Aa và AA lai với

 0 
 0   0 
aa.
Giả sử sự phân bổ ban đầu của bò là đồng đều ở các kiểu gen. Do đó vectơ phân phối ban đầu
1 / 3
x0 được cho là: x0  1 / 3 .
1 / 3
1 1/ 2 0  1/ 3 1/ 2
Một năm sau đó, sự phân bổ là x1  Ax0  0 1/ 2 1  1/ 3  1/ 2  .
0 0 0 1/ 3  0 
Sau một năm nữa thì sự phân bổ sẽ là:
1 1/ 2 0  1 1/ 2 0  1/ 3 3 / 4 
x2  Ax1  A2 x0  0 1/ 2 1  0 1/ 2 1  1/ 3  1/ 4  .
0 0 0 0 0 0 1/ 3  0 
Sau n năm thì sự phân bổ sẽ là: xn  An x0 .
1
* Xét A   I  0 ta được các giá trị riêng 1  0; 2  ; 3  1 .
2
+ Không gian con riêng E  1  ứng với giá trị riêng 1  0 là không gian nghiệm của hệ

1

a

b0

2
a  c

1


 b  c  0  b  2c
2
c 

0c  0


Vậy E  1   c 1; 2;1 | c 

.

Do đó dim E  1   1 và có một cơ sở là B1  1; 2;1 .
+ Không gian con riêng E  2  ứng với giá trị riêng 2 

1
là không gian nghiệm của hệ
2


10

1
1
a

b0
2
a  b
2



 b 
c  0
 1

c  0
 c  0
 2
Vậy E  2   b  1;1;0  | b 

.

Do đó dim E  2   1 và có một cơ sở là B2   1;1;0  .

+ Không gian con riêng E  3  ứng với giá trị riêng 3  1 là không gian nghiệm của hệ

1
2 b  0
a 

 1

 b  c  0  b  0
 2

c  0
 c  0



Vậy E  3   a 1;0;0  | a 

.

Do đó dim E  3   1 và có một cơ sở là B3  1;0;0 
Vì các khơng gian con riêng đều có số chiều bằng số bội của các giá trị riêng tương ứng nên
A chéo hóa được.
 1 1 1 
0 0 0 


Do đó ta có ma trận nghịch đảo P   2 1 0  và ma trận chéo D  0 1 / 0  sao cho
 1 0 0 
0 0 1 

D  P 1 AP.
Theo mệnh đề 2, ta có An  PDn P1.
0
 1 1 1  
Suy ra An   2 1 0  0


 1 0 0  
0
1

1 1  2 n

1
n

Suy ra A  0

2n
0
0



0
1
2n
0

1 
2n 1 

1 
.
2n 1 
0 


1

1

0


0

2n
0
0
1




1


0  0 1 2   0

2n

1 1 1  
1  
0
0



1
 0 0 1 
0  0 1 2 

1 1 1 
0  


11

1
1  1  
1

1 1  2n 1  2n 1   3  1  2n 

  

1
1  1   1 

Như vậy sau n năm thì sự phân bổ sẽ là xn  0
.


2n
2n 1   3   2n 
0
 1   0 
0
0

  


  3  


1
1
Bây giờ nếu n tiến ra vô cùng  n    thì n và n1 tiến về 0. Khi đó xn sẽ tiến tới
2
2
1 
 0  Nghĩa là kiểu gen AA kết hợp với bất kì kiểu gen nào cũng cho ra tỉ lệ con AA gần 100%
 
 0 
khi n tiến ra vô cùng.
1.2. Mối liên hệ giữa thú bị ăn thịt và thú ăn thịt [2, 5.6]
Trong rừng cây Redwood của California, chuột rừng cung cấp lên đến 80% chế độ ăn cho cú
(loài ăn thịt chính của chuột rừng). Ta biểu thị số lượng cú và chuột rừng tại thời gian k bởi
O 
xk   k  trong đó Ok là số lượng cú được tính theo k tháng và Rk là số lượng chuột được
 Rk 
nghiên cứu qua k tháng. Giả sử:
Ok 1  (0,5)Ok  (0, 4) Rk

Rk 1   p.Ok  (1,1).Rk
Trong đó, p là một tham số dương cho trước, (0,5)Ok trong phương trình đầu tiên thể hiện
nếu khơng có chuột rừng để làm thức ăn cho cú thì chỉ có một nửa những con cú sẽ tồn tại
trong mỗi tháng, nếu số lượng chuột dồi dào thì  0, 4  Rk làm tăng số cú lên. Trong phương
trình thứ hai, (1,1) Rk biểu thị rằng nếu khơng có cú săn mồi thì các con chuột rừng sẽ tăng
10% mỗi tháng, trong khi  p.Ok thể hiện số lượng chuột giảm do bị cú ăn thịt.
Ok 
0,5 0, 4 
Ta có xk 1  Axk , với A  
và xk    .


  p 1,1 
 Rk 
a 
Giả sử ban đầu số cú là a và số chuột gỗ trong rừng là b. Khi đó ta có: x0   
b 
Giả sử xét p  0,104, ta có:
Sau 1 tháng, số cú và số chuột của khu rừng sẽ được biểu thị: x1  A.x0 .
Sau 2 tháng, số cú và số chuột của khu rừng sẽ được biểu thị: x2  A.x1  A2 x0 .
Sau k tháng, số cú và số chuột của khu rừng sẽ được biểu thị: xk  Ak x0 .
* Xét A   I  0 ta được các giá trị riêng 1  1,02; 2  0,58.

+ Không gian con riêng E  1  ứng với giá trị riêng 1  1,02 là không gian nghiệm của hệ
10

0,52 x1  0, 4 x2  0
 x1  x2

13

0,104 x1  0,08 x2  0

 x2 


12
 10


Vậy E  1  =  x2 ; x2  | x2   .


 13

Do đó dim E  1  =1 và có một cơ sở là B1  10; 13 .

+ Không gian con riêng E  2  ứng với giá trị riêng 2  0,58 là không gian nghiệm của hệ

0,08 x1  0, 4 x2  0
 x  5 x2
 1

0,104 x1  0,52 x2  0
 x2 
Vậy E  2  =  5 x2 ; x2  | x2  

Do đó dim E  2  = 1 và có một cơ sở B2   5; 1
Vì các khơng gian con riêng đều có số chiều bằng số bội của các giá trị riêng tương ứng nên
A chéo hóa được.
0 
1,02
10 5
Từ đó ta có ma trận chéo D  
và ma trận khả nghịch P  

 sao cho
0,58
 0
13 1

D  P 1 AP.
Theo mệnh đề 2, ta có Ak  PDk P1 .

10 5 (1,02)
Suy ra Ak  

13 1  0

k

 1

0   55

(0,58) k   13
 55

1 
11 

2 
11 

k
k
k
k
10 1,02   10  0,58  
1  2 1,02   13  0,58 
.
 
11  2,6 1,02 k  2,6  0,58 k 13 1,02 k  2  0,58 k 



Vậy sau k tháng thì số lượng cú và chuột sẽ được biểu thị là:
k
k
k
k
10 1,02   10  0,58    a 
1  2 1,02   13  0,58 

xk  
11  2,6 1,02 k  2,6  0,58 k 13 1,02 k  2  0,58 k  b 


k
k
1  10b  2a 1,02   13a  10b  0,58 
.
 
11 13b  2,6a 1,02 k   2,6a  2b  0,58 k 



Bây giờ nếu k tiến ra vô cùng  k    thì tỉ lệ giữa cú và chuột là

10b  2a
.
13b  2,6a

1.3. Ứng dụng của dãy Markov về dự đoán dân số [2, 4.9]
Mỗi năm 5% dân số của thành phố di chuyển đến vùng ngoại ô, và 3% dân từ ngoại ô di

chuyển đến thành phố.
0,95 0,03
Gọi A  
 là ma trận thể hiện số dân thay đổi khi di chuyển giữa hai vùng, với
0,05 0,97 
5% dân số thành phố rời đi và ở khu vực ngoại ô là 3% dân số của vùng rời đi.
Hàng thứ nhất của A biểu thị ở thành phố có 95% dân số thành phố và 3% là dân số ở vùng
ngoại ô đến sống ở thành phố, cịn hàng thứ hai là ở vùng ngoại ơ có 5% dân số ở thành phố
sinh sống ở ngoại ô và 97% dân số vùng ngoại ô (sao cho theo cột thì tổng dân số ở 2 vùng
thành phố và ngoại ơ đều là 100%). Khi đó ta có:


13
thành phố ngoại ô
 0,95 0,03 thành phố
0,05 0,97  ngoại ô


Giả sử trong năm 2000 dân số ở thành phố là 600000 người và ở ngoại ô là 400000 người.
Vậy dân số của năm 2001 và năm 2002 di chuyển là bao nhiêu nếu ở khu vực thành phố có
3% dân số ngoại ơ đến sinh sống, cịn ở khu vực ngoại ơ thì có 5% dân số thành phố đến sinh
sống? Cũng như sự thay đổi dân số ở hai khu vực ngoại ô và thành thị sẽ tăng giảm như thế
nào sau k năm?
 600000 
Gọi x0  
 là dân số ban đầu ở hai vùng thành phố và ngoại ô của năm 2000.
 400000 
Năm 2001 dân số ở hai vùng thành phố và ngoại ô biểu thị qua:
0,95 0,03 600000 582000
x1  Ax0  

  400000   418000 .
0,05
0,97


 

Năm 2002 dân số ở hai vùng thành phố và ngoại ô biểu thị qua:
0,95 0,03 0,95 0,03 600000  565440 
x2  Ax1  A2 x0  




0,05 0,97  0,05 0,97   400000  434560 

Sau k năm (kể từ năm 2000) thì sự phân bổ sẽ là: xk  Ak x0 .
* Xét A   I  0 ta được các giá trị riêng 1  1; 2  0,92.

+ Không gian con riêng E  1  ứng với giá trị riêng 1  1 là không gian nghiệm của hệ
3

0,05 x1  0,03x2  0
 x1  x2

5

0,05 x1  0,03 x2  0

 x2 

 3


Vậy E  1  =  x2 ; x2  | x2   .

 5

 3  
Do đó dim E  1  = 1 và có một cơ sở B1   ; 1  .
 5  
+ Không gian con riêng E  2  ứng với trị riêng 2  0,92 là không gian nghiệm của hệ

0,03x1  0,03x2  0
 x   x2
 1

0,05 x1  0,05 x2  0
 x2 

Vậy E  2  =

  x ; x  | x
2

2

2



.

Do đó dim E  2  = 1 và có một cơ sở B2  {(1;1)} .
Vì các khơng gian con riêng đều có số chiều bằng số bội của các giá trị riêng tương ứng nên
A chéo hóa được.
0 
0,6 1
1
Do đó ta có ma trận nghịch đảo P  
và ma trận chéo D  

 sao cho
1
1
0
0,92





D  P 1 AP.
Theo mệnh đề 2, ta có Ak  PDk P1 .


14

0,6 1 1
Suy ra Ak  


1  0
 1

  0,625 0,625

 0,92    0,625 0,375
0

k

0,375  0,625  0,92 k 0,375  0,375  0,92 k 
.

k
k
0,625  0,625  0,92  0,625  0,375  0,92  
Vậy sau k năm (kể từ năm 2000) thì sự phân bổ sẽ là:
0,375  0,625  0,92 k 0,375  0,375  0,92 k  600000 

xk  

k
k 
0,625  0,625  0,92  0,625  0,375  0,92    400000
375000  225000  0,92 k 
.
Hay xk  
k
625000  225000  0,92  
375000 

k
Bây giờ nếu k tiến ra vô cùng  k    thì  0,92   0 Khi đó xk sẽ tiến tới 
.
625000



1.4. Tính số hạng tổng quát của dãy Fibonacci
Dãy Fibonacci  Fn  là dãy các số nguyên được xác định bởi F0  0, F1  1 và
Fn1  Fn  Fn1 với mọi n  .
 Fn1  0 1  Fn 
Ta có: 



 Fn 2  1 1  Fn1 
 Fn1 
 Fn 
0 1
,
A

,
X

Đặt X n1  

1 1 n  F  .



 Fn 2 
 n1 
Khi đó: X n1  AX n  A2 X n1  ...  An X1  X n  An X 0 .
* Tính An
Xét det  A   I   0 ta được các giá trị riêng 1 

1 5
1 5
; 2 
.
2
2

 1  5
 x1 
x1  x2  0

1 5
 2

+ Với 1 
ta có: 

1 5
2
x1
x  1 5 x  0
 x2 
2


2
 1
2
1 5
Khi đó khơng gian con riêng ứng với giá trị riêng 1 
là
2

 1  5   1  5 
V
x1  x1    1; 1 
   x1;
2
 2  



1 5 
1 5 
 1 cơ sở của V 
 là 1; 1  ,dimV 
  1.
2
2




 5 1
 x1 

x1  x2  0

1 5
 2

+ Với 2 
ta có: 

1 5
2
x1
x  1 5 x  0
 x2 
2

1
2

2


15

Khi đó khơng gian con riêng ứng với giá trị riêng 2 

1 5
là
2



 1  5   1  5 
V
x1  x1    1; 2 
   x1;
2
 2  


1 5 
1 5 
 1 cơ sở của V 
 là 1; 2  ,dimV 
  1.
2
2




Vì các khơng gian con riêng đều có số chiều bằng số bội của các giá trị riêng tương ứng nên
A chéo hóa được.
1 1 
 0 
 T 1 AT   1
Đặt T  

B
1 2 
 0 2 
1

 1n
0 1 1 
2 n   1 1 
Khi đó A  TB T
  n1


2 n  1 2 
2 n1  1 2 
1
1  2 1
Ta có: det T  2  1   5  0 nên T 1 


5  1 1 
n
2 n   2 1 1  21n  12 n
2 n  1n 
1  1
n
Suy ra A 





5 1n1 2 n1   1 1 
5 21n1  12 n1 2 n1  1n1 
n

n

1

 1 1  1n


1 2   0

1

n
n
2 n  1n  0 1  2 n  1n 
1  21  12

  


5 21n1  12 n1 2 n1  1n1  1 
5 2 n1  1n1 
 Fn  1  2 n  1n 
Hay 



5 2 n1  1n1 
 Fn1 
n

n
1 
1 5  1 5 .
Suy ra Fn  n

2 5 

Suy ra X n 



 



2. Hệ động lực tuyến tính liên tục [2, 5.7]
Ở mục này chúng ta sẽ quan tâm đến những phương trình khác biệt tương tự mục 1 nhưng nó
liên tục và có dạng như sau:
x1  a11 x1  a12 x2   a1n xn

x2  a21 x1  a22 x2 

 a 2 n xn

xn  an1 x1  an 2 x2 

 ann xn

Trong đó, x1 , x2 , , xn là các hàm khả vi biến t và các đạo hàm tương ứng x1 , x2 ,
aij là các hằng số. Ta viết lại hệ dưới dạng phương trình ma trận:

x  t   A.x  t  (1)

, xn và


16

 x  t  
 x1  t  
 a11
 1



a
 x2  t  
x2  t  


Ở đây x  t   
và A   21
 , x t   







  

xn  t  

 an1

x
t
 n   
1 0
0 
2
Xét x  t   D.x  t  với D  


0 0

Hay xi  t   i xi  t  với i  1,2,

0
0 
, ta có:


n 

a12
a22
an 2

a1n 
a21 

.


ann 

 x  t    x t 
1 1
 1
 x   t    x  t 
2
2 2



 xn  t   n xn  t 

,n.

 e it .xi  t   i e  it .xi  t   0
 e it .xi  t    0





 e it .xi  t   ci (hằng số)

 xi  t   ci eit

 x  t  

1t
1 
0
 1
  c1e 



0
2t 
 x2  t   c2e
0  1t



Khi đó ta có: 
 c1
e   cn   ent .





 







 
   c ent 
0


1 
n


 xn  t  
Trường hợp trên có thể đề xuất nghiệm của phương trình (1) là tổ hợp tuyến tính của vet với
 là một giá trị riêng của A và v là vectơ riêng của A tương ứng với giá trị riêng .
Thật vậy, thế x  vet vào phương trình (1) ta được: vet  Avet hay v  Av.
Do đó nghiệm tổng quát của phương trình (1) sẽ có dạng:
x  c1v1e1t  c2v2e2t   cnvnent với v1 , v2 , , vn là các vectơ riêng của A ứng với giá trị
riêng 1 , 2 , , n .


17

2.1. Ứng dụng trong mạch điện [2, 5.7]
Cho mạch điện như hình vẽ sau: [2, Hình 1, trang 312]

Gọi x1 (t ) và x2 (t ) là điện áp đi qua 2 tụ điện C1 , C2 trong thời gian t và i, i1 , i2 lần lượt là
cường độ dòng điện đi qua R1 , C1 , C2 .
Theo Định luật Kirchhoff ta có:
(1) i  i1  i2 ( với i1  C1 x1 và i2  C2 x2 )
(2) iR1  x1  0
(3) iR1  x2  i2 R2  0
Suy ra

x1 (t )  iR1  (i1  i2 ) R1  C1R1 x1 (t )  C2 R1 x2 (t )
x2 (t )  iR1  i2 R2  C1R1 x1 (t )  C2 R1 x2 (t )  C2 R2 x2 (t )
Dẫn đến phương trình ma trận sau:
 1
1 
1 


/
C
 x  t     R R  1 R C   x t  
1
2 
2 1 
 1
  1


  x2  t  
 x   t  
1

1

 2
 

R
C

R
C
2 2
2 2


1
Giả sử điện trở R1  1   , R2  2    , tụ điện C1  1 F  , C2   F  và giả sử ban đầu có
2
5 V  trên tụ C1 và 4 V  trên tụ C2 . Chúng ta đi tìm cơng thức mơ tả điện thế thay đổi qua

x1  t  và x2  t  theo thời gian.

 1
1 
1 
     / C1
  3 1 
 x1  t  
R
R
R
C
1
2
2
1


 2

Đặt A  
2  , x t   
 , ta có: x  t   Ax  t  .




x
t
1
1
 2   

  1 1
R2C2
R2C2 

Theo mục 2 chương II, ta có: xi  t   ci vi e t , với i  1, 2.
i

Do đó x  t   c1v1e t  c2v2e t với vi là các vectơ riêng, i là các giá trị riêng của A  i  1, 2  .
1

2

* Xét A   I  0 ta được các giá trị riêng 1 

1
; 2  2
2