CAC DANG TOAN HINH HOC 11 CHUONG III

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chương III: QUAN HỆ VUÔNG GÓC VẤN ĐỀ 1: Chứng minh một đẳng thức vectơ.  Dựa vào qui tắc các phép toán về vectơ vàcác hệ thức vectơ.    AB  BC  AC AB  AC CB + Quy taéc 3 ñieåm: A, B, C tuøy yù. Tacoù:   ;   OA + Quy taéc trừ: O, A, B tuøy yù. Ta coù: 0 B  OA  AB ; ABOB   AB  AD  AC + Qui taéc hình bình haønh: ABCD laø hình bình haønh      + Qui tắc hình hộp: ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp  AB  AD  AA '  AC ' + Neáu I laø trung ñieå m AB, M tuø y yù.Tacoù:       IA  IB  IA  IB 0 hay AI  BI 0 vaø MA  MB 2MI + Neá u G  laø troïng taâm tam giaù  cABC,  M tuøy yù. Ta coù:   GA  GB  GC 0 hay AG  BG  CG 0 vaø MA  MB  MC 3MG   AB  BA + 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD, I là trung điểm của EF. CM          . a) IA  IB  IC  ID 0 . b) MA  MB  MC  MD 4 MI , với M tuỳ ý. 2. Cho tứ Gọi G là trọng tâm BCD , Olà trung   điểm  đoạn  AG. CMR:  diện   ABCD.   a) 3OA  OB  OC  OD 0 b) 3MA  MB  MC  MD 6 MO. 3. Cho tứ diện ABCD .Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC .G là trọng tâm của tam giác BCD. Chứng minh rằng :. VẤN ĐỀ 2: Tích vô hướng và ứng dụng.  Góc giữa hai vectơ trong không gian:       AB u, AC v  (u , v ) BAC (00 BAC 1800 )  Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:         u , v  0 u , v 0 là: u.v  u . v .cos(u, v ) + Cho . Tích vô hướng của 2 vectơ     u  0 hoặ c v 0 . Qui ước: u.v 0 + Vớ i    + u  v  u.v 0   2 AB  AB  AB  Tính độ dài 1 đoạn thẳng:. 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Tất cả các cạnh bên và cạnh đáy của hình chóp  = a. Tính các tích vô hướng:   a) SA.SB b) SA.SC c) SA.BA 2. Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là hai tam giác đều cạnh a. Chứng minh rằng AB và CD vuông góc với nhau. VẤN ĐỀ 3: Góc giữa hai đường thẳng.  Hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau: góc giữa chúng bằng 00  Hai đường thẳng vuông góc: góc giữa chúng bằng 900    Nếu u , v lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng a, b và (u, v )  thì: góc giữa 2 đường  neáu 0 0  90 0 0 0 0 thẳng a, b bằng: 180   neáu 90   180  Góc giữa 2 đường thẳng là góc giữa 2 đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với 2 đường thẳng đó.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 1. Cho tứ diện S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a, BC = a 2 . Tính góc giữa  a) 2 vectơ AB vaø SC b) 2 đường thẳng AB và SC VẤN ĐỀ 4: Chứng minh 2 đường thẳng vuông góc.  Chứng minh 2 đường thẳng vuông góc ta thực hiện 1 trong các cách sau: CM: góc giữa 2 đường thẳng đó bằng 900 CM: 2 VTCP của 2 đường thẳng đó vuông góc (tích vô hướng của 2 VTCP = 0)  a ( P )  ab  b  ( P ) CM:  a  (P )  ab  b  ( P ) CM: . Sử dụng định lý 2 đường vuông góc: a '  b  a  b với a’ là hình chiếu của a lên mặt phẳng chứa b. Sử dụng các tính chất của hình học phẳng: định lí Pitago, các hệ thức lượng trong tam giác, tính chất trong hình chữ nhật, hình vuông, hình thoi.   0 1’. Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và BAC BAD 60 . CMR: AB  CD 1. Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng nhau. CMR: AC  B’D’, AB’  CD’, AD’  B’C    2. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và ASB BSC CSA . CMR: SA  BC, SB  AC, SC  AB 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD vuông ở A và B, AD = 2AB = 2BC. a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông. b) Gọi I là trung điểm của AD. Chứng minh BI  SC và CI  SD. 4. Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABC), AB = AC, I là trung điểm của BC, AH  SI. Chứng minh: a) BC  AH.. b) AH  SB. VẤN ĐỀ 5: Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng..  Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng ta thực hiện 1 trong các cách sau: CM: đường thẳng đó vuông góc với 2 đường thẳng cắt nhau cùng nằm trong mặt phẳng thì CM: 2 đường thẳng song song, mặt phẳng nào vuông với đường thẳng này thì cũng vuông  a // b  a  (P)  b  ( P )  với đường thẳng kia.. CM: 2 mặt phẳng song song, đường thẳng nào vuông với mặt phẳng này thì cũng vuông với  a  (Q )  a  (P)  ( Q ) //( P )  mặt phẳng kia.. CM: 2 mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất kì đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này ( P )  (Q) d   a  ( P) a  (Q ) a  d . vuông góc với giao tuyến thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia. CM: 2 mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với 1 mặt phẳng thứ 3thì giao tuyến của chúng ( P )  (Q)   a  ( P) ( P )  ( R ) (Q )  ( R ) a . cũng vuông góc với mặt phẳng thứ 3. 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy. CMR:.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> a) BC  (SAB) b) BD ⊥(SAC) 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Biết rằng SA = SC, SB = SD. CMR: a) SO  ( ABCD ) b) BD ⊥(SAC) c) AC  (SBD ) 3. Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại B; SA  (ABC). a) Chứng minh: BC  (SAB). b) Gọi AH là đường cao của SAB. Chứng minh: AH  SC 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, cạnh bên SA (ABC). Gọi I là trung điểm của BC. a) Chứng minh rằng: BC  (SAI ) . b) Gọi AH là đường cao của tam giác SAI. Chứng minh rằng: AH  (SBC ) . 5. Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết: SA = SC, SB = SD. a) Chứng minh: SO  (ABCD). b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC. CMR: IJ  (SBD). 6. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy là hình thoi tâm O, SA = SC, SB = SD. SO   ABCD  a) CMR: IK   SBD  , IK  SD b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BA, BC. CMR: 7. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và SC = a 2 . Gọi H và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD. CMR:. a) SH  (ABCD). b) AC  SK vaø CK  SD. 8. Cho tứ diện ABCD có AC = AD và BC = BD.Gọi M là trung điểm của CD, H là chân đường cao kẻ từ A của tam giác AMB. Chứng minh rằng: a) CD  (AMB). b) AH  (BCD). 9. Cho tứ diện ABCD có DA  (ABC). Gọi H, K lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và tam giác BCD. Chứng minh rằng: a) HK  (BCD). b) BD  (CHK). 10. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều. Gọi H, I lần lượt là trung điểm của AB và CD, cho SC = a 2 , HK  SI. Chứng minh rằng: a) SH  (ABCD). b) HK  (SDC). 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD, SA  (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, SC. Chứng minh: a) BD  (SAC). b) MN  (SAB). 12. Cho hình chóp S.ABC có SB  (BCD). Gọi H là trực tâm tam giác BCD. Chứng minh rằng: a) DH  (ABC). b) CH  (ABD). c) CD  (ABH). 13. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, cạnh bên SA ( ABC) . a) Chứng minh rằng: BC ⊥(SAB) . b) Gọi M là trung điểm của AC. Chứng minh rằng: BM ⊥(SAC) . 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bên SA ⊥ (ABCD) a) Chứng minh rằng: BD ⊥(SAO) . b) Gọi M là trung điểm của CD. Chứng minh rằng: OM ⊥(SAB) . 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA (ABCD) . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD. CMR: a) BC  (SAB), BD  (SAC). b) SC  (AHK). c) HK  (SAC). 16. Cho hình vuông ABCD. Gọi H, K là trung điểm AB, AD. Trên đường thẳng vuông góc với mp(ABCD) tại H, lấy điểm S (khác H). Chứng minh: a) AC  (SHK). b) CK  SD. 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, tâm O và AB = SA = a, BC = a √ 3 , SA  (ABCD). a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông..

<span class='text_page_counter'>(4)</span> b) Gọi I là trung điểm của SC. Chứng minh IO (ABCD). c) Tính góc giữa SC và (ABCD). 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O và SA = SC = SB = SD = a 2 . a) Chứng minh SO  (ABCD). b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh IKSD c) Tính góc giữa SB và (ABCD). VẤN ĐỀ 6: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.  Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: + Nếu đt  mp(P)  góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là 90o. + Nếu đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng Tìm hình chiếu vuông góc (hình chiếu) của đường thẳng đó lên mặt phẳng Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt.  Tìm hình chiếu của điểm lên mặt phẳng: Điểm  mặt phẳng ( M  ( ) )  hình chiếu của điểm là chính nó. Điểm  mặt phẳng ( M  ( ) )  từ điểm đó kẻ đường vuông góc với mặt: MH  ( ) ( H  ( ) )  hình chiếu của M là H  Tìm hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng: Tìm hình chiếu của 2 điểm thuộc đường thẳng đó lên mặt phẳng. 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SA = a và vuông góc với đáy. Tính góc giữa a) SB và CD. (CD // AB) b) SC và mp(ABCD) 2. Cho Cho tứ diện SABC, a) SB và mp(ABC).. SA   ABC . , SA = a, AB a 3 , tam giác SBC cân tại S. Tính góc giữa: b) SC và mp(ABC).. 2’. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình chữ nhật, AB = SA = a, AD a 3 , SA   ABCD  Tính góc giữa: a) SB và (ABCD). b) SD và (ABCD). c) SD và (SAB). 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là vuông ABCD tâm O cạnh a, SA   ABCD  , SA a 6 . Tính góc giữa SC và mp(ABCD). 4. Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SA  (ABCD) và SA = a 6 . Tính góc giữa: a) SC vaø (ABCD) b) SC vaø (SAB) c) SB vaø (SAC) d) AC vaø (SBC) 5. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang vuông tại A, SA  với đáy, AD = 2BC = 2AB = 2a, SA = a 3 . Tính góc giữa: a) Các cạnh bên của hình chóp với mặt đáy (ABCD). b) SB, SC với mặt bên (SAD). 6. Cho lăng trụ ABC.A/B/C/, ABC là tam giác vuông cân, AB = BC = a; B /A = B/B = B/C = a. Tính góc giữa B/B với mặt phẳng (ABC) và mặt phẳng (B/AC). 7. Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với AB và BC, tam giác ABC vuông cân tại đỉnh B, cạnh AB = a, AD = a 2 . Tính góc giữa: a) DB và (ABC). b) CD và (ABD). c) AC và (ABD). 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA  với đáy, SA = a. Tính góc giữa: a) Các cạnh bên và mặt đáy. b) Cạnh SC và mặt bên (SAD). c) Cạnh bên SB và mặt phẳng (SAC)..

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 9. Cho tứ diện SABC có các cạnh bên SA = SB = SC = a và cùng tạo với đáy (ABC) các góc bằng nhau, biết AB = AC = 2BC = a. Tính góc giữa: a) SA và (ABC). b) SA và (SBC). 10. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Từ trung điểm H của AB kẻ đường thẳng d vuông góc với mặt. SH . a 3 2 .Tính góc giữa:. phẳng (ABC). Trên d lấy điểm S sao cho a) SA với (ABC). b) SC với (ABC).. c) SH với (SBC)..  0 11. Cho hình hộp ABCD.A/B/C/D/ có tất cả các cạnh đều bằng a, BAC 120 ; A/B = A/D = A/A. Tính góc giữa A/A và A/C/ với mặt phẳng đáy.. VẤN ĐỀ 7: Góc giữa 2 mặt phẳng..  Góc giữa 2 mặt phẳng: Muốn tìm góc giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q) ta có thể sử dụng 1 trong các cách sau:  Tìm a  (P), b  (Q)  góc giữa 2 mặt phẳng là góc giữa 2 đường thẳng vừa tìm. a  c taïi I , a  ( P)   Tìm: (P)  (Q) = c và b  c taïi I , b  (Q)  góc giữa 2 mặt phẳng là góc giữa 2 đường thẳng vừa tìm. 1. Cho tứ diện ABCD có AD  (BCD) và AB = a. Biết BCD là tam giác đều cạnh 2a. Tính góc giữa hai mp(ACD) và (BCD). 2. Cho Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SA = a và SA vuông đáy. Tính góc giữa 2 mặt phẳng: a) (SBD) và (ABCD) b) (SCD) và (ABCD). 3. Cho hình chóp SABC, có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA = BC = a; SA  (ABC) và SA = a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC. Tính gĩc giữa 2 mặt phẳng: a) (SAC) và (SBC). b) (SEF) và (SBC). 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông đỉnh B, AB = a, BC = a 3 , SA = 2a và vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của AB. Tính góc giữa 2 mặt phẳng: a) (ABC) và (SBC). b) (SCM) và (ABC). VẤN ĐỀ 8: Chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc.  Chứng. minh hai maët phaúng vuoâng goùc: * Để chứng minh (P)  (Q), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:  Chứng minh trong mặt phẳng này chứa 1 đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia  Chứng minh góc giữa 2 mặt phẳng bằng 900 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy. CMR: a) (SBC )  (SAB) . b) (SBD )  (SAC ) . 2. Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác cân tại A. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với (ABC). Gọi M là trung điểm của BC, dựng AH vuông góc với SM tại H. CMR: a) SA  ( ABC ) b) (SBC )  (SAM ) . c) ( AHC )  (SBC ) . 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B có AB = BC = a, cạnh bên SA ⊥ (ABC) và SA = a. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của SB và AC. Chứng minh rằng: a) ( AEC )  (SBC ) . b) (SFB)  (SAC ) . 4. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thoi có SA = SC, SB = SD. Chứng minh rằng: a) (SAC)⊥( ABCD) . b) (SAC)⊥(SBD) . 5. Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và DBC là hai tam giác cân có chung cạnh đáy BC. Gọi I là trung điểm của BC, AH là đường cao của tam giác ADI. Chứng ming rằng: a) (ABC)⊥(AID) . b) ( AID)⊥( BCD) ..

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 6. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông, SA a) Chứng minh rằng: (SAC)⊥(SBD) .. (ABCD).. b) Gọi BE và DF là hai đường cao của Δ SBD . CMR: ( ACF )  (SBC ) vaø ( AEF )  (SAC ) 7. Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD cùng vuông góc với đáy DBC. Vẽ các đường cao BE, DF của BCD, đường cao DK của ACD. a) Chứng minh: AB  (BCD). b) Chứng minh: 2 mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với mp(ADC). 8. Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông, SA  (ABCD). a) Chứng minh (SAC)  (SBD). b) Gọi BE, DF là hai đường cao của SBD. CMR: (ACF)  (SBC), (AEF)  (SAC). 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = a 3 . SA = a và SA vuông góc (ABCD) . a) Chứng minh: (SBC)  (SAB) và (SCD)  (SAD) b) Tính góc giữa (SCD) và (ABCD) 10. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = 2a, AD = CD = a, cạnh SA vuông góc với đáy và SA = a . a) Chứng minh: (SAD)  (SCD) và (SAC)  (SBC) . b) Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) . Tính tan  . 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD) và SA a 2 . a) CMR: Các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông. b) CMR: (SAC)  (SBD) . c) Tính góc giữa SC và (ABCD), SC và (SAB). d) Tính tang của góc  giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). a 3 SA SB SD  2 và 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a,  BAD 60 0 . Gọi H là hình chiếu của S trên AC. a) CMR: BD  (SAC) và SH  (ABCD) . b) CMR: AD  SB . c) CMR: (SAC)  (SBD). d) Tính sin của góc  giữa SD và (SAC), côsin của góc  giữa SC và (SBD).  0 13. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A, AB = BC = a và ADC 45 . Hai mặt bên SAB, SAD cùng vuông góc với mặt đáy và SA = a 2 . a) CMR: BC  mp(SAB). b) CMR: CD  SC . c) Tính góc giữa SC và (ABCD), SC và (SAB), SD và (SAC). d) Tính góc giữa mp(SBC) và mp(ABCD) 14. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình chữ nhật, (SAB)  (ABCD), AB = a, AD = a 2 . a) CMR: SA  (ABCD), (SAD)  (SCD) b) AH là đường cao. CMR: AH  (SBC), (SBC)  (AHC) c) CMR: DH  SB d) Tính góc giữa (SAC) và (SAD) 15. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông tâm O cạnh a, SA = a, SA  (ABCD) a) CMR: (SAB)  (SAD); (SBC)  (SAB); (SCD)  (SAD) b) CMR: (SAC)  (SBD) c) Gọi AI, AJ là đường cao SAB, SAC. CMR: (SCD)  (AI J) d) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) & (ABCD), (SBD) & (ABCD).

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 16. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi I, J là trung điểm AB, CD. Trên đường thẳng vuông góc (ABCD) tại I lấy S. a) CMR: BC  (SAB), CD  (SI J) b) CMR: (SAD)  (SBC), (SAB)  (SI J) c) Gọi M là trung điểm BC. CMR: (SIM)  (SBD) d) SI = a. Tính góc giữa (SCD) và (ABCD) 17. Cho h`chóp đều S.ABCD, O là tâm ABCD. Gọi I là trung điểm AB, cho SA = a, AB = a. a) CMR: (SAC)  (SBD), (SOI)  (ABCD) b) CMR: (SIO)  (SCD) c) Gọi OJ là đường cao  SOI. CMR: OJ  SB d) Gọi BK là đường cao  SBC. CMR: (SCD)  (BDK) e) Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy. 18. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a tâm O. Cho (SAB)  (ABCD), (SAD) vuông góc với (ABCD). a) CMR: SA  (ABCD), BD  (SAC) b) Gọi AH, AK là đường cao. CMR: AH  BD, AK  (SCD) c) CMR: (SAC)  (AHK) d) Tính góc giữa (SAC) và (SCD) (biết SA = a) 19. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a tâm O. SA  (ABCD), SA = a. a) CMR: các mặt bên hình chóp là các tam giác vuông b) CMR: BD  SC c) Tính góc giữa SC & (ABCD); (SBD) & (ABCD) d) Tính góc giữa (SCD) & (ABCD). 20. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác  tại C và SB (ABC), biết AC = a √ 2 , BC = a, SB = 3a. a) Chứng minh: AC (SBC) b) Gọi BH là đường cao của tam giác SBC. Chứng minh: SA BH. c) Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) 21. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng. a √5 . Gọi O là tâm của 2. hình vuông ABCD, M là trung điểm của SC. a) b) c) d). Chứng minh: (MBD) (SAC) Tính góc giữa SA và mp(ABCD) . Tính góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD). Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) VẤN ĐỀ 8: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. * Phương pháp: Dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b. Cách 1: Giả sử a  b:  Dựng mặt phẳng (P) chứa b và vuông góc với a tại A.  Dựng AB  b tại B  AB là đoạn vuông góc chung của a và b. Cách 2: Sử dụng mặt phẳng song song.  Dựng mặt phẳng (P) chứa b và song song với a.  Chọn M  a, dựng MH  (P) tại H.  Từ H dựng đường thẳng a // a, cắt b tại B.  Từ B dựng đường thẳng song song MH, cắt a tại A.  AB là đoạn vuông góc chung của a và b. Chuù yù: d(a,b) = AB = MH = a(a,(P))..

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Cách 3: Sử dụng mặt phẳng vuông góc.  Dựng mặt phẳng (P)  a tại O.  Dựng hình chiếu b của b trên (P).  Dựng OH  b tại H.  Từ H, dựng đường thẳng song song với a, cắt b tại B.  Từ B, dựng đường thẳng song song với OH, cắt a tại A.  AB là đoạn vuông góc chung của a và b. Chuù yù: d(a,b) = AB = OH. 1.Cho hình tứ diện OABC, trong đó OA, OB, OC = a. Gọi I là trung điểm của BC. Hãy dựng và. tính độ dài đoạn vuông góc chung của các cặp đường thẳng: a 2 a) 2. a 5 b) 5. a 6 a) 6. a 3 b) 3. a) OA vaø BC. b) AI vaø OC. HD: 2.Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a, SA  (ABCD) và SA = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng: a) SC vaø BD. b) AC vaø SD. HD: 3.Cho tứ diện SABC có SA  (ABC). Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC. a) Chứng minh ba đường thẳng AH, SK, Bc đồng qui. b) Chứng minh SC  (BHK), HK  (SBC). c) Xác định đường vuông góc chung của BC và SA. HD: c) Gọi E = AH  BC. Đường vuông góc chung của BC và SA là AE. a 3 4.Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a, I là trung điểm của AB. Dựng IS  (ABCD) và IS = 2 .. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, SD, SB. Hãy dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của các cặp đường thẳng:. a) NP vaø AC. b) MN vaø AP.. HD:. a 3 a) 4. a b) 2. VẤN ĐỀ 9: Tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, mặt phẳng. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song * Để tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) ta cần xác định đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng (mặt phẳng). 1.Cho hình chóp SABCD, có SA  (ABCD) và SA = a 6 , đáy ABCD là nửa lục giác đều nội. tiếp trong đường tròn đường kinh AD = 2a. a) Tính các khoảng cách từ A và B đến mặt phẳng (SCD). b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC). c) Tính diện tích của thiết diện của hình chóp SABCD với mặt phẳng (P) song song với a 3 mp(SAD) và cách (SAD) một khoảng bằng 4 .. HD: a) d(A,(SCD)) = a 2 ;. a 2 d(B,(SCD)) = 2. a 6 b) 3. a2 6 c) 2.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> 2.Cho hình lăng trụ ABC.ABC có AA  (ABC) và AA = a, đáy ABC là tam giác vuông tại A. coù BC = 2a, AB = a 3 . a) Tính khoảng cách từ AA đến mặt phẳng (BCCB). b) Tính khoảng cách từ A đến (ABC). c) Chứng minh rằng AB  (ACCA) và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABC). a 3 a) 2. a 21 b) 7. a 2 c) 2. HD: 3.Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là h`v cạnh a, SA  (ABCD) và SA = 2a. a) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC), từ C đến mp(SBD). b) M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD. Chứng minh rằng MN song song với (SBD) và tính khoảng cách từ MN đến (SBD). HD:. a 2 a) a 2 ; 2. a 6 b) 3.  0 4.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và BAD 60 . Gọi O là giao điểm 3a của AC và BD. Đường thẳng SO  (ABCD) và SO = 4 . Gọi E là trung điểm của BC, F là. trung ñieåm cuûa BE. a) Chứng minh (SOF)  (SBC). b) Tính các khoảng cách từ O và A đến (SBC). HD:. 3a 3a b) d(O,(SBC)) = 8 , d(A,(SBC)) = 4 .. BÀI TẬP TỔNG HỢP HÌNH HỌC 11 CHƯƠNG III Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA  đáy , SA = a 2 .. a) b) c) d) e). Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là những tam giác vuông. CMR (SAC)  (SBD) . Tính góc giữa SC và mp ( SAB ) . Tính góc giữa hai mặt phẳng ( SBD ) và ( ABCD) Tính d(A, (SCD)) . Bài 2. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác  tại C và SB (ABC), biết AC = a √ 2 , BC = a, SB = 3a. d) Chứng minh: AC (SBC) e) Gọi BH là đường cao của tam giác SBC. Chứng minh: SA BH. f) Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC)  Bài 3. Hình chóp S.ABC. ABC vuông tại A, góc B = 600 , AB = a, hai mặt bên (SAB) và (SBC) vuông góc với đáy; SB = 2a. Hạ BH  SA (H  SA); BK  SC (K  SC). a) CM: SB  (ABC) b) CM: (BHK)  SC. c) CM: BHK vuông . d) Tính cosin của góc tạo bởi SA và (BHK). Bài 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng. của hình vuông ABCD. Và M là trung điểm của SC. e) Chứng minh: (MBD) (SAC) f) Tính góc giữa SA và mp(ABCD) . g) Tính góc giữa hai mặt phẳng ( MBD) và (ABCD).. a √5 . Gọi O là tâm 2.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> h) Tính góc giữa hai mặt phẳng ( SAB) và (ABCD) Bài 5. Cho hình lăng trụ ABC.ABC có AA  (ABC) và AA = a, đáy ABC là tam giác vuông tại. A có BC = 2a, AB = a 3 . a) Tính khoảng cách từ AA đến mặt phẳng (BCCB). b) Tính khoảng cách từ A đến (ABC). c) Chứng minh rằng AB  (ACCA) và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABC).  Bài 6. Hình chóp S.ABC. ABC vuông tại A, góc B = 600 , AB = a, hai mặt bên (SAB) và (SBC) vuông góc với đáy; SB = 2a. Hạ BH  SA (H  SA); BK  SC (K  SC). a) CM: SB  (ABC) b) CM: mp(BHK)  SC. c) CM: BHK vuông . d) Tính cosin của góc tạo bởi SA và (BHK). Bài 7. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng. a √5 . Gọi O là tâm 2. của hình vuông ABCD. Và M là trung điểm của SC. a) Chứng minh: (MBD) (SAC) b) Tính góc giữa SA và mp(ABCD) . c) Tính góc giữa hai mặt phẳng ( MBD) và (ABCD). d) Tính góc giữa hai mặt phẳng ( SAB) và (ABCD) Bài 8. Cho hình lăng trụ ABC.ABC có AA  (ABC) và AA = a, đáy ABC là tam giác vuông tại. A có BC = 2a, AB = a 3 . a) Tính khoảng cách từ AA đến mặt phẳng (BCCB). b) Tính khoảng cách từ A đến (ABC). c) Chứng minh rằng AB  (ACCA) và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABC). Bài 9. Cho h`chóp S.ABCD có đáy là HCN, tâm O và AB = SA = a,BC = a √ 3 , SA (ABCD) a. Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông. b. Gọi I là trung điểm của SC. Chứng minh IO (ABCD) c. Tính góc giữa SC và (ABCD). Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh bằng 1 và các cạnh bên bằng nhau và bằng √ 2 . a. Chứng minh (SBD) (SAC) b. Tính độ dài đường cao của hình chóp. c. Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy. Bài 11. Cho hình chóp S.ABC có đáy  ABC  tại A, SA = AB = AC = a , SA (ABC) a. Gọi I là trung điểm BC. Chứng minh BC (SAI) b. Tính SI c. Tính góc giữa (SBC) và mặt đáy. Bài 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA (ABCD) . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD. a. Chứng minh BC (SAB), BD (SAC) b. Chứng minh SC (AHK) c. Chứng minh HK (SAC) Bài 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, tâm O và SA = SC, SB = SD. a. Chứng minh SO (ABCD) b. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh IK SD Bài 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O, SA = a và SA (ABCD) a. Tính khoảng cách từ A đến (SBD). b. Chứng minh (SBC) (SAB) c. Tính khoảng cách từ C đến (SBD). Bài 15. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng a, SA = a, SA vuông góc với cạnh BC, khoảng cách từ S đến cạnh BC là a.Gọi M trung điểm BC. a) CMR: BC vuông góc với (SAM).

<span class='text_page_counter'>(11)</span> b) Tính chiều cao của hình chóp c) Dựng và tính đoạn vuông góc chung của SA và BC. Bài 16. Tứ diện S.ABC có góc ABC = 1v, AB = 2a, BC = a √ 3 , SA  (ABC), SA = 2a. Gọi M là trung điểm của AB. a) Tính góc giữa (SBC) và (ABC). b) Tính đường cao AK của tam giác AMC c) Tính góc giữa (SMC) và (ABC). d) Tính khoảng cách từ A đến (SMC).

<span class='text_page_counter'>(12)</span>