HSG toan 8 Tam Hung

<span class='text_page_counter'>(1)</span>THCS TAM HƯNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Năm học 2013-2014. Câu 1: Tìm x(6đ) a)x4 + 2014x2 + 2013x + 2014 =0. b).  2x. = 4x + 18. Câu 2:(5đ) Cho P(x) = x4 – 3x3 + 5x2 – 9x +6 a)Cho x  N* chứng minh rằng P(x)  6 b)Giải phương trình P(x) = 0 Câu 3(2đ) Cho.  1 a, b, c 1 thỏa mãn a +b +c =0. Tìm Giá trị lớn nhất của biểu thức A = a2 + b2 +c2 Câu 4(7đ) Cho đoạn thẳng AB. Gọi O là trung điểm của AB vẽ về một phía của AB các tia Ax và By cùng vuông góc với AB.Lấy điểm C trên Ax,điểm D trên tia By sao 0  cho COD 90 .. a)Chứng minh ACO BDO . b)Chứng minh CD = AC + BD. c)Gọi M là chân đường vuông góc hạ từ O đến CD .Xác định vị trí của CD để OM nhỏ nhất . - Hết-.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Đáp án Câu 1. Tìm x : a) x4 + 2014 x2 +2013 x + 2014 = 0 (1)  (x4 – x) + 2014(x2 +x +1) = 0 (0,5đ)  x(x3 – 1) + 2014(x2 +x +1) = 0 (0,5đ)  (x2 +x +1)(x2 – x +2014) =0 (0,5đ) Vì (x2 +x +1) >0 với mọi x (0,5đ) (x2 – x +2014) >0 với mọi x(0,5đ) Kết luận phương trình (1)vô nghiệm (0,5đ) b).  2x. = 4x + 18 (2). Với x<0 thì – 2x >0 suy ra.  2x. = - 2x (0,5đ). Pt (2)  - 2x = 4x +18 . x=-3. (0,5đ). Với x>0 thì – 2x <0 suy ra.  2x. = 2x (0,5đ). Pt (2)  2x = 4x +18 . x=9. (0,5đ). Kết luận pt (2) có tập nghiệm là S =.   3;9. (1đ). Câu 2 a) P(x) = x4 – 3x3 + 5x2 – 9x +6 = x4 – x3 – 2x3+ 3x2 +2x2 – 3x – 6x +6 =x3(x – 1) – 2x2(x – 1) + 3x(x – 1) – 6(x – 1) = (x – 1)(x3 – 2x2 +3x – 6) =(x – 1)(x – 2)(x2+3). (1đ). Vì x  N* nên (x – 1)(x – 2) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên trong đó có một bội của 2 Suy ra (x – 1)(x – 2)  2 Suy ra (x – 1)(x – 2)(x2 + 3)  2. (1đ).

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Nếu x = 3k thì x2 + 3 = 9k2 +3 3 nên P(x) 3 Nếu x = 3k +1 thì x - 1 = 3k +1 – 1 = 3k 3 nên P(x) 3 Nếu x = 3k +2 thì x - 2 = 3k +2 – 2 = 3k 3 nên P(x) 3 Suy ra P(x) 3 mà(2,3) = 1 Kết luận P(x) 6. (1đ) (x – 1)(x – 2)(x2 + 3) = 0. b)Để P(x) = 0 thì. mà x2  0 với mọi x Suy ra x2 + 3 > 0 với mọi x (1đ) P(x) = 0  Kết luận. x = 1 hoặc x = 2. (1đ). 3)(2đ) Vì a 1  a  2  0 a 1  a 1 0  (a  2)(a  1) 0  a 2  a  2 0. (1). b 1  b  2  0 b 1  b  1 0  (b  2)(b  1) 0  b 2  b  2 0. (2). c 1  c  2  0 c 1  c  1 0  (c  2)(c  1) 0  c 2  c  2 0. (3). Cộng từng vế (1),(2),(3) ta có a2 + b2 + c2  a + b +c + 6 Mà a + b +c = 0 Suy ra a2 + b2 + c2  6 Vậy Max A = 6  Hoặc a = b = - 1,c = 2 Hoặc b = c = - 1,a = 2 Hoặc a = c = - 1,b = 2 Câu 4:.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Vẽ hình đúng (0,5đ). a)Chứng minh  ACO BDO (g.g)(2đ) b)Xét tứ giác ABDC có CA // BD Suy ra ABDC là hình thang Gọi I là trung điểm của CD mà O là trung điểm của AB Suy ra OI là đường trung bình của hình thang ACDB Suy ra 2OI = AC + DB. (1đ). Xét tam giác COD có OI là trung tuyến ,suy ra 2OI = CD Suy ra CD = AC + DB. (1đ).     c)Xét  COI cân tại I suy ra ICD ICD mà IOC  AOC   do đó AOC OCM. (1đ).  CAO CMO  CM CA, BD MD (1đ) Ta có CD  AB. Để CD bé nhất thì CD =AB (0,5đ) Mà OM vuông góc vói CD Từ đó M là trung điểm của CD(1đ).

<span class='text_page_counter'>(5)</span>