Chuong 1 Vecto

<span class='text_page_counter'>(1)</span>CHƯƠNG 1: VECTƠ A. PHẦN 1: VECTƠ DẠNG 1: CHỨNG MINH MỘT ĐẲNG THỨC VECTƠ.  Phương pháp Ta dùng:  Quy tắc 3 điềm:    AB  AO  OB (phép cộng)      AB OB  OA (phép trừ).     Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì AC  AB  AD ..  Tính chất trung điểm: Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB, với điểm M bất kì thì:     IA  IB 0    MA  MB 2MI   Tính chất trọng tâm: Nếu G là trọng tâm tam giác ABC, với M là điểm bất kì thì:      GA  GB  GC 0      MA  MB  MC 3MG  Tính chất của các hình đặc biệt..  Bài tập Bài 1: Cho 7 điểm A, B, C, D, E, F và G .Chứng minh rằng:      AD  CB a) AB  CD    AD  BC b) AC  BD    AC  BD c) AB  CD     CD  DA 0 d) AB  BC      EF AF  BC  ED e) AC  BD      CF  AE  BF  CD f) AD BE      DC  CE  CB  AB g) AC  DE     EA CB  ED h)  AB   CD       EF  GA CB  ED  GF i) AB  CD     AB  AF  CD  CB  EF  ED 0 j).

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có tâm O, M là điểm tùy ý. CMR:    OB a) AB  OA   OC  OB b) BD  BA    BA 0 c) BC  BD   OB  BA d) CO     DB e) AB  BC   OD  OC f) DA  DB    DC 0 g) DA  DB   h) MA  MC  MB  MD Bài 3: Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. CMR:      NA 0 a) AD  MB   b) AM  AN  AB  AD Bài 4: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC.     a) CMR: GM  GN  GP 0       b) Với O là điểm bất kì. CMR: OA  OB  OC OM  ON  OP Bài 5:  Cho ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng   minh: RJ  IQ  PS 0 . Bài 6: Cho tam giác ABC. Gọi A’ là điểm đối xứng của B qua A, B’ là điểm đối xứng của C qua đối xứng của A qua C. Với một điểm O bất kì. CMR:   B, C’ là điểm  OA  OB  OC OA '  OB '  OC ' . Bài 7: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, trực tâm H, vẽ đường kính AD.   a) CMR: BH  DC    b) CMR: HB  HC  HD     c) Gọi H’ là điểm đối xứng của H qua O. CMR: HA  HB  HC  HH ' Bài 8: Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh:     a) Nếu AB CD thì AC BD      AC  BD  AD  BC 2 EF . b)      GA  GB  GC  GD  0 c) Gọi G là trung điểm của EF. Chứng minh: .      d) M là điểm bất kì. Chứng minh: MA  MB  MC  MD 4 MG Bài 9: Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và CD. Chứng minh:.

<span class='text_page_counter'>(3)</span>      2( AB  AI  JA  DA) 3DB . Bài 10: Cho tam giác ABC, có AM là trung tuyến. I là trung điểm của AM.     2 a) Chứng minh: IA  IB  IC 0 .     b) Với điểm O bất kỳ, chứng minh: 2OA  OB  OC 4OI . Bài 11: Cho ABC có M là trung điểm của BC, G là trọng tâm, H là trực tâm, O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Chứng minh:       a) AH 2OM b) HA  HB  HC 2HO       c) OA  OB  OC OH . d) OH 3OG Bài 12: Cho hai tam giác ABC và ABC lần lượt có các trọng tâm là G và G.       a) Chứng minh AA  BB  CC 3GG . b) Từ đó suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác có cùng trọng tâm. Bài 13: Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Chứng minh:    1 2 AM  AB  AC 3 3 . Bài 14: Cho tam giác  ABC.  Gọi M là trung điểm của AB, D là trung điểm của BC, N là điểm thuộc AC sao cho CN 2 NA . K là trung điểm của MN. Chứng minh:. . 1  1 AK  AB  AC 4 6 a).    1 1 KD  AB  AC 4 3 b) .. Bài 15: Cho hình thang OABC. M, N lần lượt là trung điểm của OB và OC. Chứng minh rằng:          1 1 1 AM  OB  OA BN  OC  OB MN   OC  OB  2 2 2 a) b) c) . Bài 16: Cho ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh rằng:         1  1 2 4 4 2 AB  CM  BN AC  CM  BN MN  BN  CM 3 3 3 3 3 3 a) b) c) . Bài 17: Cho ABC có trọng tâm G. Gọi H là điểm đối xứng của B qua G.       2 1 1 AH  AC  AB CH   AB  AC  3 3 3 a) Chứng minh: và .    1 5 MH  AC  AB 6 6 b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: . Bài 18: Cho hình bình hành ABCD có M, N trên cạnh AB, CD sao cho 3AM  AB và.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> .   1 11 AG  AB  BC 2CN CD . Gọi G là trọng tâm tam giác BMN. CMR: 18 3 . 1 AM  AB 3 Bài 19: Cho tam giác ABC, lấy điểm M, N, P trên đoạn AB, BC, CA sao cho: , 1 BN  BC 3 , 1     CP  CA 3 . CMR: AN  BP  CM 0 . Bài 20: Cho hình bình hành ABCD, tâm O. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, CD  1  2 OP  OA BP  BN 3 3 và P là điểm thỏa mãn hệ thức: . CMR: DẠNG 2: XÁC ĐỊNH MỘT ĐIỂM THỎA MÃN MỘT ĐẲNG THỨC VECTƠ CHO TRƯỚC  Phương pháp:. . . Bước 1: Ta biến đổi đẳng thức đã cho (bằng cách chèn điểm, hiệu hai vectơ cùng gốc, quy   tắc hình bình hành, tính chất trung điểm, trọng tâm,...) về dạng: AM u , trong đó A là điểm  cố định, u cố định.  Bước 2: Muốn dựng điểm M ta lấy điểm A làm gốc, dựng 1 vectơ bằng vectơ u . Khi đó điểm ngọn của vectơ này chính là điểm M.. ►Chú ý:.    Thông thường , biểu thức: AM u là những biểu thức đặc biệt (trung điểm, trọng tâm, điểm   chia đoạn theo tỉ lệ a k .b , hình bình hành. Ta dựa vào biểu thức này để dựng hình..  Để chứng minh I là trung điểm của đoạn thẳng AB, ta đi chứng minh 1 trong các hệ thức sau:    IA  BI     IA  IB 0    2IA  AB     2MI MA  MB (M tùy ý)\.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>  Để chứng minh G là trọng tâm tam giác ABC, ta đi chứng minh 1 trong các hệ thức sau:      GA  GB  GC 0  2 AG  AI 3  (với I là trung điểm của BC)      3MG  MA  MB  MC (M tùy ý)    AB  DC     AD  BC  Để chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành.  Điều kiện cần và đủ để tam giác ABC và tam giác A’B’C’ có cùng trọng tâm là:     AA '  BB '  CC ' 0    AB  k AC   AM  k  1  thì: 1 k  Nếu MB k MC .  Bài tập Bài 1: Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm điểm M thỏa mãn một trong các điều kiện sau:    a) MA  MB  BA    b) MA  MB 0    c) MA  2MB 0    d) 2 MA  3MB 0    e) 3MA  2 MB 0 Bài 2: Cho tam giác ABC. Xác định điểm M thỏa mãn một trong các đẳng thức sau:     a) MA  MB  MC 0     b) AM  2 BM  AB 0    c) MA  2 MB CB     d) MA  MB  2MC 0     e) MA  MB  2MC 0     f) 3MA  MB  MC 0.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>     g) 3MA  2MB  MC 0     h) MA  MA  MC  BC. Bài 3: Cho tam giác ABC. Xác định điểm K thỏa mãn một trong các đẳng thức sau:     3 a) KA  KB  2 KC 0    2 b) KA  3KB 3BC      c) KA  KB  KC  AB  AC     d) 2 KA  KB 2 BC  CA      2 e) KA  KB  3KC  AB  AC Bài 4: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho NC 2 NA .     a) Xác định điểm K sao cho: 3 AB  2 AC  12 AK 0     b) Xác định điểm D sao cho: 3 AB  4 AC  12 KD 0 Bài 5: Cho hình bình hành ABCD. Xác định điểm M, N, K sao cho:     a) MA  MB  MC  AD       b) NC  ND  NA  AB  AD  AC   c) CMR: MN  BA     d) 3AK  AB  AC  AD Bài 6: Cho các hình bình hành ABCD và ACEF     EM  BD a) Dựng các điểm M, N sao cho: và FN  BD   b) CMR: CA  MN     Bài 7: Gọi P là điểm xác định bởi: 5PA  7 PB  PC 0 và G là trọng tâm của tam giác ABC.   a) CMR: GP 2 AB QA b) Với AP  BG Q . Hãy tính tỉ số: QP c) Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua B, B’ là điểm đối xứng của B qua C, C’ là điểm đối xứng của C qua A. CMR: tam giác ABC và tam giác A’B’C’ có cùng trọng tâm. Bài 8: Cho tam giác ABC.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>       a) Xác định các điểm D, E sao cho: AD  AB  AC và BE  BA  BC. b) CMR: C là trung điểm của đoạn thẳng ED c) Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA và AB. CMR: tam giác ABC và tam giác A’B’C’ có cùng trọng tâm. Bài 9: Cho hình bình hành ABCD.     AM  DB a) Hãy xác định điểm M, P sao cho: và MP  AB b) CMR: P là trung điểm của đoạn thẳng DP. c) Gọi K là một điểm thuộc miền trong của hình bình hành ABCD. CMR: tam giác ACK và tam giác BDK có cùng trọng tâm.. Bài10: Cho hai điểm A, B:  2  3 AE  AB AF  AB 5 5 a) Dựng các điểm E, F sao cho: và b) CMR: hai đoạn thẳng AB và EF có cùng trung điểm là I.       Bài 11: Cho O, A, B, C là 4 điểm bất kì trong mặt phẳng. Đặt OA u , OB v và OC  w a) Hãy dựng Fsao cho:  các điểm D, E,           OD u  v  w , OE u  v  w và OF u  v  w b) CMR: A là trung điểm của đoạn thẳng DE và C là trung điểm của đoạn thẳng FD.       OD  OE  OF OA  OB  OC c) CMR: Bài 12: Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. CMR: tam giác ANP và tam giác CMQ có cùng trọng tâm. Bài 13: Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DE, EF, FA. CMR: tam giác MPR và tam giác NQS có cùng trọng tâm. Bài  14:  Cho tam giác ABCvà số  thực k. Gọi A’, B’, C’ lần lượt được xác định bởi AA ' k AB , BB ' k BC và CC ' kCA . CMR: tam giác ABC và tam giác A’B’C’ có cùng trọng tâm. Bài 15: Cho tứ giác ABCD, M là điểm tùy ý. Trong mỗi trường hợp hãy tìm số k và điểm cố định I, J, K, P sao cho đẳng thức vectơ sau thỏa mãn với mọi điểm M.    2MA  MB k MI a)     b) MA  MB  2 MC k MJ      MA  MB  MC  3MD k MK c)      d) MA  2 MB  3MC  4 MD k MP DẠNG 3: BIỂU DIỄN VECTƠ - CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG – ĐỒNG QUY.

<span class='text_page_counter'>(8)</span>  Phương pháp:  Tính 1 vectơ theo các vectơ không cùng phương: ta sử dụng theo 2 hướng sau: . Từ giả thiết xác định được tính chất của hình học, rồi từ đó khai triển vectơ bằng phương pháp xen điểm, hiệu của hai vectơ chung gốc, quy tắc hình bình hành, tính chất trung điểm, trọng tâm.... . Từ giả thiết lập được mối liên hệ giữa các đối tượng, rồi từ đó khai triển biểu thức này bằng phương pháp xen điểm, hiệu của hai vectơ chung gốc, quy tắc hình bình hành, tính chất trung điểm, trọng tâm....  Chứng minh 3 điểm thẳng hàng: .   Để chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng, ta đi chứng minh: AB k AC (1). Để nhận được (1) ta lựa chọn 1 trong 2 hướng sau: -. Sử dụng các quy tắc biến đổi vectơ   AB - Xác định (tính) và AC thông qua một tổ hợp trung gian.   AB  k DC .  Để chứng minh AB // DC ta cần chứng minh:.  Bài tập: Bài 1: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi D là điểm đối xứng của B qua G, M là trung điểm của BC. Hãy biểu diễn các vectơ:   a) CD, AD theo AB, AC   b) MD theo AB, AC . Bài 2: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho: 2CI 3BI và J là điểm trên BC kéo dài sao cho: 5 JB 2 JC .    a) Tính: AI , AJ theo AB và AC    AG AJ AI b) Tính theo và . Bài 3: Cho tam giác ABC có M, D lần lượt là trung điểm của AB, BC và N là điểm trên cạnh  1     AN  NC 2 AC sao cho: . Gọi K là trung điểm của MN. Hãy tính AK , KD theo AB , AC .   Bài 4: Cho tam giác ABC, trên 2 cạnh AB, AC lấy 2 điểm D và E sao cho: AD 2 DB ,.

<span class='text_page_counter'>(9)</span>       CE 3EA . Gọi M, I lần lượt là trung điểm của DE và BC. Tính: AM , MI theo AB và AC .  AB , Bài  5:Cho tam giác ABCcó hai  đường trung tuyến BN, CP. Hãy biểu thị các vectơ BC , CA theo các vectơ BN , CP .. Bài 6: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và các đường trung tuyến AM, BP. Gọi G’ là điểm đối xứng với G qua P.     AG ' CG ' AB a) Tính , theo và AC    b) CM: 5 AC  6 AB 6 MG ' Bài 7: Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC kéo dài sao cho: IB 3IC    a) Tính AI theo AB và AC JA 2 JC và KB 3KA . b) Gọi J,K lần lượt  là cácđiểm thuộc cạnh AC, AB sao cho Tính JK theo AB và AC    BC c) Tính theo AI và JK .. Bài 8: Cho hình bình hành ABCD, tâm O. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, CD  1 OP  OA 3 và P là điểm thỏa mãn hệ thức: .    a) CMR: 3 AP  2 AC 0 b) CMR: 3 điểm B, P, N thẳng hàng. c) CMR: 3 đường thẳng AC, BD, MN đồng quy. Bài 9: Cho tam giác ABC có G là trọng  tâm. Gọi  là trung điểm của AB, BC.  M,  N lần  lượt Lấy hai điểm I, J sao cho: 2 IA  3IC 0 và 2 JA  5 JB  3 JC 0 . a) CMR: M, N, J thẳng hàng. b) CMR: J là trung điểm của BI..   AE  k AB . Xác định k để C, E, J thẳng hàng. c) Gọi E là điểm thuộc AB sao cho:. Bài 10: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O và E, F được xác định bởi các hệ thức sau:  1  1 AE  AB CF  CD  k 0  k k , .   a) CMR: OE và OF là 2 vectơ đối nhau. b) CMR: O, E, F thẳng hàng và O là trung điểm của EF. c) CMR: tứ giác AECF là hình bình hành..   2AD  AB , Bài 11: Cho tam giác ABC, các điểm D, E, G được xác định bởi hệ thức:.

<span class='text_page_counter'>(10)</span>     AE 2CE và 2GD GC .. a) CM: BE // CD. b) Gọi M là trung điểm của cạnh BC. CMR: A, G, M thẳng hàng..    Bài  hình bình hành ABCD và 2 điểm E, F thỏa mãn các hệ thức: 2CE  EB 0 ,  12:  Cho 3DF  BD 0. a) CM: 3 điểm A, E, F thẳng hàng..    b) Xác định vị trí điểm M để hệ thức sau được thỏa mãn: 2 AM  3AF 0. Bài 13: Cho tam giác ABC..     BE  3 AB a) Dựng , BF 3 AC ,   các  điểm E, F, G thỏa mãn các hệ thức: BG  BE  BF. b) CM: điểm G nằm trên đường thẳng BC. Bài 14: Cho tam giác ABC.  2 AE  AB 3 a) Dựng các điểm E, F, M, N sao cho các đẳng thức sau được thỏa mãn: ,  1    BF  AB  EM  2 BC FN  4 BC 3 , và b) Các điểm A, M, N có thẳng hàng không? Tại sao?.    Bài 15: Cho tam giác ABC và 2 điểm I, F được xác định bởi: IA  3IC 0 và     FA  2 FB  3FC 0 . CMR: 3 điểm I, F, B thẳng hàng.. Bài 16: Cho tam giác ABC..       BE  2 AB  2 AC 5 a) Dựng các điểm E, D sao cho: và AD 3 AB  2 AC. b) CMR: các điểm A, D, E thẳng hàng. Bài 17: Cho hình bình hành ABCD..     AF 3AD BE  2 AB a) Dựng các điểm E, F sao cho: ,. b) Dựng điểm G sao cho tứ giác AEGF là hình bình hành. c) Chứng tỏ 3 điểm: A, C, G thẳng hàng. Bài 18: Cho tam giác DEF..    EH  4 ED  3EF a) Dựng điểm H sao cho:. b) CM: điểm H nằm trên đường thẳng DF. Bài 19: Cho tam giác ABC có M là trung điểm của trung tuyến AD, N là điểm thỏa mãn hệ.

<span class='text_page_counter'>(11)</span>   thức: 3AN  AC. a) CM: 3 điểm B, M, N thẳng hàng.   2 2 AI  AB AJ  AC 3 5 b) Trên BC lấy điểm I sao cho: , trên AC lấy điểm J sao cho: . CM: 3 điểm I, M, J thẳng hàng. Bài 20:Cho  hình bình hành ABCD. Gọi I là trung điểm của AB và E là điểm thỏa mãn hệ thức: 3IE  ID .CM: 3 điểm A, C, E thẳng hàng. Bài 21: Cho tam giác ABC.        a) Dựng các điểm K, L sao cho: KA  2 KB  2 KC 0 và 2 LB  3LC 0. b) CMR: 3 điểm A, K, L thẳng hàng. Bài  tamgiácABC.  Gọi M là trung điểm cạnh AB, N, P là 2 điểm thỏa mãn hệ thức:  22:  Cho NA  2 NC 0 , PB  2 PC 0 . CMR: 3 điểm M, N, P thẳng hàng.    3MA  4 MB 0 , Bài  23: Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi: NB  3 NC 0 . CMR: MN đi qua trọng tâm G của tam giác ABC. Bài 24: Cho hình bình hành ABCD. Gọi I là trung điểm của cạnh BC và E là điểm xác định  2 AE  AC 3 bởi: . CMR: 3 điểm D, E, I thẳng hàng. Bài 25: Cho tam giác ABC  3  3 AD  AB DE  BC 2 2 a) Dựng các điểm D, E thỏa mãn các hệ thức: , b) CM: 3 điểm A, C, E thẳng hàng. MA ND  Bài 26: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N là hai điểm di động trên AB, CD sao cho: MB NC và I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC.    IJ AB a) Tính theo và DC b) CM: trung điểm P của MN nằm trên đường thẳng IJ.     MA  MB , BC 3BN và Bài  27: Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P là các điểm thỏa mãn: 4 AP 3 AC     AN MP AB a) Tính , theo và DC   16 AI  9 AN b) CMR: 3 điểm M, I, P thẳng hàng, với điểm I thỏa mãn:. Bài 28: Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Hai điểm M, N trên cạnh AB, CD thỏa mãn: 3AM  AB , 2CN CD ..

<span class='text_page_counter'>(12)</span>    a) Tính: AN theo AB và AC.    1 11 AG  BA  BC 18 3 b) Gọi G là trọng tâm tam giác BMN. CMR:   c) Gọi I là điểm thỏa mãn: 11BI 6 BC . CMR: A, I, G thẳng hàng.      MA  MB  MC  MD 4 AB d) Tìm điểm M thỏa mãn: Bài 29: Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD. Dựng các  1  1 DE  DI BF  BJ 4 4 điểm E, F thỏa mãn: và . CMR: EF // CE. Bài 30: Cho tam giác ABC, điểm   và D, E, F  tự được xác  M là trung  của  cạnh  AB  theo  thứ định bởi các hệ thức sau: 3DB  2 DC 0 , EA  3EB  2 EC 0 và 5AF  2 AC 0 . a) CMR: EM // BC b) CMR: 3 điểm A, D, E thẳng hàng. c) CMR: 3 đường thẳng: AD, BC, MF đồng quy. DẠNG 4: TÍNH ĐỘ DÀI CỦA VECTƠ – QŨY TÍCH ĐIỂM VÀ ĐIỂM CỐ ĐỊNH..  Phương pháp:  Quỹ tích điểm: Sử dụng các phương pháp biến đổi để đưa về các trường hợp sau:   MA  MB  TH1: Nếu với A, B cho trước (cố định) thì M thuộc đường trung trực của. . đoạn thẳng AB   MC k AB TH2: Nếu với A, B, C cho trước (cố định) thì điểm M thuộc đường tròn. . tâm C bán kính R k . AB   MA  k MB với A, B, C cho trước (cố định) thì: TH3: Nếu. -. Với k   thì điểm M thuộc đường thẳng qua A song song với BC.. -.  Với k  thì điểm M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC theo hướng BC. -.  Với k  thì điểm M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC ngược hướng BC.

<span class='text_page_counter'>(13)</span>  Bài tập: Bài 1: Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh:      AC  BA  AD ; AB  AD  AC . a). .    AB  AD  CB  CD thì ABCD là hình chữ nhật. b) Nếu     AB  AC ; AB  AC và AB  BH Bài 2: Cho ABC đều cạnh a và đường cao AH.  Tính  Bài 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính AB  AC  AD .    Bài 4: Cho ABC đều cạnh a, trực tâm H. Tính độ dài của các vectơ HA,HB, HC .   AB  AD , AB  AC Bài  5: Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tính độ dài của các vectơ , AB  AD . Bài 6: Cho 2 điểm cố định A, B. Tìm tập hợp các điểm  Msao cho:      a) MA  MB  MA  MB b) 2 MA  MB  MA  2 MB .. . HD: a) Đường tròn đường kính AB. . b) Trung trực của AB.. Bài 7: Cho ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:      3     MA  MB  MC  MB  MC MA  BC  MA  MB 2 a) b).     2 MA  MB  4 MB  MC c).       d) 4 MA  MB  MC  2 MA  MB  MC .. HD: a) Trung trực của IG (I là trung điểm của BC, G là trọng tâm ABC). b) Dựng hình bình hành ABCD. Tập hợp là đường tròn tâm D, bán kính BA. Bài 8: Cho ABC..     a) Xác định điểm I sao cho: 3IA  2 IB  IC 0 . b) Chứng minh rằng đường thẳng nối 2 điểm M, N xác định bởi hệ thức:     MN 2 MA  2 MB  MC luôn đi qua một điểm cố định..      3 c) Tìm tập hợp các điểm H sao cho: HA  2HB  HC  HA  HB .      2 KA  KB  KC 3 KB  KC d) Tìm tập hợp các điểm K sao cho: Bài 9: Cho ABC..

<span class='text_page_counter'>(14)</span> .    IA  3 IB  2 IC  0 a) Xác định điểm I sao cho: .    3 DB  2 DC 0 . b) Xác định điểm D sao cho: c) Chứng minh 3 điểm A, I, D thẳng hàng.. .      MA  3 MB  2 MC  2 MA  MB  MC . d) Tìm tập hợp các điểm M sao cho: Bài 10: Cho tam  giác  ABC  ,M  là điểm tùy ý trong mặt phẳng a) CMR: v 3MA  5MB  2MC không đổi.      3MA  2 MB  2 MC  MB  MC b) Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn:. B. PHẦN 2: TỌA ĐỘ  Tóm tắt lí thuyết Hệ trục toạ độ  Hệ gồm hai trục toạ độ Ox, Oy vuông góc với nhau. Vectơ đơn vị trên Ox, Oy lần lượt   i là , j . O là gốc toạ độ, Ox là trục hoành, Oy là trục tung.     u  ( x ; y )  u  x . i  y . j.  Toạ độ của vectơ đối với hệ trục toạ độ:    M ( x ; y )  OM  x . i  y . j.  Toạ độ của điểm đối với hệ trục toạ độ:.   a  ( x ; y ), b ( x; y), k  R , A( x A ; y A ), B( x B ; yB ), C ( xC ; yC ) :  Tính chất: Cho    x x a b    y y 1).     a 2) b ( x x ; y y )  3) ka (kx; ky ).      b a 4) cùng phương với 0  k  R: x kx vaø y ky . x y  y (nếu x  0, y  0).  x.

<span class='text_page_counter'>(15)</span>  5). AB ( x B  x A ; yB  y A ). .. 6) Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB:. 7) Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:. xI . xG . 8) Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k  1:   MA  k MB ). ( M chia đoạn AB theo tỉ số k . x A  xB y  yB ; yI  A 2 2 . x A  xB  xC 3. xM .  Bài tập      1     a 2i  3 j ; b  i  5 j ; c 3i ; d  2 j 3 a) .        1    3  a i  3 j ; b  i  j ; c  i  j ; d  4 j ; e 3i 2 2 b) .     Bài 2: Viết dưới dạng u  xi  yj khi biết toạ độ của vectơ u là:     a) u (2;  3); u ( 1; 4); u (2; 0); u (0;  1) ..   a  (1;  2), b (0;3) . Tìm toạ độ của các vectơ sau: Bài 3: Cho          x  a  b ; y  a  b ; z  2 a  3b . a).        1 u 3a  2b; v 2  b; w 4a  b 2 . b)   1   a (2; 0), b   1;  , c (4;  6)  2 Bài 4: Cho .     a) Tìm toạ độ của vectơ d 2a  3b  5c ..  .  . b) Tìm 2 số m, n sao cho: ma  b  nc 0 ..    c theo a ,b . c) Biểu diễn vectơ. y A  yB  yC 3. .. x A  kx B y  kyB ; yM  A 1 k 1 k .. Bài 1: Viết tọa độ của các vectơ sau:.     b) u (1;3); u (4;  1); u (1; 0); u (0;0) .. ; yG .

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Bài 5: Cho hai điểm A(3;  5), B(1; 0)  .  a) Tìm toạ độ điểm C sao cho: OC  3 AB . b) Tìm điểm D đối xứng của A qua C. c) Tìm điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k = –3. Bài 6: Cho ba điểm A(–1; 1), B(1; 3), C(–2; 0). a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng. b) Tìm các tỉ số mà điểm A chia đoạn BC, điểm B chia đoạn AC, điểm C chia đoạn AB. Bài 7: Cho ba điểm A(1; 2), B(0; 4), C(3; 2)..    a) Tìm toạ độ các vectơ AB, AC , BC .. b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB.    c) Tìm tọa độ điểm M sao cho: CM 2 AB  3 AC .. .    AN  2 BN  4 CN  0 d) Tìm tọa độ điểm N sao cho: . Bài 8: Cho ba điểm A(1; –2), B(2; 3), C(–1; –2). a) Tìm toạ độ điểm D đối xứng của A qua C. b) Tìm toạ độ điểm E là đỉnh thứ tư của hình bình hành có 3 đỉnh là A, B, C. c) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC. Bài 9: Cho 3 điểm A( 1,1) , B (2;1) , C ( 1;  3) a) CMR: tồn tại tam giác ABC. b) Tính chu vi tam giác c) Xác định tọa độ trọng tâm G của tam giác. d) Xác định điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. e) Tìm điểm M thuộc trục Ox sao cho M cách đều A, B. f) Tìm điểm N thuộc trục Oy sao cho N cách đều B, C. Bài 10: Cho tam giác ABC có A(4;1) , B (2; 4) và C (2;  2) a) Tính chu vi tam giác. b) Xác định điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. c) Xác định tọa độ trọng tâm G của tam giác. d) Xác định tọa độ trực tâm H của tam giác..

<span class='text_page_counter'>(17)</span> e) Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Bài 11: Cho A(1;3) , B(2;5) và C (4;  1). a) Tìm chu vi của tam giác ABC. b) Tìm tọa độ trung điểm của các đoạn thẳng AB, AC. c). Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.. d) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành. e). Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.. f). Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC..

<span class='text_page_counter'>(18)</span>