Chuyen de He phuong trinh bac nhat hai an

<span class='text_page_counter'>(1)</span>VËn dông mét tÝnh chÊt cña hÖ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn Bằng phơng pháp cộng ta dễ dàng chứng minh đợc kết quả sau Bµi to¸n Cho hÖ ph¬ng tr×nh ¿ a1 x+ b1 y =c 1 a2 x+ b2 y=c 2 (*) ¿{ ¿ Víi x,y lµ c¸c Èn sè , a1 ; b1 ; c 1 ; a 2 ; b 2 ; c 2 lµ c¸c tham sè NÕu D=a1 b 2 − a2 b1 ≠ 0 th× hÖ PT (*) cã nghiÖm duy nhÊt ¿ D x c 1 b2 − c 2 b 1 x= = D a1 b2 − a2 b1 D a c − a c (**) y= y = 1 2 2 1 D a1 b2 − a2 b1 ¿{ ¿ Nh vậy x và y đều biểu thị qua các tham số qua hệ thức (**) Do đó nếu trong bài toán có 2 biểu thức bậc nhất đối với 2 ẩn nào đó thì ta có thể áp dụng kết quả trên để giải quyết bài toán. Sau đây là một số thí dụ ThÝ dô 1 Cho x,y,m lµ c¸c sè thùc tho¶ m·n ¿ mx + y =1 2 m3 (1) x − 2 my= 2 m +1 ¿{ ¿ Chøng minh r»ng x 2+ y 2 =1 Lêi gi¶i Ta coi (1) lµ hÖ PT bËc nhÊt 2 Èn x,y víi m lµ tham sè. Khi đó x và y đều biểu thị đợc theo m ThËt vËy do a1 b2 −a 2 b1 =m.(− 2 m)− 1. 1=− 2m2 −1≠ 0 nªn ¸p dông c«ng thøc (**)ta cã ¿ 2 m3 1.(− 2m)− 2 . 1 m +1 2m x= = 2 2 − 2m −1 m +1 3 2m m. 2 − 1. 1 m +1 1 −m2 ¿ y= = −2 m2 − 1 m2+1 ¿{{ ¿.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Suy ra. m2 +1¿ 1 ¿ ¿ 2 1 − m 2 m4+ 2 m2 +1 ¿= ¿ m 2+ 1 2m 2 ¿ +¿ m2+1 x2 + y 2=¿. ThÝ dô 2 Cho x,y,z lµ c¸c sè thùc tho¶ m·n ¿ xz +x+ y=1 2 xz+ yz+ x +3 y=2 (1) ¿{ ¿ T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P = xy(1+z) Lêi gi¶i Ta gi¶m sè biÕn cña biÓu thøc P b»ng c¸ch biến đổi (1) về dạng hệ PT bậc nhất 2 ẩn x,y với z là tham số đợc ¿ zx+( z +2) y=1 (2 z +1)x +( z+ 3) y=2 ¿{ ¿ z+ 1¿ 2 −1 ≠ 0 Cã a1 b2 −a 2 b1 =z ( z+3)−(2 z +1)(z+ 2)=− z 2 − 2 z −2=− ¿ Nªn ¸p dông c«ng thøc (**) ta cã ¿ 1.(z +3)− 2(z +2) z+1 x= = 2 2 − z − 2 z −2 z + 2 z +2 z . 2−(2 z +1).1 1 y= = 2 2 − z − 2 x −2 z + 2 z +2 ¿{ ¿ 2 z +1 ¿ ¿ z +1 ¿2+ 1¿ 2 Suy ra ¿ ¿ ¿ P=xy (1+ z)=¿ z +1 ¿2+ 1¿ 2 2 2 ¿ 2 z+ 1¿ −1 ¿ ≥0 Do cã mµ z+ 1¿ ≥ 0 ⇔ 2 1 ¿ z+ 1¿ ≤ ¿ ¿ ¿ 4 ¿.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 2. z +1 ¿ ¿ z+ 1¿ 2+1 ¿2 nªn ¿ ¿ ¿ ¿ 0 ≤ P=¿ GTNN cña P lµ 0 khi vµ chØ khi ( x ; y ; z)=(0 ; 1 ; −1) 1 1 1 −1 1 GTLN cña P lµ khi vµ chi khi (x;y;z) ( ; ; 0); ( ; ; −2) 4 2 2 2 2 ThÝ dô 3 Cho x,y lµ c¸c sè thùc tho¶ m·n 2 x +4 y+ 1¿ ≤ 9 2 3 x+7 y +1 ¿ +¿ ¿ Chøng minh r»ng − 14 16 ≤ x+ y≤ 5 5 Lêi gi¶i Do 3 x+7 y +1 và x+4y+1 là các biểu thức bậc nhất đối với x,y nên để đơn giản giả thiết ta coi 2 biểu thức lần lợt là a,b thì x,y đều biểu thị đợc theo a vµ b ThËt vËy §Æt 3x+7y+1=a; x+4y+1 = b Ta cã hÖ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt 2 Èn x,y sau ¿ 3 x+7 y =a −1 x + 4 y=b − 1 (1) ¿{ ¿ Cã 3 . 4 −1 .7=5 ≠ 0 nªn ¸p dông c«ng thøc (**) th× hÖ pt (1) cã nghiÖm ¿ 4 a− 7 b+3 x= 5 3 b − a −2 y= 5 ¿{ ¿ Khi đó ta có a2 +b 2 ≤ 9 3 a− 4 b+1 x+ y= 5 MÆt kh¸c 2 2 2 2 2 mq − np¿ 2 ⇔ mp+nq ¿ ≤( m +n )( p +q ) 0 ≤¿ ¿ 2 2 2 2 ⇔ |mp+nq|≤ √ (m + n )( p +q ) ¸p dông B§T trªn ta cã. {. }.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 2. 2. 2. 2. 3 +(− 4 ¿ )( a + b ) ¿ ¿ |3 a − 4 b|≤ √ ¿ ⇔ −15 ≤ 7 b −4 a ≤15 − 14 −15+5 3 a − 4 b+ 1 15+1 16 Suy ra = ≤ x + y= ≤ = 5 5 5 5 5 ThÝ dô 4 gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh x+2 y +1 ¿3 ¿ 2 x − y+5 ¿ 3 ¿ ¿1 ¿ √ x +2 y+1+ 2 √ 2 x − y +5 =9 x −2 y +21 5 x+11 ¿ ¿ ¿ √¿ Lêi gi¶i Ta thấy x+ 2 y +1 và 2 x − y +5 là các biểu thức bậc nhất đối với x và y nên có thể giải hệ PT bằng cách đặt √ x+2 y +1=a≥ 0 , √ 2 x − y +5=b ≥0 khi này x, y đều biểu diễn đợc theo a và b ta cã hÖ pt bËc nhÊt 2 Èn x,y ¿ a2 +2 b2 − 11 ¿ x= 5 x +2 y +1=a 2 2 2 (1) ⇔ 2 a − b2 +3 2 x − y +5=b y= ¿{ 5 ¿ ¿{ ¿ Do đó 5 x+11=a 2+2 b 2 , 9 x − 2 y +21 = a2 + 4 b2 Thay vào hệ phơng trình đã cho ta đợc ¿ a 3+4 b 3=1 a+2 b =a2 +4 b2 2 2 a +2 b ¿{ ¿ ¿ a 3+ 4 b 3=1 ⇔ a+2 b=( a2 +2 b2)( a2 +4 b2) (2) ¿{ ¿ Nhân vế với vế các phơng trình của hệ (2) đợc (a+2 b)( a3+ 4 b 3)=(a2+ 2b 2)( a2+ 4 b 2) ⇔ ab(a – b)(a - 2b) = 0 ⇔ a = 0 hoÆc b = 0 hoÆc a = b hoÆc a = 2b.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Tõng trêng hîp nµy thay vµo hÖ (1) ta đợc nghiệm (a,b) là (0 ; 3 1 ) ,(1 ; 0),( 3 1 ; 3 1 ),( 3 2 ; 3 1 ) 4 5 5 3 12 Với (a;b) tìm đợc thay vào (1) ta đợc các nghiệm (x;y) của hệ PT đã cho là 3 1 3 1 3 27 3 1 3 3 3 343 −11 3− −11 +3 − 11 +3 2 16 25 25 2 144 ( ; ),(−2 ; 1),( ; ),( ; ) 5 5 5 5 5 5 ThÝ dô 5 Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh ¿ 2 ( x + y ) √ x +7+ y √ 2 y 2 +1=xy+ 2 y 2 2 x √ x2 +7+(x + y) √ 2 y 2 +1=3 xy − x2 ¿{ ¿ Lêi gi¶i Ta có thể đa hệ PT đã cho về 1 hệ PT bậc nhất với 2 ẩn mới bằng cách §Æt √ x2 +7=u ; √ 2 y 2 +1=v Hệ PT đã cho trở thành ¿ ( x + y )u+ yv=xy+2 y 2 2 xu+(x + y )v=3 xy − x 2 (1) ¿{ ¿ Ta cã a1 b2 −a 2 b1 =(x + y )( x+ y)−2 xy=x 2 + y 2 Dễ thấy x = y = 0 là nghiệm của hệ PT đã cho Khi x,y không đồng thời bằng 0 Cã a1 b2 −a 2 b1 =¿ x 2+ y 2 >0 nªn hÖ (1) cã nghiÖm duy nhÊt ¿ 2 ( xy +2 y )( x + y )−(3 xy − x 2) y u= =2 y x2 + y2 ( x+ y)(3 xy − x 2 )− 2 x ( xy+2 y 2 ) v= =− x x2 + y 2 ¿{ ¿ ¿ − x ≥0 ¿ 2 y ≥0 √ x 2+7=2 y 2 2 Suy ra √ 2 x 2 +1=− x ⇔ x +7=4 y 2 y 2 +1=x 2 ¿{ ¿ ¿{{{ ¿ ¿ x≤0 ¿ y ≥0 x=−3 ⇔ ⇔ y=2 x 2=9 2 ¿{ y =4 ¿ ¿{{{ ¿. √. √. √. √ √ √ √ √ √ √ √.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Vậy hệ PT đã cho có 2 nghiệm (x;y) là (0;0);(-3;2) Cu«Ý cïng mêi c¸c b¹n luyÖn tËp víi c¸c bµi tËp sau Bµi 1 Cho x,y,m lµ c¸c sè thùc tho¶ m·n ¿ 2 x − my=m 3 m2 +4 mx + y = 2 m +4 ¿{ ¿ a) T×m mét hÖ thøc gi÷a x vµ y kh«ng phô thuéc vµo m b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc P=x 3 + y 3 Bµi 2 Cho x,y lµ c¸c sè thùc tho¶ m·n 2 5 x +2 y+ 1¿ ≤ 4 2 11 x+3 y −1 ¿ +¿ . ¿ 2 73 Chøng minh |x + y +3|≤ √ 7 Bµi 3 Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh ¿ 3 3 9 x+ 7 y+ 2+ √ √5 x +4 y − 6=3 3 a) √(9 x +7 y +2)(5 x + 4 y − 6)=3 x+ 6 y − 31 ¿{ ¿ ¿ ( z+ 1) x+(z 2 +4 z ) y =z 3+5 z 2 − 1 x+(z +3) y=z 2 + 4 z − 1 b) HD: tim x,y theo z tu 2 PT dau cua he x2 + y 2 + z 2=9 ¿{ { ¿ ¿ (x + y) √ 2 xy+ 5=4 xy −3 y +1 c) (x+ 2 y ) √ 2 xy +5=6 xy + x − 7 y − 6 HD coi √ 2 xy+5 là tham so ¿{ ¿. Vò Hång Phong THPT Tiªn Du 1, B¾c Ninh To¸n K35B DHSP TN.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>