DEDA TOAN 8 TINH LAI CHAU 2014

<span class='text_page_counter'>(1)</span>SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LAI CHÂU ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang). KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH KHÓA NGÀY: 23/4/2014 Môn thi: Toán lớp 8 Cấp THCS Ngày thi: 23/4/2014 Thời gian làm bài: 150 phút(không kể thời gian chép ñề). Câu 1. (4 ñiểm) a) Phân tích ña thức thành nhân tử: x3 + 9x2 + 26x + 24 b) Chứng minh với mọi số tự nhiên lẻ n thì: A = n3 + 3n2 - n - 3 ⋮ 48 Câu 2. (6 ñiểm) a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x(x - 3)(x + 1)(x + 4) b) Cho. 1 1 1 b+c c+a a +b + + = 0. Chứng minh rằng: + + = −3 a b c a b c. Câu 3. (4 ñiểm)  2 4x 2   x + 2 2 − 3x x 2 − 4  Cho biểu thức: A =  x + 2 + .  .  x − 4   2x − 4 x 3 − 4x x − 2   a) Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị của A biết: 2x −1 = 3 .. Câu 4. (4 ñiểm) Cho hình bình hành ABCD có AC > BD. Hạ CE ⊥ AB, CF ⊥ AD. a) Chứng minh ∆CEF ñồng dạng ∆BCA. b) Chứng minh AB.AE + AD.AF = AC2.. Bài 5. (2 ñiểm) Cho hình bình hành ABCD, BD = 3AD. Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của AB và CD. Trên BD lấy hai ñiểm E và F sao cho BE = EF = FD. a) Chứng minh MENF là hình bình hành. c) Hình bình hành ABCD cần thêm ñiều kiện gì ñể MENF là hình vuông?. Hết. Đỗ Văn Lâm - Trường THCS TT Tân Uyên.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ĐÁP ÁN (Đáp án chỉ mang tính tham khảo) Câu 1 (4 ñiểm) a) Phân tích ña thức thành nhân tử: x3 + 9x2 + 26x + 24 b) Chứng minh với mọi số tự nhiên lẻ n thì: A = n3 + 3n2 - n - 3 ⋮ 48 Bài giải a) Ta có: x3 + 9x2 + 26x + 24 = (x + 2)(x2 + 7x + 12) = (x + 2)(x + 3)(x + 4) b) Ta có: A = n2(n + 3) - (n + 3) = (n + 3)(n2 - 1) = (n + 3)(n - 1)(n + 1) Vì n lẻ nên n = 2k + 1 (k ∈ N ) thay vào A ta có: A = (2k + 4).2k.(2k+2). Vì 2k, 2k + 2, 2k + 4 là ba số chẵn liên tiếp ⇒ A ⋮ 2.4.6 = 48. Vậy A ⋮ 48 với mọi số tự nhiên n Câu 2 (6 ñiểm) a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x(x - 3)(x + 1)(x + 4) 1 1 1 b+c c+a a+b + + = −3 b) Cho + + = 0. Chứng minh rằng: a b c a b c Bài giải a) A = x(x + 1)(x - 3)(x + 4) = (x2 + x)(x2 + x - 12). Đặt y = x2 + x ⇒ A = y(y - 12) = y2 - 12y = y2 - 12y + 36 - 36 = (y - 6)2 - 36 ≥ -36  x = −3 Dấu "=" xảy ra khi y = 6 ⇒ x2 + x = 6 ⇔ (x + 3)(x − 2) = 0 ⇔  x = 2 Vậy: MinA = -36 khi x = -3 hoặc x = 2 1 1 1 b) Đặt x = , y = , z = (x, y, z ≠ 0) ⇒ x + y + z = 0 a b c 1 1 b+c c+a a+b 1 1 1 1 Khi ñó: VT = + + =  + x + +  y + + z a b c z x y z x y x x y y z z x z y z x y + + + + + =  + + + + +  y z z x x y y y x x  z z x + z y + z x + y − y − x −z = + + = + + = -3 = VP (ñpcm) y x z y x z. =.  4x 2   x + 2 2 − 3x x 2 − 4  Câu 3. (4 ñiểm). Cho biểu thức: A =  x 2 + 2 . + .   x − 4   2x − 4 x 3 − 4x x − 2   a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị của A biết: 2x − 1 = 3 Bài giải. *) ĐKXĐ: x ≠ 0; x ≠ ±2 x4  x + 2 2 − 3x  x 4 x(x + 2) + 2(2 − 3x) a) Khi ñó: A = 2 . + = .  x − 4  2(x − 2) x(x − 2)  x 2 − 4 2x(x − 2). x 3 x 2 + 2x + 4 − 6x x3 (x − 2)2 x3 . = . = x2 − 4 2(x − 2) (x − 2)(x + 2) 2(x − 2) 2(x + 2)  2x − 1 = 3  x = 2 (lo¹i ) b) Vì 2x − 1 = 3 ⇔  ⇔  2x − 1 = −3  x = −1 1 Với x = -1 ⇒ A = − 2 Câu 4. (4 ñiểm) Cho hình bình hành ABCD có AC > BD. Hạ CE ⊥ AB, CF ⊥ AD. a) Chứng minh ∆CEF ñồng dạng ∆BCA b) Chứng minh AB.AE + AD.AF = AC2 =. Đỗ Văn Lâm - Trường THCS TT Tân Uyên.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> E. Bài giải. a) Chứng minh ∆BCA ñồng dạng ∆CEF: - Xét ∆EBC và ∆FDC có:  = Fɵ = 900 (gt) E  = FDC(  = BAD  các góc ñồng vị) EBC. x 2. B. 1. C. H. CE CB CE BC = ⇒ = (1) CF CD CF BD A D F - Kéo dài tia CF ta có tia Fx khi ñó:  = ECx  (cùng phụ với BCE  ) ⇒ ABC  = FCE  (2) EBC - Từ (1) và (2) ⇒ ∆BCA
∆CEF (c.g.c) b) Kẻ DH vuông góc với AC tại H ∈ AC  chung; AHD  = AFC  = 900 ⇒ ∆HAD
∆FAC (g.g) - Xét ∆HAD và ∆FAC có: A HA AD FA.AD = ⇒ HA = (3) FA AC AC  = EAC  (so le trong); CHD  = AEC  = 900 - Xét ∆HCD và ∆EAC có: HCD HC CD AE.CD AE.AB = ⇒ HC = = (4) ⇒ ∆HCD
∆EAC (g.g) ⇒ EA AC AC AC FA.AD AE.AB FA.AD AE.AB - Từ (3) và (4) ⇒ HA + HC = + ⇒ AC = + AC AC AC AC 2 (ñpcm) ⇒ AC = AF.AD + AE.AB Bài 5. (2 ñiểm) Cho hình bình hành ABCD, BD = 3AD. Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của AB và CD. Trên BD lấy hai ñiểm E và F sao cho BE = EF = FD. a) Chứng minh MENF là hình bình hành c) Hình bình hành ABCD cần thêm ñiều kiện gì ñể MENF là hình vuông?. ⇒ ∆EBC
∆FDC ⇒. N. D. C 1. F 1. A. 1. E B. M. a) Chứng minh MENF là hình chữ nhật: EB=EF(gt) - Vì  ⇒ EM là ñường trung bình của ∆BAF MB = MA(gt) 1 ⇒ EM = AF và EM//AF (1) 2 - Xét ∆BAF và ∆DCE có: BA = DC (cạnh hình binh hành)  = CDE  (so le trong) ABF 2 BD) 3 1 = C  1 mà AM//CN ⇒ AF//CE ⇒ ∆BAF = ∆DCE(c.g.c) ⇒ AF = CE và A (khi ñó A, F, N thẳng hàng và C, E, M thẳng hàng) 1 Từ (1) và (2) ⇒ EM = CE và M, E, C thẳng hành 2 BF = DE (=. (2). Đỗ Văn Lâm - Trường THCS TT Tân Uyên.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 1 EC và NF//EC 2 ⇒ EM = NF và EN//NF ⇒ EMNF là hình bình hành (*) - Mặt khác: MN = AD = DF = FE = EB ⇒ MN = FE (**) Từ (*) và (**) ⇒ MENF là hình chữ nhật. b) Tìm ñiềm kiện của ABCD ñể MENF là hình vuông: - Vì MENF là hình chữ nhật nên MENF là hình vuông khi MN ⊥ AD - Vì MN//DA ⇒ DA ⊥ DB hay hình bình hành ABCD có thêm ñiều kiện ñường chéo BA vuông góc với AD thì MENF là hình vuông (hoặc AC vuông góc BC). - Vì NF là ñường trung bình của ∆DEC ⇒ NF =. Đỗ Văn Lâm - Trường THCS TT Tân Uyên.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>