02052013 Bai toan toa do phang co yeu to duong phan giac

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Ngày: 02/05/2014 Tag: phân giác, tọa độ phẳng, lớp 10, ôn thi đại học. BÀI TOÁN CÓ YẾU TỐ ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG TRONG BÀI TOÁN TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Oxy Lê Minh Hiếu 1. Phương pháp thường gặp: Trong các bài toán tọa độ trong mp Oxy thi ĐH trong các năm đề chung của bộ GD và ĐT (2002-2013), tất cả các bài toán có yếu tố đường phân giác trong đều có thể giải đường bằng một phương pháp duy nhất: Lấy điểm đối xứng. Kể cả nhiều đề thi thử cũng có thể giải được bằng phương pháp trên. Lý thuyết để áp dụng ở đây rất cơ bản. Cho góc tOt ' có tia phân giác là Os , khi đó với điểm M bất kì thuộc đường thẳng Ot , M ' đối xứng với M qua đường thẳng Os thì M ' thuộc đường thẳng Ot ' . Bài 1: (ĐH khối D/2011) Trong mp tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh B  4;1 ,. t M s. O. M'. t'. B(-4;1). trọng tâm G(1;1) và đường thẳng chứa phân giác trong của góc A A có phương trình x  y  1  0 . Tìm tọa độ các đỉnh A và C. Gợi ý giải: Gọi các điểm như hình vẽ. Khi đó từ đẳng thức. x-y-1=0 G(1;1) M. B' 3 BM  BG ta có được tọa độ điểm M . Tọa độ của điểm đối xứng C 2 B ' cũng dễ dàng tính được. Tọa độ của điểm A tính được khi lấy giao điểm của đường phân giác và đường thẳng MB ' . Cuối cùng đỉnh C chính là đỉnh còn lại của tam giác đã có tọa độ. hai đỉnh và trọng tâm. Đáp số: A(4;3) , C (3; 1) . Bài 2: (ĐH khối B/2010) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C(-4;1), phân giác trong góc A có phương trình x + y - 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương. Gợi ý giải: Gọi điểm A(t;5  t ) thuộc đường phân giác. Từ hệ thức AC. AM '  0 ta tính được tọa độ của điểm A. Tọa độ điểm B 1 2. được tính nhờ B  AM ' và S ABC  d  B, AC  . AC  24 . Đáp số: 3x  4 y  16  0 .. C(4;-1) x+y-5=0 A M' B.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Bài 3: (ĐH khối B/2008). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ B H(-1;-1) Đêcac vuông góc Oxy, hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng hình chiếu vuông x-y+2=0 A góc của C trên đường thẳng AB là điểm H(-1;-1), đường phân giác trong của góc A có phương trình x - y + 2 = 0 và đường cao kẻ từ H' B có phương trình 4x + 3y - 1 = 0. Các bước giải: C 4x+3y-1=0 Gọi H’ là điểm đối xứng với H qua đường phân giác góc A. Khi đó ta tính được H’(-3;1). Phương trình đường thẳng AC qua H’ và vuông góc với đường cao từ đỉnh B có phương trình: 3x-4y+13=0. A là giao điểm của hai đường thẳng nên có tọa độ A(5;7). Đường thẳng CH qua C vuông góc với AH nên có phương trình 3x+4y+7=0. Từ đó tìm  10 3 . được tọa độ C là giao điểm hai đường. ĐS: C   ;  .  3 4 Bình luận: Trong các bài toán trên đều có chung một dữ kiện là trên một cạnh đã cho tọa độ một điểm, lấy đối xứng qua đường phân giác thì được một điểm thuộc cạnh kía. Kĩ năng trình bày: Bài toán tìm tọa độ điểm đối xứng qua đường rất quen thuộc. Các em có thể tìm tọa độ hình chiếu bằng cách lấy giao điểm hai đường vuông góc, hoặc tìm hình chiếu bằng cách tham số hóa hình chiếu; sau đó lấy đối xứng qua hình chiếu. Tuy nhiên thầy sẽ giới thiệu một cách trình bày khác hai cách trên. Ví dụ khi tìm điểm H’ trong bài 3, ta có thể trình bày như sau: Gọi H’(a;b) là điểm đối 1(a  1)  1(b  1)  0  xứng với H qua đường thẳng x  y  2  0 , khi đó ta có hệ sau  a  1 b  1 , giải hệ ta  2  2  2  0 có H '(3;1) . Đến đây có nhiều em chưa hiểu? Hệ trên được giải thích như sau: Với.  a 1 b 1  I ;  là trung điểm HH’, vectơ HH '(a  1; b  1) , vectơ chỉ phương của đường phân 2   2 1(a  1)  1(b  1)  0   HH '.u  0  giác d: u  (1;1) , khi đó ta có hệ  .   a 1 b 1   2  0 I  d     2 2. 2. Phương pháp dùng công thức góc của hai đường thẳng: Bài 4: (Thi thử lần 2 - 2014, THPT Chuyên ĐH Vinh) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(3; 3), tâm đường tròn ngoại tiếp I(2; 1), phương trình đường phân giác trong góc BAC là x  y  0. Tìm tọa độ các đỉnh B, C biết rằng BC . 8 5 và góc BAC nhọn. 5. Bình luận: Đến đây chúng ta không thể tìm ra điểm trên hai cạnh AB hay AC để lấy đối xứng! Cách 1: Dùng góc giữa hai đường thẳng Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC: R  IA  5 . Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có BC 4  2 R  sin A  . sin A 5. B x-y=0 A(3;3) I(2;1) C.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Do góc BAC nhọn nên ta có cos A . 3 A 1  cos A 4 A 2 và cos2  .   cos  5 2 2 5 2 5. Gọi n(a; b), a 2  b2  0 là vtpt của đường thẳng AB, khi đó ta có cosin của góc giữa đường thẳng AB và đường phân giác góc A (d) là: 1  a b 2 2 2  cos  AB, d     3a  10ab  3b  0  3  5 2 a 2  b2  a  3b a b. TH1: vtpt đường thẳng AB là n AB  (1; 3) thì vtpt của đường thẳng AC là n AB  (3; 1) . t  3 t  2. Phương trình đường thẳng AB: x  3 y  6  0 . Gọi B  3t  6; t   AB ta có AI  5   8 6  B  0; 2  hoặc B  3;3 (loại vì trùng A). Tương tự ta có C  ;   . 5 5 8 6 TH2: Vì vai trò của điểm B và C như nhau nên ta có B  ;   và C  0; 2  . 5 5 8 6 8 6 Đáp số: B(0; 2), C  ;   hoặc B  ;   , C (0; 2) . 5 5 5 5 Cách 2: Chúng ta có thể dựa vào tính chất hình học để có lời giải sau:. Vì AD là phân giác trong góc A nên AD cắt đường tròn (ABC). A. tại E là điểm chính giữa cung BC  IE  BC. Vì E thuộc đường thẳng x  y  0 và IE  IA  R  E (0; 0). I. B. Chọn n BC  EI  (2; 1)  pt BC có dạng 2 x  y  m  0. H. D E. C. Từ giả thiết  HC . 4 5 3  IH  IC 2  HC 2  5 5.  m  2  BC : 2 x  y  2  0 | m5| 3 3      5 5 5  m  8  BC : 2 x  y  8  0. Vì BAC nhọn nên A và I phải cùng phía đối với BC, kiểm tra thấy BC : 2x  y  2  0 thỏa mãn.  d ( I , BC ) .  2 x  y  2  0 8 6 8 6  B(0; 2), C  ;   hoặc B  ;   , C (0; 2) . Từ hệ  2 2 5 5 5 5  ( x  2)  ( y  1)  5. [Lê Minh Hiếu, GV Toán THPT Vĩnh Định – Quảng Trị, ĐT 0915003286] [email: , facebbok: facebbok.com/minhhieuqt].

<span class='text_page_counter'>(4)</span>