rút gọn đẳng thức toán lớp 9 ( có đáp án lời giải chi tiết)

CÁC BÀI TOÁN
RÚT GỌN CĂN THỨC

3

Chủ đề

1

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9

A. CÁC BÀI TỐN RÚT GỌN CĂN THỨC

CÁC CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI CĂN THỨC
1.

 A nÕu A ≥ 0
A2 = A = 
− A nÕu A <0

2.

AB =

3.

A
=
B

4.

A2 B = A

A. B

TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP

(Với

A
B

(Với
B

5.

A B=

6.

A B = − A2 B

(Với

A2 B

7.

A

1
=
B
B

8.

A
A B
=
B
B

(Với
(Với

AB

(Với

(Với

(

9

C A±B
C
=
A − B2

A±B

1
0

C
C
=
A± B

(

)

A± B
A− B

(Với

)

(Với

A ≥ 0; B ≥ 0
A ≥ 0; B > 0

B≥0

)

)

A ≥ 0; B ≥ 0
A < 0; B ≥ 0
WORD=>ZALO_0946 513 000

A ≥ 0; B > 0

B>0

)

)
)
)

)

A ≥ 0; A ≠ B2

)

A ≥ 0; B ≥ 0; A ≠ B

1

)


3

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9
1
1

( A)
3

3

= 3 A3 = A

CÁCH TÌM ĐKXĐ CỦA MỘT BIỂU THỨC TRONG BÀI TỐN RÚT GỌN
BIỂU THỨC - ĐKXĐ:
1
.
2
.

A

A
B

ĐKXĐ:

ĐKXĐ:

A≥0

VÍ DỤ
Ví dụ:

ĐKXĐ:

x ≥ 2018

ĐKXĐ:

x≠7

x +1
x−3

ĐKXĐ:

x>3

x
x−3

ĐKXĐ:

x ≥ 0
⇔ x>3

x > 3

ĐKXĐ:

 x + 1 ≤ 0

  x + 2 < 0 ⇔  x < −2
x ≥ 1
 x + 1 ≥ 0


  x + 2 > 0

x − 2018

B≠0
Ví dụ:

x+4
x−7

TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MƠN-LỚP

3
.

A
B

4
.

A
B

5
.

ĐKXĐ:

ĐKXĐ:

A
B

ĐKXĐ:

B>0
Ví dụ:
A ≥ 0; B > 0

Ví dụ:
 A ≤ 0

B < 0
 A ≥ 0

  B > 0

Ví dụ:

x +1
x+2

WORD=>ZALO_0946 513 000

Cho a > 0 ta có:
6
.

7
.

x > a
x2 > a ⇔ 
 x < − a

Ví dụ:

Cho a > 0 ta có:

x 2

Ví dụ:

x2

x > a
⇔
> 1  x < − a

x 2 < 4 ⇔ −2 < x < 2

Dạng 1: Biểu thức dưới dấu căn là một sốthực dương.
Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:
2


3

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9
M = 45 + 245 − 80

N = 5 8 + 50 − 2 18

P = 125 − 4 45 + 3 20 − 80

A = 12 + 27 − 48

B = 2 3 + 3 27 − 300

C = (2 3 − 5 27 + 4 12) : 3

Hướng dẫn giải

M = 45 + 245 − 42.5

N = 5 8 + 50 − 2 18

P = 5 5 − 12 5 + 6 5 − 4 5

= 32.5 + 7 2 ×5 − 42.5

= 5.2 2 + 5 2 − 2.3 2

= −5 5

= 10 2 + 5 2 − 6 2

=3 5 +7 5 −4 5 = 6 5

= (10 + 5 − 6) 2 = 9 2

A = 12 + 27 − 48

B = 2 3 + 3 27 − 300

C = (2 3 − 5 27 + 4 12) : 3

= 2 3+3 3−4 3

= 2 3 + 3 32.3 − 10 2.3

= (2 3 − 5.3 3 + 4.2 3) : 3

= 3

= 2 3 + 3.3. 3 − 10 3

= −5 3 : 3 = −5

TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP

= 3

Nhận xét: Đây là một dạng tốn dễ. Học sinh có thể bấm máy tính để giải,
đa phần áp dụng kiến thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn để giải toán.
A2 B = A B

(

B≥ 0

)

Tự luyện:

(

)

A = 3 50 − 5 18 + 3 8 . 2

B = 2 32 − 5 27 − 4 8 + 3 75

A2 = A

Dạng 2: Áp dụng hằng đẳng thức
Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:

a)

d)

( 3− 2 2) 2 + ( 3+ 2 2) 2

b)

( 3+

e)

2) −
2

( 1−

2)

C = 20 − 45 + 2 5

WORD=>ZALO_0946 513 000

2

( 5− 2 6) 2 − ( 5+ 2 6) 2
(

5 − 2) +
2

(

5 + 2)

Giải mẫu:

3

( 2 − 3) 2 + ( 1− 3) 2

c)
2

f)

(

2 + 1) −
2

(

2 − 5)

2


3

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9

( 3− 2 2 )

2

( 3 + 2 2)

+

2

= 3− 2 2 + 3+ 2 2 = 3− 2 2 + 3 + 2 2 = 6

a)

Lưu ý:Điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:
Kết quả:

b)

−4 6

c) 1

 A nÕu A ≥ 0
A2 = A = 
− A nÕu A < 0

d) 4

e)

2 5

f)

2 2− 4

Dạng 3: Biểu thức dưới dấu căn đưa được vềhằng đẳng thức
A2 = A

A= 4−2 3 − 7+4 3
TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MƠN-LỚP

Ví dụ 1:Rút gọn biểu thức

.

Hướng dẫn giải
A = 3 − 2 3 +1 − 4 + 4 3 + 3
=

(

)

( 2 + 3)

=

3 −1 − 2 + 3

2

3 −1 −

(

)

2

= 3 − 1 − 2 + 3 = −3

.
4−2 3

Nhận xét: Các biểu thức

;

7+4 3
WORD=>ZALO_0946 513 000

đều có dạng

a 2 + b 2 = m p n = 2ab

m± p n

trong đó với

. Những biểu thức như vậy đều viết được dưới dạng bình
phương của một biểu thức.
Ví dụ 2:Rút gọn biểu thức

B = 5+ 2 6 − 5−2 6

Hướng dẫn giải

Cách 1:
B = 5+ 2 6 − 5−2 6
=

(

=

3+ 2 −

3+ 2

)

2

−

(

3− 2

)

2

3− 2

4

.


3

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9
= 3+ 2−

(

)

3+ 2 =2 2

.

Cách 2:
B = 5+ 2 6 − 5−2 6

Ta có:

( 5 + 2 6 ) ( 5 − 2 6 ) = 10 − 2

B2 = 5 + 2 6 + 5 − 2 6 − 2

Vì

B>0

nên

B= 8=2 2

Nhận xét:Các biểu thức

1 =8

.

5+2 6

và

5−2 6
TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP

là hai biểu thức liên hợp. Gặp

những biểu thức như vậy, để tính B ta có thể tính
B.

B2

trước rồi sau đó suy ra

Bài 1:Rút gọn
a)
c)

A= 6−2 5

b)

C = 19 − 8 3

d)

B = 4 − 12
D = 5−2 6

Hướng dẫn giải
WORD=>ZALO_0946 513 000

A= 6−2 5 =

a)

(

)

5 −1

2

=

(

B = 4 − 12 = 4 − 2 3 =

b)
C = 19 − 8 3 =

( 4 − 3)

D = 5− 2 6 =

(

c)

d)

2

3− 2

)

5 −1 = 5 −1

)

3 −1

2

=

3 −1

= 4− 3 = 4− 3

2

=

3− 2 = 3− 2

Bài 2: Rút gọn
5


3

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9
a)
c)
e)

A= 4+2 3

b)

C = 9−4 5

d)

E = 6+2 5 − 6−2 5

B = 8 − 2 15
D = 7 + 13 − 7 − 13

F = 7 − 2 10 + 20 +

f)
Hướng dẫn giải
A = 4+2 3 =

a)

B = 8 − 2 15 =

b)
C = 9−4 5 =

c)

(

)

3 +1

(

2

= 3 +1

)

15 − 1

( 2− 5)

2

d)
1 

2

(

)

2

13 + 1 −

(

= 15 − 1

TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP

= 5−2

D = 7 + 13 − 7 − 13 =

=

2

1
2

(

14 + 2 13 − 14 − 2 13

)

2
13 − 1  = 2


)

E = 6 + 2 5 − 6 − 2 5 = 5 + 2 5 +1 − 5 − 2 5 +1

WORD=>ZALO_0946 513 000

e)

= ( 5 + 1) 2 − ( 5 − 1) 2 =| 5 + 1| − | 5 − 1|= 5 + 1 − 5 + 1 = 2

F = 7 − 2 10 + 20 +

f)
=

1
8=
2

(

5− 2

)

2

1
+ 2 5 + .2 2
2

5− 2 +2 5+ 2 = 5− 2+2 5+ 2 =3 5

Bài 3:Rút gọn (Bài tự luyện)

a)
c)

5+ 2 6 − 5− 2 6
4− 2 3 + 4+ 2 3

b)
d)
6

7 − 2 10 − 7 + 2 10
24 + 8 5 + 9 − 4 5

1
8
2


3

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9
e)
g)
i)
k)

17− 12 2 + 9 + 4 2

f)

2+ 3 − 2− 3

6 − 4 2 + 22 − 12 2
21− 12 3 − 3

h)

5 − 3− 29 − 12 5

j)

5− 13+ 4 3 + 3+ 13+ 4 3

l)

13+ 30 2 + 9 + 4 2
1+ 3 + 13+ 4 3 + 1− 3 − 13− 4 3

Dạng 4: Rút gọn tổng hợp (sử dụng trục căn thức, hằng đẳng thức,
phân tích thành nhân tử; …)
TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP

Bài 1:Rút gọn:
3
4
1
+
+
5− 2
6+ 2

6+ 5

A=

6+2 5
5−2 6
+
5 +1
3− 2

C=

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1+ 2
2+ 3
3+ 4
99 + 100

D=

1
+ 7−4 3
2− 3

E=

3 3−4
3+4
−
2 3 +1
5−2 3

F=

1
2
2
+
−
2+ 3
6 3+ 3

B=

Hướng dẫn giải
A=

6+2 5
5−2 6
5 +1
3− 2
+
=
+

=2
5 +1
3− 2
5 +1
3− 2

B=

3
3
4
1
+
+
=
5− 2
6+ 2
6+ 5

a)

b)

WORD=>ZALO_0946 513 000

(

5+ 2
3

) + 4(

= 5+ 2+ 6− 2+ 6− 5 =2 6

C=

c)
=

(

1
1
1
1
+
+
+ ... +
1+ 2
2+ 3
3+ 4
99 + 100

) (

2 −1 +

) (

3− 2 +

)

4 − 3 + ... +

(

)

100 − 99 = 9

7

6− 2
4

)+

(

6− 5

)


3

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9
D=

d)
=

1
1
1
+ 7−4 3 =
+ 4−4 3+3 =
+ (2 − 3) 2
2− 3
2− 3
2− 3

1
2+ 3
2+ 3
+2− 3 =
+ 2− 3 =
+ 2− 3 = 4
1
2− 3
(2 − 3)(2 + 3)

(3

3 3−4
3+4
−
=
2 3 +1

5−2 3

E=

)(
( 2 3)

)− (

3 − 4 2 3 −1

e)

2

−1

)(
)
−( 2 3)

3 +4 5+2 3
52

2

22 − 11 3
26 + 13 3
−
= 2− 3 − 2+ 3

11
13

=

TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP

4−2 3
4+2 3
1 
−
=

2
2
2

=

1
2

=

=

=

3

3

2 
3 +1 ÷


(

2

)

1
.(−2) = − 2
2

(

(

) (

) ( 3 + 1) − 2 ( 2 + 3 )
3 ( 3 + 1) ( 2 + 3 )

)

3 +1 + 2 + 3

2 3+4

(

2 3

)

3 −1 − 3 −1 =

)

3 −1 −

1
1
2
1
2
2 =
+
−
F=
+
−
2+ 3
3
3 3 +1
2+ 3
6 3+ 3

f)
=

(

(

)(

3 +1 2 + 3

(

) = 3(

=

)

3 −1

3 ( 3 − 1)

2

(

3

(

3+2

)(

3 +1 2 + 3

) = 3−

3 −1
3

)

3

3

= 1−

WORD=>ZALO_0946 513 000

)

=

2. 3
3

(

(

)(

3 +1

)

3 −1

)

3 −1

3
3

Bài 2:Rút gọn
A = ( 3 + 4) 19 − 8 3

B = ( 5 − 2)( 5 + 2) −

8

7−4 3
3−2


3

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9
C=

E=

7+ 5 + 7− 5
7 + 2 11

4

D=

− 3−2 2

8− 15
30 − 2

( 2 − 5)

2

−

4

( 2 + 5)

2

3+ 1
3−1
+
3−1
3+1

F=

Hướng dẫn giải

(

A = ( 3 + 4) 19 − 8 3 =

a)

(2 − 3)2

B = ( 5) 2 − 22 −

3−2

b)

7+ 5 + 7− 5

B=

) ( 4 − 3) = (
2

)(

)

3 + 4 4 − 3 = 16 − 3 = 13

2− 3
= 1 − (−1) = 2
3 −2
TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP

= 5−4−

− 3− 2 2

7 + 2 11

c)

3+4

2

Ta có

 7 + 5 + 7 − 5  14 + 2 44
7+ 5 + 7− 5

÷ =

= 2⇒
= 2

÷
7 + 2 11
7 + 2 11
7 + 2 11



⇒ B = 2 − 3− 2 2 = 2 −

(

)

2 −1

2

= 2 − 2 +1 = 1
WORD=>ZALO_0946 513 000

D=

(

4
2− 5

)

2

−

(

4
2+ 5

)

2

=

d)
=

2
2− 5

E=

e)
F=

f)

−

2
2+ 5

8− 15
30 − 2

3+ 1
3− 1

+

=

1

.
15 − 1

3+ 1

( 2 − 5)

2
2
2
−
=
5−2

5+2

=

3−1

22

=

(

(

2

−

22

( 2 + 5)

2

) ( 5 − 2)
( 5 + 2) ( 5 − 2)
5+2 −2

=

2 5 + 4− 2 5 + 4
=8
5−4

16 − 2 15
1
15 − 1 1
=
.
=
4
2
2
15 − 1

) (
2

3+ 1 +

)

3−1

2

3− 1

9

=

4+ 2 3 + 4− 2 3
=4
2


3

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9
Bài 3:Rút gọn - Bài tập tự luyện

a)

7 − 5 6− 2 7
6
5
−
+
−
2
4
7 − 2 4+ 7

1

c)

3+ 2 − 5

1

e)

+

1

3 3 2

+

−

2
6− 2

b)

1
3+ 2 + 5

d)

+

2
6+ 2

+

5
6

 6− 2 5 
1
−

÷
÷:
5 5− 2
 1− 3

2 3− 3+ 13+ 48

1

5 1
−
3 12
6

6− 2

f)
TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP

Bài 4:Rút gọn – Bài tập tự luyện
A=
1)

1
1
−
5+2 6 5−2 6

3)

5)

G = 6+2 5 −
7)

15 − 12
1
−
5−2
2− 3

15 − 3
3

F=
6)

H=

WORD=>ZALO_0946 513 000

8)

10 − 2 2 − 2
−
5 −1
2 −1

I=
9)

10)

2
2
−
2− 5 2+ 5

K=
11)

12)

M=
13)

O=
15)

D=
4)

3+ 5
5− 3
+
3− 5
5+ 3

E=

1
1
−
3+2
3−2

2)

3
2 3
+
3
3 +1

C=

B=

3 2 −2 3 1
:
3− 2 6

16)

10

4

( 2 − 5)

2

−

(

5+ 3

4

( 2+ 5)

2

 2+ 2   2− 2 
J = 1 +
÷. 1 −
÷
1
+
2


  1− 2 
 6− 2

1
L=
− 3 ÷:
 1− 3
 2− 3
N=

6
1
+
1+ 7
7

P=

2
2
−
1− 2 1+ 2

14)

3 2 −2 3 2+ 2
1
+
−
3− 2

1+ 2 2 − 3

5+ 2 5 3+ 3
+
−
5
3

)


3

CÁC CHUN ĐỀ TỐN 9

17)

19)

 6− 2 5 
Q=
−
÷.
5
 1− 3

5− 2

)

2
2
−
5 +1
3− 5

21)

W=

5 3
3− 5 − 3

−

R=

2
2
+
7+4 3 7−4 3

T=

4
15 + 13
−
1− 3
1+ 5

V=

2
2
−
3 −1
6−3 3

18)

2
1
 1

S =
+
÷:
5 + 3  21 − 12 3
2− 5
U=

23)

(

20)

22)

5 3

Y=

3− 5 + 3

24)

2
2 2 + 3+ 5

TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MƠN-LỚP

Kinh nghiệm:Đơi khi một số bài toán rút gọn căn thức sẽ thực hiện dễ dàng hơn
nếu chúng ta trục căn thức hoặc rút gọn được một hạng tử trong đề toán.
Nếu quy đồng mẫu số thì việc thực hiện các phép tính rất phức tạp. Vì vậy trước
khi làm bài tốn rút gọn, học sinh cần quan sát kỹ đề toán từ đó có định hướng
giải đúng đắn để lời giải được ngắn gọn, chính xác.

Dạng 5. Bài tốn chứa ẩn (ẩn x) dưới dấu căn và những ý tốn phụ.
Rút gọn.
Bước
1:

Tìm điều kiện xác định.

Bước
2:

Tìm mẫu thức chung, quy đồng mẫu thức, rút gọn tử,
phân tích tử thành nhân tử.

Bước
3:

Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung của tử và mẫu.

Bước
4:

Khi nào phân thức tối giản thì ta hồn thành việc rút
gọn.
P=

Bài 1:Cho biểu thức

WORD=>ZALO_0946 513 000

(

)

3 x + 2 2 x −3 3 3 x −5
−
−
x +1 3 − x x − 2 x − 3

a) Rút gọn P;
x = 4+2 3
b) Tìm giá trị của P, biết
;

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

11

.


3

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9

ĐKXĐ:

x ≥ 0; x ≠ 9

Hướng dẫn giải
.

3 x + 2 2 x −3
+
−
x +1
x −3

P=

(

3 3 x −5

(

)(

x +1

)

x −3

)

a)

=

=

=

=

=

(3

x +2

)(

) (
) ( x + 1) + 3 ( 3
( x + 1) ( x − 3)

x −3 + 2 x −3

(

(

5 x − 17 x + 6

)(

x +1

x −3

)(

x +1

x −3

)

TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP

)

5 x − 15 x − 2 x + 6

(

(5
(

)(

x +1

x −3

)(
x + 1) (
x −2

)

x −3
x −3

)

) =5

Do đó:
P=
Ta có
P = 5−

5

(

(

x −2
x +1
.

(

Ta có

P=

c)

)

3x − 9 x + 2 x − 6 + 2 x + 2 x − 3 x − 3 − 9 x + 15

x = 4+2 3 =
b)

x −5

2

3 +1 ⇒ x = 3 +1

)

3 +1 − 2

)

)

WORD=>ZALO_0946 513 000

3 +1 +1

=

;

(

)(
)(

(

5 x −2 5 x +5−7
=
x +1
x +1

7
x +1

)

5 3 +3 5 3 +3 2− 3
=
= 7 3 −9
3+2
3 +2 2− 3

.

12

)

.


3

CÁC CHUN ĐỀ TỐN 9
7
>0
x +1

7
x +1

⇔

Vì
⇔ x +1

nên P có giá trị nhỏ nhất
⇔ x=0
nhỏ nhất
.
P = 5 − 7 = −2
Khi đó min
.

Bài 2:Cho biểu thức

lớn nhất

 x +1
2 x
5 x +2 3 x −x
Q = 
−
+
÷:
4− x ÷
x +2
 x −2
 x+4 x +4

a) Rút gọn Q;

Q=2
b) Tìm x để
;
c) Tìm các giá trị của x để Q có giá trị âm.
Hướng dẫn giải
x > 0; x ≠ 4; x ≠ 9
ĐKXĐ:
.
TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP

 x +1
2 x
5 x +2 3 x −x
Q = 
−
+
÷:
4− x ÷
x +2
 x −2
 x+4 x +4

a)

=

=

=

=

(

)(

x +1

)

x +2 −2 x

(

x −2

)(

(

) (

x −2 − 5 x +2
x +2

)

2

x + 3 x + 2 − 2x + 4 x − 5 x − 2

(

(
(

x −2

)(

−x + 2 x
x −2
− x

(

x −2

Q = 2 ⇔=

)(

)(

x +2
x −2

)

x +2

)
)

x +2

.

(

.

(

)

x +2

(

)

(

)

.

(

x +2

(

WORD=>ZALO_0946 513 000

)

2

x 3− x

)

2

x 3− x
x +2

) : x ( 3− x )
( x + 2)

)

2

x 3− x

)

=

x +2
x −3

x +2
=2
x −3

b)
⇔

x +2 = 2 x −6

⇔ − x = −8 ⇔

x = 8 ⇔ x = 64

.(Thỏa mãn ĐKXĐ).

13


3

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9
Q<0⇔

x +2
<0

x −3

c)
⇔

x −3< 0

x +2>0 ⇔

(vì

)

x <3⇔ x<9

Kết hợp với điều kiện xác định ta có
B=

Bài 3:Cho biểu thức

.
Q<0

a
3
a−2
−
−
a −3
a +3 a −9

khi

với

0< x<9

và

x≠4

.

a ≥ 0; a ≠ 9

a) Rút gọn B.
b) Tìm các số nguyên

a

để B nhận giá trị nguyên
TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP

Hướng dẫn giải

a)

Với
B=

a ≥ 0; a ≠ 9

a
3
a−2
−
−
a −3
a +3 a −9

=

a
3
a−2
−
−
a −3
a + 3 ( a − 3)( a + 3)

=

a ( a + 3)
3( a − 3)
a−2
−
−
( a − 3)( a + 3) ( a − 3)( a + 3) ( a − 3)( a + 3)

=

a +3 a −3 a +9 −a + 2
11
=
a −9
a − 3)( a + 3)
B∈Z ⇔

b)

ta có:

Để

WORD=>ZALO_0946 513 000

11
∈ Z ⇔ 11M(a − 9) ⇔ (a − 9) ∈ U (11)
a −9

U (11) = { 1;11; −1; −11}

Khi đó ta có bảng giá trị
a −9

-11

-1

1

11

a

-2

8

10

20

Không thoả mãn

Thoả mãn

Thoả mãn

Thoả mãn

14


3

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9
Vậy

a ∈ { 8;10; 20}

Bài 4:Cho biểu thức
(với

thì

B∈Z

 x −3
x +2
9 − x   3 x −9 
P = 
+
−
÷
÷: 1 − x − 9 ÷
÷
 2− x 3+ x x + x −6  


x > 0; x ≠ 4; x ≠ 9

)

a) Rút gọn biểu thức P.
4 + 2 3.( 3 − 1)

x=

6+2 5 − 5

b) Tính giá trị biểu thức P khi

TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP

Hướng dẫn giải

P=

( x − 9) + ( 4 − x) + ( 9 − x ) : x − 9 − 3

( 2− x) ( 3+ x)

a)
=

4− x

( 2− x) ( 3+ x)

x=

b)

(

P=

Nên

(

x−9

x −3
x

) ( 3 − 1) = (
5) − 5

3 +1

(1+

:

2

2

x +9

(

)(

x +3

x −3

)(

3 +1

)

) = 2+

x
x

) =2

3 −1

1+ 5 − 5

WORD=>ZALO_0946 513 000

2+ 2
= 2 +1
2

A=

2+ x
x

B=

Bài 5:Với x > 0, cho hai biểu thức
và
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 64.
b) Rút gọn biểu thức B.
c) Tìm x để

x −1 2 x +1
+
x
x+ x

A 3
>
B 2

Hướng dẫn giải

15


3

CÁC CHUN ĐỀ TỐN 9
A=

a)

Với x = 64 ta có
B=

b)
c)

2 + 64 2 + 8 5
=
=
8
4
64

( x − 1)( x + x ) + (2 x + 1) x x x + 2 x
1
=
= 1+
=
x (x + x )
x x+x
x +1

A 3
2+ x 2+ x 3
> ⇔
:
> ⇔
B 2
x
x +1 2

Với x > 0 ta có:
⇔ 2 x + 2 > 3 x ⇔ x < 2 ⇔ 0 < x < 4 ( Do x>0)

A=

Bài 6:Cho hai biểu thức

x +4
x −1

B=
và

a) Tính giá trị biểu thức A khi

x +2
x +1

x +1 3
>
2
x

3 x +1
2
−
x + 2 x −3
x +3

TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MƠN-LỚP

với

x=9

1
x −1

B=
b) Chứng minh

c) Tìm tất cả các giá trị của x để

A x
≥ +5
B 4

Hướng dẫn giải
a)

Do x = 9 thoả mãn điều kiện nên thay x = 9 vào A ta có
WORD=>ZALO_0946 513 000

9 + 4 3+ 4 7
A=
=
=
9 −1 3 −1 2

B=
b)

.

3 x +1
2
−
x + 2 x −3
x +3

=

3 x +1
2
−
( x + 3)( x − 1)
x +3

=

3 x + 1 − 2( x − 1)
( x + 3)( x − 1)

16

x ≥ 0; x ≠ 1


3

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9
=

c)

x +3
=
( x + 3)( x − 1)

1
x −1

x +4
1
x
:
≥ +5
x −1 x −1 4

A x
≥ +5⇔
B 4

⇔ 4( x + 4) ≥ x + 20 ⇔ x − 4 x + 4 ≤ 0 ⇔

(

)

2

x −2 ≤0⇔ x −2=0⇔ x =4

x = 4 thoả mãn điều kiện. Vậy x = 4 thì

A x
≥ +5
B 4

TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP

Bài 7:Cho biểu thức

x−2 x
x +1
1+ 2x − 2 x
A=
+
+
x x −1 x x + x + x
x2 − x

( Với

x > 0, x ≠ 1

)

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x để biểu thức A nhận giá trị là số nguyên.
Hướng dẫn giải
A=
a)

b)

x +2
.
x + x +1

Cách 1: Với
0< A=
Vậy

x > 0, x ≠ 1 ⇒ x + x + 1 > x + 1 > 1.
WORD=>ZALO_0946 513 000

x +2
<
x + x +1

x +2
1
= 1+
< 2.
x +1
x +1
⇔

Vì A nguyên nên A = 1

x +2
=1⇔ x =1
x + x +1

( Khơng thỏa mãn).

Vậy khơng có giá trị nguyên nào của x để giả trị A là một số nguyên.
Cách 2: Dùng miền giá trị
A=

x +2
⇔ Ax+(A-1) x + A − 2 = 0
x + x +1

Trường hợp 1:

A=0⇒

x = −2 ⇒ x ∈ ∅

17


3

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9

Trường hợp 2:

1
A ≠ 0 ⇒ ∆ = (A − 1) 2 − 4 A( A − 2) = −3 A2 + 6 A + 1 ≥ 0 ⇔ A2 − 2 A − ≤ 0
3

4
4
⇔ (A − 1) 2 ≤ ⇒ A ∈ { 1; 2} doA ∈ Z , A > 0
3
3

⇔ A2 − 2 A + 1 ≤

Với A = 1 => x = 1 ( loại)
⇔
Với A = 2

x +2
=2⇔ x=0
x + x +1

( loại).

1   x −1 1− x 

P = 1 −
+
÷
÷: 
x  
x
x+ x ÷


TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP

Bài 8:Cho biểu thức

a) Rút gọn biểu thức

P

, (với

x>0

và

x ≠1

).

.

b) Tính giá trị của biểu thức

P

tại

x = 2022 + 4 2018 − 2022 − 4 2018

.

Hướng dẫn giải

1−
a)

Ta có

x −1
x

1
=
x

x −1 1− x x −1+1− x
+
=
=
x
x+ x
x +1 x

(

Và
P=
nên
b)

=

x ≠1

x +1
x

)
x + 1)
x −1
WORD=>ZALO_0946 513 000

x
x

=

x −1
x +1

.

x = 2022 + 4 2018 − 2022 − 4 2018

Có
=

x −1 x +1
.
=
x
x −1

)

(
(

(

2018 + 2
2018 + 2 −

)

2

−

(

2018 − 2

)

2

2018 − 2 = 2018 + 2 − 2018 + 2 = 4

thỏa mãn điều kiện
.

18

x>0

và


3

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9

P

+ Vậy giá trị của biểu thức

Bài 9:Cho biểu thức

x=4

là:

 6
 ( a − 1) 2
10 − 2 a
B = 
+
÷
÷. 4 a
a
−
1

a
a
−
a
−
a
+
1



a) Rút gọn biểu thức
b) Đặt

tại

4 +1 3
=
2
4

B

C = B.(a − a + 1)

.

(với

a > 0; a ≠ 1

).

.

. So sánh

C

và 1.

Hướng dẫn giải
TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MƠN-LỚP

a)

Với

a > 0; a ≠ 1

, ta có:

 6
10 − 2 a  ( a − 1) 2
B=
+
.
 a − 1 (a − 1)( a − 1)  4 a
=

b)

4 a +4
( a − 1) 2
4( a + 1)
( a − 1) 2
1
.
=
.
=
(a − 1)( a − 1) 4 a
( a − 1)( a + 1)( a − 1) 4 a
a

Với

a > 0; a ≠ 1

C −1 =
, ta có:

A=
Bài 10:Cho biểu thức

a − a +1
( a − 1) 2
−1 =
> 0.
a

a
WORD=>ZALO_0946 513 000

x +1
x

:
+
x+4 x +4  x+2 x

a. Rút gọn biểu thức

A

x 
÷
x +2

Vậy

, với

B=
. Vậy

1
.
a

C > 1.

x>0

.

.

b. Tìm tất cả các giá trị của

x

A≥
để

1
3 x

.

Hướng dẫn giải
A=

a)

Ta có:

x +1
x +1
x
x 


:
+
÷ = ( x + 2) 2
x+4 x +4  x+2 x
x +2

19


x
:
+
 x ( x + 2)

x 
÷
x +2


3

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9
=

b)

x +1
( x + 2) 2

Với

x>0


x
: 
+
x
+
2


x 
x +1
x ( x + 1)
=
÷
=
:
÷
2
x + 2  ( x + 2)
x +2

1
x ( x + 2)

A=
ta có

A≥

1
3 x

⇔

x

Khi đó
0 < x ≤1

Suy ra:

(

1
x +2

x +2>0

;

.

1

≥

)

x >0

và

1
x ( x + 2)

3 x

⇔

x +2≤3 ⇔

x ≤1 ⇔ x ≤1

.

 x x +x+ x
x +3
x −1
B=
−
÷.
1 − x  2x + x −1
 x x −1
TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP

Bài 11:Cho biểu thức

).

x

Tìm tất cả các giá trị của

để

B<0

(với

.

Hướng dẫn giải
a)

b)

Ta có

Ta có

A = 25 + 3 4.2 − 2 9.2 = 5 + 6 2 − 6 2 = 5

B=



(

(

Vì

Mà

x≥0

)(

)

x −1 x + x +1


x
=
+
x
−
1

=

)

x x + x +1

+

(

2 x +3> 0

x ≥ 0; x ≠ 1

x≠

và

1
4

, do đó

.

WORD=>ZALO_0946 513 000

)(
)(

2 x + 3 x −1 2 x + 3
.
=
x −1 2 x −1 2 x −1

nên

A=5


x + 3
x −1
.
x − 1  2x + x − 1


x −1
x +3
.
÷
x −1  2 x −1

(

. Vậy

)

x +1

)

x +1

.

B<0

2 x −1 < 0 ⇔ x <
khi
0≤ x<

nên ta được kết quả

20

1
4

.

1
4

.

x ≥ 0; x ≠ 1

x≠

và

1
4


3

CÁC CHUN ĐỀ TỐN 9

Bài 12:Cho biểu thức

1  x+2
÷
x −2
x

 1
V =
+
 x +2

a) Rút gọn biểu thức

b) Tìm giá trị của

x

V

với

x > 0, x ≠ 0

.

.

1
3

V=

để

.

Hướng dẫn giải

1  x +2
 1
V =
+
=
÷
x −2
x
 x +2

(

a)
V=
b)

1
⇔
3

x −2+ x +2
x +2

)(

x −2

TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP

2
1
= ⇔ x − 2 = 6 ⇔ x = 64
x −2 3
x +2
x −5

A=
Bài 13: Cho hai biểu thức
A

1) Tính giá trị biểu thức
B=
2) Chứng minh rằng

và
x=9

1
x −5

3) Tìm tất cả các giá trị của

x

3
20 − 2 x
+
x − 25
x +5

.

WORD=>ZALO_0946 513 000

.

A = B. x − 4
để

.

Hướng dẫn giải
1)

Tính giá trị biểu thức

Khi

x=9

A=
ta có

Chứng minh rằng

x=9

khi

.

9 + 2 3+ 2
5
=
=−
2
9 −5 3−5
B=

2)

A

1
x −5

2
x −2

( thỏa mãn)

B=

khi

)

x +2
=
x

.

21

với

x ≥ 0, x ≠ 25

.


3

CÁC CHUN ĐỀ TỐN 9

x ≥ 0, x ≠ 25

Với

=

3

(

(

)

B=
thì

x − 5 + 20 − 2 x
x +5

)(

x −5

)

=

3
+
x +5

3

20 − 2 x =
+
x − 15
x +5

3 x − 15 + 20 − 2 x

(

x +5

)(

x −5

)

=

(

(

20 − 2 x
x +5

x +5
x +5

)(

)(

)

x −5

x −5 =

)

1
x −5

(đpcm)

A = B. x − 4
3)

Tìm tất cả các giá trị củađể
Với

x ≥ 0, x ≠ 25

.

A = B. x − 4
Ta có:
TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP

⇔

Nếu

x +2
=
x −5

1
. x−4
⇔ x +2= x−4
x −5

x ≥ 4, x ≠ 25

thì

⇔ x− x −6 = 0 ⇔

Do
Nếu

x +2>0
0≤ x<4

thì

x +2>0

Vậy có hai giá trị

)(

(

)

)(

WORD=>ZALO_0946 513 000

)

x +2 =0

x =1 ⇔ x =1
x =1

P =

Bài 14:Cho biểu thức :
a) Rút gọn biểu thức

và

(thỏa mãn)
x +2 = 4−x

trở thành :
x −1

x +2= x−4

x +2 =0

x =3 ⇔ x =9

(*)

nên

trở thành :

x −3

nên

⇔ x+ x −2=0 ⇔

Do

(

(*)

(*)

x=9

(thỏa mãn)

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

x
- x +x x +6
+
x +2
x+ x- 2
P

.

22

x +1
x- 1

, với

x ³ 0, x ¹ 1

.


3

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9
Q=
b) Cho biểu thức

( x + 27 ) .P

(

x +3

)(

x −2

)

, với

x ³ 0, x ¹ 1, x ¹ 4

. Chứng minh

Q ≥ 6.

Hướng dẫn giải
a)

Ta có
x
−x + x x + 6
x +1
+
−
x +2
x+ x −2

x −1

P=

x

=

(

)

x −1 − x + x x + 6 −

(

)(

x −1

(

x+2

)(

x +1

)

x +2

)

TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP

=

=

b)

x − x − x + x x + 6− x −3 x −2

(

)(

x −1

x +2

−x + x x − 4 x + 4

(

Với
Q=

)(

x −1

x +2

)

x ≥ 0, x ≠ 1, x ≠ 4

(

( x + 27 ) .P
x +3

= x −3+

)(

=

(

)

)
( x − 1) (

x −1 ( x − 4)

.

, ta có

)

x −2 =

36
= −6 +
x +3

x + 27 x − 9 + 36
=
x +3
x +3

WORD=>ZALO_0946 513 000

(

)

x +3 +

x +3=
Dấu “=” xẩy ra khi

Bài 15:Cho biểu thức

)

x +2 = x −2

36
≥ −6 + 12 = 6
x +3
36
x +3 ⇔

(

)

. (co-si)

2

x + 3 = 36 ⇔ x = 9

.


 1
1+ a
1− a
1
P = 
+
−
1

−
÷
÷
2
a ÷
1 − a 2 − 1 + a ÷
 1+ a − 1− a
 a

Chứng minh rằng P = –1
Hướng dẫn giải

23

với 0 < a < 1.


3

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9
Với 0 < a < 1 ta có:

(


1+ a
P=
+
 1+ a − 1− a


1− a

)

2

( 1− a) ( 1+ a) − (


1+ a
=
+
 1+ a − 1− a
1− a


(
(

)


2
  1 − a − 1 ÷
2
2

a÷
1− a   a




)


  (1 − a )(1 + a ) − 1 


a2
a
1+ a − 1− a  

1− a

2

)


  1− a. 1+ a 1 
1+ a
1− a
=
+
− ÷

a2
a÷
1 + a − 1 − a  

 1+ a − 1− a

TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP

=

1 + a + 1 − a 2 1 − a . 1 + a − (1 − a ) − (1 + a)
.
2a
1+ a − 1− a

1+ a + 1− a −
=
.
1+ a − 1− a

=−

=−

(

1+ a + 1− a

(

1+ a − 1− a

)

2

2a

)(

1+ a − 1− a

)

2a
1 + a −1 + a
2a
=−
= −1
2a
2a

WORD=>ZALO_0946 513 000

A=

Bài 16:1) Tính giá trị biểu thức :

2) Cho biểu thức
P=
a) Chứng minh

x +1
x −1

 x−2
P=
+
 x+2 x

x +1
x

khi x = 9.

1  x +1
÷.
x + 2  x −1

.

b) Tìm giá trị của x để 2P =

2 x +5

.

24

với

x > 0; x ≠ 1

.

3

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9
Hướng dẫn giải
x = 9 =3⇒ A =

1.

Với x = 9 thì
P=

2)

a) Chứng minh
- Với

x > 0; x ≠ 1

x +1
x

3 +1 4
= =2
3 −1 2

.

ta có


 x +1
x−2
x
P = 
+
÷
÷. x − 1
x
(
x
+
2)
x
(
x
+
2)


TÀI LIỆU ĐỦ LOẠI-MÔN-LỚP

P=

P=

x+ x −2
x +1
.

x ( x + 2) x − 1
( x − 1)( x + 2) x + 1
.
x ( x + 2)
x −1

- Vậy với

b)

- Với

x > 0; x ≠ 1

x > 0; x ≠ 1

- Để 2P =

=

ta có

ta có:

nên

x +1
x

x=

Vậy với

thì 2P =

WORD=>ZALO_0946 513 000

2x + 3 x − 2 = 0

 x = −2 (lo¹i)
1

⇔ x=
1
 x=
4

2
1
4

.

2 x +1
=
2 x +5
x

- Đưa về được phương trình

- Tính được

x +1
x

P=

P=

2 x +5

x +1
x

thỏa mãn điều kiện

2 x +5

25

x > 0; x ≠ 1