Toán lớp 7 chuyên đề 2 CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ HỮU TỈ ( Học sinh giỏi lớp 7)(có đáp án lời giải chi tiết)

Chuyên đề 2. CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA
SỐ HỮU TỈ
A. Kiến thức cần nhớ
1. Với x =
x+ y =

a
b
, y = ( a, b, m�Z, m> 0) ta có:
m
m

a b a+ b
a b a- b
+ =
; x- y = =
.
m m
m
m m
m

a
c
2. Với x = ; y = ta có:
b
d
a c ac
a c a.d
x.y = . = ; x : y = : =
(với y�0).

b d bd
b d bc
.
3. Các phép tốn trong Q cũng có những tính chất giao hốn, kết hợp và phân phối của phép nhân đối với
phép cộng như trong tập hợp Z. Ngoài ra các quy tắc bỏ dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế cũng như trong tập
hợp Z.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Thực hiện các phép tính:
a)

1
18

� 1 1 1�
�
- - - �
�
�
�;
�
� 9 6 3�

b)

1 - 1 1 1
+ + ;
2 3 23 6

Giải
Tìm cách giải. Khi thực hiện các phép tính chỉ có phép cộng và trừ, ta có thể thực hiện trong



ngoặc trước, thực hiện từ trái qua phải. Tuy nhiên nếu có nhiều dấu (-) ta có thể giảm bớt dấu (-) bằng
cách bỏ ngoặc. Ngồi ra có thể dùng tính chất giao hốn và kết hợp nhằm giải bài tốn được nhanh hơn.
 Trình bày lời giải.
� 1 1 1�
� 1 1 1 1 1 2 3 6 12 2
�
- - - �
= + + + = + + + = = ;
�
�
� 9 6 3�
� 18 9 6 3 18 18 18 18 18 3

a)

1
18

b)

1 - 1 1 1 1 1 1 1 �
1 1 1�
1
1
1
+ + = + + + =�
+ + �

+ = 1+ = 1
�
�
�
�
2 3 23 6 2 3 23 6 �
2 3 6� 23
23
23

Ví dụ 2. Thực hiện các phép tính
�
1 13�
5
�
: �
a) �
�
�
�
�
2 14�7

� 2 1�
5
�
+ �
: ;
�
�

�
� 21 7�7
�

b)

� 3 5�
2
�
- + �
: �
�
�
� 4 13�7
�

�1 8 �
�2
�
2 :
�
�
�
� 4 13�7
�

Giải


Tìm cách giải. Vì phép chia là phép nhân số bị chia với số nghịch đảo của số chia nên ta có thể

vận dụng tính chất phân phối:
a : m+ b : m= ( a + b) : m
a : m- b : m= ( a- b) : m
Trang 1


 Trình bày lời giải
�
1 13 2 1�
5
10 7 - 2
+ - �
:
=. =
�
a) �
�
�7
�
�
2 14 21 7�
21 5
3
�3 5
1 8 �2
7
- + - 2 + �
:
=

2
.
=- 7
(
)
�
b) �
�
�7
�
� 4 13
4 13�
2
Ví dụ 3. Tìm x.
�
�
2
4�
1 - 4 �
�
x- �
+
: x�
= 0;
�
�
b) �
�
�
�

�
�
�
�
�
9
9�
3 7 �

a)

1
3
- 3
x+ x =
;
2
5
65

c)

x + 5 x + 6 x+ 7 x+ 8 x+ 9
+
+
+
+
=- 5;
2015 2014 2013 2012 2011

d)

x + 2 x + 3 x + 4 x + 5 x + 360
+
+
+
+
= 0.
338
337
336
335
5
Giải

 Tìm cách giải. Khi tìm x ta có thể vận dụng các tính chất sau:


ax + bx = ( a + b) x



�
k k k
1 1 1�
k
1
+ + �
= k. nên + + = k.�
�

�
�
�
�
a b c
a b c�
a
a



A.B= 0 thì A= 0 hoặc B= 0

 Trình bày lời giải.
a)

� - 3 11
1
3
- 3 �
1 3�
- 3
- 3 11
x+ x =
��
+ �
.x =
� .x =
� x=
:

�
�
�
2
5
65 �
2 5� 65 10
65
65 10

� x=

- 6
143

�
�
2
4�
1 - 4 �
2
4
1 - 4
�
�
x- �
+
:
x
=

0
�
x
= 0 hoặc +
: x = 0 suy ra
�
�
b) �
�
�
�
�
�
�
�
�
9
9�
3 7 �
9
9
3 7
2
4
- 4
- 1
12
x= hoặc
: x=
� x = 2 hoặc x= .

9
9
7
3
7
� 12�
2; �
Vậy x ��
�
�
� 7�
c)

x+ 5
x+ 6
x+ 7
x+8
x+ 9
+1+
+1+
+1+
+1+
+1= 0
2015
2014
2013
2012
2011

�

x + 2020 x + 2020 x + 2020 x + 2020 x + 2020
+
+
+
+
=0
2015
2014
2013
2012
2011

�1
1
1
1
1 �
�
� ( x + 2020) .�
+
+
+
+
=0
�
�
�
�
�

2015 2014 2013 2012 2011�

Trang 2


Vì

1
1
1
1
1
+
+
+
+
> 0 nên x+ 2020 = 0
2015 2014 2013 2012 2011

� x =- 2020
d)

x+ 2
x+ 3
x+ 4
x+ 5
x+ 360
+1+
+1+
+1+

+1+
- 4= 0
338
337
336
335
5

�

x + 340 x + 340 x+ 340 x + 340 x+ 340
+
+
+
+
=0
338
337
336
335
5

�1
1
1
1
1�
� ( x + 340) �
+
+

+
+ �
=0
�
�
�
�
�
338 337 336 335 5�
Mà

1
1
1
1
1
+
+
+
+ �0. Suy ra x=- 340 .
338 337 336 335 5

Ví dụ 4. Tìm số ngun x, y biết:

5 y 1
+ =
x 4 8
Giải

 Tìm cách giải. Đối với dạng toán này, chúng ta chú ý ab = k( a,b ι Z,b

0) thì a�Ư(k), b�Ư(k).

Do vậy chúng ta quy đồng mẫu số, chuyển x, y về một vế, vế cịn lại là một số ngun.
 Trình bày lời giải.
5 y 1 5 1 y 5 1- 2y
+ = � = - � =
� ( 1- 2y) .x = 40
x 4 8 x 8 4
x
8
Vì x; y �Z � 1- 2y là ước lẻ của 40 mà ước lẻ của 40 là: 1; 5; -1; -5 nên ta có bảng giá trị:
1- 2y
1
5
-1
-5
y
40
8
-40
-8
Từ đó suy ra ( x; y) �{ ( 40;0) ,( 8;- 2) ,( - 40;1) ,( - 8;3) }
Ví dụ 5. Rút gọn biểu thức:
5 5
+ 13
19
a) A =
11 11
11+ 3 19

5-

1
6
b) B =
1
8

5
6
6
6
+
27 + 101 123 134 ;
11 11 11 11
+
27 101 123 134

1
1
+
39 51
1
1
+
52 68
Giải



Tìm cách giải. Những biểu thức phức tạp, nếu thực hiện theo thứ tự sẽ dài và có thể dẫn đến sai

lầm. Quan sát kĩ, ta thấy có những phần giống nhau cả số và dấu vì vậy ta nên vận dụng tính chất phân
phối
�
k k k
1 1 1�
+ + = k.�
+ + �
�
�
�để rút gọn.
�
�
a b c
a b c�
Trang 3


Trình bày lời giải.



5 5
+ 13
19
A
=
a) Ta có:
11 11

11+ 3 19
5-

5
6
6
6
+
27 + 101 123 134
11 11 11 11
+
27 101 123 134

� 1 1
5�
1+ �
�
� 13 19
=
� 1 1
11�
1- + �
�
� 3 19
� A=

�1
1�
1
1 �

�
�
6�
+
�
�
�
�
�
�
27� �
101 123 134�
+
�1
1�
1
1 �
�
�
11�
+
�
�
�
�
�
�
27� �
101 123 134�

5 6
+ =1
11 11

1
6
b) Ta có: B =
1
8

1 1
+
39 51 =
1
1
+
52 68

1�
1
�
�
�
3�
2
1�
1
�
�
�

4�
2

1 1�
+ �
�
� 1 1 4
13 17�
= : =
1 1�
3 4 3
�
+ �
�
13 17�

Ví dụ 6. Cho 2021 số nguyên dương a1;a2;...a2021 thỏa mãn:
1 1
1
+ +... +
= 1011. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 2 trong số 2021 số nguyên dương đã cho
a1 a2
a2021
bằng nhau.
Giải
Tìm cách giải. Dạng tốn này chúng ta khơng chỉ ra được cụ thể tường minh đó là hai giá trị nào,



mà chỉ cần chỉ ra tồn tại ít nhất hai số trong các số đã cho bằng nhau mà thôi. Đối với dạng tốn này

thơng thường chúng ta dùng phương pháp phản chứng:


Bước 1. Phủ định kết luận. Tức là giả sử không có hai số nguyên dương nào bằng nhau.



Bước 2. Lập luận logic, chứng tỏ mâu thuẫn với đề bài đã cho hoặc một điều hiển nhiên.



Bước 3. Chứng tỏ giả sử là sai. Vậy kết luận của đề bài là đúng.

 Trình bày lời giải.
Giả sử trong 2021 số nguyên dương a1;a2;...a2021 thỏa mãn: khơng có hai số nào bằng nhau.
Khi đó

1 1
1
1 1
1
+ +... +
� + + ...+
a1 a2
a2021 1 2
2021

1 1
1 1
<1+ + +... + = +1010 = 1011 mâu thuẫn với đề bài.

2 2
2 1
Vậy có ít nhất 2 trong số 2021 số nguyên dương đã cho bằng nhau


Nhận xét. Trong lời giải bài toán trên, sau khi giả sử 2021 số nguyên dương khác nhau chúng ta

đã so sánh chúng với 2021 số nguyên dương nhỏ nhất. Từ đó nhận thấy 2021 số nguyên dương nhỏ nhất
cũng không thỏa mãn đầu bài. Suy ra 2021 số nào đó cũng khơng thỏa mãn đề bài và dẫn đến mâu thuẫn
với giả thiết.
Trang 4


Ví dụ 7. Cho a+ b+ c = 2070 và
Tính giá trị: S =

1
1
1
1
+
+
=
a+ b b+ c c + a 90

a
b
c
+
+

b+ c c + a a + b
Giải

Tìm cách giải. Với điều kiện đề bài, chúng ta khơng thể tính được giá trị của a, b, c. Do vậy



chúng ta cần biến đổi S nhằm xuất hiện a + b + c và

phần kết luận

1
1
1
+
+
. Quan sát kỹ chúng ta thấy
a+ b b+ c c + a

a
b
c
+
+
, mỗi phân số đều có tổng tử và mẫu bằng nhau và bằng a+ b+ c .
b+ c c + a a + b

Do đó chúng ta cộng mỗi phân số với 1, và có lời giải sau:
 Trình bày lời giải.
Ta có S =

� S=

a
b
c
+1+
+1+
+1- 3
b+ c
c+ a
a+ b

a + b+ c a + b+ c a + b+ c
+
+
- 3
b+ c
c+ a
a+ b

�1
�
1
1 �
� S = ( a+ b+ c) �
+
+
- 3
�
�

�
�
�
b+ c c + a a+ b�
� S = 2070.

1
- 3= 23- 3= 20
90

Ví dụ 8. Tìm x, biết:
a) ( x- 1) ( x- 2) > 0 ;

b) ( 2x- 4) ( 9- 3x) > 0
Giải

 Tìm cách giải. Đối với dạng toán này chúng ta chú ý kiến thức sau:


A.B > 0 � A và B cùng dấu.



A.B < 0 � A và B khác dấu.

 Trình bày lời giải
a) ( x- 1) ( x- 2) > 0 � x- 1 và x- 2 cùng dấu.
mà x- 2 < x- 1 nên suy ra: x- 2> 0 hoặc x- 1< 0 � x > 2 hoặc x< 1.
Vậy với x> 2 hoặc x<1 thì ( x- 1) ( x- 2) > 0
b) 2x- 4 và 9- 3x cùng dấu, nên ta có trường hợp sau:



�
2x- 4> 0 �
2x > 4 �
x> 2
��
��
Trường hợp 1: �
;
�
�
�
�
9- 3x > 0 �
3x > 9 �
�
�
�x < 3
Trang 5




�
�x < 2
2x- 4< 0 �
x< 2
��
��

Trường hợp 2: �
loại.
�
�
�
�
9- 3x < 0 �
3x > 9 �
�
�
�x > 3

Vậy với 2 < x < 3 thì ( 2x- 4) ( 9- 3x) > 0
 Nhận xét. Ngoài cách giải trên của câu b, chúng ta có thể lập luận theo cách sau:

( 2x- 4) ( 9- 3x) > 0 � - 6( x- 2) ( x- 3) > 0 � ( x- 2) ( x- 3) < 0
� x- 2 và x- 3 khác dấu.
Mà x- 3< x- 2 nên suy ra: x- 2> 0 và x- 3< 0 � x > 2 và x< 3.
Vậy với 2 < x < 3 thì ( 2x- 4) ( 9- 3x) > 0
Ví dụ 9. Chứng tỏ rằng:
1-

1 1 1
1
1
1
1
1
1
+ - +...+

=
+
+ ...+
+
2 3 4
199 200 101 102
199 200
Giải

Xét vế trái, ta có: 1-

1 1 1
1
1
+ - +... +
2 3 4
199 200

�
1 1 1
1
1
1 1
1 �
�
= 1+ + + +... +
+
- 2�
+ +... +
�

�
�
�
2 3 4
199 200 �
2 4
200�
1 1 1
1
1
1
1
= 1+ + + + ... +
+
- 1- - ...2 3 4
199 200
2
100
=

1
1
1
1
+
+... +
+
.
101 102
199 200

Vế trái bằng vế phải; Điều phải chứng minh.
 Nhận xét. Nếu vận dụng so sánh số hữu tỷ, ta có:
=

1
1
1
1
1
1
1
1
+
+... +
+
>
+
+... +
= . Từ đó bạn có thể giải được bài tốn sau:
101 102
199 200 200 200
200 2

Chứng tỏ rằng:
1-

1 1 1
1
1

1
+ - +... +
>
2 3 4
199 200 2

C. Bài tập vận dụng
2.1. Viết số hữu tỉ

- 14
thành:
45

a) tích của hai số hữu tỉ theo sáu cách khác nhau.
b) thương của hai số hữu tỉ theo sáu cách khác nhau.
2.2. Thực hiện phép tính (tính nhanh nếu có thể).
� 1 2�
� 1
� 2 1�
3 5�
�
�
�
�
5+ - �
2
2
+
8+ �
�

�
a) �
;
�
�
�
��
�
� 5 9�
� 23
�
�
�
�
�
35 6
7 18�

Trang 6


b)

1 3 �
3� 1 2 1 1
- - �
- �
+ - + ;
�
�

�
� 5�
3 4 �
64 9 36 15

c) -

5
7

� 5�
13 1 � 5�
3
�
�
+ + +�
- 1 �
+1 �
�
�
�
�
�
�
�
� 67� 30 2 � 6� 14

d)

� 3 �

3 �
- 1 1�
- 1
1�
:�
- �
+ :�
- 1 �
�
;
�
�
�
�
�15 6� 5 �
�3
5 �
15�

e)

� 5 18
7 5 5�
2�
. - .�
- . .
�
�
� 13�
� 9 13

13 9 9 �

� 2�
�
- �
�
;
�
�
� 5�
�

2.3. Thực hiện các phép tính sau:
�
- 54
a) D = �
�
�64

�
1 8�
- 1�- 81
�
�
�
:
:
:
�
;

�
�3�
�
�
9 27�
�128

�
�7
193 �
2
3 �
11��
11 �
1931 9�
�
�
�
�
��
�
+
:
+
�
�
b) E = �
.
�
�

� 34��
�25 + 2�
�
�
�
�
�
�
�
17
193
386
1931
3862
�
��
�
�
3 2 1 ��
3 2 1�
- + �
:�
- + �
�
�
2.4. Rút gọn: A = �
.
�
�
�

�
�
�
�
2 5 10��
2 3 12�
(Đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn, lớp 7, tỉnh Bắc Giang, năm học 2012 - 2013)
2.5. Tìm x, biết:
a)

3
7
+ x =;
5
13

�
�
- 7 �
2,5+
x�
= 0;
c) ( 4x- 9) �
�
�
�
�
3 �

� 5�

� 8
�
x- �
= ;
�
�
� 6�
� 9

b)

3
2

d)

x + 5 x + 6 x + 7 x +8
+
=
+
.
2015 2014 2013 2012

2.6. Tính:
P = 1+

1
1
1
1

( 1+ 2) + ( 1+ 2+ 3) + ( 1+ 2+ 3+ 4) +... + ( 1+ 2+ 3+...+16)
2
3
4
16

2.7. Tìm giá trị nguyên dương của x và y , sao cho:

1 1 1
+ =
x y 5

2.8. Tìm số nguyên x, y biết:
a)

1 1 y
= + ;
x 6 3

b)

x 1 1
- = ;
6 y 2

c)

x 1 3
- = .
4 y 4

2.9. Tính tổng M = x + y+ z , biết:
19
19
19
7x
7y
7z
133
+
+
=
+
+
=
x + y y+ z z+ x y+ z z+ x x+ y 10
1
1
1
2.10. Tìm các số hữu tỉ x, y, z thỏa mãn: x + y = ; y+ z = ;z+ x =
2
3
6
2.11. Cho biểu thức A=

1
1
1
1
+

+
+ ...+
. Chứng minh rằng:
1.2 3.4 5.6
99.100
Trang 7


a) A=

1
1
1
1
1
+ + +... + +
;
51 52 53
99 100

b)

7
5
< A<
12
6

2.12. Cho 100 số hữu tỉ, trong đó tích 3 số bất kì là một số âm. Chứng minh rằng:
a) Tích của 100 số đó là một số dương.

b) Tất cả 100 số đó đều là số âm.
2.13. Cho 20 số ngun khác 0: a1,a2,a3,...,a20 có các tính chất sau:
+ a1 là số dương.
+ Tổng của ba số viết liền nhau bất kì là một số dương.
+ Tổng của 20 số đó là số âm.
Chứng minh rằng: a1.a14 + a14a12 < a1.a12
2.14. Đặt A =
B=

1 �
1 1
1 �
�
.�
1+ + +...+
�
�
�và
� 3 5
1011 �
2019�

�
1 �
1 1 1
1 �
.�
+ + + ...+
�
�

�
�
1010 �
2 4 6
2020�

So sánh A và B.
2.15. Cho 100 số tự nhiên a1;a2;...;a100 thỏa mãn

1 1
1
101
+ +...+
=
.
a1 a2
a100
2

Chứng minh rằng ít nhất hai trong 100 số tự nhiên trên bằng nhau.
(Thi học sinh giỏi toán 7, huyện Yên Lạc, Vĩnh Phúc 2012 - 2013)
2.16. Cho ba số a, b, c thỏa mãn: 0�a �b+1�c + 2 và a+ b+ c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của c.
HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ
2.1.
a)

- 17 - 1 - 1 - 1 - 7 - 1 - 1
=
+
=

+
=
+
60
30 4
20 30 12
5

b)

- 17 - 1
=
60
3

c)

- 17 - 1 1 - 2 7 - 9 1
=
+ =
+ =
+
60
3 20 15 60 20 6

d)

- 17 - 1 7 - 2 1 - 1 1
=
=

=
60
6 60
5 12
4 30

� 1�
- 11
�
�
=
�
�
�
� 20� 30
�

� 1�
- 1
�
- �
=
�
�
�
� 4� 2
�

� - 13�
�

�
�
�
�
� 60 �
�

2.2.
1 2
1
3 5
2 1
a) 5+ - - 2+ + 2 - - 8- +
5 9
23
35 6
7 18
�
� �1 2 5�
� 1
1 3 2�
= ( 5- 2+ 2- 8) +�
+ - �
+�
- - �
+
�
�
�
�

�
�
�
5 35 7� �
18 9 6� 23

Trang 8


=- 3+ 0- 1+
b)

1
22
=- 3
23
23

1 3 3 1 2 1 1
- + + - +
3 4 5 64 9 36 15

�
�
1 3 1�
3 2 1�
1
1
1
�

=�
+ + �
+ + �
+ = 1- 1+ =
�
�
�
�
�
�
�
�
�
3 5 15� �
4 9 36� 64
64 64
c) -

5 5 13 1 5
3 2
+ + + - 1 +1 +
7 67 30 2 6 14 5

�
�3 5�
13 1 5 2�
5
�
�
=�

+ - + �
+
1
1
+
+
(
)
�
�
�
�
�
� 67
�
�
�
�
30 2 6 5�
14 7�
� 1�
� 5
1
5
= + 0+�
- �
+ =
�
�
�

� 2� 67 67
2
d)

3 - 7 3 - 7 3 - 30 3 - 5 3 �
- 30 - 5�
3
:
+ :
= .
+ .
= .�
+ �
= .(- 5) =- 3
�
�
�
�
5 30 5 5
5 7
5 7
5 �7
7� 5

e)

5�
7 2 18�
5- 9 - 5
�

.�
= .
=
�
� + �
�
9�
13 13 13� 9 13 13

2.3.
� 27
a) D = �
�
�32

�
1 27�
- 1�- 81
�
�
. �
:
:
�
�
�3�
�
�
9 8�
�128

� 27 3 3 �128
D= �
- . �
.
�
�32 8 - 1�
�- 81
�
- 27 9�128
D= � + �
.
�
�32 8�
�- 81
�
- 27+ 36 128 � 9 128 - 4
�
D= �
.
= .
=
�
- 81�
� 32
� 32 - 81 9
�
�7
193 �
2

3 �
11��
11 �
1931 9�
�
�
�
�
��
�
+
:
+
�
�
b) E = �
�
�
� 34��
�25 + 2�
�
�
�
�
- 17�
193 386�
1931 3862�
�
��
�

�
- 2 3 11��
7 11 9�
E = � + + ��
:
+ + �
�
17 34 34��
25 50 2�
�
��
�
�
- 2 7 ��
14 11 9�
E = � + ��
:
+ + �
�
17 17��
50 50 2�
�
��
�
E=

5 �
1 9� 5
1
: �+ �

= :5=
17 �
2 2�
17
�
� 17

�
3 2 1 ��
3 2 1�
- + �
:�
- + �
�
�
2.4. A = �
�
�
�
�
�
�
�
2 5 10��
2 3 12�
�
��
� 12 11 6 12 72
15 4 1 �
18 8 1 �

�
A=�
+ �
:
+
= : = . =
�
�
�
�
�
�
��
� 10 12 5 11 55
10 10 10�
12 12 12�
Trang 9


2.5.
a) x =
b)

- 7 3
- 35 39 - 74
- � x=
=
13 5
65 65
65

3
5 8 3 5 8
27 15 16 26 13
- x+ = � + - = x � x = + = =
2
6 9 2 6 9
18 18 18 18 9

c) 4x- 9 = 0 hoặc 2,5+
suy ra 4x= 9 hoặc

- 7
=0
3

- 7
x =- 2,5
3

9
- 5 - 7 15
:
=
hoặc x =
4
2 3 14

x=

�9 15�
Vậy x �� ; �
�
�
�4 14�
d)

x+ 5
x+ 6
x+ 7
x+8
+1+
+1=
+1+
+1
2015
2014
2013
2012

�

x + 2020 x + 2020 x + 2020 x + 2020
+
=
+
2015
2014
2013
2012

�

x + 2020 x + 2020 x + 2020 x + 2020
+
=0
2015
2014
2013
2012

�1
�
1
1
1 �
� ( x + 2020) �
+
=0
�
�
�
�
�
2015 2014 2013 2012�
Mà

1
1
1

1
+
< 0 nên x+ 2020 = 0 hay x=- 2020
2015 2014 2013 2012

2.6. Theo công thức: 1+ 2+ 3+... + n =

n( n+1)
2

1 2.3 1 3.4 1 4.5
1 16.17
+ .
+...+ .
Suy ra: P = 1+ . + .
2 2 3 2 4 2
16 2
3 4 5
17
P = 1+ + + +...+
2 2 2
2
P=

1
1
( 1+ 2+ 3+... +17) 2
2

1 17.18 1

P= .
- = 76
2 2
2
2.7. Vì x và y có vai trị như nhau, khơng giảm tính tổng quát, giả sử
1 1 1
x ���+�+++
y 1
x y x
Mặt khác

1
y

1
5

2
y

y 10

1 1 1 1 1
+ = � < � y> 5� 5< y�10� y�{ 6;7;8;9;10}
x y 5 y 5
Trang 10


1 1 1 1 1 1 1
+ Với y = 6 � + = � = - = � x = 30

x 6 5 x 5 6 30
+ Với y = 7�

1 1 1 1 1 1 3
+ = � = - =
loại.
x 7 5 x 5 7 35

+ Với y = 8�

1 1 1 1 1 1 3
+ = � = - =
loại.
x 8 5 x 5 8 40

+ Với y = 9�

1 1 1 1 1 1 4
+ = � = - =
loại.
x 9 5 x 5 9 45

+ Với y = 10 �

1 1 1 1 1 1
+ = � = � x = 10
x 10 5 x 5 10

Vậy cặp ( x; y) là ( 30;6) ;( 6;30) ;( 10;10)
2.8.

a)

1 1+ 2y
=
� x( 1+ 2y) = 6
x
6

vì x; y �Z � 1+ 2y là ước lẻ của 6 mà ước lẻ của 6 là: 1; 3; -1; -3 nên ta có bảng giá trị
1+ 2y
1
3
-1
-3
x
6
2
-6
-2
Từ đó suy ra ( x; y) �{ ( 6;0) ,( 2;1) ,( - 6;- 1) ,( - 2;- 2) }
b)

x 1 1
x 1 1
x- 3 1
- = � - = �
= � ( x- 3) .y = 6
6 y 2 6 2 y
6
y

� x- 3 và y là ước của 6, mà Ư(6) = { 1;2;3;6;- 1;- 2;- 3;- 6}

Từ đó ta có bảng sau:
x- 3
y

1
2
3
6
-1
-2
-3
-6
6
3
2
1
-6
-3
-2
-1
Từ đó suy ra ( x; y) �{( 4;6) ,( 5;3) ,( 6;2) ,( 9;1) ,( 2;- 6) ,( 1;- 3) ,( 0;- 2) ,( - 3;- 1) }
c)

x 3 1
x- 3 1
- = �
= � ( x- 3) y = 4

4 4 y
4
y

� x- 3 và y là ước của 4, mà Ư(4) = { 1;2;4;- 1;- 2;- 4} nên ta có bảng giá trị:

x- 3
y

1
2
4
-1
-2
-4
4
2
1
-4
-2
-1
Từ đó suy ra ( x; y) �{( 4;4) ,( 5;2) ,( 7;1) ,( 2;- 4) ,( 1;- 2) ,( - 1;- 1) }
2.9. Từ đề bài suy ra:
Từ đề bài, ta có:
�

1
1
1
133

17
+
+
=
:19 =
x + y y+ z z + x 10
10

x
y
z
133
+
+
=
:7
y+ z z+ x x+ y 10

x
y
z
19
+
+
=
y+ z z+ x x+ y 10
Trang 11


�

x
y
z
19
+1+
+1+
+1= + 3
y+ z
z+ x
x+ y
10

�

x + y+ z x + y+ z x + y+ z 49
+
+
=
y+ z
z+ x
x+ y
10

�1
1
1 �
49
�
� ( x+ y+ z) �

+
+
=
�
�
�
�
�y+ z z+ x x + y� 10

( x+ y+ z) .

7 49
= � x + y+ z = 7 hay M = 7
10 10

2.10. Ta có:
1
2

1 1
3 6

( x+ y) +( y+ z) +( z+ x) = + + � 2( x+ y+ z) = 1� x+ y+ z =
Suy ra:

1
2

1
1

1
1
1
1
+ z = � z = 0 mà: y+ z = � y = ; z + x = � x =
2
2
3
3
6
6

�
1 1 �
; ;0�
�
Vậy ( x; y; z) = �
.
�
�
�
�
6 3 �
2.11. a) Xét biểu thức ta có:
A=

1
1
1
1

1 1 1 1 1
1
1
+
+
+...+
= 1- + - + - + ...+ 1.2 3.4 5.6
99.100
2 3 4 5 6
99 100

�
1 1 1 1 1
1
1 1
1 �
�
= 1+ + + + + +... +
- 2�
+ +... +
�
�
�
�
2 3 4 5 6
100 �
2 4
100�
1 1 1 1 1
1

1
1
= 1+ + + + + +... +
- 1- - ...2 3 4 5 6
100
2
50
=

1
1
1
1
+ + +... +
51 52 53
100

Vế trái bằng vế phải. Điều phải chứng minh.
b) Ta có:
�
��
�
1 1 1
1 �1 1
1 � �1 1
1�
   ... 
 �   ...  � �   ...  �
51 52 53
100 �1

504 4
502 4 4 50
754 4
752 4 4 3
75�
3 � �1
25 ph�
n s�
25 ph�
n s�
�
��
�
Hay A <

25 25 1 1 5
5
+ = + = � A<
(1)
50 75 2 3 6
6

�
�
�
�
�
�
�
�

�
�
�
1
1
1
1 �1
1
1 �1
1
1 �
�
�
�
+ + +...+
> � + + ...+ �
+
+
+
...
+
�
�
�
�
�
�
51 52 53
100 �
75

75
75
100
100244444444
1003�
�
�
�
1
444444
4
24
44444
4
3
1
44444444
�
�
�
�
�
��
�
25 ph�
n s�
25 ph�
n s�
Hay A >

25 25 1 1 7
7
+
= + = � A>
(2)
75 100 3 4 12
12

Trang 12


Từ (1) và (2), suy ra:

7
5
< A < . Điều phải chứng minh.
12
6

2.12. Đặt 100 số hữu tỉ đó là a1;a2;a3;...;a100
a) Theo đề bài ta có: a1.a2.a3 < 0 � trong ba số a1;a2;a3 tồn tại ít nhất một số âm.
Giả sử a1 < 0
Xét a1;a2;a3;...;a100 = a1( a2.a3.a4) ( a5.a6.a7) ...( a98.a99.a100)
Ta có: a1 < 0 theo đề bài: a2a3a4 < 0;a5a6a7 < 0;...;a98a99a100 < 0
(có 33 nhóm) nên a1( a2.a3.a4) ( a5.a6.a7) ...( a98.a99.a100) > 0
b) Theo đề bài ta có a2a3a4 < 0� trong ba số a2;a3;a4 tồn tại ít nhất một số âm.
Giả sử a2 < 0. Xét a1.a2.a3 < 0 mà a1a2 > 0 nên a3 < 0
Xét a1.a2.ak < 0 với k= 4,100 mà a1a2 > 0 � ak < 0
Vậy tất cả 100 số đó đều là số âm.
2.13. Ta có:

a1 +( a2 + a3 + a4) +...+( a11 + a12 + a13) + a14 +( a15 + a16 + a17) +( a18 + a19 + a20) < 0
Mà a1 > 0;a2 + a3 + a4 > 0;...;a11 + a12 + a13 > 0;a15 + a16 + a17 > 0;a18 + a19 + a20 > 0� a14 < 0
Cũng như vậy:

( a1 + a2 + a3) +...+( a10 + a11 + a12 ) +( a13 + a14 ) +( a15 + a16 + a17 ) +( a18 + a19 + a20 ) < 0� a13 + a14 < 0
Mặt khác. a12 + a13 + a14 > 0 � a12 > 0
Từ các điều kiện a1 > 0;a12 > 0;a14 < 0 � a1.a14 + a14.a12 < a1.a12 (điều phải chứng minh).
1 1
1
2.14. Đặt C = 1011.A = 1+ + + ... +
;
3 5
2019
1 1 1
1
D = 1010.B = + + + ... +
2 4 6
2020
1 1 1
1
1 1 1 1
1
= + + + +... +
Ta có C > 1+ + + +... +
4 6 8
2020 2 2 4 6
2020
1
� C > + D (1)
2

1 1
1
1 1 1
1 1010
< + + +... + =
Mặt khác D = + +... +
2 4
2020 2 2 2
2
2
D
1
<
(2)
1010 2
Từ (1) và (2) � C >

D
1011.D
C
D
+D=
�
>
hay A > B
1010
1010
1011 1010

2.15. Giả sử trong 100 số nguyên dương a1;a2;...;a100 thỏa mãn: Khơng có hai số nào bằng nhau.

Trang 13


Khi đó

1 1
1 1 1
1
+ +... +
� + +...+
a1 a2
a100 1 2
100

1 1
1 1 99 101
<1+ + +... + = + =
mâu thuẫn với giả thiết.
2 2
2 1 2
2
Vậy có ít nhất 2 trong số 100 số nguyên dương đã cho bằng nhau.
2.16. Vì 0�a �b+1�c + 2 nên a + b+ c �c + 2+ c +1+ c
+ۣ1 3c + 3 (vì a+ b+ c = 1) hay 3c -+-�
2
Vậy giá trị nhỏ nhất của c là: -

c

2

3

2
4
1
khi đó a = ;b =
3
3
3

Trang 14