Tim Nguyen ham bang PP he so bat dinh

<span class='text_page_counter'>(1)</span>TÌM NGUYÊN HÀM NHỜ HỆ SỐ BẤT ĐỊNH. I. KIẾN THỨC CƠ BẢN. 1. Định nghĩa nguyên hàm Hàm số F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a, b) nếu với mọi x thuộc (a, b) ta có; F’(x) = f(x). 2. Định lý: 2.1. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a, b) thì: a. Mọi C thì F(x) + C cũng là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a, b) b. Mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a, b) đều viết được dưới dạng F(x)+C, hay  f  x  dx  F  x   C Mọi hàm số f(x) liên tục trên (a, b) đều có nguyên hàm trên đoạn đó.. 2.2.. n. 3.. F  x    a i x i k ax  b i 0. n. a aix. n. F'  x    i.a i x i 1 k ax  b  i 1. f x. n. i. i 0. k k  ax  b . k 1. . n.  k.i.a x  ax  b   a  a x i 1. i 1. i. i 0. k k  ax  b . k 1. i. i. là. ax  b.dx  F'  x   k.f  x . ax  b  f(x) là đa thức bậc   n    1    n 1 vậy ai là hệ số phải tìm f  x  .dx k. . Đặc biệt nếu. k.  ax  b . k 1. Ta chỉ cần tìm F(x) cùng bậc với f(x) nhân với. ax  b . 4. Tìm  f  x  ax 2  bx  c dx hay  f  x  x 2  a 2 dx k. '. Có ln x  x 2  a  . . . 1 x2  a. F  x   g  x  x 2  a 2  A.ln x  x 2  a 2. (1). Với các hệ số của đa thức g(x) bậc   1 phải tìm,  là bậc của đa thức f(x) Nếu. . f  x  .dx. thì g(x) trong (1) bậc là   1 .. x a 5. Tìm  f  x  ln k x.dx chỉ cần tìm  x n ln k x.dx 2. 2. Có F(x)  ax n .ln k x thì đạo hàm của F(x) là F'  x   nax n 1 ln k x  kax n 1 ln k 1 x .. Nên nguyên hàm cần tìm có dạng: F  x   a k x n 1 ln k x  a k 1x n 1 ln k 1 x  ...  a 0 x n 1 Các hệ số ai với i  0,1,...,k phải tìm. 6. Tìm I   sin ax.ebx dx. Từ công thức tính nguyên hàm từng phần có: F  x    a1 sin ax  a 2 cosax  ebx (2) Mà các hệ số a1, a2 cần xác định. Với công thức (2) còn dùng tìm I   cosax.ebx dx 7. Tìm I   x n sin x.dx . Thì F  x   a n x n cos x  a n 1x n 1 sin x  ....

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Còn I   x n cos x.dx thì F  x   a n x n sin x  a n 1x n 1cos x  .... 8. Tìm  f  x  e x dx thì F  x   g  x .e x , hệ số g(x), bậc của f(x) phải tìm.. Chú ý ở đây f(x), g(x) là những đa thức bậc k nào đó bậc xác định ở mỗi phần. F(x) là một nguyên hàm của nguyên hàm cần tìm. II. BÀI TẬP ÁP DỤNG 1. Tìm nguyên hàm của f  x    2x  3 x  5 Lời giải: Gọi f  x    ax 2  bx  c  x  5 là một nguyên hàm của f(x) khi đó. ax 2  bx  c F'  x    2ax  b  x  5   f x 2 x 5 ax 2  bx  c   2ax  b  x  5    2x  3 x  5 2 x 5  4x 2  26x  30  5ax 2  3b  20a  x  10b  c Đồng. nhất. các. hệ. số. hai. vế. ta. được:. 5a  4 4 10 10    3b  20a  26  a  ; b  ; c  . 5 3 3  c  10b  30 . 10 10  4 x   x 5 C 3 3 5 x 2  2x.dx   f  x  dx. Vậy:   2x  3 x  5.dx   x 2 .   x  1 Lời giải: Gọi f  x    ax 2. Tìm. F'  x    2ax  b  x. 2. 2.  bx  c  x 2  2x là một nguyên hàm của f(x) khi đó.  ax  2x . 2.  bx  c   x  1. x 2  2x 3ax 3   2b  5a  x 2   c  3b  x  c  x 3  3x 2  2x 1  3a  1 a  3 2b  5a  3      c  0 c  3b  2   2 c  0 b   3 .   3x  1 x Lời giải: Đặt F  x    ax 3. Tìm:. 2. 2.   x  1. Vậy:. F'  x    2ax  b  x.  x 2 2x  2 x  2x.dx    x  2x  C 3   3 2.  2x.dx   f  x  dx.  bx  c  x 2  2x  d.ln x  1  x 2  2x. Là một nguyên hàm của f(x), có: 2.  f x.  ax  2x . F'(x) = f(x)   2ax  b  x 2  2x . 2.  ax.  b 2 x  c   x  1 x  2x 2. 2.  b x  c   x  1. . d x  2x 2. 2. . d. x  2x x  2x 3 2  3ax   2b  5a  x   3b  c  x  c  d  3x  5x  2x 3. 2. 2. 2.   3x  1 x 2  2x.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 3a  3 a  1 2b  5a  5 b  0   Đồng nhất các hệ số ta được:   3b  2c  2 c  2 d  c  0 d  0 Vậy.   3x  1. 4. Tìm. x 2  2xdx   x 2  2  x 2  2x  2ln x  1  x 2  2x  C ..   4x. 2.  3x  2  x 2  4x  7.dx. Lời giải: gọi F  x    ax 3  bx 2  cx  d  x 2  4x  7  p.ln x  2  x 2  4x  7 là một ngyên hàm của f(x) =.  4x. 2.  3x  2  x 2  4x  7 . Khi đó F’(x) = f(x) hay.   x2 p 1  2  ax  bx  cx  d   x  2   x  4x  7  2 2  (3ax  2bx  c) x  4x  7    f (x) x 2  4x  7 x  2  x 2  4x  7 3. 2. .  4ax 4  14a  3b  x 3  (21a  10b  2c)x 2  14b  6c  d  x  7c  2d  p . .  4x 4  19x 3  42x 2  29x  14 5 13 22 27   a  1; b  ; c  ; d   ; p  3 6 3 2  2x  1 2x  1 dx ) 5. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   (  tìm  2 2 x 1 x 1 x 1 ax x2 1 .  b Đặt F  x   a x 2  1  b.ln x  x 2  1 . Khi đó F'  x   x2 1 x  x2 1 x 1 ax x 2  1  2x  1  ax  b  2x  1  b F(x) là nguyên hàm của f(x)  x2 1 x  x2 1 x2 1 Đồng nhất các hệ số của x ta được: a = 2; b = 1. 2x  1 dx  2 x 2  1  ln x  x 2  1  C Từ đó  2 x 1 x 2  3x  1 dx 6. Tìm  x2 1 x 2  3x  1 2 2 Gọi F  x    ax  b  x  1  c.ln x  x  1 là một nguyên hàm của f(x)= x2 1 ax 2  bx c x 2  3x  1    f x khi đó ta có: F'  x   a x 2  1  x2 1 x2 1 x2 1 1 1   2ax 2  bx  c  a  x 2  3x  1. Đồng nhất các hệ số ta được: a  ; b  3; c  2 2  x 2  3x  1 1 1  2 dx  x  3 x  1  ln x  x 2  1  C . Vậy:    2 2 2  x 1 7. Tìm I   x 3 ln 2 x.dx.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Lời giải: F  x   a 2 x 4 ln 2 x  a1x 4 ln x  a 0 x 4. F'  x   4a 2 x 3 ln 2 x  2a 2 x 3 ln x  4a1x 3 ln x  a1x 3  4a 0 x 3 . F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x 3 ln 2 x khi 4a 2 x 3 ln 2 x  2a 2 x 3 ln x  4a1x 3 ln x  a1x 3  4a 0 x 3  x 3 ln 2 x . Đồng nhất các hệ số ta được: a2 + 2a1 = 0 ; a1 + 4a0 = 0; 4a2 = 1 1  a 1   8 a 2  2a1  0  x 4 ln 2 x x 4 ln x x 4 1   3 2 I  x ln x.dx    C Vậy a  4a  0  a   1  2 0  4 8 32 4 4a  1   2 1  a 0  32  2 ln x 8. Tìm  3 dx x ln 2 x a b c Lời giải: gọi F  x   2 ln 2 x  2 ln x  2 là một nguyên hàm của hàm số , khi đó x x x x3 2a ln 2 x 2a ln x 2b b 2c ln 2 x F'  x      3 ln x  3  3  3 đồng nhất các hệ số ta được x3 x3 x x x x 1  a  1   ab 2    2 b  a    c   1 b c   4 2  ln 2 x ln 2 x ln x 1 Vậy  3 dx =   3  2  2  C x 2x 2x 4x x 9. Tìm  sin 3x.e dx Lời giải: x x F  x    asin3x  bcos3x  e  F'  x   e  asin3x  bcos3x  3a cos3x  3bsin 3x . Có. Nên  asin3x  bcos3x  3a cos3x  3bsin 3x   sin 3x , đồng nhất các vế ta được:. 1  a   10 a  3b  1  sin 3x 3cos3x  x   . Vậy  sin 3x.e x dx    e  C . 10   10 b  3a  0 b   3  10 10. Tìm  cos 2x.e3x dx. F  x    asin2x  bcos 2x  e3x  F'  x   e3x 3asin2x  3bcos 2x  2a cos 2x  2bsin 2x  Nên  3asin2x  3bcos 2x  2a cos 2x  2bsin 2x   cos 2x , đồng nhất các vế ta được:. 2  a  2a  3b  1  13   3a  2b  0 b  3  13 2 11. Tìm  x sin 2xdx. . Vậy  cos 2x.e3x dx . e3x  2sin 2x  3cos 2x   C . 13.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> F  x    ax 2cosx  bx sin x  ccos x   F'  x   2acosx  ax 2 sin x  bsin x  bx cos x  csin x Nên 2acosx  ax 2 sin x  bsin x  bx cos x  csin x  x 2 sin x , đồng nhất các vế ta được: a  1 a  1   . Vậy  x 2 sin xdx  x 2 cos x  2x sin x  2cos x  C . b  2a  0  b  2 c  b  0 c  2   12. Tìm   2x 3  3x 2  4x  5 e2x dx .. Gọi F(x)   ax 3  bx 2  cx  d  e2x là một nguyên hàm của f  x    2x 3  3x 2  4x  5 e2x. Thì F'  x   e2x  2ax 3  2bx 2  2cx  2d  3ax 2  2bx  c  =  2x 3  3x 2  4x  5 e2x  f  x . a  1 a  1 b  0 2b  3a  0     c  2 . Vậy 2c  2b  4  2d  c  5 d  3  2 1  x 1  13. Tìm  1  x   e x dx x .   2x. 3. 3   3x 2  4x  5 e2x dx   x 3  2x   e2x  C 2 . b c    b  bx  c   2  x x   1 x  b c   1  x 1  e x  b  bx  c   2   1  x   e x . Đồng nhất 2 vế ta được b= 1 và c = 0. x x   x  1 1 x 1  x  Nên  1  x   e x dx  xe x  C . x  III. BÀI TẬP TỰ GIẢI Tìm các nguyên hàm sau: 1.  x 3  xdx ; 2.  (x  2) x 2  4xdx ; Có F  x    bx  c  e. . x. 1 x.  F'  x   e. x 2  3x. dx ; x 2  2x 5.   x 2  x  ln 3 xdx ; 3.. 7.. x. 2. 9.. x. 3.  2x  e3x dx.  x  cos3xdx ;. x. 1 x. ln 3 x 4.  2 dx ; x.   2sin 3x  cos3x  e dx ; 8.   2x  x  sin 2xdx ; x. 6.. 2. 1  x  1x  2 10.   x  3x  1   e dx x  Nguyễn Minh Đức – THPT chuyên NTT – YB Năm học 2003-2004.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>