Toán Lớp 11 đạo hàm của hàm số LƯỢNG GIÁC
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.44 MB, 29 trang )
Đạo hàm – ĐS> 11
ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A – TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Giới hạn lượng giác
sin u ( x)
sin x
lim
1 (với lim u ( x) 0 )
1 ; lim
x x0
x x0
x 0
x
u ( x)
2. Đạo hàm các hàm số lượng giác
Đạo hàm
(sin x) ' cos x
(cos x) ' sin x
1
(tan x) '
cos 2 x
1
(cot x) ' 2
sin x
Hàm hợp
(sin u) ' u '.cos u
(cos u) ' u 'sin u
u'
tan u ' 2
cos u
u'
cot u ' 2
sin u
B – BÀI TẬP
DẠNG 1: TÍNH ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM BẰNG CÔNG THỨC HOẶC BẰNG
MTCT
Câu 1. Hàm số y f x
A. 2 .
2
cos x
B.
có f ' 3 bằng:
8
.
3
C.
4 3
.
3
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
sin x
2
1
.
f ' x
2. cos x '.
2.
2
cos x
cos x
cos 2 x
sin 3
f ' 3 2 .
0.
cos 2 3
Câu 2. Cho hàm số y cos3x.sin 2 x. Tính y ' bằng:
3
1
A. y ' 1 .
B. y ' 1 .
C. y ' .
2
3
3
3
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
y ' cos3x 'sin 2 x cos3x sin 2 x ' 3sin 3x.sin 2 x 2cos3x.cos 2 x .
y ' 3sin 3 .sin 2 2cos 3 .cos 2 1 .
3
3
3
3
3
Trang 1
D. 0 .
1
D. y ' .
3 2
Đạo hàm – ĐS> 11
Câu 3. Cho hàm số y
cos 2 x
. Tính y ' bằng:
1 sin x
6
B. y ' 1 .
6
A. y ' 1 .
C. y ' 3 .
6
6
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
cos 2 x '. 1 sin x cos 2 x 1 sin x ' 2sin 2 x 1 sin x cos 2 x.cosx .
y'
2
2
1 sin x
1 sin x
D. y ' 3 .
6
3 1 1 3
3
3
1 .
2 2 2 2
2
4 4 3 3 2 3 3 3 .
y '
2
1
2
4
6
1
1
4
2
2
Câu 4. Cho hàm số y f x sin x cos x . Giá trị f ' bằng:
16
2.
A. 0 .
B.
2.
C.
2
.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
1
1
1
f ' x
cos x
sin x
cos x sin x .
2 x
2 x
2 x
2
2
2
1
cos sin 1 2 2 0 .
f '
2
2
2 2
4
4
16
2.
2
2
4
Câu 5. Cho hàm số y f x tan x cot x . Giá trị f ' bằng:
4
2
A. 2 .
B.
.
C. 0 .
2
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
1
1
y tan x cot x y 2 tan x cot x y '.2 y
2 .
2
cos x sin x
1
1
1
y'
2 .
2
2 tan x cot x cos x sin x
1
1
1
1
f '
2 2 0
cos 2 sin 2 2 2
4
2 tan cot
4
4
4
4
D.
2 2
Trang 2
D.
1
.
2
.
Đạo hàm – ĐS> 11
1
. Giá trị f ' bằng:
sin x
2
1
B. .
C. 0 .
2
Câu 6. Cho hàm số y f x
A. 1 .
D. Không tồn tại.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
1
1
cos x
.
y
y2
y '2 y
sin x
sin 2 x
sin x
y'
1 cos x
.
2 y sin 2 x
1
2
sin x
cos x sin x cos x
. 2 .
2
2
sin x
sin x
sin cos
2
2 1 . 0 0 .
f '
.
2
2 1
2
sin 2
2
5
Câu 7. Xét hàm số y f x 2sin
x . Tính giá trị f ' bằng:
6
6
A. 1 .
B. 0 .
C. 2 .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
5
f ' x 2 cos
x.
6
f ' 2 .
6
2
Câu 8. Cho hàm số y f x tan x
. Giá trị f ' 0 bằng:
3
A. 4 .
B. 3 .
C. 3 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
1
.
y'
2
2
cos x
3
f ' 0 4 .
Câu 9. Cho hàm số y
A. y 1 .
6
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
cos x
. Tính y bằng:
1 sin x
6
B. y 1 .
6
C. y 2 .
6
Trang 3
D. 2 .
D. 3 .
D. y 2 .
6
Đạo hàm – ĐS> 11
Ta có y
sin x 1 sin x cos 2 x
1 sin x
2
1
y
2.
6 1 sin
6
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
1
y
sin x
sin x
sin x
2
1
.
1 sin x
1
. Giá trị f là:
sin x
2
Câu 10. Cho hàm số y f ( x)
A. 1.
B.
1
.
2
cos x
tan x
sin x
C. 0.
D. Không tồn tại.
f tan 0
2
2
cos x 4
cot x . Giá trị đúng của f bằng:
3
3sin x 3
3
9
9
8
B. .
C. .
D. .
8
9
8
Câu 11. Cho hàm số y f ( x)
8
.
9
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
A.
1
4
4
cos x 4
2
y f ( x)
cot
x
cot
x
.
cot
x
cot
x
.(1
cot
x
)
cot
x
3
sin 2 x 3
3
3sin x 3
1
1
cot 2 x
1
cot 3 x cot x 3cot 2 x. cot x 2 2 2 .
3
sin x
sin x sin x
cot 2
1
9
3
Suy ra f
8
3
sin 2 sin 2
3
3
cos 2 x
Câu 12. Cho hàm số y f ( x)
. Biểu thức f 3 f bằng
2
1 sin x
4
4
8
8
A. 3 .
B.
C. 3 .
D.
3
3
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
2cos x sin x 1 sin 2 x 2cos x sin x cos 2 x
f x
2
1 sin 2 x
Trang 4
Đạo hàm – ĐS> 11
2cos x sin x 1 sin 2 x cos 2 x
1 sin x
2
2
4cos x sin x
1 sin x
2
2
8
f
4 9
1 8
f 3 f 3 .
4
4 3 3
Câu 13. Cho hàm số y f x sin 3 5 x.cos 2
3
6
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
A.
B.
f ' x 3.5.cos5 x.sin 2 5 x.cos 2
3
4
x
. Giá trị đúng của f bằng
3
2
3
C.
3
3
2
D.
x
2
x
x
sin 3 5 x sin cos
3
3
3
3
3
3
f 0 1.
2.3
6
2
2
Câu 14. Cho hàm số f x tan x
. Giá trị f 0 bằng
3
A. 3 .
B. 4 .
C. 3 .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
1
1
f x
f 0 4 .
1
2
cos 2 x
4
3
cos x
Câu 15. Cho hàm số y f x
. Chọn kết quả SAI
1 2sin x
5
1
A. f
B. f 0 2 .
C. f
3
4
2
6
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
sin x. 1 2sin x cos x.2.cos x
sin x 2
f ' x
2
2
1 2sin x
1 2sin x
D.
3.
D. f 2 .
5
1
f ; f 0 2; f ; f 2 .
6 8
2 3
2
Câu 16. Cho hàm số y
. Khi đó y là:
cos 3x
3
3 2
2
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
A.
B.
3 2
2
C. 1 .
Trang 5
D. 0 .
Đạo hàm – ĐS> 11
cos 3x 3
2.sin 3x
3 2.sin
. Do đó y '
0
2
cos 3x
cos 3x
cos 2
3
Câu 17. Cho hàm số y f x sin( sin x) . Giá trị f bằng:
6
Ta có: y 2.
A.
3
2
B.
2
2
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có: y ( .sin x).cos( .sin x) .cos x.cos( .sin x)
C.
2
D. 0.
3
3.
1
y .cos .cos .sin . .cos .
.cos 0
6
6
2
2
2
6
2
2
Câu 18. Cho hàm số y f x sin x cos x . Giá trị f bằng
16
A.
2.
B. 0.
C.
2 2
D.
2
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
2
sin x f 0
2 x
2 x
16
2
Câu 19. Hàm số y f x
có f 3 bằng
cot x
Ta có: f x
1
1
cos x
A. 8 .
B.
8
3
C.
4 3
3
D. 2 .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: f x
2 cot x
cot 2 x
2
1 cot 2 x
f 3 2 .
cot 2 x
5
Câu 20. Xét hàm số f ( x) 2sin
x . Giá trị f bằng
6
6
A. 2 .
B. 1 .
C. 0 .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
5
Ta có: f x 2cos
x f 2
6
6
Câu 21. Cho hàm số y f ( x) tan x cot x . Giá trị f bằng
4
A.
2.
B. 0 .
C.
Trang 6
2
.
2
D. 2 .
D.
1
.
2
Đạo hàm – ĐS> 11
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
1
1
2
2
cos x sin x f 0.
Ta có: f x
2 tanx cot x 2 tanx cot x
4
Câu 22. Cho f x cos2 x sin 2 x . Giá trị f bằng:
4
A. 2
B. 1
C. 2
D. 0
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: f x cos 2 x f x 2sin 2 x . Do đó f 2
4
cos x
Câu 23. Cho hàm số y f ( x)
. Giá trị biểu thức f f là
1 sin x
6
6
4
4
8
8
A. .
B. .
C. .
D. .
3
9
9
3
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
cos x 1 s inx (1 s inx) cos x 1 f f 4
Ta có: f x
2
1 s inx
6
6 3
1 s inx
tanx cot x
Câu 24. Tính
f ' 1
x
. Biết rằng : f ( x) x 2 và ( x) 4 x sin
.
' 0
2
f '(1)
4
'(0) 8
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
A.
B.
f '(1)
2
'(0) 8
f '( x) 2 x f '(1) 2; '( x) 4
2
cos
x
2
C.
'(0) 4
f '(1)
4
Suy ra '(0) 8 .
Trang 7
f '(1) 4
'(0)
2
D.
f '(1)
4
'(0) 8
Đạo hàm – ĐS> 11
DẠNG 2: TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG CƠNG THỨC
Câu 1. Hàm số y sin x có đạo hàm là:
A. y ' cos x .
B. y ' cos x .
C. y ' sin x .
D. y '
1
.
cos x
D. y '
1
.
sin x
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Theo công thức đạo hàm lượng giác sgk Đại số 11: sin x ' cos x .
Câu 2. Hàm số y cos x có đạo hàm là:
A. y ' sin x .
B. y ' sin x .
C. y ' cos x .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Theo công thức đạo hàm lượng giác sgk Đại số 11: cos x ' sin x .
Câu 3. Hàm số y tan x có đạo hàm là:
1
A. y ' cot x .
B. y '
.
cos 2 x
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
C. y '
1
.
sin 2 x
Theo công thức đạo hàm lượng giác sgk Đại số 11: tan x '
Câu 4. Hàm số y cot x có đạo hàm là:
A. y ' tan x .
B. y '
1
.
cos 2 x
D. y ' 1 tan 2 x .
1
.
cos 2 x
C. y '
1
.
sin 2 x
D. y ' 1 cot 2 x .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Theo công thức đạo hàm lượng giác sgk Đại số 11: cot x '
1
.
sin 2 x
Câu 5. Chọn mệnh đề ĐÚNG trong các mệnh đề sau?
A. Hàm số y cos x có đạo hàm tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó.
B. Hàm số y tan x có đạo hàm tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó.
C. Hàm số y cot x có đạo hàm tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó.
1
D. Hàm số y
có đạo hàm tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó.
sin x
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Câu 6. Hàm số y tan x cot x có đạo hàm là:
1
4
4
A. y '
.
B. y '
.
C. y '
.
2
2
cos 2 x
sin 2 x
cos 2 2 x
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Trang 8
D. y '
1
.
sin 2 2 x
Đạo hàm – ĐS> 11
1
1
sin 2 x cos 2 x
4
.
2
2
2
2
cos x sin x sin x.cos x sin 2 2 x
Câu 7. Đạo hàm của hàm số y 3sin 2 x cos3x là:
A. y 3cos 2 x sin 3x.
C. y 6cos 2 x 3sin 3x.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có y 3.2cos 2 x 3sin 3x 6cos 2 x 3sin 3x .
Câu 8. Hàm số y sin 3x có đạo hàm là:
6
A. 3cos 3x .
B. 3cos 3x .
6
6
Hướng dẫn giải:
y'
B. y 3cos 2 x sin 3x.
D. y 6cos 2 x 3sin 3x.
C. cos 3x .
6
D. 3sin 3x .
6
Áp dụng bảng công thức đạo hàm của hàm số hợp: sin u u.cos u
Chọn B.
Câu 9. Đạo hàm của y sin 2 4 x là
A. 2sin8x .
B. 8sin 8x .
C. sin 8x .
D.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
y 2.4.sin 4 x.cos 4 x 4sin8x .
Câu 10. Hàm số y 2cos x 2 có đạo hàm là
A. 2sin x 2 .
B. 4 x cos x2 .
C. 2 x sin x2 .
D.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
y 2.2 x.sin x 2 4 x sin x 2 .
2
Câu 11. Cho hàm số y cos
2 x . Khi đó phương trình y 0 có nghiệm là:
3
k
A. x k 2 .
B. x
.
C. x k .
D.
3
3 2
3
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
2
Ta có: y 2.sin
2x
3
k
2
Theo giả thiết y 0 sin
2x 0 x
k
3 2
3
1
Câu 12. Hàm số y cot 3x tan 2 x có đạo hàm là
2
3
1
3
1
3
x
A.
B.
C.
D.
2
2
2
2
2
sin 3x cos 2 x
sin 3x cos 2 x
sin 3x cos 2 2 x
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Trang 9
4sin8x .
4 x sin x2 .
x
3
k
.
2
1
1
2
sin x cos 2 2 x
Đạo hàm – ĐS> 11
3
1
2
3
1
2
2
2
sin 3x 2 cos 2 x
sin 3x cos 2 2 x
Câu 13. Đạo hàm của hàm số y 2sin 2 x cos 2 x x là
A. y 4sin x sin 2 x 1.
B. y 4sin 2 x 1.
C. y 1.
D. y 4sin x 2sin 2 x 1.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có: y 4sin x cos x 2sin 2 x 1 4sin 2 x 1 .
Câu 14. Hàm số y x tan 2 x ó đạo hàm là:
2x
2x
2x
x
.
.
.
.
A. tan 2 x
B.
C. tan 2 x
D. tan 2 x
2
2
2
cos x
cos 2 x
cos 2 x
cos 2 2 x
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
2 x tan 2 x x. 2 .
y x tan 2 x x tan 2 x tan 2 x x
cos 2 2 x
cos 2 2 x
1
Câu 15. Hàm số y cot x 2 có đạo hàm là:
2
x
x
x
x
A.
B.
C.
D.
2
2 2
2
2sin x
sin x
sin x
sin 2 x 2
Hướng dẫn giải:
Chọn D
2
1 x
x
2 2
Ta có: y
2 2
2 sin x
sin x
x
Câu 16. Cho hàm số y sin . Khi đó phương trình y ' 0 có nghiệm là:
3 2
Ta có: y
A. x
k 2 .
3
Hướng dẫn giải:
B. x
3
k .
3
k 2 .
D. x
3
k .
2l , l )
3
3
1
1
x
x
x
Ta có: y cos y 0 cos 0 k
2
3 2 2
2
3 2
3 2
Chọn C (vì x
x
3
2k , k Z x
C. x
2k , k Z
1
2
1 tan x có đạo hàm là:
2
2
A. y ' 1 tan x .
B. y ' 1 tan x .
Câu 17. Hàm số y
C. y ' 1 tan x 1 tan 2 x . D. y ' 1 tan 2 x .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Sử dụng công thức đạo hàm hợp: u n ' n.u n1.u ' và đạo hàm của hàm số lượng giác.
Trang 10
Đạo hàm – ĐS> 11
1
1
'
Ta có: y ' .2 1 tan x . 1 tan x 1 tan x
1 tan x 1 tan 2 x .
2
2
cos x
3
Câu 18. Hàm số y sin 7 x có đạo hàm là:
2
21
21
21
21
cos 7 x.
cos x.
A. cos x.
B. cos 7 x.
C.
D.
2
2
2
2
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
3
21
3
y sin 7 x . 7 x cos 7 x cos 7 x .
2
2
2
Câu 19. Đạo hàm của y tan 7 x bằng:
7
7
7
7x
A.
.
B.
.
C. 2
.
D.
.
2
2
cos 7x
cos 7x
sin 7x
cos 2 7 x
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
7
Ta có: y tan 7 x
cos 2 7 x
Câu 20. Đạo hàm của hàm số f x 2sin 2 x cos 2 x là
A. 4cos 2 x 2sin 2 x .
C. 4cos 2 x 2sin 2 x .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
f x 4cos 2 x 2sin 2 x .
B. 2cos 2 x 2sin 2 x .
D. 4cos 2 x 2sin 2 x .
Câu 21. Đạo hàm của hàm số y sin 2 x là y bằng
2
A. 2sin 2x .
B. cos 2 x .
C. 2sin 2x .
2
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
y 2cos 2 x 2sin 2 x .
2
Câu 22. Đạo hàm của hàm số f x sin 3x là
3cos 3x
sin 3x
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
3 cos 3x
f x
2 sin 3x
A.
B.
3cos 3x
2 sin 3x
C.
1
Câu 23. Hàm số y sin x 2 có đạo hàm là:
2 3
Trang 11
3cos 3x
2 sin 3x
D. cos 2 x .
2
D.
cos 3x
2 sin 3x
Đạo hàm – ĐS> 11
1
A. x.cos x 2 .
B. x 2 cos x .
2
3
3
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
1
Ta có: y . 2 x .cos x 2 x.cos x 2
2
3
3
Câu 24. Đạo hàm của hàm số y cos tan x bằng
A. sin tan x
C. sin tan x .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
1
cos 2 x
C.
1
x sin x .
2
3
B. sin tan x
D. – sin tan x .
D.
1
x cos x 2 .
2
3
1
cos 2 x
1
.
cos 2 x
Câu 25. y 2sin x 2 2
y sin tan x
A. y ' x cos( x 2 2)
B. y ' 4cos( x2 2)
Hướng dẫn giải:
y ' 4 x cos( x 2 2)
Câu 26. Hàm số y sin 2 x.cos x có đạo hàm là:
A. y ' sinx 3cos 2 x 1 .
C. y ' sinx cos 2 x 1 .
C. y ' 2 x cos( x 2 2)
D. y ' 4 x cos( x 2 2)
B. y ' sinx 3cos 2 x 1 .
D. y ' sinx cos 2 x 1 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
y ' sin 2 x '.cos x sin 2 x. cos x ' 2cos 2 x sin x sin 3 x
sin x 2cos2 x sin 2 x sin x 3cos 2 x 1 .
sinx
có đạo hàm là:
x
x cos x sin x
A. y '
.
x2
x sin x cos x
C. y '
.
x2
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
sin x '.x sinx.x' x.cos x sin x .
y'
x2
x2
x
Câu 28. y
sin x
sin x cos x
sin x x cos x
A. y '
B. y '
2
sin x
sin x
Câu 27. Hàm số y
x cos x sin x
.
x2
x sin x cos x
D. y '
.
x2
B. y '
C. y '
Trang 12
sin x cos x
sin x
D. y '
sin x x cos x
sin 2 x
Đạo hàm – ĐS> 11
Hướng dẫn giải:
sin x x cos x
y'
sin 2 x
Câu 29. Hàm số y x 2 .cos x có đạo hàm là:
A. y ' 2 x.cos x x 2 sin x .
C. y ' 2 x.sin x x 2 cos x .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
y ' x 2 '.cos x x 2 . cos x ' 2 x.cos x x 2 .sin x .
B. y ' 2 x.cos x x 2 sin x .
D. y ' 2 x.sin x x 2 cos x .
Câu 30. Hàm số y 1 sin x 1 cos x có đạo hàm là:
A. y cos x sin x 1 .
B. y cos x sin x cos 2 x .
C. y cos x sin x cos 2 x .
D. y cos x sin x 1 .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
1
Ta có: y 1 sin x 1 cos x 1 sin x cos x sin x.cos x 1 sin x cos x sin 2 x .
2
Suy ra: y cos x sin x cos 2x .
1 sin x
Câu 31. Cho hàm số y
. Xét hai kết quả:
1 cos x
cos x sin x 1 cos x sin x
1 cos x sin x
(I) y
(II) y
2
2
1 cos x
1 cos x
Kết quả nào đúng?
A. Cả hai đều sai.
B. Chỉ (II).
C. Chỉ (I).
D. Cả hai đều đúng.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
cos x(1 cos x) s inx(1 s inx) 1 s inx cos x
Ta có: y
2
2
1 cos x
1 cos x
cos 2 x
là
3x 1
2sin 2 x 3x 1 3cos 2 x
.
A. y '
2
3x 1
Câu 32. Đạo hàm của hàm số y
C. y '
sin 2 x 3x 1 3cos 2 x
3x 1
2
B. y '
D. y '
.
2sin 2 x 3x 1 3cos 2 x
.
3x 1
2sin 2 x 3x 1 3cos 2 x
3x 1
2
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có: y
cos 2 x 3x 1 3x 1 .cos 2 x y ' 2sin 2 x 3x 1 3cos 2 x .
2
2
3x 1
3x 1
Câu 33. Hàm số y
sin x x cos x
có đạo hàm bằng
cos x x sin x
Trang 13
.
Đạo hàm – ĐS> 11
x 2 .sin 2 x
x 2 .sin 2 x
x 2 .cos 2 x
B.
C.
(cos x x sin x) 2
(cos x x sin x) 2
(cos x x sin x) 2
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có:
s inx x cos x cos x x sin x cos x x sin x s inx x cos x
y
2
cos x x sin x
A.
x sin x cos x x sin x x cos x s inx x cos x
cos x x sin x
2
x
cos x x sin x
x
D.
cos x x sin x
2
2
x
. Khi đó nghiệm của phương trình y ' 0 là:
4
B. 2 k 4 .
C. 2 k .
Câu 34. Cho hàm số y cot 2
A. k 2 .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
D. k .
x
x
x 1
x
x
Ta có: y cot 2 2cot cot cot 1 cot 2
4
4
4 2
4
4
1
x
x
x
x
Mà: y ' 0 cot 1 cot 2 cot 0 k x 2 k 4 , k
2
4
4
4
4 2
Câu 35. Cho hàm số y f x 2sin x . Đạo hàm của hàm số y là:
B. y '
A. y ' 2cos x .
1
cos x .
x
C. y ' 2 x .cos
1
.
x
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
y ' 2.
x '.cos
x
1
.cos x .
x
Câu 36. Hàm số y 2 sin x 2 cos x có đạo hàm là:
1
1
1
1
A. y '
.
B. y '
.
sin x
cos x
sin x
cos x
cos x
sin x
cos x
sin x
C. y '
.
D. y '
.
sin x
cos x
sin x
cos x
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
1
1
.
y ' 2 sin x ' 2 cos x ' 2.cos x.
2sin x
2 sin x
2 cos x
cos x
sin x
sin x
cos x
x
Câu 37. Hàm số y tan 2 có đạo hàm là:
2
Trang 14
D. y '
1
.
x .cos x
Đạo hàm – ĐS> 11
x
2 .
A. y '
3 x
cos
2
x
sin
2 .
C. y '
3 x
2 cos
2
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
x
2.
B. y '
3 x
cos
2
sin
2sin
x
D. y ' tan 3 .
2
x
x
sin
sin
x
x 1 1
x
1
2
2 .
y ' tan '.2 tan
2 tan
.
2
2 2 cos 2 x
2 cos 2 x cos x cos3 x
2
2
2
2
3
Câu 38. Tính đạo hàm của hàm số sau: y sin 2 x 1 .
A. sin 2 2 x 1 cos 2 x 1 .
B. 12sin 2 2 x 1 cos 2 x 1 .
C. 3sin 2 2 x 1 cos 2 x 1 .
D. 6sin 2 2 x 1 cos 2 x 1 .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Bước đầu tiên áp dung công thức u với u sin 2 x 1
/
Vậy y ' sin 3 2 x 1 3sin 2 2 x 1 . sin 2 x 1 .
/
/
Tính sin 2 x 1 : Áp dụng sin u , với u 2 x 1
/
/
Ta được: sin 2 x 1 cos 2 x 1 . 2 x 1 2cos 2 x 1 .
/
/
y ' 3.sin 2 2 x 1 .2cos 2 x 1 6sin 2 2 x 1 cos 2 x 1 .
Câu 39. Tính đạo hàm của hàm số sau: y sin 2 x 2 .
A. cos 2 x 2 .
C.
B.
1
.cos 2 x 2 .
2
D.
1
2 x
x
2
2 x
2
.cos 2 x 2 .
.cos 2 x 2 .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Áp dụng công thức sin u với u 2 x 2
/
y ' cos 2 x 2 .
2 x2
cos
/
2 x
2 x .
2 /
2
2 2 x
2
x
2 x
Câu 40. Tính đạo hàm của hàm số sau: y sin x 2 x .
Trang 15
2
.cos 2 x 2 .
Đạo hàm – ĐS> 11
A.
cos x 2
.
2 sin x 2 x
cos x 2
.
sin x 2 x
B.
C.
2
.
2 sin x 2 x
D.
cos x
.
2 sin x 2 x
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
u , với u sin x 2x
/
Áp dụng
sin x 2 x
y'
/
2 sin x 2 x
cos x 2
.
2 sin x 2 x
Câu 41. Tính đạo hàm của hàm số sau: y 2sin 2 4 x 3cos3 5 x .
45
cos 5 x.sin10 x
2
45
C. y ' 8sin x cos 5 x.sin10 x
2
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
/
Bước đầu tiên áp dụng u v
5
B. y ' 8sin 8 x cos 5 x.sin10 x
2
45
D. y ' 8sin 8 x cos 5 x.sin10 x
2
A. y ' sin 8 x
y ' 2sin 2 4 x 3 cos3 5 x
/
/
Tính sin 2 4x : Áp dụng u , với u sin 4 x, ta được:
/
/
sin
2
4 x 2sin 4 x. sin 4 x 2sin 4 x.cos 4 x 4 x 4sin 8 x.
/
/
/
Tương tự: cos3 5x 3cos 2 5 x. cos5 x 3cos 2 5 x. sin 5 x . 5 x
/
/
15cos 2 5 x.sin 5 x
Kết luận: y ' 8sin 8 x
/
15
cos5 x.sin10 x.
2
45
cos 5 x.sin10 x
2
Câu 42. Tính đạo hàm của hàm số sau: y 2 sin 2 2 x .
3
A. y ' 6sin 4 x 2 sin 2 2 x .
B. y ' 3sin 4 x 2 sin 2 2 x .
C. y ' s in 4 x 2 sin 2 2 x .
D. y ' 6sin 4 x 2 sin 2 2 x .
3
2
2
2
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Áp dụng u , với u 2 sin 2 2 x.
/
y ' 3 2 sin 2 2 x 2 sin 2 2 x 3 2 sin 2 2 x sin 2 2 x .
2
/
2
Tính sin 2 2 x , áp dụng u , với u sin 2 x.
/
/
Trang 16
/
Đạo hàm – ĐS> 11
sin
2
2 x 2.sin 2 x sin 2 x 2.sin 2 x.cos 2 x 2 x 2sin 4 x.
/
/
/
y ' 6sin 4 x 2 sin 2 2 x .
2
Câu 43. Để tính đạo hàm của hàm số y sin x.cos x , một học sinh tính theo hai cách sau:
1
(I) y cos2 x sin 2 x cos 2 x
(II) y sin 2 x y ' cos 2 x
2
Cách nào ĐÚNG?
A. Chỉ (I).
B. Chỉ (II).
C. Không cách nào.
D. Cả hai cách.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Câu 44. Đạo hàm của y cos x là
cos x
sin x
sin x
sin x
A.
B.
C.
D.
2 cos x
2 cos x
2 cos x
cos x
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
sin x
Ta có y
.
2 cos x
Câu 45. Cho hàm số y sin 2 x 2 . Đạo hàm y của hàm số là
2x 2
x
A.
B.
cos 2 x 2 .
cos 2 x 2 .
2
2
2 x
2 x
x
( x 1)
C.
D.
cos 2 x 2 .
cos 2 x 2 .
2
2
2 x
2 x
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
x
y sin 2 x 2 2 x 2 cos 2 x 2
cos 2 x 2
2
2 x
3
Câu 46. Tính đạo hàm của hàm số sau: y sin x cos x .
A. 3 sin x cos x cos x sin x .
B. 3 sin x c os x cos x sin x .
C. sin x cos x cos x sin x .
D. 3 sin x cos x cos x sin x .
2
2
2
2
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Áp dụng u , với u sin x cos x
/
y ' 3 sin x cos x . sin x cos x 3 sin x cos x cos x sin x .
2
/
2
Câu 47. Tính đạo hàm của hàm số sau: y sin 3 2 x.cos3 2 x
A. sin 2 4 x.cos 4 x.
B.
3 2
sin x.cos x.
2
C. sin 2 x.cos 4 x.
Hướng dẫn giải:
Trang 17
D.
3 2
sin 4 x.cos 4 x.
2
Đạo hàm – ĐS> 11
Chọn D.
3
/
1
1
y sin 2 x.cos 2 x sin 2 x.cos 2 x sin 4 x .sin 3 4 x . Áp dụng u , u sin 4 x.
2
8
1
1
3
/
/
y ' .3sin 2 4 x sin 4 x .3sin 2 4 x.cos 4 x. 4 x sin 2 4 x.cos 4 x.
8
8
2
3
3
3
Câu 48. Tính đạo hàm của hàm số sau: y cos4 x sin 4 x
5
A. 10cos4 2 x.
B. cos4 2 x.sin 2 x.
C. 10cos4 2 x.sin x.
D. 10cos4 2 x.sin 2 x.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
cos 2 x sin 2 x cos 2 x sin 2 x cos 2 x . Áp dụng u , với u cos 2 x
5
/
5
y ' 5.cos4 2 x. cos 2 x 5.cos 4 2 x. sin 2 x . 2 x 10cos 4 2 x.sin 2 x.
/
/
Câu 49. Hàm số y cot 2 x có đạo hàm là:
1 cot 2 2 x
A. y '
.
cot 2 x
B. y '
1 tan 2 2 x
.
cot 2 x
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
C. y '
D. y '
1 cot 2 2 x
cot 2 x
1 tan 2 2 x
cot 2 x
.
.
1 cot 2 2 x
1
1
1
y ' cot 2 x '
2. 2 .
.
sin 2 x 2 cot 2 x
2 cot 2 x
cot 2 x
Câu 50. Xét hàm số f x 3 cos 2 x . Chọn đáp án sai:
A. f 1 .
2
C. f ' 1 .
2
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
B. f ' x
2sin 2 x
3. 3 cos 2 2 x
.
D. 3. y 2 . y ' 2sin 2 x 0 .
f 3 cos 2. 1 .
2
2
2sin 2 x
y 3 cos 2 x y 3 cos 2 x y '3 y 2 2sin 2 x y '
3
f ' 0 .
2
Trang 18
3
cos 2 x
2
.
Đạo hàm – ĐS> 11
3.
3
2sin 2 x
2
cos 2 x .
3
3
cos 2 x
2
2sin 2 x 2sin 2 x 2sin 2 x 0 .
Câu 51. Hàm số y 2 sin x 2 cos x có đạo hàm là:
1
1
1
1
A. y
B. y
.
.
sin x
cos x
sin x
cos x
cos x
sin x
cos x
sin x
C. y
D. y
.
.
sin x
cos x
sin x
cos x
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
sin x
cos x
cos x
sin x
Ta có y 2
.
2
2 sin x
2 cos x
sin x
cos x
Câu 52. Đạo hàm của y cot x là :
1
1
1
sin x
A.
B.
C.
D.
.
.
.
.
2
2
2 cot x
2 cot x
sin x cot x
2sin x cot x
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
1
cot x
y cot x
2
2 cot x 2sin x cot x .
Câu 53. Cho hàm số y f x 3 cos 2 x . Hãy chọn khẳng định ĐÚNG.
A. f 1 .
2
B. f x
C. 3 y. y 2sin 2 x 0 .
D. f 0 .
2
2sin 2 x
3 3 cos 2 x
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
cos 2 x
f 0 .
2
3 cos 2 x
3 cos 2 x
2
Câu 54. Đạo hàm của hàm số y sin 2 2 x.cos x
là
x
A. y 2sin 2 x.cos x sin x.sin 2 2 x 2 x.
B. y 2sin 2 x.cos x sin x.sin 2 2 x 2 x.
1
1
C. y 2sin 4 x.cos x sin x.sin 2 2 x
D. y 2sin 4 x.cos x sin x.sin 2 2 x
x x
x x
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có
1
1
y 2sin 2 x.cos 2 x.cos x sin 2 2 x. sin x
sin 4 x.cos x sin 2 2 x.sin x
x x
x x
2
2
Câu 55. Đạo hàm của hàm số y tan x cot x là
Ta có: y
3
2
2sin 2 x
3
2
Trang 19
Đạo hàm – ĐS> 11
tan x
cot x
tan x
cot x
B. y 2
2 2
2 2
2
2
cos x
sin x
cos x
sin x
tan x
cot x
C. y 2 2 2
D. y 2 tan x 2cot x.
sin x
cos 2 x
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
1
1 2 tan x 2cot x
Ta có y 2 tan x.
2cot x. 2
2
2
2
cos x
sin x cos x sin x
Câu 56. Cho hàm số y f ( x) cos2 x với f x là hàm liên tục trên . Trong bốn biểu thức dưới đây,
A. y 2
biểu thức nào xác định hàm f x thỏa mãn y 1 với mọi x ?
1
1
A. x cos 2 x .
B. x cos 2 x .
C. x sin 2 x .
2
2
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có: y f x 2.cos x. sin x f x 2.cos x.sin x f x sin 2x
D. x sin 2 x .
1
y 1 f x sin 2 x 1 f x 1 sin 2 x f x x cos 2 x
2
2
Câu 57. Đạo hàm của hàm số y
bằng:
tan 1 2 x
4x
sin 1 2 x
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
A.
B.
2
Ta có: y 2.
tan 1 2 x
tan 2 1 2 x
4
sin 1 2x
C.
4 x
sin 1 2 x
2
D.
4
sin 1 2x
2
1
4
cos 2 x
2
2
2
tan 1 2 x sin 1 2 x
2
Câu 58. Cho hàm số y x tan x . Xét hai đẳng thức sau:
(I) y
x tan 2 x tan x 1
2 x tan x
Đẳng thức nào đúng?
A. Chỉ II .
(II) y
B. Chỉ I .
x tan 2 x tan x 1
2 x tan x
C. Cả hai đều sai.
D. Cả hai đều đúng.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
1
2
cos 2 x tan x x. 1 tan x
Ta có: y
2. x.tan x
2. x.tan x
2. x.tan x
2. x.tan x
Câu 59. Đạo hàm của hàm số y sin 2 2 x x là
4
2
2
A. y 2sin 4 x
B. y 2sin x cos x .
2
2
2
2
x.tan x
x.tan x x. tan x
tan x x.
Trang 20
Đạo hàm – ĐS> 11
C. y 2sin x cos x x.
D. y 2sin 4 x .
2
2
2
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
1 cos 4 x
x
Ta có: y sin 2 2 x x
4
2
2
4
2
2
Suy ra: y 2sin 4 x
2
1
Câu 60. Đạo hàm của hàm số y 2 tan x là
x
A. y
1
1 tan 2 x
x
B. y
1
2 2 tan x
x
1
1 tan 2 x
1
x
D. y
. 1 2 .
1 x
2 2 tan x
x
1
1
2 2 tan x
x
1
1 tan 2 x
1
x
C. y
. 1 2 .
1 x
2 2 tan x
x
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
1
1
1
2
tan
x
1 tan 2 x
1 tan 2 x
x
1
1
x
x
x
1 2 .
Ta có: y
x
1
1
1 x
2 2 tan x 2 2 tan x
2 2 tan x
x
x
x
Câu 61. Đạo hàm của hàm số y cot 2 cos x sin x
A. y ' 2 cot cos x
B. y ' 2 cot cos x
1
sin cos x
cos x
2
2 sin x
1
.sin x
sin cos x
2
cos x
2 sin x
cos x
sin x
1
D. y ' 2 cot cos x 2
.sin x
sin cos x
2
.
2
1
C. y ' 2 cot cos x 2
sin cos x
.
2
.
2
cos x
sin x
.
2
Hướng dẫn giải:
Trang 21
là
Đạo hàm – ĐS> 11
Chọn B.
sin
x
1
cos x
2
y 2 cot cos x . cot cos x
2 cot cos x 2
.sin x
sin cos x
2 sinx
2 sin x
2
2
2
Câu 62. Đạo hàm của hàm số y x tan x x là
1
2
A. y ' 2 x tan x
B.
.
3
2 x
2
x
1
x2
1
.
y
'
2
x
tan
x
.
C. y ' 2 x tan x
D.
2
2
cos x 2 x
cos x
x
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
x2
1
.
Ta có: y x 2 tanx + tanx .x 2 x y ' 2 x tan x
2
cos x 2 x
x
Câu 63. Cho hàm số y =cos2x.sin 2 . Xét hai kết quả sau:
2
x
(I) y 2sin 2 x sin 2 s inx.cos2x
(II)
2
x 1
y 2sin 2 x sin 2 sin x.cos 2 x
2 2
Cách nào đúng?
A. Chỉ (I).
B. Chỉ (II).
C. Không cách nào.
D. Cả hai đều đúng.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
x
x
x 1
Ta có: y cos 2 x .sin 2 sin 2 .c os2x=-2sin2x.sin 2 s inx.cos 2 x.
2
2
2 2
cos x
Câu 64. Hàm số y
có đạo hàm bằng:
2sin 2 x
1 sin 2 x
1 sin 2 x
1 cos 2 x
1 cos 2 x
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
2sin 3 x
2sin 3 x
2sin 3 x
2sin 3 x
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
2
2
cos x sin x cos x sin x cos x sin 3 x 2sin x cos x cos x
Ta có: y
2
2sin 4 x
2sin 4 x
2sin x
sin 2 x 2cos 2 x
1 cos 2 x
sin 3 x
sin 3 x
Câu 65. Tính đạo hàm của hàm số sau y 3x 2 tan x
5 2 tan 2 x
A.
2 3x 2 tan x
5 2 tan 2 x
B.
2 3x 2 tan x
5 2 tan 2 x
C.
2 3x 2 tan x
Trang 22
5 2 tan 2 x
D.
2 3x 2 tan x
Đạo hàm – ĐS> 11
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
(3x 2 tan x) ' 3 2(1 tan 2 x)
5 2 tan 2 x
Ta có: y '
2 3x 2 tan x 2 3x 2 tan x 2 3x 2 tan x
Câu 66. Tính đạo hàm của hàm số sau y sin 2 (3x 1)
A. 3sin(6 x 2)
B. sin(6 x 2)
C. 3sin(6 x 2)
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
'
Ta có: y ' 2sin(3x 1).sin(3x 1) 2sin(3x 1).3cos(3x 1) 3sin(6 x 2) .
D. 3cos(6 x 2)
Câu 67. Tính đạo hàm của hàm số sau y 3tan 2 x cot 2 x
A. y '
C. y '
3tan x(1 tan 2 x) (1 cot 2 2 x)
B. y '
3 3tan 2 x cot 2 x
3tan x(1 tan 2 x) (1 cot 2 2 x)
D. y '
3tan 2 x cot 2 x
3tan x(1 tan 2 x) (1 cot 2 2 x)
2 3tan 2 x cot 2 x
3tan x(1 tan 2 x) (1 cot 2 2 x)
3tan 2 x cot 2 x
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
3tan x(1 tan 2 x) (1 cot 2 2 x)
y'
3tan 2 x cot 2 x
Câu 68. Tính đạo hàm của hàm số sau y 3 x3 cos 4 (2 x )
3
3x 2 8cos3 (2 x ) sin(2 x )
4
4
A. y '
3
3 3 x3 cos 4 (2 x )
3
6 x 2 8cos3 (2 x ) sin(2 x )
4
4
C. y '
3
3 3 x3 cos 4 (2 x )
3
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
3x 2 8cos3 (2 x ) sin(2 x )
4
4
B. y '
3
4 3 x3 cos 4 (2 x )
3
3x 2 8cos3 (2 x ) sin(2 x )
4
4
D. y '
3
3 3 x3 cos 4 (2 x )
3
3x 2 8cos3 (2 x ) sin(2 x )
4
4
y'
3 3 x3 cos 4 (2 x )
3
3
Câu 69. Tính đạo hàm của hàm số sau y cos 2 sin 3 x
A. y ' sin(2sin 3 x)sin 2 x cos x
B. y ' 6sin(2sin 3 x)sin 2 x cos x
Trang 23
Đạo hàm – ĐS> 11
C. y ' 7sin(2sin 3 x)sin 2 x cos x
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
y ' 3sin(2sin 3 x)sin 2 x cos x
D. y ' 3sin(2sin 3 x)sin 2 x cos x
3
sin x
Câu 70. Tính đạo hàm của hàm số sau: y
.
1 cos x
sin 2 x
A.
1 cos x
B.
3
3sin 2 x
1 cos x
C.
2
2sin 2 x
1 cos x
2
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Bước đầu tiên ta áp dụng công thức u với u
/
sin x
y ' 3
1 cos x
2
sin
.
1 cos x
sin x
1 cos x
/
2
sin x sin x 1 cos x 1 cos x .sin x cos x 1 cos x sin x
Tính :
2
2
1 cos x
1 cos x
1 cos x
/
/
cos x cos 2 x sin 2 x
1 cos x
2
/
1
.
1 cos x
2
1
3sin 2 x
sin x
.
Vậy y ' 3
.
3
1 cos x 1 cos x 1 cos x
Câu 71. Tính đạo hàm của hàm số sau: y sin cos 2 x.tan 2 x .
A. y ' cos cos 2 x.tan 2 x sin 2 x tan 2 x 2 tan x
B. y ' cos cos 2 x.tan 2 x sin 2 x tan 2 x tan x
C. y ' cos cos 2 x.tan 2 x sin 2 x tan 2 x tan x
D. y ' cos cos 2 x.tan 2 x sin 2 x tan 2 x 2 tan x
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
/
Áp dụng sin u , với u cos2 x tan 2 x
y ' cos cos2 x.tan 2 x . cos2 x.tan 2 x .
/
Tính cos 2 x.tan 2 x , bước đầu sử dụng u.v , sau đó sử dụng u .
/
cos
2
/
/
x.tan 2 x cos 2 x .tan 2 x tan 2 x .cos 2 x
/
/
/
Trang 24
D.
3sin 2 x
1 cos x
3
Đạo hàm – ĐS> 11
2cos x cos x tan 2 x 2 tan x tan x cos 2 x
/
/
2sin x cos x tan 2 x 2 tan x
1
cos 2 x sin 2 x tan 2 x 2 tan x.
2
cos x
Vậy y ' cos cos 2 x.tan 2 x sin 2 xtan 2 x 2 tan x
x 1
Câu 72. Tính đạo hàm của hàm số sau: y cos 2
.
x
1
A. y '
x
C. y '
x
x 1
.sin
.
x 1
x 1
B. y '
x 1
.sin 2.
.
x 1
x 1
D. y '
1
1
2
x
2
x
x 1
.cos 2.
.
x 1
x 1
1
2
x 1
.sin 2.
.
x 1
x 1
1
2
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
x 1
/
Áp dụng u , với u cos
x 1
/
x 1 x 1
x 1
x 1 x 1
y ' 2.cos
. cos
2.cos
.sin
.
x 1 x 1
x 1
x 1 x 1
/
/
x 1 x 1
y ' sin 2
.
.
x
1
x
1
/
x 1
Tính
x
1
Vậy y '
x
/
x 1 .
x 1 .
x 1
x 1
2
x
1
x 1
2
.
x 1
.sin 2.
.
x
1
x 1
1
2
Câu 73. Tính đạo hàm của hàm số sau: y
A.
/
x 1
6
2sin 2 x cos 2 x
2
B.
sin 2 x cos 2 x
.
2sin 2 x cos 2 x
6
sin 2 x cos 2 x
2
C.
6
2sin 2 x cos x
2
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
sin 2 x cos 2 x . 2sin 2 x cos 2 x 2sin 2 x cos 2 x . sin 2 x cos 2 x
y'
2
2sin 2 x cos 2 x
/
/
Trang 25
D.
6
2sin 2 x cos 2 x
2
