Cuc tri ham so

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG. Facebook: LyHung95. BÀI TOÁN BIỆN LUẬN SỐ TIẾP TUYẾN (Nâng cao) Thầy Đặng Việt Hùng Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho hàm số y = 3 x − x 3 (C). Tìm trên đường thẳng (d): y = − x các điểm M mà từ đó kẻ được đúng 2 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C). Hướng dẫn giải: Gọi M (m; −m) ∈ d . PT đường thẳng ∆ qua M có dạng: y = k ( x − m) − m . 3  ∆ là tiếp tuyến của (C) ⇔ hệ PT sau có nghiệm: 3 x − x2 = k ( x − m) − m (1). 3 − 3 x = k. Thay (2) vào (1) ta được: 2 x 3 − 3mx 2 + 4m = 0 ⇔ m =. 2 x3 3x 2 − 4. (2). (*). (**). Từ M kẻ được đúng 2 tiếp tuyến với (C) ⇔ (**) có 2 nghiệm phân biệt Xét hàm số f ( x ) =. 2 x3 3x 2 − 4.  2 3 2 3 6 x 4 − 24 x 2   f ′( x ) = ; ; f ′( x ) = 0 ⇔  x = 0 2 2 3   3  x = ±2 (3 x − 4). . Tập xác định D = R \ −.  Dựa vào BBT, (**) có 2 nghiệm phân biệt ⇔  m = −2 . Vậy: M(−2;2) hoặc M(2; −2) . m = 2. Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho hàm số y = x 3 − 3 x + 2 . Tìm trên đường thẳng d : y = 4 các điểm mà từ đó kẻ được đúng 2 tiếp tuyến với (C). Hướng dẫn giải: Gọi M (m;4) ∈ d . PT đường thẳng ∆ qua M có dạng: y = k ( x − m) + 4  3 ∆ là tiếp tuyến của (C) ⇔ hệ PT sau có nghiệm:  x 2− 3 x + 2 = k ( x − m) + 4 3 x − 3 = k. Thay (2) vào (1) ta được: ( x + 1) 2 x 2 − (3m + 2) x + 3m + 2  = 0. (1) (2). (*). (3).  x = −1. ⇔ 2 2 x − (3m + 2) x + 3m + 2 = 0. (4). YCBT ⇔ (3) có đúng 2 nghiệm phân biệt + TH1: (4) có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bằng –1 ⇔ m = −1 + TH2: (4) có nghiệm kép khác –1 ⇔ m = −  2  3. 2 ∨ m=2 3.  . Vậy các điểm cần tìm là: (−1; 4) ;  − ;4  ; (2; 4) . Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho hàm số y = x 3 − 2 x 2 + (m − 1) x + 2m (Cm). Tìm m để từ điểm M(1;2) kẻ được đúng 2 tiếp tuyến với (Cm). Hướng dẫn giải: PT đường thẳng ∆ qua M có dạng: y = k ( x − 1) + 2 . ∆ là tiếp tuyến của (Cm) ⇔ hệ PT sau có nghiệm:  x 3 − 2 x 2 + (m − 1) x + 2m = k ( x − 1) + 2  2 3 x − 4 x + m − 1 = k. ⇒ f ( x ) = 2 x 3 − 5 x 2 + 4 x − 3(m − 1) = 0 (*) Để qua M kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến (Cm) thì (*) có đúng 2 nghiệm phân biệt 2 3  2 109  ⇒ Các điểm cực trị của (Cm) là: A(1;4 − 3m), B  ; − 3m  .  3 27 . Ta có f ′( x ) = 6 x 2 − 10 x + 4 ⇒ f ′( x ) = 0 ⇔ x = 1; x =. Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG. Facebook: LyHung95.  4 m = 3  A ∈ Ox Do đó (*) có đúng 2 nghiệm phân biệt ⇔  . ⇔  B ∈ Ox  m = 109  81. Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho hàm số y = − x 3 + 3 x 2 − 2 (C). Tìm trên đường thẳng (d): y = 2 các điểm mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C). Hướng dẫn giải: Gọi M (m;2) ∈ (d ) . PT đường thẳng ∆ đi qua điểm M có dạng : y = k ( x − m) + 2 2 − 3 ∆ là tiếp tuyến của (C) ⇔ hệ PT sau có nghiệm  x 2+ 3 x − 2 = k ( x − m) + 2.  −3 x + 6 x = k. (1) (2). (*).. Thay (2) và (1) ta được: 2 x 3 − 3(m + 1) x 2 + 6mx − 4 = 0 ⇔ ( x − 2) 2 x 2 − (3m − 1) x + 2  = 0 x = 2. ⇔ 2  f ( x ) = 2 x − (3m − 1) x + 2 = 0 (3) Từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C) ⇔ hệ (*) có 3 nghiệm x phân biệt  5  ∆ > 0 ⇔ (3) có hai nghiệm phân biệt khác 2 ⇔  ⇔ m < −1 ∨ m > 3 .  f (2) ≠ 0 m ≠ 2  5  Vậy từ các điểm M(m; 2) ∈ (d) với m < −1 ∨ m > 3 có thể kẻ được 3 tiếp tuyến với (C). m ≠ 2 2. 2. Ví dụ 5: [ĐVH]. Cho hàm số y = ( x + 1) . ( x − 1) Cho điểm A(a;0) . Tìm a để từ A kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C). Hướng dẫn giải: 4 2 Ta có y = x − 2 x + 1 . PT đường thẳng d đi qua A(a;0) và có hệ số góc k : y = k ( x − a) 4 2  x − 2 x + 1 = k ( x − a). d là tiếp tuyến của (C) ⇔ hệ phương trình sau có nghiệm:  . k = 0 ( A) 2 x −1 = 0. Ta có: (I ) ⇔ . 2.  hoặc 4 x( x − 1)2= k.  f ( x ) = 3 x − 4ax + 1 = 0 (1) + Từ hệ (A), chỉ cho ta một tiếp tuyến duy nhất là d1 : y = 0 .. 4x3 − 4x = k. (I ). ( B). + Vậy để từ A kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với (C) thì điều kiện cần và đủ là hệ (B) phải có 2 nghiệm phân biệt ( x; k ) với x ≠ ±1 , tức là phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân biệt khác ±1 ⇔  ∆′ = 4a2 − 3 > 0 3 3 ⇔ −1 ≠ a < − hoặc 1 ≠ a >  2 2  f (±1) ≠ 0. Ví dụ 6: [ĐVH]. Cho hàm số: y =. x+2 (C). x −1. Cho điểm A(0; a) . Tìm a để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về 2 phía của trục hoành. Hướng dẫn giải: Phương trình đường thẳng d đi qua A(0; a) và có hệ số góc k: y = kx + a x +2  x − 1 = kx + a d là tiếp tuyến của (C) ⇔ Hệ PT  có nghiệm −3 k = ( x − 1)2 . ⇔ PT: (1 − a) x 2 + 2(a + 2) x − (a + 2) = 0 (1) có nghiệm x ≠ 1 . Để qua A có 2 tiếp tuyến thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG. Facebook: LyHung95. a ≠ 1. a ≠ 1 ⇔ ⇔ (*) a > −2 ∆′ = 3a + 6 > 0. Khi đó ta có: x1 + x2 =. 2(a + 2) a+2 3 3 ; x1 x2 = và y1 = 1 + ; y2 = 1 + x1 − 1 x2 − 1 a −1 a −1. Để 2 tiếp điểm nằm về 2 phía đối với trục hoành thì y1.y2 < 0 . 3 . 3. x .x + 2( x + x ) + 4. . 2. 1 2 1 2 ⇔ 1 + < 0 ⇔ 3a + 2 > 0 ⇔ a > −  .1 + <0 ⇔ x − 1 x − 1 x . x − ( x + x 3  1  2  1 2 1 2) +1. . 2.  Kết hợp với điều kiện (*) ta được: a > − 3 . a ≠ 1. Ví dụ 7: [ĐVH]. Cho hàm số y =. x +1 (C). x −1. Tìm trên Oy tất cả các điểm từ đó kẻ được duy nhất một tiếp tuyến tới (C). Hướng dẫn giải: Gọi M (0; yo ) là điểm cần tìm. PT đường thẳng qua M có dạng: y = kx + yo (d)  x +1 ( y − 1) x 2 − 2( y + 1) x + y + 1 = 0 (1)  x − 1 = kx + yo o o  o ⇔ (*) (d) là tiếp tuyến của (C) ⇔  −2 −2 =k  =k  x ≠ 1; 2 2 ( x − 1)   ( x − 1). YCBT ⇔ hệ (*) có 1 nghiệm ⇔ (1) có 1 nghiệm khác 1 y = 1 y ≠ 1  1  o  o x = ; yo = 1 ⇒ k = −8  ⇔ ∨ ⇔ 1  2 2  ∆ ' = ( yo + 1) − ( yo − 1)( yo + 1) = 0  x = 2 x = 0; yo = −1 ⇒ k = −2 . Vậy có 2 điểm cần tìm là: M(0; 1) và M(0; –1). x +3 (C). x −1 Tìm trên đường thẳng d : y = 2 x + 1 các điểm từ đó kẻ được duy nhất một tiếp tuyến tới (C).. Ví dụ 8: [ĐVH]. Cho hàm số y =. Hướng dẫn giải: Gọi M (m;2m + 1) ∈ d . PT đường thẳng ∆ qua M có dạng: y = k ( x − m) + 2m + 1 PT hoành độ giao điểm của ∆ và (C): k ( x − m) + 2m + 1 =. ⇔ kx 2 − [(m + 1)k − 2m ] x + [ mk − (2m + 4)] = 0 (*). x+3 x −1. k ≠ 0 2 ∆ = [(m + 1)k − 2m ] − 4k [ mk − (2m + 4)] = 0. ∆ tiếp xuc với (C) ⇔ (*) có nghiệm kép ⇔ . k ≠ 0 2 2 2 2  g(k ) = (m − 1) k − 4(m − m − 4)k + 4m = 0. ⇔. Qua M (m;2m + 1) ∈ d kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C) m = 0  ∆′ = −32(m 2 − m − 2) > 0; g(0) = 4m2 = 0   ⇔ g(k ) = 0 có đúng 1 nghiệm k ≠ 0 ⇔  ∆′ = −32(m 2 − m − 2) > 0; g(0) = 4m2 = 0 ⇔  m = −1 m = 2  1 − = ⇒ + = ⇒ = − m 1 0 16 k 4 0 k  m = 1  4. ⇒ M (0;1) ⇒ M (−1; −1) ⇒ M (2;5) ⇒ M (1;3). Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG. Facebook: LyHung95. 02. CỰC TRỊ HÀM BẬC BA – P2 Thầy Đặng Việt Hùng II. MỘT SỐ CÁC TÍNH CHẤT CỰC TRỊ THƯỜNG GẶP Phương pháp chung : +) Tìm điều kiện tồn tại cực đại, cực tiểu. +) Giải điều kiện về tính chất K nào đó mà đề bài yêu cầu. +) Kết hợp nghiệm, kết luận về giá trị của tham số cần tìm. Dạng 3. Bài toán cực trị khi phương trình y’ = 0 giải được nghiệm.
Phương pháp: Khi xét đến biệt thức ∆ của phương trình y ' = 0 mà ta nhận thấy ∆ = (am + b) 2 thì ta nên nghĩ ngay đến việc giải ra nghiệm của phương trình y ' = 0 . 1 x2 Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho hàm số y = x 3 + (m − 2) + (1 − m) x + 2m + 1 3 2 Tìm m để. a) hàm số có cực đại, cực tiểu. b) hàm số có cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 sao cho x13 + 2 x23 < 9. c) hàm số có cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ nhỏ hơn 2. d) hàm số có cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 sao cho x12 + 4 x22 = 13. 1 3 x2 Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho hàm số y = x − (2m + 1) + (m 2 + m) x − m + 1 3 2 Tìm m để. a) hàm số có cực đại, cực tiểu. b) hàm số có cực đại tại x1 , cực tiểu tại x2 sao cho x12 + 2 x22 = 6. c) hàm số có cực đại tại x1 , cực tiểu tại x2 sao cho 2 x13 − x23 = −11. Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 + m 2 − m + 1 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại A, B sao cho diện tích tam giác ABC bằng 7, với C(–2 ; 4). Ví dụ 4: [ĐVH]. (Trích đề thi Đại học khối B – 2012) Cho hàm số y = x3 − 3mx 2 + 3m3 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 48, với O là gốc tọa độ. Ví dụ 5: [ĐVH]. Cho hàm số y = 2 x3 − 3(m + 1) x 2 + 6mx + m3 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại A, B sao cho tam giác ABC vuông tại C, với C(4 ; 0).. Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG. Facebook: LyHung95. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − 3mx + 2 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại A, B sao cho diện tích tam giác ABC bằng 3 2 , với C(1 ; 1).. Bài 2: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − 3(m + 1) x 2 + 12mx − 3m + 4 9  Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại A, B sao cho tam giác ABC nhận O làm trọng tâm, với C  −1; −  . 2 . Bài 3: [ĐVH]. Cho hàm số y = 2 x3 − 3(m + 1) x 2 + 6mx + m3 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại A, B sao cho AB = 2.. Bài 4: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − 3mx 2 + 3(m 2 − 1) x − m3 + 4m − 1 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O.. Bài 5: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 + 3(m + 1) x 2 + 3m(m + 2) x + m3 + 2m 2 Chứng minh rằng hàm số luôn có cực trị với mọi m, và khoảng cách giữa các điểm cực trị không đổi.. Bài 6: [ĐVH]. Cho hàm số y =. 1 3 x − mx 2 + (m 2 − 1) x + 1 3. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và yCĐ + yCT > 2.. Bài 7: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − 3m 2 x 2 + 2 (với m là tham số thực). 2 + 2 xCT = 3 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu sao cho xCÑ. 1 3 x2 Bài 8: [ĐVH]. Cho hàm số y = − x + (3m − 1) + (m − 2m 2 ) x − 3 (với m là tham số thực). 3 2 2 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu sao cho 3 xCÑ − 4 xCT + 19 = 0. Bài 9: [ĐVH]. Cho hàm số y = 2 x 3 − 3(2m − 1) x 2 + 6(m 2 − m) x + 1 . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu sao cho 2 2 a) xCÑ + 2 xCT =5 2 2 b) 3 xCÑ − 4 xCT = 11. Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG. Facebook: LyHung95. 02. CỰC TRỊ HÀM BẬC BA – P3 Thầy Đặng Việt Hùng II. MỘT SỐ CÁC TÍNH CHẤT CỰC TRỊ THƯỜNG GẶP Phương pháp chung : +) Tìm điều kiện tồn tại cực đại, cực tiểu. +) Giải điều kiện về tính chất K nào đó mà đề bài yêu cầu. +) Kết hợp nghiệm, kết luận về giá trị của tham số cần tìm. Dạng 4. Phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
Phương pháp: Thực hiện phép chia đa thức y cho y ' ta được y = y '.h( x) + r ( x) trong đó r(x) là phần dư của phép chia. Khi đó y = r(x) được gọi là phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số.. Ý nghĩa : Phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu có tác dụng giúp ta lấy ra tọa độ của các điêm cực đại, cực tiểu, trong các bài toán xử lí có liên quan đến tung độ cực đại và cực tiểu.. Ví dụ 1: [ĐVH]. Viết phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu của hàm số y = x3 − 3 x 2 + 1 bằng hai cách. Ví dụ 2: [ĐVH]. Viết phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu của hàm số y = x3 − 3 x 2 + m 2 . Dạng 5. Bài toán về tính đối xứng của các điểm cực trị..
Phương pháp: Gọi hai điểm cực trị của hàm số là A( x1 ; y1 ), B ( x2 ; y2 ). Ta có một số kết quả sau : +) A, B nằm về hai phía của trục Oy khi x1 x2 < 0. +) A, B nằm cùng phía với trục Oy khi x1 x2 > 0. +) A, B nằm về hai phía của trục Ox khi y1 y2 < 0. +) A, B nằm cùng phía với trục Ox khi y1 y2 > 0..  AB ⊥ d +) A, B nằm đối xứng qua đường thẳng d khi  , với I là trung điểm của AB. I ∈ d +) A, B cách đều đường thẳng d khi AB // d hoặc trung điểm I của AB thuộc đường thẳng d. Chú ý : Trong một số bài toán có đặc thù riêng (nếu phương trình y = 0 nhẩm được nghiệm) thì với yêu cầu tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu nằm hai phía trục Ox ta có thể sử dụng điều kiện là phương trình y = 0 có ba nghiệm phân biệt. Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 + 3 x 2 + mx + m − 2 a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. b) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này nằm cùng phía với Oy. c) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này nằm cùng phía với Ox. d) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này nằm khác phía với Oy. Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho hàm số y = − x3 + (2m + 1) x 2 − (m2 − 3m + 2) x − 4 (m là tham số) có đồ thị là (Cm). Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung.. Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG. Facebook: LyHung95. 1 3 x − mx 2 + (2m − 1) x − 3 (m là tham số) có đồ thị là (Cm). 3 Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung. Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 + 3mx 2 + 2m3 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại các điểm A, B sao cho A, B đối xứng nhau qua đường thẳng. Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho hàm số y =. d : x – 2y + 9 = 0. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1 Bài 1: [ĐVH]. Viết phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu của hàm số y = − x3 + 2 x 2 + 3 x + 2 3 bằng hai cách. Bài 2: [ĐVH]. Viết phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu của hàm số sau : a) y = x3 + (m + 1) x 2 + 2 x − m b) y = − x 3 + 3mx 2 + 3(1 − m 2 ) x + m3 − m 2 .. Bài 3: [ĐVH]. Cho hàm số y = − x 3 + (2m + 1) x 2 − (m2 − 3m + 2) x − 4 a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. b) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này nằm khác phía với Oy. Bài 4: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 + m 2 x + m Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua đường thẳng d : y =. 1 5 x− 2 2. Đ/s : m = 0 Bài 5: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − 3mx 2 + 4m3 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua đường thẳng d : y = x. Đ/s : m = ±. 2 . 2. Bài 6: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − 3(m + 1) x 2 + 9 x + m − 2 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua đường thẳng d : y =. 1 x 2. Đ/s : m = 1 Bài 7: [ĐVH]. Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 + mx Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua đường thẳng d : x − 2 y − 5 = 0 Đ/s : m = 0 Bài 8: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − 3mx + m . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. Khi đó chứng minh rằng các điểm này nằm về hai phía của trục Oy. Bài 9: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 − mx + 2 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này cách đều đường thẳng d : x − y − 1 = 0 Đ/s : m = 0 Hướng dẫn :. m  2m  − 2 x + 2 + +) Phương trình đường thẳng qua CĐ, CT là y =  3  3  +) A, B cách đều d nên xét hai trường hợp : AB // d và trung điểm I của AB thuộc d. Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG. Facebook: LyHung95. 02. CỰC TRỊ HÀM BẬC BA – P4 Thầy Đặng Việt Hùng Dạng 6. Một số ứng dụng cơ bản của phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu.
Phương pháp: +) Tìm đk để hàm số có cực đại, cực tiểu. +) Viết được phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu (chú ý cách chứng minh nhanh). Giả sử đường thẳng viết được có dạng ∆ : y = ax + b . Ta có một số trường hợp thường gặp a = A  ∆ song song với đường thẳng d : y = Ax + B khi  b ≠ B  ∆ vuông góc với đường thẳng d : y = Ax + B khi a. A = −1



 nd .n∆ aA + bB  ∆ tạo với đường thẳng d : y = Ax + B một góc φ nào đó thì cos φ =



 = nd . n∆ a 2 + b 2 . A2 + B 2 Cuối cùng, đối chiếu với đk tồn tại cực đại, cực tiểu ta được giá trị cần tìm của tham số m. x3 − mx 2 + (5m − 4) x + 2 3 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng. Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho hàm số y = d : 8 x + 3 y + 9 = 0.. Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 + mx 2 + 7 x + 3 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng d : 9 x + 8 y + 1 = 0.. Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 − mx + 2 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng d : x + 4 y − 5 = 0 góc 450.. BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 − mx + 2 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng d : 4 x + y − 3 = 0.. Bài 2: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 + mx 2 + 7 x + 3 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng d : 3 x − y − 7 = 0.. Bài 3: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − 3(m − 1) x 2 + (2m 2 − 3m + 2) x − m 2 + m Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng d : 4 x + y − 20 = 0 góc 450.. Bài 4: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 + 2 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG. Facebook: LyHung95. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu tiếp xúc với đường tròn (C ) : ( x − m) 2 + ( y − m − 1) 2 = 5 .. Bài 5: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 + 2(m − 1) x 2 + (m 2 − 4m + 1) x − 2(m 2 + 1) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng d:y=. 9 x + 5. 2. Bài 6: [ĐVH]. Cho hàm số: y = − x3 + 3mx 2 + 3 (1 − m2 ) x + m3 − m2 Xác định m để hàm số đã cho luôn có cực đại, cực tiểu A, B sao cho ∆OAB vuông tại O 1 Bài 7: [ĐVH]. Cho hàm số y = x 3 − mx 2 − x + m + 1 3 Chứng minh rằng với mọi m hàm số đã cho luôn có cực đại, cực tiểu. Xác định m sao cho khoảng cách giữa các điểm cực đại, cực tiểu là nhỏ nhất. 1 Bài 8: [ĐVH]. Cho hàm số y = x 3 − mx 2 − 3mx + 4 3 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng. ( d ) : y = −2 x + 1 một góc. 450. Bài 9: [ĐVH]. Cho hàm số y = − x 3 + 3m 2 x 2 + 1 (với m là tham số thực). Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu sao cho. a) đường thẳng qua cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng d : 2 x + y + 1 = 0 b) AB = 2 5, với A, B là tọa độ các điểm cực trị 2 c) xCÑ + 2 xCT = 8. Bài 10: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − 3mx 2 + 2 (với m là tham số thực). Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu sao cho đường thẳng đi qua hai điểm cực trị cắt các trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4.. Bài 11: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − 3mx 2 + 3(m 2 − 1) x − m3 + 1 (với m là tham số thực). AMB = 900 với M (−2; 2) Tìm m để hàm số có đạt cực trị tại A, B sao cho . Bài 12: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − 3x 2 + (m − 6) x + m − 2 (1), với m là tham số thực. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị sao cho khoảng cách từ điểm A(1; −4) đến đường thẳng đi qua 12 hai điểm cực trị bằng . 265. Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG. Facebook: LyHung95. 02. CỰC TRỊ HÀM BẬC BA – P5 Thầy Đặng Việt Hùng Dạng 7. Tổng hợp, nâng cao cực trị hàm bậc ba Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 + 6mx 2 + 9 x + 2m Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu bằng. 4 . 5. Đ/s : m = ±1. 1 3 x − mx 2 − x + m + 1 3 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm này nhỏ nhất.. Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho hàm số y =. Đ/s : m = 0; ABmin =. 2 13 . 3. Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 − mx + 2 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm này cắt các trục tọa độ tạo thành một tam giác cân. 3 Đ/s : m = − . 2 1 5 Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho hàm số y = x 3 − mx 2 − 4mx − 4 3 2 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 sao cho biểu thức A =. m2 x22 + 5mx1 + 12m + đạt x12 + 5mx2 + 12m m2. giá trị nhỏ nhất.. Ví dụ 5: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 + mx + 1, với m là tham số thực.  1 11  Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và khoảng cách từ điểm I  ;  đến đường thẳng đi qua hai điểm 2 4  cực đại và cực tiểu là lớn nhất.. Lời giải: Ta có y = x − 3 x + mx + 1 ⇒ y ' = 3 x − 6 x + m 3. 2. 2. +) Hàm số có cực trị khi m < 3. m m  x 1  2m   2m  +) Chia y cho y ' ta được y =  −  y '+  − 2  x + +1 ⇒ y =  − 2  x + + 1 là phương trình 3 3  3 3  3   3 . đường thẳng qua các điểm cực trị. m  2m  Đặt ∆ : y =  − 2  x + +1. 3  3 . Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG. Ta có d ( I ; ∆ ) =. Đặt u = t −. Đặt. 1  2m  11 m − 2  − + +1  2 3  4 3 2.  2m  − 2  +1   3 . =. 2m 11 − 3 4 2.  2m  − 2  +1   3 . Facebook: LyHung95. =.  2m  3 − 2 −   3  4 2.  2m  − 2  +1   3 . t− =. 3 4. t2 +1. u 3 1 ⇒d = = 2 4 3 25 3  1+ +  u +  +1 2u 16u 2 4 . 1 =a⇒d = u. 1 1+. 3a 25a 2 + 2 16. Dâu bằng xảy ra khi a = −. 1. = 1+. 1. =. 3a 25a 2 + 2 16. ≤. 2.  5a 3  16  +  +  4 5  25. 5 5 ⇒ d max = 4 4. 12 25 3 4 2m 4 ⇔u=− ⇔t =u+ =− ⇔ − 2 = − ⇔ m = 1. 25 12 4 3 3 3. Vậy m = 1 là giá trị cần tìm. Bài này còn một cách giải khác khá hay và độc đáo, đó là sử dụng điểm cố định. Các em tìm hiểu thêm nhé!. Ví dụ 6: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − 3(m + 1) x 2 + 3m(m + 2) x + m − 2 . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu sao cho khoảng cách từ điểm CĐ đến trục hoành bằng khoảng cách từ. điểm CT đến trục tung. Lời giải:  x = m ⇒ y = m3 + 3m 2 + m − 2 2 Ta có : y ' = 3x − 6 ( m + 1) x + 3m ( m + 2 ) = 0 ⇔  2  x = m + 2 ⇒ y = ( m + 2 ) ( m − 1) + m − 2. (. ). (. Do m ≠ m + 2 (∀m) nên hàm số luôn có CĐ tại A m; m3 + 3m2 + m − 2 , CT tại B m + 2; ( m + 2 ) + m − 2 2.  m3 + 3m 2 + m − 2 = m + 2  m = 1, m = −2 Từ giả thiết ta có: m3 + 3m 2 + m − 2 = m + 2 ⇔  3 ⇔  m = 0, m = −1 2  m + 3m + m − 2 = − m − 2 . Đ/s : m = 0; m = −2; m = ±1. (. ). Ví dụ 7: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − 3mx 2 + 3 m2 − 1 x + 4m − m3 − 1 Tìm m để hàm số có cực trị tại A,B sao cho tam giác ABC nhận gốc tọa độ O là trực tâm biết C ( 2;1). Lời giải:  x = m −1 +) Ta có: y ' = 3 x 2 − 6mx + 3 m2 − 1 = 0 ⇔ x 2 − 2mx + m 2 − 1 = 0 ⇔  (1) x = m +1. (. ). PT (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt nên hàm số luôn có 2 cực trị tại A, B.


 +) Gọi A ( m − 1; m + 1) , B ( m + 1; m − 3) ⇒ AB = ( 2; −4 ) m = 3 2.2 − 1.4 = 0  AB ⊥ OC  +) Do O là trực tâm của tam giác ABC nên  ⇔ ⇔ m = − 1 ( m − 3)( m + 1) + m ( m − 3) = 0  AC ⊥ OB 2 . Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!. ).

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG. Đáp số: m = 3, m = −. Facebook: LyHung95. 1 là các giá trị cần tìm. 2. (. ). Ví dụ 8: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − 3x 2 − 3 m 2 − 1 x + m3 + 1 ( C ) Tìm m > 0 để hàm số có CĐ tại A, CT tại B sao cho tứ giác ABDO là hình thang có đáy lớn AB = 2OD Biết D thuộc đường thẳng x − y = 3. Lời giải:  x = 1 − m ⇒ y = ( x − 1)3 − 3m 2 x + m3 + 2 = 3m 2 ( m − 1) + 2 +) Ta có: y ' = 3 x − 6 x − 3 m − 1 = 0 ⇔   x = 1 + m ⇒ y = 2m3 − 3m 2 ( m + 1) + 2 = −m 2 ( m + 3) + 2. (. 2. ). 2. (. ) (. +) Với mọi m > 0 hàm số luôn có cực trị tại A 1 − m;3m 2 ( m − 1) + 2 , B 1 + m; − m 2 ( m + 3) + 2. ).





 m = t +) Mặt khác: AB = 2m; −4m3 = 2OD = ( t ; t − 3) ⇔  ⇔ m =1 3  −2 m = t − 3. (. ). Với m = 1 ta có: A ( 0; 2 ) , B ( 2; −2 ) ⇒ AB : 2 x + y − 2 = 0 Vì O ∉ AB nên m = 1 là giá trị cần tìm.. BÀI TẬP LUYỆN TẬP 1 1 Bài 1: [ĐVH]. Cho hàm số y = x 3 − mx 2 + (m 2 − 3) x + 2 3 2 Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x1, cực tiểu tại x2 đồng thời x1 ;x2 là hai cạnh góc vuông của một tam giác có. độ dài cạnh huyền bằng. 10 . 2. Bài 2: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − 3mx 2 + 3(m + 6) x + 1 Tìm m để điểm A(3 ; 5) nằm trên đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. 1 3 m x + mx 2 + x + 3 3 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này nằm cùng phía với đường thẳng d : 2x + y = 0.. Bài 3: [ĐVH]. Cho hàm số y =. 1 Bài 4: [ĐVH]. Cho hàm số y = x 3 + x 2 + mx + m 3 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm này bằng 2 15.. Bài 5: [ĐVH]. Cho hàm số y = 2 x3 + 3(m − 1) x 2 + 6m(1 − 2m) x Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này nằm trên đường thẳng d : 4x + y = 0. 1 3 x − 2 x 2 + 3x 3 Gọi A, B là hai điểm cực trị của hàm số. Tìm điểm M trên Ox sao cho tam giác ABM có diện tích bằng 2.. Bài 6: [ĐVH]. Cho hàm số y =. Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!.

<span class='text_page_counter'>(13)</span>