mot so BT tong hop

<span class='text_page_counter'>(1)</span>MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP TỪ CÁC ĐỀ HSG Bài 1: Cho 101 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy. Tính số giao điểm của chúng. Giải: Mỗi đường thẳng cắt 100 đường thẳng còn lai tạo nên 100 giao điểm . Có 101 đường thẳng nên có 101.100 giao điểm, nhưng mỗi giao điểm được tính hai lần nên chỉ có: (101.100) : 2 = 5050 (giao điểm).. Bài 2: a.Tính tổng:. 1 1 1 1 1 1 S     ...   2 6 12 20 2352 2450. 1  1   1  1  1  1   P  1    1    1    1   ... 1   1   2   3   4   5   99   100  b. Tính tích: Bài 3: a. Cho S = 2 + 22 + 23 + …..22011 + 22012.Chứng minh rằng S chia hết cho 6 S =(2 + 22) + ( 23 + 24 ) +……..+ ( 22011 + 22012 ) = (2 + 22) +26(2 + 22) + ……….22010(2 + 22) =. 6. +. 22.6 + ………22010.6. = 6 ( 1 + 22 + ……+ 22010 ). b)Tổng sau là bình phương số nào: S = 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + 199 Số số hạng của tổng : ((199 – 1 ) / 2) + 1 = 100 Suy ra c) Cho số ab. (19).02 S10 2. và số ababab. Chứng tỏ ababab là bội của ab . ababab ab 0000 + ab 00 + ab = ab *10000 + ab *100 + ab = ab *10000 ⋮ ab , ab *100  ab , ab  ab Do đó ab *10000 + ab *100 + ab  ab hay ababab  ab Vậy ababab là bội của ab Bài 4 : a) Hãy viết thêm đằng sau số 664 ba chữ số để nhận được số có 6 chữ số chia hết cho 5, cho 9 và cho 11. Viết thêm vào sau số 664 bà chữ số abc ta được số 664abc. .  664abc 664000  abc 663795  205  abc 495.1341  205  abc. Vì 664abc chia hết cho 5, cho 9, cho 11 664abc495  205  abc 495.   Nếu Vậy 205  abc = 495 hoặc 205  abc = 990. .

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Do đó: abc = 495 – 205 = 290 hoặc abc = 990 – 205 = 785 Bài 5: 1)Tính nhanh: 7. 7 15. a. 13 34. - 201 ) 7. 5. - 12 1. 7 15. Giải: a) 13. 1. ( 2 - 3 -. 7 + 7 13 13 7 7 = 13 ( 15 12 23 b) ( 199 + 200 3 2 ( 6 - 6 12 23 = ( 199 + 200. 5. - 12. 21 49 + 39 91 1 ). 6 21 49 + 39 91. 8 . 15. 8 15. 12. 23. b. ( 199 7. + 200. 7 15. = 13. 5. - 12. 8 15 5 12. 8. 7. 5. 7. 7 12. + 15 )= 13 (1- 12 )= 13 34. 1. - 201 ). 1. 1. 12. 23. ( 2 - 3 - 6 )= ( 199. 1 ) 6 34 - 201 ). 49. = 156 34. + 200. - 201 ). 0=0. 2. So sánh: a. 3200 và 2300. b. 7150 và 3775. 201201. 201201201. c. 202202. và 202202202. Giải: a. So sánh 3200 và 2300 Ta có: 3200 = (32)100 = 9100 2300 = (23)100 = 8100 mà 8100 < 9100 nên 2300 < 3200 b. So sánh 7150 và 3775 Ta thấy: 7150 < 7250 = (8.9)50 = 2150.3100 (1) 75 75 75 150 150 37 > 36 = (4.9) = 2 . 3 (2) 150 150 150 100 mà 2 . 3 > 2 .3 (3) 75 50 Từ (1), (2), và (3) suy ra: 37 > 71 201201. c. So sánh 202202. 201201201. 201201. và 202202202 .. 201. 1001. Ta có: 202202 = 202 . 1001 =. 201 202 201201201 = 202202202. 201 1001001 . 202 1001001. 201. = 202. Vậy hai p/s trên bằng nhau. Bài 6: a. Cho A =. 1 1 1 1 2 2 2 2 + 3 + 42 +…+ 1 +. 1 502 . CMR: A < 2.. b. Cho B = 21 + 22 + 23 + … + 230. CMR: B chia hết cho 21. 1 1 1 1 2 2 2 1 + 2 + 3 + 42 +…+. Giai: Chứng minh: A = 1 2 Ta có: 2 < 1 42. 1 1.2 =. <. 1 3.4. 1 1. =. 1 32. 1 2. 1 3. -. 1 4. ……. 1 502. 1 502. <2 1 2.3. < <. =. 1 49.50 =. 1 2. 1 49. 1 3. -. 1 50.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Vậy: A = 1 + 49.50. 1 1 1 1 2 2 2 2 2 + + + 1 3 4 +…+. 1. 1. = 1+ 1 - 2 + 99 50. 1 2. 1 2 50. 1 1 1 1 2 + + + 1 . 2 2 . 3 3 . 4 +… 1. <. 1. 1. - 3 + … + 49. 1. - 50. 1. = 1+1 - 50 =. <2. B = 21 + 22 + 23 + … + 230 Ta có: B = 21 + 22 + 23+ … + 230 = (21 + 22) + (23 + 24) + … (229 + 230) = 2.(1+2) + 23.(1+2) + … + 229.(1+2) = 3.( 2 + 23 +…+ 229) suy ra B  3 (1) 1 2 3 30 1 2 3 4 5 6 28 29 30 Ta có: B = 2 +2 +2 +…+ 2 = (2 +2 +2 )+ (2 + 2 + 2 ) +… +(2 +2 + 2 ) = 2.(1+2+22) + 24.(1+2+22) + … + 228.(1+2+22) = 7 (2 + 24 + … + 228) suy ra B  7 (2) Mà 3 và 7 là 2 số nguyên tố cùng nhau. Kết hợp với (1) và (2) suy ra : B  3.7 hay B  21 Bài 7: Một số chia cho 7 dư 3, chia cho 17 dư 12, chia cho 23 dư 7 . Hỏi số đó chia cho 2737 dư bao nhiêu? Giải:Gọi số đã cho là A. Theo bài ra ta có: A = 7.a + 3 = 17.b + 12 = 23.c + 7 Mặt khác: A + 39 = 7.a + 3 + 39 = 17.b + 12 + 39 = 23.c + 7 + 39 = 7.(a + 6) = 17.(b + 3) = 23.(c + 2) Như vậy A+39 đồng thời chia hết cho 7,17 và 23. Nhưng 7,17 và 23 đôi một nguyên tố cùng nhau nên: (A + 39)  7.17.23 nên (A+39)  2737 Suy ra A+39 = 2737.k suy ra A = 2737.k - 39 = 2737.(k-1) + 2698 Do 2698 < 2737 nên 2698 là số dư của phép chia số A cho 2737 Bài 8: Tính giá trị biểu thức A 2  5  8  11  ...  2012 1  1   1  1 1   B  1    1    1   ...  1   1   2   3   4   2011   2012  A 2  5  8  11  ...  2012 A (2  2012)  (2012  2) : 3  1 : 2 675697. a/. 1  1   1  1 1   B  1    1    1   ... 1  1     2   3   4   2011   2012  b/ 1   2012 1   2 1   3 1   4 1   2011 B          ...        2 2   3 3   4 4   2011 2011   2012 2012  1 2 3 2010 2011 1 B  . . ... . B 2 3 4 2011 2012 2012. Bài 9: a/ Tìm x, y nguyên biết : 2x (3y – 2) + (3y – 2) = -55 1 1 1 1 1  2  2  ...   2 2 (2n) 4 b/ Chứng minh rằng : 4 6 8.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> HD: Tìm x, y nguyên biết : 2x (3y – 2) + (3y – 2) = -55 =>(3y – 1)(2x + 1) = -55 =>.  55 3 y  2 (1)  1;5;11;55;  1;  5;  11;  55. 2 x 1 . Để x nguyên thì 3y – 2  Ư(-55) = +) 3y – 2 = 1 => 3y = 3 => y = 1, thay vào (1) => x = 28 7 +) 3y – 2 = 5 => 3y = 7 => y = 3 (Loại) 13 +) 3y – 2 = 11 => 3y = 13 => y = 3 (Loại). +) 3y – 2 = 55 => 3y = 57 => y = 19 , thay vào (1) => x = -1 1 +) 3y – 2 = - 1 => 3y = 1 => y = 3 (Loại). +) 3y – 2 = -5 => 3y = -3 => y = -1, thay vào (1) => x = 5 +) 3y – 2 = -11 => 3y = -9 => y = -3 , thay vào (1) => x = 2  53 +) 3y – 2 = -55 => 3y = -53 => y = 3 (Loại). Vậy ta có 4 cặp số x, y nguyên TM: (x ; y ) = (28 ; 1) , (-1 ; 19) , (5 ; -1), (2 ; -3) 1 1 1 1 1  2  2  ...  2  2 2n 4 b/ Chứng minh rằng : 4 6 8 1 1 1 1 1 1 1 1 A  2  2  2  ...      ...  2 2 2 2 4 6 8 (2n) (2.2) (2.3) (2.4) (2.n) 2 Ta có 1 1 1 1 1  1 1 1 1 1  A   2  2  2  ...  2        4 2 3 4 n  4  1.2 2.3 3.4 (n  1)n  11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A         ...    A  1   41 2 2 3 3 4 (n  1) n  Suy ra: 4  n  4 (ĐPCM) 2n  1 3n  5 4n  5 A   n 3 n 3 n 3 Bài 10: Cho biểu thức :. a/ Tìm n để A nhận giá trị nguyên : Đ/k n  3 Ta có : 2n  1 3n  5 4n  5 (2n  1)  (3n  5)  (4n  5) 2 n  1  3n  5  4n  5 n  1      n 3 n 3 n 3 n 3 n 3 n 3 n  34 4 A 1  n 3 n  3 (2) A. 1; 2; 4;  1;  2;  4 4;5; 7; 2;1;  1 A nguyên khi n – 3 Ư(4) =  => n   (Thoả mãn). A. b/ Tìm n để A là phân số tối giản: Ta có : TH 1 : n là số lẻ => n + 1 và n – 3 là số chẵn =>. A. n 1 n  3 không tối giản. n 1 n  3 (Theo câu a) ( n  3).

<span class='text_page_counter'>(5)</span> TH 2 : n là số chẵn => n + 1 không chia hết cho 2 Gọi d là ước chung của (n + 1) và (n – 3) => d không chia hết cho 2 => (n + 1)  d và (n – 3)  d => (n + 1) - (n – 3) chia hết cho d => 4 chia hết cho dƯ(4) ={1 ; 2; 4; -1 ; -2; -4) Vì d không chia hết cho 2 => d = 1 ; - 1 => ƯCLN(n + 1; n – 3) = 1 =>. A. n 1 n  3 là phân số tối giản. Kết luận : Với n là số chẵn thì A là phân số tối giản Bài 11: Tìm số nguyên tố ab ( a > b > 0 ), sao cho ab  ba là số chính phương 2 Ta có : ab  ba (10a  b)  (10b  a) 10a  b  10b  a 9a  9b 9(a  b) 3 (a  b).  1; 2;3; 4;5; 6;7;8;9.  => 1  a- b  8 Vì => a,b  Để ab  ba là số chính phương thì a – b = 1; 4 +) a – b = 1 (mà a > b) ta có các số ab là : 98 ; 87 ; 76; 65; 54 ; 43; 32; 21 Vì ab là số nguyên tố nên chỉ có số 43 thoả mãn +) a – b = 4 (mà a > b) ta có các số ab là : 95 ; 84 ; 73; 62; 51 Vì ab là số nguyên tố nên chỉ có số 73 thoả mãn Kết luận : Vậy có hai số thoả mãn điều kiện bài toán là 43 và 73 2012. 2011. 2010. 2009. Bài 12: Cho A 10  10  10 10  8 a/ Chứng minh rằng A chia hết cho 24 b/ Chứng minh rằng A không phải là số chính phương. 2012 2011 2010 2009 Cho A 10  10 10 10  8 a/ Chứng minh rằng A chia hết cho 24 Ta có :. A 103 102009  102008  102007  102006  8 8.125 102009  102008  102007  102006  8. . . . . A 8. 125 102009 102008  102007 10 2006 1 8 (1). . . Ta lại có các số : 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 có tổng tổng các chữ số bằng 1, nên các số 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 khi chia cho 3 đều có số dư bằng 1 8 chia cho 3 dư 2. Vậy A chia cho 3 có số dư là dư của phép chia (1 + 1 + 1 + 1 + 2) chia cho 3 Hay dư của phép chia 6 chia cho 3 (có số dư bằng 0) Vậy A chia hết cho 3 Vì 8 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau nên A chia hết cho 8.3 = 24 b/ Chứng minh rằng A không phải là số chính phương. Ta có các số : 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 đều có chữ số tận cùng là 0 2012 2011 2010 2009 Nên A 10  10 10 10  8 có chữ số tận cùng là 8 Vậy A không phải là số chỉnh phương vì số chính phương là những số có chữ số tận cùng là 1 ; 4; 5 ; 6 ; 9.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Bài 12: a) Chứng tỏ 102012 + 17 chia hết cho 9. b) Tìm các số tự nhiên n thỏa mãn 30 + ( 2n + 13) c) So sách cặp số sau: A = 275 và B = 2433 a)102012 + 17= 10...0 + 17 = 10....017 (có 2010 chữ số 0) Số 10...17 có tổng các chữ số bằng 9 chia hết cho 9. Vậy 102012 + 17 chia hết cho 9 b) 30 + 2n+13  2n+ 3 Ư(30). ( 0,5đ). 1;2;3;5;6;10;15;30.  Do 2n + 13lẻ và 2n + 13  13 Ư(30) =  Nên 2n + 13 = 15  n = 1 ( 0,5đ) 5 3 c) So sách cặp số sau: A = 27 và B = 243 Ta có A = 275 = (33)5 = 315 và B = (35)3 = 315 Vậy A = B (0,5 điểm) Bài 13: Thực hiện các phép tính sau một cách hợp lý : 2 102  112  122  :  132  142   a) . b) 1.2.3...9  1.2.3...8  1.2.3...7.8 16 2.  3.4.2 . 13 11 9 c) 11.2 .4  16 d) 1152 - (374 + 1152) + (-65 + 374) e) 13 - 12 + 11 + 10 - 9 + 8 - 7 - 6 + 5 - 4 + 3 + 2 - 1. Bài 14: Tính. A. 5.415.99  4.320.89 5.29.619  7.229.276 − 22. Bài 15: a) So sánh: 45 b) So sánh: HD:. a). 1 1 1 1    ...  101.400 B  1.300 2.301 3.302 1 1 1 1    ...  1.102 2.103 3.104 299.400 − 51. và 103. 20092009 +1 20092010 − 2 A= và B= 20092010 +1 20092011 −2 22 22 1 51 51 22 51 − 22 −51 < = = < ⇒ < ⇒ > 45 44 2 102 101 45 101 45 101. 20092010  2 20092010  2 2009 2010  2  2011 2009 2010  2009 B 1 B    20092011  2 20092011  2 2009 2011  2  2011 2009 2011  2009 b) . 2009(20092009  1) 20092009  1  A 2009(20092010  1) 20092010  1. Bài 16: So sánh S với 3 , biết. S. Vậy: A > B. 2011 2012 2013   2012 2013 2011. 2011 2012 2013  1   1   1 1     1     1   1   2012 2013 2011  2012   2013   2011 2011  1   1 1   1 1 1 1 1 3      ;     2011 2012 2011 2013     Vì 2011 2012 2011 2013 S. 1 1 1 1 1   1 1   1   0;   0  3      3 2011 2012 2011 2013 2011 2012 2011 2013     Nên Vậy S>3.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 2. 3. 2009. 2010. A 2010  2010  2010  ...  2010  2010 Bài 17: a. Cho biểu thức : Chứng minh rằng A chia hết cho 2011 2 b. Cho B 80  79.80  1601 CMR : B là bình phương của một số tự nhiên 2 3 2009 2010 HD: a. A 2010  2010  2010  ...  2010  2010 Có 2010số hạng. A  2010  20102    20103  20104   ...   20102009  20102010  2010.  1  2010   20103.  1  2010   ...  20102009.  1  2010  2010.2011  20103.2011  ...  20102009.2011 2011.  2010  20103  20102009 . chia hết cho 2011 nên A chia hết cho 2011 B 802  79.80  1601 80 80  79  1601 80.1  1601 1681 412.   b. Cho Vậy B là bình phương của một số tự nhiên 41 Bài 18: Tính giá trị biểu thức sau. 1  1 1 a / 4   12  5  7 6  7 b /  2  4  6  8  ...  2014    3  5  7  9  ...  2011 1 1 1  1  1   c /  1   1   1   1  ...  1   3   6   10   15   780   1  1 1 1 1 1 1 1 1 36 1 6 a / 4   12  5  4  12  .5 4  2  . 4  2  5  2 3 7 6 7 7 6 6 7 7 6 7 7 7 HD: b /  2  4  6  8  ...  2014    3  5  7  9  ...  2011. Nhận xét : . 2  4  6  8  ...  2014 . Có 1007 số hạng ;.  3  5  7  9  ...  2011 Có 1005 số hạng  2  3   4  5    6  7    2010  2011   2012  2014  Có 1006 nhóm   1    1    1  ...    1  4026 Có 1005 số hạng -1  1005  4026 3021 1 1 1  1  1  2 5 9 14 779 4 10 18 28 1558  c /  1   1   1   . . . ...  1  ...  1    . . . ... 3   6   10   15   780  3 6 10 15 780 6 12 20 30 1560  1.4 2.5 3.6 4.7 38.41 1.2.3...38 4.5.6...41 1 41 41  . . . ...  . .  2.3 3.4 4.5 5.6 39.40 2.3.4...39 3.4.5.6...40 39 3 107.

<span class='text_page_counter'>(8)</span>