BT Tổng Hợp KSHS C1

Giải tích 12
CHƯƠNG I:ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
1.SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
1) Xét tính đơn điệu của hàm số
a) y = f(x) = x
3
−3x
2
+1. b) y = f(x) = 2x
2
−x
4
.
c) y = f(x) =
2x
3x
+
−
. d) y = f(x) =
x1
4x4x
2
−
+−
.
e) y = f(x) = x+2sinx trên ( −π ; π). f) y = f(x) = xlnx.
g)
1x
3x3x
f(x) y
2

−
+−
==
. h) y= f(x) = x
4
−2x
2
.
i) y = f(x) = sinx trên đoạn [0; 2π].
2) Tìm các điểm tới hạn của hàm số :y = f(x) = 3x+
5
x
3
+
.
3) Cho hàm số y = f(x) = x
3
−3(m+1)x
2
+3(m+1)x+1.Đònh m để hàm số:
a) Luôn đồng biến trên khoảng xác đònh của nó.Kq:1 ≤ m ≤ 0
b) Nghòch biến trên khoảng ( −1;0). Kq: m ≤
3
4
−
c) Đồng biến trên khoảng (2;+∞ ). Kq: m ≤
3
1
4) Đònh m∈Z để hàm số y = f(x) =
mx

1mx
−
−
đồng biến trên các khoảng
xác đònh của nó. Kq: m = 0
5) Đònh m để hàm số y = f(x) =
2x
2x6mx
2
+
−+
nghòch biến trên nửa
khoảng [1;+∞). Kq: m ≤
5
14
−
6) Chứng minh rằng :
x1e
x
+>
, ∀x > 0.
7) Chứng minh rằng : hàm số luôn luôn tăng trên từng khoảng xác đònh
của nó :
a) y = x
3
−3x
2
+3x+2. b)
1x
1xx

y
2
−
−−
=
. c)
1x2
1x
y
+
−
=
.
8) Tìm m để hàm số
( ) ( )
x7mx1m
3
x
y
2
3
−−−−=
:
1 Trần Duy Thái
1
Giải tích 12
a) Luôn luôn đồng biến trên khoảng xác đònh của nó.
b) Luôn luôn đồng biến trên khoảng (2;+∞)
c) Luôn nghòch biến trên khoảng (1;+ ∞).
9)Tìm m để hàm số :

mx
2mmx2x
y
2
−
++−
=
luôn đồng biến trên từng
khoảng xác đònh của nó.
10) Tìm m để hàm số :
mx
1mx)m1(x2
y
2
−
++−+
=
luôn đồng biến trên
khoảng (1;+∞). Kq:
223m
−≤
11) Tìm m để hàm số y = x
2
.(m −x) −m đồng biến trên khoảng (1;2).
Kq: m≥3
12) Chứng minh rằng :
a) ln(x+1) < x , ∀ x > 0. b) cosx >1 −
2
x
2

, với x >
0 .
2. CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU
1) Tìm các điểm cực trò của hàm số bằng đạo hàm cấp 1:
a) y = x
3
. b) y = 3x +
x
3
+ 5. c) y = x.e
−
x
. d) y =
x
xln
.
2) Tìm các điểm cực trò của hàm số bằng đạo hàm cấp 2:
a) y = sin
2
x với x∈[0; π ] b) y = x
2
lnx. c) y =
x
e
x
.
3) Xác đònh tham số m để hàm số y=x
3
−3mx
2

+(m
2
−1)x+2 đạt cực đại
tại x=2. Kq: m=11
4) Đònh m để hàm số y = f(x) = x
3
−3x
2
+3mx+3m+4
a.Không có cực trò. Kq: m ≥1
b.Có cực đại và cực tiểu. Kq: m <1
c. Có đồ thò (C
m
) nhận A(0; 4) làm một điểm cực trò .
Hd: M(a;b) là điểm cực trò của (C): y =f(x) khi và chỉ khi:
2 Trần Duy Thái
2
Giải tích 12





=
≠
=
b)a(f
0)a(''f
0)a('f
Kq: m=0

d.Có cực đại và cực tiểu và đường thẳng d qua cực đại và cực
tiểu đi qua O. Kq : d:y = 2(m−1)x+4m+4 và m= −1
5) Chứng tỏ rằng với mọi m hàm số y =
mx
1mx)1m(mx
422
−
+−−+
luôn
có cực trò.
6) Đònh m để hàm số y = f(x) =
x1
mx4x
2
−
+−
a. Có cực đại và cực tiểu. Kq: m>3
b.Đạt cực trò tại x = 2. Kq: m = 4
c.Đạt cực tiểu khi x = −1 Kq: m = 7
7) Cho hàm số y = f(x) =
3
1
x
3
−mx
2
+(m
2
−m+1)x+1. Có giá trò nào của
m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 không? kq : Không

8) Cho hàm số y = f(x) =
3
1
x
3
−mx
2
+(m+2)x−1. Xác đònh m để hàm số:
a) Có cực trò. Kq : m <−1 V m > 2
b) Có hai cực trò trong khoảng (0;+∞). Kq: m > 2
c) Có cực trò trong khoảng (0;+∞). Kq: m <−2 V m > 2
9) Biện luận theo m số cực trò của hàm số y = f(x) = −x
4
+2mx
2
−2m+1.
Hd và kq : y’=−4x(x
2
−m)
 m ≤ 0: 1 cực đại x = 0
 m > 0: 2 cực đại x=
m
±
và 1 cực tiểu x = 0
10) Đònh m để đồ thò (C) của hàm số y = f(x) =
1x
mxx
2
+
+−

có hai điểm
cực trò nằm khác phía so với Ox. Kq: m >
4
1
11) Đònh m để hàm số y = f(x) = x
3
−6x
2
+3(m+2)x−m−6 có 2 cực trò và
hai giá trò cực trò cùng dấu. Kq:
4
17
−
< m < 2
3 Trần Duy Thái
3
Giải tích 12
12) Chứùng minh với mọi m hàm số y =2x
3
−3(2m+1)x
2
+6m(m+1)x+1
luôn đạt cực trò tại hai điểm x
1
và x
2
với x
2
−x
1

là một hằng số.
13) Tìm cực trò của các hàm số :
a)
x
1
xy
+=
b)
6x2
4
x
y
2
4
++−=
c) y =
21x
3
+−
14) Đònh m để hàm số y = f(x) =
3
x
3
−mx
2
+(m+3)x−5m+1 đạt cực đại
tại x=1. Kq: m = 4
15) Đònh m để hàm số có cực trò :
a)
2mxx3xy

23
−+−=
. Kq: m<3
b)
1x
2mmxx
y
22
−
−++−
=
. Kq: m<−2 V m>1
16) Cho hàm số : f(x)=
3
1
−
x
3
−mx
2
+(m−2) x−1. Đònh m để hàm số đạt
cực đại tại x
2
, cực tiểu tại x
1
mà x
1
< −1 < x
2
< 1. Kq: m>−1

3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT- NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
1) Tìm giá trò nhỏ nhất của hàm số y=f(x)=x
2
−2x+3.
2) Tìm giá trò lớùn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x
2
−2x+3 trên
[0;3]. Kq:
]3;0[
Min
f(x)=f(1)=2 và
]3;0[
Max
f(x)=f(3)=6.
3) Tìm giá trò lớùn nhất của hàm số y = f(x) =
1x
4x4x
2
−
+−
với x<1.
Kq:
)1;(
Max
−∞
f(x) = f(0) = −4
4) Muốn xây hồ nước có thể tích V = 36 m
3
, có dạng hình hộp chữ nhật
(không nắp) mà các kích thước của đáy tỉ lệ 1:2. Hỏi: Các kích thước

của hồ như thế nào để khi xây ít tốn vật liệu nhất?
Kq: Các kích thước cần tìm của hồ nước là: a=3 m; b=6 m và c=2 m
4 Trần Duy Thái
4
Giải tích 12
5) Tìm giá trò lớn nhất của hàm số y =
1xx
x
24
2
++
.
Kq :
R
Max
y = f(±1) =
3
1
6) Đònh m để hàm số y = f(x) = x
3
−3(m+1)x
2
+3(m+1)x+1 nghòch biến
trên khoảng( −1;0). Kq: m ≤
3
4
−

7) Tìm trên (C): y =
2x

3x
2
−
−
điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ
M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất. Kq:M(0;
2
3
)
8) Tìm giá trò nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y = 3 sinx – 4 cosx.
9) Tìm GTLN: y=−x
2
+2x+3. Kq:
R
Max
y=f(1)= 4
10) Tìm GTNN y = x – 5 +
x
1
với x > 0. Kq:
);0(
Min
±∞
y=f(1)=
−3
11) Tìm GTLN, GTNN y = x – 5 +
2
x4
−
.

kq:
522)2(fyMax
]2;2[
−==
−
;
7)2(fyMin
]2;2[
−=−=
−
12) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y=2x
3
+3x
2
−1 trên đoạn






−
1;
2
1
kq:
4)1(fyMax
]1;
2
1

[
==
−
;
1)0(fyMin
]1;
2
1
[
−==
−
13) Tìm GTLN, GTNN của hàm số:
a) y = x
4
-2x
2
+3. Kq:
R
Min
y=f(±1)=2; Không có
R
Max
y
b) y = x
4
+4x
2
+5. Kq:
R
Min

y=f(0)=5; Không có
R
Max
y
c)
2xcos
1xsin22
y
+
−
=
. Kq:
R
Min
y=
3
7
−
;
R
Max
y=1
5 Trần Duy Thái
5