UNG DUNG BIEU THUC LIEN HOP DE GIAI MOT SO DANG TOAN VE CAN THUC

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Ứng dụng biểu thức liên hợp để giải một số dạng toán về căn thức Trong các kì thi học sinh giỏi và thi vào lớp 10 nếu chúng ta vận dụng kiến thức về biểu thức liên hợp một cách hợp lí và sáng tạo sẽ giúp giải được nhiều bài toán hay và khó về căn thức. Dạng 1: Ứng dụng biểu thức liên hợp để tính giá trị của biểu thức. ⍟Ví dụ 1. Tính giá trị của biểu thức sau: A = 8  40  8 5  8  40  8 5 Giải. Ta có: A 2  8  40  8 5  8  40  8 5  2 (8  40  8 5 )(8  40  8 5 )  16  2 82  (40  8 5)  16  2 24  8 5  16  2 (2  2 5) 2  16  2(2 5  2)  12  4 5  2(6  2 5)  2( 5  1) 2  A = ( 5  1) 2 (vì A > 0). ⍟Ví dụ 2. Tính giá trị của biểu thức sau: B. Giải. Ta có :. 1 1 1   .......  1 2 2 3 2014  2015 1. k  k 1. . . k + 1 k k  k 1. . k + 1 k. .  k + 1  k, kN. Áp dụng đẳng thức trên với k = 1, 2,......,2014 ta được B  2  1  3  2  ........  2015  2014  2015  1. ⍟Ví dụ 3. Cho. x . . . x 2  2015 y  y2  2015  2015 .Tính giá trị của biểu thức:. x 2015  y2015 P  2016 x  y2016  2017. Giải: Nhân cả hai vế của đẳng thức đã cho với x  x 2  2015 ta được. . . . . x 2  2015  x x  x 2  2015 y  y 2  2015  2015. . .   x 2  2015  x 2  y  y 2  2015  2015  y  y 2  2015  x 2  2015  x. . . x 2  2015  x. x 2  2015  x. . . (1). Tương tự như vậy, ta có: x  x 2  2015  y2  2015  y. (2). Bïi Kim Vò –GV Tr-êng THXS X· Hå tïng MËu - ¢n Thi – H-ng Yªn. 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Ứng dụng biểu thức liên hợp để giải một số dạng toán về căn thức Cộng vế với vế (1) và (2) , rồi rút gọn ta được: x + y = – (x + y)  x + y = 0  x = – y x 2015  y2015 ( y) 2015  y 2015 0 Vậy P  2016  2016  2016 0 2016 2016 2016 x  y  2017 x  y  2017 x  y  2017 Dạng 2: Ứng dụng biểu thức liên hợp để rút gọn biểu thức. 1 ⍟Ví dụ 4 : Rút gọn biểu thức A   2 3 2 3 Giải. Ta có 1. A. 2 3.  2 3 . 2 3 (2  3)(2  3).  2 3  2 3  2 3.  A 2  2  3  2  3  2 (2  3)(2  3)  4  2  2  A   2 (vì A  0) Cách khác: Ta có A2 . 1 2 3. 22 3 . 2 3 (2  3)(2  3).  3. 2 3 3 2 A 2. (vì A  0). ⍟Ví dụ 5 : Rút gọn biểu thức B . x  3  2 x2  9 2x  6  x2  9. Giải. ● Trường hợp x = 5: Với x = 5 ta được B . 5  3  2 52  9. 2. 25  6  5  9 ●Trường hợp x ≠ 5 : Với x ≠ 5 . Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu ta được.. x  3  2. 2. . x 2  9 2(x  3)  x 2  9    B  2(x  3)  x 2  9  2(x  3)  x 2  9      2(x 2  9)  (x  3) x 2  9  4(x  3) x 2  9  2(x 2  9)  4(x  3)2  (x 2  9). . (4x  12  x  3) x2  9 3(x  5) x 2  9 x2  9   (x  3)(4x  12  x  3) 3(x  5)(x  3) x3. x2  9 Ta thấy với x = 5 biểu thức cũng có kết quả bằng 5 nên trong cả hai trường x3 hợp x = 5 và x ≠ 5 cùng có chung đáp số là. x2  9 x2  9 . Vậy B = x3 x3. Bïi Kim Vò –GV Tr-êng THXS X· Hå tïng MËu - ¢n Thi – H-ng Yªn. 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Ứng dụng biểu thức liên hợp để giải một số dạng toán về căn thức Dạng 3: Ứng dụng biểu thức liên hợp để chứng minh bất đẳng thức. 1 1 1   ...........  ⍟Ví dụ 6. Cho A  2 1 1 2 3 2  2 3 925 924  924 925 Chứng minh : A  30. 31. Giải. Ta có 1 1 k 1  k 1 1     k  1 (k  1) k  k k  1 k(k  1)( k  k  1) k(k  1) k k 1 Áp dụng đẳng thức trên với k =1,2,......., 924, ta được 1 1 1 1 1 1 A     ..........   1 2 2 3 924 925 1 1 1 30 1 1 1  31 31 925 961 30 Vậy A  31 ⍟Ví dụ 7. Cho các số thực dương a,b .Chứng minh bất đẳng thức sau : 3a2  2ab  3b2  2 2(a2  b2 ) ab. Giải: Ta có.  2(a  b )  (a  b)  2. 2. . 2(a2  b2 )  (a  b). . 2(a2  b2 )  (a  b). . 2(a2  b2 )  (a  b) 2(a2  b2 )  (a  b)2 2(a2  b2 )  (a  b). . (a  b)2 2(a2  b2 )  a  b. Do đó 3a2  2ab  3b2  2 2(a2  b2 ) a b 2 3a  2ab  3b2   2(a  b)  2 2(a2  b2 )  2(a  b) ab a2  2ab  b2 2(a  b)2   ab 2(a2  b2 )  a  b  (a  b)2  2(a2  b2 )  a  b   2(a  b)2 (a  b)    (a  b)2  2(a2  b2 )  a  b  2(a  b)   0    (a  b)2  2(a2  b2 )  (a  b)  0   (a  b)4  0 2 2 2(a  b )  a  b. Bất đẳng thức cuối đúng do a, b là các số dương, nên bất đẳng thức đã cho đúng. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b. Bïi Kim Vò –GV Tr-êng THXS X· Hå tïng MËu - ¢n Thi – H-ng Yªn. 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Ứng dụng biểu thức liên hợp để giải một số dạng toán về căn thức Dạng 4: Ứng dụng biểu thức liên hợp để giải phương trình, bất phương trình vô tỷ. ⍟Ví dụ 8: Giải phương trình 2x  5  6  x  2x  x  11  0 5 Giải: Điều kiện   x  6 2 Phương trình (1)  2x  5  3  2  6  x  2x2  x  10  0 2. (1). 2x  5  3  2  6  x  2x 2  x  10  0 . ( 2x  5  3)( 2x  5  3). . (2  6  x )(2  6  x ).  2x 2  x  10  0. 2x  5  3 2 6x 2(x  2) x2    (x  2)(2x  5)  0 2x  5  3 2  6  x   2 1  (x  2)    2x  5   0  2x  5  3 2  6  x  2 1 2  x  2  0 (vì   2x  5  0 với mọi   x  6) 5 2x  5  3 2  6  x  x = 2 (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 2.. . ⍟Ví dụ 9: Giải phương trình 4(x  1)  (2x  10) 1  2x  3 2. Giải. Điều kiện x  . 3 2. . . 2. .    (2x  10)1  2x  3  1   4(x  1) 1  2x  3   (2x  10)(1  2x  3)  4(x  1) 1  2x  3   4(x  1) (2x  10)    4(x  1) 1  2x  3   (2x  10)  0    4(x  1) 1  2x  3 2. 2x  3. 2x  3. . 2. . 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. . 2. 2. 2. (x  1)2  0    1  2x  3. 2. (2).  1 . Phương trình (2)  4(x  1) 1  2x  3  (2x  10) 1  2x  3 2. . 2. . 2. x  1   (2x  10)  0  2x  3  3. x  1  (thỏa mãn điều kiện) x  3  Vậy phương trình có hai nghiệm x = – 1 và x = 3. Bïi Kim Vò –GV Tr-êng THXS X· Hå tïng MËu - ¢n Thi – H-ng Yªn. 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Ứng dụng biểu thức liên hợp để giải một số dạng toán về căn thức ⍟Ví dụ 10: Giải phương trình sau: x  3x  3 3x  5  1  3x Giải: Phương trình (3) tương đương với phương trình 3 x  3x 2  4  3(x  1  3 3 3x  5)  0 3.  (x  1)(x  2) . 2. 3. 3(x3  3x 2  4). 2. (x  1)2  (x  1) 3 3x  5  3 (3x  5)2. (3). 0.   3  (x  1)(x  2) 1    0 (*) 2 2  (x  1)  (x  1) 3 3x  5  3 (3x  5)  Vì 2. (x  1)2  (x  1) 3 3x  5  3 (3x  5)2  (x  1)2  2.(x  1).. 13 1 3 3x  5  3 (3x  5)2  3 (3x  5)2 2 4 4. 2. 3  3x  5  3   x  1    2   4. . 3. . 2. 3x  5  0 với mọi x. 3  3x  5 x  1 x  1   0 x  1  0     Dấu " =" xảy ra   2 5 ( Vô lí ) 3x  5  0 x     3 3x  5  0  3 . Do đó dấu" =" không thể xảy ra nghĩa là (x  1)2  (x  1) 3 3x  5  3 (3x  5)2  0 x  R 3 Suy ra 1   0 x  R (x  1)2  (x  1) 3 3x  5  3 (3x  5)2 Nên phương trình (*) ⇔(x – 1)(x+2) = 0 ⇔ x =1 hoặc x= – 2 Vậy phương trình có hai nghiệm là x= 1; x= – 2 ⍟Ví dụ 11: Giải phương trình:. 5x  1  7x  8  4x  3  6x  6. (4). Giải: 8 Điều kiện: x  . Phương trình (4) tương đương với phương trình sau. 7 5x  1  7x  8  4x  3  6x  6  5x  1  4x  3  7x  8  6x  6  0   . . 5x  1  4x  3. . 5x  1  5x  1  4x  3  5x  1  4x  3 x2  5x  1  4x  3. 5x  1  4x  3. . 4x  3 7x  8  6x  6 0 7x  8  6x  6 x2 0 7x  8  6x  6. 7x  8  6x  6. . 7x  8  6x  6. 7x  8  6x  6. Bïi Kim Vò –GV Tr-êng THXS X· Hå tïng MËu - ¢n Thi – H-ng Yªn.  0. 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Ứng dụng biểu thức liên hợp để giải một số dạng toán về căn thức 1 1    (x  2)   0 7x  8  6x  6   5x  1  4x  3 1 1 8  x  2  0. Do   0 x  7 5x  1  4x  3 7x  8  6x  6. ⇔ x = 2 (Thỏa mãn điều kiện) Vậy x = 2 là nghiệm của phương trình đã cho Ví dụ 12. Giải bất phương trình sau.. 2  Giải. Điều kiện x  . . . . . 4  3x. . 2. (4).  5x  12. 4 3. Bất phương trình (3)     . 9x 2. . 9x 2 4  3x  2. . . 2.  5x  12. 2. .   3x 4  3x  2 3x 4  3x  2   5x  12    4  3x  4 4  3x  2 4  3x  2    4  3x  2. . . 2. . . 2.    5x  12  .  5x  12  4  3x  2 4  3x  4  5x  12.  4  3x  x  2  4  3x  x 2  4x  4  x 2  x  0  x(x  1)  0 x  1  0 (vì x  1  x)  1  x  0  x  0 Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là – 1< x < 0 Dạng 5: Giải hệ phương trình vô tỷ.   x  1  y  7  4 (1) ⍟Ví dụ 13. Giải hệ phương trình sau:    y  1  x  7  4 (2) Giải: Điều kiện x ≥ 7; y ≥ 7. Từ hệ phương trình đã cho ta suy ra x 1  x  7  y 1  y  7  . ( x  1  x  7)( x  1  x  7) ( y  1  y  7)( y  1  y  7)  x 1  x  7 y 1  y  7 8  x 1  x  7. 8 y 1  y  7.  x 1  x  7  y 1  y  7. ● Nếu x > y ≥ 7 thì. x 1  x  7  y 1  y  7. ● Nếu 7 ≤ x < y thì x  1  x  7  y  1  y  7 Vậy x = y . Thay vào phương trình (1) ta được Bïi Kim Vò –GV Tr-êng THXS X· Hå tïng MËu - ¢n Thi – H-ng Yªn. 6.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Ứng dụng biểu thức liên hợp để giải một số dạng toán về căn thức x 1  x  7  4.  x  1  x  7  2 (x  1)(x  7)  16. x  11  (x  1)(x  7)  11  x   2 2 x  6x  7  121  22x  x x  11 x  11   16x  128 x  8. ⇔ x = 8 (Thỏa mãn điều kiện).Vậy hệ có nghiệm (x; y) =(8; 8). 2 2   2x  3  x  2x  2y  1  y  2y (1) ⍟Ví dụ 14. Giải hệ phương trình sau:  (2)   x  2  y 1  3 Giải: Điều kiện x ≥ 2 ; y ≥ 1 Phương trình (1)  2x+3  2y  1  x2  2x  y2  2y  0  2x+3  2y  1  x 2  2x  y 2  2y  0  . . 2x+3  2y  1. . 2x+3  2y  1. 2x+3  2y  1.   (x. 2.  xy  2x)  (xy  y 2  2y)  0. 2(x  y  2)  x(x  y  2)  y(x  y  2)  0 2x+3  2y  1.   2  x  y  2  x  y   0 (*)  2x+3  2y  1    2 xy0 Vì x ≥ 2 ; y ≥ 1 nên 2x+3  2y  1 Do đó (*) ⇔ x  y  2  0  y  x  2 . Thế vào (2) ta được : x  2  x  1  3  2x  1  2 x 2  x  2  9  x2  x  2  5  x 5  x  0 x  5  2   2 9x  27 x  x  2  (5  x)  x  3  y = 5 (Thỏa mãn điều kiện ) Vậy hệ phương trình có nghiệm (x, y) = (3; 5).. BÀI TẬP. Bài 1: Chứng minh rằng 1 1 1 2001 a)   ..........   3( 1  2) 5( 2  3) 4003( 2001  2002) 2003 1 1 1 43   ...........   b) 2 1 1 2 3 2  2 3 2002 2001  2001 2002 44 Bïi Kim Vò –GV Tr-êng THXS X· Hå tïng MËu - ¢n Thi – H-ng Yªn. 7.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Ứng dụng biểu thức liên hợp để giải một số dạng toán về căn thức Bài 2: Với mọi số nguyên dương n, chứng minh rằng. 1 1 1 2n  1  1   .......   2 1 2 3 4 2n  1  2n. a). 1. b). 1 2. . 1 3 4.  ........ . 1 2n  1  2n  2. . 2n  2 2. Bài 3: Cho f(x) =(x3 + 6x – 5)2006. Tính f(a) với a  3 3  17  3 3  7 Bài 4: Giải các phương trình sau: 3x  2  (x  6) 3x  2  4. a). c) ( x  5  x  2)(1  x2  7x  10)  3 e). 3. 6 8  6 3x 2x. d). x 2  12  5  3x  x 2  5. 5x2  3x  1  3 2x2  5  3 x2  2x  3 2x2  5x  4. Bài 5: Rút gọn các biểu thức sau: a) A . b). 1. 49  20 6. . 1. 49  20 6. . 1 74 3. b) B  a  b  c  2 ac  bc  a  b  c  2 ac  bc 1 1 1 1 c) C     .........  1 4 4 7 7  10 97  100 1 1 1 1 d) D     ...........  1 5 5 9 9  13 n  n4 4 3 6 8 2n  n 2  1 240  14399   ......   .........  1 3 3 5 n 1  n 1 119  121 Bài 6: Giải các bất phương trình sau: x a) b) 5x  6  7  x  5x2  4x  19  0  x 1 2x  1  1. e) E . c) 2x  4  2 2  x . 12x  8 9x2  16. Bài 7: Cho các số thực dương a, b. Chứng minh bất đẳng thức.. 2ab a2  b 2 ab   ab  ab 2 2 1 2 Bài 8: a) Chứng minh rằng : 2 n  1  n  n. . b) Áp dụng : Cho A  1 . . . n  n 1. . 1 1 1   .........  2 3 2500. Chứng minh rằng 98 < A < 99 Bïi Kim Vò –GV Tr-êng THXS X· Hå tïng MËu - ¢n Thi – H-ng Yªn. 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Ứng dụng biểu thức liên hợp để giải một số dạng toán về căn thức Bài 9: Giải các hệ phương trình.. . . .  x  x2  1 y  y2  1  1 b)  3x 2  15y  2 y2  5x  1  2 .  x5 y2 7 a)    x2  y5 7. Bài 10. So sánh a) 2006  2005 và 2005  2004 b) n  n  m và n  1  n  m  1 với m, n ∊ N* Bài 11. Tìm n ∊ N sao cho : 1 4. 5. . 1 5. 6.  ........ . 1 n. n 1.  10. Bài 12. Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện:. x 2  2004  x  2005  x 2  y 2  2004  y  2005  y 2 . Chứng minh x = y. Bïi Kim Vò –GV Tr-êng THXS X· Hå tïng MËu - ¢n Thi – H-ng Yªn. 9.

<span class='text_page_counter'>(10)</span>