ON LUYEN VAO 10 theo tung chu de
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.75 MB, 156 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span>Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. CHỦ ĐỀ 1:. CĂN THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN.
<span class='text_page_counter'>(2)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. Các phép biến đổi về căn thức. 1. Hằng đẳng thức đáng nhớ 2. a b a2 2ab b2 2 a b a2 2ab b2 a b a b a2 b2 3 a b a3 3a2b 3ab2 b3 a 3 b3 a b a 2 ab b2 a 3 b3 a b a2 ab b2 2 a b c a2 b2 c 2 2ab 2bc 2ca 2. Một số phép biến đổi căn thức bậc hai - Đều kiện để căn thức có nghĩa A có nghĩa khi A 0 - Các công thức biến đổi căn thức. A2 A A B. A. (A 0;B 0). B. AB A. B. (A 0;B 0). A 2B A B. (B 0). A B A 2B (A 0;B 0). A 1 B B C A B C. . A B. AB (AB 0;B 0) C( A B) (A 0;A B2 ) A B2 . C( A B) (A 0;B 0;A B) A B. A B A 2B (A 0;B 0). A B. . A B (B 0) B.
<span class='text_page_counter'>(3)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. Dạng 1: Tìm ĐKXĐ của các biểu thức sau Phương pháp: Nếu biểu thức có Chứa mẫu số ĐKXĐ: mẫu số khác 0 Chứa căn bậc chẵn ĐKXĐ: biểu thức dưới dấu căn 0 Chứa căn thức bậc chẵn dưới mẫu ĐKXĐ: biểu thức dưới dấu căn 0 Chứa căn thức bậc lẻ dưới mẫu ĐKXĐ: biểu thức dưới dấu căn 0 1.. x 1 . 1 x 3. 2.. 3 x. 3.. x2 4 x 5 1 x5 x2. 4.. 5. 2008 2 x 1 6. 7. 8.. 2008 x4 -5x. x 1 5 x 2 7x. 3 x 12. 24. 25.. 3. 26. 27.. 3 1 3x 5x 1. 4. 2 7 3x 3x 2 2. 28.. 5 x2 1 3x 5. 29. 30.. 3. 31.. x 1 . 32. 33.. 8x 1. 11.. x x2 3x 1. 12.. x2 3. 34.. 13.. 5 2x 1 7x 14 2x 1 3 x 7x 2. 9. 10.. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.. 3 21x 2 2 x. 35. 36.. 8. 37.. 3. 5 6x 2 2 x 1 3 3 5x 4x x2 5 . x 3 7x 1. 38.. 7 7 2x2. 39.. 3x 2 6. 2x x 2. 40.. 2 3x 2. 2x 2 5x 3 1. 41.. 2x2 4 x 5 2 x. 42.. 3x 6 2 x 3 1 x. 22.. x 2 5x 6 1 3x x 3 5x 6x 1 x 3. 23.. x 2 3x 7. 21.. x 1 5 x. 1 x2.
<span class='text_page_counter'>(4)</span>
<span class='text_page_counter'>(5)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán 43.. x3 . 1 3. 22 44 x. Dạng 2: Tính giá trị biểu thức Phương pháp: Thực hiện theo các bước sau. . Bước 1: Trục căn thức ở mẫu (nếu có) Bước 2: Qui đồng mẫu thức (nếu có) Bước 3: Đưa một biểu thức ra ngoài dấu căn Bước 4: Rút gọn biểu thức. Dạng toán này rất phong phú vì thế học sinh cần rèn luyện nhiều để nắm được “mạch bài toán” và tìm ra hướng đi đúng đắn, tránh các phép tính quá phức tạp. 1. 3 2 4 18 2 32 50 50 18 200 162 2. 3. 5 5 20 3 45 4. 5 48 4 27 2 75 108 5. 1 48 2 75 33 5 1 1 2 3 11 6. 3 12 4 27 5 48 7. 12 5 3 48 8. 2 32 4 8 5 18 9. 3 20 2 45 4 5 10. 2 24 2 54 3 6 150 11. 2 18 7 2 162 12. 3 8 4 18 5 32 50 13. 125 2 20 3 80 4 45 14. 2 28 2 63 3 175 112 1 15. 3 2 8 50 32 2 16. 3 50 2 12 18 75 8 17. 2 75 3 12 27 18. 12 75 27 19. 27 12 75 147 20. 2 3 48 75 243 8 32 18 5 14 21. 6 9 25 49 16 1 4 3 6 3 27 75 1 50 32 23. 3 2 8 5. 22. 2. 24. 12 2 35. 25.. 52 6. 26. 16 6 7 27.. 31 12 3. 28.. 27 10 2. 29. 14 6 5 30. 17 12 2 31.. 74 3. 32.. 2 3. 33.. 8 28. 34. 18 2 65 35.. 94 5. 36.. 42 3. 37.. 7 24. 38.. 2 3. 39.. 52 6 52 6. 40.. 9 4 5 9 80. 41. 17 12 2 24 8 8 42.. 3 2 2 6 4 2. 43.. 8 2 15 -. 8 2 15. 44. 17 3 32 17 3 32 45.. 62 5 62 5. 46. 11 6 2 11 6 2 47. 15 6 6 33 12 6.
<span class='text_page_counter'>(6)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán 48.. 62 5 62 5. 74. ( 75 3 2 12 )( 3 2 ). 49.. 8 2 15 23 4 15. 75.. 50.. 31 8 15 24 6 15. 5 3 5 3 5 3 5 3. 51.. 49 5 96 49 5 96. 76.. 5 3 5 3 5 1 5 3 5 3 5 1. 52.. 32 2 52 6. 53.. 7 2 10 7 2 10. 54. 17 4 9 4 5 32 2 64 2. 55. 56.. 40 2 57 40 2 57. 57.. 4 10 2 5 4 10 2 5. 58.. 35 12 6 35 12 6. 59.. 8 8 20 40. . 60. 4 15. . 10 6. . 4 15. 61. 2 3 5 13 48 62.. 6 2 5 13 48. 63.. 4 5 3 5 48 10 7 4 3. 64.. 13 30 2 9 4 2. 65.. 30 2 16 6 11 4 4 2 3. 66. 13 30 2 9 4 2 67. 68.. 69.. 32 2 32 2. 82.. 3 2 2 3 2 2 2 30 5 6 7. 83.. 2 10 3 6 1 2 15 10 85. 84 6 24 6. 84.. 86. 2 40 12 2. 9 4 5. 21 8 5. 4 5 32 2. 52 . . 3 2 2 17 12 2. 2 3 2 3 2 3 2 3. 2 3 2 3 2 3 2 3 3 4 72. 6 3 7 3 6 73. 3 22 3. 75 3 5 48 1 5. 87. 4 20 3 125 5 45 15. . . 88. 3 8 2 12 20 : 3 18 2 27 45. 4 8. 2 2 2 . 2 2 2. 17 12 2 70.. 2 2 34 2 1 1 78. 43 2 43 2 6 79. 2 3 3 1 80. 10 15 14 21 1 81. 2 5 2 2 10 77.. 2. 2. 2 3 1 : 3 5 4 89. 3 1 5 1 2. 15 90. 6 1 2 2 91. 3 3 92.. 71.. . 7 5. . 2. 4 12 6 2 3 6 . . 2 5 1 3 12 6. 2. 2 35. 6 14 3 45 243 2 3 28 5 3 1 1 94. 7 24 1 7 24 1. 93.. . 6 11. .
<span class='text_page_counter'>(7)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán 95. 96.. 1 2 3 8. . 1 3 2. . 5 3. 2. . 3 3 8. . . 3 5. 97.. 5 3. 2 2 3 5. 99.. 2 2 3 5. . . 3. 26 15 3 2 3. 3. 9 80 3 9 80. 3. . 26 15 3 26 15 3. 100.. 3;. 20 14 2 20 14 2. 101. 3 26 15 3 3 26 15 3 102. 103. 3 5 2 7 3 5 2 7. . . 104. 15 50 5 200 3 450 : 10 3 15 1 2 105. . 3 2 3 3 3 5 3 1 5 5 5 5 106. 10 5 5 5 5 1 1 1 107. 4 3 3 2 2 1 108. 4 8 . 2 2 2 . 2 2 2 14 7 15 5 1 ): 1 2 1 3 7 5 2 3 6 216 1 110. 3 6 82. 109.. 111. 4 7 4 7 7. . 114.. . . 3 5 3 5. 1 7 24 1. 115.. 3 3 1 1. 116.. . 1. . 7 24 1. 3. . 3 1 1. 5 2 6 52 6 5 6 5 6. 3 5 3 5 117. 3 5 3 5. 6 14. 2 3 28 123. ( 2 2) 2 2 2 1 1 124. 5 1 5 1 1 1 125. 52 52 2 2 126. 43 2 43 2 2 2 127. 1 2 128. ( 28 2 14 7) 7 7 8 129. ( 14 3 2 ) 2 6 28 130. ( 6 5 ) 2 120 131. ( 2 3 3 2 ) 2 2 6 3 24 132. (1 2 ) 2 ( 2 3) 2 133. ( 3 2) 2 ( 3 1) 2 134. ( 5 3) 2 ( 5 2) 2. 112. 3 5 3 5 2 113. 3 5. 3 1 2 18 3 2 2 2 3 2 4 8 15 120. 3 5 1 5 5 5 5 5 5 121. 3 3 5 1 1 5 122.. 3. 3. 2 6 2 3 3 3 27 2 1 3. 119.. 2. 3 5. . 98.. 118.. 3 5. 135. ( 19 3)( 19 3) 7 5. 136.. 7 5 5. . 7 5. 7 5 5 137. 3 2 2 3 8 138.. 3 2 3 2 2 2 3 3 2 1. . . 139. 2 3 2 3 140. 3 2 2 6 4 2. . . . . 141. 3 3 2 3 3 3 1. 2.
<span class='text_page_counter'>(8)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán 142. 4 3 2 2 57 40 2. 165.. 143. 1100 7 44 2 176 1331. 1 . 144.. . 166.. 2. 2002 . 2003 2 2002. 3 2. 62. 2 3 3 2 3. 168.. 2 3 2 4 12 6 . 2 . 3 3 2 3 169.. . 170. 147. 8 2 15 8 2 15 148. 4 7 4 7. . . 72 5 20 2 2. 152. 2 5 14. . 75 5 2 154. 3 5 3 5 3 5 3 5 155. 3 8 2 12 20 3 18 2 27 45 1. 156.. 2 3. 2. 52 5 2 5 . 2. 159.. 2 8 12 5 27 18 48 30 162. . . 3 5. 3 5. . 10 2. 175.. 8 3 2 25 12 4. 176.. 2 3. . 5 2. . . 192. . 177.. 3 5 3 5. 178.. 4 10 2 5 4 10 2 5. 179.. 5 2 6 49 20 6 1. 180.. 182.. 2 2 3. 64 2. 2 3. 183.. . . 52 6. 1. . . 2 64 2. 21 35 18 32 50 . 2. 2 3. 160.. 2 3 2 3 2 3 2 3. 181.. 6 10. . 3. 2 2 3. 157. 3 13 48 158.. . 16 1 4 3 6 3 27 75 4 3 173. 2 27 6 75 3 5. 174.. 12. . 4 3. 3 6. 172. 2. 151. 2 8 3 5 7 2 .. 3 50 5 24. 4 3 13. 6. . 15 216 33 12 6. 171.. 150. 9 4 5 9 4 5. 5 153.. . 13. 10 2 10 8 5 2 1 5. 149. 8 60 45 12. . . 167. 2 5 125 80 605. 1 2 145. 72 5 4,5 2 2 27 3 3 146. . 3. 64 2 2 64 2. 2. 5 2 8 5 2 54 1 1 3 1 3 1. 2 2 3 2 2 3 1 1 161. 5 2 5 2 162. 8 27 6 48 : 3. 184.. ( 2 3 3 2 ) 2 2 6 3 24. 185.. 3132 312 2 17 2 8 2. 5 2 6 8 2 15. 186.. 3 2 13 30 2 9 4 2. 7 2 10. 187.. 12 2 11.. 188.. 7 3 7 3 7 3 7 3 : 28 . . 163.. . 164. ( 2 3) 2 2(3) 2 5 (1) 4. . 22 2 . 6 11.
<span class='text_page_counter'>(9)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. 3 5 5 3 3 5 15 3 5 1.1 3 1 . 189. 190.. 3 2 3 2 2 1 . 1 : 3 2 1 2 3 . 196. . 14 8 3 24 12 3 4 1 6 3 1 32 3 3. 191.. . 192.. 3. 3. . 3 1. . . 2 1 . 193.. 1 1 . 5 2 5 2. 197. . 2 1. 198. . 3 1 1. 3 1. 2. 194. ( 14 3 2 ) 6 28 195.. . 32 50 27. . 27 50 32. . . . 2. 2 1. . 1. 1. 7 24 1 7 24 1 3 15 1 2 199. . 3 1 3 2 3 3 3 5. 3. . 1. 1. . 2 5 6 6 3 200. : 2 6 1 6 3. Dạng 3: Rút gọn biểu thức Phương pháp: Thực hiện theo các bước sau. Bước 1: Tìm ĐKXĐ nếu đề bài chưa cho. Bước 2: Phân tích các đa thức ở tử thức và mẫu thức thành nhân tử. Bước 3: Quy đồng mẫu thức Bước 4: Rút gọn x2 1 x 1 x : 1. A 2 x x 1 x x 1 1 x . A. 2 x x 1 x x : (1 x ) 1 2. B x 1 x 1 x 1 x 1 8 x x x 3 1 3. B : x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 1 1 1 1 4. A : 1 x 1 x 1 x 1 x 2 x 3x 9 2 x x x 3 x 3 x9 x 4 3 x 2 : 6. Q = x x2 x 2 x . 1 x 1 x. 1 x 1 x. B A A. x x 2 . x3 x x 1. a 3 a 1 4 a 4 a > 0 ; a 4 4a a 2 a 2 1 1 1 1 1 9. A= : 1- x 1 x 1 x 1 x 1 x. . . x 1. A x 1. 5. A . 7. A . 4 x. 4 x x4 3 2 x 3 x 3. A 1 x. A x 2 x 1. A. 8.. A. 4 a 2. 1 x (1 x ). 2.
<span class='text_page_counter'>(10)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán 10. 11. 12.. x2 x 2 A x. 2 x x 2( x 1) x x 1 x x 1 1 x 2 x x : x 1 x 1 x x 1 2 x 1 x 1 x x : A x 1 x x x x 1. A. A x x 1 A. 1 x 2. A. x x 1. 13.. A. 15 x 11 3 x 2 2 x 3 x 2 x 3 1 x x 3. A. 25 x x 3. 14.. A. x x 1 x 1 x 1 x 1. A. x x 1. 15.. A 1 . A. x 2 x. 16.. A. A. 3 x 3. 17.. x 1 1 8 x 3 x 2 A : 1 3 x 1 3 x 1 9x 1 3 x 1 . 18.. Q. 19. 20. 21. 22. 23.. 24. 25. 26. 27. 28.. 1 x2 x 4 : x 1 x 1 x 1. x 2 x 3x 9 x 3 x 3 x9. x 2 x 10 x 2 1 x x 6 x 3 x 2 1 x 2 x 1 1 A : x 2 x 1 x 1 x x x 1 x x 1 x 1 1 x 1 x E x x x x 1 x x x 1 x x 1 x 1 x : x A x 1 x 1 x 1 2 x 1 x 1 x x : A x 1 x x x x 1 x 4 x 3 x 2 : A x x 2 x2 x 2 x . A. Q A A. P. 1 x 1 x. 1 x 1 x. x3 x x 1. 1 x 2 x 2 3 x. 2( x x 1) x A. 2 x x. A. x x 1. A 1 x. 1 x2 2x 1 A : 1 x x 1 1 x x x 1 x2 x 2 x 1 1 A 1 : x x 1 x x 1 x 1 2 x x 3 3 x 2 x 3 : A x 2 x 2 2 x x x 2 2 x 4 x 2 8 x 1 : P x 2 x 4 x x2 x. 3x 13 x 9 x 3. A A. x x 3. x x 1 x A. x2 x 1. A. 4x 3 x. A x 2 x 1.
<span class='text_page_counter'>(11)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46.. x x 3 x 2 x 2 : A 1 1 x x 2 3 x x 5 x 6 x 1 x 2 x 3 x 3 2 : A x 1 x 1 x 1 x 1 1 1 2 x 2 2 : A x 1 x x x x 1 x 1 x 1 2x 1 x4 1 : 1 A 3 x 1 x x 1 x 1 a 3 2 a 1 2 a 9 a 56 a 2 3 a x5 x 25 x x 3 x 5 1 : A x 5 x 3 x 25 x 2 x 15 x3 x 9x x 3 x 2 1 : A x 3 x x 6 2 x x 9 2 x 3x 3 2 x 2 x : A x 3 1 9 x 3 3 x x . A. a 3 a 1 4 a 4 4a a 2 a 2 x x 1 x x 1 2( x 2 x 1) : A x 1 x x x x 2x 1 1 1 2 : A 3 x 1 x 1 x 1 x 1 5 1 a 2 A a 3 a a 6 2 a 2 2x x 1 A :2 x 1 x 1 x x x x 1 x2 x7 x 1 1 1 : A x 9 x 1 3 x x 3 a2 1 a 1 a A : 2 a a 1 a a 1 1 a a a a a 1 1 A a 1 a 1 x 1 x x x x A x 1 2 2 x x 1 x x x x 3 A 3 x 1 x 1 A. A. x 2 x 1. A. 4 x 1. A. x 1 x 1. A. x x 3. A. a 1 a 3. A. 5 3 x. A. 3 x 2. A. 3 x 3. A. 4 a 2. A. x 1 x 1. A. x x 3. A. a 4 a 2. A. x 1 2 x. A. x 1 x 3.
<span class='text_page_counter'>(12)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán 47.. 48.. 49. 50. 51.. 52.. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61.. A. a 1 a 2 1 a2 a. . 1 a 1 a. . a3 a a 1. a 3 3a a 2 1 a 2 4 2 a 2 : A a 3 3a a 2 1 a 2 4 2 a 2 2 a 1 2 a : A 1 1 a 1 1 a a a a a a 1 2 a A 1 : a 1 a 1 1 a a a a x 1 8 x 1 x 1 x x 3 : A x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 a3 2a 1 a A a 3 a 1 a a 1 1 a 2a a 1 2 a a a a a a A 1 2 a 1 1 a 1 a a 2 a a 3a 3 2 a 2 1 : A a 3 9 a a 3 a 3 1 2 x x : 1 A x 1 x 1 x x x x 1 x 4x 1 2 x 2 x 1 1 : A 1 4x 1 4x 2 x 1 2 x 1 5 x 1 P 1 : x 2 4x 1 1 2 x 4x 4 x 1 15 x 11 3 x 2 2 x 3 P x 2 x 3 1 x x 3 1 1 2 x : P x x x 1 1 x x 1. 1 1 x 1 : P x 1 x 2 x 1 x x 2 x 1 3 x : 2 P 1 x x 1 2x 5 x 3. 62.. 1 1 2 x x 1 2 x x x : P 1 x x 1 x x 1 x. 63.. x5 x 25 x M 1 : x 25 x 2 x 15. 64.. P. 2 x .1 x 1 x x : x 1 1 x. x 3 x 5. x 5 x 3 . 1 x x x . 1 x. x . x .
<span class='text_page_counter'>(13)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. 3x 3 2 x 2 : 1 x 9 x 3 . 65.. 2 x P 3 x . 66.. x x 1 x x 1 2 x 2 x 1 P : x 1 x x x x . 67.. x x 1 x 1 x P : x x 1 x 1 x 1. 68. 69. 70. 71. 72. 73.. x. 80.. . x. . 3 x x 1. 1 a 2 5 a 3 a a 6 2 a 1 1 a 1 a 2 : a 1 a a 2 a 1 2 3 1 x 1 x x 1 x x 1. . 79.. . x 1 x 1 2 x4 x 4 2 . 8 x 2 x 2. 75.. 78.. . x x 1 x 1 x 1 x 1 2 x x 1 25 x x4 x 2 x 2 1 a 2 1 a 1 : a a 2 a 1 a 1 x x x 4 x 2 x 2 . 4 x . P. 77.. x 3. . . 74.. 76.. x. 2 x 9. . x 3. . 2 x 1. x5 x 6 x 2 3 x 2 1 1 x x 1 x x : x 1 x 1 a 1 a 1 1 a 1 a 1 4 a . a a x3 x 9x x 3 x 2 1 : x 2 x 3 x 9 x x 6. 81.. 15 x 11 3 x 2 2 x 3 x 2 x 3 1 x x 3. 82.. x2 x 1 1 x x 1 x x 1 1 x. 83.. 2 a 9 a 3 2 a 1 a 5 a 6 a 2 3 a.
<span class='text_page_counter'>(14)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán 84. 85. 86.. 87.. 88. 89. 90.. 1 x 1. . 3. x x 1 x x 7 1 x 2 x 2 2 x : x 2 x 2 x 2 x 4 x4 x x 1 x x 1 1 x 1 x 1 x . x x x x x x 1 x 1 x 4 3 x 2 x : x x 2 x 2 x x 2 1 1 1 1 1 : 1 x 1 x 1 x 1 x 2 x. . x x 1. 2. . . x 1 x 1 8 x x x 3 1 : x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 4 1 x2 x 1 : x 1 x 1 x 1 . 91.. x 2 x 2 x2 2x 1 . 2 x 1 x 2 x 1 . 92.. a 1 P 2 2 a. 93.. P. 94. 95. 96. 97. 98.. 2. 3a 9a 3 a a 2. a 1 a 1 . a 1 a 1. . a 1 a 2. . a 2 1 a. x 2 x 2 x 1 . A x 1 x x 2 1 x 1 1 1 A 1 a 1 a a a 1 a a 1 a 2 : A a2 a a a a 1 1 x 1 2 A x 1 x 1 x 1 x x 1 x x 1 2 x 2 x 1 : A x 1 x x x x . . x 2 x 1. x 1. . 99.. A. 100.. x 1 2x x x 1 2x x : 1 1 2x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 1 . x 1. . x 1. x.
<span class='text_page_counter'>(15)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. Phương pháp: Thực hiện theo các bước sau Để tính giá trị của biểu thức biết x a ta rút gọn biểu thức rồi thay x a vào biểu thức vừa rút gọn. Để tìm giá trị của x khi biết giá trị của biểu thức A ta giải phương trình A x. Lưu ý: Tất cả mọi tính toán, biến đổi đều dựa vào biểu thức đã rút gọn.. 1. Cho biÓu thøc : P . a 2. . 5. . 1. a 3 a a 6 2 a Rót gän P a) b) Tìm giá trị của a để P < 1 x x 3 x 2 x 2 2. Cho biÓu thøc: P = 1 : x 1 x 2 3 x x 5 x 6 Rót gän P a) b) Tìm giá trị của a để P < 0 x 1 1 8 x 3 x 2 3. Cho biÓu thøc: P = : 1 3 x 1 3 x 1 9x 1 3 x 1 a). Rót gän P. b). Tìm các giá trị của x để P =. 6 5. a 1 2 a 4. Cho biÓu thøc P = 1 : a 1 a 1 a a a a 1 Rót gän P a) Tìm giá trị của a để P < 1 b) T×m gi¸ trÞ cña P nÕu a 19 8 3 c). 1 a3 a(1 a)2 1 a3 : a . a 1 a 1 a 1 a Rót gän P a) 1 b) XÐt dÊu cña biÓu thøc M = a.(P- ) 2 x 1 2x x x 1 2x x 1 : 1 6. Cho biÓu thøc: P = 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 a) Rót gän P 1 b) TÝnh gi¸ trÞ cña P khi x . 3 2 2 2 2 x 1 x : 1 7. Cho biÓu thøc: P = x x x x 1 x 1 x 1 a) Rót gän P b) Tìm x để P 0. 5. Cho biÓu thøc: P =. . .
<span class='text_page_counter'>(16)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán 2a 1 1 a3 a 8. Cho biÓu thøc: P = . a a3 1 a a 1 1 a a) Rót gän P b) XÐt dÊu cña biÓu thøc P. 1 a x2 x 1 x 1 . 9. Cho biÓu thøc P = 1: x x 1 x x 1 x 1 a) Rót gän P b) So s¸nh P víi 3 1 a a 1 a a a . a 10. Cho biÓu thøc : P = 1 a 1 a . Rót gän P Tìm a để P < 7 4 3 2 x x 3x 3 2 x 2 1 11. Cho biÓu thøc: P = : x 3 x 3 x 9 x 3 Rót gän P a) 1 b) Tìm x để P < 2 c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P x3 x 9x x 3 x 2 12. Cho biÓu thøc: P = 1 : x9 x x 6 2 x x 3 Rót gän P a) b) Tìm giá trị của x để P < 1 15 x 11 3 x 2 2 x 3 13. Cho biÓu thøc : P = x 2 x 3 1 x x 3 a) Rót gän P 1 b) Tìm các giá trị của x để P= 2 2 c) Chøng minh P 3 2 x x m2 víi m > 0 14. Cho biÓu thøc: P= 2 x m x m 4x 4m a) Rót gän P b) Tính x theo m để P = 0. a) b). c). Xác định các giá trị của m để x tìm được ở câu b thoả mãn điều kiện x > 1 a2 a 2a a 1 15. Cho biÓu thøc P = a a 1 a a) Rót gän P b) BiÕt a > 1 H·y so s¸nh P víi P c) d). Tìm a để P = 2 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P a 1 ab a a 1 ab a 16. Cho biÓu thøc P = 1 : 1 ab 1 ab 1 ab 1 ab 1 .
<span class='text_page_counter'>(17)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán a). Rót gän P. b). TÝnh gi¸ trÞ cña P nÕu a = 2 3 vµ b =. c). T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P nÕu. 3 1 1 3. a b 4 a a 1 a a 1 1 a 1 a 1 17. Cho biÓu thøc : P = a a a a a a a 1 a 1 a) Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× P = 7 b) Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× P > 6 2. a 1 a 1 a 1 18. Cho biÓu thøc: P = 2 2 a a 1 a 1 a) Tìm các giá trị của a để P < 0 b) Tìm các giá trị của a để P = -2. 19. Cho biÓu thøc P =. 2. a b. 4. a b. ab a b b a . ab. a) b). Rót gän P TÝnh gi¸ trÞ cña P khi a = 2 3 vµ b = 3 x2 x 1 x 1 20. Cho biÓu thøc : P = : x x 1 x x 1 1 x 2 a) Rót gän P b) Chøng minh r»ng P > 0 x 1 2 x x 1 x 2 21. Cho biÓu thøc : P = : 1 x x 1 x 1 x x 1 a) Rót gän P b) TÝnh P khi x= 5 2 3 3x 1 2 1 2 22. Cho biÓu thøc P = 1: : 4 x 42 x 42 x 2 x a) Rót gän P b) Tìm giá trị của x để P = 20 2a a 1 2a a a a a a 23. Cho biÓu thøc: P = 1 . 1 a 1 a a 2 a 1 6 t×m gi¸ trÞ cña a a) Cho P= 1 6 2 b) Chøng minh r»ng P > 3 x 5 x 25 x x 3 x 5 24. Cho biÓu thøc: P = 1 : x 25 x 2 x 15 x 5 x 3 a) b). Rót gän P Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× P < 1. . a 1 . a b 3 a 3a 1 25. Cho biÓu thøc P = : a ab b a a b b a b 2a 2 ab 2b . .
<span class='text_page_counter'>(18)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán a) b). Rót gän P Tìm những giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên 1 1 a 1 a 2 26. Cho biÓu thøc P = : a a 2 a 1 a 1 Rót gän P a) 1 Tìm giá trị của a để P > b) 6 x 2 x 2 x 1 27. Cho biÓu thøc : Q = . x 2 x 1 x 1 x a) Tìm x để Q Q b). Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên. 1 x 28. Cho biÓu thøc P = x 1 x x a) Rót gän biÓu thøc sau P. 1 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P khi x = b) 2 x x 1 x 1 29. Cho biÓu thøc : A = x 1 x 1 Rót gän biÓu thøc a) 1 b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A khi x = 4 c) Tìm x để A < 0. d) Tìm x để A A 1 1 3 30. Cho biÓu thøc : A = 1 a 3 a a 3 Rót gän biÓu thøc sau A. a) 1 Xác định a để biểu thức A > . b) 2. . . x x 1 x x 1 2 x 2 x 1 31. Cho biÓu thøc : A = : x x x x x 1 a) Rót gän biÓu thøc sau A. b) Tìm x để A < 0 x2 x 1 x 1 32. Cho biÓu thøc : A = : x x 1 x x 1 1 x 2 Rót gän biÓu thøc sau A. a) b) Chøng minh r»ng: 0 < A < 2 a 3 a 1 4 a 4 33. Cho biÓu thøc : A = 4a a 2 a 2 a) Rót gän biÓu thøc sau A. b) TÝnh gi¸ trÞ cña P víi a = 9 a a a a 34. Cho biÓu thøc : A = 1 1 a 1 a 1 a) Rót gän biÓu thøc sau A. b) Tìm giá trị của a để N = -2010.
<span class='text_page_counter'>(19)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán 35. Cho biÓu thøc : A =. x x 26 x 19. . 2 x. . x 3. x 2 x 3 x 1 x 3 Rót gän biÓu thøc sau A. Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó a 1 a 1 1 36. Cho biÓu thøc : A = 4 a . a a 1 a 1 a a) Rót gän biÓu thøc sau A. a) b). b). . . TÝnh A víi a = 4 15 .. . 10 6 .. 4 15. . x3 x 9x x 3 x 2 1 : 37. Cho A= víi x 0 , x 9, x 4 x9 x x 6 x 2 x 3 Tìm x để A < 1. a) Tìm x Z để A Z b) 15 x 11 3 x 2 2 x 3 38. Cho A = víi x 0 , x 1. x 2 x 3 1 x x 3 a) Rót gän A. b) T×m GTLN cña A. 1 c) Tìm x để A = 2 2 d) CMR : A 3 x2 x 1 1 39. Cho A = víi x 0 , x 1. x x 1 x x 1 1 x a) Rót gän A. T×m GTLN cña A b) 1 3 2 40. Cho A = víi x 0 , x 1. x 1 x x 1 x x 1 Rót gän A. a) b) CMR : 0 A 1 x 5 x 25 x x 3 x 5 41. Cho A = 1 : x 25 x 2 x 15 x 5 x 3 a) Rót gän A. T b) Tìm x Z để A Z 2 a 9 a 3 2 a 1 42. Cho A = víi a 0 , a 9 , a 4. a5 a 6 a 2 3 a a) Tìm a để A < 1 b) Tìm x Z để A Z x x 7 1 x 2 x 2 2 x 43. Cho A = : víi x > 0 , x 4. x4 x 2 x 2 x 2 x 4 a) Rót gän A. 1 b) So s¸nh A víi A x x 1 x x 1 1 x 1 x 1 x 44. Cho A = Víi x > 0 , x 1 . x x x x x x 1 x 1 a) Rót gän A..
<span class='text_page_counter'>(20)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán b). Tìm x để A = 6. 45. Cho A = x a) b) 1 46. Cho A= 1 a) b). 47. Cho A = a) b) 48. Cho A= . x 2 x : víi x > 0 , x 4. x 2 x x 2 x 2 Rót gän A TÝnh A víi x = 6 2 5 1 1 1 1 víi x > 0 , x 1. : x 1 x 1 x 1 x 2 x Rót gän A TÝnh A víi x = 6 2 5 2x 1 1 x4 : 1 víi x 0 , x 1. 3 x 1 x x 1 x 1 Rót gän A. Tìm x nguyên để A nguyên 1 1 2 x 2 2 : víi x 0 , x 1. x 1 x x x x 1 x 1 x 1 x 4. . 3. . a) b). 49. Cho A = . 50. Cho A = . Rót gän A. Tìm x để A đạt GTNN 2 x x 3x 3 2 x 2 1 víi x 0 , x 9 : x 3 x 3 x 9 x 3 a) Rót gän A. 1 b) Tìm x để A < 2 x 1 x 1 8 x x x 3 1 : víi x 0 , x 1. x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 . TÝnh A víi x = 6 2 5 CMR : A 1 1 1 x 1 víi x > 0 , x 1. 51. Cho A = : x 1 x 2 x 1 x x a) Rót gän A b) So s¸nh A víi 1 x 1 1 8 x 3 x 2 1 52. Cho A = Víi x 0,x : 1 3 x 1 3 x 1 9x 1 3 x 1 9 6 a) Tìm x để A = 5 b) Tìm x để A < 1. x 2 x 2 x 2 2x 1 53. Cho A = víi x 0 , x 1. . 2 x 1 x 2 x 1 a) Rót gän A. b) CMR nÕu 0 < x < 1 th× A > 0 c) TÝnh A khi x = 3 + 2 2 d) T×m GTLN cña A a) b).
<span class='text_page_counter'>(21)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. x2 1 x 1 x 54. Cho biểu thức A = : 2 x x 1 x x 1 1 x . a. Tìm điều kiện xác định. b. Chứng minh A =. 2 x x 1. c. Tính giá trị của A tại x 8 28 d. Tìm max A. 2 x 2 x x3 x 4x : 55. Cho biểu thức : P = 3 4 x 2 2 x x 2x x. a) Rút gọn P. b) Tìm các số nguyên của x để P chia hết cho 4. x 3 x 1 x 1 4 x 1 56. Cho biểu thức : M = : 1 x x x x x 1. a) Rút gọn M. b) Tìm các số tự nhiên x để M là số nguyên c) Tìm x thoả mãn M < 0 a 1 57. Cho biểu thức: P 2 2 a . 2. a 1 a 1 . a a 1 1 . a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của a để P > 0. 58. Cho biểu thức: A . 1 1 a. . 1 1 a. 1. a) Rút gọn A. b) Tìm a để A . 1 2. x 2 x 2 x 1 59. Cho biểu thức: A . x 1 x x x 2 1 . a) Rút gọn A b) Tìm các giá trị nguyen của x sao cho A có giá trị nguyên. a a 1 a a 1 a 2 : 60. Cho biểu thức A a a a 2 a a. a) Tìm điều kiện để A có nghĩa. b) Rút gọn biểu thức A. c) Tìm giá trị nguyên của a để biểu thức A nhận giá trị nguyên.. . . x x 1 x x 1 2 x 2 x 1 : 61. Cho biểu thức: A x 1 x x x x .
<span class='text_page_counter'>(22)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. a) Rút gọn A b) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên 1 62. Cho biểu thức: A x 1. x 1 2 với x 0; x 1 x 1 x 1 1. a) Rút gọn A b) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên. 63. Cho biểu thức: A . x 2 x 1 x 1. . x 1 x 1. x ( với x 0; x 1). a) Rút gọn A b) Tìm các giá trị nguyên của x để. 64. Cho biÓu thøc : P . 6 nhận giá trị nguyên. A. a 2 5 1 a 3 a a 6 2 a. a) Rót gän P b) Tìm giá trị của a để P<1 65. Cho biÓu thøc: P= 1 . x x 3 x2 x 2 : x 1 x 2 3 x x 5 x 6 . a) Rót gän P b)Tìm giá trị của a để P<0 x 1 8 x 3 x 2 1 : 1 66. Cho biÓu thøc: P= 9 1 x 3 1 3 1 3 1 x x x . a) Rót gän P b) Tìm các giá trị của x để P=. 6 5. a 1 2 a : 67. Cho biÓu thøc : P= 1 a 1 a 1 a a a a 1 . a) Rót gän P b) Tìm giá trị của a để P<1 c) T×m gi¸ trÞ cña P nÕu a 19 8 3 x 1 2x x x 1 2x x 68. Cho biÓu thøc: P= 1 : 1 2x 1 2x 1 2 x 1 2x 1. a) Rót gän P 1 2. . b) TÝnh gi¸ trÞ cña P khi x . 3 2 2 2 x 69. Cho biÓu thøc: P= x x x x 1. . x 1 : 1 x 1 x 1 . a) Rót gän P b) Tìm x để P 0 1 a3 2a 1 a . 70. Cho biÓu P= a 1 a 3 1 a a a . a) b). Rót gän P XÐt dÊu cña biÓu thøc P. 1 a.
<span class='text_page_counter'>(23)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. x2 x 1 x 1 . 71. Cho biÓu thøc: P=1 : x x 1 x x 1 x 1 . a) b). Rót gän P So s¸nh P víi 3. 2 x 72. Cho biÓu thøc: P= x 3 . a). Rót gän P. b) Tìm x để P< c). x 3x 3 2 x 2 : 1 x 3 x 9 x 3 . 1 2. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P. x3 x 9 x x 3 1 : 73. Cho biÓu thøc : P= x9 x x 6 2 x. a) b). Rót gän P Tìm giá trị của x để P<1. 74. Cho biÓu thøc : P=. 15 x 11 3 x 2 2 x 3 x 2 x 3 1 x x 3. a). Rót gän P. b). Tìm các giá trị của x để P=. c). Chøng minh P . 75. Cho biÓu thøc : P=. 1 2. 2 3. 2a a a2 a 1 a a a 1. a) Rót gän P b) Tìm a để P=2 c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P a 1 76. Cho biÓu thøc: P= 2 a 2. a) b) c). 2. a 1 a 1 a 1 a 1 . Rót gän P Tìm các giá trị của a để P<0 Tìm các giá trị của a để P=-2. x2 1 x : 77. Cho biÓu thøc : P= x x 1 x x 1 1 x . a) b). Rót gän P Chøng minh r»ng P>0. 2 x x 78. Cho biÓu thøc : P= x x 1. a) b). x 1 2. x 1 1 x 2 : 1 x 1 x x 1 . Rót gän P TÝnh P khi x= 5 2 3. 3x 1 2 1 : 2 79. Cho biÓu thøc P= 1 : 2 x 4 x 42 x 42 x . a). Rót gän P. x 2 x 3 .
<span class='text_page_counter'>(24)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. b). Tìm giá trị của x để P=20. 2a a 1 2a a a a a a . 80. Cho biÓu thøc: P= 1 1 a 2 a 1 a a 1 . a). Rót gän P. b). Cho P=. c). Chøng minh r»ng P>. 6 1 6. t×m gi¸ trÞ cña a. . 81. Cho biÓu thøc: A 1 . 2 3. a a a a 1 a 1 a 1 . a) Tìm các giá trị của a để A có nghĩa b) Rót gän A c) Tìm a để A=-5; A=0; A=6 d) Tìm a để A3 = A e) Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× A A 82. Cho biÓu thøc:. Q. 1 1 x 2 x 2 2 x 2 1 x. a/ Tìm điều kiện để Q có nghĩa b/ Rót gän Q c/ TÝnh gi¸ trÞ cña Q khi x . 4 9. d/ Tìm x để Q 1 2. e/ Tìm những giá trị nguyên của x để giá trị của Q nguyên. x 2 x 1 x 1 x x. 83. Cho biÓu thøc: P . a) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa b) Rót gän P c) Tìm x để P>0 d) Tìm x để P P e) Giải phương trình. P 2 x. f) Tìm giá trị x nguyên để giá trị của P nguyên. a 1 a 1 1 4 a a a 1 a 1 a . 84. Cho biÓu thøc: A .
<span class='text_page_counter'>(25)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. a) Tìm điều kiện để A có nghĩa 52 6 52 6 5 2 6 52 6. b) TÝnh gi¸ trÞ cña A khi a . AA. c) Tìm các giá trị của a để d) Tìm a để A=4; A=-16. e) Giải phương trình: A=a2+3. a 1 a a a a M 85. Cho biÓu thøc: 2 2 a a 1 a 1 a) Rót gän M b) Tìm giá trị của a để M= - 4 c) TÝnh gi¸ trÞ cña M khi a 2 86. Cho biÓu thøc: K 1 a :. 62 5 6 2 5. 1 a a 1 a a a a 1 1 a 1 a. a) Rót gän K b) TÝnh gi¸ trÞ cña K khi a=9 c) Víi gi¸ trÞ nµo cña a th×. K K. d) Tìm a để K=1 e) Tím các giá trị tự nhiên của a để giá trị của K là số tự nhiên 87. Cho biÓu thøc: Q . x 1 x. . x 1 x. . 3 x x 1. a/ Rót gän Q b/ Chøng minh r»ng Q<0 c/ TÝnh gi¸ trÞ cña Q khi x . 20001 19999 20001 19999 20001 19999 20001 19999. x x 9 3 x 1 1 T : 88. Cho biÓu thøc: 3 x 9 x x 3 x x a/ Rót gän T b/ Tinh gi¸ trÞ cña T khi x c/ Tìm x để T=2 d/ Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× T<0 e/ Tìm xZ để TZ. 7 5 7 5 7 5 7 5.
<span class='text_page_counter'>(26)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. 89. Cho biÓu thøc: L . 15 x 11 3 x 2 2 x 3 x 2 x 3 x 1 x 3 Rót gän L. a) TÝnh gi¸ trÞ cña L khi x . 2 3 2 3 2 3 2 3. b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña L 90. Cho biÓu thøc: A . 1 x 3 6 2 x x 3 x 5 x 6. a) Tìm điều kiện để A có nghĩa b) Rót gän A c) Tìm x để A=1; A=-2 d) Tìm x để A A e) Tìm xZ để TZ f) 91. Cho. N . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña A a. ab b. . b ab a. . a). Rót gän N. b). TÝnh N khi a . c). ab ab. 4 2 3 ;b 4 2 3 a a 1 CMR: NÕu thì N có giá trị không đổi b b5. (2 x 3)( x 1) 2 4(2 x 3) ( x 1) 2 ( x 3) Rót gän A Tìm x để A = 3. 92. Cho biÓu thøc A . a) b) 93. Cho. A. 1 x 1 x. . 1 x 1 x. . x3 x x 1. a). Rót gän råi tÝnh sè trÞ cña A khi x =. b). Tìm x để A > 0. x 1 2 x 94. Cho K 1 : x 1 x 1 x x x x 1 . a) b) c). Rót gän K TÝnh gi¸ trÞ cña K khi x 4 2 3 Tìm giá trị của x để K >1. 53 92 7.
<span class='text_page_counter'>(27)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán 1 x2 1 1 95. Cho biÓu thøc K . 2 x 1 x 1 x x 1. a) b). Tìm điều kiện của x để biểu thức K xác định. Rút gọn biểu thức K và tìm giá trị của x để K đạt giá trị lớn. nhÊt. x 1 x 1 x 2 4 x 1 x 2 00 3 K 96. Cho biÓu thøc . 2 1 1 1 x x x x Tìm điều kiện đối với x để K xác định a) b) Rót gän K c) Víi nh÷ng gi¸ trÞ nguyªn nµo cña x th× biÓu thøc K cã gi¸ trÞ nguyªn? 2 x 3x 3 2 x 2 x 97. Cho P 1 : 9 x 3 3 3 x x x . a) b) c). Rót gän P Tìm x để P < -1/2 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P. 3 x x 3 x2 x x x 1 98. Cho biÓu thøc: A . 1 1 x x x x x . a) b). Tìm điều kiện đối với biến x để biểu thức A được xác định. Rót gän biÓu thøc A.. 99. Cho biÓu thøc : P =. a 3 a 1 4 a 4 4a a 2 a 2. a > 0 ; a. 4. a) Rót gän P . b) TÝnh gi¸ trÞ cña P víi a = 9 . 100.. m m 3 1 m 1 m 1 8 m : m 1 m 1 1 1 1 m m m . Cho biÓu thøc A a) Rót gän A.. b) So s¸nh A víi 1 101.. Cho biÓu thøc : A =. 1 1 a 1 1 a 1 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a. 1) Rót gän biÓu thøc A . 2) Chứng minh rằng biểu thức A luôn dương với mọi a 102.. Cho M =. a a6 3 a a) Rót gän M. b) Tìm a để / M / 1.
<span class='text_page_counter'>(28)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. c) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña M. 103.. 3 x 3 x 4x 5 4 x 2 Cho biÓu thøc C = : x 9 3 3 3 3 x x x x x a) Rót gän C b) Tìm giá trị của C để / C / > - C c) Tìm giá trị của C để C2 = 40C.. 104.. a a 1 a a 1 a 2 : a a a a a2. Cho biÓu thøc : A = . a) Với những giá trị nào của a thì A xác định . b) Rót gän biÓu thøc A . c) Víi nh÷ng gi¸ trÞ nguyªn nµo cña a th× A cã gi¸ trÞ nguyªn 105.. a 25a 25 a a 5 a 2 1 : Cho biÓu thøc: M = a 5 a 25 a 3 a 10 2 a a) Rót gän M b) Tìm giá trị của a để M < 1 c) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña M..
<span class='text_page_counter'>(29)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. CHỦ ĐỀ 2:. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ 2 y a x HÀM SỐ.
<span class='text_page_counter'>(30)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. Hàm số bậc nhất Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b trong đó a 0 Hàm số bậc nhất xác với mọi giá trị x R và có tính chất đồng biến khi a > 0; nghÞch biÕn khi a < 0 §å thÞ cña hµm sè bËc nhÊt lµ mét ®êng th¼ng. C¾t trôc tung t¹i ®iÓm B(0; b . b). Cắt trục hoành tại điểm A ;0 (trong đó a gọi là hệ số góc, b gọi là a tung độ góc) C¸c ®êng th¼ng cã cïng hÖ sè gãc a th× t¹o víi trôc Ox c¸c gãc b»ng nhau. NÕu gäi lµ gãc hîp bíi gi÷a ®êng th¼ng vµ tia Ox th× a = tg NÕu ®êng th¼ng (d): y = ax + b (a 0) vµ ®êng th¼ng (d’): y = a’x + b’ (a’ 0) th×: (d) c¾t (d’) a a’. a a' (d) song song (d’) b b'. a a' (d) trïng (d’) b b'. (d) (d’) a.a’ = -1. Bài 1: a) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4). b) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng trên với trục tung và trục hoành Bµi 2 Cho hµm sè y = (m – 2)x + m + 3. a) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến. b) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3. c) Tìm m để đồ thị của hàm số trên và các đồ thị của các hàm số y = -x + 2 ; y = 2x – 1 đồng quy Bµi 3: Cho hµm sè y = (m – 1)x + m + 3. a) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1. b) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1; -4). c) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m Bµi 4 : Cho hai ®iÓm A(1 ; 1), B(2 ; -1). a) Viết phương trình đường thẳng AB. b) Tìm các giá trị của m để đường thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song với đường thẳng AB đồng thời đi qua điểm C(0 ; 2). Bµi 5: Cho hµm sè y = (2m – 1)x + m – 3. a) Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (2; 5) b) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m. Tìm điểm cố định ấy. c) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = 2 1 Bài 6 : Tìm giá trị của k để các đường thẳng sau : y =. 6x 4x 5 ;y= vµ y = kx + k + 1 c¾t 4 3. nhau t¹i mét ®iÓm. Bài 7 : Giả sử đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b. Xác định a, b để (d) đi qua hai điểm A(1; 3) vµ B(-3; -1). Bµi 8 : Cho hµm sè : y = x + m (D). Tìm các giá trị của m để đường thẳng (D) :.
<span class='text_page_counter'>(31)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. a) §i qua ®iÓm A(1; 2010). b) Song song víi ®êng th¼ng x – y + 3 = 0. Bµi 9: Cho hµm sè y = (m - 2)x + n (d) Tìm giá trị của m và n để đồ thị (d) của hàm số : a) §i qua hai ®iÓm A(-1;2) vµ B(3;-4) b) Cắt trục tung tại điểm cótung độ bằng 1- 2 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2+ 2 . c) C¾t ®êng th¼ng -2y + x – 3 = 0 d) Song song vèi ®êng th¼ng 3x + 2y = 1 Bµi 10: Cho hµm sè : y 2x 2 (P) a) Vẽ đồ thị (P) b) Tìm trên đồ thị các điểm cách đều hai trục toạ độ c) XÐt sè giao ®iÓm cña (P) víi ®êng th¼ng (d) y mx 1 theo m d) Viết phương trình đường thẳng (d') đi qua điểm M(0; -2) và tiếp xúc với (P) Bµi 11 : Cho (P) y x 2 vµ ®êng th¼ng (d) y 2x m 1) Xác định m để hai đường đó : a) Tiếp xúc nhau . Tìm toạ độ tiếp điểm b) Cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B , một điểm có hoành độ x= -1. Tìm hoành độ điểm còn lại Tìm toạ độ A và B 2) Trong trường hợp tổng quát, giả sử (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N. ìm toạ độ trung điểm I của đoạn MN theo m và tìm quỹ tích của điểm I khi m thay đổi. Bµi 12: Cho ®êng th¼ng (d) 2(m 1)x (m 2)y 2 a) Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) y x 2 tại hai điểm phân biệt A và B b) Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn AB theo m c) Tìm m để (d) cách gốc toạ độ một khoảng Max d) Tìm điểm cố định mà (d) đi qua khi m thay đổi Bµi 13: Cho (P) y x 2 a) Tìm tập hợp các điểm M sao cho từ đó có thể kẻ được hai đường thẳng vuông góc với nhau vµ tiÕp xóc víi (P) b) Tìm trên (P) các điểm sao cho khoảng cách tới gốc toạ độ bằng 2 3 4. Bµi 14: Cho ®êng th¼ng (d) y x 3 a) Vẽ (d). Tính diện tích tam giác được tạo thành giữa (d) và hai trục toạ độ b) Tính khoảng cách từ gốc O đến (d) Bµi 15: Cho hµm sè y x 1 (d) a) Nhận xét dạng của đồ thị. Vẽ đồ thị (d) b) Dùng đồ thị , biện luận số nghiệm của phương trình x 1 m (d') y 3x 1 Bµi 16: Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hai ®êng th¼ng : (d) y (m 1)x 2 a) Song song víi nhau b) C¾t nhau c) Vu«ng gãc víi nhau Bài 17: Tìm giá trị của a để ba đường thẳng : (d1): y = 2x – 5; (d2): y = x + 2; (d3): ax - 12 đồng quy tại một điểm trong mặt phẳng toạ độ Bài 18: CMR khi m thay đổi thì (d) 2x + (m - 1)y = 1 luôn đi qua một điểm cố định 1 2. Bài 20: Cho (P) y x 2 và đường thẳng (d) y=ax + b .Xác định a và b để đường thẳng (d) đI qua ®iÓm A(-1; 0) vµ tiÕp xóc víi (P)..
<span class='text_page_counter'>(32)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. Bµi 21: Cho hµm sè y x 1 x 2 a) Vẽ đồ thị hàn số trên b) Dùng đồ thị câu a biện luận theo m số nghiệm của phương trình x 1 x 2 m Bµi 22: Cho (P) y x 2 vµ ®êng th¼ng (d) y = 2x + m a) VÏ (P) b) Tìm m để (P) tiếp xúc (d) x2 Bµi 23: Cho (P) y vµ (d) y = x + m 4. a) VÏ (P) b) Xác định m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B c) Xác định đường thẳng (d') song song với đường thẳng (d) và cắt (P) tại điẻm có tung độ b»ng -4 d) Xác định phương trình đường thẳng (d'') vuông góc với (d') và đi qua giao điểm của (d') vµ (P) Bµi 24: Cho hµm sè y x 2 (P) vµ hµm sè y = x + m (d) a) T×m m sao cho (P) vµ (d) c¾t nhau t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B b) Xác định phương trình đường thẳng (d') vuông góc với (d) và tiếp xúc với (P) c) ThiÕt lËp c«ng thøc tÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm bÊt k×. ¸p dông. T×m m sao cho kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm A vµ B b»ng 3 2 Bµi 25: Cho ®iÓm A(-2; 2) vµ ®êng th¼ng ( d1 ) y = -2(x + 1) a) Tìm a để hàm số y a.x 2 (P) đi qua A b) Xác định phương trình đường thẳng (d2) đi qua A và vuông góc với (d1) c) Gọi A và B là giao điểm của (P) và (d2) ; C là giao điểm của (d1) với trục tung. Tìm toạ độ cña B vµ C. TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC 1 4. Bài 26: Cho (P) y x 2 và đường thẳng (d) qua hai điểm A và B trên (P) có hoành độ lầm lượt là 2 và 4 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên b) Viết phương trình đường thẳng (d) c) Tìm điểm M trên cung AB của (P) tương ứng hoành độ x 2;4 sao cho tam giác MAB có diÖn tÝch lín nhÊt. Bµi 27: Cho (P) y . x2 vµ ®iÓm M (1; -2) 4. a) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và có hệ số góc là m b) CMR (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B khi m thay đổi c) Gọi x A ; xB lần lượt là hoành độ của A và B .Xác định m để x A2 xB x A xB2 đạt giá trị nhỏ nhÊt d) Gọi A' và B' lần lượt là hình chiếu của A và B trên trục hoành và S là diện tích tứ giác AA'B'B. *TÝnh S theo m; *Xác định m để S= 4(8 m2 m2 m 2) Bµi 28: Cho hµm sè y x 2 (P) a) VÏ (P) b) Gọi A,B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lượt là -1 và 2. Viết phương trình đường th¼ng AB c) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P) 1 4. Bài 29: Trong hệ toạ độ xOy cho Parabol (P) y x 2 và đường thẳng (d) y mx 2m 1 a) Tìm m sao cho (P) và (d) tiếp xúc nhau.Tìm toạ độ tiếp điểm.
<span class='text_page_counter'>(33)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. b) Chứng tỏ rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định 1 4. Bµi 30: Cho (P) y x 2 vµ ®iÓm I(0; -2) .Gäi (d) lµ ®êng th¼ng qua I vµ cã hÖ sè gãc m. a) VÏ (P) . CMR (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B m R b) Tìm giá trị của m để đoạn AB ngắn nhất Bµi 31: Cho (P) y . x2 3 vµ ®êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm I( ;1) cã hÖ sè gãc lµ m 2 4. a) T×m m sao cho (d) tiÕp xóc (P) b) T×m m sao cho (d) vµ (P) cã hai ®iÓm chung ph©n biÖt Bµi 32: Cho (P) y . x2 x vµ ®êng th¼ng (d) y 2 2 4. a) Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d) b) Tìm toạ độ của điểm thuộc (P) sao cho tại đó đường tiếp tuyến của (P) song song với (d) Bµi 33: Cho (P) y x 2 a) Gọi A và B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lượt là -1 và 2. Viết phương trình đường th¼ng AB b) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P) Bài 34: Cho (P) y 2x 2 . Trên (P) lấy điểm A có hoành độ x=1 và điểm B có hoành độ x=2 . Xác định các giá trị của m và n để đường thẳng (d) y=mx+n tiếp xúc với (P) và song song với AB Bài 35: Xác định giá trị của m để hai đường thẳng có phương trình. (d1 )x y m c¾t nhau t¹i (d2 )mx y 1. mét ®iÓm trªn (P) y 2x 2 Bµi 36: Cho hàm số: y =. 1 3. x 2 m (d).. a) Cmr với mọi m thì (d) luôn nghịch biến b) Cmr góc của (d) với Ox không phụ thuộc vào m. c) Tnh góc của (d) với Ox. 1 2. Bµi 37: Cho hàm số y ( m ).x 2m 3 (d). a) Tìm m để (d) đi qua (-2; 3) b) Tìm m để (d) song song với đ.thẳng y = 2x – 2 c) Tìm m để (d) đồng biến với mọi x >3 Bµi 38: Cho hàm số y= ( 2m-1)x + 4m2 -1 (d) a) Tìm m để (d) cắt đường thẳng y = -3x + 1 b) Tìm m để (d) và hai đường thẳng y = 2x -1; y = 3x +1 đồng qui c*) Tìm m để (d) cắt hai trục tọa độ theo một tam giác cân. Bµi 39: Cho hàm số y = (3m+1).x - 2m -2 (d) a) Tìm m để (d) đi qua điểm -3 trên trục Ox b*) Tìm m để (d) vuông góc với đ.thẳng y = 2x + 1 c*) Tìm tất cả những điểm trên đường thẳng y = 3 mà (d) không thể đi qua với mọi m Bµi 40: Cho hàm số y = mx + 2q -3 (d) a) Tìm m, q để (d) cắt hai trục Ox và Oy tại các điểm -2 và 4 b) Tìm m để góc của (d) với Ox bằng 300 c) Tìm m để góc của (d) với Ox bằng 1350 Bài 41: Cho hàm số: y=(m-2)x+n (d), Tìm các giá trị của m và n để đồ thị (d) của hàm số:.
<span class='text_page_counter'>(34)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. a. §i qua ®iÓm A(-1;2) vµ B(3;-4) b. Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 2 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ b»ng 2 2 . c. C¾t ®êng th¼ng -2y+x-3=0 d. Song song víi ®êng th¼ng 3x+2y=1. Bµi 42: 1) Cho hàm số y = (m + 5)x+ 2m – 10. Với giá trị nào của m thì y là hàm số bậc nhất Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến. Tìm m để đồ thị hàm số điqua điểm A(2; 3) Tìm m để đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 9. Tìm m để đồ thị đi qua điểm có hoành độ bằng 10 trên trục hoành . Tìm m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = 2x -1 Chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m. Tìm m để khoảng cách từ O tới đồ thị hàm số là lớn nhất Bµi 43 Cho đường thẳng y=2mx +3-m-x (d) . Xác định m để: a) Đường thẳng d qua gốc toạ độ b) Đường thẳng d song song với đường thẳng 2y- x =5 c) Đường thẳng d tạo với Ox một góc nhọn d) Đường thẳng d tạo với Ox một góc tù e) Đường thẳng d cắt Ox tại điểm có hoành độ 2 f) Đường thẳng d cắt đồ thị Hs y= 2x – 3 tại một điểm có hoành độ là 2 g) Đường thẳng d cắt đồ thị Hs y= -x +7 tại một điểm có tung độ y = 4 Đường thẳng d đi qua giao điểm của hai đường thảng 2x -3y=-8 và y= -x+1 Bµi 44: Cho hàm số y = (m -2)x + m + 3 a)Tìm điều kiện của m để hàm số luôn luôn nghịch biến . b)Tìm điều kiện của m để đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3. c)Tìm m để đồ thị hàm số y = -x + 2, y = 2x –1 và y = (m - 2)x + m + 3 đồng quy. d)Tìm m để đồ thị h/số tạo với trục tung và trục hoành một tam giác có diện tích bằng 2 Bµi 45: Cho ba đường thẳng (d1): -x + y = 2; (d2): 3x - y = 4 và (d3): nx - y = n - 1; n là tham số. a) Tìm tọa độ giao điểm N của hai đường thẳng (d1) và (d2). b) Tìm n để đường thẳng (d 3) đi qua N. Bài 46 : Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b trong mỗi trường hợp sau: a) a = - 1 và đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng – 2 b) a = 3 và đồ thị của hàm số đi qua điểm A(2; 5) c) §å thÞ cña hµm sè song song víi ®êng th¼ng y 2 x vµ ®i qua ®iÓm B(1; 2 3 ) d) §å thÞ hµm sè ®i qua hai ®iÓm A(-1; 2) vµ B(2;-3) e) §å thÞ hµm sè ®i qua M(2;- 3) vµ vu«ng gãc víi ®êng th¼ng y = x – 2 Bµi 47: Víi ®iÒu kiÖn nµo cña k vµ m th× hai ®êng th¼ng : y = (k – 2)x + m – 1 vµ y = (6 – 2k)x + 5 – 2m. a) Trïng nhau b) Song song c) C¾t nhau Bµi 48: Cho hµm sè y = (a - 1)x + a a) Xác định giá trị của a để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng - 3 b) Xác định giá trị của a để đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 a) b) c) d) e) f) g) h).
<span class='text_page_counter'>(35)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. c) Vẽ đồ thị của hai hàm số ứng với giá trị của a tìm được ở các câu a và b trên cùng một hệ trục toạ độ. Tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng vừa vẽ được. Bµi 49: Cho ®êng th¼ng y = (m - 2)x + n (m 2) (d) Tìm các giá trị của m và n trong các trường hợp sau: a) §êng th¼ng (d) ®i qua hai ®iÓm A(-1;2) vµ B(3;4) b) Đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 2 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2 2 c) §êng th¼ng (d) c¾t ®êng th¼ng 2y + x – 3 = 0 d) §êng th¼ng (d) trïng víi ®êng th¼ng y – 2x + 3 = 0 Bµi 52 : a) Vẽ trên cùng hệ trục toạ độ Oxy đồ thị các hàm số sau : ; y = 2x (d2) ; y = - x + 3 (d3) y = x (d1) b) Đường thẳng (d3) cắt hai đường thẳng (d1) và (d2) theo thứ tự tại A , B. Tìm toạ độ của c¸c ®iÓm A vµ B. TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c OAB. Bµi 53: Cho hµm sè y = (1 - 2m)x + m + 1 (1) a) Tìm m để hàm số (1) đồng biến, nghịch biến. b) Tìm m để hàm số (1) song song với đường thẳng y = 3x – 1 + m c) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đường thẳng (1) luôn đi qua một điểm cố định duy nhất. Tìm điểm cố định đó. Bµi 54: Cho hai ®êng th¼ng 4 y = - 4x + m - 1 (d1) vµ y = x 15 3m (d2) 3 a) Tìm m để hai đường thẳng (d1) và (d2) cắt nhau tại điểm trên trục tung. b) Với m ở trên hãy tìm toạ độ giao điểm A, B của hai đường thẳng (d1) và (d2) với trục hoµnh. c) TÝnh chu vi vµ diÖn tÝch cña tam gi¸c ABC d) TÝnh c¸c gãc cña tam gi¸c ABC. Bài 55: Cho hàm số y m 3 x k (d) . Tìm giá trị của m và k để đường thẳng (d): a) §i qua hai ®iÓm A(1 ; 2) vµ B(-3 ; 4). b) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 2 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 1 2 . c) C¾t ®êng th¼ng 2 y 4 x 5 0 d) Song song víi ®êng th¼ng y 2 x 1 0 e) Trïng víi ®êng th¼ng 3x y 5 0 Bµi 56: Viết phương trình đường thẳng (d) biết: a) (d) đi qua A(1 ; 2) và B(- 2 ; - 5) b) (d) đi qua M(3 ; 2) và song song với đường thẳng () : y = 2x – 1/5. c) (d) đi qua N(1 ; - 5) và vuông góc với đường thẳng (d’): y = -1/2x + 3. d) (d) đi qua D(1 ; 3) và tạo với chiều dương trục Ox một góc 300. e) (d) đi qua E(0 ; 4) và đồng quy với hai đường thẳng f) (): y = 2x – 3; (’): y = 7 – 3x tại một điểm. g) (d) đi qua K(6 ; - 4) và cách gốc O một khoảng bằng 12/5 (đơn vị dài). Bµi 57: Gọi (d) là đường thẳng y = (2k – 1)x + k – 2 với k là tham số. a) Định k để (d) đi qua điểm (1 ; 6). b) Định k để (d) song song với đường thẳng 2x + 3y – 5 = 0. c) Định k để (d) vuông góc với đường thẳng x + 2y = 0..
<span class='text_page_counter'>(36)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. d) Chứng minh rằng không có đường thẳng (d) nào đi qua điểm A(-1/2 ; 1). e) Chứng minh rằng khi k thay đổi, đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định. Bµi 47: Cho hµm sè: y = (m + 4)x – m + 6 (d). a. Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến, nghịch biến. b. Tìm các giá trị của m, biết rằng đường thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 2). Vẽ đồ thị của hàm sè víi gi¸ trÞ t×m ®îc cña m. c. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2. d. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2. e. Chứng minh rằng khi m thay đổi thì các đường thẳng (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định. Bµi 58: Cho hai ®êng th¼ng: y = (k – 3)x – 3k + 3 (d1) vµ y = (2k + 1)x + k + 5 (d2). Tìm các giá trị của k để: a. (d1) vµ (d2) c¾t nhau. b. (d1) vµ (d2) c¾t nhau t¹i mét ®iÓm trªn trôc tung. c. (d1) vµ (d2) song song víi nhau. d. (d1) vµ (d2) vu«ng gãc víi nhau. e. (d1) vµ (d2) trïng nhau. Bµi 59: Cho hµm sè : y = ax +b a. Xác định hàm số biết đồ thị của nó song song với y = 2x +3 và đi qua điểm A(1,-2) b. Vẽ đồ thị hàm số vừa xác định - Rồi tính độ lớn góc tạo bởi đường thẳng trên với trục Ox ? c. Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng trên với đường thẳng y = - 4x +3 ? d. Tìm giá trị của m để đường thẳng trên song song với đường thẳng y = (2m-3)x +2 Bµi 60: Cho hµm sè y =f(x) =3x – 4. a. Tìm toạ độ giao điểm của đths với hai trục toạ độ TÝnh f(2) ; f(-1/2); f( 7 24 ) C¸c ®iÓm sau cã thuéc ®ths kh«ng? A(1;-1) ;B(-1;1) ;C(2;10) ;D(-2;-10) Tìm m để đths đi qua điểm E(m;m2-4) Tìm x để hàm số nhận các giá trị : 5 ; -3 Tính diện tích , chu vi tam giác mà đths tạo với hai trục toạ độ. Tìm điểm thuộc đths có hoành độ là 7 Tìm điểm thuộc đths có tung độ là -4 i. Tìm điểm thuộc đths có hoành độ và tung độ bằng nhau. b. c. d. e. f. g. h..
<span class='text_page_counter'>(37)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán 2 Hàm số y ax. Hàm số có tính chất: Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0. Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0 Đồ thị hàm số là một Parabol với đỉnh là góc toạ độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thÞ. Các dạng toán Dạng 1: Xác định hàm số bậc nhất (phương trình đường thẳng) Phương pháp: Dựa vào các điểm sau: Nếu điểm A(x0; y0) thuộc đồ thị hµm sè y = ax + b th× ax0 + b = y0 Các kết quả đã nêu ở phần lý thuyết trên Dạng 2: Xác định hàm số y = ax2 (a 0) Phương pháp: Dựa vào điểm sau: Nếu điểm A(x0; y0) thuộc đồ thị hàm số 2 2 y = ax th× ax0 = y0 Dạng 3: Tìm giao điểm của hai đồ thị Phương pháp: Lập phương trình hoành độ giao điểm Giải phương trình, từ đó tìm ra toạ độ các giao điểm Dạng 4: Tương giao giữa đường thẳng và Parabol Phương pháp: Cho đường thẳng có phương trình y = ax + b (a 0) và Parabol y 2 = Ax (A 0). Xét phương trình hoành độ giao điểm Ax2 = ax + b (1). Ta có số giao điểm của hai đồ thị phụ thuộc vào số nghiệm của phương trình này - Đường thẳng cắt Parabol khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm - Đường thẳng không cắt Parabol khi và chỉ khi phương trình (1) vô nghiệm - Đường thẳng tiếp xúc Parabol khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm kép. Bµi 1 : Cho (P) y . 1 2 x và đường thẳng (d) y=a.x+b .Xác định a và b để đường thẳng (d) đI qua 2. ®iÓm A(-1;0) vµ tiÕp xóc víi (P). Bµi 2 : Cho (P) y x 2 vµ ®êng th¼ng (d) y=2x+m a) VÏ (P) b) Tìm m để (P) tiếp xúc (d) Bài 3: Xác định giá trị của m để hai đường thẳng có phương trình. (d1 ) x y m (d 2 )mx y 1. c¾t nhau t¹i mét. ®iÓm trªn (P) y 2x 2 Bµi 4: Cho (P) y 2x 2 a) VÏ (P) b) Trên (P) lấy điểm A có hoành độ x=1 và điểm B có hoành độ x=2 . Xác định các giá trị của m và n để đường thẳng (d) y=mx+n tiếp xúc với (P) và song song với AB Bµi 5: Cho (P) y x 2.
<span class='text_page_counter'>(38)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. a) VÏ (P) b) Gọi A và B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lượt là -1 và 2 . Viết phương trình đường th¼ng AB c) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P) Bµi 6: Cho (P) y . x2 x vµ ®êng th¼ng (d) y 2 2 4. a) VÏ (P) vµ (d) b) Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d) c) Tìm toạ độ của điểm thuộc (P) sao cho tại đó đường tiếp tuyến của (P) song song với (d) Bµi7 : Cho (P) y . x2 3 vµ ®êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm I( ;1 ) cã hÖ sè gãc lµ m 2 4. a) Vẽ (P) và viết phương trình (d) b) T×m m sao cho (d) tiÕp xóc (P) c) T×m m sao cho (d) vµ (P) cã hai ®iÓm chung ph©n biÖt 1 4. Bµi 8: Cho (P) y x 2 vµ ®iÓm I(0;-2) .Gäi (d) lµ ®êng th¼ng qua I vµ cã hÖ sè gãc m.VÏ (P) . CMR (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B m R a) Tìm giá trị của m để đoạn AB ngắn nhất 1 4. Bài 9: Trong hệ toạ độ xoy cho Parabol (P) y x 2. vµ ®êng th¼ng (d) y mx 2m 1. a) VÏ (P) b) Tìm m sao cho (P) và (d) tiếp xúc nhau.Tìm toạ độ tiếp điểm c) Chứng tỏ rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định Bµi 10: Cho hµm sè y x 2 (P) a) VÏ (P) b) Gọi A,B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lượt là -1 và 2. Viết phương trình đường th¼ng AB c) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P) Bµi 11: Cho ®iÓm A(-2;2) vµ ®êng th¼ng ( d1 ) y=-2(x+1) a) §iÓm A cã thuéc ( d1 ) ? V× sao ? b) Tìm a để hàm số y a.x 2 (P) đi qua A c) Xác định phương trình đường thẳng ( d2 ) đi qua A và vuông góc với ( d1 ) d) Gọi A và B là giao điểm của (P) và ( d 2 ) ; C là giao điểm của ( d1 ) với trục tung . Tìm toạ độ cña B vµ C . TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC Bµi 12: Cho (P) y . x2 vµ (d) y=x+m 4. a) VÏ (P) b) Xác định m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B c) Xác định pt đường thẳng (d') song song với đường thẳng (d) và cắt (P) tại điẻm có tung độ b»ng -4 d) Xác định phương trình đường thẳng (d'') vuông góc với (d') và đi qua giao điểm của (d') và (P) Bµi 13: Cho parabol y= 2x2. (p) a. tìm hoành độ giao điểm của (p) với đường thẳng y= 3x-1. b. tìm toạ độ giao điểm của (p) với đường thẳng y=6x-9/2. c. t×m gi¸ trÞ cña a,b sao cho ®êng th¼ng y=ax+b tiÕp xóc víi (p) vµ ®i qua A(0;-2)..
<span class='text_page_counter'>(39)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. d. tìm phương trình đường thẳng tiếp xúc với (p) tại B(1;2). e. biện luận số giao điểm của (p) với đường thẳng y=2m+1. ( bằng hai phương pháp đồ thị và đại số). f. cho đường thẳng (d): y=mx-2. Tìm m để +(p) kh«ng c¾t (d). +(p)tiếp xúc với (d). tìm toạ độ điểm tiếp xúc đó? + (p) c¾t (d) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt. +(p) c¾t (d). Bµi 14: cho hµm sè (p): y=x2 vµ hai ®iÓm A(0;1) ; B(1;3). a. viết phương trình đường thẳng AB. tìm toạ độ giao điểm AB với (P) đã cho. b. viết phương trình đường thẳng d song song với AB và tiếp xúc với (P). c. viết phương trình đường thẳng d1 vuông góc với AB và tiếp xúc với (P). d. chøng tá r»ng qua ®iÓm A chØ cã duy nhÊt mét ®êng th¼ng c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt C,D sao cho CD=2. Bài 15: Cho (P): y=x2 và hai đường thẳng a,b có phương trình lần lượt là y= 2x-5 y=2x+m a. chøng tá r»ng ®êng th¼ng a kh«ng c¾t (P). b. tìm m để đường thẳng b tiếp xúc với (P), với m tìm được hãy: + Chøng minh c¸c ®êng th¼ng a,b song song víi nhau. + tìm toạ độ tiếp điểm A của (P) với b. + lập phương trình đường thẳng (d) đi qua A và có hệ số góc bằng -1/2. tìm toạ độ giao ®iÓm cña (a) vµ (d).. Bµi 16:. cho hµm sè y . 1 x (P) 2. a. vẽ đồ thị hàm số (P). b. với giá trị nào của m thì đường thẳng y=2x+m (d) cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt A,B. khi đó hãy tìm toạ độ hai điểm A và B. c. tính tổng tung độ của các hoành độ giao điểm của (P) và (d) theo m. Bµi 17: cho hµm sè y=2x2 (P) vµ y=3x+m (d) a. khi m=1, tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (d). b. tính tổng bình phương các hoành độ giao điểm của (P) và (d) theo m. c. tìm mối quan hệ giữa các hoành độ giao điểm của (P) và (d) độc lập với m. Bµi 18: cho hµm sè y=-x2 (P) vµ ®êng th¼ng (d) ®I qua N(-1;-2) cã hÖ sè gãc k. a. chứng minh rằng với mọi giá trị của k thì đường thẳng (d) luôn cắt đồ thị (P) tại hai điểm A,B. t×m k cho A,B n»m vÒ hai phÝa cña trôc tung. b. gọi (x1;y1); (x2;y2) là toạ độ của các điểm A,B nói trên, tìm k cho tổng S=x1+y1+x2+y2 đạt gi¸ trÞ lín nhÊt. Bµi 19: cho hµm sè y= x a. tìm tập xác định của hàm số. b. t×m y biÕt: + x=4 + x=(1- 2 )2 + x=m2-m+1 + x=(m-n)2 c. các điểm A(16;4) và B(16;-4), điểm nào thuộc đồ thị hàm số, điểm nào không thuộc đồ thÞ hµm sè? t¹i sao..
<span class='text_page_counter'>(40)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. d. không vẽ đồ thị hãy tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với đồ thị hàm số y= x-6 Bµi 20: cho hµm sè y=x2 (P) vµ y=2mx-m2+4 (d) a.tìm hoành độ của các điểm thuộc (P) biết tung độ của chúng y=(1- 2 )2. b.chứng minh rằng (P) với (d) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt. tìm toạ độ giao điểm của chúng. với giá trị nào của m thì tổng các tung độ của chúng đạt giá trị nhỏ nhất. Bµi 21: cho hµm sè y=2x2 (P) vµ y=3x+m (d) a. khi m=1, tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (d). b. tính tổng bình phương các hoành độ giao điểm của (P) và (d) theo m. c. tìm mối quan hệ giữa các hoành độ giao điểm của (P) và (d) độc lập với m. Bài 22: trên hệ trục toạ độ Oxy cho các điểm M(2;1); N(5;-1/2) và đường thẳng (d) y=ax+b. a. tìm a và b để đường thẳng (d) đI qua các điểm M, N. b. xác định toạ độ giao điểm của đường thẳng MN với các trục Ox, Oy. Bµi 23: cho hµm sè y= mx-m+1 (d). a. chứng tỏ rằng khi m thay đổi thì đường thẳng (d) luôn đI qua điểm cố định. tìm điểm cố định Êy. b. tìm m để (d) cắt (P) y=x2 tại 2 điểm phân biệt A và B, sao cho AB= 3 . Bµi 24: cho hµm sè y=x2 (P) vµ y=3x+m2 (d). a. chøng minh víi bÊt kú gi¸ trÞ nµo cña m ®êng th¼ng (d) lu«n c¾t (P) t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt. b. gọi y1, y2 kà các tung độ giao điểm của đường thẳng (d) và (P) tìm m để có biểu thức y1+y2= 11y1.y2. Bµi 25: a. viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) y=2x2 tại điểm A(-1;2). b. cho hàm số y=x2 (P) và B(3;0), tìm phương trình thoả mãn điều kiện tiếp xúc với (P) và đi qua B. c. cho (P) y=x2. lập phương trình đường thẳng đi qua A(1;0) và tiếp xúc với (P). d. cho (P) y=x2 . lập phương trình d song song với đường thẳng y=2x và tiếp xúc với (P). e. viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng y=-x+2 và cắt (P) y=x2 tại điểm có hoành độ bằng (-1). f. viết phương trình đường thẳng vuông góc với (d) y=x+1 và cắt (P) y=x2 tại điểm có tung độ bằng 9.. Bµi 26:. a) Vẽ đồ thị (P): y = -2x2 . b) Lấy 3 điểm A, B, C trên (P), A có hoành độ là –2, B có tung độ là – 8, C có hoành độ là – 1. Tính diện tích tam giác ABC.Em có nhận xét gì về cạnh AC của tam giác ABC. Bµi 27:. a) Vẽ đồ thị hàm số : y = -2x2 b) Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm A(1; 4) và B(-2; 1) Bµi 28: Cho hàm số y = x2 và y = x + 2 a) Vẽ đồ thị của các hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy b) Tìm tọa độ các giao điểm A,B của đồ thị hai hàm số trên bằng phép tính c) Tính diện tích tam gicsc OAB. Bµi 26: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y k 1 x 4 (k là tham số) và parabol (P): y x 2 . a) Khi k 2 , hảy tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P);.
<span class='text_page_counter'>(41)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. b) Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của k thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt; c) Gọi y1; y2 là tung độ các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P). Tìm k sao cho: y1 y 2 y1 y 2 .. Bµi 29: Cho hàm số : y =. 1 2 x 2. a) Nêu tập xác định, chiều biến thiên và vẽ đồ thi của hàm số. b) Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm ( 2 , -6 ) có hệ số gúc a và tiếp xúc với đồ thị hàm số trên .. Bµi 30: Cho hàm số : y . x2 và y = - x – 1 4. a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một hệ trục toạ độ . b) Viết phương trình các đường thẳng song song với đường thẳng y = - x – 1 và cắt đồ thị hàm số y . x2 tại điểm có tung độ là 4 . 4. Bµi 31: Cho đường thẳng (d) có phương trình: y = 3(2m + 3) – 2mx và Parapol (P) có phương trình y = x2. a) Định m để hàm số y = 3(2m + 3) – 2mx luôn luôn đồng biến. b) Biện luận theo m số giao điểm của (d) và (P). c) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm có hoành độ cùng dấu. Bµi 32: : Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm A (–1; 2) và đường thẳng (d1): y = –2x +3 a) Vẽ (d1). Điểm A có thuộc (d1) không ? Tại sao ? b) Lập phương trình đường thẳng (d2) đi qua điểm A và song song với đường (d1). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (d1) và (d2). Bµi 33: Cho các đường thẳng có phương trình như sau: (d1): y = 3x + 1, (d2): y = 2x – 1 và (d3): y = (3 – m)2. x + m – 5 (với m ≠ 3). a) Tìm tọa độ giao điểm A của (d1) và (d2). b) Tìm các giá trị của m để các đường thẳng (d1), (d2), (d3) đồng quy. c) Gọi B là giao điểm của đường thẳng (d1) với trục hoành, C là giao điểm của đường thẳng (d2) với trục hoành. Tính đoạn BC Bài 34: Cho hàm số: y = 2x2 (P) a) Vẽ đthị (P) b) Chứng minh rằng Đthị (P) nhận Oy là trục đối xứng c) Bằng đồ thị hãy tìm Max, Min của P khi 2 x 1 Bài 35: Cho hàm số: y = - x2 (P) a) Vẽ (P) b) Tìm trên (P) những điểm cách đều hai trục tọa độ c) Tìm trên (P) mhững điểm mà khoảng cách từ nó tới Oy gấp hai lần khoảng cách từ nó tới Ox d) Vẽ (d) có phương trình y = 2x+1 và xác định giao điểm của (P) và (d) Bài 36: Cho y = x2 (P) a) Xác định giao của y = 2 với (P) và tính độ dài đoạn thẳng trên y = 2 bị chắn bởi (P) b) Cmr y = 2x +3 (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm tọa độ trung điểm của AB c) Không tính giá trị hàm số, hãy giải thich tại sao trên (P) điểm có hoành độ là 2 thấp hơn điểm có hoành độ là 5 và -6?.
<span class='text_page_counter'>(42)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. Bài 37: Cho hàm số y x 2 x x 1 x (P) a) Vẽ đồ thị (P) b) Cmr phương trình x 2 x x 1 x m luôn có một nghiệm duy nhất với mọi m Bài 38: Cho hàm số y = 2x2 (P) a) Tìm m để đồ thị hàm số y = x – 2m +2 cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B b) Tìm m để xA + 2xB = 4 c) Tìm m để hiệu hai tung độ của A, B bằng ½ Bài 39: Cho hàm số y = 3x2 (P) và đường thẳng (d) có phương trình y = 2x + 3m -1 a) Tìm m để (P) cắt (d) tại một điểm duy nhất (trong t/hợp này ta nói d là tiếp tuyến của (P)) b) Tìm m để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt A, B ở cùng một nửa mặt phẳng bờ Oy. Khi đó A, B nằm trong những góc phần tư nào của mp tọa độ? Bài 40: Cho hàm số y = 2x2 (P) và (d) có phương trình y = 2mx +3 a) Cmr (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. b) Hạ AH Ox, BG Ox. Cmr OH.OG không phụ thuộc vào m. c) Hạ AQ Oy, BP Oy. Cmr OQ.OP không phụ thuộc vào m. d) Khi m = ½ , hãy tính diện tích hình AHGB Bài 41: Cho hàm số y = x2 (P) . Viết phương trình đường thẳng d biết rằng: a) d song song với y = 2x -4 và cắt (P) tại một điểm duy nhất. Xác định giao điểm này b) d đi qua (2,0) và cắt (P) tại một điểm duy nhất c) d tạo với Ox một góc 450 và cắt (P) tại hai điểm phân biệt Bài 42: Cho hàm số y = 4x2 (P) a) Vẽ (P) b) Tìm trên (P) những điểm cách (0; 2) một khoảng 3 đơn vị c) Xác định các điểm A và B trên (P) sao cho xA= -1 và xB = 2 d) Tìm trên cung AB của (P) điểm M sao cho diện tích tam giác AMB nhỏ nhất. Bài 43: Tìm tập hợp các điểm M trên mặt phẳng tọa độ sao cho: a) Từ đó kẻ được hai đường thẳng mà mỗi đường thẳng chỉ cắt (P) tại một điểm duy nhất và hai đường thẳng này vuông góc với nhau b*) Từ đó chỉ kẻ được một đường thẳng mà đường thẳng này chỉ cắt (P) tại một điểm duy nhất Bài 44: Cho hàm số y = -2x2. a) Tìm PT đthẳng (d) sao cho (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt và nhận (0, - 2) là trung điểm b) Tìm PT đthẳng (d) sao cho (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt và khoảng cách giữa hai điểm này là 4 c) Tìm trên (P) điểm cách (0; 2) một khoảng nhỏ nhât..
<span class='text_page_counter'>(43)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. CHỦ ĐỀ 3:. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN.
<span class='text_page_counter'>(44)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. Cách 1: Sử dụng phương pháp cộng đại số: - Nhân các vế của hai phương trình với số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau - Sử dụng quy tắc cộng đại số để thực hiện phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình một ẩn sè) - Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho Cách 2: Sử dụng phương pháp thế - Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình một ẩn - Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho. Dạng 1: Giải các hệ phương trình sau Bài 1: Dạng cơ bản 2x 3y 2 a) 3x 2y 3 . x 6y 17 d) 5x y 23 x 3y 2 g) 2 x 5 y 1 x y 1 j) 2 3 5 x 8 y 3. x 3y 6 f) 2x 6y 12 . 2 x y 1 h) x y 2. x 3y 1 i) x 4 y 2 l) . x 3y 5 2 x 2 y 6. o) . 2 x y 3 x y 6. r) . n) . 2 x 2 y 9 2 x 3 y 4. q) . p) . 3x 2y 4 ; 1) 2x y 5. 3x 2 y 10 t) 2 1 x 3 y 3 3 4x 2y 3 ; 2) 6x 3y 5. 3x 4y 2 0 4) ; 5x 2y 14. 2x 5y 3 5) ; 3x 2y 14. 4 x 5 y 3 s) 3 x y 16. Bài 2: Dạng cơ bản biến thể. 3x 2 y 7 2 x 3 y 3. x 2 y 7 2 x y 4. k) . 3 x y 5 2 x 3 y 18. m) . 9x 8y 6 c) 2x y 2 . 4x 3y 6 b) 2x y 0 7x 4y 74 e) 3x 2y 32 . 5 x 2 y 4 6 x 3 y 7. x y 3 3x 4 y 2 4 x y 3 3 x 2 y 16. u) . 2x 3y 5 3) 4x 6y 10 4x 6y 9 6) 10x 15y 18.
<span class='text_page_counter'>(45)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. x y a b 1 2 0 3 4 3 a) b) 5 3 5x y 11 4 a 5 b 10 0 Bài 3: Dạng biến thể phức tạp x 2 y 3 1 a) x y 3 2 x 2 y 3 1 d) x y 3 2. ( 2 1)x y 2 b) x ( 2 1)y 1 (x 5 (1 3)y 1 e) (1 3)x y 5 1. y x 2 3 c) x y 10 0 . c). x 2 3y 1 2x y 2 2 . 5x 3 y 2 2 f) x 6 y 2 2 . Bài 4: Thu gọn ẩn đưa về dạng cơ bản 6(x y ) 8 2x 3y a) 5(y x ) 5 3x 2y (x 1)(y 2) (x 1)(y 3) b) (x 5)(y 4) (x 4)(y 1) (x 2)(y 1) xy c) (x 8)(y 2) xy . 3x 22y 3 6xy 1) ; 4x 5y 5 4xy y 27 2y - 5x 3 5 4 2x 3) ; 6y 5x x 1 y 3 7. 2x - 32y 4 4x y 3 54 2) ; x 13y 3 3yx 1 12 7x 5y - 2 x 3y 8 4) 6x - 3y 10 5 5x 6y. Bài 5: Dạng bậc cao x y 1 0 a) 2x 2 xy 3y 2 7x 12y 1 0 x 2 y 2 2x 2y 23 0 c) x 3y 3 0 . x 5y 1 b) x 2 y 2 3xy x y 10 3x 2 6xy x 3y 0 d) 4x 9y 6 . Bài 6: Dùng ẩn phụ 1 1 1 x y a) 3 4 5 x y 6 5 3 x y b) 9 10 1 x y. 1 1 1 x y 4 c) 10 1 1 x y 1 1 1 x y 24 d) 2 3 y x.
<span class='text_page_counter'>(46)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán 1 1 2 x y 2 1 e) 2 3 1 x 2 y 1. 2x 2 3y 2 36 k) 3x 2 7y 2 37 3x 2 y 2 5 l) x 2 3y 2 1 3 x y 5 m) 2 x 3 y 18 . 4 5 2 x 3 y 1 f) 5 1 29 x 3 y 1 20 8 1 1 x y 12 g) 1 5 3 x y 12. 3 x 2 y 6 n) x y 4, 5 x 3 2 y 1 2 o) 2 x 3 y 1 4 . 4 9 1 2x 1 y 1 h) 3 2 13 6 2x 1 y 1. 7 4 5 3 y 6 x 7 p) 5 3 1 2 y 6 6 x 7. 1 1 2 x 1 y 2 i) 2 3 1 y 2 x 1. 7x 2 13y 39 j) 5x 2 11y 33 . 1 2 x 2y y 2x 3 1) ; 4 3 1 x 2y y 2x. . . 2 3x x 1 y 4 4 2) ; 2x 5 9 x 1 y 4. 2 x 2 2x y 1 0 4) ; 2 3 x 2x 2 y 1 7 0. 3y x 1 x 1 y 2 7 3) ; 2 5 4 x 1 y 2. 5 x 1 3 y 2 7 5) 2 4x 2 8x 4 5 y 2 4y 4 13.. Bài 7: Dùng ẩn phụ 2x y 2 x 1 y 1 a) x 3y 1 x 1 y 1. 4 5 2 2x 3y 3x y b) 3 5 21 3x y 2x 3y. 7 5 9 x y 2 x y 1 2 c) 3 2 4 x y 2 x y 1 x x 1 y y 12 d) x x 2 y 12 y.
<span class='text_page_counter'>(47)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán 3 6 1 2x y x y e) 1 1 0 2x y x y 4 5 5 x y 1 2x y 3 2 f) 3 1 7 x y 1 2x y 3 5. 2x 3y 1 y 1 x 1 h) 2y 5x 2 x 1 y 1 6 2 3 x 2 y x 2y i) 3 4 1 x 2y x 2y. xy 5 x y x y 2 xy g) x y 10 xy 3 x y xy. Bài 8: Hệ đối xứng loại 1 x y xy 7 a) 2 x y 2 xy 13 x xy y 5. b) . x 2 y2 5 . x 2 y 2 x y 8 c) 2 x y 2 xy 7 . 2 2 x y x y 102 k) xy x y 69 3(x y ) xy l) 2 2 x y 160. xy (x 2)(y 2) 9 m) x 2 y 2 2(x y ) 6 . xy x y 17 d) x 2 y 2 65 . x 2 y 2 2x (y 3) 2y(x 3) 9 0 n) 2(x y ) xy 6 0. x y xy 17 e) xy 12 0 . x 2 y 2 xy 1 o) x 3 y 3 x y x (x 1) y(y 1) xy 17 p) (x 1)(y 1) 8 x y xy 5 q) x 2 y 2 xy 7 . x y 8 f) x 2 y 2 34 . xy 10 g) x 2 y 2 29 xy 15. h) . x 2 y 2 34 . 2 2 x xy y 4 i) x xy y 2 . x y xy 1 ị) x 2 y y 2 x 6 . xy x y 11 r) 6 6 xy 11 x y xy x y 7 s) x y 10 y x 3 .
<span class='text_page_counter'>(48)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. x 2 y 2 52 t) 1 1 5 x y 12. x 3 y 3 9 x) x 2 y 2 5 x y 7 y) x 3 y 3 133 x y y x 30 z) x x y y 35 . 1 x 1 x y u) x 2 x y 1 5 y 2x y v) x 6 2x y. Bài 9: Hệ đối xứng loại 2: 2x y 2 4y 5 a) 2y x 2 4x 5 2x 2 3xy y 2 3x 1 d) 2 2 2y 3xy x 3y 1. 2x 2 3x 2 y 2 g) 2y 2 3y 2 x 2 x 3 13x 6y j) y 3 13y 6x . y2 b) x 2 x 2 e) y 2 . x 2 2y 2 7x c) y 2 2x 2 7y . 2x 3 2y 3. x 3 2y 4 f) y 3 2x 4 . 2 y 2x. x 3 5x y h) y 3 5y x . x 3 2y x i) y 3 2x y . y 2 x 3 4x 2 3x k) x 2 y 3 4y 2 3y . x 3 2y 1 l) y 3 2x 1 . Bài 10: Hệ bậc nhất 3 ẩn. x y z 1 x 2y 4z 8 a) x 3y 9z 27 x y z 12 2x 3y z 12 b) x y 2z 5 x 2y 3z 1 3x y 2z 3 c) 2x 3y z 2 . x y 2z 4 2x 3y 3z 6 d) x 3y 4z 7 2x y 3z 4 3x 2y 2z 3 e) 5x 4y 2 2x y 3z 2 x 4y 6z 5 f) 5x y 3z 5.
<span class='text_page_counter'>(49)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. y z x 4 7 6 g) 4x 3y 2z 24 . x y 16 y z 28 l) x z 22 . x y z 7 3 5 h) 2x y 4z 30 4x 3y 2z 1 x y z i) 6 10 2 x 2 y 1 z 3 4 7 j) 4x y z 3 . x y 25 y z 30 m) x z 29. x y 4 y z 7 k) x z 5. x 3y z 2 x y 2z 9 n) z 3x . x 2z y 2 3z p) 3x 2y z 2 .
<span class='text_page_counter'>(50)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. CHỦ ĐỀ 4:. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI.
<span class='text_page_counter'>(51)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. 1. Định nghĩa: Phương trình bậc hai là phương trình có dạng ax 2 bx c 0 (a 0) 2. C«ng thøc nghiÖm: Ta cã b2 4ac . - Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm. - Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm kép x1,2 . b 2a. b b ; x2 2a 2a b c 3. Hệ thức Viet: Nếu phương trình có nghiệm x1; x2 thì S = x1 x 2 ; P = x1.x 2 a a Giả sử x1; x2 là hai nghiệm của phương trình ax 2 bx c 0 (a 0). Ta có thể sử dụng. - Nếu > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 . định lí Viet để tính các biểu thức của x1, x2 theo a, b, c 2. S1 = x12 x 22 x1 x 2 2x1x 2 . b 2 2ac a2 3abc b 3 a3. 3. S2 = x13 x 32 x1 x 2 3x1x 2 x1 x 2 S3 = x 1 x 2 . x1 x 2 . 2. . x1 x2 . 2. 4x1x 2 . b 2 4ac a2. 4. øng dông hÖ thøc Viet a) Nhẩm nghiệm: Cho phương trình ax 2 bx c 0 (a 0). - NÕu a + b + c = 0 x1 = 1; x 2 . c a. - NÕu a - b + c = 0 x1 = -1; x 2 . c a. b) T×m hai sè khi biÕt tæng vµ tÝch: Cho hai sè x, y biÕt x + y = S; x.y = P th× x, y lµ hai nghiÖm cña phương trình bậc hai X2 - SX + P = 0 c) Phân tích thành nhân tử: Nếu phương trình ax 2 bx c 0 (a 0) có hai nghiệm x1; x2 thì ax 2 bx c a x x1 x x 2 . d) Xác định dấu các nghiệm số: Cho phương trình ax 2 bx c 0 (a 0). c 0 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu a 0 thì phương trình có hai nghiệm cùng dấu - NÕu c a 0 0 c - Nếu 0 thì phương trình có hai nghiệm dương. Nếu a b a 0. - NÕu. 0 c 0 thì phương trình có hai a b a 0. nghiÖm ©m e) Xét dấu 2 nghiệm của phương trình bậc hai: S x1 x2 P x1 x2 x1 x2 Dấu nghiệm. . Điều kiện chung. trái dấu. . . P<0. 0. 0 ; P < 0.. cùng dấu,. . . P>0. 0. 0 ;P>0.
<span class='text_page_counter'>(52)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. cùng dương,. +. +. S>0. P>0. 0. 0 ;P>0;S>0. cùng âm. . . S<0. P>0. 0. 0 ; P > 0 ; S < 0.. 5. C¸c d¹ng to¸n c¬ b¶n: Dạng 1: Tìm điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm c 0 a Trong trường hợp cần chứng minh có ít nhất một trong hai phương trình ax 2 bx c 0 ; a'x 2 b' x c ' 0 có nghiệm người ta thường làm theo một trong hai cách sau: C¸ch 1: Chøng minh 1 2 0 C¸ch 2: 1. 2 0. Phương pháp: Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm là b2 4ac 0 hoặc. D¹ng 2: T×m hai sè khi biÕt tæng vµ tÝch Phương pháp: Bước 1: Cho hai số x, y biết x + y = S; x.y = P thì x, y là hai nghiệm của phương trình bậc hai X2 - SX + P = 0 Bước 2: Giải phương trình X2 - SX + P = 0 Bước 3: Kết luận Dạng 3: Biểu thức đối xứng hai nghiệm Phương pháp: Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm Bước 2: Tính S = x1 x 2 . b c ; P = x1.x 2 , theo m a a. Bước 3: Biểu diễn hệ thức đề bài theo S, P với chú ý rằng x12 x 22 S2 2P ;. . . x13 x 23 S S2 3P ;. 1 1 S 1 1 S2 2P ; P2 x1 x 2 P x12 x 22. D¹ng 4: HÖ thøc gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo tham sè m Phương pháp: Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm Bước 2: Tính S = x1 x 2 . b c ; P = x1.x 2 , theo m a a. Bước 3: Khử m để lập hệ thức giữa S và P, từ đó suy ra hệ thức giữa hai nghiÖm kh«ng phô thuéc tham sè m Dạng 5: Điều kiện để hai nghiệm liên hệ với nhau bởi một hệ thức cho trước Phương pháp: Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm Bước 2: Tính S = x1 x 2 . b c ; P = x1.x 2 , theo m a a. Bước 3: Giải phương trình với ẩn số m, so sánh điều kiện Bước 4: Kết luận Phương trình quy về phương trình bậc nhất (bậc hai) 1. Phương trình chứa ẩn ở mẫu số: Phương pháp: Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa Bước 2: Qui đồng mẫu số để đưa về phương trình bậc nhất (bậc hai) Bước 3: Giải phương trình bậc nhất (bậc hai) trên Bước 4: So sánh với điều kiện và kết luận nghiệm 2. Phương trình chứa dấu trị tuyệt đối: Phương pháp: Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa Bước 2: Khử dấu giá trị tuyệt đối, biến đổi đưa về phương trình bậc nhất (bËc hai) Bước 3: Giải phương trình bậc nhất (bậc hai) trên Bước 4: So sánh với điều kiện và kết luận nghiệm.
<span class='text_page_counter'>(53)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. 3. Phương trình trùng phương: ax 4 bx 2 c 0 (a 0) Phương pháp: Bước 1: Đặt x2 = t 0 Bước 2: Biến đổi đưa về phương trình bậc hai ẩn t Bước 3: Giải phương trình bậc hai trên Bước 4: So sánh với điều kiện và kết luận nghiệm 4. Phương trình có dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e với a + d = b + c Phương pháp: Bước 1: Đặt t = x2 + (a + d)x + k = x2 + (b + c)x + k với k =. 1 ad bc 2. Bước 2: Biến đổi đưa về phương trình bậc hai ẩn t Bước 3: Giải phương trình bậc hai trên Bước 4: So sánh với điều kiện và tìm nghiệm x 5. Phương trình hồi qui a) Dạng 1: Phương trình có dạng ax 4 bx 3 cx2 bx a 0 (a 0) Phương pháp: Bước 1: Chia hai vế của phương trình cho x2 0 Bước 2: Đặt t x . 1 với điều kiện t 2 và đưa về phương trình bậc hai ẩn x. t Bước 3: Giải phương trình bậc hai trên Bước 4: So sánh với điều kiện và tìm nghiệm x b) Dạng 2: Phương trình có dạng ax 4 bx 3 cx2 bx a 0 (a 0) Phương pháp: Bước 1: Chia hai vế của phương trình cho x2 0 Bước 2: Đặt t x . 1 và đưa về phương trình bậc hai ẩn t x. Bước 3: Giải phương trình bậc hai trên Bước 4: So sánh với điều kiện và tìm nghiệm x 2. e d 6. Phương trình có dạng ax bx cx dx e 0 với ; e 0 a b 4. 3. 2. 2. Phương pháp: Bước. 1:. §Æt. d d d d t x t 2 x x2 2 bx bx b bx . 2. d d x t2 2 b bx 2. Bước 2: Đưa về phương trình bậc hai ẩn t Bước 3: Giải phương trình bậc hai trên Bước 4: So sánh với điều kiện và kết luận nghiệm 4 4 7. Phương trình có dạng x a x b c Phương pháp: Bước 1: Đặt t = x . ab a b ab xa t ;x b t 2 2 2. Bước 2: Đưa về phương trình trùng phương ẩn t Bước 3: Giải phương trình trùng phương trên Bước 4: So sánh với điều kiện và kết luận nghiệm. 2. .
<span class='text_page_counter'>(54)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. Dạng 1: Giải phương trình bậc hai 2. 1 2 3 4. x - 11x + 30 = 0 x2 - 10x + 21 = 0 x2 - 12x + 27 = 0 5x2 - 17x + 12 = 0. 41 42 43 44. 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40. 3x2 - 19x - 22 = 0 x2 - (1+ 2 )x + 2 = 0 x2 - 14x + 33 = 0 6x2 - 13x - 48 = 0 3x2 + 5x + 61 = 0 x2 - 3 x - 2 - 6 = 0 x2 - 24x + 70 = 0 x2 - 6x - 16 = 0 2x2 + 3x + 1 = 0 x2 - 5x + 6 = 0 3x2 + 2x + 5 = 0 2x2 + 5x - 3 = 0 x2 - 7x - 2 = 0 3x2 - 2 3 x - 2 = 0 -x2 - 7x - 13 = 0 2 2 x – 2( 3 1) x -3 2 = 0 3x2 - 2x - 1 = 0 x2 - 8x + 15 = 0 2x2 + 6x + 5 = 0 5x2 + 2x - 3 = 0 x2 + 13x + 42 = 0 x2 - 10x + 2 = 0 x2 - 7x + 10 = 0 5x2 + 2x - 7 = 0 4x2 - 5x + 7 = 0 x2 - 4x + 21 = 0 5x2 + 2x -3 = 0 4x2 + 28x + 49 = 0 x2 - 6x + 48 = 0 3x2 - 4x + 2 = 0 x2 - 16x + 84 = 0 x2 + 2x - 8 = 0 5x2 + 8x + 4 = 0 x2 – 2( 3 2 ) x + 4 6 = 0 x2 - 6x + 8 = 0 3x2 - 4x + 2 = 0. 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80. x2 - 16x + 84 = 0 x2 + 2x - 8 = 0 5x2 + 8x + 4 = 0 x2 – 2( 3 2) x + 4 6 = 0 11x2 + 13x - 24 = 0 x2 - 11x + 30 = 0 x2 - 13x + 42 = 0 11x2 - 13x - 24 = 0 x2 - 13x + 40 = 0 3x2 + 5x - 1 = 0 5x2 + 7x - 1 = 0 3x2 - 2 3 x - 3 = 0 x2 - 2 2 x + 1 = 0 x2 - 2 3 1 x - 2 3 = 0 11x2 + 13x + 24 = 0 x2 + 13x + 42 = 0 11x2 - 13x - 24 = 0 2x2 - 3x - 5 = 0 x2 - 4x + 4 = 0 x2 - 7x + 10 = 0 4x2 + 11x - 3 = 0 3x2 + 8x - 3 = 0 x2 + x + 1 = 0 x2 + 16x + 39 = 0 3x2 - 8x + 4 = 0 4x2 + 21x - 18 = 0 4x2 + 20x + 25 = 0 2x2 - 7x + 7 = 0 -5x2 + 3x - 1 = 0 x2 - 2 3 x - 6 = 0 x2 - 9x + 18 = 0 3x2 + 5x + 4 = 0 x2 + 5 = 0 x2 - 4 = 0 x2 - 2x = 0 x4 - 13x2 + 36 = 0 9x4 + 6x 2 + 1 = 0 2x4 + 5x 2 + 2 = 0 2x4 - 7x2 - 4 = 0 x4 - 5x2 + 4 = 0. . .
<span class='text_page_counter'>(55)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. Bài 1:. x 2 28x 52 0 2 c) 7x 2x 3 0 2 e) 6x x 5 0 2 g) x 8x 16 0 2 i) x 12x 288 0 2 k) x 13x 36 0 2 m) x 64x 3600 0 2 o) 2x 7 x 39 0 2 q) 2x 5x 1 0 2 s) 16x 10x 1 0 a). 3x 2 5x 1 0 2 d) 2x 7 x 3 0 2 f) 3x 5x 2 0 2 h) 16z 24z 9 0 2 j) 9x 12x 4 0 2 l) 3x 2x 5 0 2 n) 12x 8x 1 0 2 p) x 3x 7 0 2 r) 3x 2x 8 0 2 t) 2x 7x 4 0 b). Bài 2:. 2x 4 3x 2 2 0 4 2 c) x 13x 36 0 4 2 e) t 24t 25 0 4 2 g) 3x 10x 3 0 4 2 i) u 3u 9 0 4 2 k) x 6x 27 0 4 2 m) t 3t 10 0 4 2 o) x 2x 120 0 4 2 q) z 7 z 144 0 4 2 r) x 1,16x 0,16 0. a). s). 5x 4 (2 5 3)x 2 5 3 0. t). 3x 4 (2 3)x 2 2 0. u). v) x). 1 4 1 2 1 x x 0 3 2 6 1 4 3 2 11 x x 0 3 2 6 (5 2)x 4 (5 2)x 2 10 0 4. y) x Bài 3:. 39x 2 360 0. x 4 2x 2 8 0 4 2 d) 4x 5x 9 0 4 2 f) 9x 8x 1 0 4 2 h) 9a 2a 32 0 4 2 j) 2x 5x 2 0 4 2 l) a 12a 27 0 4 2 n) x x 6 0 4 2 p) 36x 13x 1 0 b).
<span class='text_page_counter'>(56)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. x 4 2x 2 x 1 15x 2 x 35 b) 2x 4 x 2 3 x 4 6x 2 3 4 2 4 2 4 2 2 d) 5x 2x 16 10 x c) 5x 7x 2 3x 10x 3 2 e) (x 2)(x 2)(x 10) 72 f) (x 2)(x 1)(x 1)(x 2) 10 g) (x 4)(x 3)(x 3)(x 4) 44 a). h). (x 2 9)(x 2 1) 33 2. i) (x Bái 4:. 2)(x 2 5) 12. 3x 1 2x 5 4 2 a) x 1 x 3 x 2 2x 3 x 3 x 1 2 b) x 4 x 2 x 2 6x 8 1 x 2 3x 5 2 c) x 3 x x 6 1 8x 4x 32x 2 d) 4 8x 12x 6 3(4 16x 2 ) 0. x 3 7x 2 6x 30 x 2 x 16 2 e) x3 1 x x 1 1 3 1 f) 2(x 1) x2 1 4 1 2x 2 5 4 3 2 g) x 1 x 1 x x 1 15. 3x 2. 2x 3. 1. h) x 2 2x 3 x 1 x 3 3 Bài 5: a) b) c). d). 1 1 1 x 2 4x 3 x 2 8x 15 6 1 2 3 6 2 2 2 x 5x 6 x 8x 15 x 13x 40 5 1 1 1 1 x 2 9x 20 x 2 11x 30 x 2 13x 42 18 2 1 1 2 x x 2 5x 6 x 2 3x 2 x 2 4x 3 4.
<span class='text_page_counter'>(57)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. 1 1 1 1 1 2 2 2 e) x 5x 6 x 7x 12 x 9x 20 x 11x 30 3 2. Bài 6. a). 2. 2 x 2 8 x x 1. b). x 5 x x 1 4. d). 25x 2 x 11 (x 5)2. f). 4x 2 12 x (x 2)2. h). x2 x 15 2 (x 1). 2. 2. c). 2 1 1 x 1 15 x . e). 1 1 5 x 2 (x 2)2 16. g). 81x 2 x 40 2 (x 9). 2. 2. 2. 2. Bài 7 2. 2. x 1 x 1 40 x a) x 2 9 2 2 2 x 2 x 2 x 48. 4 0 20. 5 b) x 1 x 1 x2 1 2. c). 2 2 x 2 x 2 5 x . 4 0 x 1 x 1 2 x2 1. 2. 2 2 x 2 x 2 x 4 5 48 4 2 d) x 1 x 1 x 1 2 2 2 x 2 x 2 x 12 4 0 5. 44 e) x 1 x 1 x2 1. Bài 8. 2x 7x 1 2 a) 3x x 2 3x 5x 2 4x 3x 1 2 2 b) 4x 8x 7 4x 10x 7 2x 13x 6 c) 2x 2 5x 3 2x 2 x 3 2.
<span class='text_page_counter'>(58)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. d) e) f) g). 3x 7x 4 x 2 3x 1 x 2 x 1 4x 5x 3 2 2 x x 3 x 5x 3 2 4x 5x 2 1 2 4x 8x 7 4x 10x 7 4x 5x 1 4x 2 8x 7 4x 2 10x 7. Bài 9. x 2 10x 15 4x a) x 2 6x 15 x 2 12x 15 x 2 3x 5 x 2 5x 5 1 b) x 2 4x 5 x 2 6x 5 4 2 2 x 13x 15 x 15x 15 1 c) x 2 14x 15 x 2 16x 15 12 Bài 10 2. a) (x 1)(x 2x 3) 0 2. b) x. 2. 2. 2. 2. 2. 3x 2 2x 0 2. c) (3x 5x 1)(x 4) 0 2. 3. 2. 2. d) (2x x 4) (2x 1) 0 2. e) (x 2x 5) (x x 5) 2. 2. 2. 2. f) (x x 1) (4x 1) 2. 2. 3. g) (x 3x 2) 6(x 3x 2). h) (2x 3) 10x 15x 0. x 3 5x 2 x 5 0 3 2 k) 3x 6x 4x 0 3 2 m) x 4x x 4 0. j) x 3x 2x 6 0. i). 3. 2. 3. 2. l) x 6x 3x 10 0. 2 2 2 2 n) (5x 4x 10) (x 7x 9) 0. 2 2 2 2 o) (2x 10x 5) (2x 21x 8) 2 2 2 2 p) (2x 7x 20) (x 5x 7) Bài 11:. x 3 6x 2 3x 10 0 3 2 c) x 3x x 1 0 3 2 e) x 5x x 7 0 3 2 g) x 2x 29x 30 0 3 2 i) x 6x 11x 6 0 3 2 k) x 2x 7x 14 0 a). x 3 2x 2 3x 2 0 3 2 d) x 7x 14x 8 0 3 2 f) x 4x 29x 24 0 3 2 h) 2x 7x 7x 12 0 3 2 j) x 5x 8x 4 0 3 2 l) x x 4 0 b).
<span class='text_page_counter'>(59)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. Bài 12: 4. 3. 4. 3. 2. a) x 10x 15x 10x 16 0 2. b) x 11x 8x 8x 12 0 4. 3. 2. c) 2x 3x 17x 27x 9 0 4. 3. 4. 3. 2. d) x 2x 6x 10x 5 0 2. e) x 4x 19x 106x 120 0 4. 3. 2. f) 2x 21x 74x 105x 50 0 4. 3. 4. 3. 2. g) x 3x 14x 6x 4 0 2. h) x 3x 6x 3x 1 0 Bài 13:. x 6 7x 3 6 0 8 4 c) x 17x 16 0 12 6 e) x x 1 0 6 3 g) x 10x 16 0. x 6 9x 3 8 0 8 4 d) x x 2 0 10 5 f) x x 6 0 6 3 h) 2x 5x 3 0. a). b). Bài 14: 2. 2. 2. a) 3(x x ) 2(x x ) 1 0 2. 2. 2. c) 2(x 2x ) 3(x 2x ) 1 0 2. 2. 2. e) (x 5x ) 10(x 5x ) 24 0 2. 2. b). (x 2 x )2 4(x 2 x ) 12 4. 2. d) (2x 3) 5(2x 3) 6 f). 2. (x 5x ) 2(x 5x ) 24 0 2 2 2 g) (x x 2) 12(x x 2) 35 0. 2 2 2 h) (x 3x 1) 2(x x 1) 8 0. 2. 2. i) (x 3x 2)(x 3x 1) 20 j). (x 2 3x 4)(x 2 3x 2) 3 2. 2. 2. 2. k) (x 4x 4) x 4x 2 0 2. 1 1 x x 2 0 m) x x 2 1 1 x 5 x 12 0 o) x 2 x 1 1 2 p) 4 x x 2 12 x x 47 0 2 1 1 q) 2 x 2 3 x 16 0 x x 1 x 1 6 0 x 4 s) x x . 1 1 x 4 x 3 0 l) x x 2 1 1 x 3 x 10 0 n) x x . . 1 2 1 2 x 2 9 x x 7 2 x x 7 t) x2 x 1 r) 7 x .
<span class='text_page_counter'>(60)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. 2x 2 5x u) (x 1)2 (x 1) 3 0. x 2 48 x 4 2 10 v) 3 x 3 x. Bài 15:. x x 1x 2x 3 8 b) x 1x 4 x 5 x 8 31 c) x 2x 3x 7x 8 144 d) x 5 x 6x 8x 9 40. a). e) x 1x 3 x 5 x 7 297. x 1x 2x 4x 5 10 g) x 1x 2x 3x 4 1 0 h) x 1x 2x 3x 6 108 i) x 1x 3 x 5 x 7 9 j) x 1x 2x 4 x 5 40 k) x 1x 2x 3x 4 3 l) x 7x 5 x 4x 2 72 m) x x 1x 1x 3 3 n) x x 1x 2x 3 24 o) 16x x 1x 2x 3 9 f). x 2 3x 2x 2 7x 12 24 2 q) x x 1 x x 1 56. p). r) 4x 112x 13x 2x 1 4 2. s) 6x 7 3x 4x 1 6 2. t) 6x 5 3x 2x 1 35 2. u) 4x 3 x 12x 1 810 Bài 16: a). 3x 2 2x 2 x 2 x 1 x. b). c). 2x 2 3x 2 2x 2 3x 9 33. d). 3x 2 21x 16 2 x 2 7x 7 0 e) x 3 x 10 0 g) 2x 5 x 3 0 i). 2x 2 x 2 7 x 2 2x 2 12. 3 x2 x 1 x x2 3. x 12 x 35 0 h) 2x 13 x 45 0 2x 1 1 2 ị) x 1 2 2x f).
<span class='text_page_counter'>(61)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. k). x 4x 1 2 4x 1 x. l). x 2 3x 2 3 3x 2 x. Bài 17: a). 24 15 2 2 x 2x 8 x 2x 3 2. 1 1 9 b) x 2 2x 2 x 2 2x 3 2(x 2 2x 4). x2 x 5 3x 4 0 c) x x2 x 5 x2 x x2 x 2 d) x 2 x 1 x 2 x 2 1 1 2 6 2 2 2 e) x 3x 3 x 3x 4 x 3x 5 6 8 1 d) (x 1)(x 2) (x 1)(x 4) 7 2 x x 5 e) x2 x 1 Bài 18 a) x 3 5. b) x 7 4. c) 5x 2 7. d) 2x 3 4. e) 4x 5 1. f) 2x 2 5. g) x 4 2. h) 3x 2 7. i) 4x 3 . 4 7 m) 3 2x x 6 p) x 5 3x. 3 4 k) x 2 4 9. s) 2 3x 4x 1. t) 7 3x 3x 2. v) 4x 3 2x 5 0. x) 3x . 1 5x 2 7 2 o) 5x 16 3x r) 2x 4x 5 u) 2 3x 2(x 3) 3 4 1 x 2x y) 2 3 3 2 ab) x 5x 2 2. j) x 1 . 2 z) x x 3 3. 2 ac) x 3x 2 x 1 0. n) 3x x 8 q) x 2 x 2. 2 1 x 4 3 2 2 aa) x x 0 2 ad) (3x 1) 4 x 1 5 0. Bài 19. 3 2x 5 8x 7 16x 28 b) 4x 8 5 x 2 9x 18 20 c) 16x 16 9x 9 4x 4 x 1 16 a). l). 1 3.
<span class='text_page_counter'>(62)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. 25x 25 7 49x 49 x 1 4x 4 e) 5 x 1 36x 36 9x 9 8x 12 4 4 x 20 3 5 x 9x 45 6 f) 3 15 x 1 x 25 25 6 x 1 g) 2 9 d). Bài 20 a). x 1 x 1. x 1 2 g) x x 1 13 j) x 4 4 x m) 3 2x 3 x d). p) x 2 x 1 16 Bài 21. e). x 2 x 2 3x 2 4. h). 2x 5 2x 1. b). k) x x 1 3 n) x 2 2x 1 5 0 q). 3x 2 2 3. a). x 2 4x 4 49. b). 4x 2 4x 1 13. c). x 2 6x 9 x 3. d). x 2 2x 1 x 3. e). x 2 2x 1 x 2 4x 4 2x 1. f). x 2 10x 25 9x 2 6x 1 3x 2. g). x 2 4x 3 x 1. h). x 2 5x 4 x 1. i). x 2 2x 1 x 2 4x 4 3. j). x 2 2x 1 x 2 4x 4 x 2 4x 4. l). x 2 4x 4 x 8. m). x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 5. n). x 1 4 x 5 11 x 8 x 5 4. o). x 44 x x 96 x 1. p). x 6 4 x 2 x 11 6 x 2 1. q). x 2 4 x 2 x 7 6 x 2 1. c) f). 4x 20 x 20 x 5 1x. x 5 7 x l) x 5 1 x o) 2x 8 2x 1 21 i). r). 1 2x 2 x 1.
<span class='text_page_counter'>(63)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. r). x 2 x 1 x 1 1. s). x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 5. t). x 1 4 x 5 11 x 8 x 5 4. u). x 2 2x 5 x 2 3 2x 5 7 2 2. 2. v) x 6x 9 x 10x 25 8 Bài 22. 2x 5 3x 5 2 x 3 5 x 2. a) c). x 4 x 2 2 g) x 3 x 4 1 i) 10 x x 3 5 e). x 5 9x 2. k) m) o). 6x x 2 2 4x 1 3x 4 1. q) 8 x 5 x 5 Bài 23 a) c). 2x 1 x 2 x 1. x 1 5x 1 3x 2 3x 15 4x 17 x 2. e). x 1 x 10 x 2 x 5. f). x 3 x 2x 1 3x 4. d). x 3 x 1 2 x 1 3 x 2. f). x x 1 1. b). h) j). 15 x 3 x 6 x 1 x 1 2. x 3 12 x 5 n) x 4 x 9 5 p) 1 x 4 x 3 l). r). 3 2x 7 x 5. b). x 1 x 7 12 x. d).
<span class='text_page_counter'>(64)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. Dạng 2: Dạng tổng hợp về phương trình bậc hai – Phương trình chưa tham số Bài 1: Cho phương trình : m 2x . . . 2. 2 1 2 x m2. a) Giải phương trình khi m 2 1 b) Tìm m để phương trình có nghiệm x 3 2 c) Tìm m để phương trình có nghiệm dương duy nhất (x lµ Èn ) Bài 2: Cho phương trình : m 4 x 2 2mx m 2 0 a) Tìm m để phương trình có nghiệm x 2 .Tìm nghiệm còn lại b) Tìm m để phương trình 2 có nghiệm phân biệt c) TÝnh x12 x 22 theo m (x lµ Èn ) Bài 3: Cho phương trình : x 2 2 m 1 x m 4 0 a) Tìm m để phương trình 2 có nghiệm trái dấu b) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m c) Chøng minh biÓu thøc M = x1 1 x 2 x 2 1 x1 kh«ng phô thuéc vµo m. Bài 4: Tìm m để phương trình a) x 2 x 2m 1 0 có hai nghiệm dương phân biệt b) 4x 2 2x m 1 0 cã hai nghiÖm ©m ph©n biÖt c) m2 1 x 2 2 m 1 x 2m 1 0 cã hai nghiÖm tr¸i dÊu Bài 5: Cho phương trình : x 2 a 1 x a 2 a 2 0 a) Chứng minh rằng phương trình trên có 2 nghiệm tráI dấu với mọi a b) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2 .Tìm giá trị của a để x12 x 22 đạt giá trị nhỏ nhÊt 1 b. 1 c. 1 2. Bµi 6: Cho b vµ c lµ hai sè tho¶ m·n hÖ thøc: . Chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét trong hai phương trình sau phải có nghiệm x2 + bx + c = 0 và x2 + cx + b = 0 Bài 7: Với giá trị nào của m thì hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm số chung: 2x2 – (3m + 2)x + 12 = 0 vµ 4x2 – (9m – 2)x + 36 = 0 Bài 8: Cho phương trình : 2x 2 2mx m2 2 0 a) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt b) Giả sử phương trình có hai nghiệm không âm, tìm nghiệm dương lớn nhất của phương tr×nh Bài 9: Cho phương trình bậc hai tham số m : x 2 4x m 1 0 a) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm b) Tìm m sao cho phương trình có hai nghiệm x1và x2 thoả mãn điều kiện x12 x 22 = 10 Bài 10: Cho phương trình x 2 2 m 1 x 2m 5 0 a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm với mọi m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cung dấu . Khi đó hai nghiệm mang dấu gì ? Bài 11: Cho phương trình x 2 2 m 1 x 2m 10 0 (với m là tham số ) a) Giải và biện luận về số nghiệm của phương trình b) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1; x2 hãy tìm một hệ thức liên hÖ gi÷a x1; x2 mµ kh«ng phô thuéc vµo m c) Tìm giá trị của m để 10x1x 2 x12 x 22 đạt giá trị nhỏ nhất.
<span class='text_page_counter'>(65)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. Bài 12: Cho phương trình m 1 x 2 2mx m 1 0 với m là tham số a) CMR phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt m 1 b) Xác định giá trị của m dể phương trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiêm của phương trình c) T×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo m d) Tìm m để phương trình có nghiệm x1; x2 thoả mãn hệ thức:. x1 x 2 5 0 x 2 x1 2. Bài 13: Cho phương trình: x 2 mx m 1 0 (m là tham số) a) Chứng tỏ rằng phươnh trình có nghiệm x1; x2 với mọi m; tính nghiệm kép ( nếu có) của phương trình và giá trị của m tương ứng b) §Æt A x12 x 22 6x1x 2 . Chøng minh A m2 8m 8 . c) Tìm m để A = 8 và tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tương ứng. d) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia Bài 14: Giả sử phương trình a.x 2 bx c 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2. Đặt Sn x1n xn2 (n nguyên dương) a) Chøng minh: a.Sn 2 bSn1 cSn 0 5. 1 5 1 5 b) ¸p dông TÝnh gi¸ trÞ cña : A= 2 2 . 5. Bµi 15: Cho f(x) = x2 - 2 (m + 2).x + 6m + 1 a) CMR phương trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m b) Đặt x = t + 2 .Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phương trình f(x) = 0 có 2 nghiÖm lín h¬n 2 Bài 16: Cho phương trình: x 2 2 m 1 x m2 4m 5 0 a) Xác định giá trị của m để phương trình có nghiệm b) Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương c) Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau và tr¸i dÊu nhau d) Gọi x1; x2 là hai nghiệm nếu có của phương trình . Tính x12 x 22 theo m Bài 17: Cho phương trình x 2 4x 3 8 0 có hai nghiệm là x1; x2. Không giải phương trình, hãy tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : M . 6x12 10x1 x 2 6x 22 5x1x 23 5x13 x 2. Bài 18: Cho phương trình x 2 2 m 2 x m 1 0 a) Giải phương trình khi m =. 1 2. b) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu c) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để : x1 (1 2x 2 ) x 2 (1 2x1 ) m2 Bài 19: Cho phương trình x 2 mx n 3 0 (1) (n , m là tham số) a) Cho n = 0 . CMR phương trình luôn có nghiệm với mọi m x1 x 2 1 2 2 x1 x 2 7. b) Tìm m và n để hai nghiệm x1; x2 của phương trình (1) thoả mãn hệ : . Bài 20: Cho phương trình: x 2 2 k 2 x 2k 5 0 ( k là tham số) a) CMR phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình . Tìm giá trị của k sao cho x12 x 22 18.
<span class='text_page_counter'>(66)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. Bài 21: Cho phương trình 2m 1 x 2 4mx 4 0 (1) a) Giải phương trình (1) khi m = 1 b) Giải phương trình (1) khi m bất kì c) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm bằng m Bài 22: Cho phương trình: x 2 2m 3 x m2 3m 0 a) CMR phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn 1 x1 x 2 6 Bài 23: Cho phương trình x 2 2mx 2m 1 0 a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1; x2 với mọi m. b) §Æt A = 2(x12 x 22 ) 5x1x 2 . CMR A = 8m2 18m 9 . T×m m sao cho A = 27 c) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm nay bằng hai nghiệm kia Bài 24: Giải và biện luận phương trình : x2 – 2(m + 1) + 2m + 10 = 0 Bài 25: Giải và biện luận phương trình: (m - 3) x2 – 2mx + m – 6 = 0 Bài 26: Giải các phương trình sau bằng cách nhẩm nhanh nhất b) 17x2 + 221x + 204 = 0 a) 2x2 + 2007x – 2009 = 0 d) x2 –(3 - 2 7 )x - 6 7 = 0 c) x2 + ( 3 5 )x - 15 = 0 Bài 27: Giải các phương trình sau bằng cánh nhẩm nhanh nhất (m là tham số) a) x2 + (3m – 5)x – 3m + 4 = 0 b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + 2 = 0 2 Bài 28: Gọi x1 , x2 là các nghịêm của phương trình : x – 3x – 7 = 0 B = x1 x 2 a) TÝnh: A = x12 + x22 C=. 1 1 x1 1 x 2 1. b) Lập phương trình bậc 2 có các nghiệm là. D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) 1 1 vµ x1 1 x2 1. Bài 29: Cho phương trình: x2 – ( k – 1)x - k2 + k – 2 = 0 (1) (k là tham số) a) Chứng minh phương trình (1 ) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k b) Tìm những giá trị của k để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu c) Gọi x1, x2 là nghệm của phương trình (1) .Tìm k để : x13 + x23 > 0 Bài 30: Cho phương trình: x2 – 2( m + 1) x + m – 4 = 0 (1) (m là tham số) a) Giải phương trình (1) với m = -5 b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt với mọi m c) Tìm m để x1 x 2 đạt giá trị nhỏ nhất (x1 , x2 là ha1 nghiệm của phương trình (1) nói trong phÇn b) Bài 31: Cho phương trình (m + 2) x2 + (1 – 2m)x + m – 3 = 0 (m là tham số) a) Giải phương trình khi m = -. 9 2. b) Chứng minh rằng phương trình đã cho có nghiệm với mọi m c) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này gÊp ba lÇn nghiÖm kia. Bài 32: Cho phương trình : mx2 – 2(m-2)x + m – 3 = 0 (1) với m là tham số . a) Biện luận theo m sự có nghiệm của phương trình (1) b) Tìm m để (1) có 2 nghiệm trái dấu. c) Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm thứ hai. Bài 33: Cho phương trình : x2 + 2kx + 2 – 5k = 0 (1) với k là tham số a) Tìm k để phương trình (1) có nghiệm kép b) Tìm k để phương trình (1) có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện : x12 + x22 = 10.
<span class='text_page_counter'>(67)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán 2. Bài 34: Cho phương trình : x – 6x + 1 = 0, gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính: a) x12 + x22 b) x1 x1 x 2 x 2 c). x12 x 22 x1x x x1 x 2 . . . . . x12 x12 1 x 22 x 22 1. .. Bài 35: Cho phương trình bậc hai: x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3m + 2 = 0 a) Tìm các giá trị của m để phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. b) Tìm giá trị của m thoả mãn x12 + x22 = 12 (trong đó x1, x2 là hai nghiệm của phương trình). Bài 36: Cho phương trình: x2 – 2mx + 2m – 5 = 0. a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. b) Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. c) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2, tìm các giá trị của m để: x12(1 – x22) + x22(1 – x12) = -8. Bài 37: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m – 15 = 0. a) Giải phương trình với m = 0. b) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2. Tìm các giá trị của m thoả mãn 5x1 + x2 = 4. Bài 38: Cho phương trình: x2 + 4x + 1 = 0 (1) a) Giải phương trình (1). b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Tính B = x13 + x23. Bài 39: Cho phương trình : x2 - (m + 4)x + 3m + 3 = 0 (m là tham số). a) Xác định m để phương trình có một nghiệm là bằng 2. Tìm nghiệm còn lại. b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x13 + x23 0. Bài 40: Cho phương trình: (m – 1)x2 + 2mx + m – 2 = 0 (*) a) Giải phương trình khi m = 1. b) Tìm m để phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt. Bài 41: Cho phương trình (2m - 1)x2 - 2mx + 1 = 0. Xác định m để phương trình trên có nghiệm thuéc kho¶ng (-1, 0) Bài 42: Với giá trị nào của m thì hai phương trình sau có nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó: a) 2x2 + (3m + 1)x – 9 = 0 vµ 6x2 + (7m – 1)x – 19 = 0. b) 2x2 + mx – 1 = 0 vµ mx2 – x + 2 = 0. c) x2 – mx + 2m + 1 = 0 vµ mx2 – (2m + 1)x – 1 = 0. Bài 43: Xét các phương trình sau: ax2 + bx + c = 0 (1) và cx2 + bx + a = 0 (2) Tìm hệ thức giữa a, b, c là điều kiện cần và đủ để hai phương trình trên có một nghiệm chung duy nhÊt. Bài 44: Cho hai phương trình: x2 – 2mx + 4m = 0 (1) và x2 – mx + 10m = 0 (2) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (2) có một nghiệm bằng hai lần một nghiệm của phương trình (1) Bài 45: Cho hai phương trình: x2 + x + a = 0 và x2 + ax + 1 = 0 a) Tìm các giá trị của a để cho hai phương trình trên có ít nhất một nghiệm chung. b) Với những giá trị nào của a thì hai phương trình trên tương đương. Bài 46: Cho hai phương trình: x2 + mx + 2 = 0 (1) và x2 + 2x + m = 0 (2) a) Định m để hai phương trình có ít nhất một nghiệm chung. b) Định m để hai phương trình tương đương. c) Xác định m để phương trình (x2 + mx + 2)(x2 + 2x + m) = 0 có 4 nghiệm phân biệt Bài 47: Cho các phương trình: x2 – 5x + k = 0 (1) và x2 – 7x + 2k = 0 (2) Xác định k để một trong các nghiệm của phương trình (2) lớn gấp 2 lần một trong các nghiệm của phương trình (1). 2. 2. Bµi 48: Cho pt: x (2m 3)x m 3m 2 0.
<span class='text_page_counter'>(68)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. a) Gi¶i pt trªn khi m = 1 b) Định m để pt có một nghiệm là 2. Khi đó pt còn một nghiệm nữa, tìm nghiệm đó? c) CMR pt lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m. 2 2 d) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của pt. Tìm m để x1 x 2 1. e) Định m để pt có nghiệm này bằng ba nghiệm kia? 2. Bµi 49: Cho pt x 2(m 1)x m 0 a) CMR pt lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1; x2 víi mäi m. b) Víi m. 0. H·y lËp pt Èn y cã 2 nghiÖm lµ: y1 x 1 . 1 1 vµ y2 x 2 x1 x2. c) Định m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả x 1 2x 2 3 2. Bµi 50: Cho pt x 2(k 3)x 2k 1 0 a) Gi¶i pt khi k . 1 2. b) Tìm k để pt có một nghiệm là 3, khi đó pt còn một nghiệm nữa, tìm nghiệm ấy? c) Chøng minh r»ng pt lu«n cã 2 nghiÖm x1; x2 víi mäi k. d) CMR gi÷a tæng vµ tÝch c¸c nghiÖm cã mét sù liªn hÖ kh«ng phô thuéc k?. 1 1 3 e) Tìm k để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả x x x x 2 1 2 1 2 f) Tìm k để tổng bình phương các nghiệm có giá trị nhỏ nhất. 2. Bµi 51: Cho pt (m 1)x 2mx m 1 0 a) CMR pt lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt khi m. 1.. b) Xác định m để pt có tích hai nghiệm bằng 5. Từ đó hãy tính ổng các nghiệm của pt. c) T×m mét hÖ thøc liªn hÖ gi÷a c¸c nghiÖm cña pt kh«ng phô thuéc m?. x1. d) Tìm m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả x 2. . x2 x1. . 5 0 2. 2. Bµi 52: Cho pt x 2(m 1)x 2m 10 0 a) Gi¶i vµ biÖn luËn pt trªn. b) Tim giá trị của m để pt có một nghiệm bằng m. khi đó hãy tìm nghiệm còn lại? c) Tìm m sao cho hai nghiệm x1; x2 của pt thoả 10x 1x 2 x 12 x 22 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó?.
<span class='text_page_counter'>(69)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán 2. Bµi 53: Cho pt x 2mx 2m 1 0 a) Chøng minh r»ng pt lu«n cã 2 nghiÖm x1; x2 víi mäi m. b) §Æt A 2(x 12 x 2 2 ) 5x 1x 2 2 +) Chøng minh A 8m 18m 9. +) T×m m sao cho A = 27. c) Tìm m để pt có nghiệm này bằng hai nghiệm kia. Khi đó hãy tìm hai nghiệm ấy? 2. Bµi 54: Cho pt x 2(m 1)x m 4 0 a) Gi¶i pt khi m = -5 b) CMR pt lu«n cã nghiÖm x1; x2 víi mäi m. c) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu. d) Tìm m để pt có hai nghiệm dương. e) CMR biÓu thøc A x 1 (1 x 2 ) x 2 (1 x 1 ) kh«ng phô thuéc m. f) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc x 1 x 2 2. Bµi 55: Cho pt x 2(m 2)x m 1 0 a) Gi¶i pt trªn khi m . 3 2. b) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu? c) Tìm m để pt có hai nghiệm đều âm? 2 d) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của pt. Tìm m để x 1 (1 2x 2 ) x 2 (1 2x 1 ) m. 2. 2. Bµi 56: Cho pt x 2(m 1)x m 4m 9 0 (x lµ Èn) a) Gi¶i vµ biÖn luËn pt. b) Tìm m để pt nhận 2 là nghiệm. Với giá trị của m vừa tìm được hãy tìm nghiệm còn lại cña pt. c) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu. 2. Bµi 57: Cho pt (m 4)x 2mx m 2 0 a) Tìm m để pt có nghiệm x 2 . Tìm nghiệm kia b) Tìm m để pt có nghiệm c) TÝnh x 12 x 22 theo m. d) TÝnh x 13 x 2 3 theo m..
<span class='text_page_counter'>(70)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. e) Tìm tổng nghịch đảo các nghiệm, tổng bỉnh phương nghịch đảo các nghiệm. Bµi 58: 2. a) Pt x 2px 5 0 cã nghiÖm x1 2 . T×m p vµ tÝnh nghiÖm kia. 2. b) Pt x 5x q 0 cã mét nghiÖm b»ng 5. T×m q vµ tÝnh nghiÖm kia. 2. c) BiÕt hiÖu hai nghiÖm cña pt x 7x q 0 b»ng 11. T×m q vµ hai nghiÖm cña 2. d) T×m q vµ hai nghiÖm cña pt x qx 50 0 , biÕt pt cã hai nghiÖm vµ nghiÖm này gấp đôi nghiệm kia. 2. 2. e) Tìm giá trị của m để pt x 2(m 2)x 2m 7 0 có nghiệm x1 = 5. khi đó hãy tìm nghiệm còn lại. 2. f) Định giá trị của k để pt x k (k 1)x 5k 20 0 có nghiệm x = -5. Tìm nghiÖm kia. 2 g) Cho pt: 5x mx 28 0 . Định m để pt có hai nghiệm thoả 5x 1 2x 2 1 2. h) Tìm tất cả các giá trị của a để pt x ax a 7 0 có hai nghiệm x1; x2 thoả m·n x 12 x 22 10 2. Bµi 59: Cho pt (m 1)x 2(m 1)x m 2 0 a) Xác định m để pt có hai nghiệm phân biệt. b) Xác định m để pt có một nghiệm bằng 2. Tìm nghiệm kia. c) Xác định m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả 1 1 7 ; x1 x2 4. 1 1 1; x1 x2. x 12 x 22 2. d) Xác định m để pt có hai nghiệm thoả 3(x 1 x 2 ) 5x 1x 2 2. Bµi 60: Cho pt x 2(m 1)x 2m 10 0 a) Tìm m để pt có nghiệm b) Cho P 6x 1x 2 x 12 x 22 ( x1; x2 là hai nghiệm của pt). Tìm m sao cho P đạt gi¸ trÞ nhá nhÊt, t×m GTNN Êy. 2. Bài 61: Tìm các giá trị của m; n để pt x 2(m 1)x n 2 0 có hai nghiệm x1 1; x 2 2 ?.
<span class='text_page_counter'>(71)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán 2. Bài 62: Tìm các giá rị của m để pt x mx m 1 0 có nghiệm x1; x2 thoả mãn một trong hai ®iÒu: a) x 1x 2 2(x 1 x 2 ) 19 0 b) x1; x2 đều âm. 2. Bµi 63: Cho pt x 2(m 1)x m 3 0 a) CMR pt lu«n cã nghiÖm víi mäi m. b) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm kh«ng phô thuéc m. c) Xác định m để pt có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau. 2. Bµi 64: Cho pt x mx 3 0 a) Giải và biện luận pt. Từ đó hãy cho biết với giá trị nào của m thì pt có hai nghiệm? b) Xác định các giá trị của m để pt có hai nghiệm dương. c) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× pt nh¹n 1 lµ nghiÖm. T×m nghiÖm cßn l¹i. 2. Bµi 65: Cho pt x 8x m 5 0 a) Xác định m để pt có nghiệm b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× pt cã nghiÖm nµy gÊp 3 lÇn nghiÖm kia?. TÝnh c¸c nghiÖm trong trường hợp này. 2. Bµi 66: Cho pt x mx m 1 0 a) Chøng tá r»ng pt cã nghiÖm x1; x2 víi mäi m. TÝnh nghiÖm kÐp (nÕu cã) cña pt vµ gi¸ trÞ tương ứng của m. b) §Æt A x 12 x 22 6x 1x 2 2 +) Chøng minh A m 8m 8. +) Tính giá trị của m để A = 8 +) T×m min cña A Bµi 67: Cho pt. (m 1)x 2 2(m 1)x m 0 a) Định m để pt có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này. b) Định m để pt có hai nghiệm đều âm? đều dương? trái dấu? 2. 2. Bµi 68: Cho pt x (2m 3)x m 3m 0 a) CMR pt lu«n cã hai nghiÖm víi mäi m. b) Tìm m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn một trong các điều:.
<span class='text_page_counter'>(72)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. +) x 12 x 22 9. +) x 12x 2 x 1x 22 4. 2. Bµi 69: Cho pt kx 18x 3 0 a) Với giá trị nào của k thì pt có một nghiệm? Tìm nghiệm đó? b) Víi gi¸ trÞ nµo cña k th× pt cã hai nghiÖm ph©n biÖt c) Tìm k để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả x 12x 2 x1x 22 6 2. Bµi 70: Cho pt x 10x m 20 0 a) Gi¶i pt khi m = 4? b) Xác định giá trị của m để pt có hai nghiệm phân biệt. c) Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu. d) Tìm m để pt có hai nghiệm đều dương. 2. Bµi 71: Cho pt x 2(m 2)x m 1 0 a) Tìm các giá trị của m để pt có nghiệm. b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của pt. tìm m để: x 1 (1 2x 2 ) x 2 (1 2x1 ) m 2. Bµi 72: Cho pt 2x 6x m 0 a) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× pt cã nghiÖm. b) Với giá trị nào của m thì pt có nghiệm đều dương. x1. c) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của pt. tìm m để x 2. . x2 x1. 3. 2. Bµi 73: Cho pt x 2(a 1)x 2(a 5) 0 a) Gi¶i pt khi a = -2 b) Tìm a để pt có hai nghiệm phân biệt c) Tìm a để pt có hai nghiệm thoả x 1 2x 2 3 d) Tìm a để pt có hai nghiệm dương. 2. Bµi 74: Cho pt (m 1)x 2(m 1)x m 2 0 a) Xác định m để pt có nghiệm. 1 1 7 b) Xác định m để pt có hai nghiệm thoả x x2 4 1 c) Xác định m để pt có một nghiệm bằng hai nghiệm kia. 2.
<span class='text_page_counter'>(73)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán 2. Bài 75: Xác định m để pt x (5 m)x m 6 0 có hai nghiệm thoả mãn một trong c¸c ®iÒu kiÖn sau: a) Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia 1 đơn vị b) Cã hai nghiÖm tho¶ 2x 1 3x 2 13 Bài 76: Tìm giá trị của m để x 12 x 22 đạt giá trị nhỏ nhất: 2. a) x (2m 1)x m 2 0. 2. b) x 2(m 2)x (2m 7) 0. 2. Bµi 77: Cho pt x 2(m 1)x m 4 0 a) Gi¶i pt khi m = 1 b) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× pt nhËn x = 3 lµ nghiÖm. T×m nghiÖm cßn l¹i. c) Chøng minh r»ng pt lu«n cã nghiÖm víi mäi m. d) Tìm m để pt có nghiệm thoả x 12 x 22 5 e) Tìm giá trị của m để pt có hai nghiệm dương? hai nghiệm âm? 2. Bµi 78: Cho pt x 2(m 1)x 2m 4 0 a) CMR pt lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m. b) Gäi x1; x2 lµ hai nghiÖm cña pt. T×m GTLN cña Y x 12 x 2 2 c) Tìm m để Y = 4; Y = 2. 2. Bµi 79: Cho pt 5x mx 28 0 a) CMR pt lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt b) Tìm m để pt có hai nghiệm dương c) Tìm m để pt có hai nghim thoả:. 1 1 7 +) x x2 4 1. 142 2 x 2 x +) 1 2 25. d) Định m để pt có hai nghiệm thoả: 5x 1 2x 2 1 2. Bµi 80: Cho pt 2x (2m 1)x m 1 0 a) CMR pt lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt b) Tìm m để pt có hai nghiệm thoả 3x 1 4x 2 11 c) Tìm m để pt có hai nghiệm đều dương d) T×m hÖ thøc liªn hÖ gi÷a c¸c nghiÖm kh«ng phô thuéc m..
<span class='text_page_counter'>(74)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. Dạng 3: Định lí Viet 1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1; x2 Ví dụ : Cho x1 3 ; x2 2 lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên S x1 x2 5 vậy x1; x2 là nghiệm của phương trình có P x1 x2 6. Theo hệ thức VI-ÉT ta có dạng:. x 2 Sx P 0 x 2 5 x 6 0. Bài tập áp dụng: 1. x1 = 8. x2 = -3. 13. x 1 3 2 2;. 2. x1 = 36. x2 = -104. 14. x1 . 3. x1 = 1 2. x2 = 1 2. 4. x1=2. x2=5. 5. x1=-5. x2=7. 6. x1=-4. x2=-9. 7. x 1 5;. x2 . 8. x 1 3;. x2 1 4. 9. x 1 2 ; 1 4. 10. x 1 ;. x2 . 11. x 1 3 2;. 12. x 1 5 2 6;. 17. x 1 4 3 5;. 18. x 1 3 5;. 1 4. x2 3. 1 1 ; x2 10 72 10 72 1 1 ; x2 15. x1 2 3 2 3. 16. x 1 3 11;. 3 2. 1 3. 3 2. 1 x2 3 2 x2 5 2 6. x2 3 2 2. 19. x 1 4; 1 20. x1 ; 3. x 2 3 11. x2 4 3 5. x2 3 5. x2 1 2 x2 2 3. 2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trình cho trước: V í dụ: Cho phương trình : x 2 3x 2 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 . Không giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn : y1 x2 y2 x1 . 1 Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó: x2. 1 1 1 1 x x 3 9 x1 ( x1 x2 ) ( x1 x2 ) 1 2 3 x1 x2 x x x x 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 9 P y1 y2 ( x2 )( x1 ) x1 x2 1 1 2 1 1 x1 x2 x1 x2 2 2 9 9 Vậy pt cần lập có dạng: y 2 Sy P 0 hay y 2 y 0 2 y 2 9 y 9 0 2 2 S y1 y2 x2 . 1 và x1.
<span class='text_page_counter'>(75)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán Bài tập áp dụng :. 1. Giả sử x1; x2 là hai nghiệm của phương trình: 2x 2 7x 3 0 . Không giải phương trình, hãy lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là: a) 3x1 vµ 3x2. g). b) -2x1 vµ -2x2 c). 1 1 vµ x1 x2. h). 1 1 d) x 2 vµ x 2 1 2 e). f). x2. i). x1. j). vµ x x1 2. x1 1 x1. vµ. x1 1. vµ. x2 x1 x2 1. x1 . vµ. x2 1 x1 x2 x1 1. 1 1 x2 vµ x2 x1. 1 x2 2. vµ. 1 x1 2. x2 1 x2. 2. Cho phương trình 3x 2 5 x 6 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 . Không giải phương trình, Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm y1 x1 . 1 1 và y2 x2 x2 x1. 3. Cho phương trình : x 2 5 x 1 0 có 2 nghiệm x1; x2 . Hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn y thoả mãn y1 x14 và y2 x24 (có nghiệm là luỹ thừa bậc 4 của các nghiệm của phương trình đã cho). 4. Cho phương trình bậc hai: x 2 2 x m 2 0 có các nghiệm x1; x2 . Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm y1; y2 sao cho : a) y1 x1 3 và y2 x2 3. b) y1 2 x1 1 và y2 2 x2 1. 2 5. Gọi p; q là hai nghiệm của phương trình 3x 7x 4 0 . Không giải phương trình. Hãy. lập một phương trình bậc hai với các hệ số nguyên có nghiệm là:. p q 1. vµ. q p 1. 2 6. Gọi p; q là hai nghiệm của phương trình x 5x 3 0 . Không giải phương trình. Hãy. lập một phương trình bậc hai với các hệ số nguyên có nghiệm là:. p q 1. vµ. q p 1. 2 7. Gọi p; q là hai nghiệm của phương trình 2x 6x 7 0 . Không giải phương trình. Hãy. lập một phương trình bậc hai với các hệ số nguyên có nghiệm là:. p q 1. vµ. q p 1. 2 8. Gọi p; q là hai nghiệm của phương trình x 4x 2 0 . Không giải phương trình. Hãy. lập một phương trình bậc hai với các hệ số nguyên có nghiệm là:. p q 1. vµ. q p 1.
<span class='text_page_counter'>(76)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán 2 9. Giả sử x1; x2 là hai nghiệm của phương trình: x px 5 0 . Không giải phương trình, hãy. lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là: a) -x1 vµ -x2. g). b) 4x1 vµ 4x2. x 1 3 x2. x1. vµ. x 2 3 x1. x2. 1 1 x2 x c) 3 1 vµ 3. h). 1 1 vµ x d) x1 2. i). x1 . 1 1 x2 vµ x2 x1. j). x 12. vµ. e). f). x2 x1. vµ. x1 2 x1. x1 x2. vµ. x2 1. k) x 1 x2 2. vµ. x1 1. x 22. 1 1 vµ x 2 x x2 1. l) x12x2 vµ x1x22. x2. 3. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chung. Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình : x 2 Sx P 0 (điều kiện để có hai số đó là S2 4P 0 ) V í dụ: Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = 3 và tích P = ab = 4 Vì a + b = 3 và ab = 4 n ên a, b là nghiệm của phương trình : x 2 3x 4 0 giải phương trình trên ta được x 1 và x2 4 Vậy nếu a = 1 thì b = 4 nếu a = 4 thì b = 1 1. Bài tập áp dụng. 1. a) T×m hai sè khi biÕt tæng cña chóng b»ng 27, tÝch cña chóng b»ng 180. b) T×m hai sè khi biÕt tæng cña chóng b»ng 1, tÝch cña chóng b»ng 5. c) T×m hai sè khi biÕt tæng cña chóng b»ng 33 , tÝch cña chóng b»ng 270. d) T×m hai sè khi biÕt tæng cña chóng b»ng 4, tÝch cña chóng b»ng 50. e) T×m hai sè khi biÕt tæng cña chóng b»ng 6 , tÝch cña chóng b»ng -315. 2. T×m hai sè u, v biÕt: a) u + v = 32; uv = 231. f) u + v = 14; uv = 40. b) u + v = -8; uv = -105. g) u + v = -7; uv = 12. c) u + v = 2; uv =. h) u + v = -5; uv = -24. d) u + v = 42; uv = 441. i) u + v = 4; uv = 19. e) u - v = 5; uv = 24. j) u - v = 10; uv = 24 k) u2 + v2 = 85; uv = 18.
<span class='text_page_counter'>(77)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. n) u2 + v2 = 25; uv = -12. l) u - v = 3; uv = 180 m) u2 + v2 = 5; uv = -2. 4. Tính giá trị các biểu thức nghiệm. Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị của biểu thức x12 x22 ( x12 2 x1 x2 x22 ) 2 x1 x2 ( x1 x2 )2 2 x1 x2 . 2 x13 x23 x1 x2 x12 x1 x2 x22 x1 x2 x1 x2 3 x1 x2 . . x14 x24 ( x12 )2 ( x22 )2 x12 x22 2 x12 x22 ( x1 x2 )2 2 x1 x2 2 x12 x22 1 1 x1 x2 x1 x2 x1 x2. . 2. 2. 2. x1 x2 4 x1 x2 x12 x22 ( x1 x2 x1 x2 =…….) 2 x13 x23 ( = x1 x2 x12 x1 x2 x22 x1 x2 x1 x2 x1 x2 =……. ) . . x1 x2 . . x14 x24. ( = x12 x22 x12 x22 =…… ). . x16 x26. ( = ( x12 )3 ( x22 )3 x12 x22 x14 x12 x22 x24 = ……..). 1. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm a) Cho phương trình : x 2 8 x 15 0 Không giải phương trình, hãy tính 1. x12 x22 3.. x1 x2 x2 x1. 2.. 1 1 x1 x2. 4. x1 x2 . 2. b) Cho phương trình : 8 x 2 72 x 64 0 Không giải phương trình, hãy tính: 1.. 1 1 x1 x2. 2. x12 x22. c) Cho phương trình : x 2 14 x 29 0 Không giải phương trình, hãy tính: 1.. 1 1 x1 x2. 2. x12 x22. d) Cho phương trình : 2 x 2 3x 1 0 Không giải phương trình, hãy tính: 1 1 x1 x2. 2.. 1 x1 1 x2 x1 x2. 3. x12 x22. 4.. x1 x 2 x2 1 x1 1. 1..
<span class='text_page_counter'>(78)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. e) Cho phương trình x 2 4 3x 8 0 có 2 nghiệm x1 ; x2 , không giải phương trình, tính Q . 6 x12 10 x1 x2 6 x22 5 x1 x23 5 x13 x2. 2. Cho phương trình: x 2 5x 3 0 . Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình không giải phương trình hãy tính: a) x 12 x 22. i). b) x 13 x 2 3 j). c) x 1 x 2 d) x 12 x 22. 1 1 f) x1 x 2. l). x1. . x2. 1 x1 2x1. x2 5. . x1. 1 1 x2 x1 x2 . 1 x2 2x 2. m) x 12x 2 x 1x 22. 1 1 g) 2 2 x1 x2 x1 3. x1 5. k) x 1 . e) x 13 x 2 3. h). 1 1 x1 2 x 2 2. x2 3. x1 x2 n) x x 2 1. x2. 3. Giống yêu cầu bài 2 đối với pt: 2x 2 5x 1 0 4. Giống yêu cầu bài 2 đối với pt: 3x 2 4x 3 0 5. Giống yêu cầu bài 2 đối với pt: 3x 2 2x 5 0 2 6. Cho phương trình: x 4x 1 0 . Không giải phương trình hãy tính:. a) Tổng bình phương các nghiệm. b) Tổng nghịch đảo các nghiệm. c) Tổng lập phương các nghiệm. d) Bình phương tổng các nghiệm. e) HiÖu c¸c nghiÖm. f) Hiệu bình phương các nghiệm.
<span class='text_page_counter'>(79)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. 5. Tìm giá trị tham số của phương trình thõa mãn biểu thức chứa nghiệm đã cho Đối với các bài toán dạng này, ta làm như sau: Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a 0 và 0) Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn là tham số). Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm. Ví dụ: Cho phương trình : mx 2 6 m 1 x 9 m 3 0 Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 x2 x1.x2. Bài giải: Điều kiện để phương trình c ó 2 nghiệm x1 và x2 l à : m 0 2 ' 3 m 21 9( m 3)m 0 m 0 2 2 ' 9 m 2m 1 9m 27 0 m 0 m 0 ' 9 m 1 0 m 1 6(m 1) x1 x2 m và từ giả thiết: x1 x2 x1 x2 . Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó: x x 9(m 3) 1 2 m. Suy ra: 6(m 1) 9(m 3) m m 6( m 1) 9(m 3) 6 m 6 9 m 27 3m 21 m 7. V ậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 x2 x1.x2.
<span class='text_page_counter'>(80)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. Bài tập áp dụng 2. 1.Cho pt x 6x m 0 . TÝnh gi¸ trÞ cña m biÕt pt cã hai nghiÖm x1; x2 tho¶: a). x12 x 22 36. b). 1 1 3 x1 x2. c) d). 1 1 4 x12 x 22 3. x1 x 2 4. 2. 2.Cho pt x 8x m 0 . Tìm các giá trị của m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả một trong các hÖ thøc sau: a) x 12 x 22 50. c) 2x 1 3x 2 26. b) x1 7x 2. d) x1 x 2 2. 2 3. Cho pt x (m 3)x 2(m 2) 0 . Tìm m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả x1 2x 2 .. Khi đó tìm cụ thể hai nghiệm của pt? 4. 2 2 2 a) Tìm k để pt: x (k 2)x k 5 0 có hai nghiệm x1; x2 thoả x 1 x 2 10 2 b) Tìm m để pt: x 2(m 2)x 5 0 có hai nghiệm x1; x2 thoả x 12 x 22 18 2. c) Tìm k để pt: (k 1)x 2(k 2)x k 3 0 có hai nghiệm x1; x2 thoả. (4x 1 1)(4x 2 1) 18 2 d) Tìm m để pt: 5x mx 28 0 có hai nghiệm x1; x2 thoả 5x 1 2x 2 1. 2. 5. Gäi x1; x2 lµ hai nghiÖm kh¸c 0 cña pt: mx (m 1)x 3(m 1) 0 . Chøng minh: 1 1 1 x1 x 2 3. 6.Cho phương trình : mx 2 2 m 4 x m 7 0 Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 2 x2 0 7. Cho phương trình : x 2 m 1 x 5m 6 0 Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức: 4 x1 3x2 1 8.Cho phương trình : 3 x 2 3m 2 x 3m 1 0 . Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3x1 5x2 6.
<span class='text_page_counter'>(81)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. ài tập áp dụng 1.Cho pt. TÝnh gi¸ trÞ cña m biÕt pt cã hai nghiÖm x1; x2 tho¶: g). e) f). 2.Cho pt. Tìm các giá trị của m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả một trong các hệ thức sau: a). c). b). d). 3. Cho pt. Tìm m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả. Khi đó tìm cụ thể hai nghiệm của pt? 4. a) Tìm k để pt: có hai nghiệm x1; x2 thoả b). T×m. m. để. pt:. cã. hai. nghiÖm. x1;. x2. thhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhffffff fffffffffffffffffffffffhfhfhfhfhhfhfhoả pt có hai nghiệm x1; x2 thoả. Khi đó tìm cụ thể hai nghiệm của pt? 4. a) Tìm k để pt: có hai nghiệm x1; x2 thoả b). T×m. m. để. pt:. cã. hai. nghiÖm. x1;. x2. thhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhffffff fffffffffffffffffffffffhfhfhfhfhhfhfho¶ pt có hai nghiệm x1; x2 thoả. Khi đó tìm cụ thể hai nghiệm của pt? 4. a) Tìm k để pt: có hai nghiệm x1; x2 thoả b). T×m. m. để. pt:. cã. hai. nghiÖm. x1;. x2. thhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhffffff fffffffffffffffffffffffhfhfhfhfhhfhfho¶. c) Tìm k để pt: có hai nghiệm x1; x2 thoả d) Tìm m để pt: có hai nghiệm x1; x2 thoả 5. Gäi x1; x2 lµ hai nghiÖm kh¸c 0 cña pt:. Chøng minh: 6.Cho phương trình :.
<span class='text_page_counter'>(82)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. CHỦ ĐỀ 5. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH.
<span class='text_page_counter'>(83)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. 1. Phương pháp chung - Chọn ẩn số và xác định điều kiện của ẩn số (đơn vị tính). ẩn số thường là đại lượng chưa biết trong bài toán. Việc chọn một ẩn số hay hai ẩn số tuỳ thuộc vào số đại lượng chưa biÕt trong bµi to¸n - Biểu diễn mối tương quan giữa đại lượng đã biết và đại lượng chưa biết - Lập phương trình (hay hệ phương trình) - Giải phương trình (hay hệ phương trình) - Nhận định kết quả và trả lời Dạng 1: Các bài toán về chuyển động - Dựa vào quan hệ của ba đại lượng S: quãng đường; t: thời gian; v: vận tốc của vật chuyển động đều trong công thức S = v.t - Dựa vào nguyên lí cộng vận tốc: Ví dụ khi giải bài toán chuyển động thuyền trên sông ta có: v1 = v0 + v3; v2 = v0 – v3 trong đó v1 là vận tốc thuyền đi xuôi dòng, v2 là vận tốc thuyền đi ngược dòng, v0 là vận tốc riêng của thuyền, v3 lµ vËn tèc dßng ch¶y 1. Hai tỉnh A và B cách nhau 180 km. Cùng một lúc, một ôtô đi từ A đến B và một xe máy đi từ B về A. Hai xe gặp nhau tại thị trấn C. Từ C đến B ôtô đi hết 2 giờ , còn từ C về A xe máy đi hết 4 giờ 30 phút. Tính vận tốc của mỗi xe biết rằng trên đường AB hai xe đều chạy với vận tốc không đổi 2. Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B rồi lại ngược dòng từ bến B về bến A mất tất cả 4 giờ. Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng, biết rằng quãng sông AB dài 30 km và vận tốc dòng nước là 4 km/h. 3. Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc 30 km/h, sau đó lại ngựơc từ B trở về A. Thời gian xuôi ít hơn thời gian đi ngược 1 giờ 20 phút. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc dòng nước là 5 km/h 4. Một người chuyển động đều trên một quãng đường gồm một đoạn đường bằng và một đoạn đường dốc. Vận tốc trên đoạn đường bằng và trên đoạn đường dốc tương ứng là 40 km/h vµ 20 km/h. BiÕt r»ng ®o¹n ®êng dèc ng¾n h¬n ®o¹n ®êng b»ng lµ 110km vµ thêi gian để người đó đi cả quãng đường là 3 giờ 30 phút. Tính chiều dài quãng đường người đó đã ®i. 5. Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ A đến B. Xe tảI đi với vận tốc 30 km/h, xe con ®i víi vËn tèc 45 km/h. Sau khi ®i ®îc. 3 qu·ng ®êng AB, xe con t¨ng vËn tèc thªm 5 4. km/h trên quãng đường còn lại. Tính quãng đường AB biết rằng xe con đến B sớm hơn xe t¶i 2giê 20 phót. 6. Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 33 km với một vận tốc xác định. Khi từ B về A người đó đi bằng con đường khác dài hơn trước 29 km nhưng với vận tốc lớn hơn vận tốc lóc ®i 3 km/h. TÝnh vËn tèc lóc ®i, biÕt r»ng thêi gian vÒ nhiÒu h¬n thêi gian ®i lµ 1 giê 30 phót. 7. Hai địa điểm A,B cách nhau 56 Km. Lúc 6h45phút một người đi xe đạp từ A với vận tốc 10 Km/h. Sau đó 2 giờ một người đi xe đạp từ B đến A với vận tốc 14 Km/h. Hỏi đến mấy giờ hä gÆp nhau vµ chç gÆp nhau c¸ch A bao nhiªu Km ? 8. Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 15 km/h. Sau đó một thời gian, một người đi xe máy cũng xuất phát từ A với vận tốc 30 km/h và nếu không có gì thay đổi thì sẽ đuổi kịp người đi xe máy tại B. Nhưng sau khi đi được nửa quãng đường AB, người đi xe đạp giảm bít vËn tèc 3 km/h nªn hai ngßi gÆp nhau t¹i C c¸ch B 10 km. TÝnh qu·ng ®êng AB.
<span class='text_page_counter'>(84)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. 9. Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình là 30 km/h. Khi đến B người đó nghỉ 20 phót råi quay trë vÒ A víi vËn tèc trung b×nh lµ 24 km/h. TÝnh qu·ng ®êng AB biÕt r»ng thêi gian c¶ ®i lÉn vÒ lµ 5 giê 50 phót. 10. Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc trung bình 30 Km/h, sau đó ngược từ B về A. Thời gian đi xuôi ít hơn thời gian đi ngược là 40 phút. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc dòng nước là 3 Km/h và vận tốc riêng của ca nô là không đổi . 11. Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vvận tốc trung bình là 40 km/h . Lúc đầu ô tô đi với vận tốc đó, khi còn 60 km nữa thì được một nửa quãng đường AB, người lái xe tăng vận tốc thêm 10 km/h trên quãng đường còn lại. Do đó ô tô đến tỉnh B sớm hơn 1 giờ so với dự định. Tính quãng đường AB. 12. Hai ca nô khởi hành cùng một lúc và chạy từ bến A đến bến B. Ca nô I chạy với vận tốc 20 km/h, ca nô II chạy với vận tốc 24 km/h. Trên đường đi ca nô II dừng lại 40 phút, sau đó tiếp tục chạy. Tính chiều dài quãng đường sông AB biết rằng hai ca nô đến B cùng một lúc . 13. Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50 km. Sau đó 1 giờ 30 phút, một người đi xe máy cũng đi từ A và đến B sớm hơn 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng vận tốc của xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp. 14. Một ca nô chạy trên sông trong 7 giờ, xuôi dòng 108 km và ngược dòng 63 km. Một lần khác, ca nô đó cũng chạy trong 7 giờ, xuôi dòng 81 km và ngược dòng 84 km. Tính vận tốc dòng nước chảy và vận tốc riêng (thực) của ca nô. 15. Mét tÇu thuû ch¹y trªn mét khóc s«ng dµi 80 km, c¶ ®i vµ vÒ mÊt 8 giê 20 phót. TÝnh vËn tốc của tầu khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc dòng nước là 4 km/h. 16. Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A. Sau đó 5 giờ 20 phút một chiếc ca nô chạy từ bÕn s«ng A ®uæi theo vµ gÆp chiÕc thuyÒn t¹i mét ®iÓm c¸ch bÕn A 20 km. Hái vËn tèc cña thuyÒn, biÕt r»ng ca n« ch¹y nhanh h¬n thuyÒn 12 km/h. 17. Một ôtô chuyển động đều với vận tốc đã định để đi hết quãng đường dài 120 km trong một thời gian đã định. Đi được một nửa quãng đường xe nghỉ 3 phút nên để đến nơi đúng giờ, xe ph¶i t¨ng vËn tèc thªm 2 km/h trªn nöa qu·ng ®êng cßn l¹i. TÝnh thêi gian xe l¨n b¸nh trªn ®êng. 18. Một ôtô dự định đi từ A đén B cách nhau 120 km trong một thời gian quy định. Sau khi đi được 1 giờ ôtô bị chắn đường bởi xe hoả 10 phút. Do đó, để đến B đúng hạn, xe phải tăng vËn tèc thªm 6 km/h. TÝnh vËn tèc lóc ®Çu cña «t«. 19. Một người đi xe đạp từ A đến B trong một thời gian đã định. Khi còn cách B 30 km, người đó nhận thấy rằng sẽ đến B chậm nửa giờ nếu giữ nguyên vận tốc đang đi, nhưng nếu tăng vận tốc thêm 5 km/h thì sẽ tới đích sớm hơn nửa giờ.Tính vận tốc của xe đạp tren quãng đường đã đi lúc đầu. 20. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B cách nhau 300 km. Ô tô thứ nhất mỗi giờ chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm hơn ô tô thứ hai 1 giờ. Tính vận tốc mỗi xe « t« . 21. Một ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h. Sau khi đi được. 2 qu·ng ®êng víi vËn 3. tốc đó, vì đường khó đi nên người lái xe phải giảm vận tốc mỗi giờ 10 km trên quãng đường còn lại. Do đó ô tô đến B chậm 30 phút so với dự định. Tính quãng đường AB 22. Một ô tô dự định đi từ A đền B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm mất 2 giờ . Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ . Tính quãng đờng AB và thời gian dự định đi lúc đầu . 23. Quãng đờng AB dài 180 km. Cùng một lúc hai ôtô khởi hành từ A để đến B. Do vận tốc của ôtô thứ nhất hơn vận tốc của ôtô thứ hai là 15 km/h nên ôtô thứ nhất đến sớm hơn ôtô thứ hai 2h. TÝnh vËn tèc cña mçi «t«?.
<span class='text_page_counter'>(85)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. 24. Khoảng cách giữa hai thành phố A và B là 180 km. Một ô tô đi từ A đến B, nghỉ 90 phút ở B rồi trở lại từ B về A. Thời gian từ lúc đi đến lúc trở về là 10 giờ. Biết vận tốc lúc về kém vận tèc lóc ®i lµ 5 km/h. TÝnh vËn tèc lóc ®i cña « t«. 25. Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24 km, cùng lúc đó cũng từ A một bè nứa trôi với vận tốc dòng nước 4 km/h. Khi đến B ca nô quay lại ngay và gặp bè nứa trôi tại một địa điểm C cách A là 8 km. Tính vận tốc thực của ca nô. 26. Khoảng cách giữa hai tỉnh A và B là 108 km. Hai ô tô cùng khởi hành một lúc đi từ A đến B, mỗi giờ xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 6 km nên đến B trước xe thứ hai 12 phút. TÝnh vËn tèc mçi xe 27. Hai địa điểm A, B cách nhau 56km. Lúc 6h45' một người đi từ A với vận tốc 10km/h. Sau 2h, một người đi xe đạp từ B tới A với vận tốc 14km/h . Hỏi đến mấy giờ thì họ gặp nhau, chç gÆp nhau c¸ch A bao nhiªu km 28. Một ca nô xuôi từ A đến B với vận tốc 30km/h, sau đó ngược từ B trở về A. Thời gian đi xuôi ít hơn thời gian đi ngược là 40'. Tính khoảng cách giữa A và B. Biết vận tốc ca nô không đổi, vận tốc dòng nước là 3km/h. 29. Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50km. Sau 1h30' một người đi xe máy cũng từ A và đến B sớm hơn một giờ. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng vận tốc xe máy gấp 2,5 lần xe đạp. Dạng 2: Các bài toán về năng suất lao động Dựa vào quan hệ ba đại lượng: N: năng suất lao động (khối lượng công việc hoàn thành trong một đơn vị thời gian); t: thời gian để hoàn thành một công việc; s: lượng công việc đã làm thì N =. s t. 1. Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì làm xong trong 4 giờ. Nếu mỗi đội làm một mình để làm xong công việc ấy, thì đội thứ nhất cần thời gian ít hơn so với đội thứ hai là 6 giờ. Hỏi mỗi đội làm một mình xong công việc ấy trong bao lâu? 2. Một xí nghiệp đóng giầy dự định hoàn thành kế hoạch trong 26 ngày. Nhưng do cải tiến kỹ thuật nên mỗi ngày đã vượt mức 6000 đôi giầy do đó chẳng những đã hoàn thành kế hoạch đã định trong 24 ngày mà còn vượt mức 104 000 đôi giầy. Tính số đôi giầy phải làm theo kế ho¹ch. 3. Một cơ sở đánh cá dự định trung bình mỗi tuần đánh bắt được 20 tấn cá, nhưng đã vượt mức được 6 tấn mỗi tuần nên chẳng những đã hoàn thành kế hoạch sớm 1 tuần mà còn vượt mức kế hoạch 10 tấn. Tính mức kế hoạch đã định 4. Một đội xe cần chuyên chở 36 tấn hàng. Trước khi làm việc đội xe đó được bổ sung thêm 3 xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn 1 tấn so với dự định. Hỏi đội xe lúc đầu có bao nhiêu xe ? Biết rằng số hàng chở trên tất cả các xe có khối lượng bằng nhau. 5. Hai tæ s¶n xuÊt cïng nhËn chung mét møc kho¸n. NÕu lµm chung trong 4 giê tæ 1 vµ 6 giê cña tæ 2 th× hoµn thµnh ®îc. 2 mức khoán. Nếu để mỗi tổ làm riêng thì tổ này sẽ làm 3. xong møc kho¸n th× mçi tæ ph¶i lµm trong bao l©u ? 6. Hai tổ công nhân làm chung trong 12 giờ sẽ hoàn thành xong công việc đã định. Họ làm chung víi nhau trong 4 giê th× tæ thø nhÊt ®îc ®iÒu ®i lµm viÖc kh¸c, tæ thø hai lµm nèt c«ng viÖc cßn l¹i trong 10 giê. Hái tæ thø hai lµm mét m×nh th× sau bao l©u sÏ hoµn thµnh c«ng viÖc. 7. Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong . Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì họ làm được 25% côngviệc . Hỏi mỗi người làm công việc đó trong mÊy giê th× xong ..
<span class='text_page_counter'>(86)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. 8. Theo kÕ ho¹ch, mét tæ c«ng nh©n ph¶i s¶n xuÊt 360 s¶n phÈm. §Õn khi lµm viÖc, do ph¶i điều 3 công nhân đi làm việc khác nên mỗi công nhân còn lại phải làm nhiều hơn dự định 4 sản phẩm. Hỏi lúc đầu tổ có bao nhiêu công nhân ? Biết rằng năng suất lao động của mỗi c«ng nh©n lµ nh nhau. 9. Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ 2 làm 6 giờ thì họ làm được 25% công việc. Hỏi mỗi người làm một mình công việc đó trong mấy giời thì xong ?. 10. Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất được 800 sản phẩm. Sang tháng thứ hai tổ 1 vượt 15%.tổ 2 vượt 20%. Do đó cuối tháng cả hai tổ xản xuất đựoc 945 sản phẩm. Tính xem trong tháng thø nhÊt mçi tæ s¶n xuÊt ®îc bao nhiªu s¶n phÈm 11. Trong tháng giêng hai tổ sản xuất được 720 chi tiết máy. Trong tháng hai, tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 12% nên sản xuất được 819 chi tiết máy. Tính xem trong tháng giêng mçi tæ s¶n xuÊt ®îc bao nhiªu chi tiÕt m¸y ? 12. Năm ngoái tổng số dân của hai tỉnh A và B là 4 triệu người. Dân số tỉnh A năm nay tăng 1,2%, còn tỉnh B tăng 1,1%. Tổng số dân của cả hai tỉnh năm nay là 4 045 000 người. Tính sè d©n cña mçi tØnh n¨m ngo¸i vµ n¨m nay ?. Dạng 3: Các bài toán về làm chung – làm riêng, vòi nước chảy chung – chảy riêng ... Dùa vµo kÕt qu¶ sau - NÕu x giê (hoÆc ngµy) lµm xong c«ng viÖc th× mçi giê (hoÆc ngµy) lµm ®îc. 1 công việc đó x. 1 công việc, đối tượng B làm được x 1 1 1 công việc thì lượng công việc mà cả hai làm được trong 1 giờ là + công y y x. - Nếu trong 1 giờ: Đối tượng A làm được. viÖc - NÕu mçi giê lµm ®îc. 1 a c«ng viÖc th× a giê lµm ®îc c«ng viÖc x x. 1. Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không chứa nước đã làm đầy bể trong 5 giờ 50 phót. NÕu ch¶y riªng th× vßi thø hai ch¶y ®Çy bÓ nhanh h¬n vßi thø nhÊt lµ 4 giê. Hái nÕu ch¶y riªng th× mçi vßi ch¶y trong bao l©u sÏ ®Çy bÓ ? 2. Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước và chảy đầy bể mất 1 giờ 48 phút. NÕu ch¶y riªng, vßi thø nhÊt ch¶y ®Çy bÓ nhanh h¬n vßi thø hai trong 1 giê 30 phót. Hái nÕu ch¶y riªng th× mçi vßi sÏ ch¶y ®Çy bÓ trong bao l©u ? 3. Một máy bơm muốn bơm đầy nước vào một bể chứa trong một thời gian quy định thì mỗi giê ph¶i b¬m ®îc 10 m3. Sau khi b¬m ®îc. 1 thể tích bể chứa, máy bơm hoạt động với 3. công suất lớn hơn, mỗi giờ bơm được 15 m3. Do vậy so với quy định, bể chứa được bơm đầy trước 48 phút. Tính thể tích bể chứa. 4. Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể chứa không có nước thì sau 1 giờ 30 phút sẽ ®Çy bÓ. NÕu më vßi thø nhÊt trong 15 phót råi kho¸ l¹i vµ më vßi thø hai ch¶y tiÕp trong 20 phót th× sÏ ®îc. 1 bÓ. Hái mçi vßi ch¶y riªng th× sau bao l©u sÏ ®Çy bÓ ? 5.
<span class='text_page_counter'>(87)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. 5. Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể chứa không có nước thì sau 2 giờ 55 phút sẽ đầy bÓ. NÕu ch¶y riªng th× vßi thø nhÊt ch¶y ®Çy bÓ nhanh h¬n vßi thø hai 2 giê. Hái nÕu ch¶y riªng th× mçi vßi ch¶y ®Çy bÓ trong bao l©u ? 6. Hai vòi nước cùng chảy vào bể thì sau 4 giờ 48 phút thì đầy. Nðu chảy cùng một thời gian như nhau thì lượng nước của vòi II bằng. 2 lượng nước của vòi I chảy được. Hỏi mỗi vòi 3. ch¶y riªng th× sau bao l©u ®Çy bÓ 7. Nếu mở cả hai vòi nước chảy vào mệt bể cạn thì sau 2 giờ 55phút bể đầy bể. Nếu mở riêng tõng vßi th× vßi thø nhÊt lµm ®Çy bÓ nhanh h¬n vßi thø hai lµ hai giê. Hái nÕu më riªng tõng vßi th× mçi vßi ch¶y bao l©u ®Çy bÓ ?. Dạng 4: Các bài toán sắp xếp, chia đều sản phẩm (hàng hóa ...) Như dạng 2: Chẳng hạn với ba đại lượng: N: số lượng hàng hoá phân phối cho mỗi xe; t: là số xe chở hàng; s: tổng số lượng hàng hoá trong kho thì N =. s t. 1. Hai đội bóng bàn của hai trường A, B thi đấu giao hữu để chuẩn bị tranh giải toàn tỉnh. Biết rằng mỗi đấu thủ của đội trường A phải lần lượt gặp các đối thủ của trường B một lần và số trận đấu gấp 2 lần tổng số đấu thủ của 2 đội. Tìm số đấu thủ của mỗi trường. 2. Trong mét cuéc gÆp mÆt häc sinh giái cã 35 b¹n häc sinh giái v¨n vµ to¸n tham dù. C¸c học sinh giỏi văn tính số người quen của mình là các bạn học sinh giỏi toán và nhận thấy r»ng : b¹n thø nhÊt quen 6 b¹n; B¹n thø 2 quen 7 b¹n; B¹n thø 3 quen 8 b¹n ; ... vµ cø thÕ b¹n cuèi cïng quen tÊt c¶ c¸c b¹n häc sinh giái to¸n. TÝnh sè häc sinh giái v¨n, giái to¸n. BiÕt r»ng kh«ng cã häc sinh nµo võa giái v¨n võa giái to¸n. 3. Trong một buổi liên hoan, một lớp khách mời 15 khách đến dự. Vì lớp đã có 40 học sinh nên phải kê thêm một dãy ghế nữa và mỗi dãy ghế phải ngồi thêm một nữa thì mới đủ chỗ ngồi. Biết rằng mỗi dãy ghế đều có số người ngồi như nhau và ngồi không quá năm người. Hái líp häc lóc ®Çu cã bao nhiªu d·y ghÕ 4. Mét ®oµn gåm 50 häc sinh qua s«ng cïng mét lóc b»ng 2 lo¹i thuyÒn : Lo¹i thø nhÊt, mçi thuyÒn chë ®îc 5 em vµ lo¹i thø 2 chë ®îc 7 em mçi thuyÒn. Hái sè thuyÒn mçi lo¹i ? 5. Hai đội cờ thi đấu với nhau. Mỗi đấu thủ của đội này phải đấu một ván với mỗi đấu thủ của đội kia. Biết rằng tổng số ván cờ đã đấu bằng bình phương số đấu thủ của đội thứ nhất cộng với số đấu thủ của đội thứ hai. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu đấu thủ ? 6. Mét khèi líp tæ chøc ®i tham quan b»ng « t«. Mçi xe chë 22 häc sinh th× cßn thõa 1 häc sinh. Nếu bớt đi 1 ôtô thì có thể xếp đều các học sinh trên các ôtô còn lại. Hỏi lúc đầu có bao nhiªu «t«, bao nhiªu häc sinh. Mçi xe chë kh«ng qu¸ 32 häc sinh. 7. Một nhà máy dự định sản xuất chi tiết máy trong thời gian đã định và dự định sẽ sản xuất 300 chi tiết máy trong một ngày. Nhưng thực tế mỗi ngày đã làm thêm được 100 chi tiết, nên đã sản xuất thêm được tất cả là 600 chi tiết và hoàn thành kế hoạch trước 1 ngày. Tính số chi tiết máy dự định sản xuất. 8. Một đội xe cần chuyên chở 120 tấn hàng. Hôm làm việc có 2 xe phải điều đi nơi khác nên mỗi xe phải chở thêm 16 tấn. Hỏi đội có bao nhiêu xe ? 9. Hai tổ học sinh trồng được một số cây trong sân trường. Nếu lấy 5 cây của tổ 2 chuyển cho tæ mét th× sè c©y trång ®îc cña c¶ hai tæ sÏ b»ng nhau. NÕu lÊy 10 c©y cña tæ mét chuyÓn cho tổ hai thì số cây trồng được của tổ hai sẽ gấp đôi số cây của tổ một. Hỏi mỗi tổ trồng ®îc bao nhiªu c©y ? 10. Hai hợp tác xã đã bán cho nhà nước 860 tấn thóc. Tính số thóc mà mỗi hợp tác xã đã bán cho nhà nước. Biết rằng 3 lần số thóc hợp tác xã thứ nhất bán cho nhà nước nhiều hơn hai lÇn sè thãc hîp t¸c x· thø hai b¸n lµ 280 tÊn.
<span class='text_page_counter'>(88)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. 11. Để chở một số bao hàng bằng ôtô, người ta nhận thấy nếu mỗi xe chở 22 bao thì còn thừa một bao. Nếu bớt đi một ôtô thì có thể phân phối đều các bao hàng cho các ôtô còn lại. Hỏi lóc ®Çu cã bao nhiªu «t« vµ tÊt c¶ cã bao nhiªu bao hµng. BiÕt r»ng mçi «t« chØ chë ®îc không quá 32 bao hàng (giả thiết mỗi bao hàng có khối lượng như nhau) 12. Mỗi người dán tất cả tem của mình vào một quyển vở. Nếu dán 20 tem trên một tờ thì quyển vở không đủ để dán hết số tem. Còn nếu mỗi tờ dán 23 tem thì ít nhất một tờ trong quyển vở còn bị bỏ trống. Nếu giả sử cũng trên quyển vở đó mà trên một tờ dán 21 tem thì tổng số tem dán trên quyển vở đó với số tem thực có của người đó là 500 tem. Hỏi quyển vở đó có bao nhiêu tờ và số tem người đó có ?. D¹ng 5: C¸c bµi to¸n t×m sè Dùa vµo mèi liªn hÖ gi÷a c¸c hµng trong mét sè Chó ý: ab 10a b ; abc 100a 10b c. 1. Nếu tử số của một phân số được tăng gấp đôi và mẫu số thêm 8 thì giá trị của phân số bằng 1 5 . NÕu tö sè thªm 7 vµ mÉu sè t¨ng gÊp 3 th× gi¸ trÞ ph©n sè b»ng . Tìm phân số đó. 4 24. 2. Tìm một số N gồm 2 chữ số, biết rằng tổng các bình phương hai chữ số bằng số đó cộng thêm tích hai chữ số. Nếu thêm 36 vào số đó thì được một số có hai chữ số mà các chữ số viết thứ tự ngược lại. 3. Tìm một số có 2 chữ số biết rằng nếu đem số đó chia cho tổng các chữ số của nó thì được thương là 4 và dư là 3. Còn nếu đem số đó chia cho tích các chữ số của nó thì được thương lµ 3 vµ d lµ 5. 4. Tìm một số gồm ba chữ số sao cho khi ta lấy chữ số hàng đơn vị đặt về bên trái của một số gồm hai chữ số còn lại, ta được một có ba chữ số lớn hơn số ban đầu 765 đơn vị.. D¹ng 6: C¸c bµi to¸n cã néi dung h×nh häc Chú ý đến các hệ thức lượng trong tam giác, các công thức tính chu vi, diÖn tÝch ... cña c¸c h×nh ... 1. Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 280 m. Người ta làm lối đi xung quanh vườn (thuộc đất trong vườn) rộng 2 m. Tính kích thước của vườn, biết rằng đất còn lại trong vườn để trång trät lµ 4256 m2. 2. Cho mét h×nh ch÷ nhËt. NÕu t¨ng chiÒu dµi lªn 10 m, t¨ng chiÒu réng lªn 5 m th× diÖn tÝch t¨ng 500 m2. NÕu gi¶m chiÒu dµi 15 m vµ gi¶m chiÒu réng 9 m th× diÖn tÝch gi¶m 600 m2. TÝnh chiÒu dµi, chiÒu réng ban ®Çu. 3. Cho mét tam gi¸c vu«ng. NÕu t¨ng c¸c c¹nh gãc vu«ng lªn 2 cm vµ 3 cm th× diÖn tÝch tam gi¸c t¨ng 50 cm2. NÕu gi¶m c¶ hai c¹nh ®i 2 cm th× diÖn tÝch sÏ gi¶m ®i 32 cm2. TÝnh hai c¹nh gãc vu«ng.. D¹ng 7: Tổng hợp 1. Một ô tô đi từ A đến B với một vận tốc xác định và trong một thời gian đã định. Nếu vận tốc ô tô gi¶m 10 km/ h th× thêi gian t¨ng 45 phót. NÕu vËn tèc « t« t¨ng 10 km/ h th× thêi gian gi¶m 30 phót. Tính vận tốc và thời gian dự định đi của ô tô..
<span class='text_page_counter'>(89)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. 2. Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tổng cộng 360 dụng cụ. Thực tế, xí nghiệp I vượt mức kế hoạch 10%, xí nghiệp II vượt mức kế hoạch 15%, do đó cả hai xí nghiệp đã làm được 404 dụng cụ. TÝnh sè dông cô mçi xÝ nghiÖp ph¶i lµm theo kÕ ho¹ch.. 3. Một công nhân dự định làm 72 sản phẩm trong một thời gian đã định. Nhưng thực tế xí nghiệp lại giao 80 sản phẩm. Mặc dù người đó mỗi giờ đã làm thêm một sản phẩm so với dự kiến, nhưng thời gian hoàn thành công việc vẫn chậm so với dự định là 12 phút. Tính số sản phẩm dự kiến làm trong 1 giờ của người đó. Biết mỗi giờ người đó làm không quá 20 sản phẩm.. 4. Một xe khách và một xe du lịch khởi hành đồng thời từ A để đi đến B. Biết vận tốc của xe du lịch lớn hơn vận tốc xe khách là 20 km/h. Do đó nó đến B trước xe khách 50 phút. Tính vận tốc mỗi xe, biÕt qu·ng ®êng AB dµi 100km. 5. Theo kế hoạch, một công nhân phải hoàn thành 60 sản phẩm trong thời gian nhất định. Nhưng do cải tiến kĩ thuật nên mỗi giờ người công nhân đó đã làm thêm được 2 sản phẩm. Vì vậy, chẳng những hoàn thành kế hoạch sớm hơn dự định 30 phút mà còn vượt mức 3 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch, mỗi giờ người đó phải làm bao nhiêu sản phẩm.. 6. Để hoàn thành một công việc, hai tổ phải làm chung trong 6 giờ. Sau 2 giờ làm chung thì tổ II được điều đi làm việc khác, tổ I đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu sẽ xong công việc đó.. 7. Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 48 m. Nếu tăng chiều rộng lên bốn lần và chiều dài lên ba lần thì chu vi của khu vườn sẽ là 162 m. Hãy tìm diện tích của khu vườn ban đầu.. 8. Một người đi xe máy từ A đến B. Vì có việc gấp phải đến B trước thời gian dự định là 45 phút nên người đó tăng vận tốc lên mỗi giờ 10 km. Tính vận tốc mà người đó dự định đi, biết quãng đường AB dµi 90 km.. 9. Một đội công nhân hoàn thành một công việc với mức 420 ngày công thợ (nghĩa là nếu công việc đó chỉ có một người làm thì phải mất 420 ngày). Hãy tính số công nhân của đội biết rằng nếu đội tăng thêm 5 người thì số ngày để đội hoàn thành công việc sẽ giảm đi 7 ngày..
<span class='text_page_counter'>(90)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. (trÝch §Ò thi Tèt nghiÖp THCS 1999 - 2000, tØnh VÜnh Phóc). 10. Hai lớp 9A và 9B cùng tham gia lao động vệ sinh sân trường thì công việc hoàn thành sau 1 giê 20 phót. NÕu mçi líp chia nhau lµm nöa c«ng viÖc th× thêi gian hoµn tÊt lµ 3 giê. Hái nÕu mçi líp lµm mét m×nh th× ph¶i mÊt bao nhiªu thêi gian.. 11. Người ta muốn làm một chiếc thùng tôn hình trụ không có lắp có bán kính đáy là 25 cm, chiều cao của thùng là 60 cm. Hãy tính diện tích tôn cần dùng (không kể mép nối). Thùng tôn đó khi chứa đầy nước thì thể tích nước chứa trong thùng là bao nhiêu.. 12. Mét tam gi¸c cã chiÒu cao b»ng. 3 cạnh đáy. Nếu tăng chiều cao thêm 3 dm, giảm cạnh đáy đi 4. 2 dm thì diện tích của nó tăng thêm 12 dm2. Tính chiều cao và cạnh đáy của tam giác. (trÝch §Ò thi tuyÓn sinh THPT 1999-2000, ngµy 09- 07- 1999, tØnh VÜnh Phóc). 13. Một đội xe vận tải phải vận chuyển 28 tấn hàng đến một địa điểm qui định. Vì trong đội có 2 xe phải điều đi làm việc khác nên mỗi xe phải chở thêm 0,7 tấn hàng nữa. Tính số xe của đội lúc đầu. (trÝch §Ò thi tuyÓn sinh THPT 1999-2000, ngµy 10- 07- 1999, tØnh VÜnh Phóc). 14. Ba ô tô chở 100 tấn hàng tổng cộng hết 40 chuyến. Số chuyến thứ nhất chở gấp rưỡi số chuyÕn xe thø hai. Mçi chuyÕn, xe thø nhÊt chë 2 tÊn, xe thø hai chë 2,5 tÊn, xe thø ba chë 3 tÊn. TÝnh xem mçi « t« chë bao nhiªu chuyÕn. (trÝch §Ò thi tuyÓn sinh THPT 2000-2001, ngµy 02- 08- 2000, tØnh VÜnh Phóc). 15. Ba chiếc bình có thể tích tổng cộng là 132 lít. Nếu đổ đầy nước vào bình thứ nhất rồi lấy nước đó đổ vào hai bình kia thì: Hoặc bình thứ ba đầy nước, còn bình thứ hai chỉ được một nửa bình. Hoặc bình thứ hai đầy nước, còn bình thứ ba chỉ được một phần ba bình. (Coi như trong quá trình đổ nước từ bình này sang bình kia lượng nước hao phí bằng không). Hãy xác định thể tích của mỗi bình. (trÝch §Ò thi tuyÓn sinh THPT 2000-2001, ngµy 03- 08- 2000, tØnh VÜnh Phóc).
<span class='text_page_counter'>(91)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. 16. Một người đi xe máy từ A tới B. Cùng một lúc một người khác cũng đi xe máy từ B tới A với vận tèc b»ng. 4 vận tốc của người thứ nhất. Sau 2 giờ hai người gặp nhau. Hỏi mỗi người đi cả quãng 5. ®êng AB hÕt bao l©u? (trÝch §Ò thi tuyÓn sinh THPT 2001-2002, ngµy 22- 07- 2001, tØnh VÜnh Phóc) 17. Một thửa ruộng hình chữ nhật có diện tích là 100 m2. Tính độ dài các cạnh của thửa ruộng. Biết r»ng nÕu t¨ng chiÒu réng cña thöa ruéng lªn 2 m vµ gi¶m chiÒu dµi cña thöa ruéng ®i 5 m th× diÖn tÝch cña thöa ruéng sÏ t¨ng thªm 5 m2. (trÝch §Ò thi tuyÓn sinh THPT 2002-2003, ngµy 03- 08- 2002, tØnh VÜnh Phóc). 18. Tìm hai số biết rằng tổng của hai số đó bằng 17 đơn vị. Nếu số thứ nhất tăng thêm 3 đơn vị, số thứ hai tăng thêm 2 đơn vị thì tích của chúng bằng 105 đơn vị. (trÝch §Ò thi tuyÓn sinh THPT 2003-2004, ngµy 14- 07- 2003, tØnh VÜnh Phóc). 19. Một ca nô ngược dòng từ bến A đến bến B với vận tốc 20 km/h, sau đó lại xuôi từ bến B trở về bến A. Thời gian ca nô ngược dòng từ A đến B nhiều hơn thời gian ca nô xuôi dòng từ B trở về A là 2 giờ 40 phút. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B. Biết vận tốc dòng nước là 5 km/h, vận tốc riêng của ca nô lúc xuôi dòng và lúc ngược dòng bằng nhau. (trÝch §Ò thi tuyÓn sinh THPT 2003-2004, ngµy 15- 07- 2003, tØnh VÜnh Phóc). 20. Người ta dự kiến trồng 300 cây trong một thời gian đã định. Do điều kiện thuận lợi nên mỗi ngày trồng được nhiều hơn 5 cây so với dự kiến, vì vậy đã trồng xong 300 cây ấy trước 3 ngày. Hỏi dù kiÕn ban ®Çu mçi ngµy trång bao nhiªu c©y? (Gi¶ sö sè c©y dù kiÕn trång mçi ngµy lµ b»ng nhau). (trÝch §Ò thi tuyÓn sinh THPT 2004-2005, ngµy 29- 06- 2004, tØnh VÜnh Phóc) 21. Một khu vườn hình chữ nhật, chiều dài lớn hơn chiều rộng 5 m, diện tích bằng 300 m2. Tính chiều dài và chiều rộng của khu vườn. (trÝch §Ò thi tuyÓn sinh THPT 2004-2005, ngµy 30- 06- 2004, tØnh VÜnh Phóc).
<span class='text_page_counter'>(92)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. 22. Cho một hình chữ nhật. Nếu tăng độ dài mỗi cạnh của nó lên 1 cm thì diện tích của hình chữ nhËt sÏ t¨ng thªm 13 cm2. NÕu gi¶m chiÒu dµi ®i 2 cm, chiÒu réng ®i 1 cm th× diÖn tÝch cña h×nh chữ nhật sẽ giảm 15 cm2. Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đã cho. (trÝch §Ò thi tuyÓn sinh THPT 2005-2006, ngµy 06- 07- 2005, tØnh VÜnh Phóc). 23. Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 80 m. Nếu tăng chiều dài thêm 3 m, chiều rộng thêm 5 m thì diện tích của mảnh đất tăng thêm 195 m2. Tính chiều dài, chiều rộng của mảnh đất.. 24. Hai xe máy khởi hành cùng một lúc từ hai tỉnh A và B cách nhau 90 km, đi ngược chiều và gặp nhau sau 1,2 giê (xe thø nhÊt khëi hµnh tõ A, xe thø hai khëi hµnh tõ B). T×m vËn tèc cña mçi xe. Biết rằng thời gian để xe thứ nhất đi hết quãng đường AB ít hơn thời gian để xe thứ hai đi hết quãng ®êng AB lµ 1 giê. (trÝch §Ò thi tuyÓn sinh THPT 2005-2006, ngµy 07- 07- 2005, tØnh VÜnh Phóc). 25. Một xe lửa đi từ ga Hà Nội vào ga Trị Bình (Quảng Ngãi). Sau đó 1 giờ, một xe lửa khác đi từ ga TrÞ B×nh ra ga Hµ Néi víi vËn tèc lín h¬n vËn tèc cña xe thø nhÊt lµ 5 km/h. Hai xe gÆp nhau t¹i mét ga ë chÝnh gi÷a qu·ng ®êng. T×m vËn tèc cña mçi xe löa, biÕt qu·ng ®êng s¾t Hµ Néi- TrÞ B×nh dµi 900km (trích đề thi tốt nghiệp THCS tỉnh Bà Rịa- Vũng Tàu, năm 2004 - 2005) 2 6. Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kĩ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II đã vượt mức 21%. Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch? (trích đề thi tốt nghiệp THCS thành phố Hà Nội, năm 2002- 2003). 27. Hai ôtô khởi hành cùng một lúc trên quãng đường từ A đến B dài120 km. Mỗi giờ ôtô thứ nhất chạy nhanh hơn ôtô thứ hai là 10 km nên đến B trước ôtô thứ hai là. 2 giê. TÝnh vËn tèc cña mçi 5. «t«? (trích đề thi tốt nghiệp THCS tỉnh Bắc Giang, năm 2002- 2003).
<span class='text_page_counter'>(93)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. 28. Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24 km; cùng lúc đó, cũng từ A về B một bè nứa trôi với vận tốc dòng nước là 4 km/h. Khi đến B ca nô quay lại ngay và gặp bè nứa tại địa điểm C cách A là 8 km. Tính vận tốc thực của ca nô. (trÝch §TTS THPT tØnh B¾c Giang, n¨m 2003- 2004). 29. Có 3 đội xây dựng cùng làm chung một công việc. Làm chung được 4 ngày thì đội III được điều động làm việc khác, 2 đội còn lại cùng làm thêm 12 ngày nữa thì hoàn thành công việc. Biết rằng năng suất của đội I cao hơn năng suất của đội II; năng suất của đội III là trung bình cộng của năng suất đội I và năng suất đội II; và nếu mỗi đội làm một mình một phần ba công việc thì phải mất tất cả 37 ngày mới xong. Hỏi nếu mỗi đội làm một mình thì bao nhiêu ngày xong công việc trên. (trÝch §TTS THPT n¨ng khiÕu §HQG TP. Hå ChÝ Minh, n¨m 2003- 2004). 30. Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài bằng. 7 chiÒu réng vµ cã diÖn tÝch b»ng 1792 m2. 4. Tính chu vi của khu vườn ấy. (trÝch tèt nghiÖp THCS TP. Hå ChÝ Minh, n¨m 2003- 2004). 31. Cùng một thời điểm, một chiếc ôtô XA xuất phát từ thành phố A về hướng thành phố B và một chiếc khác XB xuất phát từ thành phố B về hướng thành phố A. Chúng chuyển động với vận tốc riêng không đổi và gặp nhau lần đầu tại một điểm cách A là 20 km. Cả hai chiéc xe sau khi đến B và A tương ứng, lập tức quay trở lại và chúng gặp nhau lần thứ hai tại một điểm C. Biết thời gian xe XB đi từ C đến B là 10 phút và thời gian giữa hai lần gặp nhau là 1 giờ. Hãy tính vận tốc của từng chiÕc «t«. (trÝch §TTS THPT n¨ng khiÕu §HQG TP. Hå ChÝ Minh, n¨m 2004- 2005). 32. §Ó hoµn thµnh mét c«ng viÖc, hai tæ ph¶i lµm chung trong 6 giê. Sau 2 giê lµm chung th× tæ II được điều đi làm việc khác, tổ I đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu sẽ làm xong công việc đó? (trích đề thi tốt nghiệp THCS TP. Hà Nội, năm 2003- 2004). 33. Một xuồng máy xuôi dòng sông 30 km và ngược dòng 28 km hết một thời gian bằng thời gian mµ xuång ®i 59,5 km trªn mÆt hå yªn lÆng. TÝnh vËn tèc cña xuång khi ®i trªn hå biÕt r»ng vËn tèc của nước chảy trong sông là 3 km/h.
<span class='text_page_counter'>(94)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. 34. Nếu mở cả hai vòi nước chảy vào một bể cạn thì sau 2 giờ 55 phút bể đầy nước. Nếu mở riêng tõng vßi th× vßi thø nhÊt lµm ®Çy bÓ nhanh h¬n vßi thø hai lµ 2 giê. Hái nÕu më riªng tõng vßi th× mçi vßi ch¶y bao l©u ®Çy bÓ? 35. Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích là 720 m2, nếu tăng chiều dài thêm 6 m và giảm chiều rộng đi 4 m thì diện tích mảnh vườn không đổi. Tính các kích thước của mảnh vườn. (trÝch §TTS THPT 2005- 2006, tØnh Th¸i B×nh) 36. Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước thì sau 12 giờ bể đầy. Sau khi hai vòi cùng chảy 8 giờ thì người ta khoá vòi I, còn vòi II tiếp tục chảy. Do tăng công suất vòi II lên gấp đôi, nên vòi II đã chảy đầy phần còn lại của bể trong 3 giờ rưỡi. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình với công suất bình thường thì phải bao lâu mới đầy bể?. 37. Mét tam gi¸c cã chiÒu cao b»ng. 2 cạnh đáy. Nếu chiều cao giảm đi 2 dm và cạnh đáy tăng 5. thªm 3 dm th× diÖn tÝch cña nã gi¶m ®i 14 dm2. Tính chiều cao và cạnh đáy của tam giác.. 38. Méi thöa ruéng h×nh ch÷ nhËt cã chu vi 250 m. TÝnh diÖn tÝch cña thöa ruéng biÕt r»ng nÕu chiều dài giảm 3 lần và chiều rộng tăng 2 lần thì chu vi thửa ruộng vẫn không thay đổi.. 39. Nhà trường tổ chức cho 180 học sinh khối 9 đi tham quan di tích lịch sử. Người ta dự tính: Nếu dùng loại xe lớn chuyên chở một lượt hết số học sinh thì phải điều ít hơn nếu dùng loại xe nhỏ là hai chiÕc. BiÕt r»ng mçi xe lín cã nhiÒu h¬n mçi xe nhá lµ 15 chç ngåi. TÝnh sè xe lín, nÕu lo¹i xe đó được huy động.. 40. Một xe máy đi từ A đến B trong một thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng thêm 14 km/ giờ thì đến sớm 2 giờ, nếu giảm vận tốc đi 4 km/ giờ thì đến muộn 1 giờ. Tính vận tốc dự định và thời gian dự định.. 41. Mét tµu thuû ch¹y trªn khóc s«ng dµi 120 km, c¶ ®i vµ vÒ mÊt 6 giê 45 phót. TÝnh vËn tèc cña tàu thuỷ khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 4 km/ h..
<span class='text_page_counter'>(95)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. 42. Một ca nô đi xuôi dòng 48 km rồi đi ngược dòng 22 km. Biết rằng thời gian đi xuôi dòng lớn hơn thời gian đi ngược dòng là 1 giờ và vận tốc đi xuôi lớn hơn vận tốc đi ngược là 5 km/h. Tính vận tốc ca nô lúc đi ngược dòng. (trÝch §TTS THPT chuyªn NguyÔn BØnh Khiªm 2005 - 2006, tØnh VÜnh Long). 43. Một xe ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy mỗi giờ nhanh hơn 10 km thì đến nơi sớm hơn dự định 3 giờ, nếu xe chạy chậm lại mỗi giờ 10 km thì đến nơi chậm nhÊt 5 giê. Tính vận tốc của xe lúc đầu, thời gian dự định và chiều dài quãng đường AB.. 44. Hai đội bóng bàn của hai trường phổ thông thi đấu với nhau. Mỗi cầu thủ của đội này phải thi đấu với mỗi cầu thủ của đội kia một trận. Biết rầng tổng số trận đấu bằng 4 lần tổng số cầu thủ của hai đội và số cầu thủ của ít nhất một trong hai đội là số lẻ. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu cầu thủ?. 45. Mét thöa ruéng h×nh ch÷ nhËt, nÕu t¨ng chiÒu dµi thªm 2m, chiÒu réng thªm 3 m th× diÖn tÝch t¨ng thªm 100 m2. NÕu gi¶m c¶ chiÒu dµi lÉn chiÒu réng ®i 2 m th× diÖn tÝch gi¶m ®i 68 m2. TÝnh diện tích của thửa ruộng đó.. 46. Ba xe ô tô chở 118 tấn hàng tổng cộng hết 50 chuyến. Số chuyến xe thứ nhất chở gấp rưỡi số chuyÕn xe thø hai. Mçi chuyÕn xe thø nhÊt chë 2,5 tÊn, xe thø ba chë 3 tÊn. Hái mçi « t« chë mÊy chuyÕn.. 46. Ba ca nô cùng rời bến sông A một lúc để đến B. Ca nô thứ 2 mỗi giờ đi kém ca nô thứ nhất 3 km nhưng hơn ca nô thứ ba 3km nên đến B sau ca nô thứ nhất 2 giờ, nhưng trước ca nô thứ ba là 3 giê. TÝnh chiÒu dµi qu·ng s«ng AB.. 47. Một bè lứa trôi tự do (trôi theo vận tốc dòng nước) và một ca nô đồng thời rời bến A để suôi dßng s«ng. Ca n« su«i dßng ®îc 96 km th× quay ngay l¹i A. C¶ ®i lÉn vÒ hÕt 14 giê. Trªn ®êng quay vÒ A khi cßn c¸ch A lµ 24 km th× ca n« gÆp chiÕc bÌ løa nãi trªn. TÝnh vËn tèc cña ca n« vµ vận tốc của dòng nước.. 48. Ba vòi nước A, B, C được bắc cùng vào một bể chứa. Các vòi chảy được một lượng nước bằng thể tích của bể theo thời gian chảy được ghi trong các trường hợp sau:.
<span class='text_page_counter'>(96)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. a)Vßi A : 2giê vµ vßi B : 1giê 30 phót; b)Vßi A : 1giê vµ vßi C : 4 giê; c)Vßi B : 3 giê vµ vßi C : 2 giê. Tính thời gian để riêng từng vòi chảy được một lượng bằng thể tích của bể.. 49. Có 2 hộp đựng bi, nếu lấy từ hộp thứ nhất một số bi bằng số bi có trong hộp thứ hai rồi bỏ vào hép thø hai, råi l¹i lÊy tõ hép thø hai mét sè bi b»ng sè bi cßn l¹i trong hép thø nhÊt vµ bá vµo hép thø nhÊt, cuèi cïng lÊy tõ hép thø nhÊt mét sè bi b»ng sè bi cßn l¹i trong hép thø hai vµ bá vµo hép thứ hai. Khi đó số bi trong mỗi hộp đều là 16 viên. Hỏi lúc đầu mỗi hộp có bao nhiêu viên bi?. 50. Ba chiếc bình có thể tích tổng cộng là 120 lít. Nếu đổ đầy nước vào bình thứ nhất rồi rót vào hai bình kia thì hoặc bình thứ ba đầy nước, còn bình thứ hai chỉ được hai đầy nước còn bình thứ ba chỉ được. 1 thÓ tÝch cña nã, hoÆc b×nh thø 2. 1 thể tích của nó. Hãy xác định thể tích của mỗi bình. 3. 51. Hai máy cày có công suất khác nhau cùng làm việc đã cày được. 1 cánh đồng trong 15 giờ. 6. NÕu m¸y thø nhÊt cµy 12 giê, m¸y thø hai cµy trong 20 giê th× c¶ hai m¸y cµy ®îc 20% c¸nh đồng. Hỏi nếu mỗi máy làm việc riêng thì sẽ cày song cánh đồng trong bao lâu?. 52. Hai người cùng làm một công việc như theo cách sau: _Người thứ nhất làm trong. 1 thời gian mà người thứ hai làm một mình xong công vịêc đó. 3. _Tiếp đó người thứ hai làm trong Như vậy cả hai người làm được. 1 thời gian mà người thứ nhất một mình làm xong công việc đó. 3. 13 c«ng viÖc. 18. Tìm thời gian mà mỗi người làm một mình xong công việc đó, biết rằng nếu cả hai người cùng làm thì 3 giờ 36 phút xong công việc đó.. 53. §em mét sè cã hai ch÷ sè nh©n víi tæng c¸c ch÷ sè cña nã th× ®îc 405. Nếu lấy số được viết bởi hai chữ số ấy nhưng theo thứ tự ngược lại nhân với tổng các chữ số của nó thì được 468. Hãy tìm số có hai chữ số đó..
<span class='text_page_counter'>(97)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. 54. Một đoàn học sinh tổ chức đi thăm quan bằng ô tô. Người ta nhận thấy rằng nếu mỗi xe chỉ trở 22 học sinh thì còn thừa 1 học sinh. Nếu bớt đi một ô tô thì có thể phân phối đều các học sinh trên c¸c « t« cßn l¹i. Hái lóc ®Çu cã bao nhiªu « t« vµ cã bao nhiªu häc sinh ®i th¨m quan, biÕt r»ng mçi « t« chØ chë ®îc kh«ng qu¸ 32 häc sinh. 55. Một hình chữ nhật có diện tích 1200 m2. Tính các kích thước của vườn đó, biết rằng nếu tăng chiều dài thêm 5 m và giảm chiều rộng đi 10 m thì diện tích của vườn giảm đi 300m2. 56. Một thửa ruộng hình tam giác có diện tích 180m2. Tính cạnh đáy của thửa ruộng đó, biết rằng nếu tăng cạnh đáy thêm 4 m và giảm chiều cao tương ứng đi 1 m thì diện tích của nó không đổi.. 57. Hai công nhân nếu làm chung thì hoàn tyhành một công việc trong 4 ngày. Người thứ nhất làm một nửa công việc, sau đó người thứ hai làm nốt nửa công việc còn lại thì toàn bộ công việc sẽ được hoàn thành trong 9 ngày. Hỏi nễu mỗi người làm riêng thì sẽ hoàn thành công việc đó trong bao nhiªu ngµy.. 58. Một phòng họp có 100 người được sắp xếp ngồi đều trên các ghế. Nếu có thêm 44 người thì phải kê thêm hai dãy ghế và mỗi dãy ghế phải xếp thêm hai người nữa. Hỏi lúc đầu trong phòng häp cã bao nhiªu d·y ghÕ?. 59. Lúc 6h30 phút một người đi xe máy từ A đến B dài 75km với vận tốc định trước. Đến B người đó nghỉ lại 20 phút rồi quay trở về A với vận tốc lớn hơn vận tốc dự định là 5km/h. Người đó về đến A lúc 12 giờ 20 phút. Tính vận tốc dự dịnh của người đi xe máy.. 60. Hai bến sông A và B cách nhau 40 km. Cùng một lúc một chiếc ca nô xuôi dòng từ A đến B và một chiếc bè cũng trôi từ A đến B với vận tốc 3km/h. Sau khi đến B, ca nô quay về A ngay và gặp chiếc bè ở một địa điểm cách A là 8km. Tính vận tốc của ca nô.. 61. Người ta trộn 4 kg chất lỏng loại I với 3 kg chất lỏng loại II thì được một hỗn hợp có khối lượng riêng là 700kg/m3. Biết rằng khối lượng riêng của chất lỏng loại I lớn hơn khối lượng riêng của chất lỏng loại II là 200kg/m3. Tính khối lượng riêng của mỗi chất lỏng..
<span class='text_page_counter'>(98)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. 62. Một hợp kim gồm đồng và kẽm trong đó có 5 gam kẽm. Nếu thêm 15 gam kẽm vào hợp kim này thì được một hợp kim mới mà trong hợp kim đó lượng đồng đã giảm so với lúc đầu là 30%. Tìm khối lượng ban đầu của hợp kim.. 63. Sè ®êng chÐo cña mét ®a gi¸c låi lµ 230. TÝnh sè c¹nh cña ®a gi¸c nµy.. 64. Một ca nô dự định đi từ A đến B trong thời gian đã định. Nếu vận tốc ca nô tăng 3km/h thì đến nơi sớm hai giờ. Nếu vận tốc ca nô giảm 3km/h thì đến nơi chậm 3 giờ. Tính chiều dài khúc sông AB.. 65. Tính các kích thước của một hình chữ nhật biết rằng nếu tăng chiều dài 3m, giảm chiều rộng 2 m thì diện tích không đổi; nếu giảm chiều dài3 m, tăng chiều rộng 3 m thì diện tích không đổi.. 66. Mét c«ng nh©n ph¶i lµm mét sè dông cô trong mét thêi gian. NÕu mçi ngµy t¨ng 3 dông cô th× hoµn thµnh sím 2 ngµy, nÕu mçi ngµy lµm gi¶m 3 dông cô th× thêi gian ph¶i kÐo dµi 3 ngµy. TÝnh sè dông cô ®îc giao.. 67. Để sửa chữa một quãng đường, cần huy động một số người làm trong một số ngày. Nếu bổ sung thêm 3 người thì thời gian hoàn thành rút được 2 ngày. Nếu rút bớt 3 người thì thời gian hoàn thành phải kéo dài thêm 3 ngày. Tính số người dự định huy động và số ngày dự định hoàn thành c«ng viÖc.. 68. Trong mét trang s¸ch, nÕu t¨ng thªm 3 dßng, mçi dßng bít 2 ch÷ th× sè ch÷ cña trang kh«ng đổi; nếu bớt đi 3 dòng, mỗi dòng tăng thêm 3 chữ thì số chữ của trang cũng không đổi. Tính số chữ trong trang s¸ch.. 69. Một câu lạc bộ có một số ghế quy định. NÕu thªm 3 hµng ghÕ th× mçi hµng bít ®îc 2 ghÕ. NÕu bít ®i ba hµng th× mçi hµng ph¶i thªm 3 ghÕ. TÝnh sè ghÕ cña c©u l¹c bé..
<span class='text_page_counter'>(99)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. 70. Một phòng họp có một số dãy ghế, tổng cộng 40 chỗ. Do phải xếp 55 chỗ nên người ta kê thêm 1 d·y ghÕ vµ mçi d·y xÕp thªm 1 chç. Hái lóc ®Çu cã mÊy d·y ghÕ trong phßng?. 71. Có ba thùng đựng nước. Lần thứ nhất, người ta đổ ở thùng I sang hai thùng kia một số nước bằng số nước ở mỗi thùng đó ®ang cã. Lần thứ hai, người ta đổ ở thùng II sang hai thùng kia một số nước gấp đôi số nước ở mỗi thùng đó đang có. Lần thứ ba, người ta đổ ở thùng III sang hai thùng kia một số nước bằng số nước ở mỗi thùng đó ®ang cã. Cuối cùng mỗi thùng đều có 24 lít nước. Tính số nước ở mỗi thùng có lúc đầu.. 72. Một hình vườn hình chữ nhật có chu vi 450 m. Nếu giảm chiều dài đi chiÒu réng lªn. 1 chiÒu dµi cò, t¨ng 5. 1 chiều rộng cũ thì chu vi hình chữ nhật không đổi. Tính chiều dài và chiều rộng 4. của vườn. 73. Một vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 20 m, diện tích 3500 m2. Tính độ dài hàng rào xung quanh vườn biết rằng người ta chừa ra 1 m để làm cổng ra vào.. 74. Một tuyến đường sắt có một số ga, mỗi ga có một loại vé đến từng ga còn lại. Biết rằng có tất c¶ 210 lo¹i vÐ. Hái tuyÕn ®êng Êy cã bao nhiªu ga?. 75. Hai trường A và B của một thị trấn có 210 học sinh thi đỗ hết lớp 9, đạt tỷ lệ trúng tuyển 84%. Tính riêng thì trường A đỗ 80%, trường B đỗ 90%. Tính xem mỗi trường có bao nhiêu học sinh lớp 9 dự thi?. 76. Dân số của một thành phố hiện nay là 408 040 người, hàng năm dân số tăng 1%. Hỏi hai năm trước đây, dân số thành phố là bao nhiêu?. 77. Møc s¶n xuÊt cña mét xÝ nghiÖp c¸ch ®©y hai n¨m lµ 75000 dông cô mét n¨m, hiÖn nay lµ 90750 dụng cụ một năm. Hỏi năm sau xí nghiệp làm tăng hơn năm trước bao nhiêu phần trăm?.
<span class='text_page_counter'>(100)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. 78. Quãng đường AB gồm một đoạn lên dốc dài 4 km, đoạn xuống dốc dài 5 km. Một người đi xe đạp từ A đến B hết 40 phút và đi từ B về A hết 41 phút (vận tốc lên dốc lúc đi và về như nhau, vận tèc xuèng dèc lóc ®i vµ vÒ nh nhau). TÝnh vËn tèc lóc lªn dèc vµ lóc xuèng dèc.. 79. Một ca nô xuôi khúc sông dài 40 km rồi ngược khúc sông ấy hết 4 giờ rưỡi. Biết thời gian ca nô xuôi 5 km bằng thời gian ngược 4km . Tính vận tốc dòng nước.. 80. Một ca nô đi xuôi dòng 45 km rồi ngược dòng 18 km. Biết rằng thời gian xuôi lâu hơn thời gian ngược 1giờ và vận tốc xuôi lớn hơn vận tốc ngược là 6 km/h. Tính vận tốc của ca nô lúc ngược dòng.. 81. Một người đi xe đạp từ A đến B đường dài 78 km. Sau đó một giờ, người thứ hai đi từ B đến A. Hai người gặp nhau tại C cách B là 36 km. Tính thời gian mỗi người đã đi từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau biết rằng vận tốc người thứ hai lớn hơn vận tốc người thứ nhất là 4 km/h.. 82. Hai công nhân phải làm một số dụng cụ bằng nhau trong cùng một. Người thứ nhất mỗi giờ làm tăng thêm 2 dụng cụ nên hoàn thành công việc trước thời hạn 2 giờ. Người thứ hai mỗi giờ làm tăng 4 dụng cụ nên không những hoàn thành công việc trước thời hạn 3 giờ mà còn làm thêm 6 chiếc nữa. Tính số dụng cụ mỗi người được giao.. 83. Vào thế kỷ thứ III trước Công Nguyên, vua xứ Xiracut giao cho Acsimét kiểm tra xem chiếc mũ bằng vàng của nhà vua có bị pha thêm bạc hay không. Chiếc mũ có trọng lượng 5 Niutơn (theo đơn vị hiện nay), nhúng trong nước thì trọng lượng giảm 0,3 Niutơn. Biết rằng khi cân trong nước, vµng gi¶m. 1 1 trọng lượng, bạc giảm trọng lượng. Hỏi chiếc mũ chứa bao nhiêu gam vàng, 20 10. bao nhiªu gam b¹c? Vật có khối lượng 100 gam thì có trọng lượng 1 Niutơn).. 84. Có hai loại quặng chứa 75% sắt và 50% sắt. Tính khối lượng của mỗi loại quặng đem trộn để ®îc 25 tÊn quÆng chøa 66% s¾t..
<span class='text_page_counter'>(101)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. 85. Hai máy cày làm việc trên một cánh đồng. Nếu cả hai máy cùng cày thì 10 ngày xong công việc. Nhưng thực tế hai máy chỉ cùng làm việc 7 ngày đầu, sau đó máy thứ nhất đi cày nơi khác, m¸y thø hai lµm tiÕp 9 ngµy n÷a th× xong. Hái mçi m¸y lµm viÖc mét m×nh th× trong bao l©u cµy xong cả cánh đồng?. 86. Tìm số có ba chữ số sao cho chia nó cho 11, ta được thương bằng tổng các chữ số của số bị chia.. 87. T×m sè cã bèn ch÷ sè biÕt r»ng ch÷ sè hµng ngh×n vµ hµng tr¨m gièng nhau, ch÷ sè hµng chục và hàng đơn vị giống nhau, số phải tìm có thể viết được thành một tích của ba thừa số, mỗi thõa sè gåm hai ch÷ sè gièng nhau.. 88. Tìm số chính phương có bốn chữ số biết rằng nếu mỗi chữ số giảm đi 1 ta được một số mới cũng là số chính phương.. 89. Nếu thêm 3 vào mỗi chữ số của một số chính phương có bốn chữ số (mỗi chữ số của số chính phương này đều nhỏ hơn 7) ta được một số chính phương mới. Tìm hai số chính phương đó.. 90. Tìm ba số tự nhiên sao cho tổng các nghịch đảo của chúng bằng 2.. 91. Tìm ba số tự nhiên sao cho tổng các nghịch đảo của chúng bằng1.. 92. Tuổi hai anh em cộng lại bằng 21. Tuổi anh hiện nay gấp đôi tuổi em lúc anh bằng tuổi em hiện nay. Tính tuổi mỗi người hiện nay.. 93. Một xí nghiệp dự định điều một số xe để chuyển 120 tạ hàng. Nếu mỗi xe chở thêm 1 tạ so với dự định thì số xe giảm đi 4 chiếc. Tính số xe dự định điều động.. 94. Có hai đội công nhân, mỗi đội phải sửa 10 km đường. Thời gian đội I làm nhiều hơn đội II là 1 ngày. Trong một ngày, mỗi đội làm được bao nhiêu kilômét biết rằng cả hai đội làm được 4,5 km trong mét ngµy..
<span class='text_page_counter'>(102)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. 95. Mét s©n h×nh ch÷ nhËt cã diÖn tÝch 720 m2. NÕu t¨ng chiÒu dµi 6 m, gi¶m chiÒu réng 4 m th× diện tích không đổi. Tính các kích thước của sân.. 96. Một tấm sắt có chu vi 96 cm. Người ta cắt ra ở mỗi góc một hình vuông cạnh 4 cm rồi gấp lên thành một hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích 768 cm3. Tính kích thước của tấm sắt.. 97. Hai đội thuỷ lợi cùng đào một con mương. Nếu mỗi đội làm một mình cả con mương thì thời gian tổng cộng hai đội phải làm là 25 giờ. Nếu hai đội cùng làm thì công việc hoàn thành trong 6 giờ. Tính xem mỗi đội làm một mình xong cả con mương trong bao lâu? 98 T×m hai sè tù nhiªn biÕt tæng cña chóng bµng 59, hai lÇn sè nµy bÐ h¬n ba lÇn sè kia lµ 7. T×m hai số đó. 99: T×m hai sè biÕt r»ng bèn lÇn sè thø hai céng víi n¨m lÇn sè thø nhÊt b»ng 18040, vµ ba lÇn sè sè thø nhÊt h¬n hai lÇn sè thø hai lµ 2002..
<span class='text_page_counter'>(103)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. CHỦ ĐỀ 5. HÌNH HỌC.
<span class='text_page_counter'>(104)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. I. C¸c bµi to¸n h×nh häc ph¼ng. 1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông a) Mét sè hÖ thøc vÒ c¹nh vµ ®êng cao trong tam gi¸c vu«ng Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, ®êng cao AH ta cã c2 = a. c’ b2 = a. b’ h2 = b’. c’ b2 + c2 = a2. c. b. h c'. B. 1 1 1 2 2 2 h b c. a. h = b. c. A. b'. C. H a. b) Tỉ số lượng giác của góc nhọn - Các tỉ số lượng giác của góc nhọn được định nghĩa như sau: c¹nh kÒ c¹nh huyÒn c¹nh kÒ cotg = cạnh đối. cos =. . c¹nh kÒ. - Víi hai gãc vµ phô nhau ta cã sin = cos cos = sin tg = cotg cotg = tg - Một số góc đặc biệt. sin300 cos600 . cạnh đối. cạnh đối c¹nh huyÒn cạnh đối tg = c¹nh kÒ. sin =. 1 2. 3 2 3 t g300 cot g600 3. cos300 sin600 . sin 450 cos450 . 2 2. tg45 0 cot g450 1 co t g300 t g600 3. c) Mét sè hÖ thøc vÒ c¹nh vµ gãc trong tam gi¸c vu«ng Trong mét tam gi¸c vu«ng, mçi c¹nh gãc vu«ng b»ng c¹nh huyÒn nh©n víi sin gãc đối hoặc nhân với côsin góc kề. Mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề d) Mét sè c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c a.h (h lµ ®êng cao øng víi c¹nh a) 2 a.b.sinC b.c.sin A c.a.sinB 2 2 2. S=. S. =. S = p.r (p lµ nöa chu vi, r lµ b¸n kÝnh ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c) S=. a.b.c (R lµ b¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c) 4R. S = p p a p b p c (p lµ nöa chu vi cña tam gi¸c). 2. §êng trßn: a) Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn - Đường tròn tâm O bán kính R (với R > 0) là hình gồm các điểm cách đều điểm O mét kho¶ng b»ng R - Tuú theo OM = R; OM < R; OM > R mµ ta cã ®iÓm M n»m trªn, n»m bªn trong, n»m bªn ngoµi ®êng trßn - Qua ba ®iÓm kh«ng th¼ng hµng, bao giê còng vÏ ®îc mét vµ chØ mét ®êng trßn.
<span class='text_page_counter'>(105)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. - Đường tròn có tâm đối xứng, đó là tâm đường tròn. Đường tròn có vô số trục đối xứng, đó là bất kì đường kính nào của nó b) Đường kính và dây cung của đường tròn. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến d©y - Trong mét ®êng trßn, d©y lín nhÊt lµ ®êng kÝnh - §êng kÝnh vu«ng gãc víi mét d©y th× ®i qua trung ®iÓm cña d©y Êy - §êng kÝnh ®i qua trung ®iÓm cña mét d©y kh«ng ®i qua t©m th× vu«ng gãc víi d©y Êy - Trong một đường tròn: Hai dây bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm. Trong hai d©y kh«ng b»ng nhau, d©y lín h¬n khi vµ chØ khi nã gÇn t©m h¬n c) Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường trßn Căn cứ vào số điểm chung 0, 1, 2 của đường thẳng và đường tròn mà ta định nghĩa c¸c vÞ trÝ: ®êng th¼ng vµ ®êng trßn kh«ng giao nhau; tiÕp xóc nhau; c¾t nhau. øng víi mçi vị trí trên, khoảng cách d từ tâm đường tròn đến đường thẳng và bán kính R của đường tròn có các liên hệ: d > R; d = R; d < R. Ta có các định lí - NÕu mét ®êng th¼ng lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn th× nã vu«ng gãc víi b¸n kÝnh ®i qua tiÕp ®iÓm - NÕu mét ®êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm cña ®êng trßn vµ vu«ng gãc víi b¸n kÝnh ®i qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn d) TÝnh chÊt cña hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau: NÕu hai tiÕp tuyÕn cña mét ®êng trßn c¾t nhau t¹i mét ®iÓm th×: - Điểm đó cách đều hai tiếp điểm - Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến. Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm e) §êng trßn néi tiÕp tam gi¸c, ngo¹i tiÕp tam gi¸c, bµng tiÕp tam gi¸c - §êng trßn tiÕp xóc víi ba c¹nh cña mét tam gi¸c gäi lµ ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c, cßn tam gi¸c gäi lµ ngo¹i tiÕp ®êng trßn. T©m cña ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c lµ giao ®iÓm cña c¸c ®êng ph©n gi¸c c¸c gãc trong tam gi¸c - Đường tròn đi qua ba đỉnh của một tam giác gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác, cßn tam gi¸c gäi lµ néi tiÕp ®êng trßn. T©m cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c lµ giao ®iÓm cña c¸c ®êng trung trùc tam gi¸c - §êng trßn tiÕp xóc víi mét c¹nh cña mét tam gi¸c vµ tiÕp xóc víi phÇn kÐo dµi cña hai c¹nh kia lµ ®êng trßn bµng tiÕp tam gi¸c. T©m cña mçi ®êng trßn bµng tiÕp tam gi¸c lµ giao ®iÓm cña hai ®êng ph©n gi¸c cña hai gãc ngoµi tam gi¸c hoÆc giao ®iÓm cña tia ph©n gi¸c cña mét gãc trong vµ mét trong hai ®êng ph©n gi¸c cña gãc ngoµi kh«ng kÒ víi nã f) Vị trí tương đối của hai đường tròn Căn cứ vào số điểm chung 0, 1, 2 của hai đường tròn mà ta định nghĩa các vị trí: Hai ®êng trßn kh«ng giao nhau, tiÕp xóc nhau, c¾t nhau Do tính chất đối xứng của đường tròn, nếu hai đường tròn cắt nhau thì giao điểm đối xøng víi nhau qua ®êng nèi t©m, nÕu hai ®êng trßn tiÕp xóc nhau th× giao ®iÓm n»m trªn ®êng nèi t©m g) Gãc víi ®êng trßn:.
<span class='text_page_counter'>(106)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. + Góc ở tâm: Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm. Số đo cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó. Số đo cung lớn bằng hiệu giữa 3600 và sè ®o cung nhá. Sè ®o cña nöa ®êng trßn b»ng 1800. + Góc nội tiếp: Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa dây cung của đường tròn đó. Cung bên trong của góc gọi là cung bị chắn. Trong một đường tròn sè ®o cña gãc néi tiÕp b»ng n÷a sè ®o cung bÞ ch¾n + Gãc t¹o bëi gi÷a tiÕp tuyÕn vµ d©y cung: Cho ®êng trßn (O), A lµ tiÕp ®iÓm, xAy lµ tiÕp tuyÕn cña (O) t¹i A, AB lµ mét d©y cung. Gãc t¹o bëi tia Ax (hoÆc tia Ay) víi d©y AB ®îc gäi lµ gãc t¹o bëi tiÕp tuyÕn vµ d©y cung. Sè ®o cña gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung b»ng n÷a sè ®o cung bÞ ch¾n + Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn: Mỗi góc có đỉnh ở bên trong đường tròn chắn hai cung: một cung nằm bên trong góc và cung kia nằm bên trong góc đối đỉnh của cung đó. Số đo có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn + Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn: Số đo góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn b»ng nöa hiÖu hai cung bÞ ch¾n Chó ý: Trong mét ®êng trßn - C¸c gãc néi tiÕp b»ng nhau ch¾n c¸c cung b»ng nhau - C¸c gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung th× b»ng nhau - C¸c gãc néi tiÕp ch¾n c¸c cung b»ng nhau th× b»ng nhau - Gãc néi tiÕp nhá h¬n hoÆc b»ng 900 cã sè ®o b»ng nöa sè ®o cña gãc ë t©m cïng ch¾n mét cung. - Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông và ngược lại góc vuông nội tiếp thì ch¾n nöa ®êng trßn. - Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung vµ gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung th× b»ng nhau. h) §é dµi ®êng trßn - §é dµi cung trßn. - §é dµi ®êng trßn b¸n kÝnh R: C = 2R = d - §é dµi cung trßn n0 b¸n kÝnh R :. l. Rn 180. I) DiÖn tÝch h×nh trßn - DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn - DiÖn tÝch h×nh trßn: S = R2 - DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn b¸n kÝnh R, cong n0: S . R 2n lR 360 2. 3. C¸c d¹ng to¸n c¬ b¶n D¹ng 1: Chøng minh hai gãc b»ng nhau. C¸ch chøng minh: - Chøng minh hai gãc cïng b»ng gãc thø ba - Chøng minh hai gãc b»ng víi hai gãc b»ng nhau kh¸c - Hai góc bằng tổng hoặc hiệu của hai góc theo thứ tự đôi một b»ng nhau - Hai gãc cïng phô (hoÆc cïng bï) víi gãc thø ba - Hai góc cùng nhọn hoặc cùng tù có các cạnh đôi một song song hoÆc vu«ng gãc - Hai góc so le trong, so le ngoài hoặc đồng vị - Hai góc ở vị trí đối đỉnh - Hai góc của cùng mộ tam giác cân hoặc đều.
<span class='text_page_counter'>(107)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. - Hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau hoặc đồng d¹ng - Hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung hoÆc ch¾n hai cung b»ng nhau. D¹ng 2: Chøng minh hai ®o¹n th¼ng b»ng nhau C¸ch chøng minh: - Chøng minh hai ®o¹n th¼ng cïng b»ng ®o¹n thø ba - Hai cạnh của một tam giác cân hoặc tam giác đều - Hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau - Hai cạnh đối của hình bình hành (chữ nhật, hình thoi, hình vu«ng) - Hai c¹nh bªn cña h×nh thang c©n - Hai dây trương ứng hai cung bằng nhau trong một đường tròn hoÆc hai ®êng b»ng nhau. TÝnh chÊt 2 tiÕp tuyÕn c¾t nhau D¹ng 3: Chøng minh hai ®êng th¼ng song song - Chøng minh hai ®êng th¼ng cïng song song víi C¸ch chøng minh: ®êng th¼ng thø ba - Chøng minh hai ®êng th¼ng cïng vu«ng gãc víi ®êng th¼ng thø ba - Chøng minh chóng cïng t¹o víi mét c¸t tuyÕn hai gãc b»ng nhau: ở vị trí so le trong; ở vị trí so le ngoài; ở vị trí đồng vị. - Lµ hai d©y ch¾n gi÷a chóng hai cung b»ng nhau trong mét ®êng trßn - Chúng là hai cạnh đối của một hình bình hành, chữ nhật, hình vu«ng, ... D¹ng 4: Chøng minh hai ®êng th¼ng vu«ng gãc C¸ch chøng minh: - Chóng cïng song song víi hai ®êng th¼ng vu«ng gãc kh¸c. - Chøng minh chóng lµ ch©n ®êng cao trong mét tam gi¸c. - §êng kÝnh ®i qua trung ®iÓm cña d©y vµ d©y kh«ng ®i qua t©m. - Chóng lµ ph©n gi¸c cña hai gãc kÒ bï nhau. - TÝnh chÊt 2 ®êng chÐo h×nh thoi, h×nh vu«ng Dạng 5: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy. C¸ch chøng minh: - Dùa vµo tæng hai gãc kÒ bï cã tæng b»ng 1800 - Dựa vào hai góc đối đỉnh - Dùa vµo hai ®êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm cïng song song víi ®êng th¼ng kh¸c - Dùa vµo hai gãc b»ng nhau cã 1 c¹nh trïng nhau - Chøng minh chóng lµ ba ®êng cao, ba trung tuyÕn, ba trung trùc, ba ph©n gi¸c trong (hoÆc mét ph©n gi¸c trong vµ ph©n gi¸c ngoµi cña hai gãc kia) - Vận dụng định lí đảo của định lí Talet. D¹ng 6: Chøng minh hai tam gi¸c b»ng nhau * Hai tam giác thường: - Trường hợp góc - cạnh - góc (g-c-g) - Trường hợp cạnh - góc - cạnh (c-g-c) - Trường hợp cạnh - cạnh - cạnh (c-c-c).
<span class='text_page_counter'>(108)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. * Hai tam gi¸c vu«ng: - Cã mét c¹nh vµ mét gãc nhän b»ng nhau - Cã c¹nh huyÒn b»ng nhau vµ mét c¹nh gãc vu«ng b»ng nhau - Cạnh góc vuông đôi một bằng nhau Dạng 7: Chứng minh hai tam giác đồng dạng * Hai tam giác thường: - Có hai góc bằng nhau đôi một (g-g) - Có một góc bằng nhau xen giữa hai cạnh tương ứng tỷ lệ (c-gc) - Có ba cạnh tương ứng tỷ lệ (c-c-c) * Hai tam gi¸c vu«ng: - Cã mét gãc nhän b»ng nhau - Có hai cạnh góc vuông tương ứng tỷ lệ - Có cạnh huyền và một cạnh góc vuông tương ứng tỷ lệ D¹ng 8: Chøng minh tø gi¸c néi tiÕp - Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800 C¸ch chøng minh: - Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diÖn - Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm. - Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc . - Dựa vào phương tích của đường tròn II. C¸c bµi to¸n h×nh häc kh«ng gian 1. Hình lăng trụ: Hình lăng trụ là hình đa diện có hai mặt song song gọi là đáy và các cạnh không thuộc hai đáy song song với nhau. Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều Sxq = p. l (p là chu vi thiết diện thẳng, l là độ dài cạnh bên) Lăng trụ đứng: Sxq = p. h (p là chu vi đáy, h là chiều cao) V = B. h (B là diện tích đáy, h là chiều cao) Hình hộp chữ nhật: Stp = 2(ab + bc + ca) (a, b, c là các kích thước của hình hộp chữ nhËt) V = a. b. c C¸c ®êng chÐo h×nh hép ch÷ nhËt d = a 2 b 2 c 2 Hình lập phương: V = a3 (a là cạnh) 2. H×nh chãp: H×nh chãp lµ h×nh ®a diÖn cã mét mÆt lµ ®a gi¸c, c¸c mÆt kh¸c lµ tam gi¸c cã chung đỉnh. Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các mặt bên bằng nhau. Hình chóp cụt là phần hình chóp nằm giữa đáy và thiết diện song song với đáy. Hình chóp cụt từ hình chóp đều gọi là hình chóp cụt đều Hình chóp đều:. Sxq =. 1 . n .a. d (n là số cạnh đáy; a là độ dài cạnh đáy; d là độ 2. dµi trung ®o¹n) Stp = Sxq + B (B là diện tích đáy) V=. 1 .B.h 3. Hình chóp cụt đều: Sxq = ®o¹n chiÒu cao mÆt bªn). 1 n.a n.a'.d (n là số cạnh đáy; a, a’ cạnh đáy; d trung 2.
<span class='text_page_counter'>(109)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. V = V1 + V2 (V1 thÓ tÝch h×nh chãp côt; V2 thÓ tÝch h×nh chãp trªn) 1 3. . . V = .h B B' B.B' (B, B’ là diện tích đáy, h là chiều cao). 3. H×nh trô: H×nh trô lµ h×nh sinh ra bíi h×nh ch÷ nhËt quay xung quanh mét c¹nh cña nã - Diện tích xung quanh: Sxq = 2. R. h (R là bán kính đáy; h là chiều cao) - DiÖn tÝch toµn phÇn: Stp = 2. R. h + 2. R2 - Thể tích hình trụ: V = S. h = . R2. h (S là diện tích đáy) 4. H×nh nãn: H×nh nãn lµ h×nh sinh ra bëi tam gi¸c vu«ng quay xung quanh mét c¹nh gãc vuông của nó. Hình nón cụt là phần hình nón giữa đáy và một thiết diện vuông góc với trục H×nh nãn: - Diện tích xung quanh: Sxq = . R. l (R là bán kính đáy; l là đường sinh) - DiÖn tÝch toµn phÇn: Stp = . R. l + . R2 - ThÓ tÝch: V =. 1 .R 2 .h (h lµ chiÒu cao) 3. Hình nón cụt: - Diện tích xung quanh: Sxq = (R1 + R2). l (R1; R2 là bán kính hai đáy; l lµ ®êng sinh) - DiÖn tÝch toµn phÇn: Stp = (R1 + R2). l + (R12 + R22) - ThÓ tÝch: V =. 5. H×nh cÇu:. 1 .h.(R12 R 22 R1 R 2 ) (h lµ chiÒu cao) 3. - DiÖn tÝch mÆt cÇu: S = 4. R2 (R lµ b¸n kÝnh) - ThÓ tÝch h×nh cÇu: V =. 4 .R 3 3. Dạng 1: Hình học phẳng Bài 1: Cho ABC có các đường cao BD và CE. Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại hai điểm M và N. 1. Chứng minh:BEDC nội tiếp. ACB . 2. Chứng minh: DEA. 3. Chứng minh: DE song song với tiếp tuyến tai A của đường tròn ngoại tiếp tam giác. 4. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh: OA là phân . giác của góc MAN. Chứng tỏ: AM2=AE. AB.. y A x N. D. E M O B. C.
<span class='text_page_counter'>(110)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. Bài 2: Cho(O) đường kính AC. trên đoạn OC lấy điểm B và vẽ đường tròn tâm O’, đường kính BC. Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Từ M vẽ dây cung DE vuông góc với AB;DC cắt đường tròn tâm O’ tại I. 1. Tứ giác ADBE là hình gì? 2. C/m DMBI nội tiếp. 3. C/m B;I;E thẳng hàng và MI=MD. 4. C/m MC. DB=MI. DC 5. C/m MI là tiếp tuyến của (O’) D. I. A. M. B. O. C. O'. E. H×nh 2. Bài 3: =1v. Trên AC lấy điểm M sao cho AM < MC. Vẽ đường Cho ABC có A. tròn tâm O đường kính CM cắt BC tại E;đường thẳng BM cắt (O) tại D;AD kéo dài cắt (O) tại S. 1. C/m BADC nội tiếp. . 2. BC cắt (O) ở E. Cmr:MD là phân giác của AED. 3. C/m CA là phân giác của góc BCS. A. D. S. M. O. B. C. E. Hình 3.
<span class='text_page_counter'>(111)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. Bài 4: = 1v. Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho AM > MC. Dựng Cho ABC có A. đường tròn tâm O đường kính MC; đường tròn này cắt BC tại E. Đường thẳng BM cắt (O) tại D và đường thẳng AD cắt (O) tại S. 1. C/m ADCB nội tiếp. 2. C/m ME là phân giác của góc AED. = ACD . 3. C/m: ASM K. 4. Chứng tỏ ME là phân giác của góc AED. 5. C/m ba đường thẳng BA;EM;CD đồng quy. A. D M S O B. C E. H×nh 4. Bài 5:. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và AB < AC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Kẻ đường cao AD và đường kính AA’. Gọi E:F theo thứ tự là chân đường vuông góc kẻ từ B và C xuống đường kính AA’. 1. C/m AEDB nội tiếp. 2. C/m DB. A’A=AD. A’C 3. C/m:DE AC. 4. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh MD = ME = MF. A. P. N. E O. B. D. I C. M F A' H×nh 5.
<span class='text_page_counter'>(112)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. Bài 6: Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC. Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến BC và AC. P là trung điểm AB;Q là trung điểm FE. 1 . C/m MFEC nội tiếp.. M. 2 . C/m BM. EF=BA. EM. A. 3. C/M AMP FMQ. = 90o. 4 . C/m PQM. P. F O Q. B. E. Bài 7:. C. H×nh 6. Cho (O) đường kính BC,điểm A nằm trên cung BC. Trên tia AC lấy điểm D sao cho AB=AD. Dựng hình vuông ABED;AE cắt (O) tại điểm thứ hai F;Tiếp tuyến tại B cắt đường thẳng DE tại G. 1. C/m BGDC nội tiếp. Xác định tâm I của đường tròn này. 2. C/m BFC vuông cân và F là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD. 3. C/m GEFB nội tiếp. 4. Chứng tỏ:C;F;G thẳng hàng và G cùng nằm trên đường tròn ngoại tiếp BCD. Có nhận xét gì về I và F A. B O. C. D F. E. H×nh 7 G.
<span class='text_page_counter'>(113)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. Bài 8: Cho ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong (O). Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn cắt nhau tại D. Từ D kẻ đường thẳng song song với AB,đường này cắt đường tròn ở E và F,cắt AC ở I(E nằm trên cung nhỏ BC). 1. C/m: BDCO nội tiếp.. A. 2. 2. C/m: DC = DE. DF.. F. 3. C/m: DOIC nội tiếp. 4. Chứng tỏ I là trung điểm FE.. O I. C. B. E. H×nh 8 D. Bài 9: Cho (O),dây cung AB. Từ điểm M bất kỳ trên cung AB(MA và MB),kẻ dây cung MN vuông góc với AB tại H. Gọi MQ là đường cao của tam giác MAN. 1. C/m 4 điểm A;M;H;Q cùng nằm trên một đường tròn. 2. C/m:NQ. NA=NH. NM 3. C/m MN là phân giác của góc BMQ. 4. Hạ đoạn thẳng MP vuông góc với BN;xác định vị trí của M trên cung AB để MQ. AN+MP. BN có giác trị lớn nhấ M. N Q P A. A. I. H. B. I. H. B. P. Q O. O. M N. H×nh 9 a. H×nh 9 b.
<span class='text_page_counter'>(114)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. Bài 10: Cho (O;R) và (I;r) tiếp xúc ngoài tại A (R> r) . Dựng tiếp tuyến chung ngoài BC (B nằm trên đường tròn tâm O và C nằm trên trên đường tròn tâm (I). Tiếp tuyến BC cắt tiếp tuyến tại A của hai đường tròn ở E. 1 . Chứng minh tam giác ABC vuông ở A. 2 . O E cắt AB ở N ; IE cắt AC tại F . Chứng minh N;E;F;A cùng nằm trên một đường tròn . 3. Chứng tỏ : BC2= 4 Rr 4 . Tính tích tích tứ giác BCIO theo R;r B E C N F O. A. I. H×nh 10. Bài 11:. Trên hai cạnh góc vuông xOy lấy hai điểm A và B sao cho OA=OB. Một đường thẳng qua A cắt OB tại M (M nằm trên đoạn OB). Từ B hạ đường vuông góc với AM tại H,cắt AO kéo dài tại I. 1. C/m OMHI nội tiếp. 2. Tính góc OMI. 3. Từ O vẽ đường vuông góc với BI tại K. C/m OK=KH. I. O. A. y. K. M. H. E. H×nh 11. B. x. 4. Tìm tập hợp các điểm K khi M thay đổi trên OB..
<span class='text_page_counter'>(115)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. Bài 12: Cho (O) đường kính AB và dây CD vuông góc với AB tại F. Trên cung BC lấy điểm M. Nối A với M cắt CD tại E. 1. C/m: MA là phân giác của góc CMD. 2. C/m: EFBM nội tiếp. 3. Chứng tỏ: AC2 = AE. AM 4. Gọi giao điểm CB với AM là N;MD với AB là I. C/m NI//CD 5. Chứng minh N là tâm đường tròn nội tiếp CIM C M N. E A. F. O. B. I. D. H×nh 12. Bài 13:. Cho (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến AB;AC và cát tuyến ADE. Gọi H là trung điểm DE. 1. C/m A;B;H;O;C cùng nằm trên 1 đường tròn. 2. C/m HA là phân giác của góc BHC. 3. Gọi I là giao điểm của BC và DE. C/m AB2=AI. AH. 4. BH cắt (O) ở P. C/m AE//CP. B E H I D. O. K. P. C. H×nh 13. A.
<span class='text_page_counter'>(116)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. Bài 14: Cho (O) đường kính AB = 2R; xy là tiếp tuyến với (O) tại B. CD là 1 đường kính bất kỳ. Gọi giao điểm của AC; AD với xy theo thứ tự là M;N. 1. CMR: MCDN nội tiếp. 2. Chứng tỏ: AC. AM = AD. AN 3. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN và H là trung điểm MN. CMR: AOIH là hình bình hành. 4. Khi đường kính CD quay xung quanh điểm O thì I di động trên đường nào? y M C. O. A. B. K I. H. D. N. x. H×nh 14. Bài 15: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi D là 1 điểm trên cung nhỏ BC. Kẻ DE;DF;DG lần lượt vuông góc với các cạnh AB;BC;AC. Gọi H là hình chiêu của D lên tiếp tuyến Ax của (O). 1. C/m AHED nội tiếp 2. Gọi giao điểm của AB với HD và với (O) là P và Q; ED cắt (O) tại M C/m: HA. DP=PA. DE 3. C/m: QM = AB.
<span class='text_page_counter'>(117)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. 4. C/m: DE. DG = DF. DH 5. C/m: E;F;G thẳng hàng. A H Q P. O B. F. G. E. C M. D. H×nh 15. Bài 16: =1v; AB < AC. Gọi I là trung điểm BC;qua I kẻ Cho tam giác ABC có A. IKBC (K nằm trên AC). Trên tia đối của tia AC lấy điểm M sao cho MA = AK. 1. Chứng minh:ABIK nội tiếp được trong đường tròn tâm O. 2 ACB 2. C/m: BMC. 3. Chứng tỏ: BC2= 2. AC. KC 4. AI kéo dài cắt đường thẳng BM tại N. Chứng minh AC = BN 5. C/m: NMIC nội tiếp. N. M A. K. B. C. I. Hình 16.
<span class='text_page_counter'>(118)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. Bài 17: Cho (O) đường kính AB cố định, điểm C di động trên nửa đường tròn. Tia phân giác của góc ACB cắt (O) tai M. Gọi H;K là hình chiêu của M lên AC và CB. 1. C/m: MOBK nội tiếp. 2. Tứ giác CKMH là hình vuông. 3. C/m: H;O;K thẳng hàng. 4. Gọi giao điểm HK và CM là I. Khi C di động trên nửa đường tròn thì I chạy trên đường nào?. C. H B. O. A. I F. E. M. Bài 18:. K. H×nh 17. Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB = 2a, chiều roäng BC = a. Kẻ tia phân giác của góc ACD, từ A hạ AH vuông góc với đường phân giác nói trên. 1. Chứng minh: AHDC nội tiếp trong đường tròn tâm O mà ta phải định rõ tâm và bán kính theo a. 2 . HB cắt AD tại I và cắt AC tại M;HC cắt DB tại N. Chứng tỏ HB = HC Và AB. AC = BH. BI 3. Chứng tỏ MN song song với tiếp tuyến tại H của (O) 4 . Từ D kẻ đường thẳng song song với BH;đường này cắt HC ở K và cắt (O) ở J. Chứng minh HOKD nội tiếp. y. A. 2a. B. M a I. O. H. J N K D. x. C. H×nh 18.
<span class='text_page_counter'>(119)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. Bài 19: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB,bán kính OC AB. Gọi M là 1 điểm trên cung BC. Kẻ đường cao CH của tam giác ACM. 1. Chứng minh AOHC nội tiếp. 2. Chứng tỏ CHM vuông cân và OH là phân giác của góc COM. 3. Gọi giao điểm của OH với BC là I. MI cắt (O) tại D. Cmr: CDBM là hình thang cân. 4. BM cắt OH tại N. Chứng minh BNI và AMC đồng dạng,từ đó suy ra: BN. MC=IN. MA.. N C. M. D. I H. A. Bài 20:. B. O. H×nh 19. Cho đều ABC nội tiếp trong (O;R). F. Trên cạnh AB và AC lấy hai điểm M;N sao cho BM=AN. 1. Chứng tỏ OMN cân. 2. C/m :OMAN nội tiếp. 3. BO kéo dài cắt AC tại D và cắt (O) ở. I. A. E. C/m BC2+DC2=3R2. 4. Đường thẳng CE và AB cắt nhau ở F.. M. Tiếp tuyến tại A của (O) cắt FC tại. E D K. I;AO kéo dài cắt BC tại J. C/m BI đi. N O. qua trung điểm của AJ. B. C J. H×nh 20.
<span class='text_page_counter'>(120)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. Bài 21: =1v) nội tiếp trong đường tròn tâm (O). Gọi M là trung điểm Cho ABC ( A. cạnh AC. Đường tròn tâm I đường kính MC cắt cạnh BC ở N và cắt (O) tại D. 1. C/m ABNM nội tiếp và CN. AB=AC. MN. 2. Chứng tỏ B,M,D thẳng hàng và OM là tiếp tuyến của (I). 3. Tia IO cắt đường thẳng AB tại E. C/m BMOE là hình bình hành. 4. C/m NM là phân giác của góc AND. A D M I B. O. C. N. E. H×nh 21. Bài 22: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi I là điểm bất kỳ trên đường chéo AC. Qua I kẻ các đường thẳng song song với AB;BC,các đường này cắt AB;BC;CD;DA lần lượt ở P;Q;N;M. 1. C/m INCQ là hình vuông. 2. Chứng tỏ NQ//DB. 3. BI kéo dài cắt MN tại E;MP cắt AC tại F. C/m MFIN nội tiếp được trong đường tròn. Xác định tâm. 4. Chứng tỏ MPQN nội tiếp. Tính diện tích theo a. A. P. 5. C/m MFIE nội tiếp.. B. F. M. Q. I. E D. N. H×nh 22. C.
<span class='text_page_counter'>(121)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. Bài 23: Cho hình vuông ABCD,N là trung điểm DC;BN cắt AC tại F,Vẽ đường tròn tâm O đường kính BN. (O) cắt AC tại E. BE kéo dài cắt AD ở M;MN cắt (O) tại I. 1. C/m MDNE nội tiếp. 2. Chứng tỏ BEN vuông cân. 3. C/m MF đi qua trực tâm H của BMN. 4. C/m BI=BC và IE F vuông. 5 . C/m: BM là đường trung trực của QH (H là giao điểm của BE và AB) và MQBN là thang cân. A. Q. B. E M H O I F. D. Bài 24:. N. C. H×nh 23. Cho ABC có 3 góc nhọn (AB < AC). Vẽ. A. đường cao AH. Từ H kẻ HK;HM lần lượt vuông góc với AB;AC. Gọi J là giao điểm của AH và MK. 1. C/m AMHK nội tiếp.. M. J. 2. C/m JA. JH=JK. JM. K. 3. Từ C kẻ tia Cx với AC và Cx cắt AH kéo B. C. H. dài ở D. Vẽ HI;HN lần lượt vuông góc với HCN DB và DC. Cmr : HKM. 4. C/m M;N;I;K cùng nằm trên một đường tròn.. I N D. H×nh 24.
<span class='text_page_counter'>(122)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. Bài 25: =1v),đường cao AH. Đường tròn tâm H, bán kính HA cắt đường Cho ABC ( A. thẳng AB tại D và cắt AC tại E;Trung tuyến AM của ABC cắt DE tại I. 1. Chứng minh D;H;E thẳng hàng. 2. C/m BDCE nội tiếp. Xác định tâm O của đường tròn này. 3. C/m: AMDE.. A. 4. C/m AHOM là hình bình hành.. E I H. B. M. C. D O. H×nh 25. Bài 26: Cho ABC có 2 góc nhọn,đường cao AH. Gọi K là điểm đối xứng của H qua AB;I là điểm đối xứng của H qua AC. E;F là giao điểm của KI với AB và AC. 1. Chứng minh AICH nội tiếp. 2. C/m AI = AK 3. C/m các điểm: A;E;H;C;I cùng nằm trên một đường tròn. 4. C/m CE;BF là các đường cao của ABC. 5. Chứng tỏ giao điểm 3 đường phân giác của HFE chính là trực tâm của ABC.. I. A. F E M K. B H. C. H×nh 26.
<span class='text_page_counter'>(123)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. Bài 27: Cho ABC (AB = AC) nội tiếp trong (O).. D. Gọi M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC. Trên tia BM lấy điểm K sao cho MK = MC và trên tia BA lấy điểm D sao cho AD=AC. A. 2. BKC 1. C/m: BAC. 2. C/m BCKD nội tiếp. Xác định tâm. I. của đường tròn này.. K M. O. 3. Gọi giao điểm của DC với (O) là I. C/m: B;O;I thẳng hàng. C. B. 4. C/m DI = BI. H×nh 27. Bài 28:. Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong(O). Gọi I là điểm chính giữa cung AB (Cung AB không chứa điểm C;D). ID và IC cắt AB ở M;N. 1. C/m D;M;N;C cùng nằm trên một đường tròn. 2. C/m NA. NB=NI. NC 3. DI kéo dài cắt đường thẳng BC ở F;đường thẳng IC cắt đường thẳng AD ở E. C/m:EF//AB. 4. C/m :IA2=IM. ID.. F. E. I. A. B N. M. O. D. H×nh 28. C.
<span class='text_page_counter'>(124)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. Bài 29: Cho hình vuông ABCD, trên cạnh BC lấy điểm E. Dựng tia Ax vuông góc với AE, Ax cắt cạnh CD kéo dài tại F. Kẻ trung tuyến AI của AEF, AI kéo dài cắt CD tại K. Qua E dựng đường thẳng song song với AB, cắt AI tại G. 1. C/m AECF nội tiếp. 2. C/m: AF2=KF. CF 3. C/m:EGFK là hình thoi. 4. Cmr:khi E di động trên BC thì EK=BE+DK và chu vi CKE có giá trị không đổi. 5. Gọi giao điểm của EF với AD là J. C/m:GJ JK. B. A. G E. I J. F. C. K. D. H×nh 29. A. Bài 30: Cho ABC. Gọi H là trực tâm của. M. tam giác. Dựng hình bình hành BHCD. Gọi I là giao điểm của HD và BC. Q. 1. C/m:ABDC nội tiếp trong đường. H. G. O. tròn tâm O;nêu cách dựng tâm O. và OAC . 2. So sánh BAH. B. N. I. 3. CH cắt OD tại E. C/m AB. AE=AH. AC 4. Gọi giao điểm của AI và OH là G. C/m G là trọng tâm của ABC.. C. D H×nh 30.
<span class='text_page_counter'>(125)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. Bài 31: = 90o. C là một điểm tuỳ ý trên cung lớn AB. Các đường cao Cho (O) và sđ AB. AI;BK;CJ của ABC cắt nhau ở H. BK cắt (O) ở N; AH cắt (O) tại M. BM và AN gaëp nhau ở D.. N. 1. C/m:B;K;C;J cùng nằm trên một đường tròn. 2. C/m: BI. KC=HI. KB 3. C/m:MN là đường kính. O. C. của (O). K. 4. C/m ACBD là hình bình hành.. A B. 5. C/m:OC // DH.. J. M I H. D. H×nh 31. Bài 32: Cho hình vuông ABCD. Gọi N là một điểm bất kỳ trên CD sao cho CN < ND;Vẽ đường tròn tâm O đường kính BN. (O) cắt AC tại F;BF cắt AD tại M;BN cắt AC tại E. 1. C/m BFN vuông cân. 2. C/m:MEBA nội tiếp 3. Gọi giao điểm của ME và NF là Q. MN cắt (O) ở P. C/m B;Q;P thẳng hàng. 4. Chứng tỏ ME//PC và BP=BC.. B. A. 5. C/m FPE là tam giác vuông F M. O Q E P. D. N. C H×nh 32.
<span class='text_page_counter'>(126)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. Bài 33: Trên đường tròn tâm O lần lượt lấy bốn điểm A;B;C;D sao cho AB=DB; AB và CD cắt nhau ở E. BC cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn(O) ở Q;DB cắt AC tại K.. Q. E. 1. Cm: CB là phân giác của góc ACE.. B. 2. C/m: AQEC nội tiếp. C. 3. C/m: KA. KC=KB. KD 4. C/m: QE//AD.. K A D O. H×nh 33. Bài 34:. Cho (O) và tiếp tuyến Ax. Trên Ax lấy hai điểm B và C sao cho AB=BC. Kẻ cát tuyến BEF với đường tròn. CE và CF cắt (O) lần lượt ở M và N. Dựng hình bình hành AECD. 1. C/m:D nằm trên đường thẳng BF.. x. 2. C/m ADCF nội tiếp.. C. 3. C/m: CF. CN=CE. CM 4. C/m:MN//AC. 5. Gọi giao điểm của AF với MN là I. Cmr:DF đi qua trung điểm của NI.. D B N. E. J A. O I. H×nh 34. M. F.
<span class='text_page_counter'>(127)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. Bài 35: Cho (O;R) và đường kính AB;CD vuông góc với nhau. Gọi M là một điểm trên cung nhỏ CB. 1. C/m:ACBD là hình vuông. 2. AM cắt CD ;CB lần lượt ở P và I. Gọi J là giao điểm của DM và AB. C/m IB. IC=IA. IM 3. Chứng tỏ IJ//PD và IJ là phân giác của góc CJM. 4. Tính tích tích AID theo R. C. I. M. P A. O. J. B. D H×nh 35. Bài 36: =1v). Kẻ AHBC. Gọi O và O’ là tâm đường tròn nội tiếp các Cho ABC ( A. tam giác AHB và AHC. Đường thẳng O O’ cắt cạnh AB;AC tại M;N. 1. C/m: OHO’ là tam giác vuông. 2. C/m:HB. HO’=HA. HO 3. C/m: HOO’. HBA.. 4. C/m:Các tứ giác BMHO;HO’NC nội tiếp. 5. C/m AMN vuông cân. A. N O' M. O C. B. H H×nh 36.
<span class='text_page_counter'>(128)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. Bài 37: Cho nửa đường tròn O,đường kính AB=2R,gọi I là trung điểm AO. Qua I dựng đường thẳng vuông góc với AB,đường này cắt nửa đường tròn ở K. Trên IK lấy điểm C,AC cắt (O) tại M;MB cắt đường thẳng IK tại D. Gọi giao điểm của IK với tiếp tuyến tại M là N. 1. C/m:AIMD nội tiếp. D. 2. C?m CM. CA=CI. CD. 3. C/m ND=NC. 4. Cb cắt AD tại E. C/m E nằm trên. N. đường tròn (O) và C là tâm đường. M. K. tròn nội tiếp EIM. 5. Giả sử C là trung điểm IK. Tính. E. CD theo R.. C. A. I. B. O H×nh 37. Bài 38: PAC . Gọi H Cho ABC. Gọi P là một điểm nằm trong tam giác sao cho PBA. và K lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ P xuống AB;AC. 1. C/m AHPK nội tiếp. 2. C/m HB. KP=HP. KC. 3. Gọi D;E;F lần lượt là trung điểm của PB;PC;BC. Cmr:HD=EF; DF=EK 4. C/m:đường trung trực của HK đi qua F. A. K. H. P. D B. E F. C H×nh 38.
<span class='text_page_counter'>(129)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. Bài 39: > 90o). Từ C kẻ CE;CF;CG lần lượt vuông góc Cho hình bình hành ABCD ( A. với AD;DB;AB. 1. C/m DEFC nội tiếp. 2. C/m:CF2 = EF. GF. 3. Gọi O là giao điểm AC và DB. Kẻ OICD. Cmr: OI đi qua trung điểm của AG 4. Chứng tỏ EOFG nội tiếp.. A. G. B. F. E O. D. J. C. I. Bài 40:. H×nh 39. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau ở A và B. Các đường thẳng AO cắt (O); (O') lần lượt ở C và E;đường thẳng AO’ cắt (O) và (O’) lần lượt ở D và F. 1. C/m:C;B;F thẳng hàng. 2. C/m CDEF nội tiếp. 3. Chứng tỏ DA. FE=DC. EA 4. C/m A là tâm đường tròn nội tiếp BDE.. E D A. O I. C. B. H×nh 40. O'. F.
<span class='text_page_counter'>(130)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. Bài 41: Cho (O;R). Một cát tuyến xy cắt (O) ở E và F. Trên xy lấy điểm A nằm ngoài đoạn EF,vẽ 2 tiếp tuyến AB và AC với (O). Gọi H là trung điểm EF. 1. Chứng tỏ 5 điểm:A;B;C;O;H cùng nằm trên một đường tròn. 2. Đường thẳng BC cắt OA ở I và cắt đường thẳng OH ở K. C/m: OI. OA=OH. OK=R2. 3. Khi A di động trên xy thì I di động trên đường nào? 4. C/m KE và KF là hai tiếp tyueán của (O). B. O I x. y E. A. F. H C K. H×nh 41. Bài 42: Cho ABC (AB<AC) có hai đường phân giác CM,BN cắt nhau ở D. Qua A kẻ AE và AF lần lượt vuông góc với BN và CM. Các đường thẳng AE và AF cắt BC ở I;K. A. 1. C/m AFDE nội tiếp. 2. C/m: AB. NC = AN. BC 3. C/m: FE//BC. N. M E. F. 4. Chứng tỏ ADIC nội tiếp.. D B K. I H×nh 42. C.
<span class='text_page_counter'>(131)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. Bài 43: Cho ABC(A=1v);AB=15;AC=20(cùng ñôn vị đo đoä dài). Dựng đường tròn tâm O đường kính AB và (O’) đường kính AC. Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại điểm thứ hai D. 1. Chứng tỏ D nằm trên BC. 2. Gọi M là điểm chính giữa. A. cung nhỏ DC. AM cắt DC ở E và cắt (O) ở N.. O. O'. N. C/m DE. AC=AE. MC 3. C/m AN=NE và O;N;O’ I. thẳng hàng.. B. C. E. D. 4. Gọi I là trung điểm MN. C/m góc OIO’=90o.. M. H×nh 43. 5. Tính tích tích tam giác AMC. Bài 44: Trên (O;R),ta lần lượt đặt theo một chiều, kể từ điểm A một cung AB=60o, rồi cung BC = 90o và cung CD = 120o. 1. C/m ABCD là hình thang cân. 2. Chứng tỏ ACDB. 3. Tính các cạnh và các đường chéo của ABCD. 4. Gọi M;N là trung điểm các cạnh DC và AB. Trên DA kéo dài về phía A lấy điểm P;PN cắt DB tại Q. C/m MN là phân giác của góc PMQ. P A. B. N J. K Q I O. D. M. C. H×nh 44. E.
<span class='text_page_counter'>(132)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. Bài 45: Cho đều ABC có cạnh bằng a. Gọi D là giao điểm hai đường phân giác góc A và góc B của tam giác BC. Từ D dựng tia Dx vuông góc với DB. Trên Dx lấy điểm E sao cho ED = DB (D và E nằm hai phía của đường thẳng AB). Từ E kẻ EFBC. Gọi O là trung điểm EB. 1. C/m AEBC và EDFB nội tiếp,xác định tâm và bán kính của các đường tròn ngoại tiếp các tứ giác trên theo a. 2. Kéo dài FE về phía F,cắt (D) tại M. EC cắt (O) ở N. C/m EBMC là thang cân. Tính tích tích. A. 3. c/m EC là phân giác của góc. E. DAC. 4. C/m FD là đường trung trực của N. MB.. O. 5. Chứng tỏ A;D;N thẳng hàng. D. 6. Tính tích tích phần mặt trăng được tạio bởi cung nhỏ EB của. C. B. F. hai đường tròn.. M H×nh 45. Bài 46:. F. Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC. Gọi a là một điểm bất kỳ trên nửa đường tròn;BA kéo dài cắt tiếp tuyến Cy ở F. Gọi D là điểm chính giữa cung AC;DB kéo dài cắt tiếp tuyến Cy tại E. A. 1. C/m BD là phân giác của góc. E. ABC và OD//AB.. I. D. 2. C/m ADEF nội tiếp. 3. Gọi I là giao điểm BD và AC. Chứng tỏ CI=CE và IA. IC = ID. IB. AED 4. C/m góc AFD. B. O H×nh 46. C.
<span class='text_page_counter'>(133)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. Bài 47: Cho nửa đường tròn (O); Đường kính AD. Trên nửa đường tròn lấy hai điểm B và C sao cho cung AB < AC; AC cắt BD ở E. Kẻ EFAD tại F. 1. C/m: ABEF nội tiếp. 2. Chứng tỏ: DE. DB=DF. DA. 3. C/m:E là tâm đường tròn nội tiếp CBF. 4. Gọi I là giao điểm BD với CF. C/m BI2 = BF. BC - IF. IC C B E I. M. A F O. D. H×nh 47. Bài 48: Cho (O) đường kính AB;P là một điểm di động trên cung AB sao cho PA<PB. Dựng hình vuông APQR vào phía trong đường tròn. Tia PR cắt (O) tại C. 1. C/m ACB vuông cân. 2. Vẽ phân giác AI của góc PAB(I nằm trên(O);AI cắt PC tại J. C/m 4 điểm J;A;Q;B cùng nằm trên một đường tròn. 3. Chứng tỏ: CI. QJ=CJ. QP. 4. CMR: Ba điểm P; Q; B thẳng hàng I P Q J B. A. O R. C. H×nh 48.
<span class='text_page_counter'>(134)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. Bài 49: Cho nửa (O) đường kính AB=2R. Trên nửa đường tròn lấy điểm M sao cho cung AM<MB. Tiếp tuyến với nửa đường tròn tại M cắt tia tiếp tuyến Ax và By lần lượt ở D và C. 1. Chứng tỏ ADMO nội tiếp. 2. Chứng tỏ AD. BC = R2. 3. Đường thẳng DC cắt đường thẳng AB tại N;MO cắt Ax ở F;MB cắt Ax ở E. Chứng minh: AMFN là hình thang cân. 4. Xác định vị trí của M trên nửa đường tròn để DE = EF y. x. F. C E M D. N. A. O H×nh 49. Bài 50:. B. Cho hình vuông ABCD,E là một điểm thuộc cạnh BC. Qua B kẻ đường thẳng. A. B. vuông góc với DE ,đường này cắt các H. E. đường thẳng DE và DC theo thứ tự ở H và K. 1. Chứng minh:BHCD nội tiếp. 2. Tính góc CHK. 3. C/m KC. KD=KH. KB. 4. Khi E di động trên BC thì H di động trên đường nào?. D. C H×nh 50. K.
<span class='text_page_counter'>(135)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. Bài 51: Cho (O), từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai tia tiếp tuyến AB và AC với đường tròn. Kẻ dây CD//AB. Nối AD cắt đường tròn (O) tại E. 1. C/m ABOC nội tiếp. 2. Chứng tỏ AB2=AE. AD. ACB và BDC cân. 3. C/m góc AOC 4. CE kéo dài cắt AB ở I. C/m IA=IB.. B. I. A. O. Hình 51. E. D. Bài 52:. C. Cho ABC (AB=AC); BC=6; Đường cao AH=4(cùng ñôn vị đoä dài), nội tiếp trong (O) đường kính AA’. 1. Tính bán kính của (O). 2. Kẻ đường kính CC’. Tứ giác ACA’C’ là hình gì? 3. Kẻ AKCC’. C/m AKHC là hình thang cân. 4. Quay ABC một voøng quanh trục AH. Tính tích tích xung quanh của hình được tạio ra. A C' K. O. H B. C A'.
<span class='text_page_counter'>(136)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. Bài 53: Cho(O) và hai đường kính AB; CD vuông góc với nhau. Gọi I là trung điểm OA. Qua I vẽ dây MQOA (M cung AC ; Q AD). Đường thẳng vuông góc với MQ tại M cắt (O) tại P. C. 1. C/m: a/ PMIO là thang vuông.. P. M. b/ P; Q; O thẳng hàng. S. 2. Gọi S là Giao điểm của AP với H. CQ. Tính Góc CSP. A. 3. Gọi H là giao điểm của AP với. I. B. O. MQ. Cmr:. J. a/ MH. MQ= MP2. b/ MP là tiếp tuyến của Q. đường tròn ngoại tiếp QHP.. D. Bài 54: Cho (O;R) và một cát tuyến d không đi qua tâm O. Từ một điểm M trên d và ở ngồi (O) ta kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với trênờmg trịn; BO kéo dài cắt (O) tại điểm thứ hai là C. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O xuống d. Đường thẳng vuông góc với BC tại O cắt AM tại D. 1. C/m A; O; H; M; B cùng nằm trên 1 đường tròn. 2. C/m AC//MO và MD=OD. 3. Đường thẳng OM cắt (O) tại E và F. Chứng tỏ MA2=ME. MF 4. Xác định vị trí của điểm M trên d để MAB là tam giác đều. Tính tích tích phần tạio bởi hai tia tiếp tuyến với đường tròn trong tröđường hợp này. B. d. E. F. O. D C. A. H.
<span class='text_page_counter'>(137)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. Bài 55: Cho nửa (O) đường kính AB, vẽ các tiếp tuyến Ax và By cùng phía với nửa đường tròn. Gọi M là điểm chính giữa cung AB và N là một điểm bất kỳ trên đoạn AO. Đường thẳng vuông góc với MN tại M lần lượt cắt Ax và By ở D và C. BMC . 1. C/m: AMN. 2. C/m: ANM = BMC. 3. DN cắt AM tại E và CN cắt MB ở F. C/m FEAx. 4. Chứng tỏ M củng là trung điểm DC. x D. y. M. C. E F. B. A. Bài 56:. N. O. Từ một điểm M nằm ngoài (O) kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn. Trên cung nhỏ AB lấy điểm C và kẻ CDAB; CEMA; CFMB. Gọi I và K là giao điểm của AC với DE và của BC với DF. 1. C/m AECD nội tiếp. 2. C/m: CD2 = CE. CF 3. Cmr: Tia đối của tia CD là phân giác của góc FCE. 4. C/m: IK//AB. A F K C. x. M. D O I E. B.
<span class='text_page_counter'>(138)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. Bài 57: Cho (O; R) đường kính AB, Kẻ tiếp tuyến Ax và trên Ax lấy điểm P sao cho P > R. Từ P kẻ tiếp tuyến PM với đường tròn. 1. C/m BM/ / OP. 2. Đường vuông góc với AB tại O cắt tia BM tại N. C/m OBPN là hình bình hành. 3. AN cắt OP tại K; PM cắt ON tại I; PN và OM kéo dài cắt nhau ở J. C/m I; J; K thẳng hàng. N P. J. Q. I K M. A. B O. Bài 58: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB; đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt nửa đường tròn tại C. Kẻ tiếp tuyến Bt với đường tròn. AC cắt tiếp tuyến Bt tại I. 1. C/m ABI vuông cân 2. Lấy D là 1 điểm trên cung BC, gọi J là giao điểm của AD với Bt. C/m AC. AI=AD. AJ. 3. C/m JDCI nội tiếp. 4. Tiếp tuyến tại D của nửa đường tròn cắt Bt tại K. Hạ DHAB. Cmr: AK đi qua trung điểm của DH..
<span class='text_page_counter'>(139)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán I. C J. D. K. N A. B. O. H. Bài 59: Cho (O) và hai đường kính AB; CD vuông góc với nhau. Trên OC lấy điểm N; đường thẳng AN cắt đường tròn ở M. 1. Chứng minh: NMBO nội tiếp. 2. CD và đường thẳng MB cắt nhau ở E. Chứng minh CM và MD là phân giác của góc trong và góc ngoài góc AMB 3. C/m hệ thức: AM. DN=AC. DM 4. Nếu ON=NM. Chứng minh MOB là tam giác đều. E C. M. N. A. B O. D.
<span class='text_page_counter'>(140)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. Bài 60: Cho (O) đường kính AB, và d là tiếp tuyến của đường tròn tại C. Gọi D; E theo thứ tự là hình chiêu của A và B lên đường thẳng d. 1. C/m: CD=CE. 2. Cmr: AD+BE=AB. 3. Vẽ đường cao CH của ABC. Chứng minh AH=AD và BH=BE. 4. Chứng tỏ:CH2=AD. BE. 5. Chứng minh:DH//CB. d. D. C. E A. B. H. O. Bài 61: Cho ABC có: A=1v. D là một điểm nằm trên cạnh AB. Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E. các đường thẳng CD;AE lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ hai F và G. 1. C/m CAFB nội tiếp. 2. C/m AB. ED = AC. EB. K. 3. Chứng tỏ AC//FG. 4. Chứng minh rằng AC;DE;BF đồng quy.. A F D O G. B. E. H×nh 61. C.
<span class='text_page_counter'>(141)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. Bài 62: Cho (O;R) và một đường thẳng d cố định không cắt (O). M là điểm di động trên d. Từ M kẻ tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn. . Hạ OHd tại H và dây cung PQ cắt OH tại I;cắt OM tại K. 1. C/m: MHIK nội tiếp. 2. C/m OJ. OH=OK. OM=R2. 3. CMR khi M di động trên d thì vị trí của I luôn cố định. P. O. d. K I M H Q. Bài 63: = 1v) và AB < AC. Kẻ đường cao AH. Trên tia đối của Cho vuông ABC ( A. tia HB lấy HD = HB rồi từ C vẽ đường thẳng CEAD tại E. 1. C/m AHEC nội tiếp. 2. Chứng tỏ CB là phân giác của góc ACE và AHE cân. 3. C/m HE2 = HD. HC. 4. Gọi I là trung điểm AC. HI cắt AE tại J. Chứng minh: DC. HJ=2IJ. BH. 5. EC kéo dài cắt AH ở K. Cmr AB//DK và tứ giác ABKD là hình thoi. A. I. J C. B. H. D. E K.
<span class='text_page_counter'>(142)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. Bài 64: Cho tam giác ABC vuông cân ở A. Trong góc B,kẻ tia Bx cắt AC tại D,kẻ CE Bx tại E. Hai đường thẳng AB và CE cắt nhau ở F. 1. C/m FDBC,tính góc BFD 2. C/m ADEF nội tiếp. 3. Chứng tỏ EA là phân giác của góc DEF Nếu Bx quay xung quanh điểm B thì E di động trên đường nào?. A. E. D B. C. O. Bài 65: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên nửa đường tròn lấy điểm M, Trên AB lấy điểm C sao cho AC<CB. Gọi Ax; By là hai tiếp tuyến của nửa đường tròn. Đường thẳng đi qua M và vuông góc với MC cắt Ax ở P; đường thẳng qua C và vuông góc với CP cắt By tại Q. Gọi D là giao điểm của CP với AM; E là giao điểm của CQ với BM. 1 . cm: ACMP nội tiếp.. y. x. 2 . Chứng tỏ AB//DE. Q. 3. C/m: M; P; Q thẳng hàng. M P D. E. A C. B. O H×nh 65.
<span class='text_page_counter'>(143)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. Bài 66: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB và một điểm M bất kỳ trên nửa đường tròn. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa trên đường tròn, người ta kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt tia Ax tại I. Phân giác góc IAM cắt nửa đường tròn tại E; cắt tia x. BM tại F; Tia BE cắt Ax tại H; cắt AM tại K. 1. C/m: IA2=IM. IB .. I. 2. C/m: BAF cân.. H×nh 66. 3. C/m AKFH là hình thoi. 4. Xác định vị trí của M để AKFI nội. F. tiếp được. M. H. E K. A. B. O. Bài 67:. Cho (O; R) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M(Khaùc A; O; B). Đường thẳng CM cắt (O) tại N. Đường vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn tại P. Chứng minh: 1. COMNP nội tiếp. 2. CMPO là hình bình hành. 3. CM. CN không phụ thuộc vào vị trí của M. 4. Khi M di động trên AB thì P chạy trên đoạn thẳng cố định. C K. A. O. B. M. N x. y D. P. H×nh 67.
<span class='text_page_counter'>(144)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. Bài 68: = 1v và AB > AC, đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC Cho ABC có A. chứa điểm A vẽ hai nửa đường tròn đường kính BH và nửa đường tròn đường kính HC. Hai nửa đường tròn này cắt AB và AC tại E và F. Giao điểm của FE và A. AH là O. Chứng minh: 1. AFHE là hình chữ nhật. E. 2. BEFC nội tiếp. O. F. 3. AE.AB = AF. AC 4. FE là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn.. C. B. I. H. K. 5. Chứng tỏ: BH. HC = 4.OE. H×nh 68. OF. Bài 69:. Cho ABC có A=1v AHBC. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC;d là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm A. Các tiếp tuyến tại B và C cắt d theo thứ tự ở D và E. 1. Tính góc DOE. 2. Chứng tỏ DE = BD + CE. 3. Chứng minh: DB. CE = R2. (R là bán kính của đường tròn tâm O) 4. C/m: BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE. E I A D. B. 1. 2. 1 H. 2 3. 4 C. O H×nh 69.
<span class='text_page_counter'>(145)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. Bài 70: =1v); đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH. Gọi Cho ABC ( A. HD là đường kính của đường tròn (A;AH). Tiếp tuyến của đường tròn tại D cắt CA tại E. 1. Chứng minh BEC cân. 2. Gọi I là hình chiêu của A trên BE. C/m: AI = AH. 3. C/m:BE là tiếp tuyến của đường tròn 4. C/m: BE = BH + DE. 5. Gọi đường tròn đường kính AH có Tâm là K. Và AH = 2R. Tính tích tích của hình được tạo bởi đường tròn tâm A và tâm K. E. D. I A K C. B. H H×nh 70. Bài 71: Trên cạnh CD của hình vuông ABCD,lấy một điểm M bất kỳ. Đường tròn đường kính AM cắt AB tại điểm thứ hai Q và cắt đường tròn đường kính CD tại điểm thứ hai N. Tia DN cắt cạnh BC tại P. 1. C/m:Q;N;C thẳng hàng. 2. CP. CB = CN. CQ. 3. C/m AC và MP cắt nhau tại 1 điểm nằm trên đường tròn đường kính AM Bài 72: Cho ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. D và E theo thứ tự là điểm chính giữa các cung AB;AC. Gọi giao điểm DE với AB;AC theo thứ tự là H và K. 1. C/m:AHK cân. 2. Gọi I là giao điểm của BE với CD. C/m:AIDE 3. C/m CEKI nội tiếp..
<span class='text_page_counter'>(146)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. 4. C/m:IK//AB. 5. ABC phải có thêm điều kiện gì để AI//EC. Bài 73: Cho ABC(AB=AC) nội tiếp trong (O),kẻ dây cung AA’ và từ C kẻ đường vuông góc CD với AA’,đường này cắt BA’ tại E. ' C DA' E 1. C/m: DA. 2. C/m: A'DC=A'DE 3. Chứng tỏ: AC = AE. Khi AA' quay xung quanh A thì E chạy trên đường nào? 2. CEB 4. C/m: BAC. Bài 74: Cho ABC nội tiếp trong nửa đường tròn đường kính AB. O là trung điểm AB;M là điểm chính giữa cung AC. H là giao điểm OM với AC 1. C/m: OM//BC. 2. Từ C kẻ tia song song và cung chiều với tia BM,tia này cắt đường thẳng OM tại D. Cmr: MBCD là hình bình hành. 3. Tia AM cắt CD tại K. Đường thẳng KH cắt AB ở P. Cmr: KPAB. 4. C/m: AP. AB = AC. AH. 5. Gọi I là giao điểm của KB với (O). Q là giao điểm của KP với AI. C/m A;Q;I thẳng hàng. Bài 75: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính EF. Từ O vẽ tia Ot EF, noù cắt nửa đường tròn (O) tại I. Trên tia Ot lấy điểm A sao cho IA = IO. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AP và AQ với nửa đường tròn; chúng cắt đường thẳng EF tại B và C (P;Q là các tiếp điểm). 1. Cmr: ABC là tam giác đều và tứ giác BPQC nội tiếp. 2. Từ S là điểm tuỳ ý trên cung PQ. vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn;tiếp tuyến này cắt AP tại H,cắt AC tại K. Tính sđ của góc HOK 3. Gọi M; N lần lượt là giao điểm của PQ với OH; OK. Cm OMKQ nội tiếp. 4. Chứng minh raèng ba đường thẳng HN; KM; OS đồng quy tại điểm D, và D cùng nằm trên đường tròn ngoại tiếp HOK..
<span class='text_page_counter'>(147)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. Bài 76: Cho hình thang ABCD nội tiếp trong (O),các đường chéo AC và BD cắt nhau ở E. Các cạnh beân AD;BC kéo dài cắt nhau ở F. 1. C/m: ABCD là thang cân. 2. Chứng tỏ FD. FA = FB. FC. 3. C/m: Góc AED = AOD. 4. C/m AOCF nội tiếp. Bài 77: Cho (O) và đường thẳng xy không cắt đường tròn. Kẻ OAxy rồi từ A dựng đường thẳng ABC cắt (O) tại B và C. Tiếp tuyến tại B và C của (O) cắt xy tại D và E. Đường thẳng BD cắt OA;CE lần lượt ở F và M;OE cắt AC ở N. 1. C/m OBAD nội tiếp. 2. Cmr: AB. EN = AF. EC 3. So sánh góc AOD và COM. 4. Chứng tỏ A là trung điểm DE. Bài 78: Cho (O;R) và A là một điểm ở ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến AB và AC với đường tròn. OB kéo dài cắt AC ở D và cắt đường tròn ở E. 1 . Chứng tỏ EC // với OA. 2 . Chứng minh raèng: 2AB. R = AO. CB. 3. Gọi M là một điểm di động trên cung nhỏ BC, qua M dựng một tiếp tuyến với đường tròn, tiếp tuyến này cắt AB vàAC lần lượt ở I,J . Chứng tỏ chu vi tam giác AI J không đổi khi M di động trên cung nhỏ BC. 4 . Xác định vị trí của M trên cung nhỏ BC để 4 điểm J,I,B,C cùng nằm trên một đường tròn. Bài 79: Cho(O),từ điểm P nằm ngoài đường tròn,kẻ hai tiếp tuyến PA và PB với đường tròn. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M,qua M dựng đường thẳng vuông góc với OM,đường này cắt PA,PB lần lượt ở C và D. 1 . Chứng minh A,C,M,O cùng nằm trên một đường tròn. 2 . Chứng minh: COD = AOB. 3. Chứng minh: Tam giác COD cân..
<span class='text_page_counter'>(148)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. 4 . Vẽ đường kính BK của đường tròn,hạ AH BK. Gọi I là giao điểm của AH với PK. Chứng minh AI = IH. Bài 80: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. Ba đường cao AK; BE; CD cắt nhau ở H. 1 . Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp. 2 . Chứng minh : AD. AB = AE. AC. 3. Chứng tỏ AK là phân giác của góc DKE. 4 . Gọi I; J là trung điểm BC và DE. Chứng minh: OA//JI. Bài 81: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn cắt nhau tại D. Từ D kẻ đường thẳng song song với AB,đường này cắt đường tròn ở E và F,cắt AC tại I(Enằm trên cung nhỏ BC) 1 . Chứng minh BDCO nội tiếp. 2 . Chứng minh: DC2 = DE. DF 3. Chứng minh DOCI nội tiếp được trong đường tròn. 4 . Chứng tỏ I là trung điểm EF. Bài 82: Cho đường tròn tâm O,đường kính AB và dây CD vuông góc với AB tại F. Trên cung BC,lấy điểm M. AM cắt CD tại E. 1 . Chứng minh AM là phân giác của góc CMD. 2 . Chứng minh tứ giác EFBM nội tiếp được trong một đường tròn. 3. Chứng tỏ AC2 = AE. AM 4 . Gọi giao điểm của CB với AM là N;MD với AB là I. Chứng minh NI//CD. Bài 83: Cho ABC có A = 1v;Kẻ AHBC. Qua H dựng đường thẳng thứ nhất cắt cạnh AB ở E và cắt đường thẳng AC tại G. Đường thẳng thứ hai vuông góc với đường thẳng thứ nhất và cắt cạnh AC ở F,cắt đường thẳng AB tại D. 1. C/m: AEHF nội tiếp. 2. Chứng tỏ: HG. HA = HD. HC 3. Chứng minh EFDG và FHC = AFE. 4. Tìm điều kiện của hai đường thẳng HE và HF để EF ngaén nhất..
<span class='text_page_counter'>(149)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. Bài 84: Cho ABC (AB = AC) nội tiếp trong (O). M là một điểm trên cung nhỏ AC, phân giác góc BMC cắt BC ở N,cắt (O) ở I. 1. Chứng minh A;O;I thẳng hàng. 2. Kẻ AK với đường thẳng MC. AI cắt BC ở J. Chứng minh AKCJ nội tiếp. 3. C/m: KM. JA = KA. JB. Bài 85: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi C là một điểm trên nửa đường tròn. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C,kẻ hai tiếp tuyến Ax và By. Một đường tròn (O’) qua A và C cắt AB và tia Ax theo thứ tự tại D và E. Đường thẳng EC cắt By tại F. 1. Chứng minh BDCF nội tiếp. 2. Chứng tỏ: CD 2 = CE. CF và FD là tiếp tuyến của đường tròn (O). 3. AC cắt DE ở I;CB cắt DF ở J. Chứng minh IJ//AB 4. Xác định vị trí của D để EF là tiếp tuyến của (O) Bài 86: Cho (O;R và (O’;r) trong đó R>r, cắt nhau tại Avà B. Gọi I là một điểm bất kỳ trên đường thẳng AB và nằm ngoài đoạn thẳng AB. Kẻ hai tiếp tuyến IC và ID với (O) và (O’). Đường thẳng OC và O’D cắt nhau ở K. 1. Chứng minh ICKD nội tiếp. 2. Chứng tỏ: IC2 = IA. IB. 3. Chứng minh IK nằm trên đường trung trực của CD. 4. IK cắt (O) ở E và F; Qua I dựng cát tuyến IMN. a/ Chứng minh: IE. IF = IM. IN. b/ E; F; M; N nằm trên một đường tròn. Bài 87: ChoABC có 3 góc nhọn. Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC. (O) cắt AB;AC lần lượt ở D và E. BE và CD cắt nhau ở H. 1. Chứng minh: ADHE nội tiếp. 2. C/m: AE. AC = AB. AD. 3. AH kéo dài cắt BC ở F. Cmr: H là tâm đường tròn nội tiếp DFE. 4. Gọi I là trung điểm AH. Cmr IE là tiếp tuyến của (O).
<span class='text_page_counter'>(150)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. Bài 88: Cho(O;R) và (O’;r) cắt nhau ở Avà B. Qua B vẽ cát tuyến chung CBDAB (C(O)) và cát tuyến EBF bất kỳ(E(O)). 1. Chứng minh AOC và AO’D thẳng hàng. 2. Gọi K là giao điểm của các đường thẳng CE và DF. Cmr: AEKF nội tiếp. 3. Cm: K thuộc đường tròn ngoại tiếp ACD. 4. Chứng tỏ FA. EC = FD. EA. Bài 89: Cho ABC có A = 1v. Qua A dựng đường tròn tâm O bán kính R tiếp xúc với BC tại B và dựng (O’;r) tiếp xúc với BC tại C. Gọi M;N là trung điểm AB;AC,OM và ON kéo dài cắt nhau ở K. 1. Chứng minh: OAO’ thẳng hàng 2. CM: AMKN nội tiếp. 3. Cm AK là tiếp tuyến của caû hai đường tròn và K nằm trên BC. 4. Chứng tỏ 4MI2 = Rr. Bài 90: Cho tứ giác ABCD (AB>BC) nội tiếp trong (O) đường kính AC; Hai đường chéo AC và DB vuông góc với nhau. Đường thẳng AB và CD kéo dài cắt nhau ở E; BC và AD cắt nhau ở F. 1. Cm: BDEF nội tiếp. 2. Chứng tỏ: DA. DF = DC. DE 3. Gọi I là giao điểm DB với AC và M là giao điểm của đường thẳng AC với đường tròn ngoại tiếp AEF. Cmr: DIMF nội tiếp. 4. Gọi H là giao điểm AC với FE. Cm: AI. AM = AC. AH. Bài 91: Cho (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Đường thẳng OO’ cắt (O) và (O’) tại B và C (khaùc A). Kẻ tiếp tuyến chung ngoài DE(D(O)); DB và CE kéo dài cắt nhau ở M. 1. Cmr: ADEM nội tiếp. 2. Cm: MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn. 3. ADEM là hình gì? 4. Chứng tỏ: MD. MB = ME. MC..
<span class='text_page_counter'>(151)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. Bài 92: Cho hình vuông ABCD. Trên BC lấy điểm M. Từ C hạ CK với đường thẳng AM. 1. Cm: ABKC nội tiếp. 2. Đường thẳng CK cắt đường thẳng AB tại N. Từ B dựng đường vuông góc với BD, đường này cắt đường thẳng DK ở E. Cmr: BD. KN = BE. KA 3. Cm: MN//DB. 4. Cm: BMEN là hình vuông. Bài 93: Cho hình chữ nhật ABCD(AB>AD)có AC cắt DB ở O. Gọi M là 1 điểm trên OB và N là điểm đối xứng với C qua M. Kẻ NE; NF và NP lần lượt vuông góc với AB; AD; AC; PN cắt AB ở Q. 1. Cm: QPCB nội tiếp. 2. Cm: AN//DB. 3. Chứng tỏ F; E; M thẳng hàng. 4. Cm: PEN là tam giác cân. Bài 94: Từ đỉnh A của hình vuông ABCD,ta kẻ hai tia tạio với nhau 1 góc bằng 45o. Một tia cắt cạnh BC tại E và cắt đường chéo DB tại P. Tia kia cắt cạnh CD tại F và cắt đường chéo DB tại Q. 1. Cm: E; P; Q; F; C cùng nằm trên 1 đường tròn. 2. Cm: AB. PE = EB. PF. 3. Cm: SAEF = 2SAPQ. 4. Gọi M là trung điểm AE. Cmr: MC = MD. Bài 95: Cho hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo cắt nhau ở O. Kẻ AH và BK vuông góc với BD và AC. Đường thẳng AH và BK cắt nhau ở I. Gọi E và F lần lượt là trung điểm DH và BC. Từ E dụng đường thẳng song song với AD. Đường này cắt AH ở J. 1. C/m: OHIK nội tiếp. 2. Chứng tỏ KHOI..
<span class='text_page_counter'>(152)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. 3. Từ E kẻ đườngthẳng song song với AD. Đường này cắt AH ở J. Chứng tỏ: HJ. KC = HE. KB 4. Chứng minh tứ giác ABFE nội tiếp được trong một đường tròn. Bài 96: Cho ABC, phân giác góc trong và góc ngoài của các góc B và C gaëp nhau theo thứ tự ở I và J. Từ J kẻ JH; JP; JK lần lượt vuông góc với các đường thẳng AB; BC; AC. 1. Chứng tỏ A; I; J thẳng hàng. 2. Chứng minh: BICJ nội tiếp. 3. BI kéo dài cắt đường thẳng CJ tại E. Cmr: AEAJ. 4. C/m: AI. AJ = AB. AC. Bài 97: Từ đỉnh A của hình vuông ABCD ta kẻ hai tia Ax và Ay sao cho: Ax cắt cạnh BC ở P,Ay cắt cạnh CD ở Q. Kẻ BKAx;BIAy và DMAx,DNAy . 1. Chứng tỏ BKIA nội tiếp 2. Chứng minh AD2 = AP. MD. 3. Chứng minh MN = KI. 4. Chứng tỏ KIAN. Bài 98: Cho hình bình hành ABCD có góc A>90o. Phân giác góc A cắt cạnh CD và đường thẳng BC tại I và K. Hạ KH và KM lần lượt vuông góc với CD và AM. 1. Chứng minh KHDM nội tiếp. 2. Chứng minh: AB = CK + AM. Bài 99: Cho(O) và tiếp tuyến Ax. Trên Ax lấy điểm C và gọi B là trung điểm AC. Vẽ cát tuyến BEF. Đường thẳng CE và CF gaëp lại đường tròn ở điểm thứ hai tại M và N. Dựng hình bình hành AECD. 1. Chứng tỏ D nằm trên đường thẳng EF. 2. Chứng minh AFCD nội tiếp. 3. Chứng minh: CN. CF = 4BE. BF 4. Chứng minh MN//AC. Bài 100:.
<span class='text_page_counter'>(153)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. Trên (O) lấy 3 điểm A;B;C. Gọi M;N;P lần lượt theo thứ tự là điểm chính giữa cung AB;BC;AC . AM cắt MP và BP lần lượt ở K và I. MN cắt AB ở E. 1. Chứng minh BNI cân. 2. PKEN nội tiếp. 3. Chứng minh AN. BD = AB. BN 4. Chứng minh I là trực tâm của MPN và IE//BC.. Dạng 2: Mở đầu về hình học không gian Bµi 1: Cho h×nh b×nh hµnh ABCD vµ ®iÓm S n»m ngoµi mp(ABCD). Gäi M, N theo thø tù lµ trung ®iÓm cña SA, SD. Tø gi¸c MNCB lµ h×nh g× ? Bµi 2: Cho tø diÖn ABCD. Gäi G, H theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AD, CD. LÊy ®iÓm E AB, F 1 4. 1 4. BC sao cho: AE AB;CF CB . a) Chøng minh GH // (ABC); EF // (ACD); EF // GH. b) Gäi I lµ giao ®iÓm cña EG vµ (BCD). CMR: F, H, I th¼ng hµng. Bµi 3: Chøng minh r»ng: NÕu mét mÆt ph¼ng song song víi ®êng th¼ng a cña mp(Q) mµ (P) vµ (Q) c¾t nhau th× giao tuyÕn cña chóng song song víi a. Bµi 4: Cho hai mÆt ph¼ng (P) vµ (Q) c¾t nhau theo giao tuyÕn d. Mét mÆt ph¼ng thø ba (R) c¾t (P) , (Q) theo thø tù lµ c¸c giao tuyÕn a vµ b. CMR: a) Nếu a cắt d tại M thì a, b, d đồng qui. song.. b) Nếu a // d thì a, b, d đôi một song 1 4. 1 4. Bµi 5: Cho tø diÖn S.ABC, ®iÓm D SA sao cho SD SA,E AB sao cho BE BA . Gäi M lµ trung ®iÓm cña SC, I lµ giao ®iÓm cña DM vµ AC, N lµ giao ®iÓm cña IE vµ BC. Chøng minh r»ng: a) SB // (IDE).. b) N lµ trung ®iÓm cña BC.. Bµi 6: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, ®êng cao AH. Mét ®êng th¼ng d (ABC) t¹i A. Trªn d lÊy ®iÓm S bÊt kú. a) Chøng minh BC SH. b) KÎ AI lµ ®êng cao cña tam gi¸c SAH. Chøng minh AI (SBC). c) Cho AB = 15 cm, AC = 20 cm , SA = 16 cm. TÝnh BC, SH råi tÝnh Sxq, Stp, V cña h×nh chãp S . ABC. Bài 7: Cho tam giác ABC đều và trung tuyến AM, điểm I AM sao cho IA = 2.IM . Qua I vẽ đường th¼ng d vu«ng gãc víi mp(ABC), trªn d lÊy ®iÓm S bÊt kú. a) Chøng minh SA = SB = SC. b) Gäi IH lµ ®êng cao cña tam gi¸c SIM. CMR: IH (SBC)..
<span class='text_page_counter'>(154)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. c) TÝnh S xq vµ V cña h×nh chãp S . ABC biÕt AB 3 3cm ; SA = 5 cm. 1 3. 1 3. Bµi 8: Cho tø diÖn S . ABC. §iÓm E SA, F AB sao cho SE SA;BF BA . Gäi G, H theo thø tù lµ trung ®iÓm cña SC, BC. CMR: a) EF // GH.. b) EG, FH, AC đồng qui.. Bµi 9: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, AB = 8 cm, AC = 6 cm. Mét ®êng th¼ng d vu«ng gãc vãi mp(ABC) t¹i B, trªn d lÊy ®iÓm S sao cho SA = 10 cm. a) Chøng minh r»ng: SB AC. c) Chøng minh tam gi¸c SAC vu«ng.. b) TÝnh SB, BC, SC. d) TÝnh S tp, V.. Bµi 10: Cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh 3 cm. Trªn ®êng th¼ng d vu«ng gãc víi mp(ABCD) t¹i A lÊy ®iÓm S sao cho SA = 4 cm. CMR: a) (SAB) (SAD).. b) SC BD.. c) C¸c tam gi¸c SBC vµ SDC vu«ng.. d) TÝnh S xq, V cña h×nh chãp SABCD.. Bài 11: Cho lăng trụ đứng ABCD . A’B’C’D’ có đáy là hình thoi. Biét đường cao AA’ = 5 cm, các ®êng chÐo AC’ = 15 cm , DB’ = 9 cm. a) TÝnh AB ? A’B’C’D’.. b) TÝnh Sxq, V cña h×nh l¨ng trô ABCD. c) TÝnh S xq, V cña h×nh chãp B’ ABCD. Bài 12: Cho lăng trụ tam giác đều ABC . A’B’C’ có AA’ = 4 cm , góc BAB’ = 450 . Tính Sxq và V. Bµi 13: H×nh hép ch÷ nhËt ABCD . A’B’C’D’ cã AD = 3 cm, AB = 4 cm, BD’ = 13 cm. TÝnh Sxq vµ V ? Bµi 14: Cho h×nh hép ch÷ nhËt ABCD . A’B’C’D’ cã AB = 12 cm, AD = 16 cm, AA’ = 25 cm. a) CM: C¸c tø gi¸c ACC’A’, BDD’B’ lµ h×nh ch÷ nhËt. b) CM: AC’2 = AB2 + AD2 + AA’2. TÝnh Stp , V ? Bµi 15: Cho h×nh hép ch÷ nhËt ABCD . A’B’C’D’cã AB = AA’ = a vµ gãc A’CA = 300. TÝnh Stp vµ V ? Bài 16: Cho hình lập phương ABCD . A’B’C’D’ có độ dài cạnh là 6 cm . a) TÝnh ®êng chÐo BD’. ABD.. b) TÝnh Stp vµ V cña h×nh chãp A’.. c) TÝnh S tp vµ V cña h×nh chãp A’.BC’D. Bài 17: Một thùng hình trụ có diện tích xung quanh bằng tổng diện tích hai đáy, đường cao của hình trụ bằng 6 dm. Hỏi thùng chứa được bao nhiêu lít nước ? ( biết rằng 1 dm3 = 1 lít )..
<span class='text_page_counter'>(155)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. Bµi 18: Mét mÆt ph¼ng qua trôc OO’ cña mét h×nh trô, phÇn mÆt ph¼ng bÞ giíi h¹n bëi h×nh trô ( cßn gọi là thiết diện) là một hình chữ nhật có diện tích bằng 72 cm2. Tính bán kính đáy, đường cao của hình trụ biết rằng đường kính đáy bằng một nửa chiều cao. Bµi 19: Mét h×nh trô cã thiÕt diÖn qua trôc lµ mét h×nh ch÷ nhËt cã chiÒu dµi 4 cm, chiÒu réng 3 cm. Tính Sxq và V của hình trụ đó. Bài 20: Cho hình nón đỉnh A, đường sinh AB = 5 cm, bán kính đáy OB = 3 cm. a) TÝnh Sxq cña h×nh nãn.. b) TÝnh V cña h×nh nãn.. c) Gäi CD lµ d©y cung cña (O; OB)vu«ng gãc víi OB. CMR: CD (AOB). Bài 21: Cho tam giác ABC vuông tại A quay một vòng quanh AB. Tính bán kính đáy, đường cao của hình nón tạo thành. Từ đó tính Sxq , và V của hình nón biết rằng BC = 6 cm, góc ACB = 600. Bài 22: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh bằng 4 cm. Tính Sxq và V . Bài 23: Một hình nón cụt có đường cao 12 cm, các bán kính đáy là 10 cm và 15 cm. a) TÝnh Sxq cña h×nh nãn côt. đó.. b) TÝnh V cña h×nh nãn sinh ra h×nh nãn côt. Bµi 24: Mét h×nh thang ABCD cã gãc A vµ D = 900, AB = BC = a , C = 600. TÝnh Stp cña h×nh t¹o thµnh khi quay h×nh thang vu«ng mét vßng xung quanh: a) C¹nh AD.. b) C¹nh DC.. Bài 24: Cho hình chữ nhật MNPQ có MN = 3NP; NP = khi quay hình chữ nhật MNPQ một vòng quanh MN .. 5 . Tính thể tích hình tạo thành. Bài 26: Một hình nón có đường sinh bằng 16cm. Diện tích xung quanh bằng. 256π 2 cm . 3. Tính bán kính đường tròn đáy của hình nón. Bài 27: Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình trụ có bán kính đáy là r = 3,1 cm và chiều cao h = 2,4 cm ? Bài 28: Cho tam giác ABC vuông tại A quay quanh cạnh BC. Tính thể tích hình sinh ra bởi tam giác , biết BC = 5cm. Bài 29: Một hình trụ có chu vi đáy bằng 20cm, diện tích xung quanh bằng 140cm2. tính chiều cao của hình trụ Bài 30: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’. Biết AB = 4 cm; AC = 5 cm và A’C = 13 cm. Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật đó. Bài 31: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có diện tích mặt chéo ACC’A’ bằng 25 2 cm2. Tính thể tích và diện tích toàn phần của hình lập phương đó. Bài 32: Cho hình hộp chứ nhật ABCDA’B’C’D’. Biết AB = 15 cm, AC’ = 20 cm và góc A’AC’ bằng 600. Tính thể tích và diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật đó. Bài 33: Cho lăng trụ đứng tam giác đều ABCA’B’C’. Tính diện tích xung quanh và thể tích của nó biết cạnh đáy dài 6 cm và góc AA’B bằng 300..
<span class='text_page_counter'>(156)</span> Ôn thi vào lớp 10 – Môn Toán. Bài 34: Cho tam giác ABC đều cạnh a. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại trọng tâm G của tam giác ABC. Trên đường thẳng d lấy một điểm S. Nối SA, SB, SC. a) Chứng minh rằng SA = SB = SC. b) Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình chóp S.ABC, cho biết SG = 2a. Bài 35: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a và đường cao là. a 2 . 2. a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác đều. b) Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình chóp. Bài 37: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a. a) Tính diện tích toán phần của hình chóp. b) Tính thể tích của hình chóp. Bài 38: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiếu cao 15 cm và thể tích là 1280 cm3. a) Tính độ dài cạnh đáy. b) Tính diện tích xung quanh của hình chóp. Bài 39: Một hình chóp cụt diện tích đáy nhỏ là 75 cm2, diện tích đáy lớn gấp 4 lần diện tích đáy nhỏ và chiều cao là 6 cm. Tính thể tích của hình chóp cụt đó. Bài 40: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). a) Tính thể tích hình chóp. b) Chứng minh rằng bốn mặt bên là những tam giác vuông. a) Tính diện tích xung quanh của hình chóp. Bài 41: Một hình trụ có đường cao bằng đường kính đáy. Biết thể tích hình trụ là 128 cm3, tính diện tích xung quanh của nó. Bài 42: Một hình nón có bán kính đáy bằng 5 cm và diện tích xung quanh bằng 65 cm2. Tính thể tích của hình nón đó. Bài 43: Cho hình nón cụt, bán kính đáy lớn bằng 8 cm, đường cao bằng 12 cm và đường sinh bằng 13 cm. a) Tính bán kính đáy nhỏ. b) Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón cụt đó. Bài 44: Một hình cầu có diện tích bề mặt là 36 cm2. Tính thể tích của hình cầu đó..
<span class='text_page_counter'>(157)</span>
