Toán 9 Chương 4 Phương trình bậc hai một ẩn
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (190.11 KB, 37 trang )
CHƯƠNG IIV. HÀM SỐ
y = ax 2 ( a ≠ 0 )
. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN.
BÀI 1. ĐỒ THỊ HÀM SỐ
y = ax 2 ( a ≠ 0 )
.
1, ĐỒ THỊ.
y = ax 2 ( a ≠ 0 )
– Đồ thị hàm số
là một đường cong đi qua gốc tọa độ và nhận trục Oy làm trục
đối xứng. Đường cong này gọi là Parabol với đỉnh O.
a>0
– Nếu
thì đồ thị nằm phía trên trục hồnh. O là điểm thấp nhất của đồ thị,
a<0
– Nếu
thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành. O là điểm cao nhất của đồ thị.
– Để vẽ đồ thị hàm số
+ Lấy điểm
+ Lấy điểm
y = ax 2 ( a ≠ 0 )
A ( 1; a )
và điểm đối xứng với A qua Oy là
B ( 2; 4a )
y = ax ( a ≠ 0 )
:
A′ ( −1; a )
và điểm đối xứng với B qua Oy là
.
B′ ( −2; 4a )
.
2
– Hàm số
+ Khi
+ Khi
a>0
a<0
:
. Hàm số đồng biến khi
. Hàm số đồng biến khi
x>0
x<0
và nghịch biến khi
và nghịch biến khi
x<0
x>0
.
.
2, BÀI TẬP VẬN DỤNG.
DẠNG 1: VẼ ĐỒ THỊ
VÀ TÌM THAM SỐ ĐỂ TỌA ĐỘ ĐIỂM THUỘC HAY KHÔNG THUỘC ĐỒ THỊ.
Bài 1: Cho hàm số
y = ax 2 , ( a ≠ 0 )
Bài 2: Xác định hệ số a của hàm số
y=
Bài 3: Vẽ đồ thị hàm số:
1 2
x
4
. Tìm giá trị của a để
y = ax 2
x=2
thì
y = −8
.
biết đồ thị của hàm số đi qua điểm
.
1
A ( −3;1)
.
y=
1 2
x
2
Bài 4: Cho hàm số
.
x<0
a, Khi
thì hàm số đồng biến hay nghịch biến.
b, Lập bảng giá trị rồi vẽ đồ thị của hàm số.
( P) : y =
Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Parabol
a, Vẽ Parabol
( P)
1 2
x
2
.
.
( P)
b, Hai điểm A và B thuộc
qua hai điểm A và B.
2; −1
có hồnh độ lần lượt là
. Viết phương trình đường thẳng đi
Bài 6:
a, Vẽ Parabol
( P ) : y = 2 x2
.
b, Viết phương trình đường thẳng
−1
là
và 2.
( d)
cắt Parabol
( d ) : y = ax + b
Bài 7: Cho đường thẳng
. Tìm a và b biết
2
P
:
y
=
x
( )
−2
điểm A thuộc Parabol
có hồnh độ bằng
.
( P)
( d)
tại hai điểm A và B có hồnh độ lần lượt
song song với
( d ′ ) : y = −3x + 5
Bài 8:
( P) : y =
a, Vẽ đồ thị của Parabol
b, Tìm giá trị của m sao cho
Bài 9: Cho Parabol
( P ) : y = −2 x 2
a, Tìm k để đường thẳng
1 2
x
2
C ( −2; m )
.
thuộc đồ thị
.
.
( d ) : y = kx + 2
E ( m; m + 1)
tiếp xúc với
2
b, Chứng minh điểm
( P)
không thuộc
2
( P)
( P)
.
với mọi giá trị của m.
và đi qua
y = ax 2
Bài 10: Cho hàm số
.
a, Xác định a biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm
b, Tìm giá trị của m, n để các điểm
B ( 2; m )
và
A ( 3;3)
C ( n;1)
.
thuộc đồ thị của hàm số trên.
DẠNG 2. VẼ ĐỒ THỊ VÀ XÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM.
( P ) : y = − x2
( d ) : y = 2x − 3
Bài 1: Cho Parabol
và đường thẳng
.
a, Vẽ Parabol và đường thẳng trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
b, Tìm tọa độ giao điểm của
Bài 2: Cho Parabol
( P ) : y = x2
Bài 3: Cho hàm số
Tìm tọa độ giao điểm của
Bài 4: Cho Parabol
a, Vẽ
( P)
và
( d)
( P)
có đồ thị
( P) : y =
và
( d)
và đường thẳng
Tìm tọa độ giao điểm của
y = 3x2
( P)
−x2
2
( P)
và
( P)
và
( d)
bằng phép tính.
( d ) : y = 2x + 8
bằng phép tính.
và đường thẳng
( d)
.
( d ) : y = 2x + 1
bằng phép tính.
và đường thẳng
( d ) : y = −x − 4
trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
3
.
.
b, Tìm tọa độ giao điểm của
y = 2x2
( P)
Bài 5: Cho hàm số
có đồ thị
a, Vẽ đồ thị hàm số.
b, Tìm tọa độ giao điểm
Bài 6: Cho Parabol
a, Vẽ
( P)
( P ) : y = x2
và
( d)
( P)
a, Vẽ
( P) , ( d )
có đồ thị
x2
2
y=
Bài 8: Cho hàm số
a, Vẽ
.
và đường thẳng
( d)
có phương trình
( d) : y = x+2
y = 5x − 3
.
( P)
( P)
và
( d)
bằng phép tính.
và đường thẳng
( d ) : y = −x + 4
.
trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy.
b, Tìm tọa độ giao điểm của
( P) , ( d )
bằng phép tính.
trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
x2
2
Bài 7: Cho hàm số
( d)
và đường thẳng
b, Tìm tọa độ giao điểm của
y=
( P)
và
( P)
có đồ thị là
và
( P)
( d)
bằng phép tính.
( d) : y =
và đường thẳng
−x
+3
2
.
trên cùng một hệ trục tọa độ.
( P) ( d )
b, Tìm tọa độ các giao điểm của
và
bằng phép tính.
1
y = x2
( P)
2
Bài 9: Cho hàm số
có đồ thị
.
a, Vẽ đồ thị
( P)
.
b, Tìm tọa độ giao điểm của
y=
( P)
( d) : y =
và
1 2
x
2
Bài 10: Cho hàm số
.
a, Vẽ đồ thị hàm số.
4
−1
x +1
2
bằng phép tính.
bằng phép tính.
y = x−
b, Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng
1
2
bằng phép tính.
Bài 11: Trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy.
y = 2 x2
y = 3− x
a, vẽ đồ thị hàm số
và đồ thị hàm số
.
b, Tìm tọa độ giao điểm của hai hàm số trên bằng phép tính.
Bài 12: Cho Parabol
a, Vẽ
( P)
và
( P ) : y = x2
( d)
và đường thẳng
( d ) : y = −x + 2
trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
b, Bằng phép tính. Tìm tọa độ giao điểm của
Bài 13: Cho Parabol
a, Vẽ
( P)
và
( P ) : y = x2
( d)
và đường thẳng
( P)
( P)
T ( −2; −2 )
( d)
a, Vẽ đồ thị
có thuộc đường thẳng
( P ) : y = 2x2
( d)
và đường thẳng
và đường thẳng
không?
( d)
và
( P)
( d ) : y = 3x + 2
.
.
trên hệ tọa độ Oxy.
b, Tìm tọa độ giao điểm của
Bài 16: Cho Parabol
.
bằng phép tính.
( P ) : y = −8 x 2
b, Xác định tọa độ giao điểm của đường thẳng
( P)
.
( d ) : y = 2x + 3
và
Bài 14: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, Cho Parabol
Bài 15: Cho Parabol
và
( d)
trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
b, Tìm tọa độ giao điểm nếu có của
a, Điểm
.
( P ) : y = −2 x 2
( P)
và
( d)
bằng phép tính.
và đường thẳng
5
( d) : y = x−3
.
( d ) : y = −2 x − 6
.
a, Vẽ
( d)
và
( P)
trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy.
b, Tìm tọa độ giao điểm của
( d)
và
Bài 17: Cho hàm số
a, Vẽ đồ thị
( P)
1 2
x
4
có đồ thị
bằng phép toán.
( d1 ) : y = ax + b
c, Viết phương trình đường thẳng
y=
( P)
( P)
sao cho
( d1 ) ( d )
//
và đi qua điểm
A ( −1; −2 )
.
trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
b, Tìm hồnh độ của điểm M thuộc
( P)
biết M có tung độ 25.
Bài 18:
a, Vẽ đồ thị
( P)
của hàm số
b, Tìm những điểm thuộc
y=
Bài 19: Cho hàm số
− x2
2
y=
−1 2
x
2
a, Vẽ đồ thị parabol
( P)
có hồnh độ bằng 2 lần tung độ.
có đồ thị
( P)
.
( P)
.
.
b, Tìm các điểm thuộc đồ thị
( P)
sao cho tung độ gấp ba lần hoành độ.
Bài 20:
a, Vẽ Parabol
( P ) : y = 2 x2
.
b, Viết phương trình đường thẳng
−1
độ lần lượt là
và 2.
( d)
cắt Parabol
6
( P)
tại hai điểm phân biệt A và B có hồnh
.
DẠNG 3. TÍNH MIỀN DIỆN TÍCH TẠO BỞI PARABOL VÀ ĐƯỜNG THẲNG.
Bài 1: Cho Parabol
( P ) : y = − x2
và hàm số
Gọi A và B là giao điểm của
( d)
với
( P ) : y = x2
( d) : y = x−2
( P)
.
. Tính diện tích
∆ABO
.
( d ) : y = −2 x + 3
Bài 2: Cho Parabol
và đường thẳng
.
a, Vẽ đồ thị của hai hàm số trên cùng một hệ trục tọa độ.
b, Tìm tọa độ giao điểm A, B của đường thẳng
( P ) : y = x2
( d)
và Parabol
( d ) : y = 3x − 2
Bài 3: Cho Parabol
và đường thẳng
với A là điểm có hồnh độ nhỏ hơn.
a, Tìm tọa độ điểm A và B.
∆OAB
b, Tính diện tích
với O là gốc tọa độ.
Bài 4: Cho Parabol
( P ) : y = ax 2
a, Xác định a để
( P)
b, Vẽ đồ thị hàm số
c, Cho đường thẳng
d, Tính diện tích
Bài 5: Cho Parabol
y = ax
A ( −1;1)
cắt
( P)
∆AOB
.
tại hai điểm A và B
.
2
với a vừa tìm được ở câu a.
( d ) : y = 2x + 3
( P ) : y = x2
( d)
. Tính diện tích
với a là tham số.
đi qua điểm
∆ABO
, biết
( P)
. Tìm tọa độ giao điểm của
( d)
với A, B là giao điểm của
và hàm số
(d) : y = x+2
( P)
a, Xác định tọa độ giao điểm A và B của
OAB
b, Tính diện tích
với O là gốc tọa độ.
7
và
.
( d)
.
với
( P)
( d)
.
và
( P)
với hệ số a tìm được.
BÀI 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN.
1, CƠNG THỨC NGHIỆM.
– Với PT bậc hai một ẩn dạng
∆ = b − 4ac
ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )
.
2
Và biệt thức
+ Nếu
+ Nếu
+ Nếu
Và biệt thức
∆>0
∆=0
∆<0
.
thì PT có 2 nghiệm phân biệt
x1 = x2 =
thì PT có nghiệm kép
+ Nếu
+ Nếu
∆′ > 0
∆′ = 0
∆′ < 0
−b
2a
x2 =
và
−b − ∆
2a
.
.
thì PT vơ nghiệm.
∆′ = b{{'}^ 2} − ac
+ Nếu
−b + ∆
2a
x1 =
b′ =
với
b
2
.
x1 =
thì PT có 2 nghiệm phân biệt
x1 = x2 =
thì PT có nghiệm kép
−b′ + ∆′
a
−b′
a
x2 =
và
−b′ − ∆′
a
.
.
thì PT vơ nghiệm.
2, BÀI TẬP VẬN DỤNG.
DẠNG 1. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CƠ BẢN.
Bài 1: Giải phương trình:
a,
2 x 2 − 3x − 2 = 0
.
b,
x 2 − x + 12 = 0
.
c,
4 x 2 − 12 x + 9 = 0
Bài 2: Giải phương trình:
a,
x2 − 6 x + 5 = 0
.
b,
2x2 − 7 x + 6 = 0
Bài 3: Giải phương trình:
8
.
c,
x2 − 3x − 7 = 0
a,
3x 2 − 5 x + 2 = 0
.
b,
x 2 − x − 20 = 0
.
c,
2 x2 − 7 x + 3 = 0
Bài 4: Giải phương trình:
a,
x2 + 2 x − 3 = 0
.
b,
x2 − 8x − 9 = 0
.
c,
2 x2 − 5x + 7 = 0
Bài 5: Giải phương trình:
x 2 − 3x + 2 = 0
a,
.
Bài 6: Giải phương trình:
a,
2 x 2 + x − 15 = 0
b,
.
b,
x2 − 8x − 9 = 0
x2 − x − 2 = 0
.
c,
.
c,
x2 − 5x + 6 = 0
5 x 2 + 2 10.x + 2 = 0
Bài 7: Giải phương trình:
a,
2 x2 + 7 x − 4 = 0
.
b,
x2 + 6 x − 5 = 0
.
c,
2 x2 − 5x + 2 = 0
Bài 8: Giải phương trình:
a,
2 x 2 − 3x − 3 = 0
.
b,
3 x 2 − 14 x + 8 = 0
.
c,
3 x 2 − 26 x + 48 = 0
DẠNG 2. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG.
Bài 1: Giải phương trình:
a,
4 x4 − 5x2 − 9 = 0
.
b,
x 4 + 3x 2 − 4 = 0
.
c,
x4 + 2 x2 − 8 = 0
Bài 2: Giải phương trình:
a,
x 4 + 3x 2 − 28 = 0
.
b,
3x 4 − 12 x 2 + 9 = 0
.
c,
x 4 − 5 x 2 − 36 = 0
Bài 3: Giải phương trình:
a,
x4 − 6x2 − 7 = 0
.
b,
x4 − 5x2 + 4 = 0
.
c,
x 4 + 3x 2 − 4 = 0
Bài 4: Giải phương trình:
a,
x 4 − 20 x 2 + 4 = 0
.
b,
3 x 4 − x 2 − 10 = 0
Bài 5: Giải phương trình:
9
.
c,
5 x 4 + 13x 2 − 6 = 0
a,
x 4 − 3x 2 − 4 = 0
.
b,
x4 − 2 x 2 + 1 = 0
.
c,
x 4 + 2 x 2 − 15 = 0
Bài 6: Giải phương trình:
a,
x 4 − 10 x 2 + 9 = 0
.
b,
x4 − 2 x 2 + 1 = 0
.
c,
x 4 + 7 x 2 − 18 = 0
Bài 7: Giải phương trình:
a,
x 4 − 9 x 2 + 20 = 0
.
b,
4 x4 − 5x2 − 9 = 0
Bài 8: Giải phương trình:
a,
4 x4 + 7 x2 − 2 = 0
.
b,
x4 − 4x2 − 5 = 0
10
.
.
c,
x 4 + x2 − 6 = 0
DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI.
Bài 1: Giải phương trình:
a,
5x2 + 2x = 0
.
x2 − 2x = 0
b,
.
Bài 2: Giải phương trình:
a,
2 x2 = 6 x
.
x2 + 7 x = 0
b,
.
DẠNG 4. GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PT THEO THAM SỐ.
Bài 1: Tìm m để phương trình
x 2 − 2 ( m + 1) x + m2 + 3m − 7 = 0
vô nghiệm.
x 2 − mx − 2m 2 + 3m − 2 = 0
Bài 2: Cho phương trình
với m là tham số.
Chứng minh rằng phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
Bài 3: Cho Parabol
a, vẽ
( P)
( P ) : y = x2
và đường thẳng
Bài 4: Cho Parabol
( P ) : y = − x2
M ( −2; −4 )
Bài 5: Cho Parabol
( d)
và
( d)
và
( P)
có điểm chung duy nhất.
.
có thuộc
b, Tìm m để đồ thị hàm số
a, Vẽ
.
.
b, Tìm tất cả các giá trị của tham số m để
a, Điểm
( d ) : y = 2x + m − 2
( P ) : y = − x2
( P)
không?
( d ) : y = ( m + 1) x − m 2 + 1
và đường thẳng
( P)
tiếp xúc với
(d) : y = x−2
( P)
.
trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
( d ′) ( d )
( P)
b, Viết phương trình đường thẳng
//
và tiếp xúc với
.
11
.
Bài 6: Trong hệ tọa độ Oxy, cho Parabol
( P ) : y = ax 2 , ( a ≠ 0 )
a, Tìm giá trị của b để đường thẳng
( d)
đi qua điểm
b, Với b vừa tìm được, tìm giá trị của a để
Bài 7: Cho hàm số có đồ thị là Parabol
a, Vẽ đồ thị của hàm số
( P)
( d)
và đường thẳng
M ( 0;9 )
tiếp xúc với
( P ) : y = 0, 25x 2
y = 6x + b
.
.
( P)
.
.
.
A ( 0;1)
( P)
b, Qua điểm
vẽ đường thẳng song song với trục hoành Ox cắt
tại hai điểm E và F.
Viết tọa độ của E và F.
Bài 8: Cho hai hàm số
( P ) : y = x2
a, Vẽ đồ thị của
( P) ,( d )
và
( d ) : y = −x + 2
trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
b, Xác định tọa độ giao điểm của
c, Xác định m để đường thẳng
Bài 9: Cho phương trình
.
( P)
và
( d)
.
( d ′) : y = mx − 4
ax 2 − 2 ( a − 1) x + ( a + 1) = 0
tiếp xúc với
( P)
.
với a là tham số.
a = −2
a, Giải phương trình với
.
b, Tìm a để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
c, Tìm a để phương trình chỉ có 1 nghiệm duy nhất.
Bài 10: Cho phương trình
m 2 x 2 − 2 ( m + 1) x + 1 = 0
với m là tham số.
x=2
a, Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm
.
b, Tìm giá trị ngun nhỏ nhất của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
mx 2 − 2 ( m − 1) x + 2 = 0
Bài 11: Cho phương trình:
.
a, Xác định các hệ số. Điều kiện để phương trình là phương trình bậc hai.
m =1
b, Giải phương trình khi
.
12
c, Tìm m để phương trình có nghiệm kép.
Bài 12: Cho phương trình
Bài 13: Cho hàm số
a, vẽ
( P)
x 2 − 2 ( m + 1) x + m 2 − 4 = 0
y = −2 x 2
có đồ thị là
( P)
Bài 14: Cho Parabol
a, vẽ đồ thị
( P ) : y = x2
( P)
và
( d)
( P ) : y = − x2
M ( −2; −4 )
a, Vẽ
và
( P)
và
( d)
.
( d ′) : y = mx − 4
tiếp xúc với
( d ) : y = ( m + 1) x − m2 + 1
đường thẳng
( P)
.
tiếp xúc với
( d ) : y = 2x +1
( P)
.
trên cùng hệ trục tọa độ Oxy.
.
b, Tìm tọa độ giao điểm của
( d)
và
( P)
bằng phép tính.
c, Tìm phương trình đường thẳng tiếp xúc với
Bài 17: Cho Parabol
.
có thuộc Parabol khơng? Vì sao?
( P ) : y = x2
( d)
tại hai điểm phân biệt.
.
b, Tìm M để đồ thị hàm số
Bài 16: Cho Parabol
( d ) : y = −x + 2
cắt
( P)
trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
c, Xác định m để đường thẳng
Bài 15: Cho Parabol
( d ) : y = 2 x + 5m − 3
và đường thẳng
b, Xác định tọa độ giao điểm của
( P)
.
trên hệ tọa độ Oxy.
b, Tìm giá trị của m để đường thẳng
a, Điểm
. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu.
( P ) : y = 2x2
và đường thẳng
a, Tìm tọa độ tiếp điểm của
( d)
và
b, Viết phương trình đường thẳng
( P)
( d ′)
( P)
, biết đường thẳng đó song song với
( d ) : y = 4x − 2
.
.
có hệ số góc m và đi qua điểm
13
A ( 1; 2 )
.
( d)
.
Chứng minh
( d ′)
cắt
( P)
tại hai điểm phân biệt với mọi
14
m≠4
.
BÀI 3: HỆ THỨC VI – ÉT VÀ ỨNG DỤNG.
1, HỆ THỨC VI – ÉT.
– Nếu
– Nếu
x1 , x2
là hai nghiệm của phương trình
−b
c
x1 + x2 =
x1.x2 =
a
a
+
và
.
a+b = S
và
a.b = P
ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )
thì a, b là nghiệm của phương trình
thì:
x 2 − Sx + P = 0
.
2, BÀI TẬP VẬN DỤNG.
DẠNG 1. SỬ DỤNG VI – ÉT VÀ BIẾN ĐỔI HẰNG ĐẲNG THỨC.
Bài 1: Cho
x1 , x2
là 2 nghiệm của phương trình:
x2 − 2x −1 = 0
. Tính giá trị của biểu thức
A = x12 + x22
x1 , x2
2x2 − 7 x + 1 = 0
Bài 2: Cho phương trình:
. Gọi
là hai nghiệm của phương trình,
Khơng giải phương trình hãy tính tổng và tích hai nghiệm.
Bài 3: Cho phương trình
x2 − 4 x + m −1 = 0
a, Giải phương trình với
m = −11
.
.
x1 , x2
b, Tìm m để phương trình có hai nghiệm
thỏa mãn
c, Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương.
Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol
a, Tìm m để
b, Tìm m để
( d)
( d)
Bài 5: Cho phương trình
cắt
cắt
( P)
( P)
( P ) : y = x2
x12 + x22 = 10
và đường thẳng
.
( d ) : y = −3 x − m + 2
tại hai điểm phân biệt.
tại hai điểm phân biệt có hoành độ
x 2 − 2 ( m + 1) x + m 2 + 2 = 0
a, Giải phương trình đã cho khi
m =1
.
15
x1 , x2
với m là tham số.
thỏa mãn:
x12 + x22 = 6
.
.
.
b, Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
x1 , x2
x12 + x22 = 10
thỏa mãn:
x 2 − ( m + 5 ) x + 2m + 6 = 0
Bài 6: Cho phương trình
với m là tham số.
a, Chứng minh rằng phương trình ln có hai nghiệm với mọi giá trị của m.
x1 , x2
x12 + x22 = 35
b, Tìm m để phương trình có hai nghiệm
thỏa mãn
,
Bài 7: Cho Parabol
( P ) : y = − x2
và đường thẳng
( d ) : y = −mx + m − 1
( d)
với m là tham số.
( P)
a, Tìm giá trị của m để đường thẳng
cắt
tại hai điểm phân biệt A và B
x1 , x2
x12 + x22 = 17
b, Gọi
lần lượt là hoành độ của hai điểm A và B. Tìm m thỏa mãn
.
x 2 − 2mx − 1 = 0
Bài 8: Cho phương trình
với m là tham số.
a, Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt.
x1 , x2
x12 + x22 = 18
b, Tìm m để phương trình có hai nghiệm
thỏa mãn:
.
x 2 − ( m − 2 ) x − 2m = 0
Bài 9: Cho phương trình:
.
a, Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi m.
x1 , x2
x12 + x22 = 4
b, Tìm m để phương trình có 2 nghiệm
sao cho
.
Bài 10: Cho phương trình
x2 − 2 ( m + 2) x + m + 1 = 0
m=
.
−3
2
a, Giải phương trình với
.
b, Chứng minh rằng phương trình ln có hai nghiệm phân biệt.
c, Gọi
x1 , x2
là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của m để
x 2 − ( 2m − n ) x + 2m + 3n − 1 = 0
x12 + x22 = 8
.
Bài 11: Cho phương trình
với m, n là các tham số.
n=0
a, Với
, Chứng minh rằng phương trình ln có nghiệm với mọi giá trị của m.
x1 , x2
x1 + x2 = −1
x12 + x22 = 13
b, Tìm m, n để phương trình có hai nghiệm
thỏa mãn
và
.
16
.
x 2 − mx − 3 = 0
Bài 12: Cho phương trình
.
a, Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b, Gọi
x1 , x2
là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để
Bài 13: Cho Parabol
a, Với
m =1
( P ) : y = x2
và đường thẳng
( d ) : y = −4 x + m2 − 4m
. Hãy tìm tọa độ giao điểm giữa
b, Tìm m để
Bài 14: Cho Parabol
( d)
cắt
( P)
( P ) : y = x2
( d)
cắt
Bài 15: Cho phương trình
( P)
( d)
và
và đường thẳng
( d)
và
( P)
khi
m=2
thỏa mãn
x12 + x22 = 20 − 6m
.
.
x1 , x2
thỏa mãn
x12 + 4 x22 = 5
.
.
x1 , x2
thỏa mãn
x12 + x22 = 3 ( x1 + x2 ) − 2
.
x 2 + mx − 1 = 0
a, Giải phương trình với
m=2
.
b, Tìm m để phương trình có các nghiệm
3x 2 − 6 x + 2 = 0
Bài 17: Cho phương trình
A = x12 + x22 − x1 x2
trị của biểu thức
.
Bài 18: Cho phương trình
x1 , x2
.
b, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
Bài 16: Cho phương trình
.
.
tại hai điểm phân biệt có hồnh độ
m=3
.
.
( d ) : y = ( m + 1) x − m
x 2 − 2 ( m − 1) x + m2 − 3m + 3 = 0
a, Giải phương trình với
( P)
tại hai điểm phân biệt có hồnh độ
a, Tìm tọa độ giao điểm của
b, Tìm m để
x12 + x22 = 5m
x 2 − mx − 4 = 0
x1 , x2
thỏa mãn
có hai nghiệm
.
17
x1 , x2
x12 + x22 = 5.x12 .x22
.
. Khơng giải phương trình. Hãy tính giá
a, Chứng minh rằng phương trình ln có hai nghiệm phân biệt
b, Tìm các giá trị của m để
x1 x2 − x − x = −13
2
1
2
2
x 2 − 2 ( m + 1) x + 4m = 0
Bài 19: Cho phương trình
Bài 20: Cho phương trình
a, Giải phương trình với
m=4
với m là tham số.
x1 , x2
thỏa mãn
x12 + x22 − ( x1 + x2 ) = 4
.
với m là tham số.
.
b, Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn:
x 2 − mx − 3 = 0
Bài 21: Cho phương trình
với mọi m.
.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
x2 − 4 x + m −1 = 0
x1 , x2
x1 ( x1 + 2 ) + x2 ( x2 + 2 ) = 20
.
với m là tham số.
m=2
a, Giải phương trình với
.
b, Chứng minh rằng phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
c, Gọi
x1 , x2
là hai nghiệm của phường trình. Tìm m để
( x1 + 6 ) ( x2 + 6 ) = 2019
.
x2 − 4 x + m = 0
Bài 22: Cho phương trình
với m là tham số.
−1
a, Biết phương trình có 1 nghiệm bằng
. Tính nghiệm cịn lại.
x1 , x2
b, Xác định m để phương trình có hai nghiệm
Bài 23: Cho Parabol
a, Vẽ Parabol
( P ) : y = −2 x 2
( P)
và đường thẳng
thỏa mãn:
( d) : y = x−m
( 3x1 + 1) ( 3x2 + 1) = 4
.
với m là tham số.
.
b, Tìm m để đường thẳng
x1 + x2 = x1.x2
mãn điều kiện:
.
( d)
cắt parabol
( P)
x 2 − 2mx + m 2 + 2m − 6 = 0
Bài 24: Cho phương trình
a, Tìm m để phương trình có nghiệm.
18
tại hai điểm phân biệt có hoành độ
.
x1 , x2
thỏa
b, Với
x1 , x2
là hai nghiệm của phương trình. Tính
x1.x2 = 3.x1 + 3.x2 − 1
c, Tìm m để
.
Bài 25: Cho phương trình
2 x 2 − 6 x + 2m − 5 = 0
m=2
a, Giải phương trình với
x1 + x2
và
x1.x2
theo m.
với m là tham số.
.
b, Tìm m để phương trình có 2 nghiệm
x1 , x2
thỏa mãn
1 1
+ =6
x1 x2
.
x − 2 ( m − 3) x + m + 3 = 0
2
2
Bài 26: Cho phương trình ẩn x:
với m là tham số.
a, Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm.
x1 , x2
x1 , x2
b, Gọi
là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để phương trình có hai nghiệm
thỏa
2
( x1 − x2 ) − 5x1 x2 = 4
hệ thức
.
Bài 27: Cho phương trình
x12 + x22 − 10 x1 x2 = 2020
.
x2 − 4 x + m −1 = 0
. Tìm m để phương trình có hai nghiệm
x1 , x2
thỏa mãn
x 2 − 2mx − 4 = 0
Bài 28: Cho phương trình
với m là tham số.
a, Chứng minh rằng phương trình ln có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
b, Tìm m để phương trình có 2 nghiệm
Bài 29: Cho Parabol
( P ) : y = x2
x1 , x2
và đường thẳng
thỏa mãn
( d ) : y = 2 ( m − 1) x + m2 + 2m
a, Xác định tất cả các giá trị của m để đường thẳng
b, Tìm m để Parabol
điểm A và B. Tìm m sao cho
Bài 30: Cho phương trình
( P)
( d)
cắt đường thẳng
2
x1 + x22 + 6 x1 x2 = 2020
m=2
.
19
( d)
đi qua điểm
với m là tham số.
.
với m là tham số.
I ( 1;3)
tại hai điểm A và B. Gọi
.
2 x 2 + ( 2m − 1) x + m − 1 = 0
a, Giải phương trình với
x12 + x22 = −3x1 x2
.
x1 , x2
là hoành độ hai
b, Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn
Bài 31: Cho phương trình
x 2 − 2 ( m + 1) x + m 2 = 0
a, Giải phương trình khi
m=4
4 x12 + 4 x22 + 2 x1 x2 = 1
.
.
.
b, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
x1 , x2
sao cho
x12 + x22 = 4 x1 x2
.
x 2 − ( m + 1) x + m = 0
Bài 32: Cho phương trình
với m là tham số.
a, Chứng tỏ rằng phương trình trên ln có nghiệm với mọi giá trị m.
x1 , x2
b, Gọi
là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để phương trình có hai nghiệm
2
2
x1 + x2 = ( x1 − 1) ( x2 − 1) + 2
.
Bài 33: Không dùng công thức nghiệm để giải phương trình:
3x 2 + 5x − 6 = 0
a, Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt
b, Tính giá trị của biểu thức
A = ( x1 − 1) ( x2 − 1) + x + x
2
1
2
2
x1 , x2
.
.
.
x 2 − 2 ( m − 3 ) x + 6m − 27 = 0
Bài 34: Cho phương trình
với m là tham số.
a, Chứng minh rằng phương trình ln có nghiệm với mọi m.
x1 , x2
x12 x2 + x22 x1 = 0
b, Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm
thỏa mãn
.
Bài 35: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng
a, Tìm m để
( d)
cắt
( P)
( d ) : y = mx − 2m + 3
tại hai điểm phân biệt có hồnh độ
b, Tìm m ngun nhỏ nhất để
( d)
và
( P)
x1 , x2
thỏa mãn
khơng có điểm chung.
x 2 − 2 ( m + 1) + m 2 + 2m − 1 = 0
Bài 36: Cho phương trình:
với m là tham số.
a, Chứng minh phương trình ln có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
20
và Parabol
( P ) : y = x2
.
x12 .x2 + x22 .x1 = 5
.
b, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
( P ) : y = − x2
Bài 37: Cho Parabol
và đường thẳng
x1 , x2
thỏa mãn:
( d ) : y = mx − 2
( d)
x12 .x2 + x1.x22 + 3 ( x1 + x2 ) = 0
.
( P)
a, Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì
ln cắt
tại hai điểm phân biết A và B.
x1 , x2
x12 .x2 + x22 .x1 + 5 x1 x2 = 4026
b, Gọi
lần lượt là các hồnh độ của A và B. Tìm m sao cho
.
x 2 − ( m + 5 ) x + 3m + 6 = 0
Bài 38: Cho phương trình
với m là tham số.
a, Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm với mọi m.
x1 , x2
x12 .x2 + x1.x22 = 54
b, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
thỏa mãn:
.
( P ) : y = x2
Bài 39: Cho Parabol
( d)
a, Chứng minh rằng
b, Tìm m để
x .x2 + x22 .x1 = 2020
2
1
( d)
cắt
( P)
và đường thẳng
luôn cắt
( P)
( d ) : y = 2 − mx
.
tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m.
tại hai điểm phân biệt có hồnh độ
x1 , x2
thỏa mãn:
.
Bài 40: Cho Parabol
( P ) : y = x2
a, Chứng minh
( d)
( d ) : y = ( m − 1) x + m + 4
và đường thẳng
luôn cắt
( P)
với m là tham số.
tại hai điểm phân biệt với mọi m.
x1 , x2
( d ) ( P)
b, Gọi
lần lượt là hoảnh độ giao điểm của
và
. Tìm giá trị của m để
2
2
x1 x2 + x1 x2 = 5 + x1 x2
.
x 2 − 2 ( m + 1) x + m 2 + 2 x − 1 = 0
Bài 41: Cho phương trình
với m là tham số.
a, Chứng minh phương trình ln có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
b, Tìm m để phương trình có hai nghiệm
x1 , x2
21
thỏa mãn:
x12 .x2 + x1.x22 + 3 ( x1 + x2 ) = 0
.
DẠNG 3. TÌM GTNN HOẶC GTLN CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM.
x 2 − ( 2m − 1) x + 2m − 4 = 0
Bài 1: Chứng minh rằng
Tìm GTNN của biểu thức
Bài 2: Cho đường thẳng
A= x +x
2
1
2
2
a, Tìm điểm cố định mà
b, Tìm m để d cắt
( P)
.
.
( d ) : y = ( m − 1) x − m + 2
( d)
ln có hai nghiệm phân biệt
x1 , x2
và Parabol
x2
( P) : y =
2
.
luôn đi qua với mọi m.
tại hai điểm có hồnh độ
x1 , x2
sao cho
A = x12 + x22
đạt GTLN.
x 2 − ( m − 2 ) x − 2m − 1 = 0
Bài 3: Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m thì phương trình
x1 , x2
A = x12 + x22
có hai nghiệm phân biệt
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
Bài 4: Cho Parabol
a, Khi
m =1
b, Tìm m để
GTNN.
( P ) : y = x2
và đường thẳng
( d ) : y = ( 2m + 1) x − 2m
, xác định tọa độ giao điểm của
( d)
và
( P)
( d)
cắt nhau tại hai điểm
và
( P)
luôn
với m là tham số.
.
A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 )
sao cho
A = x12 + x22 − x1 x2
x 2 − 2mx + m − 2 = 0
Bài 5: Cho phương trình
với m là tham số.
a, Chứng minh rằng phương trình ln có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
b, Tìm m sao cho biểu thức
Bài 6: Cho Parabol
A, Khi
( P ) : y = x2
m =1
và đường thẳng
b, Tìm m để
T = x12 + x22 − x1 x2
và
( P)
đạt GTNN
( d ) : y = ( 2m + 1) x − 2m
xác định tọa độ giao điểm của
( d)
thức
M = x12 + x22 − 6 x1 x2
( d)
và
( P)
cắt nhau tại hai điểm phân biệt
đạt GTNN
22
với m là tham số.
.
A ( x1 ; y1 )
và
B ( x2 ; y2 )
sao cho biểu
đạt
x 2 − mx + m − 1 = 0
Bài 7: Cho phương trình
với m là tham số.
a, Chứng minh phương trình ln có nghiệm với mọi m.
b, Gọi
x1 , x2
là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để
( P) : y =
Bài 8: Cho
− x2
4
a, Chứng minh
b, Gọi
giá trị đó.
x1 , x2
A = x12 + x22 − 6 x1 x2
và đường thẳng
( d)
luôn cắt
( P)
( d ) : y = ( m − 1) x − 2
.
tại hai điểm phân biệt A và B khi m thay đổi.
lần lượt là hồnh độ của A và B. Tìm m để
Bài 9: Cho phương trình
đạt giá trị nhỏ nhất.
x12 .x2 + x22 .x1
đạt giá trị nhỏ nhất và tính
x2 + ( m + 2) x + m − 1 = 0
với m là tham số. Chứng minh rằng phương trình
A = x12 + x22 − 3 x1 x2
ln có nghiệm với mọi m. Tìm m để biểu thức
đạt GTNN
Bài 10: Cho phương trình
x 2 − 2mx + m 2 − m + 3 = 0
a, Giải phương trình với
m=4
.
b, Tìm m để phương trình có hai nghiệm
Bài 11: Cho phương trình
x 2 − mx − 3 = 0
a, Giải phương trình khi
m=2
với m là tham số.
x1 , x2
và
P = x1 x2 − x1 − x2
đạt GTNN
với m là tham số.
.
b, Chứng minh rằng phương trình ln có 2 nghiệm phân biệt
2 ( x1 + x2 ) + 5
A=
x12 + x22
c, Tìm GTLN của biểu thức
.
x1 , x2
với mọi giá trị của m.
DẠNG 4. TÌM THAM SỐ ĐỂ THỎA MÃN HỆ THỨC NGHIỆM.
Bài 1: Cho Parabol
a, Với
( P ) : y = x2
m = −1
và đường thẳng
, tìm tọa độ giao điểm của
( d ) : y = mx + 2
( P)
23
và
( d)
.
.
b, Tìm m để
( d)
cắt
Bài 2: Cho phương trình:
( P)
tại hai điểm phân biệt có hồnh độ
x1 , x2
sao cho
x1 − 2 x2 = 5
.
x2 − 2 ( m − 2) x + m − 6 = 0
a, Tìm m để phương trình có 1 nghiệm
.
x = −1
và tìm nghiệm cịn lại.
b, Chứng minh rằng phương trình ln có hai nghiệm phân biệt
x1 − x2 = 4
tìm m để
.
x1 , x2
với mọi giá trị của m và
x2 − 8x + m + 2 = 0
Bài 3: Cho phương trình
.
a, Tìm m để phương trình có nghiệm kép, tìm nghiệm kép đó.
x1 , x2
x1 − 2 x2 = 2
b, Tìm m để phương trình có hai nghiệm
thỏa mãn
.
( P ) : y = 2 x2
( d ) : y = 3x − m
( d)
Bài 4: Cho Parabol
và đường thẳng
. Tìm m để đường thẳng
P
x
,
x
x
−
2 x2 = 0
( )
1 2
1
Parabol
tại hai điểm phân biệt có hoảnh độ
sao cho
.
cắt
x 2 − x + 3m − 11 = 0
Bài 5: Cho phương trình
với m là tham số.
a, Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm kép.
x1 , x2
2018 x1 + 2018 x2 = 2019
b, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
sao cho
.
Bài 6: Cho phương trình
x 2 − ( 2m − 1) x + m 2 − 2 = 0
m=
a, Giải phương trình với
3
2
với m là tham số.
.
b, Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm
x1 , x2
( P ) : y = x2
thỏa
2 x1 + x2 ( 2 − x1 ) = 3
( d ) : y = 2 x + 4m2 − 8 x + 3
Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, Cho Parabol
và đường thẳng
d
P
( ) ( )
với m là tham số. Tìm các giá trị của m để
và
cắt nhau tại hai điểm phân biệt
A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 )
y1 + y2 = 10
thỏa mãn điều kiện
.
24
.
Bài 8: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol
a, Tìm tọa độ giao điểm của
( d)
b, Tìm m để
cắt
( P)
Bài 9: Cho Parabol
a, Chứng minh
( d)
( d)
và
cắt
( P)
b, Tìm tất cả các giá trị của m để
y1 + y2 = 11 − 4 x1 − 4 x2
( x2 ; y2 )
sao cho
.
Bài 10: Cho Parabol
( P)
1 2
x
2
( d ) : y = mx + 3
( d)
cắt
( P)
và đường thẳng
( P)
x 2 − ( m + 4 ) x + 4m = 0
m = −1
m =1
thỏa mãn
.
( d ) : y = −x + m
với đường thẳng
( d)
cắt
( P)
( x1; y1 )
và
với m là tham số.
( d)
khi
m=4
.
tại hai điểm phân biệt
với m là tham số.
.
x 2 − 2mx + m 2 − m + 1 = 0
a, Giải phương trình khi
M ( x1 ; y1 ) , N ( x2 ; y2 )
tại hai điểm phân biệt có tọa độ
b, Tìm m để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt
Bài 12: Cho phương trình:
.
.
tại hai điểm phân biệt
b, Tìm tất cả các giá trị của tham số m để
A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 )
x1 x2 + y1 y2 = 5
thỏa mãn:
.
a, Giải phương trình khi
( d) : y = x−m+3
tại hai điểm phân biệt với mọi gía trị của m.
a, Tìm tọa độ giao điểm của Parabol
Bài 11: Cho phương trình
m =1
khi
và đường thẳng
luôn cắt
( P) : y =
( P)
và đường thẳng
tại hai điểm phân biệt
c, Với giá trị nào của m thì
y1 + y2 = 3 ( x1 + x2 )
.
( P ) : y = x2
( d)
( P ) : y = x2
x1 , x2
thỏa mãn:
x12 + ( m + 4 ) x2 = 16
.
.
b, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
25
x1 , x2
thỏa mãn:
x22 + 2mx1 = 9
.
.
