Toán 9 Chương 2 Đường tròn

CHƯƠNG II. ĐƯỜNG TRÒN.
BÀI 1: ĐƯỜNG TRÒN.
1, ĐƯỜNG TRÒN.

– Đường trịn tâm O bán kính R,
KH:

( O; R )

( R > 0)

là hình gồm các điểm cách O một khoảng bằng R.

.

– Điểm M nằm trên đường trịn thì

OM = R

– Điểm A nằm bên trong đường tròn
– Điểm B nằm bên ngồi đường trịn

.
OA < R
OB > R

.
.

2, CÁCH XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN.
– Qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ 1 đường tròn ( Giao của ba

đường trung trực).
– Đường tròn là hình có tâm đối xứng ( Tâm đối xứng là tâm của đường trịn)
– Đường trịn là hình có trục đối xứng ( Trục đối xứng là đường kính bất kì).
Chú ý:
– Đường trịn đi qua 3 đỉnh của tam giác vng có tâm là trung điểm cạnh huyền.

.

1


.

2


3, BÀI TẬP VẬN DỤNG.

AB = 12cm, BC = 5cm
Bài 1: Cho HCN ABCD có
. Chứng minh 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một
đường trịn. Tính bán kính của đường trịn đó.

AB = 8cm, BC = 15cm

Bài 2: Cho HCN ABCD có
đường trịn. Tính bán kính của đường trịn đó.

. Chứng minh 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một

AD = 8cm, AC = 6cm, CD = 4,8cm

Bài 3: Cho hình thang cân ABCD có AD // BC. Biết
điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường trịn. Tính bán kính của đường trịn này.

.

. Chứng minh 4

3


Bài 4: Cho
ngoại tiếp

∆ABC
∆ABC

vng tại A có

, đường cao

AH = 4,5cm

. Tính bán kính đường trịn

.

Bài 5: Cho đường trịn
( O)

cắt
tại A và B.
a, Chứng minh
b, Tính BC.

Bài 6: Cho

AB = 7,5cm

∆ABC

( O; OA)

∆OAB

cân tại A có

biết

OA = 3cm

. Đường thẳng vng góc với OA tại trung điểm của OA

đều.

BC = 6cm

và độ dài đường cao

AM = 4cm

. Vẽ

( O)

ngoại tiếp

∆ABC

.

( O)

a, Tính AB và đường kính AA’ của đường tròn
.
AH ⊥ CB′
b, Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua O. Vẽ
tại H.
Tứ giác AHCM là hình gì.

.

4


.

5

Bài 7: Cho

∆ABC

đều có

AB = 6cm

. Tính bán kính đường tròn đi qua ba điểm A, B, C.

( O)
∆ABC
Bài 8: Cho
nhọn. Vẽ đường trịn
đường kính BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại D và E.
Gọi H là giao điểm của BE và CD.
CD ⊥ AB, BE ⊥ AC
a, Chứng minh
.
AH ⊥ BC
b, Chứng minh
.

.

6


( O)
AB = 6cm, AC = 8cm

∆ABC
Bài 9: Cho
vuông tại A, Biết
. Vẽ đường trịn
đường kính AB cắt BC
tại H.
a, Tính AH, CH.
OK ⊥ AH
DH ⊥ OH
b, Kẻ
tại K và tia OK cắt AC tại D. Chứng minh

Bài 10: Cho

∆ABC

vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn
K
( )
D. Vẽ đường trịn
đường kính HC cắt AC tại E.
a, Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật.
AD. AB = AE. AC
b, Chứng minh
.
c, Cho

.

AB = 3cm, BC = 5cm

( I)

có đường kính HB cắt cạnh AB tại

. Tính DE và diện tích tứ giác DEKI.

7


( O; R )
Bài 11: Cho nửa đường trịn
đường kính BC. A là một điểm thay đổi trên đường tròn sao cho
·
BAC
AB > AC
. Tia phân giác
cắt đường trung trực BC tại D. Hạ DH và DK lần lượt vuông góc với
AB và AC.
a, Chứng minh AHDK là hình vng.
b, Chứng minh A, B, C, D cùng thuộc 1 đường trịn.
AM ⊥ BC
2.AM + BM
c, Hạ
. Tìm giá trị lớn nhất của
.

.

8

BÀI 2: ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRỊN.
1, ĐỊNH LÍ.
– Trong các dây của đường trịn, đường kính là dây lớn nhất.

– Trong một đường trịn, đường kính vng góc với dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
– Trong một đường trịn, đường kính đi qua trung điểm của dây ( Dây khơng đi qua tâm) thì
vng góc với dây ấy.

2, BÀI TẬP VẬN DỤNG.

( O)

Bài 1: Cho
đường kính AD, dây AB khơng đi qua tâm, Qua B vẽ dây BC vng góc với AD tại H.
AB = 10cm, BC = 12cm
Biết
.
a, Tính AH.
b, Tính bán kính

.

( O)

.

9

( O; R )

Bài 2: Cho
dây AB. Trên tia đối của tia BA lấy điểm C sao cho
( O nằm giữa C và D).
·AOD = 3. ·ACD
a, Chứng minh
.
AB = R
b, Cho biết
. Tính OC, CD, AD theo R.

Bài 3: Cho nửa

BC = R

. Tia CO cắt

( O)

tại D

( O)

, đường kính AB, dây CD, các đường thẳng vng góc với CD tại C và D lần lượt
AM = BN
cắt AB tại M và N ( M nằm giữa A và O, N nằm giữa B và O). Chứng minh
.

( O)
AH = BK
Bài 4: Cho nửa đường trịn
đường kính AB. Trên AB lấy hai điểm H, K sao cho
( H nằm
giữa A và O, K nằm giữa B và O). Các đường thẳng qua H và K song song với nhau cắt nửa đường tròn
PH ⊥ PQ
QK ⊥ PQ
lần lượt tại P và Q. Chứng minh
và
.

.

10


∆ABC
Bài 5: Cho
, đường cao BH và CK.
a, Chứng minh B, C, H, K cùng thuộc một đường tròn.
HK < BC
b, Chứng minh
.

Bˆ = Dˆ = 900

Bài 6: Tứ giác ABCD có
.
a, Chứng minh A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.

AC = BD
b, So sánh AC và BD. Nếu
thì tứ giác ABCD là hình gì?

Bài 7: Cho nửa đường trịn

( O)

, đường kính AB và dây EF khơng cắt đường kính. Gọi I và K lần lượt là
IE = KF
chân đường vng góc kẻ từ A và B xuống EF. Chứng minh
.
.

11


HD:
Kẻ

.

OH ⊥ EF

.

12


( O)

( O)
AB = 2 R
Bài 8: Cho
đường kính
vẽ cung trịn tâm D bán kính R cắt
tại B và C.
a, Tứ giác OBDC là hình gì?
·
·
CBD
, CBO
b, Tính các góc
.
∆ABC
c, Chứng minh
đều.

Bài 9: Cho

( O)

đường kính AB, dây CD cắt AB tại I. Gọi H, K lần lượt là chân đường vng góc kẻ từ
CH = DK
A và B đến CD. Chứng minh
.

Bài 10: Cho đường tròn

( O)

, hai dây AB và CD song song với nhau ( O nằm trong phần mặt phẳng của
BH = OK
hai dây). Qua O kẻ đường thẳng vng góc với AB tại H với CD tại K. Biết
.
OH = DK
a, Chứng minh
.
b, Tính BD theo R.

.

13


∆ABC
∆ABD
Bài 11: Cho
và
có chung cạnh huyền AB ( C và D cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB)
a, Chứng minh 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn tâm O.
CD < AB
b, Chứng minh
.
AM + BM
OM =
2
c, Giả sử AB cắt CD tại M. Chứng minh
.

( O)

OC = OD
đường kính AB, Trên AB lấy hai điểm C và D sao cho
. Từ
( O)
EF ⊥ CE
EF ⊥ DF
C và D kẻ hai tia song song cắt nửa đường tròn
tại E và F. Chứng minh
và
.

Bài 12: Cho nửa đường tròn

( A; AB )

Bài 13: Cho
, dây FE kéo dài cắt AB tại C ( E nằm giữa F và C). hạ
AB = 10cm, AD = 8cm, CF = 21cm
. Tính CE và CA

.

AD ⊥ CF

. Cho

14

.

15


Bài 14: Cho

∆ABC

nhọn nội tiếp trong đường tròn
AH = 2OK
Chứng minh
.

Bài 15: Cho

( O; R )

, H là trực tâm

∆ABC

. Vẽ

OK ⊥ BC

.

( O)

hai dây AC và BD bằng nhau, cắt nhau tại E.
EA = ED, EB = EC
a, Chứng minh
.
b, Chứng minh
OE ⊥ BC

, AD // BC.
c, Chứng minh

.

AB = CD

.

16


BÀI 3. LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY.
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN.
1, LÍ THUYẾT.
– Trong một đường trịn:
+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.
+ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.

– Trong hai dây của một đường trịn:
+ Dây nào lớn hớn thì gần tâm hơn.
+ Dây nào gần tâm hơn thì lớn hớn.
Chú ý:

– Trong một đường trịn, đường kính là dây lớn nhất.
2, VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN.
– Đường thẳng và đường trịn cắt nhau:
Khi đó

OH < R

và

HA = HB = R 2 − OH 2

.

– Đường thẳng và đường trịn tiếp xúc nhau:
OH = R
Khi đó
, đường thẳng gọi là tiếp tuyến của đường tròn và điểm giao gọi là tiếp điểm.

.

17


– Đường thẳng và đường trịn khơng giao nhau:
OH > R
Khi đó
.

Định lí:

( d)

( O)

( d)

– Nếu đường thẳng
là tiếp tuyến của đường trịn
thì
vng góc với bán kính đi qua
tiếp điểm.
– Nếu một đường thẳng đi qua 1 điểm của đường trịn và vng góc với bán kính tại đi qua điểm
đó thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của đường tròn.
2, BÀI TẬP VẬN DỤNG.

( O)

Bài 1: Cho
hai dây AB và CD bằng nhau và cắt nhau tại I nằm bên trong đường tròn.
a, Chứng minh IO là tia phân giác của một trong hai góc tạo bởi dây AB và CD.
b, Điểm I chia AB, CD thành các đoạn thẳng bằng nhau tương ứng.

.

18


( O)
AM = BN
Bài 2: Cho

, các bán kính OA và OB. Trên cung nhỏ AB lấy các điểm M và N sao cho
.
Gọi C là giao điểm của AM và BN.
·AOB
a, Chứng minh OC là tia phân giác
.
OC ⊥ AB
b, Chứng minh
.

( O)

Bài 3: Cho
đường kính AB, dây CD cắt AB tại M. Biết
khoảng cách từ O đến CD.

.

·
BMD
= 300 , MC = 4cm, MD = 12cm

. Tính

19


( O)
Bài 4: Cho
có hai dây AB và CD bằng nhau và cắt nhau tại 1 điểm S ở bên ngồi đường trịn ( A

nằm giữa S và B, C nằm giữa S và D).
·ASC
a, Chứng minh SO là tia phân giác
.
SA = SC
b, Chứng minh
.

Bài 5: Cho điểm A cách đường thẳng xy là $12cm$. Vẽ đường tròn

( A;13cm )

.

( A)

a, Chứng minh
có hai giao điểm với xy.
b, Gọi hai giao điểm là B và C. Tính BC.

.

20


Aˆ = Dˆ = 900 , AB = 4cm, BC = 13cm, CD = 9cm

Bài 6: Cho hình thang vng ABCD có
a, Tính AD.
b, Chứng minh AD tiếp xúc với đường trịn đường kính BC.

.

( O; OA )

Bài 7: Cho
, Dây CD là trung trực của OA.
a, Tứ giác OCAD là hình gì?
OA = R
b, Kẻ tiếp tuyến tại C cắt OA tại I, biết
. Tính CI.

.

21


( O)
Bài 8: Cho nửa đường trịn
đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến d của
đường tròn. Gọi E, F lần lượt là chân đường vng góc từ A và B đến d. Gọi H là chân đường vng góc
kẻ từ C đến AB.
CE = CF
a, Chứng minh
.
·
BAE
b, AC là tia phân giác
.
c, Chứng minh

Bài 9: Cho

∆ABC

CH 2 = AE.BF

.

( B; BA)

và đường tròn
( B)
( khác A). Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường trịn
.

.

vng tại A, vẽ đường trịn

( C; CA)

chúng cắt nhau tại D

22


Bài 10: Cho
AH.

∆ABC

cân tại A, các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Vẽ đường tròn

a, Chứng minh E là điểm nằm trên đường tròn
b, DE là tiếp tuyến của

( O)

( O)

( O)

.

.

Aˆ = Dˆ = 900

Bài 11: Cho hình thang vng ABCD có
. Gọi M là trung điểm của AD, biết
a, Chứng minh AD là tiếp tuyến của đường trịn đường kính BC.
b, BC là tiếp tuyến của đường trịn đường kính AD.

Bài 12: Cho hình vng ABCD, trên dường chéo BD lấy điểm I, sao cho
thẳng vng góc với BD cắt AD tại E. Chứng minh BD là tiếp tuyến của

.

đường kính

BI = BA

( E; EA)

·
BMC
= 900

.

. Qua I kẻ đường

.

23


.

24


∆ABC
Bài 13: Cho
đều, đường cao BD và CE cắt nhau tại H, AH cắt BC tại M.
a, Chứng minh 4 điểm A, D, H, E cùng thuộc một đường tròn.
b, Chứng minh MD là tiếp tuyến của đường tròn đi qua 4 điểm A, D, H, E.

( O)

BC = BO
Bài 14: Cho nửa đường trịn
đường kính AB và C nằm trên nửa đường tròn sao cho
. Tia
AC cắt tiếp tuyến kẻ từ B với nửa đường tròn tại D.
a, Chứng minh

BC 2 = AC.CD

b, Cho bán kính đường trịn

.

.

( O)

là 4cm. Tính BD.

25