DE DA HSG THCS Nguyen Gia Thieu QTan Binh 20142015

<span class='text_page_counter'>(1)</span>COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG. 2014 -2015. ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 Trường NGUYỄN GIA THIỀU (2014-2015) Thời gian: 120 phút (NGAØY THI: 15/11/2014) Bài 1: (2 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x2  x  2001.2002 b) x3  5x2  8x  4 c) x6  x4  x2 y 2  y 4  y 6 Baøi 2: (2 ñieåm) Tìm x, bieát: a)  x  1 x  2  x  3 x  4   24 b) x2  1  a x  1  0 Bài 3: ( 1 điểm) Cho 4 số a, b, c, d thỏa mãn: a + b = c + d; a2  b2  c2  d2 . Chứng minh rằng: a202  b202  c202  d202 Bài 4: (1 điểm) Chứng minh rằng với x, y nguyên thì: A   x  y  x  2y  x  3y  x  4y   y 4 laø moät soá chính phöông. Bài 5: (0,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B  5x2  2y2  4xy  2x  4y  2014 Bài 6: ( 2,5 điểm) Cho ABC vuông tại A (AB < AC), có AH là đường cao. Trong nửa mặt phẳng bờ AH có chức C vẽ hình vuông AHKE. a) Chứng minh: C  450 . b) Gọi P là giao điểm của AC và KE. Chứng minh: AB = AP. c) Gọi Q là đỉnh thứ tư của hình bình hành APQB, gọi I là giao điểm của BP và AQ. Chứng minh ba ñieåm H, I, E thaúng haøng. d) Chứng minh: HE // QK. Baøi 7: (1 ñieåm) Cho tam giaùc DBC nhoïn. Keû BM  CD M  CD ,CA  BD A  BD . Goïi I laø trung điểm của AB, qua I kẻ đường thẳng vuông góc với AB và cắt CB tại O; qua M kẻ đường thẳng vuông góc với MO cắt DA tại K. Chứng minh: KA.KB  KM2 ..   HEÁT  . Trang 1. Học Sinh Giỏi Lớp 8 – Tr. NGUYỄN GIA THIỀU (14-15).

<span class='text_page_counter'>(2)</span> COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG. 2014 -2015. HƯỚNG DẪN ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 Trường NGUYỄN GIA THIỀU (14-15). Bài 1: (2 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x2  x  2001.2002 x2  x  2001.2002  x 2  2001x  2002x  2001.2002.  x  x  2001  2002  x  2001   x  2001 x  2002 . b) x3  5x2  8x  4 x3  5x2  8x  4  x3  x2  4x2  4x  4x  4  x2  x  1  4x  x  1  4  x  1. . .   x  1 x2  4x  4   x  1 x  2 . 2. c) x6  x4  x2 y 2  y 4  y 6. .  .  . .  . x6  x4  x2 y 2  y 4  y 6  x6  y 6  x4  x2 y 2  y 4  x2  y 2 x4  x2 y 2  y 4  x 4  x2 y 2  y 4. . . .  x4  x2 y 2  y 4 x2  y 2  1. Baøi 2: (2 ñieåm) Tìm x, bieát: a)  x  1 x  2  x  3 x  4   24.  x  1 x  2  x  3 x  4   24   x  1 x  4  x  2  x  3   24   x. . . . . 2. . .  5x  4 x 2  5x  6  24. . . 2.   x 2  5x  5  1  x 2  5x  5  1  24  x 2  5x  5  1  24   . .  x 2  5x  5. . 2.  25  x 2  5x  5  5 hay x 2  5x  5  5 2.  5  15  x  5x  0 hay x  5x  10  0  x  x  5   0 hay  x     0  voâ lí  2 4   x  0 hay x  5 2. 2. Vaäy x = 0 hay x = -5 b) x2  1  a x  1  0 1 TH1: a = 0, khi đó, (1) trở thành: x2  1  0  x2  1  0  x  1 TH2: a  0 2  x  1 x  1  0   x 1 Ta coù: x  1  a  x  1  0   a x  1  0 x  1      Vaäy: Khi a = 0 thì x  1 Khi a  0 thì x =1 2. Trang 2. Học Sinh Giỏi Lớp 8 – Tr. NGUYỄN GIA THIỀU (14-15). .

<span class='text_page_counter'>(3)</span> COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG. 2014 -2015. Bài 3: ( 1 điểm) Cho 4 số a, b, c, d thỏa mãn: a + b = c + d; a2  b2  c2  d2 . Chứng minh rằng: a202  b202  c202  d202 Ta coù: a  b  c  d  a2  b2  2ab  c2  d2  2cd  2ab  2cd 2 2 a  b  c  d Maø a2  b2  c2  d2 neân a2  b2  2ab  c2  d2  2cd   a  b   c  d    a  b  d  c TH1: a  b  d  c Ta coù : 202 202  a  b  d  c a  b  a  b  d  c  c  d a  d a  d     a202  b202  c202  d202     202 202  a  b  c  d a  b  c  d b  c b  c. TH2: a  b  c  d Ta coù : 202 202  a  b  c  d a  b  a  b  c  d  c  d a  c a  c     a202  b202  c202  d202     202 202  a  b  c  d a  b  c  d b  d b  d Caùch 2: a  c  d  b Ta coù: a  b  c  d   a  d  c  b Ta coù: a2  b2  c2  d2  a2  c2  d2  b2   a  c a  c   d  b d  b. maø a  c  d  b neân  d  b a  c   d  b d  b   d  b a  c  d  b  0. b  d maët khaùc: a  d  c  b neân  d  b c  b  c  b  0   d  b c  b   0   …. c  b Bài 4: (1 điểm) Chứng minh rằng với x, y nguyên thì: A   x  y  x  2y  x  3y  x  4y   y 4 laø moät soá chính phöông. A   x  y  x  2y  x  3y  x  4y   y 4 A   x  y  x  4y  x  2y  x  3y   y 4. . . . A  x 2  5xy  4y 2 x 2  5xy  6y 2  y 4. Đặt t  x2  5xy  5y 2 , khi đó biểu thức trở thành:. . . . A  t  y2 t  y2  y4 A  t2  y 4  y 4 A  t2. . A  x 2  5xy  5y 2. . 2. là số chính phương với x, y là số nguyên. Bài 5: (0,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B  5x2  2y2  4xy  2x  4y  2014 Caùch 1: B  5x2  2y2  4xy  2x  4y  2014. .  .  . . B  x 2  2x  1  4x 2  4xy  y 2  y 2  4y  4  2009 B   x  1   2x  y    y  2   2009  2009 2. Trang 3. 2. 2. Học Sinh Giỏi Lớp 8 – Tr. NGUYỄN GIA THIỀU (14-15).

<span class='text_page_counter'>(4)</span> COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG. 2014 -2015.  x  12  0  2 x  1  Vaäy Bmin  2009 . Daáu ‘’=’’ xaûy ra khi  2x  y   0   y  2  2  y  2   0  Caùch 2: 2B  10x 2  4y 2  8xy  4x  8y  4028  2B  4y 2  2.  2y  2x  2    2x  2   4x 2  8x  4  10x 2  4x  4028 2.  2B   2y  2x  2   6x 2  12x  4024 2.  2B   2y  2x  2   6  x  1  4018  4018 2. 2.  B  2009. 2y  2x  2  0 y  2  Daáu “=” xaûy ra khi  x  1  0 x  1 x  1 Vaäy GTNN cuûa B laø 2009 khi  y  2 Bài 6: ( 2,5 điểm) Cho ABC vuông tại A (AB < AC), có AH là đường cao. Trong nửa mặt phẳng bờ AH có chức C vẽ hình vuông AHKE. a) Chứng minh: C  450 .. A. Xeùt ABC , ta coù: AB < AC (gt). E.  C  B (quan hệ cạnh và góc đối diện trong tam giác). maø C  B  900  ABC vuoâng taïi A  neân 2C  900  C  450. P I B. b) Gọi P là giao điểm của AC và KE. Chứng minh: AB = AP.. C K. H. Q.  AH  AE vì AHKE laø hình vuoâng   Xeùt AHC vaø AEP , ta coù: AHB  AEP  90 0  HAB  EAP cuøng phuï HAP   AHB = AEP g  c  g   AB  AP. . . . . c) Gọi Q là đỉnh thứ tư của hình bình hành APQB, gọi I là giao điểm của BP và AQ. Chứng minh ba ñieåm H, I, E thaúng haøng. Xeùt hình bình haønh APQB, ta coù I laø giao ñieåm cuûa BP vaø AQ (gt)  I laø trung ñieåm cuûa BP vaø AQ.. Trang 4. Học Sinh Giỏi Lớp 8 – Tr. NGUYỄN GIA THIỀU (14-15).

<span class='text_page_counter'>(5)</span> COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG. 2014 -2015.  HA  HK AHKE laø hình vuoâng     Ta coù : EA  EK AHKE laø hình vuoâng  IA  IK  1 BP      2   H, E, I cùng thuộc đường trung trực của đoạn AK.  H, I, E thẳng hàng. d) Chứng minh: HE // QK. Xeùt hình bình haønh ABQP, ta coù BAP  900  ABC vuoâng taïi A .  hình bình hành ABQP là hình chữ nhật (tứ giác là hình bình hành có một góc vuông)  1 1 KI  BP  KI là trung tuyến ứng với cạnh huyền BP  KI  AQ 2 Ta coù:  2 BP  AQ  ABQP là hình chữ nhật . KI là đường trung tuyến  I là trung điểm của AQ  Xeùt KAQ , ta coù:  1 KI  AQ  cmt  2  KAQ vuoâng taïi K  QK  AK maø AK  HE vì AHKE laø hình vuoâng  neân HE // QK.. Baøi 7: (1 ñieåm) Cho tam giaùc DBC nhoïn. Keû BM  CD M  CD ,CA  BD A  BD . Goïi I laø trung điểm của AB, qua I kẻ đường thẳng vuông góc với AB và cắt CB tại O; qua M kẻ đường thẳng vuông góc với MO cắt DA tại K. Chứng minh: KA.KB  KM2 .. KA  KI  IA  KA.KB   KI  IA  KI  IB Ta coù:  KB  KI  IB maø IA = IB (I laø trung ñieåm cuûa AB) neân KA.KB   KI  IA  KI  IA   KA.KB  KI2  IB2. D. 1. Ta coù: KM2  MO2  OK2  ñònh lí Pitago trong MKO vuoâng taïi M.  KM2  OK2  MO2   1  MO  BO   BC maø   2  KO2  IO2  KI2 ñònh lí Pitago trong IKO vuoâng taïi I    neân KM2  IO2  KI2  BO2 Maët khaùc: BO2  IB2  IO2  ñònh lí Pitago trong IBO vuoâng taïi I. . neân KM  IO  KI  IB  IO 2. 2. 2. 2. 2. . K M. A I. B. O.  KM2  IO2  KI2  IB2  IO2  KM2  KI2  IB2. 2. Từ (1) và (2), ta suy ra: KA.KB  KM2.   HEÁT   Trang 5. Học Sinh Giỏi Lớp 8 – Tr. NGUYỄN GIA THIỀU (14-15). C.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>