Một số phương pháp giải các bài toán cực trị của bậc trung học cơ sở

A. PHẦN MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Trong những năm đây, các kỳ khảo sát chất lượng, thi học sinh giỏi bậc
THCS và các kỳ thi tuyển sinh vào trường THPT thường gặp những bài tốn u
cầu tìm GTNN, GTLN của một đại lượng nào đó. Các bài tốn này gọi chung là
các bài toán cực trị.
Các bài toán cực trị rất phong phú và đa dạng mang nội dung vô cùng sâu
sắc trong việc giáo dục tư tưởng qua mơn tốn. Bài tốn đi tìm cái tốt nhất, rẻ
nhất, ngắn nhất, dài nhất... trong một bài toán. Đe dần dần hình thành cho học
sinh thói quen đi tìm giải pháp tối ưu cho một cơng việc nào đó trong cuộc sống
sau này.
Các bài toán cực trị Đại số ở bậc THCS có ý nghĩa rất quan trọng đối với
các em học sinh. Ở bậc THCS chưa có lý thuyết đạo hàm nên phải bằng cách
giải thơng minh, tìm ra các biện pháp hữu hiệu và phù hợp với trình độ kiến thức
tốn học ở bậc học để giải quyết loại toán này.
Các bài toán về cực trị Đại số ở bậc THCS góp phần khơng nhỏ vào việc
rèn luyện tư duy cho học sinh.
Với ý nghĩa như vậy, việc hướng dẫn học sinh nắm được các phương
pháp giải các bài toán cực trị là vấn đề quan trọng. Qua thực tế giảng dạy bản
thân đã rút ra được một số phương pháp để giải các bài toán cực trị nhằm giúp
thêm tài liệu cho việc bồi dưỡng học sinh khá - giỏi toán.
II. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:
Áp dụng với học sinh khối 8, 9. Là học sinh khá giỏi tham gia trong các
đội tuyển HSG trường, học sinh thi đồng đội Toán tỉnh.
III. NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI:
Giúp cho học sinh làm quen và có một số hiểu biết về một số dạng toán
cực trị thường gặp.
Đề tài trình bày một số phương pháp giải các bài tốn cực trị của bậc
THCS. Mỗi phương pháp được trình bày theo cấu trúc gồm: Cơ sở lý thuyết và
ví dụ minh hoạ hoặc từ bài tập cụ thể, rút ra nhận xét tổng quát.
IV. PHẠM VI ĐỀ TÀI:

Đề tài chỉ đề cập tới một số phương pháp giải một số loại toán cực trị đại
số thường gặp trong chương trình tốn học THCS, đối tượng mà đề tài nhằm tới
là học sinh khá, giỏi toán THCS.
V.

PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

Tổng hợp, hệ thống từ việc dạy bồi dưỡng học sinh khá giỏi, tham khảo
mơt số tài liệu có liên quan.
B. PHẦN NỘI DUNG L
Kiến thức:
1. Cho biểu thức f(x, y...)
Ta nói M là giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức f(x, y...), kí hiệu max f
= M, nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn:
-

Với mọi X, y ... để f(x, y...) xác định thì
F(x, y...) < M ( M là hằng số )

-

Tồn tại x0 , yo , ... sao cho
f(x0, yo,...) = M

2. Cho biểu thức f(x, y...)
Ta nói m là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x, y...), kí hiệu max f
= m, nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn:
-

Với mọi X, y ... để f(x, y...) xác định thì
F(x, y...) > m ( m là hằng số )

-

Tồn tại x0 , yo , ... sao cho
f(x0, y0,...) = m

ĨL Phương pháp giải các bài tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một
biểu thức đại sổ bằng cách đưa về dạng A(x) > 0 { hoặc A(x) < 0 }
-

Đe tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức A(x) ta cần:
+ Chứng minh rằng A(x) > k với k là hằng số.
+ Chỉ ra dấu "=" có thể xảy ra.

- Để tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức A(x) ta cần:
+ Chứng minh rằng A(x) < k với k là hằng số.
+ Chỉ ra dấu "=" có thể xảy ra.
Ví du 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(x) = (x - l)2 + (x-3)2.


(Nâng cao và phát trỉến Toán 8)
Giải:
A(x) = (x-l)2 + (x-3)2 = x 2 -2x+1+x 2 -6x+9=2(x 2 -4x+5)=2(x-2) 2 +2>2 Vì (x-2) 2 > 0 với
Vậy Min A(x) = 2 khi X = 2 Ví du 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B(x)

V X.

= -5x2 - 4x+l
(Nâng cao và phát trỉến Toán 8)
Giải: Từ B(x) = -5x2 - 4x+l ta có B(x)= -5(x2+-x)+l
2>

4

l
X+

—

25

2>

l
X+l5
(

íT

+

(

í

2

l2

—

\5 J

<0

( 2^
x+l 5;

2>

ị

—

C

(

—

M

( 2' 2
2„2
X + 2 —X + ì
5
\5 J

J

( 2>1
x+l 5)

> 0 với VxễR nên -5

Vì
Max B(x) =-khi X = ——
■B(x) = -5 X + —

44

V 5,
5

55
5

Bài tập vận dụng:
1. Tìm GTLN của A= 1 - X 2 + 3x
2. Tìm GTNN của B= X 2 - 5x + 1
3. Cho tam thức bậc hai c= ax2 + bx + c
a. Tim GTLN của c nếu a < 0.
b. Tìm GTNN của c nếu a > 0.
ĨĨL Phương pháp giải các bài tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của
một biểu thức đại số bằng cách đưa về dạng > 0 hoặc < 0
k

k


...

2
+6 + 9 + 1 3(x +2 2+ 3 + 1
Vì
3x
Ta2(x+1)
có
+ 6x
A(x)
+>10
=03x2
với
r 3x
+ 1.nên
2x
+16x
-+(x+l)
3+10
' r +2>2
j X -3
+với
2x
+ Vx.
-+
-------------------1
3

(x +1)2 + 2
2 XVx
2

2

A(x) = - -;---- -- -——--------X<2 —
+ 2x + 3
2
(x
+
1)
+2
2
2
X + 2x
(x++31) +2 2
Max A(x) = 3— khi (x+1)2 = 0 <=> X = -1
2x2 -16x + 41
—-———— với X e R X
-

2

8x + 22

(Nâng cao và phát trỉến Tốn 8)
8x + 22
2
3

= 2x -lóx + 41 _ 2(x -8x + 22)-3 _2
X22 -

X2

-8x + 22

” (x - 4)2 +6

Vì (x- 4)2 > 0 với Vx nên (x- 4)2+6 >6.
Nên (x-4)2 +6

6

2

Min B(x) = - khi (x- 4)2 = 0 <=> X = 4 Bài tâp vân
(x - 4)2 + 6
27 -12x
2

X +9

dung:

3x2 - 2x + 3
X2 +1

2

3x -6x + 17
2

X -

2x + 5

X6
X4 -

+27

3x3 + 6x2 - 9x + 9

Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức sau (nếu có ):


ĨV. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại sổ bằng cách
áp dụng bất đẳng thức Cosi.
- Bất đẳng thức Co si cho 2 số.
Cho a, b khơng âm, ta có bất đẳng thức > 2-v/ãb
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b Bất đẳng thức Co si cho n số:
Cho n số au a2, ....ãn khơng âm, ta có bất đẳng thức:
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ai = a2 = ... = an +
Bài toán:
a. Chứng minh rằng, nếu hai số dương có tích khơng đổi thì tổng của
chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.
b. Chứng minh rằng, nếu hai số dương có tổng khơng đổi thì tích của
chúng đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.
(Nâng cao và phát trỉến Tốn 8)

Giải:
a. Ta cần chứng minh rằng với X >0; y > 0 và xy = k (khơng đổi) thì x+y
đạt giá trị nhỏ nhất khi X = y.
Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Co si cho hai số dương ta có:
X + y > -Jxy mà xy = k (không đổi)
Nên ta có: x+y > lyỊxỹ = 2-\/k (1)
Vậy tổng p = X + y lấy giá trị nhỏ nhất X + y = 2 Vk khi X = y
b. Tương tự trên nếu hai số dương xvàycóx + y = k (hằng số).
_

,

lc2

Từ (x+y) >4xy =^> xy< —
4

Vậy tích Q = xy lấy giá trị lớn nhất bằng

4


Chúng ta sẽ vận dụng kết quả của hai bất đẳng thức trên để giải các bài
toán cực trị đại số.
Ví du 5: Tìm giá trị lớn nhất của A(x) = (X2 - 3x + 1) (21 + 3x - X2)
(Nâng cao và phát trỉến Toán 8)
Giải: Các biểu thức x2-3x+l và 21+3x-x2 có tổng khơng đổi (bằng 22)
nên tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi
X 2 -3 X +1=21+3 X - X 2 <=> X 2 -3 X -10

= 0 <=>X I = 5 ; x 2 = -2.

Khi đó A=ll.ll = 121
Vậy Max A = 121 <=> X = 5 hoặc X = -2
Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của
_

16X2-4X+1

i„

B(x) =---------- ----với X > 0.

(Nâng cao và phát trỉến Toán

8)
Giải: Từ B(x) =

-4x + l Y rá = 8x + 2 + —. Hai số 8x và
a

2x

2x