BAT DANG THUC LOP 9

<span class='text_page_counter'>(1)</span>TUYỂN TẬP CÁC BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG GẶP 1) Cho a>0, b>0. Chứng minh rằng √ a+ √ b> √a+ b Giải: √a+ b ¿2 Cách 1: Ta có: √ a+ √ b ¿ 2> ¿ √ a+ √ b> √a+ b ⇔ ¿ ⇔ a+ 2 √ ab+ b>a+ b ⇔ 2 √ ab> 0 (Bất đẳng thức đúng vì a, b > 0 nên 2 √ ab>0 ) Vậy √ a+ √ b> √ a+ b √ a+ √b ¿ 2 ¿ Cách 2: (vì 22 √ ab>0 ) ¿ √ a+ √ b=√ ¿ 1 10 ≥ 2) Chứng minh rằng: x2 + 3 + 2 x +3 3 Giải: 2 1 x +3 Áp dụng bắt đẳng thức cô- si cho hai số dương và ta có: 2 9 x +3 1 x 2 +3 1 8 x 2 +3 1 8 2 8 10 x 2+3+ 2 = + 2 + ( x2 +3) ≥2 . 2 + .3= + = 9 9 x +3 9 3 3 3 x +3 x +3 9 3) Cho a>0, b>0. Chứng minh rằng: a b c 3 + + ≥ b+c a+ c a+b 2 Giải: a b c 3 + + ≥ b +c a+ c a+b 2 a 1 b 1 c 1 ⇔ − + − + − ≥0 b+c 2 a+c 2 a+b 2 2 a − b −c 1 2 b − a− c 1 2 c − a −b 1 ⇔ − + − + − ≥0 b+ c 2 a+ c 2 a+b 2 a −b a − c b −a b −c c − a c −b ⇔ + + + + + ≥0 b+c b+c a+c a+ c a+b a+b 1 1 1 1 1 1 ⇔ (a− b) − +(a −c ) − +(b − c) − ≥0 b+c a+c b+c a+ b a+c a+b a−b a− c b −c ⇔ (a −b) . +(a − c). +( b− c). ≥0 (b+c )(a+ c) ( a+b)(b+ c) (a+ c)(a+ b) 2 a −b ¿ ¿ a − c ¿2 ¿ 2 b − c ¿ (BĐT đúng) ¿ ¿ ¿ ¿ ⇔¿ a b c 3 + + ≥ Vậy b+c a+ c a+b 2 4) Cho a + b 1. Chứng minh rằng a2 + b2 1 2 Ta có: a + b 1 a+b ¿ ≥ 1 ⇒¿ 2 Mà (a – b) 0. Do đó (a + b)2 + (a - b)2 1. √. (. ). (. ). (. ).

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 2. 2. 2. 2. ⇒a +2 ab+ b +a −2 ab+b ≥ 1 ⇒ 2(a2 +b 2) ≥1 1 ⇒( a2+ b2 )≥ 2 5) Cho a > b, b > c, c > 0. Chứng minh rằng: √ c (a − c)+ √ c (b −c )≤ √ ab Giải: Ta có: √ c (a − c)+ √ c (b −c )≤ √ ab √ c (a − c)+ √ c (b −c )¿ 2 ≤ √ ab2 ⇔¿ 2 2 ⇔ √ a −c √ c+ √ c √ b −c ¿ ≤ √ ab ¿ Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacốpxki √ a −c √ c+ √ c √ b −c ¿2 ≤ (a −c +c )(c +b − c)=ab=√ ab2 ¿ Vậy √ c (a − c)+ √ c (b −c )≤ √ ab 6) Cho a, b, c thỏa mãn điều kiện 0 a , b , c ≤ 2 và a+b+c=3. Chứng minh rằng: a2 +b 2+ c 2 ≤ 5 Giải: ¿ ⇒ a ,b , c ≥ 0 2 −a ,2 −b , 2 −c ≥ 0 ¿ ⇒ 0 a,b,c≤2 abc ≥0 (2 −a)(2 −b)(2 − c) ≥0 ¿ ¿{ ¿ ⇒ abc+( 2− a)(2− b)(2 −c )≥ 0 ⇔abc +8 − 4 a − 4 b − 4 c +2 ab+2 bc+2 ac − abc ≥0 ⇔ −2(ab+ bc +ac) ≤8 − 4 (a+ b+c)=− 4 2 ⇒ a + b2 + c2 = (a + b + c)2 – 2(ab+bc+ca) 32 − 4=5 7) Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a2b + b2c + c2a + a2c + c2b + b2a - a3 - b3 - c3 > 0 Giải: Vì a, b, c là độ fài ba cạnh của một tam giác nên theo bất đẳng thức ta có: b + c > a, c + a > b, a + b > c 2 2 ⇒ a (b + c) > a . a ; b2(c + a) >b2.b ; c2(a + b) > c2.c ⇒ a2b + a2c > a3; b2c + b2a >b3 ; c2a + c2b > c3 ⇒ a2b + a2c + b2c + b2a + c2a + c2b > a3 + b3 + c3 ⇒ a2b + a2c + b2c + b2a + c2a + c2b - a3 - b3 - c3 > 0 (đpcm) 8) Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 + 2abc < 2 Giải: a < b + c (bất đẳng thức tam giác) ⇒ a+a<a+b+c ⇒ 2a < 2 ⇒ a < 1. Tương tự b < 1, c < 1 Ta có: (1 - a)(1 - b)(1 - c) > 0 ⇔ (1 – b – a + ab)(1 - c) > 0 ⇔ 1 – c – b + bc – a + ac + ab – abc > 0 ⇔ 1 – (a + b + c) =ab + bc + ca > 0 Nên abc < -1 + ab + bc + ca ⇒ 2abc < -2 + 2ab + 2bc + 2ca ⇒ a2 + b2 + c2 + 2abc < a2 + b2 + c2 – 2 + 2ab + 2bc + 2ca ⇒ a2 + b2 + c2 + 2abc < (a + b + c)2 – 2 ⇒ a2 + b2 + c2 + 2abc < (a + b + c)2 – 2 (vì a + b + c = 2).

<span class='text_page_counter'>(3)</span> a3 +b3 a+b ≥ 2 2. Giải: a3 +b3 a+b ≥ 2 2. 3. ( ). ⇔. 3. ( ). 9) Cho a>0, b>0. Chứng minh rằng: a3 +b 3 a+b 3 − ≥0 2 2. ( ) 2. 2. (a+b)(a − ab+b ) a+b 3 − ≥0 2 2 (a+ b)(a2 −ab+ b2) a+ b 3 ⇔ − ≥0 2 2 a+b a+b 2 ⇔ . (a2 −ab+ b2 )− 2 2 2 2 2 2 a+b 4 a − 4 ab+4 b −(a + 2ab +b ) ⇔ . ≥0 2 4 ⇔ (a+b)(4 a 2 − 4 ab+ 4 b 2 − a2 − 2 ab −b2 )≥ 0 ⇔ (a+b)(3 a2 − 6 ab+3 b2 )≥ 0 a −b ¿ 2 ≥ 0 (BĐT đúng) ⇔ 3( a+b) ¿ a3 +b3 a+b 3 ≥ Vậy 2 2 10) Chứng minh rằng: a2 + b2 + 1 ab + a + b Giải: Ta có: a2 + b2 2ab 2 b +1 2b a2 + 1 2a ⇒ 2(a2 + b2 + 1) (2ab + 2a + 2b) ⇔ (a2 + b2 + 1) ab + a + b 11) Cho các số dương x,y,z 0 và x + y + z = 1. Chứng minh rằng: x + 2y + z Giải: Vì x,y,z 0 và x + y + z = 1 ⇒ x,y,z 1 và 1-x, 1-y, 1-z 0 Áp dụng bất đẳng thức cô – si cho hai số không âm ta có: 2 1− x +1 − y (1-x)(1-z) 2 ⇔ 4(1-x)(1-z) (1+y)2 ⇔ 4(1-x)(1-z) (1-y) (1+y)2(1-y) ⇔ 4(1-x)(1-z) (1-y) (1-y2)(1+y) ⇔ 4(1-x)(1-z) (1-y) 1+y = x+2y+z Vậy x + 2y + z 4(1-x)(1-y)(1-z) 1 1 1 + + ≥9 12) Chứng minh rằng nếu các số dương a,b,c có tổng a+b+c=1 thì a b c Giải: 1 1 1 1 1 1 ⇔ (a+b +c) + + ≥ 9 (vì a+b+c=1) + + ≥9 Ta có: a b c a b c a a b b c c ⇔ 1+1+1+ + + + + + ≥ 9 b c a c a b a b b c c a ⇔ + + + + + ≥6 b a c b a c Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có: a b b c c a a b b c c a + + + + + ≥2 . +2 . +2 . b a c b a c b a c b a c a b b c c a ⇔ + + + + + ≥ 2+ 2+ 2=6 b a c b a c ⇔. [. ( ) ( ) ( )]. ( ). (. ). (. √. √. ). √. 4(1-x)(1-y)(1-z).

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 1 1 1 + + ≥9 a b c 13) Chứng minh rằng nếu a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì: a) ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) b) a(1+b2) + b(1+c2) + c(1+a2) 2(ab + bc + ca) Giải: a) Ta có: a2 + b2 2ab b2 + c2 2bc c2 + a2 2ca ⇔ 2(a2 + b2 + c2) 2(ab + bc + ca) ⇔ (a2 + b2 + c2) (ab + bc + ca) Mặt khác a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có: a<b+c; b<c+a;c<a+b ⇒ a . a< a(b+ c); b .b <b(c+ a); c . c< c(a+b) ⇒ a 2< ab+ac ; b 2< bc + ba ; c 2< ca+ cb 2 2 2 ⇒ a + b +c <2(ab+ bc+ ac) Vậy ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) b) Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương ta có: 1+b2 2 √ 1. b2=2 b Tương tự: 1+c2 2c ; 1+a2 2a 2 2 2 ⇒ a(1+b ) + b(1+c ) + c(1+a ) a.2b + b.2c + c.2a = 2ab + 2bc + 2ca Vậy a(1+b2) + b(1+c2) + c(1+a2) 2(ab + bc + ca) 1 14) Chứng minh rằng nếu x+y+z=1 thì x2 + y2 + z2 3 Giải: 1 Ta có: x2 + y2 + z2 3 1 1 1 2 ⇔ x 2+ + y 2 + + z 2 + − ≥ 0 9 9 9 3 1 1 1 1 1 1 2 2 ⇔ x 2 − 2. x . + + y 2 − 2. y . + + z 2 − 2. z . + + ( x + y + z )− ≥0 3 9 3 9 3 9 3 3 1 2 2 z − ¿ 2+ . 1− ≥ 0 3 3 3 ¿ 1 2 y − ¿ +¿ 3 1 x − ¿ 2+ ¿ 3 ⇔¿ 1 2 2 2 z − ¿ + .1 − ≥ 0 3 3 3 1 2 y − ¿ +¿ 3 1 x − ¿2 +¿ 3 ⇔¿ 1 2 z− ¿ ≥0 3 1 y − ¿2 +¿ (là bất đẳng thức đúng) 3 1 2 x − ¿ +¿ 3 ⇔¿ 15) Cho ba số dương a,b,c. Chứng minh rằng: Vậy với các số dương a,b,c có tổng a+b+c=1 thì.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 1 1 1 1 1 1 + + ≥ + + a b c √ ab √ bc √ ca. Giải: Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương ta có: 1 1 1 1 2 + ≥2 . = a b a b √a . b 1 1 1 1 2 + ≥2 . = b c b c √b . c 1 1 1 1 2 + ≥2 . = c a c a √c . a 1 1 1 1 1 1 + + ) ⇒ 2( + + )≥2( a b c √ ab √ bc √ca 1 1 1 1 1 1 + + ≥ + + ⇔ a b c √ ab √ bc √ ca. √ √ √. 16) Cho a. 0, b. 0. Chứng minh rằng: a4 + b4 + c4. 0,c. Gợi ý: áp dụng bất đẳng thức a2 + b2. abc(a + b + c). 2ab hai lần. 17) Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đây đúng với mọi số thực x,y khác 0 x 2 y2 x y + 2 +4 ≥3 + 2 y x y x. (. 2. 2. x y x y + 2 +4 ≥3 + 2 y x y x. Giải: Ta có:. (. x2 y2 ⇔ ( 2 + 2 +2)+2 − y x. 3. ). ( xy + yx ). 2. ). 0. x y x y + −1+3 −3 + ≥ 0 y x y x x y x y x y ⇔ + +1 + −1 −3 + − 1 ≥ 0 y x y x y x x y x y ⇔ + −1 + −2 ≥ 0 y x y x x2 + y 2 − xy x2 + y 2 −2 xy ⇔ . ≥0 xy xy ⇔. (. ). (. (. )(. ). ) (. (. )(. ). ). 2. x− y ¿ ¿ y 3 2 x− + y ¿ 2 4 ⇔¿. [( ) ] Vậy. (là bất đẳng thức đúng). x 2 y2 x y + 2 +4 ≥3 + 2 y x y x. (. ). 18) Cho a,b là hai số dương có tích bằng 1. Chứng minh rằng: a + b + Giải:. 1 a+b. 5 2.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương, ta có: a+b +. 1 3 1 1 3 1 1 3 5 = (a+b)+ + (a+b) ≥ . 2 √ ab+2 . (a+ b)= +1= a+b 4 a+b 4 4 a+b 4 2 2. √. 19) Chứng minh rằng với a,b,c là các số dương thì ta có: a2 b2 c2 a b c + 2 2+ 2 2 ≥ + + 2 2 b +c c + a a + b b+ c c +a a+b Giải: Vai trò a,b,c như nhau, không mất tính tổng quát, giải sử a 2. 2. b. 2. c>0. Ta có. a (b +c) − a(b + c ) a2 b +a2 c − ab2 −ac 2 a 2 b − ab2 +a2 c − ac 2 ab(a − b)+ ac( a− c ) a2 a − = = = = b2 +c 2 b+c (b 2+ c2 )(b+ c) (b 2+ c 2)(b+ c) (b 2+ c2 )(b+ c) (b 2+ c 2)(b+ c) Tương tự ta có: bc( b −c )+ ba (b − a) b2 b − = 2 2 c + a c +a (c2 + a2)( c+ a) ca (c −a)+cb (c − b) c2 c − = 2 2 a + b a+ b (a2+ b2 )(a+b) 2 2 2 ab(a −b)+ac (a − c) bc(b − c)+ ba (b − a) a b c a b c + + − − − =¿ Do đó: + 2 2 2 2 2 2 2 2 (b +c )(b+c ) (c 2 +a2 )(c +a) b +c c + a a + b b+ c c+ a a+b 1 1 ca (c −a)+cb(c − b) − 2 2 + = ab(a-b) +……………………………………. 2 2 2 2 ( b +c )( b+c ) (c +a )(c +a) (a + b )(a+b) 0 20) Cho a,b,c là ba số không âm thỏa mãn a + b +c = 1. Chứng minh rằng: a + b 16abc Giải: Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số không âm ta có: b+c ¿2 1 = (a + b +c)2 4a(b + c) ⇒ b+ c ≥ 4 a ¿ 2 Mà (b + c) 4bc nên b+c 4a.4bc hay b + c 16abc √5 21) Cho x2 + 4y2 = 1. Chứng minh |x − y|≤ 2 Hướng dẫn: Đặt x – y = A ⇒ x = A + y rồi thay vào biểu thức x2 + 4y2 = 1……..dùng kiến thức về phương trình bậc hai để suy ra điều phải chứng minh 22) Cho a, b, c là chiều dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) abc Giải: Ta có: a2 – (b – c2) a2 ⇒ (a+b-c)(a-b+c) a2 2 Tương tự: (b+c-a)(b-c+a) b (c+a-b)(c-a+b) c2 ⇒ [(a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)]2 (abc)2 ⇒ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) abc 23) Chứng minh bất đẳng thức sau: 3(x2 + y2 + z2 ) (x+y+z)2 với mọi x,y,z Giải: 3(x2 + y2 + z2 ) (x+y+z)2 2 2 2 ⇔ 2 x +2 y +2 z −2 xy −2 yz − 2 zx ≥ 0 2 2 2 2 x+ y+ z ¿ + x + y + z ≥ 0 (BĐT đúng) ⇔¿ 2 2 Vậy 3(x + y + z2 ) (x+y+z)2 a2 b2 24) a) Chứng minh + ≥ √ a+ √ b (với a,b > 0) b a. [. √ √. ].

<span class='text_page_counter'>(7)</span> b) Chứng minh rằng nếu a + b 2 thì a3+b3 a4 + b4 Giải: a2 b2 a2 b2 a) + ≥ √ a+ √ b ⇔ + + √ a+ √ b ≥2 √ a+2 √ b b a b a a2 b2 ⇔ + √ b+ + √ a ≥2 √ a+2 √ b b a Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương ta có:. √ √. √. 2. 2. a b + √ b+ +√a b a. √ √ √ 2. 2. 2. √ √ √ √ √√ √√ 2. a . √ b+2 b. 2. b . √ a=2 √ a+ 2 √b a. a b + ≥ √ a+ √ b b a b) Ta có: a4 – a3b + b4 – ab3 = a3(a – b) - b3(a – b) = (a3 – b3)(a – b) = (a – b) (a – b)(a2 + ab + b2) 2 b 2 ¿ + 3b ¿ = (a – b)2[(a + 0 2 4 ⇒ a4 + b4 a3b + ab3 ⇒ 2(a4 + b4) a4 + b4 + a3b + ab3 4 4 ⇒ 2(a + b ) a3(a + b) + b3(a + b) ⇒ 2(a4 + b4) (a + b)( a3+ b3) 4 4 ⇒ 2(a + b ) 2( a3+ b3) vì a + b 2 >0 3 3 4 4 Vậy a +b a +b 12 ab 25) a) Cho a 0, b 0. Chứng minh: a+b ≥ 9+ab 1 2 2 1 4 4 b) Cho a +b ≥ . Chứng minh rằng: a +b ≥ 4 32 Giải: 12 ab ⇔ (a + b)(9 + ab) a) a+b ≥ 12ab 9+ab Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số không âm ta có: a+b ≥ 2 √ ab; 9+ab ≥ 2 √ 9 ab ⇒(a+b)(9+ ab)≥ 2 √ ab. 2 √ 9 ab=12 ab b) Ta có: 1 1 2 1 a2 +b 2 ¿2 = . = 2 4 32 1 a2 − b2 ¿2 ≥ ¿ 2 a 4 + b4 = 1 2 2 2 a +b ¿ + ¿ 2 1 ¿ 2 26) Cho a+b+c abc. Chứng minh rằng a2+b2+c2 abc Giải: Vì a+b+c abc nên có hai trường hợp xảy ra - Trường hợp : |a|≥ 1 ;|b|≥ 1;|c|≥ 1 Ta có: a2 +b 2+ c 2 ≥|a|+|b|+|c|≥ a+ b+c ≥ abc - Trường hợp: trong ba số |a|;|b|;|c| có ít nhất một số nhỏ hơn 1 Không mất tính tổng quát, giả sử |c|≤1 2|ab|≥|abc|≥ abc Ta có: a2+b2+c2 a2+b2 1 1 2 + ≥ 27) Cho x 1, y 1. Chứng minh 2 2 1+ x 1+ y 1+ xy Giải: 1 1 2 + ≥ 2 2 1+ x 1+ y 1+ xy. Vậy. ().

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 1 1 1 1 − + − ≥0 2 2 1+xy 1+ xy 1+ x 1+ y ⇔. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. 2 2 a+ b 28) Chứng minh rằng √ a +b ≥ với mọi a,b √2 Giải: Nếu tổng a+b < 0 thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng Nếu a+b 0, ta có: 2 2 2 2 2 a+ b ¿ ⇔ 2 a + 2b − a −2 ab+b ≥ 0 √ a2 +b2 ≥ a+2b ⇔ √2( a2 +b2 )≥ a+ b ⇔ 2( a2+ b2 )≥ ¿ √ 2 a −b ¿ ≥ 0 (BĐT đúng) ⇔¿ 2 2 a+ b Vậy √ a +b ≥ với mọi a,b √2 29) Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi. Chứng minh: 1 1 1 1 1 1 + + ≥2 + + p − a p −b p − c a b c Giải: 1 1 4 + ≥ Áp dụng bất đẳng thức để chứng minh x y x+ y a3 b3 c 3 30) Cho a,b,c>0. Chứng minh : + + ≥ ab+ bc+ca b c a a3 Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức côsi cho các cặp số ; ab ;………… b 1 (a+b)(1 − ab) 1 ≤ 31) Chứng minh rằng: − ≤ 2 2 (a +1)(b 2+1) 2 Giải: Ta có: 2 xy |x|−| y|¿2 ≥ 0 ⇔ x 2+ y 2 −2|xy|≥ 0 ⇔ 2 2 ≤1 .(∗) x +y ¿ Mà (a2+1)(b2+1) = a2+b2+1+a2b2 = a2+2ab+b2+1-2ab+ a2b2 = (a+b)2 + (1-ab)2 1− ab ¿2 a+ b ¿2 +¿ ¿ (a+ b)(1− ab) ¿ ( a+b)(1 −ab) ⇒ 2 =¿ (a +1)(b2 +1) 2 1 − ab¿ 1 a+b ¿2 +¿ ≤ 2 Áp dụng (*) ta có: ¿ (a+ b)(1− ab) ¿ ¿ ( a+b)(1 −ab) 1 ⇒ 2 ≤ (a +1)(b2 +1) 2 1 ( a+b)(1 −ab) 1 ⇔− ≤ 2 ≤ 2 (a +1)(b2 +1) 2 ⇔. (. | |. |. |. |. |. |. |. ).

<span class='text_page_counter'>(9)</span> 32) Cho a. 0, b. 0. Chứng minh rằng:. 1 a+b ¿ 2+ (a+ b)≥ a √ b+b √ a 4 1 ¿ 2. Giải:. 1 1 1 1 1 1 a+b ¿ 2+ (a+ b)= (a+b)(a+ b+ )= (a+b)(a+ +b+ ) 4 2 2 2 4 4 Ta có: 1 ¿ 2 Áp dụng côsi cho hai số không âm ta có: 1 1 1 1 1 1 (a+ b)(a+ + b+ ) .2 √ ab(2 a . + 2 b . )=√ ab( √ a+ √ b)=a √ b+b √ a 2 4 4 2 4 4 2 1 a+b ¿ + (a+ b)≥ a √ b+b √ a 4 Vậy 1 ¿ 2 2 2 x +y 33) Cho xy =1, x>y. Chứng minh rằng ≥ 2 √2 x− y Giải: 2 x − y ¿ +2 xy ¿ ¿ Ta có: (theo BĐT côsi) x 2+ y 2 =¿ x−y 1 1 1 + +. ..+ >1 , 999 34) Chứng minh: √ 1 .1999 √2 .1998 √ 1999. 1 Giải: 1 2 ≤ Theo BĐT côsi cho hai số dương ta có: a+b 2 √ ab ⇔ dấu ‘=’ xảy ra khi a = b √ ab a+ b Trong bài toán trên thì dấu ‘=’ không xảy ra vì a b Ta có: 1 1 1 2 2 2 2 2 2 + +. ..+ > + +. ..+ = + +. . .+ 1+1999 2+1998 1999+1 2000 2000 2000 √1 .1999 √2 .1998 √ 1999. 1 ⏟. √. √. 1999 so. 0 ,001+0 , 001+. ..+0 ,001 =1, 9999 ⏟ 1999so. 35) Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a2+b2+c2=5/3. Chứng minh rằng: Giải: Ta có: (a+b-c)2 0 2 2 2 ⇒ a +b +c +2ab+2ca-2bc 0 ⇒ 2ab+2ca-2bc a2+b2+c2 Mà a2+b2+c2=5/3 < 2 ⇒ 2ab+2ca-2bc 2 2 bc+2 ca −2 bc 2 ⇒ < (do abc>0) 2 abc 2 abc 1 1 1 1 ⇒ + − < a b c abc 36) Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a(b + c + d + e) Hướng dẫn: Chuyển vế đưa về hằng đẳng thức a+c b+d c+ a d+ b + + + ≥4 37) Cho a,b,c,d > 0. Chứng minh rằng: a+b b+ c c+ d d+ a Giải:. 1 1 1 1 + − < a b c abc.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> (a+ c). b). 4 4(a+b+ c+ d) = =4 ( a+b1 + c +d1 )+(d +b)( d 1+a + b+c1 ) ≥ a+(a+b+cc).+d4 + d+( d+a+b+ c a+ b+c +d. 1 1 4 + ≥ ) x y x+ y 38) Cho a,b,c>0 thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng: √ 4 a+1+ √ 4 b+ 1+ √ 4 c +1≤ √ 21 Giải: Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có: 7 4 a+1+ 3 7 3 3 √ 21 10 ( 4 a+1). ≤ . = 4 a+ √ 4 a+1= 7 3 7 2 14 3 Tương tự: 21 10 √ 4 b+ 1≤ √ 4 b+ 14 3 √21 4 c + 10 √ 4 c+ 1≤ 14 3 21 21 ⇒ √ 4 a+1+ √ 4 b +1+ √ 4 c +1 ≤ √ (4 a+ 4 b+ 4 c+10)= √ . 14= √21 14 14 Vậy √ 4 a+1+ √ 4 b+ 1+ √ 4 c +1≤ √ 21 2 x +3 >2 với mọi x 39) a) Chứng minh: √ x 2 +2 2006 2005 + > √ 2005+ √ 2006 b) Chứng minh √ 2005 √ 2006 Giải: a) Ta có: x2 + 3 = x2 + 2 + 1 2 √ (x 2+2). 1=2 √ x 2+2 (theo côsi cho hai số dương) dấu = không thể xảy ra vì x2 + 2>0 với mọi x x 2 +3 >2 với mọi x Vậy √ x 2 +2 2005+1 2006 −1 + > √ 2005+ √ 2006 2005 2006 √ √ b) 1 1 ⇔ √ 2005+ + √ 2006 − > √2005+ √ 2006 √2005 √ 2006 1 1 ⇔ − > 0 (BĐT đúng) √ 2005 √ 2006 2006 2005 + > √ 2005+ √ 2006 Vậy √2005 √ 2006 √a+ 2 √a −1+ √ a− 2 √a − 1 <1 40) Cho a 2. chứng minh rằng: √a+ √2 a −1+ √ a− √2 a − 1 Giải: (áp dụng bất đẳng thức phụ. √√. ( (. √. ) ). (. ).

<span class='text_page_counter'>(11)</span> √ a− 1+ 2 √a − 1+1+ √a − 1− 2 √ a −1+1. ¿ ¿ √ 2a − 1+ 2 √ 2 a −1+1+ √ 2 a− 1− 2 √2 a −1+1 ¿ √ a −1+1 ¿2 ¿ a − √ 1− 1 ¿ ¿2 ¿ √ 2 a −1+1 ¿2 √2( √a − 1+1)+ √ a −1 −1 ¿ ¿ √ 2 a− 1+1+ √2 a − 1−1 |√2 a − 1−1|¿ 2 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ √¿ √2 ¿ ¿ √a+ 2 √a −1+ √ a− 2 √a − 1 = √ 2(√ a+2 √ a −1+ √ a −2 √ a −1) =¿ √a+ √2 a −1+ √ a− √2 a − 1 √ a+2 √2 a −1+ √a − 2 √2 a −1 √2 .2 √ a −1 = √ 2a − 2 = 2 a −2 <1 vì a 2 nên 2a – 2 < 2a – 1 ¿ 2 a −1 2 √ 2 a − 1 √ 2a − 1 2 b +d ¿ 2 a+c ¿ +¿ 41) Chứng minh bất đẳng thức: ¿ 2 2 √ a +b + √ c 2 +d 2 ≥ √ ¿ Giải: b+d ¿2 ¿ b+d ¿2 ¿ ¿2 ¿ b+d ¿2 ¿ ⇔ 2 √ a2 +b2 . √c 2 +d 2 ≥2 ac+2 bd a+c ¿2 +¿ ¿ √¿ √ a2 +b 2+ √c 2 +d 2 ¿2 ≥ ¿ a+c ¿2 +¿ ¿ ¿ 2 2 √ a +b + √c 2 +d 2 ≥ √ ¿ Nếu ac + bd 0 thì BĐT đúng Nếu ac + bd > 0 thì ⇔ √( a2 +b2 )(c 2 +d 2) ≥ ac+ bd ac+bd ¿2 ¿ bd ¿2 +2 acbd ¿ ac ¿2 +¿ ⇔ √(a 2+b 2)(c2 +d 2 )2 ≥ ¿. √. (vì a. 2).

<span class='text_page_counter'>(12)</span> 2. ¿. bd ¿ +2 acbd ac ¿ 2+(¿ ⇔ a2 d 2+b 2 c2 )− 2(ad).(bc)≥ 0 ⇔ a2 c 2+ b2 d 2+ a2 d2 +b 2 c 2 ¿ 2 ad − bc ¿ ≥ 0 (BĐT đúng) ⇔¿ 2 b +d ¿ 2 a+c ¿ +¿ Vậy ta có: ¿ 2 2 √ a +b +√ c 2 +d 2 ≥ √ ¿ 42) Cho a>0, b>0 và a + b = 1. 1 1 + 2 2 ≥6 a) Chứng minh rằng: ab a + b 2 3 + 2 2 ≥ 14 b) Chứng minh rằng: ab a + b Giải: Áp dụng các bất đẳng thức phụ: 1 1 4 + ≥ x y x+ y x+ y ¿2 ¿ ( HS tự chứng minh ) ¿ ¿ 1 4 ≥ xy ¿ a) Ta có: 2 a+b ¿ ¿ a+b ¿ 2 ¿ a+b ¿ 2 ¿ ¿ ¿ ¿ 1 1 1 1 1 1 4 + 2 2= +( + 2 2 )≥ . ¿ ab a + b 2 ab 2 ab a +b 2 b) a+b ¿ 2 ¿ a+b ¿ 2 ¿ 2 a+b ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 2 3 1 3 3 1 4 + 2 2= +( + 2 2 )≥ . ¿ ab a + b 2 ab 2 ab a +b 2 2 43) Cho a,b 0. Chứng minh a b – 3ab + ab2 + 1 0. Dấu bằng xảy ra khi nào? Giải: Áp dụng côsi cho ba số dương ta có: x+y+z 3 √3 xyz Suy ra: a2b + ab2 + 1– 3ab 3 √3 a2 b .ab 2 . 1 - 3ab = 3ab – 3ab = 0 Dấu bằng xảy ra khi a2b = ab2 = 1 ⇒ a = b = 1 a2 b2 c2 a+ b+c 44) Cho ba số dương a,b,c . Chứng minh rằng: + + ≥ b+c c +a a+b 2.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Giải: Áp dụng côsi cho hai số không âm ta có: a2 b+ c b2 c+ a c 2 a+b a 2 b+ c b 2 c +a c 2 a+b + + + + + ≥2 . +2 . +2 . b+c 4 c +a 4 a+ b 4 b+ c 4 c +a 4 a+ b 4 =a+b+c 2 2 2 a b c a+ b b+c c +a a+b a+b+ c ⇒ + + + ≥ a+ b+c − − − = b+c c+ a a+ b 4 4 4 4 2 2 2 45) Với bốn số a,b,c,d thỏa mãn các điều kiện a + b = 2 và (a – d)(b – c) = 1. Chứng minh rằng: c2 + d2 – 2ad -2bc – 2ab -2 Giải: Ta có: a2 + b2 = 2 và (a – d)(b – c) = 1 Do đó: c2 + d2 – 2ad -2bc – 2ab = c2 + d2 – 2ad -2bc – 2ab + a2 + b2 + a2 + b2 – 4 = a2 – 2ad + d2 + b2 -2bc + c2 + a2 – 2ab + b2 – 4 = (a – d)2 + (b - c)2 + (a – b)2 – 4 2(a – d)(b – c) + 0 – 4 = 2.1 – 4 = - 2 9 46) Cho a + 4b = 3. Chứng minh rằng: a2 + 4b2 5 ⇒ Hướng dẫn: a + 4b = 3 a = 3 – 4b thế vào biểu thức cần chứng minh rồi dưa về dạng đánh giá A2+ α≥α 1 47) Chứng minh rằng nếu x+y+z =1 thì x2+y2+z2 3 Giải: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 x 2 +3 y 2+3 z 2 ( x + y + z =2 xy+ 2 yz+2 zx)+( x + y −2 xy)+( y + z − 2 yz)+( z + x − 2 zx) x2+y2+z2 = = 3 3 2 z− x¿ ¿ x + y + z ¿2 ¿ ¿ y − z ¿2 +¿ x − y ¿2 +¿ x+ y+ z ¿2 +¿ ¿ ¿¿ 1 48) Chứng minh rằng: 2( √ n+1− √ n ¿< <2( √ n − √ n −1) (với n là số nguyên dương) √n Giải: 2(n+1 −n) 2 1 = < (1) Ta có: 2( √ n+1 − √ n)= n+1+ n n+ 1+ n √ √ √ √ √n 2(n −n+1) 2 1 = > (2) Mặt khác: 2( √ n − √ n −1)= √ n+ √ n −1 √n+ √ n− 1 √ n 1 Vậy √ n+1− √ n ¿< <2( √ n − √ n −1) √n 1 ≤ x 3+ y 3 ≤ 1 49) Cho x,y 0 và x2 + y2 = 1. Chứng minh rằng √2 Giải: Ta có: x2 + y2 = 1 ⇒ x2 1 và y2 1 mà x 0, y 0 ⇒ 0 x 1 và 0 x 1 ⇒ x3 x2 , y3 y2 ⇒ x3 + y3 x2 + y2 = 1 (1) 1 = x2 + y2 = ( √ x . √ x 3 + √ y . √ y 3 ≤( √ x 2+ √ y 2)( √ x 32 + √ y 32)=(x + y )(x 3+ y3 ) (theo bunhiacopxki) Mặt khác (x+y)2 2(x2+y2) = 4 ⇒ x+y √2 1 (2) 3 3 3 3 3 3 ⇒ 1≤( x+ y )(x + y )≤ √2(x + y )⇒ x + y ≥ √2. √. √. √.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> 1 ≤ x 3+ y 3 ≤ 1 √2 50) Cho ba số thực dương thỏa mãn a + b +c = 12. Chứng minh rằng: √ 3 a+2 √ a+1+√3 b +2 √b+ 1+ √3 c +2 √ c+ 1≤ 3 √17 Giải: Áp dụng côsi cho hai số không âm ta có: Từ (1) và (2) ta có:. √ 3 a+2 √ a+1=. 1 1 3 a+ 2 √ a+1+17 3 a+ 18+ 2 √ a (3 a+ 2 √ a+1) .17 ≤ = ≤ √ 2 2 √17 √17. 3 a+18+. 4+a 2. 2 1 7 a+ 40 ¿ 4 √17. (. Tương tự: 1 7 b+ 40 4 √17 √3 c +2 √ c+1 ≤ 117 7 c+4 40 √. √ 3 b+2 √b +1≤. ( (. ). ) ). 1 7(a+ b+c )+ 120 1 7 . 12+120 1 = = .51 4 4 √17 √17 √17 ¿ 3 √17 51) a) Chứng minh rằng: (x-y)2 + (y-z)2+ (z-x)2 3( x 2 + y 2+ z2 ) x2 + y2 + z2 b)Gọi m là số nhỏ nhất trong ba số (x-y)2 , (y-z)2, (z-x)2 Chứng minh rằng: m≤ 2 Giải: a) HS tự giải b) Vai trò x,y,z như nhau, giả sử x y z. Vì m là số nhỏ nhất trong ba số (x-y)2 , (y-z)2, (z-x)2 ⇒ √ m là số nhỏ nhất trong ba số |x − y|,| y − z|,|z − x| ⇒ (x-y)2 m, (y-z)2 m Mặt khác: |z − x|=x − z=( x − y )+( y − z )=|x − y|+| y − z|≥ 2 √ m (x-y)2 + (y-z)2+ (z-x)2 6m ⇒ 3(x 2 + y 2+ z2 ) x2 + y2 + z2 ⇒ m 2 2 √ab 4 ≤ √ ab 52) Cho a,b là các số dương. Chứng minh: √a+ √ b Hướng dẫn: Bình phương hai vế 53) Chứng minh rằng: a4 + b4 a3b + ab3 với mọi a,b HD: Chuyển vế biến đổi tương đương x6 y6 4 4 54) Chứng minh rằng với mọi x,y khác 0 ta có đẳng thức: x + y ≤ 2 + 2 y x HD: quy đồng, khử mẫu, biến đổi tương đương 1 1 1 <1999 55) Chứng minh 1998 < 1+ + +.. .+ √2 √ 3 √1000000 1 HD: sử dụng bài toán phụ: 2( √ n+1− √ n ¿< <2( √ n − √ n −1) để chứng minh √n 56) a) Cho a,b 1. Chứng minh: a b  1  b a  1 ab ⇒ √ 3 a+2 √ a+1+ √ 3 b+2 √ b+1+ √ 3 c+2 √ c +1≤. [. b) Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn a+b+c = 1. Chứng minh rằng: Giải: a) Áp dụng côsi cho hai số không âm ta có: a .(b − 1+1) ab a √ b −1=a √ (b −1). 1 ≤ = 2 2. ]. (1+ 1a )(1+ 1b )(1+ 1c )≥ 64.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Tương tự b √ a −1 ≤. ab 2. Vậy a √ b −1+b √ a −1 ≤. ab ab + =ab 2 2. b) Vì a+b+c = 1 nên: 1 a+b+ c b c b c b c b c b c bc 1+ =1+ =1+1+ + =1+ + 1+ ≥ 2 1. +2 1 . =2 +2 ≥ 2. 2 . =4 √ a a a a a a a a a a a a a (theo BĐT côsi cho hai số không âm) Tương tự: 1 ac 1 ab 1+ ≥ 4 √ ; 1+ ≥ 4 √ b b c c 1 1 1 1+ 1+ 1+ ≥ 64 ⇒ a b c 57) Cho a>0, b>0. Chứng minh rằng: a3+b3 a2b+ab2 HD: biến đổi tương đương 58) Với a>0, b>0, c>0. Chứng minh các BĐT: ab bc + ≥2b a) c a ¿ bc ca a3 +b 3 b3 +c 3 c 3 +a3 b ab ¿ + + ≥ a+ b+c ¿ c ¿ + + ≥ a+b+ c ¿ c a b 2 ab 2 bc 2 ca Giải: a) Áp dụng côsi cho hai số dương ở vế trái b) Áp dụng côsi cho hai số dương từng cặp tương tự câu a c) Chứng minh bài toán phụ a3+b3 a2b+ab2 rồi suy ra điều cần chứng minh 59) Cho a,b,c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 3. Chứng minh rằng: ab+bc+ca+a+b+c 6 Giải: x2 + y2 Ta có: x2 + y2 2xy hay xy với mọi x,y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a + b b + c c + a a +1 b + 1 c + 1 ⇒ ab+ bc+ ca+ a+b+ c ≤ + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a +b + c +3 (do a2 + b2 + c2 = 3 ) ¿ a2 +b 2+ c2 + 2 3+3 ¿ 3+ =6 2 Vậy ab+bc+ca+a+b+c 6 a b c + + ≤2 60) Cho a,b,c >0. Chứng minh rằng: a+b b+c c + a Giải: b c a a b c + + ≥ + + =1 Ta có: a+b b+c c + a a+ b+c a+b+ c b+c +a Mặt khác: a b c b c a a b b c c a + + + + + = + + + + + a+b b+c c+ a a+b b+c c +a a+b b+c b+c b+ c c +a c +a ¿ 1+1+ 1=3 a b c ⇒ + + ≤2 a+b b+c c+ a 61) Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác và p là nửa chu vi của tam giác. Chứng minh: 1 abc (p – a)(p – b)(p –c) 8 Giải: a+b+ c b+c −a −a= >0 (vì b + c >a – BĐT tam giác)) Ta có: p – a = 2 2. √. √. √. √ √. )(. )(. √√ √ √. √. ( )( )( ). (. )(. )(. ).

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Tương tự: p – b>0, p –c>0 Áp dụng côsi cho hai số dương ta có: p − a+ p −b 2 p − a −b c = = (p – a)(p – b) 4 4 4 a b Tương tự: (p – b)(p –c) ; (p – c)(p – a) 4 4 abc p− c ¿2 ≤ 64 2 p −b ¿ ¿ p −a ¿ 2 ¿ ¿ 1 ⇒( p − a)( p− b)( p −c )≤ abc 8 8 8 8 a +b + c 1 1 1 ≥ + + 62) Cho a,b,c >0. Chứng minh rằng: 3 3 3 a b c b b c Giải: Ta có: 8 8 8 4 4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a +b +c ≥a b + b c + c a ≥ a b b c + b c c a + c a a b ≥ a b c (a +b +c ) abc 1 1 1 a2 b2 c 2( ab+ bc+ca )=a 2 b2 c 2 (ab+ bc+ ca). =a3 b3 c 3 + + abc a b c 8 8 8 a +b + c 1 1 1 ≥ + + ⇒ a b c b3 b3 c 3 63) Cho ba số dương a,b,c. Chứng minh rằng: a b c 3 a b c + + ≤ ≤ + + 2 2 2 1+ a 1+b 1+c 2 b+ c c +a a+b Giải: a 1 ≤ Ta có: 1 + a2 2a ⇒ 2 1+ a 2 b 1 c 1 ≤ ; ≤ Tương tự: 2 2 2 1+b 1+c 2 a b c 3 ⇒ + + ≤ 2 2 2 1+ a 1+b 1+ c 2 3 a b c ≤ + + Chứng minh: dung biến đổi tương đương 2 b+ c c+ a a+b 64) Chứng minh: 1 1 1 1 2001 + + +. . .+ < 3 (1+ √ 2) 5( √ 2+ √3) 7( √3+ √ 4) 4003( √2001+ √ 2002) 2003 2( √ n+1 − √ n) 2( √ n+1 − √ n) 1 2 1 = < = − HD: Ta có: 2 (2 n+1)( √ n+ √ n+1) √ 4 n +4 n+1 √ 4 n(n+ 1) √ n √n+1 Áp dụng bài toán trên suy ra BĐT 65) Cho ba số dương x,y,z có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: √ x+ yz+ √ y +zx + √ z+ xy ≥1+ √ xy+ √ yz+ √ zx Giải: Áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số dương ta có: x+ y ≥ 2 √ xy ⇔ x + y + z ≥ z +2 √ xy ⇔ 1≥ z +2 √ xy ⇔ z ≥ z2 +2 z √ xy ⇔ z + xy ≥ z 2+2 z √ xy+ xy ¿ z + √ xy ¿2 ⇔ √ z + xy ≥ z+ √ xy ⇔ z + xy ≥ ¿ Tương tự: √ x+yz ≥ x+ √ yz ; √ y+zx ≥ y + √ zx ⇒ √ x+ yz+ √ y + zx+ √ z +xy ≥( x + y + z)+ √ xy + √ yz + √ zx=1+ √ xy + √ yz + √ zx 1 ≥5 66) Cho x,y>0 và x+y = 1. Chứng minh: 8(x4+y4)+ xy. (. ).

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Giải: x + y ¿2 ¿ 2 ¿ Ta có: (x+y) 4xy 1 4 ⇒ ≥¿ xy 4 x+ y ¿ ¿ Mặt khác: (HS tự chứng minh) ¿. x4 + y4 ≥ ¿ 1 ≥5 Suy ra: 8(x4+y4)+ xy 67) Cho các số dương a,b,c có tổng bằng 1. Chứng minh: Giải: Áp dụng côsi cho hai số dương ta có:. √(. a+b+. √ a+b+ √b +c + √ c+ a ≤ √6 2 3. b+ c+. 2 3. c +a+. 2 3. )√. 2 2 2 2 2 2 2 2 (a+ b). + (b+ c) . + (c +a). ≤ + + = . 2= √6 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 3 4 4 4 3 3 3 68) Cho a+b+c = 3. Chứng minh: a +b +c a +b +c Giải: Áp dụng bài toán phụ x4+y4 x3y+xy3 ta có: 3(a4+b4+c4) = (a4+b4) + (b4+c4) + (c4+a4)+(a4+b4+c4) (a3b+ab3)+ (b3c+bc3)+ (c3a+ca3)+(a4+b4+c4) = a3(a+b+c)+b3(a+b+c)+c3(a+b+c) = (a+b+c)( a3+b3+c3) = 3 (a3+b3+c3) 4 4 4 3 3 3 Vậy a +b +c a +b +c 69) Cho các số dương x,y,z thỏa mãn x3+y3+z3 = 1. Chứng minh: 2 2 2 x y z + + ≥2 √1 − x 2 √ 1− y 2 √1 − z 2 Giải: Vì x,y,z>0 và x3+y3+z3 = 1 nên 1-x,1-y,1-z >0 Áp dụng côsi cho hai số dương ta có: x2 2 2 2 2 2 x +1 − x ≥ 2 √ x (1 − x ) ⇔1 ≥ 2 x √ 1 − x ⇔ ≥ 2 x3 2 √1 − x 2 2 y z 3 3 ≥2 y ; ≥2z Tương tự: 2 2 √1 − y √1 − z 2 2 x y z2 + + ≥ 2( x 3+ y 3+ z 3 )=2 Vậy 2 2 2 √1 − x √ 1− y √1 − z 2 a+b ¿ ¿ 70) Cho a,b>0. Chứng minh: ¿ ¿ Giải: 2 a+b ¿ ¿ Ta có: ¿ ¿ 71) Chứng minh: √ a2 − b2 + √ 2 ab −b 2> a với a>b>0 HD: bình phương hai vế rồi dung phương pháp biến đổi tương đương 72) Cho x,y không âm thỏa mãn x2+y2=1. Chứng minh: 1≤ x + y ≤ √ 2 Giải: Ta có: (x+y)2 2(x2+y2) = 2 ⇒ x + y ≤ √ 2 2 2 2 Và (x+y) = x +y +2xy = 1 + 2xy 1 Vậy 1≤ x + y ≤ √ 2 73) Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn a+b+c = 0. Chứng minh: ab + 2bc + 3ca 0 Giải:. √√. √√. √√.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> a+b+c = 0 ⇒ b+ c=− a; a+b=−c ⇒ ab+ 2 bc+3 ca=ab+ca +2 bc+ 2ca=a(b +c)+2 c (a+ b)=a (−a)+2 c (− c)=− a2 −2 c 2 ≤ 0 a b c + + ≥ 12 74) Cho a,b,c > 1. Chứng minh : √ b − 1 √ c −1 √ a− 1 Giải: Áp dụng côsi cho hai số dương ta có: a a a + 4( √ b − 1)≥2 . 4( √ b − 1)=4 √ a ⇔ ≥ 4 √ a −4 √ b+4 √b − 1 √ b −1 √ b −1 b c ≥ 4 √ b− 4 √c + 4 ; ≥ 4 √ c −4 √ a+4 Tương tự: √c −1 √ a− 1 a b c + + ≥ 12 Vậy √b − 1 √ c −1 √ a− 1 75) Cho x,y là hai số thực sao cho x+y=2. Chứng minh xy(x2+y2) 2 Giải: x+ y ¿ 2=4 ⇔ x 2+ y 2 =4 − 2 xy ¿ 2 xy −1 ¿ +2≤ 2 ¿ x+ y=2 ⇔¿. √.

<span class='text_page_counter'>(19)</span>