on tap vuong goc trong khong gian cuc hay

<span class='text_page_counter'>(1)</span>BÀI 1.. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC I. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG II. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC III. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. IV. BÀI TẬP ÁP DỤNG.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> • Góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau : Góc giữa 2 đường thẳng a và b chéo nhau là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cắt nhau lần lượt cùng phương với a và b • Kí hiệu :.   (a,b) = (a',b') a’. O . a b’ O b . a’. O . b’.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Ghi chú . Với 2 đường thẳng a, b tùy ý, ta có : . . . o  0 (a,b) 90 o. a//b  (a,b) = 0o   a b  (a,b) = 90o  a  b.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> II. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC 1. Định nghĩa. o  a  b  (a,b) 90. b’ . b. a’. O. a.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 2. Tính chất :. a//b   c b c  a c a b.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Các mệnh đề sau đúng hay sai ? a) Hai đường thẳng vuông góc nhau thì cắt nhau ? Sai, vì chúng có thể chéo nhau. c b a .

<span class='text_page_counter'>(7)</span> b) Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau ? Sai, vì chúng có thể chéo nhau hoặc cắt nhau . u a. b b .

<span class='text_page_counter'>(8)</span> PHƯƠNG PHÁP GiẢI TOÁN Chứng minh hai đường thẳng vuông góc :. 1. Dùng định nghĩa : 2.. c // b   ab a  c. 3.. a  ( )   ab b  ( ) .  a  b  (a,b) 90o. 4. Nếu a, b đồng phẳng dùng các phương pháp trong hình học phẳng, như Pytago đảo, trung tuyến của tam giác cân, tính chất đường cao, trung trực,….

<span class='text_page_counter'>(9)</span> BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và CD. Biết AB = CD = 2a và MN = a 3  Tính góc (AB,CD).

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Hướng dẫn giải toán Gọi O là trung điểm của AC A  OM , ON lần lượt là ĐTB của ABC, ACD.  OM = ON = a và OM // AB, N a ON // CD 2a O     (AB,CD) = (OM,ON) a 3 a. B M. D.  2a. C.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> O.  Tính góc (AB,CD). a. a. M. N a 3 2. H + Cách 1 : Gọi H là trung điểm của MN. Trong tam giác cân OMN có : a 3 OM = a, MH = 2.    MON = 2.MOH 2.60o = 120 o    (AB,CD) = (OM,ON) = 180o  120o 60o.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> + Cách 2. Áp dụng định lí cosin cho MON :  MN2 = OM2 + ON2 – 2.OM.ON.cos MON Suy ra : 1  cosMON = 2 Do đó :.  MON = 120 o. Vậy :. O  (AB,CD) = 60.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 2. Cho tứ diện đều ABCD, cạnh a. Gọi M, N, P , Q , R lần lượt là các trung điểm của AB, CD, AD, BC và AC a) Chứng minh : MN  RP và MN  RQ b) Chứng minh : AB  CD.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> a. Chứng minh MN  RP, MN  RQ Ta có : RP là ĐTB ACD  RP // CD (1). A. MCD cân  MN  CD (2) Từ (1) và (2) suy ra : M MN  RP Tương tự : RQ là ĐTB ABC  RQ // AB (3) B và ABN cân  MN  AB (4) (3) , (4)  MN  RQ. R. P D. Q. C. N.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> b. Chứng minh AB  CD Tương tự : PQ  AD Ta có : RP // CD và RQ // AB. A. Ta chứng minh : RP  RQ QPD vuông tại P, nên : 2. 2. QP = QD - DP 2 a 2 QP = 2. Ta có :. 2. 2. a 2 RQ + RP = = QP 2 2. 2. M. R. P D. B. Do đó : RP  RQ  AB  CD. Q. C. N.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Bài tập Bài 3 . Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, gọi  DM) M là trung điểm của BC. Tính góc (AB,.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Hướng dẫn giải toán A.  DM) Tính góc (AB, MN là ĐTB ABC, nên MN // AB  DM) NMD    (AB,. B. N. . Áp *Cách dụngkhác định: lí cosin cho  tam giác MND , ta được : Trong tam giác cân MND tại M  2 2 của 2 D, gọi H làMN trung điểm  MD  ND 3 3 C MH a / 4 cosnên  :  MN, cos    2.MN.MD 6 DM a 3 / 2 6. D.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Bài 4. Tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c. a) Chứng minh các đoạn nối trung điểm của các cạnh đối thì vuông góc với hai cạnh đó. b) Tính cosin của góc hợp bởi các đường thẳng AC và BD.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Hướng dẫn giải toán a) Chứng minh : + MN  CD , MN  AB ; : AD , PQ  BC Ta có + PQ ABC = BDA (c-c-c)  MC = MD  MND cân  MN  CD Tương tự : MN  AB. A a M. . b. . P c. b. B c Q. . D . C. N. a.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Hướng dẫn giải toán a) Chứng minh : + PQ  AD , PQ  BC ABC = DCB (c-c-c). A a M. c . b. . P.  QA = QD  QAD cân tại Q  PQ  AD Tương tự : PQ  BC. b. B c Q. . D . a N. C Vậy các đoạn nối trung điểm các cạnh đối vuông góc với các cặp cạnh đối đó..

<span class='text_page_counter'>(21)</span>  b) Tính cos(AC,BD). Ta có : NP // AC, MP // BD   Nên : (AC,BD) MPN  Áp dụng định lí cosin cho tam giác MNP : 2 2   MP NP MN cos   2MPNP 2. MNC vuông tại N. B. A a M. . b/2 . c . P b/2. b. D.  MN2 = MC2 – NC2 c   a Q Áp dụng định lí trung tuyến N C cho ABC , ta được : 2 2 2 2 2    a c 2b 2c a 2  Vậy : cos(AC,BD)  cos   MC  2 4 b.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> Bài 5 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành với AB = a, AD = 2a, SAB là tam giác vuông cân tại A, M là 1 điểm trên cạnh AD (M khác A và D). Mặt phẳng  qua M và song song với mp(SAB) cắt BC, SC, SD lần lượt tại N, P, Q. a) Chứng minh MNPQ là hình thang vuông. b) Đặt AM = x. Tính diện tích của MNPQ theo a và x..

<span class='text_page_counter'>(23)</span> Hướng dẫn giải toán S Q . P. A. B. M. . . N. . C. D.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> Hướng dẫn giải toán S. a) Chứng minh MNPQ là hình thang vuông.. Q . (SAB) //(  ). P. A.  SA //(  ). B. M. . . N. . SA //( )   SA  (SAD)   (  )  (SAD) MQ // SA M  ( )  (SAD) . C. D.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> Tương tự : AB // ()  ()  (SAB) = MN // AB Và ()  (SCD) = PQ // CD //AB SB // ()  ()  (SBC) = NP // SB Vậy tứ giác MNQ là hình thang.

<span class='text_page_counter'>(26)</span>