Phát hiện về sai lầm và chướng ngại của học sinh thpt trong dạy học đại số và giải tích

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

Lª NhËt Quang

Phát hiện về sai lầm và ch-ớng ngại của học sinh trung
học phổ thông trong dạy học đại số và gi¶I tÝch

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGHỆ AN - 2011


2

Lời cảm ơn
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cán bộ h-ớng dẫn TS Nguyễn
Văn Thuận đà tận tình giúp đỡ tôi trong suốt thời gian nghiên cứu và hoàn
thành luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu của các thầy, cô giáo
trong Ban Giám hiệu, khoa sau đại học, khoa Toán, bộ môn ph-ơng pháp
giảng dạy Toán của tr-ờng Đại học Vinh đà tạo mọi điều kiện giúp đỡ trong
suốt thời gian học tập và nghiên cứu.
Xin cảm ơn Ban Giám hiệu và các thầy, cô giáo bộ môn Toán của
tr-ờng THPT Hồng Lĩnh Thị xà Hồng Lĩnh- Hà Tĩnh đà tạo mọi điều kiện
giúp đỡ tôi trong thời gian tiến hành thực nghiệm s- phạm của Luận văn.
Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, đồng nghiệp và bạn bè
đà động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành
luận văn này.

Vì điều kiện thời gian có hạn cũng nh- năng lực bản thân còn nhiều hạn
chế nên luận văn khó tránh khỏi những khiếm khuyết. Tác giả rất mong nhận
đ-ợc nhiều ý kiến đóng góp quý báu của thầy cô giáo cùng bạn bè đồng
nghiệp.
Vinh tháng 12 năm 2011
Tác giả luận văn: Lê Nhật Quang


3

Mục lục
Trang
Mở đầu ..

1

Chơng 1. Những sai lầm và chớng ngại của học sinh trung học phổ

8

thông khi giải toán Đại số và giải tích.
1.1 Cơ sở lí luận

8

1.2. Những chớng ngại của học sinh Trung học phổ thông khi giải toán

13

Đại số và giải tích...

1.2.1.

Khái niệm chớng ngại

14

1.2.2.

Chớng ngại của học sinh Trung học phổ thông khi giải toán

20

Đại số và Giải tích.
1.2.2.1. Chớng ngại liên quan đến các kh¸i niƯm To¸n häc; c¸c
quan hƯ cđa c¸c kh¸i niƯm giữa các chơng mục khác nhau
1.2.2.2. Chớng ngại do hiểu không tờng minh kiến thức Toán

20
23

học
1.2.2.3. Chớng ngại do thiếu khả năng khai thác các ứng dụng
khác nhau của kiến thøc to¸n…………………………………………………..

25


4

1.3 Một số kiểu sai lầm và các nguyên nhân sai lầm của học sinh Trung

học phổ thông khi giải toán Đại số và Giải tích .
1.3.1. Sai lầm liên quan đến chuyển đổi bài toán.
1.3.2. Sai lầm liên quan đến phân chia trờng hợp riêng
1.3.3. Sai lầm liên quan đến ngôn ngữ diễn đạt.
1.3.4. Sai lầm liên quan đến cảm nhận trực quan.
1.3.5. Sai lầm liên quan đến nắm nội hàm khái niệm ..
1.3.6. Sai lầm liên quan đến nắm điều kiện và phạm vi áp dụng

35
35
42
48
49
51
52

định lí..
1.3.7. Sai lầm liên quan đến nhận thức sự tơng ứng...
1.3.8. Sai lầm liên quan đến chủ nghĩa hình thức .
1.3.9. Sai lầm liên do suy diễn những mệnh đề không đúng..........
1.3.10. Sai lầm liên quan đến suy luận lôgic...................................
1.3.11. Sai lầm liên quan đến suy luận quy nạp...
1.3.12. Sai lầm liên quan đến luận đề

56
58
60
62
64
65

1.3.13. Sai lầm liên quan đến trực giác trong giải bài tập về Đại
số tổ hợp và xác suất
1.3.14 Sai lầm liên quan đến không hiểu bản chất của đối tợng....
Kết luận chơng 1...

66
67
69

Chơng 2. Góp phần khắc phục chớng ngại, phòng tránh và sửa chữa
các sai lầm của học sinh Trung học phổ thông khi giải Toán Đại số
và Giải tích.
2.1. Một số định hớng s phạm của việc đề ra các quan điểm khắc phục
chớng ngại , phòng tránh và sửa chữa sai lầm của học sinh.
2.2 Đề xuất một số quan điểm chủ đạo trong việc khắc phục chớng ngại,
phòng tránh và sửa chữa các sai lầm của học sinh Trung học phổ th«ng

70

70


5

khi giải toán Đại số và Giải tích...

71

2.1.1. Quan điểm 1: Rèn luyện cho học sinh khả năng liên tởng và

huy động tri thức, đặc biệt là tri thức phơng pháp trong quá trình giải bài
tập toán.

71

2.1.2. Quan điểm 2: Trong quá trình truyền thụ tri thức và rèn luyện
kĩ năng toán học, cần quan tâm tập luyện cho học sinh những hoạt động
và hoạt động thành phần - mà khi giải Toán - học sinh thờng gặp những
chớng ngại, khó khăn, vớng mắc hoặc sai lầm trong việc thực hiện các
hoạt động này.................................................................................................

75

2.1.3. Quan điểm 3: Chú ý tới các yêu cầu: tính giáo dục, tính kịp thời,
tính chính xác trong quá trình khắc phục chớng ngại, phát hiện và sửa
chữa sai lầm cho học sinh..........................................................................
90
2.1.4. Quan điểm 4: Giáo viên kiến tạo các tình huống dễ dẫn tới chớng
ngại và sai lầm để học sinh đợc thử thách với những tình huống
đó.
Kết luận chơng 2...
Chơng 3. Thực nghiệm s phạm .

93
96
97

3.1. Mục đích thực nghiệm .

97

3.2. Tổ chức vµ néi dung thùc nghiƯm ………………………………

97

3.2.1. Tỉ chøc thùc nghiƯm ........................

97

3.2.2. Nội dung thực nghiệm.
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm...

97
99

3.3.1. Đánh giá định tính.

99

3.3.2. Đánh giá định lợng..

100

3.4. Kết ln chung vỊ thùc nghiƯm…………………………………

102


6

Kết luận

103

Tài liệu tham khảo ................................................................................

104


7

Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
1.1. Nghị quyết Hội nghị lần thứ IV Ban Chấp hành Trung -ơng Đảng
Cộng sản Việt Nam (Khóa IV, 1993) nêu rõ: "Mục tiêu giáo dục - đào tạo
phải h-ớng vào việc đào tạo những con ng-ời lao động tự chủ, sáng tạo, có
năng lực giải quyết những vấn đề th-ờng gặp, qua đó mà góp phần tích cực
thực hiện mục tiêu lớn của đất n-ớc (Tài liệu Bồi d-ỡng giáo viên môn Toán
năm 2005, tr. 1).
Về ph-ơng pháp giáo dục và đào tạo, Nghị quyết Hội nghị lần thứ 2
Ban Chấp hành Trung -ơng Đảng Cộng sản Việt Nam (Khóa VIII, 1997) đÃ
đề ra: Phải đổi mới ph-ơng pháp đào tạo, khắc phơc lèi trun thơ mét
chiỊu, rÌn lun thµnh nÕp t- duy sáng tạo của ng-ời học. Từng b-ớc áp dụng
những ph-ơng pháp tiên tiến và ph-ơng tiện hiện đại vào quá trình dạy học,
đảm bảo điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu .
Điều 24, Luật Giáo dục đà quy định: Ph-ơng pháp giáo dục phổ thông
phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, t- duy sáng tạo của học sinh, ;
bồi d-ỡng ph-ơng pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực
tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niỊm vui, høng thó häc tËp cho häc sinh” .
1.2. ở tr-ờng phổ thông, theo A. A. Stoliar, dạy Toán là dạy hoạt động

Toán học. Đối với học sinh, có thêm xem giải toán là hình thức chủ yếu của
hoạt động toán học. Dạy học giải toán có vai trò đặc biệt trong dạy học Toán
ở tr-ờng phổ thông. Các bài toán là ph-ơng tiện có hiệu quả không thể thay
thế đ-ợc trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển t- duy, hình
thành kĩ năng và kĩ xảo. Hoạt động giải toán là điều kiện để thực hiện tốt các
mục đích khác của dạy học Toán. Do đó, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải
toán có vai trò quyết định đối với chất l-ợng dạy học To¸n.


8

Tuy nhiên, thực tiễn cho thấy chất l-ợng dạy học Toán ở tr-ờng phổ
thông có lúc, có chỗ còn ch-a tốt, biểu hiện qua năng lực giải toán của học
sinh còn hạn chế do học sinh còn gặp phải ch-ớng ngại và mắc nhiều sai
lầm. T- duy sáng tạo và khả năng lĩnh hội tri thức mới của học sinh còn hạn
chế biểu hiện qua việc học sinh không v-ợt qua đ-ợc các ch-ớng ngại trong
giải toán. Một trong những nguyên nhân quan trọng là giáo viên ch-a chú ý
một cách đúng mức việc phát hiện, uốn nắn và sửa chữa các sai lầm cho học
sinh ngay trong các giờ học toán, giáo viên cũng ch-a chú trọng nhiều đến
việc phát hiện ra các nguyên nhân dẫn đến sai lầm và cách khắc phục các
ch-ớng ngại của học sinh.
1.3. ĐÃ có nhiều quan điểm hoặc ý kiến đ-ợc nêu ra xoay quanh vấn đề
sai lầm trong cuộc sống cũng nh- trong nghiên cứu khoa học. Khổng Tử đÃ
nói: Sai lầm chân thật duy nhất là không sửa chữa sai lầm tr-ớc đó của
mình . Albert Einstein nói về sai lầm trong nghiên cứu khoa học: Nếu tôi
mắc sai lầm thì chỉ một lần cũng là đủ rồi . Nhiều nhà khoa học đà nhấn
mạnh tới vai trò của việc sửa chữa sai lầm của học sinh trong quá trình giảng
dạy toán, chẳng hạn, G.Polia đà phát biểu: Con ng-ời phải biết học ở những
sai lầm và những thiếu sót của mình [40, tr. 204], còn A. A. Stôliar thì nhấn
mạnh rằng: Không đ-ợc tiếc thời gian để phân tích trên giờ học các sai lầm

của học sinh .Viện sĩ A. N. Kôlmôgôrôv viết: Năng lực bình th-ờng của học
sinh trung học đủ để các em nắm đ-ợc Toán học trong nhà tr-ờng phổ thông
nếu có sự h-ớng dẫn tốt của thầy giáo . Nh- vậy có thể khẳng định rằng, các
sai lầm của học sinh trong giải toán là cần và có thể khắc phục đ-ợc.
1.4. Một trong những biểu hiện năng lực giải toán của học sinh là khả
năng chuyển đổi bài toán. Hoạt động chuyển đổi bài toán có vai trò then
chốt cho lời giải bài toán đó. Chúng ta hiểu hoạt động chuyển đổi bài toán
hay nói rộng hơn là hoạt động biến đổi đối t-ợng là quá trình chủ thể dùng
hành động trí tuệ, các thao tác t- duy dựa trên các tri thức kinh nghiệm đà có


9

để xâm nhập vào đối t-ợng nghiên cứu thông qua biến đổi cấu trúc của đối
t-ợng, bao gồm các mối liên hệ, quan hệ trong đối t-ợng và kể cả hình thức
của đối t-ợng. Trong quá trình dạy học toán do sự phát triển tâm lý của học
sinh hoặc do sự phát triển lịch sử của khái niệm học sinh có thể gặp những
ch-ớng ngại không tránh đ-ợc. Tuy nhiên cũng có những ch-ớng ngại nảy
sinh do những biện pháp sai lầm về mặt s- phạm. Khắc phục những ch-ớng
ngại cđa häc sinh lµ mét nhiƯm vơ quan trong cđa giáo viên trong quá trình
dạy học, khi v-ợt qua đ-ợc ch-ớng ngại tức là học sinh đà lĩnh hội thêm đ-ợc
tri thức mới.
1.5. Số các công trình nghiên cứu đề cập tới sai lầm và ch-ớng ngại của
học sinh trong giải toán còn t-ơng đối ít, trong các công trình đó có thể kể tới
Luận án Tiến sĩ của Lê Thống Nhất: "Rèn luyện năng lực giải toán cho học
sinh phổ thông trung học thông qua việc phân tích và sửa chữa các sai lầm
của học sinh khi giải toán" (1996). Các nhóm tác giả Trần Ph-ơng - Lê Hồng
Đức trong Sai lầm th-ờng gặp và các sáng tạo khi giải toán (2004); Lê Đình
Thịnh - Trần Hữu Phúc - Nguyễn Cảnh Nam trong Mẹo và bẫy trong các đề
thi môn toán (1992); Trần Hữu

Phúc - Nguyễn Cảnh Nam trong HÃy cẩn

thận! Bài thi đơn giản quá! (2002) Tất cả các công trình nêu trên đều sắp xếp
sai lầm của học sinh theo từng chủ đề kiến thức, sự hạn chế của nó lại là ở
chỗ: số l-ợng chủ đề kiến thức là rất nhiều, khó kể hết, còn nếu gộp lại để
thành các chủ đề lớn thì nhiều khi dẫn tới sự chung chung, thiếu cụ thể. Luận
án Thạc sĩ của Nguyễn Hữu Hậu, 2006 chỉ đề cập đến các dạng sai lầm mà
ch-a có những phát hiện về các ch-ớng ngại của học sinh khi giải toán Đại
số và Giải tích.
Từ những sự phân tích trên đây, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của
Luận văn là:
Phát hiện về sai lầm và ch-ớng ngại của học sinh Trung học phổ
thông trong dạy học Đại số và Giải tÝch” .


10

2. Mục đích nghiên cứu
Phân chia các dạng sai lầm phổ biến của học sinh, xác định các nguyên
nhân dẫn đến sai lầm, góp phần phòng tránh và sửa chữa các sai lầm đó. Làm
sáng tỏ khái niệm ch-ớng ngại và nguồn gốc của nó trong dạy học môn toán.
Từ đó đề xuất các biện pháp khắc phục sai lầm và ch-ớng ngại góp phần rèn
luyện năng lực giải toán cho học sinh trung học phổ thông.
3. Giả thuyết khoa học
Nếu phân chia và làm sáng tỏ đ-ợc các dạng sai lầm và ch-ớng ngại
của học sinh trung học phổ thông khi giải toán Đại số & Giải tích, thì có thể
đề xuất đ-ợc các quan điểm để phòng tránh và khắc phục các dạng sai lầm v
ch-ớng ngại nhằm nâng cao nhận thức cho học sinh, góp phần nâng cao chất
l-ợng dạy học toán ở tr-ờng phổ thông..

4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau đây:
4.1. Trong giải toán Đại số và Giải tích, học sinh th-ờng mắc phải một
số kiểu sai lầm và ch-ớng ngại phổ biến nào?
4.2. Nguyên nhân nào dẫn tới các sai lầm và ch-ớng ngại đó?
4.3. Để hạn chế, sửa chữa những sai lầm và ch-ớng ngại đà chỉ ra, cần
thực hiện những quan điểm nào?
4.4. Kết quả của Thực nghiệm s- phạm là nh- thế nào?
5. Ph-ơng pháp nghiên cứu
5.1. Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu về lí luận và ph-ơng
pháp giảng dạy môn toán, các tài liệu về Tâm lí học và Giáo dục học để làm
điểm tựa đề xuất các quan điểm hạn chế, sửa chữa sai lầm và ch-íng ng¹i cđa
häc sinh.


11

5.2. Điều tra, quan sát: Điều tra qua thực tiễn s- phạm, qua các tài liệu
để nắm bắt thêm những kiểu sai lầm và ch-ớng ngại của học sinh Trung học
phổ thông khi giải toán Đại số và Giải tích.
6. Những đóng góp của Luận văn
6.1. Luận văn đà làm sáng tỏ đ-ợc nhiều kiểu sai lầm và ch-ớng ngại
của học sinh Trung học phổ thông khi giải toán Đại số và Giải tích mà các tài
liệu khác hoặc ch-a có dịp đề cập, hoặc chỉ đề cập ở mức độ sơ bộ. Đặc biệt,
khi đề cập đến các sai lầm và ch-ớng ngại, Luận văn đà chú trọng đến ph-ơng
diện hoạt động toán học.
6.2. Luận văn đà phân tích đ-ợc nguyên nhân dẫn đến những sai lầm
và các ch-ớng ngại đó.
6.3. Cùng với các công trình nghiên cứu khác, tiến tới việc đ-a ra một
bức tranh toàn cảnh và t-ơng đối đầy đủ về những kiểu sai lầm và ch-ớng ngại

của học sinh Trung học phổ thông khi giải toán.
6.4. Luận văn có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên toán
Trung học phổ thông.
7. Cấu trúc của luận văn
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
2. Mục đích nghiên cứu
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
4. Giả thuyết khoa học
5. Ph-ơng pháp nghiên cứu
6. Đóng góp của Luận văn
Nội dung
Ch-ơng 1. Những sai lầm và ch-ớng ngại của học sinh trung học phổ
thông khi giải toán Đại số và Gi¶i tÝch


12

1.1.

Cơ sở lí luận

1.2.

Những ch-ớng ngại của học sinh Trung học phổ thông khi giải toán

Đại số và Giải tích
1.2.1. Khái niệm ch-ớng ngại.
1.2.2. Ch-ớng ngại của học sinh Trung học phổ thông khi giải toán
Đại số và Giải tích

1.2.2.1. Ch-ớng ngại liên quan đến các khái niệm toán học; các quan
hệ của các khái niệm giữa các ch-ơng mục khác nhau.
1.2.2.2. Ch-ớng ngại do hiểu không t-ờng minh kiến thức toán học.
1.2.2.3. Ch-ớng ngại do thiếu khả năng khai th¸c c¸c øng dơng kh¸c
nhau cđa kiÕn thøc to¸n.
1.3 Mét số kiểu sai lầm và nguyên nhân sai lầm của học sinh Trung học
phổ thông khi giải toán Đại số và Giải tích
1.3.1. Sai lầm liên quan đến chuyển đổi bài toán
1.3.2. Sai lầm liên quan đến phân chia tr-ờng hợp riêng
1.3.3. Sai lầm liên quan đến ngôn ngữ diễn đạt
1.3.4. Sai lầm liên quan đến cảm nhận trực quan
1.3.5. Sai lầm liên quan đến nắm nội hàm khái niệm
1.3.6. Sai lầm liên quan đến nắm điều kiện và phạm vi áp dụng định lí
1.3.7. Sai lầm liên quan đến nhận thức sự t-ơng ứng
1.3.8. Sai lầm liên quan đến chủ nghĩa hình thức
1.3.9. Sai lầm liên quan đến suy diễn những mệnh đề không đúng
1.3.10. Sai lầm liên quan đến suy luận lôgic
1.3.11. Sai lầm liên quan đến suy luận quy nạp
1.3.12. Sai lầm liên quan đến luận đề
1.3.13. Sai lầm liên quan đến trực giác trong giải bài tập về Đại số tổ
hợp và xác suất


13

1.3.14. Sai lầm liên quan đến không hiểu bản chất của đối t-ợng.
Kết luận ch-ơng 1.
Ch-ơng 2. Góp phần khắc phục ch-ớng ngại, phòng tránh và sửa
chữa các sai lầm của học sinh trung học phổ thông khi giải toán Đại số và
Giải tích

2.1. Một số định h-ớng s- phạm của việc đề ra các quan điểm khắc
phục ch-ớng ngại, phòng tránh và sửa chữa sai lầm của học sinh.
2.2. Đề xuất một số quan điểm chủ đạo trong việc khắc phục ch-ớng ngại,
phòng tránh và sửa chữa các sai lầm của học sinh Trung học phổ thông khi giải
toán Đại số và Giải tích
Kết luận Ch-ơng 2
Ch-ơng 3. Thực nghiệm s- phạm
3.1. Mục đích thực nghiệm
3.2. Tổ chức thực nghiệm
3.3. Nội dung thực nghiệm
3.4. Đánh giá các kết quả thực nghiệm
Kết luận
Tài liệu tham khảo


14

Ch-ơng 1
Những sai lầm và ch-ớng ngại của học sinh trung
học phổ thông khi giải toán Đại số và giải tích
1.1 Cơ sở lí luận
Chúng ta biết rằng Dạy học Toán là dạy hoạt động Toán học là một
luận điểm cơ bản đà đ-ợc mọi ng-ời thừa nhận, hoạt động toán học chủ yếu
của học sinh là hoạt động giải bài tập toán. Trong môn toán ở tr-ờng phổ
thông có nhiều tình huống điển hình, nh-ng có thể xem giải toán là hoạt động
toán học chủ yếu. Đây là một luận điểm đúng đắn đà đ-ợc mọi ng-ời thừa
nhận.
Theo Nguyễn Bá Kim: Ph-ơng pháp dạy học cần h-ớng vào tổ chức cho
ng-ời học học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ
động và sáng tạo . Định h-ớng này còn gọi là học tập trong hoạt động và bằng

hoạt động, hay còn gọi là: hoạt động hóa ng-ời học.
Mỗi nội dung dạy học đều liên hệ với những hoạt động nhất định. Phát
hiện những hoạt động trong một nội dung là vạch đ-ợc mét con ®-êng ®Ĩ ng-êi
häc chiÕm lÜnh néi dung ®ã và đạt đ-ợc những mục tiêu dạy học khác, cũng
đồng thời là cụ thể hóa đ-ợc mục tiêu dạy học nội dung đó và chỉ ra một cách
kiểm tra xem mục tiêu dạy học có đạt đ-ợc hay không và đạt đến mức độ nào.
Cho nên điều căn bản của ph-ơng pháp dạy học là khai thác những hoạt động
tiềm tàng trong mỗi nội dung để đạt đ-ợc mục tiêu dạy học. Quan điểm này thể
hiện rõ nét mối liên hệ giữa mục tiêu, nội dung và ph-ơng pháp dạy học. Nó
hoàn toàn phù hợp với luận điểm cơ bản cđa Gi¸o dơc häc cho r»ng con ng-êi
ph¸t triĨn trong hoạt động và học tập diễn ra trong hoạt động.
Trong Từ điển thì ch-ớng ngại và khó khăn là hai từ đồng nghĩa. Khi một
vấn đề mới đ-ợc đặt ra, việc giải quyết nó có thể cần hay không cần sù tæ chøc


15

lại một lí thuyết hay sự điều chỉnh quan niệm về một số khái niệm toán học có
liên quan.
Ta nói rằng có một khó khăn, nếu vấn đề đ-ợc giải quyết mà không đòi
hỏi xem xét lại quan điểm của lí thuyết đang xét hay của những quan niệm
hiện hành.
Ta nói có một ch-ớng ngại nếu vấn đề chỉ đ-ợc giải quyết sau khi ta cấu
trúc lại những quan niệm hay thay đổi lại quan niệm lí thuyết.
Có ba kiểu ch-íng ng¹i tïy theo ngn gèc. Mét sè ch-íng ng¹i có thể
tránh đ-ợc, một số khác thì không:
- Ch-ớng ngại về mặt phát triển cá thể liên hệ với phát triển tâm lí của
đối t-ợng;
- Ch-ớng ngại s- phạm liên hệ với sự chuyển hóa s- phạm của tri thức.
Đó là ch-ớng ngại có thể tránh đ-ợc bằng cách hành động trên những tình

huống dạy học;
- Ch-ớng ngại khoa học luận liên hệ với sự phát triển lịch sử của khái
niệm. ở cấp độ ng-ời học, một ch-ớng ngại loại nµy “ lµ thµnh tè” cđa kiÕn thøc
hiĨu theo nghÜa ng-ời nào đà gặp nó và đà v-ợt qua thì có một kiến thức khác
với ng-ời ch-a hề gặp nó [24, tr. 139].
Xác định các ch-ớng ngại, và nguồn gốc của nó trong dạy học môn toán
là việc làm hết sức cần thiết. Vì nhờ đó, giáo viên có thể tìm các biện pháp sphạm thích hợp. Để xác định ch-ớng ngại, ta có các cách sau đây:
- Nghiên cứu lịch sử phát triển của khái niệm để phát hiện ch-ớng ngại
mà các nhà Toán học đà gặp phải trong quá trình phát triển khái niệm đó,
ch-ớng ngại này th-ờng trở thành ch-ớng ngại về nhận thức của học sinh khi
học tập khái niệm đó.
- Nghiên cứu những sai lầm có cùng bản chất của đa số học sinh xung
quanh khái niệm nào đó [4, tr. 86].


16

Trong dạy học giáo viên cần làm nảy sinh những ch-ớng ngại s- phạm
và cần biết dự kiến, biết xây dựng những tình huống xóa bỏ những ch-ớng
ngại không tránh đ-ợc.
Việc sửa chữa sai lầm là một hoạt động quan trọng, chẳng hạn G. Polia
cho rằng: "Con ng-ời phải biết học ở những sai lầm và thiếu sót của mình"
[40, tr.204], A. A. Stoliar phát biểu: "Không đ-ợc tiếc thời gian để phân tích
trên giờ học các sai lầm của học sinh" còn theo J. A. Komenxki thì: "Bất kì
một sai lầm nào cũng có thể làm cho học sinh kém đi nếu nh- giáo viên không
chú ý ngay đến sai lầm đó, và h-ớng dẫn học sinh nhận ra, sửa chữa khắc
phục sai lầm" (dẫn theo Nguyễn Anh Tuấn 2003).
Có nhiều quan điểm khác nhau đối với việc chỉ ra các sai lầm của học
sinh, chẳng hạn, R. A. Axanop cho r»ng: “ viÖc tiÕp thu tri thøc mét cách có ý
thức đ-ợc kích thích bởi việc tự học sinh phân tích một cách có suy nghĩ nội

dung của từng sai lầm mà học sinh phạm phải, giải thích nguồn gốc của của các
sai lầm này và t- duy, lí luận về bản chất của các sai lầm (dẫn theo Lê Thống
Nhất 1996), còn

A. A. Stôliar khẳng định rằng: Cần có biện pháp nhằm dạy

học môn toán dựa trên các sai lầm, khi các sai lầm của học sinh xuất hiện
Sai lầm và sửa chữa sai lầm của học sinh khi giải toán đ-ợc nhìn từ
nhiều góc độ của các ph-ơng pháp dạy học, chẳng hạn, nhìn từ góc độ các lí
thuyết về học:
ã Thuyết Hành vi quan niệm rằng: Sai lầm của học sinh là một hiện
t-ợng tiêu cực, có hại cho việc lĩnh hội kiến thức và do đó cần tránh và nếu gặp
thì cần khắc phục. Trong dạy học theo một số nhà giáo dục ng-ời Đức mà tiêu
biểu là Aphơgut Lai cho rằng: "việc chú ý tới các sai lầm của học sinh trong giờ
học có ảnh h-ởng xấu tới việc tiếp thu bài giảng". Đặc biệt quan điểm này đề
nghị không viết lại lời giải sai lên bảng vì điều này làm củng cố thêm sai lầm
trong ý thức của học sinh (dẫn theo Lê Thống Nhất 1996). Còn nguyên nhân sai


17

lầm th-ờng đ-ợc cho là do học sinh mơ hồ, không nắm vững kiến thức đà học,
do thiếu hụt kiến thức, do vô ý không cẩn trọng, ... Đôi khi lại quy cho giáo
viên trình bày không chính xác, dạy quá nhanh hay giải thích không đủ rõ ràng.
Xu h-ớng dạy học t-ơng thích với quan niệm này về sai lầm th-ờng đ-ợc
gọi là s- phạm từng b-ớc nhỏ . Theo đó, mục tiêu dạy học một kiến thức đ-ợc
phân thành các mục tiêu bộ phận, các mục tiêu bộ phận đến l-ợt nó lại đ-ợc
phân thành các mục tiêu con, ... để làm sao để cho học sinh có thể lĩnh hội kiến
thức cần giảng dạy bằng cách đi dần dần, lần l-ợt từ đơn giản đến phức tạp mà
không phạm sai lầm nào. Ng-ời ta tìm mọi cách để tránh sai lầm. Còn nếu lỡ

sai lầm xuất hiện, thì cách giải quyết thông th-ờng là dạy lại, ôn luyện lại hay
cung cấp các kiến thức bổ trợ cho đến khi học sinh có đ-ợc lời giải hay, câu trả
lời đúng (phản xạ đáp lại nh- mong đợi). Chẳng hạn, theo Lê Thống Nhất,
nguyên nhân sai lầm của học sinh là do: không nắm vững các khái niệm, định
lí, thiếu các kiến thức về lôgíc. Biện pháp sửa chữa sai lầm là: truyền thụ đầy
đủ và chính xác các khái niệm, định lí; dự đoán và phòng tránh sai lầm, biết sử
dụng các quy tắc suy luận, ...
ã Thuyết Kiến tạo quan niệm rằng: Sai lầm không chỉ đơn giản do thiếu
hiểu biết, mơ hồ hay ngẫu nhiên sinh ra mà còn là hậu quả của kiến thức tr-ớc
đà từng có hữu ích và đem lại thành công, nh-ng bây giờ tỏ ra sai hoặc đơn giản
là không còn thích hợp nữa. Trong hoạt động của giáo viên cịng nh- cđa häc
sinh, sai lÇm bao giê cịng cịng góp phần hình thành nên nghĩa của kiến thức
lĩnh hội đ-ợc. Sai lầm là sự thể hiện của một kiến thức (tự phát hay đà có từ
tr-ớc đó) của học sinh, kiến thức mà cần phá hủy hay làm mất sự ổn định để
thay thế nó bằng kiến thức thích ứng hơn (dẫn theo Lê Văn Tiến 2006)
Nh- vậy, ngoài việc chỉ ra nguồn gốc căn bản khác của sai lầm (Thuyết
Kiến tạo cũng xét đến một số nguồn gốc quan trọng khác nh- do hạn chế của
chủ thể (về tâm lí, về nhận thức, ...) hay hậu quả của hợp đồng didactique, ...),
Thuyết Kiến tạo còn có một cái nhìn tích cực về nó. Sai lầm thực sự ®ãng mét


18

vai trò quan trọng và cần thiết cho học tập, nhất là khi nó là hậu quả của
những ch-ớng ngại hình thành từ kiến thức cũ. Do đó, vấn đề không phải là
phòng tránh sai lầm, mà là chủ động tổ chức cho học sinh gặp sai lầm và sửa
chữa nó nh- thế nào. Nh- G. Bachelard nhấn mạnh: cần phải tổ chức dạy
học thông qua việc phá hủy một cách có hệ thống các sai lầm (dẫn theo Lê
Văn Tiến 2006).
Mặt khác, tr-ớc một sai lầm của học sinh, nếu nh- Thuyết Hành vi đi tìm

nguyên nhân từ những kiến thức học sinh nắm không vững hay thiếu hụt, hoặc
từ sự bất cẩn, ... của chủ thể, thì Thuyết Kiến tạo lại nhấn mạnh vào việc tìm
câu trả lời cho các câu hỏi sau:
- Những quy trình (hay dạng thức) hành động nào, những quan niệm nào
đ-ợc học sinh vận dụng đà góp phần tạo ra sai lầm này?
- Những giả thuyết nào có thể đặt ra về nguồn gốc của những quy trình
hay quan niệm đó?
Một điểm khác biệt căn bản giữa Thuyết Hành vi và Thuyết Kiến tạo là
cách thức sữa chữa sai lầm. Trong khi Thuyết Hành vi nhấn mạnh vào việc
dạy lại và gia tăng luyện tập củng cố, do đó cần nhấn mạnh vai trò chủ đạo
của giáo viên, thì Thuyết Kiến tạo chủ tr-ơng sửa chữa sai lầm bằng cách đặt
học sinh vào những tình huống học tập gắn liền với sai lầm đó. Tình huống
nhắm tới tạo ra ở học sinh những xung đột nhận thức, cho phép họ tự nhận ra
không chỉ sai lầm mà chủ yếu là nhận ra các quy trình hay quan niệm mà họ
đà vận dụng sẽ dẫn tới những kết quả mâu thuẫn hay nghịch lí. Các tình huống
cũng phải tạo thuận lợi cho họ tự phá hủy hay điều chỉnh quy trình, quan niệm
cũ của mình để xây dựng kiến thức mới thích ứng hơn. Nh- vậy, Thuyết Kiến
tạo đặc biệt nhấn mạnh đến vai trò chủ động của chủ thể (ng-ời học) trong
việc sửa chữa sai lầm.
Sai lầm và sửa chữa sai lầm nhìn từ ph-ơng pháp dạy học giải quyết vấn đề:


19

Ph-ơng pháp dạy học giải quyết vấn đề dựa trên tình huống có vấn đề
trong dạy học. Khi học sinh mắc sai lầm là xuất hiện tình huống có vấn đề, có
thể do giáo viên tạo ra hoặc tự nó nảy sinh từ lôgíc bên trong của việc giải toán.
Sai lầm của học sinh tạo ra mâu thuẫn và mâu thuẫn này chính là động lực thúc
đẩy quá trình nhận thức của học sinh. Sai lầm của học sinh làm nảy sinh nhu
cầu cho t- duy mà theo X. L. Rubinstêin: T- duy sáng tạo luôn bắt đầu bằng

một tình huống gợi vấn đề [24, tr. 151]. Theo Nguyễn Anh Tuấn, thuộc nhóm
năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề trong học toán có Năng lực phát hiện
và sửa chữa sai lầm, nh-ợc điểm trong cách giải bài toán, trong quá trình tìm
hiểu giới hạn cách giải quyết vấn đề và năng lực sửa chữa sai lầm [53, tr. 14].
Sai lầm của học sinh xuất hiện thì sẽ khêu gợi đ-ợc hoạt động học tập mà
học sinh sẽ đ-ợc h-ớng đích, gợi động cơ để tìm ra sai lầm và đi tới lời giải
đúng. Tìm ra cái sai của mình đều là sự khám phá. Từ sự khám phá này học
sinh chiếm lĩnh đ-ợc kiến thức một cách trọn vẹn hơn.
Sai lầm nhìn từ góc độ Lý thuyết Tình huống: Sai lầm ở đây có thể hiểu
theo các ch-ớng ngại của Lí thuyết Tình huống, ở đây chủ yếu chúng ta quan
tâm tới những ch-ớng ngại mà học sinh có thể tránh đ-ợc trong quá trình tìm
kiếm tri thức Toán học nói chung và giải toán nói riêng.
Các quan điểm nhằm phát hiện và sửa chữa sai lầm đà phân tích trên đều
dựa trên quan điểm hoạt động của Nguyễn Bá Kim. Do đó các nguyên tắc sửa
chữa sai lầm cho học sinh khi giải toán thì cần phải tạo động cơ học tập sửa
chữa các sai lầm. Học sinh thấy việc sửa chữa sai lầm là một nhu cầu và cần
phải tham gia nh- một chủ thể một cách tự nguyện, say mê hào hứng. Tạo cho
học sinh có động cơ hoàn thiện tri thức. Cần lấy hoạt động học tập của học sinh
để làm cơ sở cho quá trình lĩnh hội tri thức. Hơn nữa các nguyên tắc phải tập
trung vào phát triển hoạt động, rèn luyện các kĩ năng học tập của học sinh.


20

1.2. Những ch-ớng ngại của học sinh Trung học phổ thông khi giải
toán Đại số và Giải tích
Từ việc phân tích các hoạt động nhận thức thể hiện trong lý thuyết dạy
học; tiếp cận các hoạt động phát hiện; hoạt động để thích nghi trong tâm lí
học trí tuệ, các hoạt động tâm lí học liên t-ởng Chúng tôi xác định nguồn
gốc chủ yếu của hoạt động nhận thức là các mâu thuẫn và các loại ch-ớng

ngại trong dạy học toán. Phát hiện các ch-ớng ngại là động lực của hoạt động
nhận thức trong dạy học toán.
1.2.1. Khái niệm ch-ớng ngại
Khái niệm ch-ớng ngại trong khoa học luận do G.Bachelard đ-a vào
trong cuốn Sự hình thành trí tuệ khoa học . Khi một vấn đề mới đ-ợc đặt ra,
việc giải quyết nó có thể cần hay không cần sự tổ chức lại một lí thuyết hay sự
điều chỉnh quan niệm về một số khái niệm toán học có liên quan. Ta nói có
một ch-ớng ngại nếu vấn đề chỉ đ-ợc giải quyết sau khi ta đà cấu trúc lại
những quan niƯm hay thay ®ỉi quan niƯm lÝ thut. Theo tác giả Nguyễn Bá
Kim thì khái niệm ch-ớng ngại đ-ợc chia thành hai dạng đó là ch-ớng ngại sphạm và ch-ớng ngại không tránh đ-ợc.
- Ch-ớng ngại không tránh đ-ợc liên hệ với sự phát triển tâm lí của
đối t-ợng hoặc sự phát triển lịch sử của khái niệm.
Mức độ kiến thức giảng dạy cho học sinh ở mỗi lớp, mỗi cấp học phải
phù hợp với tâm lí của ng-ời học. Do sự phát triển của tâm lí có thể tạo nên
các ch-ớng ngại khi ng-ời học tiếp cận tri thức mới. Giáo viên phải tạo nên
những hoạt động phù hợp với mức độ nhận thức của học sinh để từng b-ớc
xoá bỏ các ch-ớng ngại mà học sinh gặp phải.
Tri thức phổ thông đ-ợc xây dựng theo đ-ờng xoáy ốc tức là tri thức
ngày càng đ-ợc nâng cao. Mặt khác việc truyền thụ tri thức cũng phải phù hợp
với sự phát triển tâm lí của ng-ời học nên ở mỗi lớp học, mỗi cấp học thì các
khái niệm đ-ợc đ-a vào ch-ơng trình giảng dạy theo từng mức độ. Do ®ã sÏ


21

có sự phát triển của lịch sử khái niệm điều này sẽ tạo ra các ch-ớng ngại
không thể tránh đ-ợc. Vì vậy giáo viên phải xây dựng đ-ợc một hệ thống các
tình huống, kết hợp với việc lựa chọn thời điểm thích hợp để tổ chức cho
ng-ời học tiến hành các hoạt động nhằm xoá bỏ những ch-ớng ngại mà họ
gặp phải.

Ví dụ 1. Chúng ta xem xét sự phát triển của khái niệm tập hợp số. Cấp
Tiểu học và Trung häc c¬ së häc sinh häc vỊ tËp sè tự nhiên, tập số nguyên,
tập số hữu tỷ và tập số thực. Đối với học sinh tập số thực là tập số lớn nhất
cho đến cuối ch-ơng trình giải tích lớp 12 học sinh đ-ợc giới thiệu và b-ớc
đầu nghiên cứu về tập số phức.
Xét trên tập số thực thì các ph-ơng trình bậc hai có 0 đều vô
nghiệm. Khi học đến tập số phức thì kiến thức trên có thể trở thành ch-ớng
ngại cho học sinh. Làm thế nào để học sinh chấp nhận tri thức i 2 1 . Chúng
tôi xây dựng một tình h-ống nhằm xoá bỏ ch-ớng ngại này cho học sinh khi
bắt đầu tiếp cận với số phức.
Hoạt động 1. Giới thiệu cách giải ph-ơng trình bậc 3 của nhà toán học
Các-đa-nô (Cardano).
Cho ph-ơng trình bậc ba: ax3 bx2 cx  d  0 ,  a  0 (1), ta đặt
X x

b
, khi đó ph-ơng trình (1) có d¹ng X 3  pX  q  0 (2).
3a

phÐp ®ỉi biÕn X = u + v víi uv 

Lại thực hiện

p
p3
ta thu đ-ợc u 3 v3 q , u 3v3   . Khi
27
3

®ã u 3 ; v3 là hai nghiệm của ph-ơng trình bậc hai z 2 qz

p3
0 (3). Giải
27

ph-ơng trình (3) ta suy ra u 3 ; v3 .
Hoạt động 2. áp dụng giải ph-ơng trình x3 3x 0 (1)
Đặt x = u + v

với

uv 1 , khi đó ph-ơng trình (1) trở thành

u 3 v3 0 . Vì vậy u 3 và v 3 là hai nghiệm của ph-ơng trình t 2 1 0  2  . Häc


22

sinh sẽ nhận thấy rằng (2) không có nghiệm nên không tìm đ-ợc u và v, đây
quả thật là một sự mâu thuẫn, một sự bế tắc. Cách giải trên là của nhà toán
học và độ tin cậy là rất lớn. Vậy tình huống vô lí trên nguyên nhân do
đâu? Phải chăng chúng ta hÃy thử chấp nhận xem ph-ơng trình (2) có nghiệm,
tức là tạm chấp nhận tồn tại căn bậc hai của các số âm, khi ®ã (2) cã
nghiÖm

 u 3  1
t   1 . Ta suy ra 
3
v   1

  1    1   1   1
3

1 , t-ơng tự.

2

hoặc

u 3 1
. Ta cã
 3
 v  1



1  1 , suy ra 1 là một căn bậc 3 của

1 là một căn bậc 3 của 1 . Tuy nhiên nếu vậy chúng ta

cũng mới chỉ ra đ-ợc một nghiệm của ph-ơng trình ban đầu. Trong khi đó
ph-ơng trình (1) có ba nghiƯm lµ x  0; x  3; x 3 . Lại thêm một ý nghĩ
táo bạo. Phải chăng số

1 có ba căn bậc 3. Chúng ta tìm các căn bậc ba của

1 . Giả sử căn bËc ba cđa





3

1 cã d¹ng (a+b 1 ), suy ra: a  b 1  1 ,

tõ ®ã chóng ta tìm đ-ợc 3 căn bậc 3 của

1 là :

1

và

3
1
3
1

,

. T-ơng tự chúng ta tìm đ-ợc 3 căn bậc 3 cđa  1 lµ:
2
2
2
2
 3
1  
3
1 

1 vµ  


 ,   
 . B©y giê chóng ta chỉ cần chọn cặp u và v
2 2
2
2

sao cho thoả mÃn uv =1 , từ đó suy ra các nghiệm của ph-ơng trình:





x u  v   1 



1  0

 3
1  
3
1 
x  u  v  


   
 3

2   2
2 
 2

3
1   3
1 
x  u  v   


  
 3
2
2
2
2




Đúng là nghiệm đà thấy rõ ngay từ đầu. Thật lạ lùng, một điều mà từ
tr-ớc đến giờ chúng ta không thể chấp nhận lại giúp chúng ta v-ợt qua đ-ợc


23

ch-ớng ngại. Thực tế này buộc chúng ta phải chấp nhận sự tồn tại của
số

1 .

Hoạt động 3. Chúng ta chÊp nhËn sù cã mỈt “ sè”

1 , tøc là chấp

nhận sự tồn tại số i sao cho i 2  1 . V× tÝnh chÊt “ bÝ hiểm của số i nên i
đ-ợc gọi là đơn vị ảo. Các số có dạng a + bi a; b R gọi là các số phức.
Ví dụ 2. ë líp 9 häc sinh hiĨu tiÕp tun cđa của một đ-ờng tròn là
một đ-ờng thẳng chỉ có một điểm chung với đ-ờng tròn đó. Kiến thức này có
thể trở thành một ch-ớng ngại khi học sinh học về tiếp tuyến của một đ-ờng
cong nói chung.
Hoạt động 1. Tr-ớc khi đ-a ra định nghĩa về tiếp tuyến của một
đ-ờng cong bất kì yêu cầu học sinh vẽ trên cùng một hệ trục toạ độ đồ thị các
hàm số C  : y  f ( x)  x x  3  4 , d1 : y  1, d2 : y  1 . Nªu nhËn xÐt về số giao
điểm của các đ-ờng thẳng d1 , d2 với đồ thì (C).
y
1
O
-1

d1
3
2

4

x
d2

-4

Trong suy nghĩ của học sinh thì tiếp tuyến của đ-ờng cong cũng
t-ơng tự nh- tiếp tuyến của đ-ờng tròn, nghĩa là giữa đ-ờng thẳng d và
đ-ờng cong (C) chỉ có một điểm chung. Nh-ng sau khi quan sát hình vẽ trên


24

học sinh sẽ thấy xuất hiện mâu thuẫn giữa khái niệm tiếp tuyến của đ-ờng
tròn với khái niệm tiếp tuyến của đ-ờng cong bất kì.
Hoạt động 2. Bây giờ chúng ta hÃy viết ph-ơng trình tiếp tuyến của
đ-ờng tròn x2 y 2 25 tại điểm M0(3 ; 4).
Học sinh tiến hành hoạt động và nêu kết quả. Tiếp tuyến của đ-ờng tròn
3
25
x 2 y 2 25 tại điểm M0(3 ; 4) có ph-ơng trình y x
4
4

Hoạt động 3. Ta có: x2 y 2  25  y   25  x2 , ta xem nửa đ-ờng
tròn phía trên trục Ox là đồ thị hàm số y f x 25 x2 (C). Với mỗi điểm
M xM ; yM  thuéc (C) víi M  M 0 , ta gäi k M lµ hƯ sè gãc cđa đ-ờng thẳng

M0M . Tính lim
kM .
x 3
y

T

M0

4
M

yM

xM

O

Đ-ờng thẳng M0M có ph-ơng trình :
kM lim
suy ra xlim
3
x 3
M

M

3

x

y 4
x 3
y4

y M
 x  3  4 , ta

xM  3 yM  4
xM  3

f  xM   f  3
yM  4
3
 lim
 f '  3   . Khi
x

3
xM  3 M
xM  3
4

xM  3 tức là

điểm M di chuyển dọc theo (C) đến điểm M0 và đ-ờng thẳng M0M trở thành
đ-ờng thẳng


25

3
4

M0T có ph-ơng trình y x

25
. Thật bất ngờ đây chính là ph-ơng trình

4

tiếp tuyến của đ-ờng tròn x2 y 2 25 tại điểm M0(3 ; 4). Đ-ờng thẳng M0T
gọi là vị trí giới hạn của cát tuyến M0M khi điểm M chạy dọc theo đ-ờng
cong (C) dần đến điểm M0.
Hoạt động 4. Phát biểu định nghĩa tiếp tuyến của đ-ờng cong bất kì.
Nếu cát tuyến M0M có vị trí giới hạn M0T khi điểm M di chuyển trên (C) và
dần đến điểm M0 thì đ-ờng thẳng M0T đ-ợc gọi là tiếp tuyến của đ-ờng cong
(C) tại M0 . Nh- vậy đồ thị (C) cđa hµm sè y = f(x) cã tiÕp tun tại điểm
M 0 x0 ; y0 khi và chỉ khi hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x 0. Ch-ớng ngại

trên đà đ-ợc xoá bỏ đồng thời đà hình thành cho học sinh khái niệm tiếp tuyến
của đ-ờng cong tại một điểm không dựa vào số điểm chung của hai đ-ờng
mà phụ thuộc vào việc đạo hàm của hàm số có tồn tại hay không tại hoành độ
của tiếp điểm.
y
f xM

f x0

O

M

M0

x0

xM

x

- Ch-ớng ngại s- phạm liên hệ với sự chuyển hoá s- phạm của tri thức.
Đây là một kiểu ch-ớng ngại cần đ-ợc đặc biệt chú ý, bởi vì nó nảy
sinh do những biện pháp sai lầm về mặt s- phạm. Nó có thể tránh đ-ợc nếu ta