Dạy học giải bài tập theo hướng tăng cường hoạt động biến đổi các bài toán

Bộ giáo dục và đào tạo
Tr-ờng đại học vinh

Nguyễn huy tuấn

luận văn tốt nghiệp thạc sỹ giáo dục học

Đề TàI

Dạy học giải bài tập theo h-ớng
tăng c-ờng hoạt động biến đổi các
bài toán

Chuyên ngành : Lí luận và ph-ơng pháp dạy học bộ môn toán
MÃ số :60.14.10

Giảng viên h-ớng dẫn khoa học :
GS .TS. đào tam

Vinh 2010


1
MụC LụC
Mở đầu...............................................................................................1
1. Lí do chọn đề tài................................................................................1
2.Mục đích nghiên cứu..........................................................................3
3. Nhiệm vụ nghiên cứu........................................................................3
4.Giả thuyết khoa học...........................................................................3
5.Ph-ơng pháp nghiên cứu...................................................................4
6. Đóng góp của luận văn.....................................................................4

7.Cấu trúc của luận văn........................................................................4
Ch-ơnng1: Cơ sở lí luận và thực tiễn....................................6
1.1.Quan điểm hoạt động trong dạy học Toán.....................................6
1.1.1.Quan điểm về hoạt động trong Tâm lí học hiện đại....................6
1.1.2.Quan điểm hoạt động trong dạy học Toán..................................8
1.1.3.Hoạt động biến đổi bài toán........................................................10
1.2. Dạy học giải b i tập toán...............................................................12
1.3.Các chức năng chủ yếu của Bài toán trong dạy học toán............17
1.3.1. Chức năng gợi động cơ..............................................................18
1.3.2. Chức năng huy động kiến thức cũ.............................................21
1.3.. Là ph-ơng tiện đ-a vào kiến thức mới.......................................21
1.3.4. Chức năng cũng cố kiến thức, rèn luyện kĩ năng và hình thành
kĩ xảo toán học..............................................................................................22
1.3.5. Chức năng phát triển các năng lực và phẩm chất t- duy.........23
1.4. Vai trò của tâm lí học liên t-ởng và huy động kiến thức đối với
hoạt động biến đổi bài toán..........................................................................23
1.4.1.Liên t-ởng ...................................................................................23


2
1.4.1.1.Khái niệm liên t-ởng...............................................................23
1.4.1.2. Vai trò của liên t-ởng d-ới góc độ tâm lý học........................23
1.4.1.3. Liên t-ởng trong Toán học.....................................................27
1.4.1.4Vai trò của liên t-ởng trong dạy học bài tập toán....................27
1.4.2. Huy động kiến thức.....................................................................28
1.4.2.1. Khái niệm huy động kiến thức..................................................28
1.4.2.2. Vai trò của huy động kiến thức trong dạy học bài tập toán.....29
1.5.Vận dụng một số quan điểm biện chứng trong hoạt động biến đổi
bài toán...........................................................................................................31
1.6. Vận dụng hoạt động biến đổi bài toán vào dạy học khám phá.....35

1.7.Kết luận ch-ơng 1............................................................................43
Ch-ơng 2:Một số ph-ơng thức nhằm tăng c-ờng hoạt động biến đổi
bài toán...........................................................................................................44
2.1.Một số định h-ớng s- phạm của việc đề ra các ph-ơng thức nhằm
tăng c-ờng hoạt động biến đổi bài toán.......................................................44
2.2. Đề xuất một số số ph-ơng thức nhằm tăng c-ờng hoạt động biến đổi
bài toán trong dạy học bài tập toán..........................................................................44
2. 2.1.Ph-ơng thức 1:Luyện tập cho học sinh biến đổi nội dung v
hình thức bài toán..........................................................................................44
2.2.1.1.Biến đổi nội dung bài toán.......................................................44.
2.2.1.2.Biến đổi hình thức bài toán........................................................47
2.2.2. Ph-ơng thức 2: Luyện tập cho học sinh phát hiện, thiết lập sự
t-ơng ứng giữa các đối t-ợng tham gia trong bài toán....................................54
2.2.3.Ph-ơng thức 3:Luyện tập cho học sinh các hoạt động chuyển
hóa các liên t-ởng từ đối t-ợng nay sang đối t-ợng khác để phát hiện cách
giải quyết vấn đề............................................................................................61
2.2.4.Ph-ơng thức 4: Luyện tập cho học sinh hoạt động dự đoán
trong tiến trình phát hiện bài toán mới và phát hiện cách giải bài toán....64
2.4.1. Dự đoán bằng khái quát hóa.....................................................69
2.4.2.Dự đoán bằng đặc biệt hoá..........................................................70


3
2.4.3. Dự đoán bằng t-ơng tự hóa......................................................72.
2.2.1.4. Dự đoán bằng nhận xét trực quan và thực nghiệm................76
2.2.5.Ph-ơng thức 5:Luyện tập cho học sinh nhìn nhận bài toán d-ới
nhiều góc độ khác nhau từ đó tìm nhiều cách giải nhằm tăng c-ờng hoạt
động phát hiện cách giải bài toán.................................................................78
2.5.Kết luận ch-ơng 2. ........................................................................83
Ch-ơng 3: Thực nghiệm s- phạm ......................................................83

3.1. Mục đích thùc nghiƯm..................................................................83
3.2. Tỉ chøc vµ néi dung thùc nghiƯm..............................................83
3.2.1. Tỉ chức thực nghiệm................................................................83
3.2.2. Nội dung thực nghiệm...............................................................84
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm.....................................................85
3.3.1. Đánh giá định tính.....................................................................85
3.3.2. Đánh giá định l-ợng...................................................................86
3.4. Kết luận chung về thực nghiệm.......................................................87

KT LUN..........................................................................88
Tài liệu tham kh¶o.....................................................................89


4

LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin bà y tỏ lịng kính trọ ng và biế t ơn sâu sắ c tới thầ y
giáo, GS.TS. Đà o Tam đ ã trực tiế p giả ng dạ y và hướng dẫ n khoa họ c
đ ể tác giả hoà n thà nh luậ n vă n.
Tác giả xin chân thà nh cả m ơn các thầ y giáo, cô giáo trong chuyên
ngà nh lý luậ n và phương pháp giả ng dạ y bộ mơn Tốn, trường Đạ i
họ c Vinh, đ ã nhiệ t tình giả ng dạ y và giúp đ ỡ tác giả trong quá trình
họ c tậ p và thực hiệ n luậ n vă n.
Tác giả xin bà y tỏ lòng biế t ơn tới Ban chủ nhiệ m cùng các thầ y
cô khoa Sau đ ạ i họ c, Đạ i họ c Vinh; Sở GD và ĐT Hà Tĩ nh; Ban giám
hiệ u cùng các bạ n bè đ ồ ng nghiệ p Trường THPT Đồ ng lộ c đ ã tạ o
đ iề u kiệ n giúp đ ỡ trong quá trình họ c tậ p và nghiên cứu.
Tác giả xin gửi tới tấ t cả người thân và bạ n bè lòng biế t ơn sâu
sắ c.
Xin chân thà nh cả m ơn sự quan tâm, giúp đ ỡ quý báu đ ó!

Luậ n vă n khơng tránh khỏ i những thiế u sót, tác giả rấ t mong nhậ n
đ ược và biế t ơn các ý kiế n đ óng góp củ a thầ y cô giáo và các bạ n.

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

Viế t tắ t

Viế t đầ y đủ


DH

5
:

Dạ y họ c

ĐC

:

Đố i chứng

đ fcm

:

Điề u phả i chứng minh

ĐHSP

:

Đạ i họ c sư phạ m

GV

:

Giáo viên

HS

:

Họ c sinh

HĐ

:

Hoạ t đ ộ ng

PPDH

:

Phương pháp dạ y họ c

SGK

: Sách giáo khoa

THPT

:

Trung họ c phổ thông

TN

:

Thực nghiệ m


6
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài.
Nghị quyết Hội nghị lần thứ 2 Ban chấp hành Trung -ơng Đảng Cộng
sn Việt Nam (Kho VIII, 1997) khàng định: ...Phải đổi mới ph-ơng pháp
giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tduy sáng tạo cho ng-ời học.....
Trong xu thế hiện nay dạy học không chỉ dản đơn là cung cấp trí thức
mà còn phải h-ớng dẫn hành động. Đặt ng-ời học vào vị trí trung tâm của
hoạt động dạy - học với những phẩm chất và năng lực riêng của mỗi ng-ời vừa
là chủ thể vừa là mục đích của quá trình đó, phấn đấu tiến tới cá thể hoá quá
trình học tập với sự trợ giúp của các ph-ơng tiện thiết bị hiện đại, để cho tiềm
năng của mỗi học sinh đ-ợc phát triển tối -u, góp phần hiệu quả cho việc xây
dựng cuộc sống có chất l-ợng cho cá nhân, gia đình xà hội.
ở tr-ờng phổ thông dạy Toán là dạy hoạt động Toán học (A.A.Stôliar).

Đối với học sinh, có thể xem việc giải Toán là hình thức chủ yếu của hoạt
động toán học. Các bài toán ở tr-ờng phổ thông là một ph-ơng tiện rất hiệu
quả và không thể thay thế đ-ợc trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức,
phát triển t- duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo ứng dụng toán học vào thực tiễn.
Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học
Toán ở tr-ờng phổ thông. Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc dạy giải các bài tập
toán học có vai trò quyết định đối với chất l-ợng dạy học Toán. Bài tập toán
mang nhiều chức năng: Chức năng giáo dục, chức năng giáo d-ỡng, chức năng
phát triển t- duy và chức năng kiểm tra đánh giá. Khối l-ợng bài tập Toán ở
tr-ờng phổ thông là hết sức phong phú, đa dạng. Có những lớp bài toán có
thuật giải, nh-ng phần lớn là những bài toán ch-a có hoặc không có thuật giải.
Đứng tr-ớc những bài toán đó, giáo viên gợi ý và h-ớng dẫn học sinh nh- thế
nào để giúp họ lựa chọn ph-ơng thức biến đổi bài toán phù hợp để giải quyết
vấn đề là một vấn đề hết sức quan trọng. Tuy nhiên đây cũng là vấn đề rất khó
khăn bởi vì đề ra đ-ợc những gợi ý hợp lí, đúng lúc, đúng chỗ còn là nghệ
thuật s- phạm của chính ng-ời giáo viên.


7
Dạy học bài tập theo h-ớng tăng c-ờng hoạt động biến đổi các bài toán
có vai trò quan trọng trong việc phát triển khả năng t- duy của học sinh, để từ
đó có khả năng thích ứng khi đứng tr-ớc một vấn đề cần giải quyết, học sinh
cũng thấy đ-ợc một lời giải bài toán nh- là một quá trình suy luận, t- duy của
học sinh mà kỹ năng biến đổi không chỉ phụ thuộc vào đặc điểm của bài toán
mà còn phụ thuộc tố chất tâm lý của bản thân học sinh. Mối liên hệ, dấu hiệu
trong bài toán chỉ có thể đ-ợc phát hiện thông qua quá trình phân tích, tổng
hợp, khái quát hoá, so sánh... Nguồn gốc sức mạnh của Toán học là ở tính chất
trừu t-ợng cao độ của nó. Nhờ trừu t-ợng hoá mà Toán học mà đi sâu vào bản
chất của nhiều sự vật, hiện t-ợng và có ứng dụng rộng rÃi. Nhờ có khái quát
hoá, xét t-ơng tự mà khả năng suy đoán và t-ởng t-ợng của học sinh đ-ợc

phát triển, và có những suy đoán có thể rất táo bạo, có căn cứ dựa trên những
quy tắc, kinh nghiệm qua việc rèn luyện các thao tác t- duy độc lập, t- duy
sáng tạo, t- duy phê phán của học sinh cũng đ-ợc hình thành và phát triển.
Bởi qua các thao tác t- duy đó học sinh tự mình phát hiện vấn đề, tự mình xác
định ph-ơng h-ớng, tìm ra cách giải quyết và cũng tự mình kiểm tra, hoàn
thiện kết quả đạt đ-ợc của bản thân cũng nh- những ý nghĩ và t- t-ởng của
ng-ời khác. Một mặt các em cũng phát hiện ra đ-ợc những vấn đề mới, tìm ra
h-ớng đi mới, tạo ra kết quả mới.
Đối với học sinh trung học phổ thông, kỹ năng giải Toán th-ờng thể
hiện ở khả năng lựa chọn ph-ơng thức biến đổi bài toán thích hợp để giải
quyết vấn đề. Việc lựa chọn một cách giải hợp lí nhất, ngắn gọn và rõ sàng,
trong sáng, không chỉ dựa vào việc nắm vững các kiến thức đà học, mà một
điều khá quan trọng là hiểu sâu sắc mối liên hệ chặt chẽ giữa các phân môn
toán học khác nhau trong ch-ơng trình học, biết áp dụng nó vào việc tìm tòi
ph-ơng pháp giải tốt nhất cho bài toán đặt ra.
Trong học Toán và làm Toán, việc áp dụng ph-ơng pháp, công cụ của
lĩnh vực toán này vào một lĩnh vực toán khác đôi lúc tỏ ra rất hiệu quả và đơn
giản hơn, đồng thời quá trình này cũng làm cho ng-ời học Toán hiểu rõ đ-ợc
vai trò và ý nghĩa của mỗi phân môn một cách sâu sắc và cụ thể. Chẳng hạn,
trong Hình học sơ cấp, tính chất của hình học, hình dáng, vị trÝ còng nh- quan


8
hệ giữa các yếu tố trong mỗi hình đ-ợc biểu thị bằng các biểu thức đại số,
biểu thức l-ợng giác, bất đẳng thức, ph-ơng trình, bất ph-ơng trình. Chính
nhờ các dạng biểu diễn này ta có thể áp dụng các phép biến đổi thuần tuý đại
đa số xác lập tính chất mới giữa các yếu tố hình học, để khẳng định sự tồn tại
hay thiết lập các điều kiện tồn tại của một hình nào đó. Các yếu tố ta th-ờng
gặp là cạnh, đoạn thẳng, chu vi, diện tích ... và các quan hệ giữa chúng đ-ợc
cho bằng các công thức cơ bản. Trên cơ sở các công thức này và các giả thiết

đ-ợc cho trong mỗi bài toán, ta lập các biểu thức mới và sau đó ta sử dụng chủ
yếu các phép biến đổi và các công cụ mạnh trong đại số và giải tích (chẳng
hạn nh- đạo hàm) để rút ra các kết luận cần thiết.
Vì những lý do trên đây, chúng tôi chọn đề tài nghiên c-ú là:
Dạy học giải bài tập theo h-ớng tăng c-ờng hoạt động biến đổi các
bài toán
2.Mục đích nghiên cứu
Việc nghiên cứu đề tài nhằm trả lời các câu hỏi sau:
-Hiểu thế nào là hoạt động biến đổi bài toán và có những ph-ơng thức
biến đổi đối bài toán cơ bản nào trong dạy học toán?
-Hoạt động biến đổi bài toán góp phần bồi d-ỡng hoạt động nhận thức
toán học cho học sinh nh- thế nào?
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
3.1. Nghiên cứu cơ sở lý luận cã liªn quan đến vấn hoạt động biến đổi
đối bài toán.
3.2. Tìm hiu mt s yu t nh hng n hoạt động biến đổi bài toán
của học sinh, đề xuất các quan im dạy học để rèn luyện cho HS góp phn
bồi d-ỡng hoạt động này.
3.3.Xây dựng đ-ợc các ph-ơng thức hoạt động biến đổi bài toán.
3.4.Thực nghim s- phm để b-ớc đầu đánh giá tính kh thi ca các quan điểm
đà đề xuất.
4.Giả thuyÕt khoa häc


9
Trên cở s ni dung và chng trình SGK hin hành, nu xây dựng đ-ợc
các ph-ơng thức biến đổi bài toán thì sẽ góp phần giúp học sinh phát hiện vấn
đề và huy động kiến thức đúng đắn để giải quyết vấn đề trong dạy học toán .
5. Ph-ơng pháp nghiên cứu
5.1. Nghiên cứu lí luận

- Nghiên cứu các tài liệu về tâm lí học giáo dục, t i liệu gi¸o dơc häc,
triÕt häc, c¸c tà i liƯu vỊ lÝ luận v giảng dạy bộ môn Toán.
5.2. Điều tra, quan sát
-Điều tra qua đội ngũ giáo viên có kinh nghiệm tìm hiểu nhận thức của
họ về hoạt động biến đổi bài toán và một số ph-ơng thức biến đổi bài toán.
5.3. Thực nghiệm s- phạm
Tiến h nh thực nghiệm trên những đối t-ợng học sinh cụ thể nhằm
đánh giá hiệu quả của đề tài.
6. Đóng góp của luận văn
6.1.Về lí luận
Từ cơ sở tâm lí học, triết học duy vật biện chứng, ph-ơng pháp luận
nhận thức làm sáng tỏ khái niệm hoạt động biến đổi bài toán và vai trò của nó
đối với trong hoạt động nhận thức của học sinh.
6.2.Về thực tiễn
-Đề xuất đ-ợc các ph-ơng thức biến đổi bài toán.
-Vận dụng một số ph-ơng thức đổi bài toán vào thực tiễn dạy học môn
toán .
-Với những đóng góp nhỏ trên hy vọng luận văn có thể dùng l m t i
liệu tham khảo cho giáo viên trung học phổ thông.
7.Cấu trúc của luận văn
Phần 1. Mở đầu
1 Lí do chọn đề tài
2. Mục đích nghiên cứu
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
4. Giả thuyết khoa học
5. Ph-ơng pháp nghiên cứu


10
6. Đóng góp của luận văn

Phần 2. Nội dung: Gồm 3 ch-ơng
Ch-ơng 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn.
Ch-ơng 2.Một số ph-ơng thức biến đổi bài toán trong dạy học giải bài
tập toán.
Ch-ơng 3. Thực nghiệm s- phạm.
Phần 3. Kết luận
1. Kết luận của luận văn
2.Tài liệu tham khảo vµ trÝch dÉn


11
Ch-ơng 1
Cơ sở lí luận và thực tiễn
1.1.Quan điểm hoạt động trong dạy học Toán
1.1.1.Quan điểm về hoạt động trong Tâm lí học hiện đại ( [9], [17],
[22])
Dựa trên quan ®iĨm duy vËt lÞch sư vỊ con ng-êi: "Trong tÝnh hiện thực
của nó, bản chất con ngời là tổng hoà các mối quan hệ xà hội" (Các Mác), mô
hình lý luận xây dựng trên phạm trù HĐ đà trả lại cho t©m lý häc con ng-êi cơ
thĨ, con ng-êi x· hội lịch sử, con ng-ời HĐ.
HĐ trở thành khái niệm then chốt trong hệ thống khái niệm của tâm lý
học kiểu mới tâm lý học khách quan, khoa học.
Vận dụng những nguyên lý duy vật biện chứng và duy vật lịch sử vào
tâm lý học với tính cách là một khoa học cụ thể, L. X. Vgôtxki đà chØ ra r»ng,
muèn x©y dùng mét khoa häc t©m lý thực sự khách quan, tr-ớc hết khoa học
đó phải hiểu con ng-ời nh- một tồn tại xà hội lịch sử và lao động có ý thức,
chứ không phải là "một cái túi chứa đựng đầy những phản xạ". Tâm lý ý thức
con ng-ời đ-ợc nghiên cứu, tìm hiểu trong sự phân tích những hình thái hành
vi có chất l-ợng khác hẳn với những hình thái hành vi của động vật. Thành
phần của hành vi con ng-ời là kinh nghiệm lịch sử, kinh nghiệm xà hội và

kinh nghiệm lao động. Từ đây đa ra ph-ơng pháp tiếp cận lịch sử trong tâm lý
học và kết quả của sự vận dụng ph-ơng pháp tiếp cận này vào các công trình
nghiên cứu tâm lý ng-ời là xây dựng nên lý thuyết văn hoá lịch sử mà ngày
nay, đầu thế kỷ XXI, giới tâm lý học thế giới đều rất quan tâm.
Phát triển lý thuyết văn hoá lịch sử, vận dụng sáng tạo ph-ơng pháp
tiếp cận lịch sử vào các công trình nghiên cứu tâm lý của mình, A.N.
Lêônchiep đà xây dựng nên tâm lý học hoạt động. Đó là tâm lý học với
ph-ơng pháp tiếp cận lấy HĐ có đối t-ợng làm mô hình nghiên cứu, lý giải, hình
thành, phát triển tâm lý, nhân cách ng-ời (theo Phạm Minh Hạc [9]).
Toàn bộ lý thuyết tâm lý học về HĐ, cấu trúc vĩ mô của HĐ và đối
t-ợng đà đ-ợc A. N. Lêônchiep trình bày tóm tắt trong tác phẩm "Hoạt ®éng 


12
ý thức Nhân cách". Cống hiến lớn nhất của ông là xây dựng nên ph-ơng
pháp tiếp cận HĐ.
Đối t-ợng của HĐ là động cơ thực sự của HĐ. Dĩ nhiên, nó có thể là vật
chất hay tinh thần, là có trong tri giác hay chỉ có trong t-ởng t-ợng, niệm
động cơ. Không có HĐ nào không có động cơ; HĐ "không động cơ" không
phải là HĐ thiếu động cơ mà là HĐ với một động cơ ẩn giấu về mặt chủ quan
hoặc về mặt khách quan.
Tác giả Đỗ Ngọc Đạt đà mô hình hoá cấu trúc của HĐ nh- sau [4]:
Chủ thể

Động cơ

Mục tiêu

XÃ hội

Môi trờng

Cấu trúc tâm lý

Cấu trúc vật lý

Hoạt động

Hành động

Thao tác

Đối t-ợng

Thành phần cơ bản "hợp thành" những HĐ riêng rẽ của con ng-ời là
những hành động thực hiện HĐ ấy. Chúng ta gọi hành động là quá trình bị chi
phối bởi biểu t-ợng về kết quả đạt đ-ợc, nghĩa là quá trình nhằm một mục
đích đ-ợc ý thức. Khái niệm mục đích quan hệ với khái niệm hành động cũng
giống nh- khái niệm động cơ quan hệ với khái niệm HĐ.
Ph-ơng thức thực hiện hành động gọi là thao tác.
Các thuật ngữ "hành động" và "thao tác" th-ờng không phân biệt nhau,
nh-ng trong khung cảnh phân tích HĐ về mặt tâm lý thì phân biệt rành mạch
hai thuật ngữ ấy là hoàn toàn cần thiết. Hành động liên quan đến mục đích,
còn thao tác liên quan đến điều kiện.


13
"Tuy vậy, thao tác vẫn không phải là "phần riêng rẽ" của hành động,
giống nh- hành động so với HĐ" [9, tr. 124].
HĐ luôn có tính h-ớng đích và hành động là quá trình hiện thực hoá

mục đích, còn thao tác do điều kiện quy định. Do đó, sự khác nhau giữa mục
đích và điều kiện quy định sự khác nhau giữa hành động và thao tác. Nh-ng
sự khác nhau đó chỉ là t-ơng đối, bởi để đạt một mục đích ta có thể dùng các
ph-ơng tiện khác nhau. Khi đó, hành động chỉ thay đổi về mặt kỹ thuật, tức là
cơ cấu thao tác chứ không hề thay đổi bản chất. Về mặt tâm lý, hành động
sinh ra thao tác, nh-ng thao tác không phải là phần riêng lẻ của hành động.
Sau khi đ-ợc hình thành, thao tác có khả năng tồn tại độc lập và có thể tham
gia vào nhiều hành động khác.
Theo A. N. Lêônchiep, cấu trúc chức năng của HĐ bao gồm các thành
tố có thể mô hình hoá nh- sau:
Hoạt động

Động cơ

Hành động

Mục đích
Nhiệm vụ

Thao tác

Ph-ơng tiện

(Về phía chủ thể)

(Về phía đối t-ợng)

Mối liên hệ bên trong của HĐ là mối liên hệ giữa: Hoạt động Hành
động Thao tác, t-ơng ứng với mối liên hệ giữa: Động cơ Mục đích
Ph-ơng tiện.

1.1.2.Quan điểm hoạt động trong dạy học Toán
Có thể vận dụng lý luận của A. N. Lêônchiep về HĐ tâm lý để giải quyết
hàng loạt vấn đề về lý luận và thực tiễn dạy học, trong đó, chủ yếu là việc hình
thành HĐ học tập cho ng-ời học, đặc biệt là các ng-ời học nhỏ tuổi. Xung
quanh vấn đề này, tr-ớc hết cần hình thành cho ng-ời học các đơn vị chức
năng của HĐ học tập: động cơ, mục đích học tập, để qua đó hình thành thao
tác, hành động và HĐ học. Trong quá trình đó, hình thành hành động häc lµ


14
khâu trung tâm. Sau khi đà có HĐ học cần chuyển từ HĐ thứ yếu lên mức HĐ
chủ đạo trong quá trình phát triển của ngời học.
Mỗi nội dung dạy học đều liên hệ mật thiết với những HĐ nhất định.
Đây là những HĐ đà đ-ợc tiến hành trong quá trình hình thành và vận dụng
nội dung đó. Phát hiện đ-ợc những HĐ tiềm tàng trong một nội dung là vạch
đ-ợc một con đ-ờng để truyền thụ nội dung đó và thực hiện những mục đích
dạy học khác, đồng thời cụ thể hoá những mục đích dạy học nội dung và chỉ
ra cách kiểm tra việc thực hiện những mục đích này. Cho nên điều cơ bản của
PPDH là khai thác đ-ợc những HĐ tiềm tàng trong nội dung để đạt đ-ợc
những mục đích dạy học. Khi đó giúp ng-ời học con đ-ờng chiếm lĩnh nội
dung và đạt đ-ợc những mục đích dạy học khác, tức là kết hợp truyền thụ tri
thức với truyền thụ tri thức ph-ơng pháp.
Hoạt động của ng-ời học đóng vai trò quan trọng trong quá trình dạy
học. Mỗi nội dung dạy học đều liên hệ với những HĐ nhất định. Tr-ớc hết,
đây là những HĐ đà đ-ợc tiến hành trong quá trình lịch sử hình thành và ứng
dụng những tri thức đợc bao hàm trong nội dung này, cũng chính là những HĐ
để ng-ời học có thể kiến tạo và ứng dụng những tri thức trong nội dung đó.
Trong quá trình dạy học, ta còn phải kể tới cả những HĐ có tác dụng củng cố
tri thức, rèn luyện những kỹ năng và hình thành những thái độ liên quan.
Quan điểm này thể hiện rõ nét mối liên hệ giữa mục đích, nội dung và

PPDH. Nó hoàn toàn phù hợp với luận điểm cơ bản cđa gi¸o dơc häc cho r»ng
con ngêi ph¸t triĨn trong HĐ và học tập diễn ra trong HĐ.
Theo các tác giả Phạm Gia Đức và Nguyễn Đức Quang "Dạy học một
nội dung nào đó là khai thác, lựa chọn những HĐ tiềm tàng trong nội dung
này. Từ đó tổ chức, điều khiển HS thực hiện những HĐ này trên cơ sở đảm
bảo những thành phần tâm lý cơ bản của H§" (dÉn theo [22]).
Con ng-êi sèng trong H§, häc tËp diễn ra trong HĐ. Trong dạy học
môn Toán điều đó đ-ợc gọi là học tập trong HĐ và bằng HĐ.
PPDH mới là ph-ơng pháp tổ chức HĐ có đối t-ợng. Do đó việc xác
định đ-ợc đối t-ợng HĐ dựa trên cơ sở tổ chức HĐ của ng-ời học là nền tảng
cơ bản để tiến hành việc giáo dục có hiệu qu¶.


15
Việc thiết kế các HĐ, tạo môi tr-ờng cho HS đ-ợc học tập trong HĐ và
bằng HĐ là yêu cầu quan trọng của việc đổi mới PPDH hiện nay.
1.1.3.Hoạt động biến đổi bài toán
a) Bài toán:Thuật ngữ "bài toán" đ-ợc hiểu theo nghĩa rộng thông qua
một số định nghĩa sau:
G. Pôlya cho rằng: " Bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một
cách có ý thức ph-ơng tiện thích hợp để đạt tới một mục đích rõ ràng nh-ng
không thể đạt đ-ợc ngay" .
Bách khoa tri thức phổ thông định nghĩa : "Khái niệm bài toán hiểu là
một công việc hoàn thành đ-ợc nhờ những ph-ơng pháp đà biết trong những
điều kiện cho tr-ớc"
Fanghaenel, Stoliar định nghĩa thuật ngữ bài toán nh- sau: "Bài toán là
một sự đòi hỏi hành động, trong đó đà quy định:
Đối t-ợng của hành động (cái đà có trong bài toán)
Mục đích của hành động (cái phải tìm trong bài toán)
Các điều kiện của hành động (mối quan hệ giữa cái đà có và cái phải

tìm)
Nh- vậy, khái niệm bài toán đ-ợc gắn liền với hành động của chủ thể,
không thể nghiên cứu bài toán tách rời với hành động của chủ thể. Bài toán
không tồn tại độc lập với mọi "hệ quy chiếu ".
b) Sự cần thiết biến đổi bài toán: Theo G.Pôlia sự biến đổi bài toán là
cốt yếu. Sự kiện này có thể giải thích bằng nhiều cách. Chẳng hạn muốn đi tới
cách giải một bài toán ta phải động viên và tổ chức những kiến thức đà có từ
tr-ớc. Chúng ta cần phải nhớ lại và vận dụng hàng loạt những yếu tố cần thiết
cho việc giải bài toán. Việc biến đổi bài toán giúp ta nhớ lại những u tè ®ã.
B´ng c²ch n¯o ? Chóng ta nhê mét loi liên hệ hay l liên tưởng,
có nghĩa là điều mà chúng ta đang suy nghĩ quan tâm tới trong lúc này có
khuynh h-ớng gợi lại trong trí nhớ của ta, cái liên quan với nó tr-ớc kia. (Đây
không phải chổ cũng ch-a phải lúc trình bày chi tiết lý thuyết về sự liên t-ởng
và những giới hạn của nó. ) Bằng cách biến đổi bài toán, chúng ta mang l¹i chi


16
tiết mới, và nh- vậy đà tạo ra những liên hệ mới, những khả năng mới làm
sống lại trong trí nhớ những cái gì liên quan bài toán của ta.
c) Hoạt động biến đổi bài toán là hoạt động trí t cđa chđ thĨ nhËn
thøc nh»m biÕn ®ỉi cÊu ®ỉi cấu trúc bên trong, nội dung và hình thức của bài
toán, sao cho các tri thức mới ẩn chứa trong bài toán t-ơng thích với các tri
thức đà có.
Ví dụ 1.1.3.1: Tìm quỹ tích của những điểm M trong tam giác ABC sao
cho tổng diện tích các MAB và  MAC b»ng mét nưa diƯn tÝch cđa  MBC.
A

M

I

S1

J
S2

S3
S1

C
B
Khi học sinh tiếp xúc với bài toán này, ban đầu bài toán còn xa lạ với đối
với chủ thể học sinh vì kiến thức cuả đà có của họ ch-a gắn kết với cái mới
đối t-ợng khi đó ch-a bộc lộ.Qua quá trình biến đổi, đặt S1, S2, S3, S lần l-ợt là
diện tích của các tam giác MAB,  MAC,  MBC vµ  ABC, ta cã mèi liªn
hƯ:
S2 + S3 =

1
2
S1  S1+S2+S3 = S1  S1= S
2
3

Biến đổi hệ thức liên hệ cuối cùng lam bộc lộ đối t-ợng, từ đó có thể học
sinh dùng kiến trhức đà có để giải quyết bài toán trên và đ-a ra ph-ơng pháp
giải tổng quát cho dạng toán này.
Ví dụ 1.1.3.2: Cho ph-ơng trình: 23x2 + 26x + 3 = 0 . Tính giá trị các
biểu thức S2 x12  x22 , S3  x13 x23 , S4  x14  x24 , S2  x16  x26 ( với x1, x2 là các nghiệm
của ph-ơng trình).

17
Hoạt động tính S2 ; S3 ; S4 ; S6 là hoạt động mà học sinh phải biến đổi
S2 ; S3 ; S4 ; S6 vỊ d¹ng biĨu thøc chØ chứa x1 + x2 và x1x2 để sử dụng định lí Viét

tính các tổng trên.

1.2. Dạy học giải b i tập toán
Dạy học giải b i tập toán không có nghĩa l giáo viên chỉ đơn thuần
cung cấp cho học sinh lời giải b i toán. Biết lời giải b i toán không quan
trọng bằng biết cách thức giải d-ợc b i toán. Để tăng hứng thú học tập cho
học sinh, phát triển t- duy, rèn luyện kỹ năng v hoạt động độc lập sáng tạo
cho họ, thầy giáo phải hình th nh cho học sinh quy trình chung, các cách
biến đổi bài toán để tìm lời giải b i toán.
Trong dạy học giải bài tập toán điều then chốt là giáo viên dạy cho họ
kỹ năng h-ớng về những tình huống có vấn đề khác nhau, biết phân biệt tình
huống, biết lựa chọn một hoạt động, một h-ớng đi để giải quyết vấn đề. Khi
l m toán, trí tuệ củaa con ng-ời đ-ợc huy động tới mức tối đa, khả năng
phân tích, tổng hợp đ-ợc rèn luyện, các thao tác t- duy từ đó trở nên nhanh
nhạy. Có thể nói kỉ năng giải toán l t i sản đặc tr-ng của t- duy toán học.
Thông qua hoạt động của học sinh khi giải b i tập, bộc lộ đ-ợc khả
năng về trí tuệ, tính nhanh, tính nhẩm, tính sáng tạo v.v.... Cũng thông qua
hoạt động n y, phát hiện những khuyết điểm, những sai lầm v nguyên nhân
dẫn đến sai lầm của học sinh để kịp thời uốn nắn. Từ đó đánh giá mức độ, kết
quả dạy v học, đánh giá khả năng độc lập học toán v trình độ phát triển của
học sinh.
*) Những yêu cầu chủ yếu của lời giải b i tập:
- Lời giải không có sai lầm: học sinh phạm sai lầm trong khi giải b i
tập th-ờng do ba nguyên nhân sau:
+ Sai sót về kiến thức toán học, tức l hiểu sai định nghĩa của khái

niệm, giả thiết hay kết luận của định lý,...;
+ Sai sót về ph-ơng pháp suy luận;
+ Sai sót do tính sai, sử dụng ký hiệu, ngôn ngữ diễn đạt hay do hình vẽ
sai.


18
- Lời giải phải có cơ sở lý luận;
- Lời giải phải đầy đủ;
- Lời giải đơn giản nhất.
*) Dạy học sinh ph-ơng pháp giải b i tập toán.
B i tập toán học rất đa dạng v phong phú. Có thĨ chia bà i tập to¸n
häc ra là m hai loại:
- Loại có sẵn thuật toán.
+Để giải các dạng toán n y học sinh phải nắm vững các quy tắc giải
đà học nhằm rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo.Đây l cơ sở quan trọng để giải các
b i toán phức tạp hơn. Yêu câu cho học sinh l :
+ Nắm vững quy tắc giải đà học;
+ Nhận dạng đúng b i toán;
+ Giải theo quy tắc đà học một cách th nh thạo.
Ví dụ 1.2.1: Cho b i toán: Cho hình chóp tứ giác O.ABCD. N l
trung điểm cạnh OD, G l trọng tâm tam giác OCD. Tìm giao
điểm của BN v mp (OAG).Giáo viên có thể
h-ớng dẫn học sinh giải b i toán trên thông
qua các hoạt động sau:
HĐ1: HÃy nêu thuật toán xác định
O

giao điểm của đ-ờng thẳng v mặt phẳng?
Kết qủa mong đợi: Giả sử cần xác

N

định giao điểm của đ-ờng thẳng a v mặt
K

phẳng (P), ta thực hiện nh- sau:
- Xác định mặt phẳng (Q) chứa a v

G

A
E

cắt mặt phẳng (P);
- Xác định giao tuyến b của mp (P)

D

B

M

C

v mp (Q);
- Trong mặt phẳng (Q), xác định giao điểm K của đ-ờng thẳng a v b.
Khi ®ã, K chÝnh là giao ®iĨm cđa ®-êng th¼ng a v mt phng (P).
HĐ2: HÃy áp dụng thuật toán trên và o bà i to¸n?

19
Kết qủa mong đợi: Gọi M l trung điểm của CD. Ta có, BN thuộc mặt
phẳng (OBD).Mặt phẳng (OAG) chính l mặt phẳng (OAM).
Giao tuyến của 2 mặt phẳng (OBD) v (OAM) chính l đ-ờng thẳng
OE, với E l giao điểm của BD v AM.
OE cắt BN tại K.
Vậy K chính l giao điểm của đ-ờng thẳng BN v mp (OAG).
- Loại ch-a có sẵn thuật toán.
Loại b i tập n y chiếm số l-ợng khá lớn trong sách giáo khoa, các tài
liệu tham khảo,các đề thi đại học sinh giỏi v gây cho học sinh không ít khó
khăn dẫn đến tâm lý sợ v ngại, thiếu tự tin v o khả năng của mình. Đây l
một trở ngại lớn cho ý chí tiến thủ v-ơn lên trong học tập của học sinh. Do
vậy khi dạy học sinh giải b i tập, không chỉ đơn thuần cung cấp lời giải m
quan trọng hơn l dạy cho học sinh biết cách suy nghĩ tìm ra con đ-ờng hợp
lý để giải b i toán.
Trong dạy học giải toán, kỹ năng tìm kiếm lời giải l một trong các kỹ
năng quan trọng nhất, m việc rèn luyện kỹ năng này lại thông qua hoạt động
biến đổi bài toán. Trong tác phẩm của G.Polya ông đà đ-a ra 4 b-ớc để đi đến
lời giải bài toán.
1) Hiểu rõ b i toán:
Để giải một bài toán, tr-ớc hết phải hiểu b i toán v hơn nữa cũng
phải có hứng thú giải b i toán đó. Vì vậy điều đầu tiên ng-ời gíao viên cần
chú ý h-ớng dẫn học sinh giải toán l khêu gợi trí tò mò, lòng ham muốn giải
toán của các em, giúp các em hiểu b i toán phải giải muốn vậy cần phải:
Phân tích giả thiết v kết luận của b i toán: Đâu l ẩn, đâu l dữ kiện? Đâu
l điều kiện. Điều kiện, dữ kiện n y liên quan tới điều gì? Có thể biểu diễn
b i toán d-ới một hinh thức khác đ-ợc không?
2) Xây dựng ch-ơng trình giải:
Trong b-ớc thứ 2 n y, ta phân tích b i toán đó cho th nh nhiêu b i

toán đơn giản hơn, biến đổi b i toán đó cho, mò mẫm v d- đoán thông qua
xét các tr-ờng hợp đặc biệt, xét các b i toán t-ơng tự hay khái quát hoá vv...
thông qua các kỹ năng sau bằng cách đặt các câu hỏi:


20
- Huy động kiến thức có liên quan:
+ Em đà gặp b i toán n y hay b i n y ở dạng hơi khác lần n o ch-a.
Em có biết một b i n o liên quan không? Một định lý có thể dựng đ-ợc
không?
+ Thử nhớ lại một bà i to¸n quen thuéc cã cïng Èn hay Èn sè t-¬ng tù?
+ Cã thĨ sư dơng mét bà i toán n o đó m em đà có lần giải rồi hoặc
sử dụng kếtt quả của nó không?
- Dự đoán kết quả phải tìm:
+ Em có thể nghĩ ra một b i toán có liên quan m dễ hơn không?. Một
b i toán tổng quát hơn? Một tr-ờng hợp riêng? Một b i toán t-ơng tự? Em
có thể giải một phần của b i toán?
+ Em đà sử dụng mọi dữ kiện ch-a? Đà sử dụng hết điều kiện ch-a? ĐÃ
để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong b i toán ch-a?
+ HÃy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phân kia, khi đủ ẩn đ-ợc xác
định đến chõng mùc nà o và biÕn ®ỉi thÕ nà o?
- Sử dụng phần phân tích đi lên v phầp phân tích đi xuống để tìm kiếm
h-ớng giải quyết vấn đề.
Trong quá trình dạy học nếu giáo viên khai thác triệt để đ-ợc những gợi
ý trên thì sẽ hình th nh v phát triển ở học sinh kỹ năng tìm lời giải cho các
toán. Tuy nhiên để đạt đ-ợc điều n y thì giáo viên phải thực hiện kiên trì tất
cả các giờ dạy toán đồng thời học sinh phải đ-ợc tự mình áp dụng v o hoạt
động giải toán của mình.
3) Thực hiện ch-ơng trình giải:
Khi thực hiện ch-ơng trình giải hÃy kiểm tra lại từng b-ớc: Em đà thấy

rõ r ng l mỗi b-ớc đều đúng ch-a? Em có thể chứng minh l nó đúng
không?
4) Kiểm tra v nghiên cứu lời giải đà tìm đ-ợc:
Học sinh phổ thông th-ờng có thói quen khi đà tìm đ-ợc lời giải của
b i toán thì thoà mÃn, ít đi sâu kiểm tra lại lời giải xem có sai lầm thiếu sót gì
không, ít quan tâm tới việc nghiên cứu cải tiến lời giải, khai thác lời giải. Vì


21
vậy trong quá trình dạy học, giáo viên cần chú ý cho học sinh th-ờng xuyên
thực hiện các yêu cầu sau:
- Kiểm tra lại kết quả, kiểm tra lại suy luận.
- Xem xét đầy đủ các tr-ờng hợp có thể xảy ra của b i toán.
- Tìm cách giải khác cđa bà i to¸n: Mét bà i to¸n th-êng cã nhiều cách
giải, học sinh th-ờng có những suy ngh khác nhau tr-ớc một b i toán nhiều
khi độc đáo v sáng tạo. Vì vậy, giáo viên cần l-u ý để phát huy tính sáng tạo
của học sinh trong việc tìm lời giải gọn, hay của một b i toán. Tuy nhiên
cũng không nên quá thiên về lời giải hay, l m cho học sinh trung bình v
yếu chán nản.
Tìm cách sử dụng kết quả hay ph-ơng pháp giải b i toán n y cho một
b i toán khác, đề xuất b i toán mới: Có thể yêu cầu n y l quá cao đối với
học sinh yếu kém, nh-ng có thĨ coi là mét ph-íng h-íng båi d-ìng häc sinh
giái. Tuy nhiên, trong một số tr-ờng hợp đơn giản, dễ hiểu, giáo viên có thể
cho học sinh to n lớp thấy đ-ợc việc phân tích lời giải của b i tập toán để áp
dụng v o b i toán khác hoặc đề xuất ra b i toán mới.
Ví dụ 1.2.2: Cho b i toán: Cho góc xOy v điểm M cố đnh thuộc
miền trong của góc. Một đ-ờng thẳng thay đổi luôn qua M, cắt Ox, Oy lần
l-ợt tại A và B. Gäi S1, S2 là diƯn tÝch c¸c tam giác MOA v MOB. CMR tằng
1 1
có giá trị không đổi.

S1 S2

*) Dự đoán tìm giá trị không đổi:
- Khi đ-ờng thẳng qua M song song với Ox, cắt Oy tại K cố định, khi đó
S1 không tồn tại và S2 chÝnh b»ng
diƯn tÝch tam gi¸c OMK.

y

- Ta dù đoán rằng, tổng

B

1 1
có giá trị không đổi, chính

S1 S2

bằng

1
SOMK

A'
M

K
B'

.

*) Định h-ớng lời gải:

x
O

A


22
Ta cã:

OK AM

OB AB



SMOK SMOA
S
S1

 MOK 
SMOB S MOB
S2
S1  S2



S1  S2

1
1 1
1

  
S1S2
S MOK
S1 S2 S MOK

*) Mở rộng b i toán:
Nếu gọi A v B lần l-ợt l chân đ-ờng vuông góc hạ từ A v B
xuèng OM.
Ta cã:

V×

1 1
1
1
 
S1 S2 1 .OM . AA ' 1 .OM .BB '
2
2

1
1
1 1

có giá tr không đổi, suy ra
không đổi.

AA ' BB '
S1 S2

Ta lại có: MA  AA '; MB  BB ' nªn

1
1
1
1



= h»ng sè.
MA MB AA ' BB '

Tõ ®ã ta cã bà i toán: Cho góc xOy v 1 điểm M nằm trong góc ấy.
Qua M hÃy dựng 1 đ-ờng thẳng cắt 2 c¹nh cđa gãc ë A và B sao cho

1
1

lín nhÊt.”
MA MB
Đ-ờng thẳng phải dựng là đ-ờng vuông góc với OM tại M.
1.3.Các chức năng chủ yếu của Bài toán trong dạy học toán
ở một số n-ớc trên thế giới, trong ®ã cã ViƯt Nam, cÊu tróc trun

thèng cđa SGK th-êng có hai phần riêng biệt: Phần lí thuyết và tiếp sau đó là
phần bài tập. Ngay trong phần lí thuyết, kiến thức lí thuyết (định nghĩa, định

lí, công thức) chủ yếu vẫn đ-ợc trình bày tr-ớc, sau đó là các ví dụ minh họa
hay bài tập áp dụng. Dạy học các kiến thức lí thuyết luôn đóng vai trò trung
tâm.
Cấu trúc này t-ơng thích với mô hình dạy học truyền thèng, theo ®ã GV
th-êng trun thơ trùc tiÕp kiÕn thøc cho HS, cho mét vµi vÝ dơ minh häa vµ


23
yêu cầu HS làm các bài tập áp dụng theo đúng mẫu mà GV đó trình bày. Nói
cách khác đây là kiểu dạy cầm tay chỉ việc.
Đó có thể là những nguyên nhân chủ yếu dẫn tới quan niệm khiếm
khuyết đồng nhất bài toán (problem) với bài tập (exercise), và từ đó bó hẹp
chức năng của các bài toán chỉ là củng cố và vận dụng các kiến thức đó học,
rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo hay kiểm tra kiến thức của HS.
Tuy nhiên, những nghiên cứu khoa học về lịch sử toán học đó chỉ rõ rằng
hầu hết các khái niệm và các lí thuyết toán học th-ờng nảy sinh từ nhu cầu
giải quyết các bài toán trong thực tÕ cuéc sèng, trong néi bé to¸n häc hay
trong c¸c khoa häc kh¸c. Nãi c¸ch kh¸c, tri thøc to¸n häc không phải có sẵn
mà đ-ợc xây dựng bắt đầu từ việc giải quyết các bài toán. Nh- vậy, quan hệ
thứ tự giữa kiến thức lí thuyết và bài toán không còn là: Kiến thức lí thuyết
Bài tập áp dụng mà chủ yếu là: Bài toán Kiến thức lí thuyết Bài tập áp
dụng Bài toán mới.
Những nghiên cứu tâm lí học (nhất là của J.Piaget) cũng cho thÊy: ViƯc
häc tËp thùc sù chØ n¶y sinh trong sù tác động qua lại của chủ thể (ng-ời học)
với môi tr-ờng, trong đó ng-ời học thấy đ-ợc và có nhu cầu giải quyết các bài
toán.
Từ đó, quan điểm s- phạm hiện đại về dạy học toán đang đ-ợc áp dụng
trên nhiều n-ớc là: Tập trung dạy học toán trên hoạt động của HS (phù hợp với
quan điểm dạy toán là dạy hoạt động toán học). Chính HS tự mình xây dựng
các kiến thức toán học thông qua hoạt động giải các bài toán. Nói cách khác,

giải các bài toán đóng vai trũ trung tâm trong hoạt động dạy học.Chức năng
của bài toán không còn bó hẹp trong chức năng của bài tập áp dụng. Sau đây
chúng tôi phân tích kĩ hơn về một số chức năng chủ yếu của bài toán trong
dạy học toán:
1.3.1. Chức năng gợi động cơ


24
Gợi động cơ là làm cho HS có ý thức về ý nghĩa của những hoạt động và
của đối t-ợng hoạt động [2, tr.81].
a) Gợi động cơ cho việc tiến hành nghiên cứu đối t-ợng mới. Trong
tr-ờng hợp này, bài toán sẽ tạo ra nhu cầu và hứng thú giải quyết vấn đề đặt
ra, từ đó tạo nên động cơ đi vào nghiên cứu một đối t-ợng mới.
Ví dụ 1.3.1.1. Bài toán sau đây là động cơ cho việc đi vào nghiên cứu
phép tính giới hạn trong ch-ơng trình giải tích lớp 11 hiện hành. Trong thần
thoại Hy Lạp thần Achilles (là con của Thetis (nữ thần biển) với vua Hy Lạp
Peleus) biểu thị cho lòng dũng cảm và sự nhanh nhĐn. Nh-ng Zenon (thÕ kØ III
TCN) ®ã ®-a ra nghịch lí là Thần Achilles không đuổi kịp con rùa. Nhà triết
học cổ Hy Lạp này đó đ-a ra lí luận nh- sau: Giả sử ban đầu Achilles ở vị trớ
A

và con rùa ở vị trớ

Achilles chạy đến

R

R.

Achilles và con rùa xuất phát cùng một lúc.Khi

thì trong khoảng thời gian ®ã con rïa ®ã ch¹y ®Õn R1.

Khi Achilles ch¹y ®Õn R1 thì con rùa đó chạy đến R2 ... Cứ nh- thÕ, mãi mãi
con rïa lu«n ë tr-íc Achilles mét đoạn x 0, tức là Achilles không đuổi kịp
rùa.
Giả sử khoảng cách giữa Achilles và rùa lúc đầu là 100 km và vận tốc của
Achilles và rùa lần l-ợt lµ 100 km / h vµ 1 km / h. Để đi hết 1km thỡ Achilles mất
1/100

giờ. Trong khoảng thời gian này con rùa đi đ-ợc 1/100 km. Khoảng cách

bây giờ là 1/100 km. Để đi hết 1/100 km thì Achilles mất

1/10000

giờ. Trong

khoảng thời gian này con rùa đi đ-ợc 1/10000 km. Khoảng cỏch bõy giờ là
1/10000 km...

Nh- vậy tổng thời gian để Achilles đuổi kịp rùa là
1

1
1
1

100 10000 1000000

100


99

Đây là tổng vô hạn các số hạng của một cấp số nhân có công bội là
Bài toán này sẽ không giải quyết đ-ợc nếu không có phÐp tÝnh giíi h¹n.

1/100.