Chiểu đều của môđun

1

MỤC LỤC
Trang
Mục lục

1

Danh mục các ký hiệu

2

Mở đầu

3

Chương 1: KiÕn thức cơ sở

5

1.1

Môđun, v nh Noether.

5

1.2

Mụun con ct yu, mụun con u.

7

1.3

Mụun hu hn sinh, CS - môđun.

11

Chng 2: Chiều đều của môđun

14

2.1 Xây dựng chiều đều của môđun.

14

2.2 Một số tính chất của chiều đều hữu hạn .

19

Chng 3: CS - môđun và chiều đều hữu hạn

23

Kt lun

28

Ti liu tham khảo

29

2

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU
N  M:

N là môđun con của môđun M

N * M:

N là môđun con cốt yếu của môđun M

N  M:

N là hạng tử trực tiếp của môđun M

A  B:

Tổng trực tiếp của môđun A v mụun B

Mi :

Tổng các môđun con Mi, iI

Mi :

Tổng trực tiếp của các môun Mi, iI

iI

i 1

n

Mi :
i 1

Tổng trực tiếp của các môun Mi, 1 i n

dimM:

Số chiều đều của môun M

r(x):

Linh hóa tử phải của x

Soc(M):

Đế của môun M

Z:

Vành các số nguyên ( là Z -môđun )

Z(M):

Là môđun con suy biến của M

HomR(A,B):Tập tất cả các đồng cấu từ môđun A đến môđun B
:

Kết thóc mét chøng minh


3

M U
Việc nghiên cứu lý thuyết môđun cho đến nay đ-ợc phát triển mạnh mẽ và
có nhiều ứng dụng quan trọng trong nghiên cứu lý thuyết vành. Một trong các
h-ớng để nghiên cứu vành là đặc tr-ng vành qua tính chất của một lớp xác định
nào đó các môđun trên chúng.
Nghiên cứu lý thuyết môđun và vành, đó là nghiên cứu cấu trúc của
môđun và từ đó đ-a ra một số đặc tr-ng của các lớp vành. Luận văn của chúng
tôi đề cập đến việc xét các tính chất về chiều đều môđun, luận văn cũng đề cập
đến tổng trực tiếp của các môđun đều và CS - môđun.
Chiều đều của môđun là một h-ớng mở rộng chiều của không gian vectơ.
Những vấn đề cơ bản của chiều đều đà đ-ợc trình bày trong cuốn sách
Extending modules của N.V. Dung, D.V. Huynh, P.F. Smith and R. Wisbauer
[5]. Luận văn chúng tôi trình bày một cách hệ thống và chi tiết một số vấn đề về
chiều đều của môđun.
Lun vn c chia làm ba chương cùng với phần mở đầu, kết luận, danh
mục các ký hiệu và tài liệu tham khảo. Cơ thĨ:
Chương 1: KiÕn thøc c¬ së
Trình bà y các nh ngha về Môđun, v nh Noether và Artin, Mụun con
cốt yếu, môđun con đều, Môđun hữu hạn sinh, CS - môđun, v cỏc tớnh cht c
bn cú liờn quan n lun vn.
Ch-ơng 2: Chiều đều của môđun. Ch-ơng này đ-ợc chia làm hai phần :
Phần thứ nhất: Xây dựng khái niệm về chiều đều của môđun. Cụ thể trong

phần này chúng tôi đ-a ra điều kiện của một môđun chứa các môđun con đều và
điều kiện để một tổng trực tiếp các môđun con đều là cốt yếu trong một môđun.
Phần thứ hai : Một số tính chất của chiều đều hữu hạn. Trong phần này
chúng tôi nghiên cứu các tính chất về số chiều của môđun.


4

Ch-ơng 3: CS - Môđun và chiều đều hữu hạn.
Lun văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự
hướng dẫn của PGS.TS.Ngơ Sỹ Tùng. Nh©n dịp này, tỏc gi xin c by t
lũng bit n chân thành sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn, người đã trực tiếp
động viên, dìu dắt tận tình, chỉ bảo nghiêm túc trong suốt quá trình học tập,
nghiên cứu và hồn thành luận văn.
Trong q trình học tập và viết luận văn, tác giả cũng nhận được sự giúp
đỡ tận tình của các thầy giáo trong tổ Đại số trường Đại học Vinh.
Cũng trong dịp này, tác giả xin được cảm ơn đến PGS.TS Nguyễn Thành
Quang, PGS.TS Lê Quốc Hán, TS. Mai Văn Tư, TS. Nguyễn Thị Hồng Loan và
các thầy, cơ giáo trong khoa Tốn, Khoa Sau đại học trường Đại học Vinh và
các bạn lớp cao học khoá 16 chuyên ngành Đại số - Lý thuyết số.
Tac gi xin được gửi lời cảm ơn tới Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh ho¸,
Ban giám hiệu, tỉ to¸n và đồng nghiệp trường THPT Hµm Rång, đã động viên
và giúp đỡ để luận văn được hoàn thành đúng kế hoạch.
Cuối cùng, do khả năng cịn nhiều hạn chế nên khơng tránh khỏi những sai
sót, tác giả rất mong nhận được những góp ý của q thầy giáo, cơ giáo cùng tất
cả các bạn.

Vinh, tháng 10 năm 2010
Tác giả

5

Ch-ơng 1
Kiến thức cơ sở

1.1

Môđun, Vành Noether

1.1.1 Mnh . Cỏc điều kiện sau là tương đương đối với vành R có đơn vị
là 1:
i)

Mọi dãy tăng các ideal phải đều dừng.

ii)

Mọi tập khác rỗng các ideal phải đều có phần tử cực đại theo quan hệ
bao hàm.

iii)

Mọi ideal phải của R là hữu hạn sinh.

iv)

Đối với A là ideal của R thì A và R/A có tính chất i).

1.1.2 Mệnh đề. Các điều kiện sau là tương đương đối với R - môđun phải M:

i)

Mọi dãy tăng các môđun con của M đều dừng.

ii)

Mọi tập khác rỗng các môđun của M đều có phần tử cực đại theo quan
hệ bao hàm.

iii)

Mọi môđun con của M đều là hữu hạn sinh.

iv)

Đối với mơđun con A của M thì A và M/A có tính chất i).

1.1.3 Định nghĩa. Vành R thỏa mãn một trong các điều kiện của mệnh đề 1.1.1
được gọi là vành Noether phải.
1.1.4 Định nghĩa. Mọi R- môđun phải M thỏa mãn một trong các điều kiện của
mệnh đề 1.1.2 được gọi là R- mơđun noether phải.
1.1.5 Ví dụ.
i)

Z- môđun Z là noether.

ii)

Không gian vectơ hữu hạn chiều là môđun noether, không gian vectơ
vô hạn chiều không là môđun noether.

6

1.1.6 Hệ quả. Nếu môđun M là tổng hữu hạn của những mơđun con noether thì
M là noether.
i=n

Chứng minh.

Giả sử M =  Ai , ta biến thành quy nạp theo n.
i=1

Với n =1 mệnh đề là hiển nhiên.
i = n-1

Giả sử mệnh đề đúng với n - 1. Khi đó mơđun con N =  Ai là noether.
i=1

Ta có M/An = ( N + An)/An  N/(N  An).
Nếu N noether thì N/(N  An) noether và do đó M/An cũng noether. Khi đó M


là noether.

1.1.7 Hệ quả. Nếu vnh R l noether phi v M l R- môđun hữu hạn sinh thì
M là noether.
Chứng minh. Với mỗi a  M xét ánh xạ a : R  M
R| ar
Rõ ràng a là một đồng cấu R- môđun. Theo định lí về đơng cấu mơđun ta có:

R/kera  Ima = aR.
Do R là noether nên R/kera là noether và do đó aR cũng noether. Bây giờ giả
i=n

sử { a1, a2, …, an} là hệ sinh của M, khi đó M =  a1R. Theo hệ quả 1.1.6 ta
i=1

suy ra M là noether.




7

1.2

Môđun con cốt yếu, môđun con đều

1.2.1.Định nghĩa. Cho M là một R- môđun và N là môđun con của M.
 Môđun con N được gọi là cốt yếu trong M và kí hiệu là N  * M, nếu với
mọi mơđun K M, K ≠ 0 thì N K ≠ 0.
 Nếu N  * M thì M được gọi là mở rộng cốt yếu của N.
 Nếu 0  * M thì M = 0 ( quy ước ).
1.2.2. Định nghĩa. Cho R là vành, một R-môđun U được gọi là đều ( hay
uniform) nếu U ≠ 0 và A  B ≠ 0 đối với mọi môđun con khác khơng A, B của
U.
Hay nói cách khác, U là đều nếu U≠ 0 và mọi môđun con khác khơng là cốt yếu
trong U.
1.2.3.Ví dụ.
 Z- mơđun Z là mơđun đều vì:

Lấy A = mZ  Z, m≠ 0 và B = kZ  Z, k≠ 0
Khi đó: 0 ≠ m.k

 mZ  kZ.


 Z- môđun Q là môđun đều vì :
Lấy 0 ≠A, B  ZQ  
Ta có am = bm.

a
 A;
b

a
m
 A,  B (m, k, a, b  Z*)
b
n
am = ak.

m
B
n

Khi đó: 0 ≠ am  A  B.
 Mọi môđun con khác không của môđun đều, là đều.



8

1.2.4. Mệnh đề. Cho M là R- mơđun. Khi đó ta có :
i)

A  * M khi vµ chỉ khi  x  M, x ≠ 0, xR  A ≠ 0.

ii)

Cho A  B, B  M thì A  * M khi vµ chỉ khi A  *B vµ B  * M.

iii)

Nếu Ai  * Bi (  i 1,2,…,n), Ai , Bi  M thì  Ai  *  Bi.

i=n

i=n

i=1

i=1

i=n

Đặc biệt nếu Ai  M thì  Ai  * M.
*

i=1

iv)

Cho A B, B M . Nếu B/A  * M/A thì B  * M.

v)

Nếu f: M N là đồng cấu môđun và A  * N thì f-1(A)  * M.

vi)

Cho M =  Mi, A =  Ai và Mi là môđun con của M, iI,trong đó
iI

iI

M i vµ A  *  M i .
Ai  * Mi . Khi đó tồn tại i
I
iI
Chứng minh.
i) Giả sử A  * M, với 0 ≠ x  M  xR ≠ 0, xR  M, hiển nhiên xRA≠0
(theo định nghĩa).
Ngược lại, nếu xR  A ≠ 0, 0 ≠ x  M . Khi đó , giả sử 0 ≠ X  M mà X
 A =0. Do X ≠ 0   x X, x ≠ 0 ta có 0 = ( X  A) xR  A≠ 0.
Vô lý. Vậy X  A ≠ 0 hay A  * M.



ii) Giả sử A  * M. Lấy 0 ≠ X  B X  M  X  A ≠ 0. (do A  * M) suy

ra A  * B.
Lấy 0 ≠ X  M  X  A ≠ 0  X  B ≠ 0( vì A  B )  B  * M.


9

Ngược lại, giả sử A * B và B * M. Lấy 0 ≠ X  M và B * MX  B≠
0, mà (X  B)  B và A *B  (X  B)  A ≠ 0 X  A ≠ 0  A * M.

i=n

iii) Lấy 0 ≠ X   Bi  X  Bi mà Ai  * Bi  X  Ai ≠ 0.
i=1

i=n

i=n

i=n

Do đó X   Ai ≠ 0. Hay  Ai   Bi.



*

i=1

i=1

i=1

iv) Lấy 0 ≠ X  M. Giả sử X  B = 0 suy ra tồn tại X  B.
Ta có (X  A)/A  M/A. Do B/A * M/A nên ( ( X  A)/A )  ( B/A) ≠ 0.
Suy ra tồn tại x + a + A = b + Ax=b + a’ (a’ A ). Vô lý.
Vậy X  B ≠ 0 B * M.
v)



Lấy 0 ≠ X  M.
- Nếu f(X) = 0  X  f-1( A)  (X  f-1( A) ) = X ≠ 0.
- Nếu f(X) ≠ 0. Vì A * N A  f( X ) ≠ 0.
Do đó tồn tại a ≠ 0, a A và a  f( X )  a = f(x) và x  X, x ≠ 0.
Suy ra x = f-1(a) .
 xf-1( A)  X  f-1( A) ≠ 0. Vậy f-1( A) * M.



vi) Trước hết ta chứng minh cho trường hợp I hữu hạn. Dùng quy nạp ta chỉ
xét với n = 2.
Ta có M = M1 + M2 , A1  * M1 , A2  * M2, tồn tại A1  A2.
Theo iii) ta có ( A1  A2) * (M1  M2) hay 0 * (M1 M2)  M1 M2= 0
Do đó tồn tại tổng M1  M2.
Tiếp theo xét phép chiếu : 1: M1  M2  M1
2: M1  M2  M2
Do A1  * M1  1-1 ( A1) * (M1  M2) ( theo v)


10

Nhưng 1-1 ( A1)= A1  M2  (A1  M2 )  * (M1  M2)

(1)

Do A2  * M2  2-1 ( A2) * (M1  M2)  (A2 M1 ) * (M1  M2) (2)
Lấy giao từng vế của (1) và )( 2) ta có:
 (A1  M2 )(A2  M1 )  (M1  M2)  ( A1  A2)  * (M1  M2)
Bây giờ ta chứng minh cho trường hợp I vô hạn.
Lấy x   Mi ta có thể biểu diễn x =  xi, với F hữu hạn thuộc I, theo
iI

iF

trường hợp trên thì tồn tại  M i và sự biểu diễn đó là duy nhất.
iF

M i   0 ≠ x  X; mà x   M i ,  Ai *  M i (
Tiếp theo lấy 0 ≠ X  i
iF
iF
iF
I

Ai ≠0 X   Ai ≠0  X   Ai ≠0 .
với F hữu hạn thuộc I )  xR  i
F
iF
iI

Ai *  M i .
Vậy i
I
iI



1.2.5 Định nghĩa. Cho M là R - mơđun
 Mơđun A M được gọi là đóng trong M nếu A khơng có mở rộng cốt yếu
thực sự trong M, tức là nếu : A * B  M  A = B.
 Môđun con X của M được gọi là bao đóng của U trong M nếu U * X vµ
X đóng trong M.
1.2.6 Mệnh đề. Bao đóng của một môđun con trong môđun M luôn tồn tại.
1.2.7 Hệ quả.
i)

Nếu A là mơđun con đóng trong M thì hạng tử trực tiếp của A cũng
đóng trong M.

ii)

Nếu A là mơđun con đóng trong hạng tử trực tiếp của M thì A cũng
đóng trong M.

iii)

Nếu A là mơđun con đóng trong X và X đóng trong M thì A mơđun con
đóng trong M.

11


12

1.3

Môđun hữu hạn sinh, CS-môđun

1.3.1 Định nghĩa.
 Môđun M được gọi là hữu hạn sinh nếu nó có một tập sinh gồm hữu hạn
phần tử.
Nói cách khác, M là hữu hạn sinh nếu có các phần tử nào đó s1, s2,…, sn  M
sao cho : M = s1R + s2R + …+ snR.
 Nếu tập sinh của M chỉ gồm một phần tử s thì M được gọi là môđun xiclic
sinh bởi s, và ta ký hiệu < s > = sR.
1.3.2 Định nghĩa. Môđun con A của M được gọi là tối đại nếu A ≠ M và A
không chứa trong một môđun con thực sự nào của M. Tức là nếu : A  B  M
và A≠ M thì B = M hoặc B = A.
1.3.3 Mệnh đề.
i)

Mơđun con của mơđun hữu hạn sinh có thể không hữu hạn sinh. Tuy nhiên

môđun con là hạng tử trực tiếp của môđun hữu hạn sinh là hữu hạn sinh.
ii)

Nếu N là môđun hữu hạn sinh của M và mơđun thương M/N cũng là

mơđun hữu hạn sinh thì M cũng là mơđun hữu hạn sinh.

Chứng minh.
(i)

Ta lấy ví dụ sau để chứng tỏ môđun con của môđun hữu hạn sinh không

nhất thiết hữu hạn sinh.
Với Z là vành nguyên tố, xét tập:
Z ={ x = (x1, x2, …), xi  Z}
Trong Z ta định nghĩa phép toán cộng và phép toán nhân như sau:
Với x = (x1, x2, …); y = (y1, y2, …)
x + y = (x1 + y1, x2 + y2, …) và x . y = (x1 .y1, x2 . y2, …)


13

Dễ dàng thấy rằng Z với hai phép toán trên là một vành giao hốn có đơn vị
=(1,1,…).
Tập Z là một Z - môđun xiclic với phần tử sinh là  = (1,1,…).
Vậy Z là một môđun hữu hạn sinh.
Xét tập B là con của Z xác định như sau :
B = { x = (x1, x2, …)  Z : chỉ có một số hữu hạn xi ≠ 0}.
Dễ thấy B là một môđun con của Z - môđun Z. Môđun B không phải Zmôđun hữu hạn sinh. Thật vậy, nếu B có hệ sinh hữu hạn b1, b2, …bk. Khi đó
trong B sẽ có phần tử có thành phần n + 1 khác không, phần tử này không thể là
Z - tổ hợp tuyến tính của b1, b2, …bk



1.3.3 Mệnh đề. Trong môđun hữu hạn sinh mỗi môđun con thực sự được chứa
trong một môđun con tối đại.
Chứng minh. Giả sử S = {x1, x2, …, xn } là hệ sinh của M.

Ta có M = < x1, x2, …, xn>, A là môđun con của M và A ≠ M.
Gọi S = { B| A  B M , B≠ M }, ta có S ≠ do A  S, hơn nữa S sắp thứ tự
theo quan hệ bao hàm.
Đặt C =  B, B S, ta chứng minh C là cận trên.
Ta có A  C, giả sử C = M suy ra {x1, x2, …, xn }  C, do đó tồn tại mơđun con
B  S sao cho {x1, x2, …, xn }  B suy ra B = M. Trái với giả thiết về S . Vậy
C ≠ M suy ra C  S. Theo bổ đề Zorn, trong S tồn tại phần tử tối đại T. Ta
chứng tỏ T là phần tử tối đại trong M. Thật vậy nếu N là môđun con của M sao
cho T  N  M, N ≠ M suy ra N  S, và do tính tối đại của T trong M ta có T=
N.




14

1.3.4 Hệ quả. Mỗi môđun hữu hạn sinh M khác không đều chứa môđun con tối
đại.
1.3.5 Định nghĩa. Môđun M được gọi là CS-môđun ( hay extending - môđun),
nếu mọi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M. Tức là
với A  M,  X  M sao cho A * X, X  M.
Hay nói cách khác mọi mơđun con đóng trong M là hạng tử trực tiếp của M.
1.3.6 Mệnh đề. Hạng tử trực tiếp của CS- môđun là CS- môđun.
Chứng minh. Giả sử M là CS- môđun và M = P  Q, ta sẽ chứng minh P là
CS- môđun.
Giả sử A  P, A đóng trong P, ta chứng minh A là hạng tử trực tiếp của P.
Giả sử P khơng đóng trong M suy ra P * X  M mà P ≠ X, do đó tồn tại xX,
x ≠0, x  P  x Q  X  Q ≠ 0.
Như vậy X  Q là môđun con khác không của X mà (X  Q )  P = 0. Mâu
thuẫn với giả thiết P cốt yếu trong X. Vậy P đóng trong M. Ta có A đóng trong

P, P đóng trong M suy ra A đóng trong M. Do M là CS- mơđun suy ra A là hạng
tử trực tiếp của M. Do A  P suy ra A là hạng tử trực tiếp của P.




14

Ch-ơng 2
Chiều đều của môĐun
2.1 Xây dựng chiều đều của môun

2.1.1 Môdun đều. Giả sử R là một vành, một R- môđun phải U đ-ợc gọi là đều
nếu U 0 và A B 0 đối với mọi môđun con khác không A, B của U. Hay nói
cách khác U là đều nếu U 0 và mọi môđun con khác không là cốt yếu trong U.
2.1.2 Chiều đều.
2.1.2.1 Định nghĩa. Một môun M trên vành R gọi là có chiều đều hữu hạn nếu
không tồn tại một tổng trực tiếp vô hạn các môun con khác không trong M, M
đ-ợc gọi là có chiều đều vô hạn trong tr-ờng hợp ng-ợc lại.
2.1.2.2 Mệnh đề. Nếu M l mt môđun con khỏc khụng, khụng chứa tng trc
tip vụ hn các môđun con khỏc khụng, thỡ M chứa môđun con u.
Chng minh.

-Nếu M là môun đều: Chứng minh xong.

- Nếu M khụng là môun con u. Khi ú tn ti 0U1, U  M mµ U1  U=0
suy ra (U1  U) M.
- Nếu U1 là môđun đều: Chứng minh xong.
- Nếu U1 không là môđun đều, khi đó tồn tại V1, V2  U1, V1, V2 ≠ 0 mµ V1
V2 = 0 suy ra ( V1  V2 )  U1 suy ra tån t¹i ( V1  V 2  U )  M.

Q trình này tiÕp tơc, do M không chứa tổng trực tiếp vô hạn các môun con
khác không, nên quá trình trên phải dừng lại sau hữu hạn b-ớc .
Vậy tồn tại môđun Uk đều.




15

2.1.2.3 H qu. Cho R- môun M
i) Nếu M là môđun noether khỏc khụng thỡ M cha mụun con u.
ii) Cho R là một vành trái noether thì bất kỳ R – môđun trái khác không đều
chứa môđun con đều.
Chứng minh.
i) Gi s M là môđun noether m cha tng vô hạn các môđun con khác không


 Ai  M. Khi đó ta có dãy tăng thực sự các mơđun con của M:
i 1
n

Ai …
A1  (A1  A2) … 
i 1
Mâu thuẫn với giả thiết M noether. Do đó M không chứa tổng trực tiếp vô hạn
các môđun con khác không. Theo mệnh đề 2.1.2.2, M chứa môđun con đều.
ii) Nếu M là R – môđun trái , do R là vành noether trái nên mọi R- môđun hữu
hạn sinh là neother. Vì vậy với x≠ 0, x  M , ta có Rx là mơđun neother. Do đó
theo i). Rx chứa mơđun con đều. Vì vậy M chứa môđun con đều.



2.1.2.4 Mệnh đề. Cho môđun M khác không có tính chất mọi mơđun con là
chứa mơđun đều. Thế thì tồn tại mơđun A là tổng trực tiếp các môđun đều và A
là môđun con cốt yếu trong M.
Chứng minh.

Gọi S = {  U i |U i đều, Ui  M, i  I}.
iI

Xác định quan hệ thứ tự  U i   V j  I  J và Vi = Ui ,i I.
iI

jJ

Theo giả thiết M chứa mơđun đều U có  U với | I | = 1 S ≠ .
I

Ta có  U i U 1  U 2  ...  U n  ... suy ra
iI



U
k 1

k

 S là cận trên.

16

Theo bổ đề Zorn, trong S tồn tại phần tử tối đại A= I U i và ta có A * M bởi vì
nếu A khơng là mơđun con cốt yếu trong M suy ra tồn tại B  M, B ≠  mà

A

 B = 0. Theo giả thiết A chưa môđun đều V, suy ra A  V=0 suy ra tồn tại
A’= A  V mà A  A’, A ≠ A’. Mâu thuẫn với tính tối đại của A.
Vậy A * M.



2.1.2.5.Hệ quả.

U i  * M, Ui đều, i I.
i) Nếu mơđun M là noether thì tồn tại môđun A= i
I

U i  * M, Ui đều,
ii) Nếu vành R là noether thì mọi R- mơđun M ta có A = i
I

 i I.
Chứng minh.
i) Nếu mơđun M noether thì với mọi mơđun N M ta có N noether. Theo hệ quả
2.1.2.3 suy ra N chứa môđun con đều. Theo mệnh đề 2.1.2.4 tồn tại môđun

U i * M.

A= i
I
ii) Nếu N là vành noether, theo hệ quả 2.1.2.3 suy ra mọi R- môđun là chứa
môđun con đều ( do mọi môđun con của M đều là R- môđun).
U i * M.
Theo mệnh đề 2.1.2.4 tồn tại môđun A = i
I



2.1.2.6 Bổ đề. Giả sử M là môđun chứa một môđun con cốt yếu dạng  U i ,
iI

trong đó Ui là các mơđun đều  i I. Khi đó một mơđun con N của M là cốt yếu
trong M khi và chỉ khi N  Ui ≠ 0, i I.
Chứng minh. Giả sử N * M suy ra N  X ≠0 với mọi X  M, X ≠ 0


17

suy ra N  Ui ≠0,i  I.
Ngược lại, giả sử N  M, N  Ui ≠0, i  I. Đặt Ni = N  Ui, theo giả thiết

U i , mà
Ni ≠ 0, i  I. Vì Ui là môđun đều suy ra Ni * Ui ,  i  I. Do có i
I

N i và  N i *  U i ( Theo mệnh
Ni  Ui ,  i  I nên tồn tại tổng trực tiếp i
I

iI
iI
đề 1.2.4) .
U i * M ta có  N i *  U i * M, từ đó suy ra  N i *M (*).
Theo giả thiết i
iI
iI
iI
I

Mặt khác Ni  N,  i  I, do đó Ni  N  M. Vì vậy N * M ( bởi vì nếu N
khơng là mơđun con cốt yểu của M suy ra tồn tại K ≠0,K  M mà N  K = 0

N i = 0. Mâu thuẫn với (*)).
suy ra K  i
I



2.1.2.7 Định lí. Cho môđun M, nếu tồn tại các môđun Ui đều,  i = 1,2,3,…,n
n

U i * M thì:
và 
i 1

i) Mọi tổng trực tiếp của các môđun con khác không của M có nhiều nhất n
hạng tử .
ii) Nếu tồn tại các môđun Vi đều,  i = 1,2,3,…,k và V1 … Vk * M
thì n = k.

Chứng minh.
i)

Giả sử tồn tại A1 … An+1, trong M. Ta sẽ chứng minh An+1 = 0.

Do A1  (A2 … An+1) = 0 dẫn đến rằng A2… An+1 không là môđun con
cốt yếu trong M.


18

Theo bổ đề 2.1.2.6 thì tồn tại Ui, 1  i  n để Ui  (A2… An+1) = 0. Khơng
mất tính tổng qt, giả sử i=1 ta có U1  ( A2… An+1 ) = 0 suy ra tồn tại
U1  A2 … An+1 .
Tiếp tục ta có ( U1 A3 … An+1 )  U2 = 0 suy ra (U1 A3 … An+1 không
là môđun con cốt yếu của M .
Do đó tồn tại U2 để ( U1  A2 … An+1 )  U2 = 0
Suy ra tồn tại U1  U2  A3 … An+1.
Tiếp tục q trình đó ta có : U1  U2  U3 … Un  An+1.
Do U1  U2  U3 … Un là cốt yếu trong M suy ra An+1 = 0.
ii) Theo i) ta có k  n và n  k suy ra n = k ( do vai trò của hai tổng trực tiếp
n

n

i 1

i 1

 U i và  Vi là như nhau).



Từ định lý 2.1.2.6 ta rút ra rằng số tự nhiên n mà U1  U2  U3… Un là cốt
yếu trong M, Ui là đều với i = 1,2,3,…,n là số bất biến. Vy ta cú nh ngha
sau :
2.1.2.8 Định nghĩa. Ta gi dim M = n nếu tồn tại tổng trực tếp hữu hạn U1 
U2  U3 …  Un * M, với các môđun Ui đều, i = 1,2,3,…,n, và n được gọi
là chiều đều của môđun M.
Khi M = 0 ta quy ước dim M = 0.


19

2.2 Một số tính chất của chiều đều hữu hạn

2.2.1 Mệnh đề.
i) Nếu dim M < thì dim A < với mọi A là môđun con của M.
ii) Nếu A, B là các môđun con của M và tån t¹i A B với dim ( A B) <  th×
dim ( A B) = dim A + dim B.
Chứng minh.
i) Giả sử A chứa tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác không.
Do A M nên suy ra M ch-a tổng trực tiếp cô hạn các môđun con khác không.
Vậy M có chiều đều vô hạn. Mâu thuẫn với giả thiết dim M < .
Vậy A không chứa tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác không hay
dimA<, với mọi A là môđun con cña M.
ii) Do A, B  (A  B), theo giả thiết dim (A B) < nên theo i) dim A < ,
dimB < .
n

U i  * A , và trong B tồn
Đặt dim A = n, dim B = m. Do vËy trong A tån t¹i 
i 1
n

V j  * B , víi Ui, Vj là đều, i = 1,2,,n; j = 1,2,,m.
tại
i 1
Do tån t¹i A  B  Ui  Vj = 0 víi i, j , 1 i  n, 1 j  m
n

n

U i ) (  V j ). Khi ®ã ta cã U * A  B ( theo mƯnh ®Ị 1.2.4).
U=( 
i 1
i 1
VËy dim ( A  B ) = n + m = dim A + dim B.



2.2.2 Bổ đề. Nếu A là môđun con cèt u cđa M th× dim A = dim M.
n

U i * M , với các Ui là môđun ®Ịu víi
Chøng minh. Gi¶ sư dim M = n  
i 1
i = 1,2,…,n.

20

Do A * M theo bỉ ®Ị 2.1.2.7 ta cã A  Ui ≠ 0, i = 1,2,…, n.
n

U i nên tồn tại
Đặt Ai = A Ui , do Ui đều nên Ai đều i = 1,2,, n, và do cã 
i 1
n

n

 Ai vµ  Ai * A.
i 1
i 1
VËy dim A = n, tõ ®ã dim A = dim M.



2.2.3 Bổ đề. Nếu môđun M/A có chiều đều hữu hạn, A có chiều đều hữu hạn
thì M có chiều đều hữu hạn và dim M dim A + dim M/A.
Chøng minh. Gäi S = { X  M| X A= 0} víi quan hƯ thø tù bao hà m.
Ta cã 0 S  S ≠ .
Theo Zorn tồn tại phần tử tối đại L sao cho L  A = 0  ( L  A) * M ( vì nếu
L A không là môđun con cốt yếu của M thì tồn tại B M, B ≠ 0,mµ

(

L  A)  B = 0  ( L  B)  A = 0. M©u thuẫn với tính tối đại của L).
Ta có L (( L  A) /A)  M/A, do M/A cã chiều đều hữu hạn nên ( L A) /A

có chiều đều hữu hạn L có chiều đều hữu hạn.
Giả sử dim M/A = n, dim A = m, dim L = l ( l  n). Theo bæ ®Ò 3.4 ta cã dim M
= dim ( L  A) = dim L + dim A = l + m  n + m = dim M/A + dim A.
VËy dim M  dim M/A + dim A.



2.2.4 Chó ý. Nếu M có chiều đều hữu hạn, A có chiều đều hữu hạn thì ch-a
hẳn M/A có chiều đều hữu hạn, chẳng hạn: dim QZ = 1, dim ZZ = 1 nh-ng
dimQ/Z =+
2.2.5 Bỉ ®Ị. NÕu L  * M th× ( L A )  * A,  A M
Chứng minh. Giả sử L A không là môđun con cốt yếu của A, suy ra tồn tại
X 0,X A mà X ( L A ) = 0  L  ( X  A ) = 0.


21

Do X  A  X  A = X
Tõ ®ã ta cã X  L = 0  L không là môđun con cốt yếu của M.
Mâu thuẫn với gi¶ thiÕt.
VËy ( L  A ) * A,  A M.



2.2.6 Bổ đề. Cho M là môđun sao cho  K  * M th× M/ K cã chiều đều hữu
hạn. Khi đó A * B thì B/A có chiều đều hữu hạn A B M.
Chứng minh. Bởi bổ đề Zorn tồn tại T tối đại trong M mà T A = 0. Khi ®ã
( T  A) * M. Theo gi¶ thiÕt ta có M/ (T A) có chiều đều hữu hạn (*).
Do A * B vµ T  A = 0  T  B = 0  T  B vµ ta cã
B/A  (T  B)/ (T  A) M/( T A)

Theo mệnh đề 2.2.1 và kết hợp với (*) suy ra B/A có chiều đều hữu hạn.



2.2.7 Mệnh đề. Cho M là môđun sao cho với mọi K * M thì M/K có chiều đều
hữu hạn. Khi đó M/Soc(M) có chiều đều hữu hạn.
Chứng minh. Bởi bổ đề Zorn tồn tại H tối đại trong M mµ H Soc(M) = 0, suy
ra ( H  Soc(M)) * M. Vì vậy theo giả thiết M/ ( H Soc(M)) có chiều đều
hữu hạn.
Bởi vì (M/Soc (M))/ ( H Soc(M))/Soc (M) có chiều đều hữu hạn.
Do đó để chứng minh M/Soc (M)có chiều đều hữu hạn, theo bổ đề 2.2.3 ta chỉ
cần chứng minh ( H Soc(M))/Soc (M) có chiều đều hữu hạn.
Nh-ng ( H Soc(M))/Soc (M) H. Vì vậy ta chỉ phải chứng minh H có chiều

X i là tổng trực tiếp vô hạn
đều hữu hạn. Giả sử ng-ợc lại, khi đó tồn t¹i X = i
I
X i  Xi  Soc(M) = 0, i  I. Gi¶ sư víi
cđa H. Do H Soc(M) = 0 và X = i
I

mọi môđun K * M mµ K  Xi = Xi suy ra Xi  Soc(M) ( bëi v× Soc(M) b»ng


22

giao tất cả các môđun con cốt yếu trong M). Vô lý vì Xi Soc(M) = 0. Vậy tồn
tại K * M mà K Xi Xi. Đặt Yi = K  Xi ta cã Xi ≠ Yi, i I.

X i suy ra tồn tại

Theo bổ đề 2.2.5 ta cã Yi * Xi, i  I. Do tồn tại X = i
I
Yi , và do Xi Yi nên Xi /Yi 0. Khi đó ta có tổng trực tiếp vô hạn các
Y = i
I
( X i / Yi ) X/Y (*)
môđun con khác không là : ( X1/ Y1)  ( X2/ Y2) …= i
I
Yi * X i nghĩa là Y * X. áp dụng bổ đề
Mặt khác do Yi * Xi suy ra i
I
iI
2.2.6 ta có X / Y có chiều đều hữu hạn. Điều này mâu thuẫn với đẳng cấu (*). Và
vì vậy chứng tỏ H có chiều đều hữu hạn.




23

Ch-ơng 3
CS - Môđun và chiều đều hữu hạn

3.1. Bổ đề. Giả sử M là CS- môđun và có chiều đều hữu hạn . Khi đó M phân
tích đ-ợc thành tổng trực tiếp hữu hạn các môđun con đều.
Chứng minh. Vì M là chiều đều hữu hạn nên tồn tại môđun U1 là mô đun con
đều của M. Gọi X1 là bao đóng của U1 trong M. Giả sử X1 không là môđun đều
suy ra tồn tại A,BX1 , A, B ≠ 0, A B = 0.
Do U1 * X1  U1  A ≠ 0, U1  B ≠ 0 .
Do A B = 0  ( U1  A ) (U1  B) = 0  U1 kh«ng là môđun đều. Mâu

thuẫn.
Vậy X1 là môđun đều.
Bởi M là CS - môđun và X1 là bao đóng của U1  X1  M, nghÜa lµ M=X1M1.
Do M lµ CS - môđun và có chiều đều hữu hạn nên M1 cũng là CS - môđun và có
chiều đều hữu hạn.
Lí luận nh- trên đối với M1, ta có M1 =X2 M2, trong đó X2 là môđun con đều
và đóng của M1 và M2 là CS - môđun và có chiều đều hữu hạn. Khi đó ta có :
M = X1 X2 M2
Lại tiếp tục áp dụng lí luận trên ta đ-ợc : M = X1 X2  … Xn  Mn
Trong ®ã Xi, i = 1,2,…,n là môđun đều và đóng trong M. Do M có chiều đều
hữu hạn nên quá trình đó phải dừng lại sau hữu hạn b-ớc. Nghĩa là tồn tại n để
Mn=0 và do đó :

M = X1 X2 Xn .

Trong đó Xi, i = 1,2,,n là môđun đều và ®ãng trong M.




24

3.2

Hệ quả. Giả sử M có chiều đều hữu hạn. Khi đó M phân tích đ-ợc thành

tổng trực tếp hữu hạn của các môđun con không phân tích đ-ợc.
Chứng minh. Nếu M không phân tích đ-ợc: chứng minh xong.
Nếu M phân tích đ-ợc thì M = M1 M2 . Nếu cả M1, M2 không phân tích đ-ợc:
chứng minh xong.

Nếu M2 phân tích đ-ợc thì M = M1 M2 M2.
Tiếp tục quá trình trên, do M có chiều đều hữu hạn nên quá trình này phải dừng
lại sau hữu hạn b-ớc. Vậy M phân tích đ-ợc thành tổng trực tiếp hữu hạn các


môđun con không phân tích đ-ợc.

3.3 Mệnh đề. Giả sử M là CS - môđun và M là môđun hữu hạn sinh. Giả thiết

N i . Khi
rằng M chứa tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác không N = i
I
đó M/N không có chiều đều hữu hạn.
Chứng minh. Giả sử dim(M/N) = k. Khi ®ã ta chia tËp I thµnh k+1 tËp rêi nhau
I = A1  A2 … Ak+1 sao cho Aj lµ vô hạn với mọi j = 1,2,.., k+1.
k 1

S j . Gọi Ej là bao đóng của Sj suy ra Sj  * Ej vµ
Gäi Sj = iA N i suy ra N =
i 1
j


Ej đóng. Do M là CS - môđun suy ra Ej M. Do M hữu hạn sinh nên Ej hữu

hạn sinh. Mà Sj Ej suy ra iA N i  Ej, do Ej hữu hạn sinh nên nếu iA N i = Ej
j

j

thì theo bổ đề 2.2.8 | Aj | hữu hạn. Mâu thn víi c¸ch chia tËp I.
VËy iA N i ≠ Ej hay Sj ≠ Ej , suy ra Sj /Ej ≠ 0 víi j = 1,2,…,k+1. Khi ®ã ta cã
j

k+1 hạng tử khác không là X = ( E1/ S1)  ( E2/ S2) … ( Ek+1/ Sk+1)
k 1

S j với phép nhúng
Và rõ ràng X đ-ợc nhúng vào M/N = M/ 
i 1
X  M/N