De thi vao lop 10 THPT Chuyen Toan de chung Dai hoc KHTN Ha Noi 20152016

<span class='text_page_counter'>(1)</span>ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐH KHOA HỌC TỰ NHIÊN. ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015 – 2016. MÔN THI: TOÁN (cho tất cả các thí sinh) (Vòng I) Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề) Câu I. (3.0 điểm) 1) Giả sử a, b là hai số thực phân biệt thỏa mãn a2  3a  b2  3b  2. a) Chứng minh rằng a  b  3. b) Chứng minh rằng a3  b3  45.. 2 x  3 y  5 xy . 2) Giải hệ phương trình  2 2 2 4 x  y  5 xy Câu II. (3.0 điểm) 1) Tìm các số nguyên x, y không nhỏ hơn 2 sao cho xy  1 chia hết cho ( x  1)( y  1). 2) Với x, y là những số thực thỏa mãn đẳng thức x3 y3  2 y  1  0. Tìm giá trị lớn nhất và xy nhỏ nhất của biểu thức: P  . 3y 1 Câu III. (3.0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC không cân có tâm đường tròn nội tiếp là điểm I. Đường thẳng AI cắt BC tại D. Gọi E,F lần lượt là các điểm đối xứng của D qua IC,IB. 1) Chứng minh rằng EF song song với BC. 2) Gọi M,N,J lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng DE,DF,EF. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AFN tại P khác A. Chứng minh rằng bốn điểm M,N,P,J cùng nằm trên một đường tròn. 3) Chứng minh rằng ba điểm A,J,P thẳng hàng. Câu IV. (1.0 điểm) 1) Cho bảng ô vuông 2015  2015 . Kí hiệu ô  i, j  là ô ở hàng thứ i , cột thứ j. Ta viết các số nguyên dương từ 1 đến 2015 vào các ô của bảng theo quy tắc sau : i) Số 1 được viết vào ô (1,1).. 1. 3. 6. 10. ii) Nếu số k được viết vào ô  i, j  ,  i  1 thì số. 2. 5. 9. …. k+1 được viết vào ô  i  1, j  1 .. 4. 8. …. iii) Nếu số k được viết vào ô 1, j  thì số k+1 được. 7. …. viết vào ô  j  1,1 . (Xem hình 1.) Khi đó số 2015. …. được viết vào ô  m, n. . Hãy xác định m và n.. …. Hình 1. 2) Giả sử a,b,c là các số thực dương thỏa mãn ab  bc  ac  abc  4. Chứng minh rằng. a2  b2  c2  a  b  c  2(ab  bc  ac).. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐH KHOA HỌC TỰ NHIÊN. HƯỚNG DẪN ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015 – 2016. MÔN THI: TOÁN (cho tất cả các thí sinh) (Vòng I) Câu I. a)  a2  b2  3(a  b)  0  (a  b)(a  b)  3(a  b)  0  a  b  0  loai   (a  b)(a  b  3)  0    a  b  3. b)  a  b   27  a3  b3  3ab  a  b   27  a3  b3  9ab  27 3. Vì a2  3a  b2  3b  4   a  b   2ab  3  a  b   4  ab  2 2. Vậy a3  b3  45. b) Ta thấy x  y  0 là nghiệm của phương trình. Nếu y  0 nhân hai vế của phương trình với y. 2 xy  3 y 2  5 xy 2 2 x  3 y  5 xy 2 x  3 y  5 xy 2 x  3 y  5 xy        2  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 x  y  5 xy 2 x  xy  y  0 4 x  y  5 xy 4 x  y  5 xy  2 x  3 y  5 xy  x  y 1  x  y  0   2 x  3 y  5 xy 2 x  3 y  5 xy          x  y 2 x  y  0 x  y 2 x  y  0            2 x  3 y  5 xy  x  2 , y   4   x  y   0 5 5  Câu II. a) Tìm các số nguyên x, y không nhỏ hơn 2 sao cho xy  1 chia hết cho  x  1 y  1 Ta có xy  1 ( x  1)( y  1)  xy  1 xy  1  x  y mà xy  1  x  y xy  1  x  y. Suy ra: ( x  1)  ( y 1) ( x 1)( y 1) suy ra x  1 y  1 và y  1 x  1 Suy ra x  y X 2  1 ( x  1)2 ta có x  1 x  1  2 x  1  x  2 hoặc x  3. b) Với x, y là những số thực thỏa mãn đẳng thức x2 y 2  2 y  1  0. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ xy nhất của biểu thức: P  3y 1.  x2 y 2 1 x y  2 y  1  0.  2 y   x y  1  y  2 xy xy P  2 2 2 2 3   x y  1  2  3 x y  1 3. 3. 2. 2.  3 px 2 y 2  2 xy  p  0   4  12 p 2 Phương trình có nghiệm khi   0 suy ra 4 – 12p2  0 3  p 2  3  p   3 1  1 14 1 27 1  x . Vây max P  3 khi xy   suy ra y  27 2 27 3 3 14 3 3.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Câu III. 1) Ta có: AD là phân giác A BD AB mà BED, CDF là tam giác cân,   DC AC BE AB    BC // FE. CF AC E F J 2) Ta có: BC // FE  FED  EDB  BED mà APM  180  AEM  BED  APM  DEF Tương tự : DFE  APN M N P  APN  APM  DFE  FED  MPN Mà MJN  MDN  EDF B D  MJN  MPN  180  MPNJ nội tiếp 3) Ta có: APM  DEF và JPM  JNM  JEM  JPM  APM  A, P, J thẳng hàng Câu VI. 1)Theo đề bài, các số nguyên dương được sắp xếp theo từng hàng chéo của bảng: Hàng chéo thứ nhất có 1 số, hàng chéo thứ hai có 2 số, ... Giả sử số x nằm ở hàng chéo thứ k thì ta có:  1  1  8 x  k (k  1) k (k  1) 1  1  8 x 1  1  8x x  k k   2 2 2 2 2    1  1  8.2015  Áp dụng x  2015 ta có k     63 2   k (k  1) Số đầu tiên ở hàng chéo thứ k  63 là  1  1954 2 Như vậy số 2015 nằm ở vị trí thứ 2015 1954  1  62 của hàng chéo thứ 63 (Vị trí áp chót) Tọa độ của nó là (2, 62) 2) Theo Cauchy 4 số ta có : 4  abc  ab  bc  ac  4 4 a3b3c3  1  abc.  a  b  c  3 3 abc  3 3 a 2b2c 2 BĐT tương đương : a 2  b2  c 2  3 3 a 2b 2c 2  2  ab  bc  ac  (1) Đặt. 3. a 2  x, 3 b2  y, 3 c 2  z  x, y, z  0 . 1  x3  y3  z 3  3xyz  2. x3 y 3  2 z 3 x3  2 z 3 y 3. Áp dụng BĐT Schur bậc 3: x3  y3  z 3  3xyz  xy  x  y   yz  y  z   xz  x  z .  x  x  y  x  z   y  y  x  y  z   z  z  x  z  y   0 với mọi số thực không âm x, y, z Chứng minh BĐT : Do vai trò x, y, z như nhau , giả sử x  y  z  z  z  x  z  y   0 Ta xét : x  x  z   y  y  z   x 2  xz  yz  y 2   x  y  x  y  z   0.  x  x  z  x  y   y  y  z  x  y   0  x  x  z  x  y   y  y  z  y  x   0  x  x  y  x  z   y  y  x  y  z   z  z  x  z  y   0  đpcm Ta có : x3  y3  z 3  3xyz  xy  x  y   yz  y  z   xz  x  z   2 x3 y 3  2 z 3 x3  2 z 3 y 3. x  y  z  a  b  c 1 Dấu = xảy ra khi   x  y, z  0. C.

<span class='text_page_counter'>(4)</span>