hinh hoc giai tich

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (482.02 KB, 46 trang )

(1)PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN. Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục toạ độ vuông góc Oxyz trong không gian. z.  k   i. O. j. y. x.   i, j , k.  O ( 0;0;0) gọi là góc toạ độ .  Các trục tọa độ:  Ox : trục hoành.  Oy : trục tung.  Oz : trục cao.  Các mặt phẳng toạ độ: (Oxy), (Oyz), (Oxz) đôi một vuông góc với nhau..  là các véctơ đơn vị lần lượt nằm trên các trục Ox, Oy, Oz.   .    i = (1;0;0), j = (0;1;0), k = (0;0;1).       i  j  k 1 i 2  j 2 k 2 1 .     và  i  j , j k , k i .. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT CẦN NHỚ    . . M  Ox  M  Oy  M  Oz . M(x;0;0). . M  (Oxy). M(0;y;0). . M  (Oyz). .  M (Oxz)     O M x.i  y. j  z.k  M ( x; y; z ) Tọa độ của điểm: M(0;0;z).   . M(x;y;0) M(0;y;z) M(x;0;z).      a a1.i  a2 . j  a3 .k  a (a1; a2 ; a3 ) Tọa độ của vectở: CÁC TÍNH CHẤT CẦN NHỚ..   a  x1 ; y1 ; z1  , b  x2 ; y2 ; z2 . Cho 1. Tổng hai vectơ là một vectơ..   a  b  x1  x2 ; y1  y2 ; z1  z2 .  2. Hiệu hai vectơ là một vectơ..   a  b  x1  x2 ; y1  y2 ; z1  z2 .  3. Tích của vectơ với một số thực là một vectơ. .  k .a k .  x1 ; y1 ; z1   kx1 ; ky1 ; kz1 . 4. Độ dài vectơ. Bằng  5. 6..  hoành . 2. 2. . Chú ý:.   tung    cao . k .. 2.  a  x12  y12  z12.  . 0  0;0;0 . Vectơ không có tọa độ là: . Hai vectơ bằng nhau: Tọa độ tương ứng bằng nhau.. 1.

(2)  x x2    1 a b   y1  y2  z z 2  1  7. Tích vô hướng của hai vectơ: Bằng: hoành.hoành+tung.tung+cao.cao.     a.b  x1.x2  y1. y2  z1.z2  . Chú ý: a  b  a.b 0 8. Góc giữa hai vectơ: Bằng tích vô hướng chia tích độ dài..   x1.x2  y1. y2  z1.z2 a.b cos a, b     a.b x12  y12  z12 . x22  y22  z22.  . . CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ Trong hệ trục toạ độ Oxyz. Cho A( xA; yA; zA) , B( xB, yB, zB). Khi đó:. . . AB. Tọa độ vectơ. 2). Độ dài đoạn thẳng AB bằng đồ dài.  AB  AB . là:. AB  xB  x A ; yB  y A ; z B  z A . 1).  xB .  AB : 2. 2. .. xA    yB  y A    zB  z A . 2 .. Chú ý: Độ dài đoạn thẳng AB hay còn gọi là khoảng cách giữa hai điểm A và B.. xA  xB  x   I 2  yA  yB  y I  2  zA  zB  z   I 2 Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là: . 3) 4).  I  xI ; y I ; z I . Tọa độ trọng tâm của tam giác:. Cho.  ABC với A(xA; yA; zA),B( xB, yB, zB), C( xC, yC, zC).. xA  xB  xC   xG  3  y A  yB  yC   G  xG ; yG ; z G   yG  3  z A  zB  zC  z   G 3 Khi đó toạ độ trọng tâm G của  ABC là:  5) Tích có hướng và tính chất của tích có hướng: Cho.   a  x1 ; y1 ; z1  , b  x2 ; y2 ; z2 .   . . Khi đó:.   y z z x x y   a, b   1 1 ; 1 1 ; 1 1     y2 z2 z2 x2 x2 y2 .     a, b  0 Hai vectơ cùng phương  .      a, b  0 Hai vectơ a , b không cùng phương   a, b. 2.

(3) Ba vectơ. .       a a, b, c đồng phẳng  , b  .c 0 .       a a, b, c không đồng phẳng  , b  .c 0 ..  Ba vectơ 6) Chứng minh hai vectơ cùng phương. . . Cách 1:.  a. . Cách 2:.  a. . và. và.  b  b. cùng phương.    a k .b ..  cùng phương. x1 y1 z1   x2 y2 z2. với.  x2 ,y 2 ,z3 0 . x2 y2 z2     x y1 z1 với  x1 ,y1 ,z1 0  1 a và b cùng phương        a, b  0 a và b cùng phương . .  Cách 3:. . . CÁC DẠNG BÀI TẬP CHỨNG MINH Vấn đề1: Chứng minh ba điểm thẳng hàng. Ba điểm không thẳng hàng. Dạng 1: Chứng. minh ba điểm A, B, C thẳng hàng: Cần nhớ. A. Phương pháp Để chứng minh ba điểm A,B,C thẳng hàng ta thực hiện các bước sau:. . C. B. Ba điểm A, B, C thẳng hàng. .  AB , AC hai vectơ      AB , AC  0. . cùng phương. . Chú ý: Ba điểm A, B, C thẳng hàng là ba điểm nằm trên 1 đường thẳng.. AB  ...;...;...  AC  ...;...;... Bước 1: Tính .     AB , AC   0;0;0  0  Bước 2: Tính  .   AB , AC cùng phương, nên ba điểm A, B, C Bước 3: Kết luận hai vectơ thẳng hàng.. Dạng 2: Chứng minh ba điểm A, B, C KHÔNG thẳng hàng: Cần nhớ. Phương pháp Để chứng minh ba điểm A,B,C KHÔNG thẳng hàng ta thực hiện các bước sau: . A. B. C. Ba điểm A, B, C không thẳng hàng. .  , AC  hai vectơ AB      AB , AC  0. không cùng phương. AB  ...;...;...  AC  ...;...;... Bước 1: Tính .     AB , AC   ..;..;.. 0  Bước 2: Tính  .   AB , AC không cùng phương, nên ba điểm A, B, Bước 3: Vậy hai vectơ C không thẳng hàng. Chú ý: Ba điểm không thẳng hàng chính là ba đỉnh của một tam giác.. Vấn đề 2: Chứng minh bốn điểm đồng phẳng, bốn điểm không đồng phẳng.. 3.

(4) Dạng 1: Chứng minh bốn điểm A, B, C, D KHÔNG đồng phẳng. Cần nhớ. A. Phương pháp. Để chứng minh bốn điểm A,B,C, D không đồng phẳng ta thực hiện các bước sau:. . C. B D. Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. .    AB , AC , AD đồng phẳng     AB , AC  . AD 0    .. Chú ý:  . A, B, C, D không đồng phẳng.. A, B, C, D không đồng phẳng khi đó A, B, C, D là bốn đỉnh của 1 tứ diện ABCD. Vậy để chứng minh bốn điểm A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện ta đi chứng minh bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Dạng 3: Chứng minh bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng. Cần nhớ. A D. B C. Bốn điểm  A, B, C, D đồng phẳng.  AB , AC , AD . AB  ...;...;...  AC  ...;...;...  AD  ..;..;... Bước 1: Tính .    AB , AC   ..;..;...       AB , AC  . AD .... 0  Bước 2: Tính  .    AB , AC , AD không đồng phẳng, nên bốn điểm Bước 3: Vậy ba vectơ. đồng phẳng     AB , AC  . AD 0  . . Chú ý: Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng là bốn điểm thuộc một mp.. Phương pháp Để chứng minh bốn điểm A,B,C, D đồng phẳng ta thực hiện các bước sau:.  AB  ...;...;...  AC  ...;...;...  AD  ..;..;... Bước 1: Tính .    AB , AC   ...;...;...       AB , AC  . AD 0  Bước 2: Tính  .    AB , AC , AD đồng phẳng, nên bốn điểm A, B, Bước 3: Vậy ba vectơ. C, D đồng phẳng. Vấn đề 3: Hình chiếu vuông góc. Hình chiếu vuông góc lên trục tọa độ Hình chiếu vuông góc lên mp tọa độ 1. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M(x0;y0;z0) trên 2. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M(x0;y0;z0) trên các trục tọa độ. các phẳng tọa độ. Phương pháp Phương pháp  Hình chiếu vuông góc của điểm  Hình chiếu vuông góc của điểm M(x0;y0;z0) trên trục Ox là: M(x0;0;0) M(x0;y0;z0) trên (Oxy) là: M(x0;y0;0)  Hình chiếu vuông góc của điểm  Hình chiếu vuông góc của điểm M(x0;y0;z0) trên trục Oy là: M(0;y0;0) M(x0;y0;z0) trên (Oyz) là: M(0;y0;z0)  Hình chiếu vuông góc của điểm  Hình chiếu vuông góc của điểm M(x0;y0;z0) trên trục Oz là: M(0;0;z0) M(x0;y0;z0) trên (Oxz) là: M(x0;0;z0) Vấn đề 4: Thể tích khối tứ diện. Cần nhớ Phương pháp. 4.

(5) . AB  ...;...;...  AC  ...;...;...  AD  ..;..;... Bước 1: Tính .    AB , AC   ...;...;...       AB , AC  . AD ....  Bước 2: Tính  1    V =  AB, AC  .AD 6 Bước 3:. Thể tích của khối tứ diện ABCD A. V=. 1     AB, AC .AD  6 D. B C. Chú ý: Thể tích không âm. Vấn đề 5: Diện tích tam giác. Diện tích tam giác ABC. 1 S ABC = 2.    AB , AC  . Bước 1: Tính. A Bước 2: Tính B Chú ý: Diện tích không âm.. C. Bước 3: Tính.  AB  ...;...;...  AC  ...;...;... .    AB , AC   ..;..;..  . 1   SABC =  AB , AC 2. Bước 4: ADCT MẶT CẦU Vấn đề 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu. Dạng 1 Mặt cầu (S):. 2. .. Dạng 2. x  y  z  2ax-2by-2cz+d=0 2.  x  a Mặt cầu (S):. ..    AB ,AC   h 2  t 2  c2  . 2. 2.   y  b    z  c  r 2. Có tâm I(a;b;c) và bán kính r. Có tâm I(a;b;c) với Bán kính:. 2. 2. heä soá x  a   -2  heä soá y  b  -2  heä soá z  c  -2 . r  a 2  b 2  c2  d. Vấn đề 2: Lập phương trình mặt cầu..  x  a. 2. 2. 2.   y  b    z  c  r 2. Dạng 1: Lập phương trình mặt cầu dạng Loại 1: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và bán kính r=m (với m là số thực). Phương pháp:.  x  a Bước 1: Pt mặt cầu (S):. 2.  x  a Bước 1: Pt mặt cầu (S):. 2. 2. 2.   y  b    z  c  r 2.   Bước 2: Mặt cầu có tâm I(a;b;c), bán kính r=m.  Bước 3: Thế tâm I và bán kính r vào pt (*). Loại 2: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và đường kính bằng n (với n là số thực). Phương pháp: . 2. (*).. 2.   y  b    z  c  r 2. (*).. 5.

(6) n Bước 2: Mặt cầu có tâm I(a;b;c), bán kính r= 2 ..   Bước 3: Thế tâm I và bán kính r vào pt (*). Loại 3: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và đi qua điểm A. Phương pháp:  .  x  a. 2. Pt mặt cầu (S): Mặt cầu có tâm I(a;b;c). 2. 2.   y  b    z  c  r 2. (*)..  IA  IA.  Bán kính r= .  Thế tâm I và bán kính r vào pt (*). Chú ý: Điểm A thuộc mặt cầu nên khoảng cách từ A đến tâm bằng với bán kính r hay độ dài đoạn thẳng IA bằng với bán kính r. Loại 4: Mặt cầu có đường kính AB. Phương pháp:   .  x  a Pt mặt cầu (S):. 2. 2. 2.   y  b    z  c  r 2.  I  ..;...;.... (*).. Gọi I trung điểm AB Mặt cầu có tâm I(a;b;c) . IA  IA.   Chú ý:. Bán kính r= . Thế tâm I và bán kính r vào pt (*). . Đường kính là AB nên A và B thuộc mặt cầu nên IA=IB là bán kính. .  IB  IB. AB AB  2 hoặc r= 2.  Ta có thể tính r theo 2 cách sau: r= Loại 5: Mặt cầu có tâm I(a;b;c) và tiếp xúc mp (P): Ax+By+Cz+D=0. Phương pháp:  .  x  a Pt mặt cầu (S):. 2. 2. r d  I,(P)    . 2.   y  b    z  c  r 2. Mặt cầu có tâm I(a;b;c).. Do mặt cầu tiếp xúc mp(P) nên: Thế tâm I và bán kính r vào pt (*).. .. (*).. Ax 0  By 0  Cz 0  D A 2  B2  C2. x 2  y 2  z 2  2ax-2by-2cz+d=0 .. Dạng 2: Lập phương trình mặt cầu dạng: Loại 1: Lập phương trình mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D. Phướng pháp.  . Pt mặt cầu (S) có dạng: Vì A, B, C, D thuộc (S):. theá  theá  theá theá  . x 2  y 2  z 2  2ax-2by-2cz+d=0 (*). tọa độ điểm A vào pt (*). tọa độ điểm B vào pt (*). tọa độ điểm C vào pt (*) tọa độ điểm D vào pt (*). Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế, ta tìm được a, b, c, d. Sau đó thế a, ,b , c, d vào pt (*).. Chú ý: Đề bài có thể hỏi thêm xác định tâm, tính bán kính, tính diện tích xung quanh và thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Loại 2: Lập phương trình mặt cầu qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mp (P): Ax+By+Cz+D=0. Phướng pháp.  . Pt mặt cầu (S) có dạng: Vì A, B, C thuộc (S):. x 2  y 2  z 2  2ax-2by-2cz+d=0 (*). 6.

(7) thế tọa độ điểm A vào pt (*).   thế tọa độ điểm B vào pt (*). thế tọa độ điểm C vào pt (*)  . Ta được hệ pt gồm ba phương trình. Vì tâm I(a;b;c) thuộc (P) nên thế tọa độ a;b;c vào pt của (P) ta được phương trình thứ tư. Ta giải hệ bốn pt, ta tìm được a,b,c,d. VẤN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG. Dạng 1: Viết pt mp biết điểm thuộc mp và vectơ pháp tuyến. Loại 1: Mặt phẳng (P) qua điểm.  n  A; B;C . M  x 0 ;y 0 ;z 0 .  n. và có vectơ pháp tuyến. .. Phương pháp: . Mặt phẳng (P) qua điểm. . Mặt phẳng (P) có VTPT. . Ptmp (P):. M  x 0 ;y 0 ;z 0  .  n  A; B;C . P). .. A  x  x 0   B  y  y 0   C  z  z 0  0. Loại 2: Mặt phẳng (P) qua điểm.   a , b. của hai vectơ. M. M  x 0 ;y 0 ;z 0 . Phương pháp:. M  x ;y ;z. và song song hoặc chứa giá.  a b. .  . 0 0 0 Mặt phẳng (P) qua điểm . Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là. . Mặt phẳng (P) có VTPT. . Ptmp(P):.   a=  ..... , b  ....   n  a, b . .. .. A  x  x 0   B  y  y 0   C  z  z 0  0. .. Dạng 2: Viết phương trình mp (P) đi qua điểm M và song song với mp(Q). Phương pháp:  Do mp(P) song song mp(Q) nên pt có dạng: Ax+By+Cz+m=0, với m D .  Vì M thuộc mp(P) nên thế tọa độ của M và pt (P) ta tìm được m. Chú ý: Hai mp song song cùng vectơ pháp tuyến.. P). Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d. Phương pháp:  Mặt phẳng (P) đi qua M.. Q). . Mặt phẳng (P) có VTPT:. . Ptmp(P):.   n P ad  a1;a2 ;a3 . M. d. ad. Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C. Phương pháp:  Mặt phẳng (P) đi qua A. Mặt phẳng (P) có VTPT:. . Pt(P):.     n  AB,AC . ..  nQ. .. A  x  x 0   B  y  y 0   C  z  z 0  0. .   n  a, b . A  x  x 0   B  y  y 0   C  z  z 0  0. P) A. M. B.     n  AB, AC . C 7.

(8) Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai điểm A, B và vuông góc với mp(Q). Phương pháp:  Mặt phẳng (P) qua điểm A.  Hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mp(P) là:. .   AB .....n Q ....  .    n  AB,n Q . Nên mp(P) có VTPT:. A  x  x   B y  y.  nQ. P) B A. ..   C  z  z  0. 0 0 0 Q)  Ptmp(P): Dạng 6:  Viết phưong trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng d và d’.  Hoặc viết phưong trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d song song với đường thẳng d’. Phương pháp:. Md .. . Mặt phẳng (P) qua điểm. . Hai vectơ có giá song song  hoặc  nằm trên mp(P) là:. . Mp(P) có VTPT:. . Ptmp(P):.  n  ad ,ad ' .   ad .....ad ' .... .. .. A  x  x 0   B  y  y 0   C  z  z 0  0. Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A và đường thẳng d. Phương pháp:  Chọn điểm M thuộc đt d.  Mặt phẳng (P) qua điểm A.   . Hai vectơ có giá song song hoặc  nằm trên mp(P) là:. . Nên mp(P) có VTPT:. . Ptmp(P):.  n  AM,ad . AM .....ad .... .. .. A  x  x 0   B  y  y 0   C  z  z 0  0. Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng (P) là mp trung trực của đoạn thẳng AB. Phương pháp:    . A.  I  ...... Gọi I là trung điểm AB Mặt phẳng (P) qua điểm I..    n  AB Mặt phẳng (P) có VTPT . A  x  x 0   B  y  y 0   C  z  z 0  0 Ptmp (P):. P) .. I B. Dạng 9: Viết phương trình mp (P) đi qua điểm M và vuông góc với hai mp (Q) và (R). Phương pháp:  Mặt phẳng (P) qua điểm M. . Hai vectơ có giá song song hoặc  nằm trên mp(P) là:. . Nên mp(P) có VTPT:. . Ptmp(P):.  n  n Q ,n R .   n Q .....,n R ..... .. .. A  x  x 0   B  y  y 0   C  z  z 0  0. Vấn đề 4: Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu (S): Dạng 1: Lập phương trình mp(P) tiếp xúc mặt cầu (S) tại điểm A. Phương pháp:  Xác định tâm I của mc(S).  Mặt phẳng (P) qua điểm A.  . .  n IA . Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến A  x  x 0   B  y  y 0   C  z  z 0  0 Ptmp(P):. 8.

(9)  n  m;n; p . Dạng 2: Viết pt mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến Phương pháp:  Trước tiên: Ta xác định tâm I và bán kính r của mặt cầu.  Ptmp(P) có dạng: Ax+By+Cz+D=0. Vì mp(P) có VTPT.  n  m;n; p   mx  ny  pz  D 0 .. Do mp(P) tiếp xúc mc(S). . Chú ý:. và tiếp xúc mặt cầu (S).. I.  d  I;  P   r P).  A B A B    A  B .. Chú ý: Các kết quả thường dùng:.   d  ( P)  ad nP 1.   d // ( P)  ad  nP 2.   d  ( P)  ad  nP   d    a d  a. 4. 5. 6.. r = d(I,(P)).   d //   ad a   ( P)  (Q)  nP  nQ   ( P ) //(Q )  nP nQ. 3.. Điều kiện tiếp xúc: Mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S). Điều kiện tiếp xúc: Đường thẳng d tiếp xúc mặt cầu (S).  d ( I , ( P)) r.  d ( I , d ) r. với I là tâm mặt cầu (S) với I là tâm mặt cầu (S) r là bán kín mặt cầu (S) r là bán kín mặt cầu (S) Vấn đề 5: Khoảng cách: Dạng 1: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm M(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 là. d ( M , ( P )) . Ax0  By0  Cz0  D A2  B 2  C 2. Dạng 2(nâng cao): Khoảng cách từ một điểm M đến một đường thẳng d: . Xác định điểm M0 thuộc d và vtcp. . ADCT:.  a. của d ..    M 0M , a   d (M , )   a chéo nhau: Dạng 3(nâng cao): Khoảng cách giữa hai đường thẳng . Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Trước tiên ta xác định:.  1 có vtcp  2 có vtcp.  a1  a2. d(  1;  2) =.  1 và  2 :. và đi qua điểm M1 và đi qua điểm M2.     a1 , a2  .M 1M 2     a1 , a2   . 0. VẤN ĐỀ 6: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG. Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A,B.. 9.

(10) Phương pháp:  Đường thẳng d đi qua điểm A. .    a AB . Đường thẳng d có VTCP:  x  x0  at   y  y0  bt  z  z  ct 0 .  Pt tham số: . Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và song song với đường thẳng d’. Phương pháp:  Đường thẳng d đi qua điểm M. .   a ad ' . Đường thẳng d có VTCP: d  x  x0  at   y  y0  bt  z  z  ct 0 .  Pt tham số: . Chú ý: Hai đường thẳng song song cùng vectơ chỉ phương. Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mp(P). Phương pháp:  Đường thẳng d đi qua điểm M. .   a n P . Đường thẳng d có VTCP: d  x  x0  at   y  y0  bt  z  z  ct 0 .  Pt tham số: . Chú ý: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nhận VTPT của mặt phẳng làm VTCP. VẤN ĐỀ 7: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG.  x  x0  at   y  y0  bt  z  z  ct 0 . Tìm giao điểm của đường thẳng d: Phương pháp:  Gọi H là giao điểm của d và (P).. . Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ pt:. . Xét pt:. . và mp(P): Ax+By+Cz+D=0..  x  x0  at  y  y  bt  0   z  z0  ct  Ax+By+Cz+D=0. A  x0  at  +B  y0  bt  +C  z0  ct  +D=0. Giải pt (*) tìm t . x, y, z . (*).. tạo độ điểm H.. VẤN ĐỀ 8: XÁC ĐỊNH HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA M LÊN MP(P). Phương pháp:  Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mp(P).  Tìm giao điểm H của d và (P).  Điểm H chính là hình chiếu vuông góc của M lên (P).. d M. P). H. 1.

(11) Cần nhớ: Hình chiếu vuông góc của M lên (P) chính là giao điểm của đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P).. VẤN ĐỀ 9: TÌM ĐIỂM M’ ĐỐI XỨNG VỚI M QUA MP(P). Phương pháp:  Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mp(P).  Tìm giao điểm H của d và (P).  Do M và M’ đối xứng qua (P) nên H là trung điểm của đoạn thẳng MM”.. d M. xM  xM /   xH  2  xM / 2 x H  xM  yM  y M /     yH    yM / 2 y H  yM 2   zM  z M /  zM / 2 z H  z M   zH  2  . H. P). M/. M’=.. Cần nhớ: Hai điểm M và M’ đối xứng nhau qua (P) khi đó H là trung điểm của đoạn thẳng MM’. VẤN ĐỀ 10: XÁC ĐỊNH HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA M LÊN đường thẳng d. (d). Phương pháp:  Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d.  Tìm giao điểm H của d và (P).  Điểm H chính là hình chiếu vuông góc của M lên d.. . H M. Cần nhớ: Hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng d chính là giao điểm của đường thẳng d P) đi qua M và vuông góc với (P). VẤN ĐỀ 11: TÌM ĐIỂM M’ ĐỐI XỨNG VỚI M QUA đường thẳng d. Phương pháp:  Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d.  Tìm giao điểm H của d và (P).  Do M và M’ đối xứng qua d nên H là trung điểm (d) của đoạn thẳng MM’.. xM  xM /  x   H 2  xM / 2 x H  xM  y  y   M M/   yH    yM / 2 y H  yM 2   zM  zM /  zM / 2 z H  z M   zH  2  . H P). M. . M /. M’=.. Cần nhớ: Hai điểm M và M’ đối xứng nhau qua d khi đó H là trung điểm của đoạn thẳng MM’. VẤN ĐỀ 12: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG. Phương pháp: Bước 1:   Bước 2:. .  a Xác định điểm M thuộc d và VTCP  của d. Xác định điểm M’ thuộc d và VTCP a' của d’..     a,a' ......  Xét sự cùng phương của hai vectơ chỉ phương bằng cách tính  1.

(12) .      a,a' 0  Nếu  o o. .    a,a' thì cùng phương khi đó d song song với d hoặc d trùng với d’.. Nếu M thuộc d mà không thuộc d’ thì d song song d’. Nếu M thuộc d và cũng thuộc d’ thì d trùng với d’..     a,a' 0  a,a' không cùng phương khi đó d cắt d’ hoặc d và d’ chéo nhau. Nếu     thì   a,a' .MM ' 0  o Nếu  thì d và d’ cắt nhau.    a,a'  .MM ' 0  o Nếu  thì d và d’ chéo nhau.. VẤN ĐỀ 13: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MP.  x  x0  at   y  y0  bt  z  z  ct 0 . Phương pháp: Để xét vị trí tường đối của đt d: Ta làm như sau:  . A x0 Bước 1: Xét pt: Bước 2: Giải pt tìm t.. . o. Chú ý:. . và mp(P): Ax+By+Cz+D=0..  at  +B  y0  bt  +C  z 0  ct  +D=0. Pt(*) có một nghiệm t. . o. Pt (*) vô nghiệm . o. Pt(*) có vô số nghiệm t. (*).. d cắt mp(P) tại một điểm.. d song song với (P).. . d nằm trong (P).. 0t 1 voâ nghieäm. 0t =-2 voâ nghieäm.. 0t 0 voâ soá nghieäm. VẤN ĐỀ 14: CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH. 1/ Chứng tam giác ABC là tam giác vuông tại A. Cần nhớ: Tam giác ABC vuông tại A.      AB  AC  AB  AC AB.AC 0 Phương pháp:   AB  ...,AC .....  Tính    Tính AB.AC H.H  T.T  C.C 0    Suy AB  AC  Suy ra AB  AC .  Chú ý:. Kết luận tam giác ABC vuông tại A.    BA  BC  Nếu tam giác ABC vuông tại B    BC    BA.BC 0  Nếu tam giác ABC vuông tại C  C  CB  CA  CB CA.CB 0 2/ Chứng minh hai đường thẳngd và d’ VUÔNG  GÓC với nhau. d  d '  ad  ad '  ad .ad ' 0 Cần nhớ: 1.

(13) Phương pháp:     .  Đường thẳng d có VTCP: a=... Đường thẳng d’ có VTCP: a' =...  Tính a.a H.H  T.T  C.C 0   a  a. Suy ra: Kết luận d và d’ vuông góc với nhau.. 3/ Tìm tham số để đường thẳng d VUÔNG GÓC đường thẳng d’. Phương pháp:.     Do d  d '  ad  ad '  ad .ad' 0  .....  ...... ta giải pt tìm được tham số.. 4/ Chứng minh đường thẳng d SONG SONG với đường thẳng d’. Cần nhớ:  Hai đường thẳng song song không có điểm chung tức là mọi điểm thuộc đường thẳng này nhưng không thuộc đường thẳng kia.  Hai đường thẳng song song khi hai vectơ chỉ phương cùng phương với nhau. Phương pháp chứng minh hai đường thẳng d và d’ SONG SONG với nhau: Cách 1:.    a,a' Bước 1: Chứng minh hai vectơ  cùng phương:   chỉ phương  a,a' 0   Ta chứng minh  .. Bước 2: Chọn điểm M thuộc d rồi chứng minh M không thuộc d’. Rồi kết luận. Cách 2:.  a  a1;a2 ;a3   a'  a'1;a'2 ;a'3 . . a a1 a2   3 a'1 a'2 a'3. Bước 1: Lập tỉ số: Tức là cùng phương Bước 2: Chọn điểm M thuộc d rồi chứng minh M không thuộc d’. Rồi kết luận.. .. 5/ Tìm tham số m để đường thẳng d SONG SONG đường thẳng d’. Phương pháp:.  a  a1 ;a2 ;a3   a'  a'1 ;a'2 ;a'3  . Bước 1: Chỉ ra hai vectơ chỉ phương. a a a  1  2  3  a'1 a'2 a'3 Bước 2: Vì d //d’ nên a,a' cùng phương. , lập pt hoặc hệ pt để tìm m.. 6/ Tìm giao điểm của hai đường thẳng:. d:.  x  x0  at   y  y0  bt  z  z  ct 0 . và d’:.  x  x '0  a ' t '   y  y '0  b ' t '  z z '  c ' t ' 0 . Cách tìm: Bước 1:  Gọi I là giao điểm của d và d’.. 1.

(14)  x0  at  x '0  a ' t ' (1)   y0  bt  y '0  b ' t ' (2)  z  ct  z '  c ' t ' (3) 0  0.  Tọa độ giao điểm là nghiệm hệ pt: (*) Bước 2: Để giải hệ (*) ta đi giải hệ gồm pt (1) và (2), rồi thế t và t’ vào pt(3) thử lại..  x0  at x '0  a ' t ' (1) at  a ' t ' m   bt  b ' t ' n . Tìm t và t’.  y0  bt  y '0  b ' t ' (2).  Giải hệ pt  Thế t và t’ vào pt (3) nếu thỏa thì t và t’ là nghiệm của hệ (*), nếu không thỏa thì hệ (*) vô nghiệm.  Thế t và t’ vào pt của d hoặc của d’ để tìm tọa độ giao điểm I. 7/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ CẮT nhau. Phương pháp: Cách 1:  .  a Chỉ ra một điểm M thuộc d và một vectơ chỉ phương  của d. Chỉ ra một điểm M’ thuộc d’ và một vectơ chỉ phương a' của d’.       a,a' 0        a,a' .MM ' 0 Chứng minh: ..  Cách 2: Tìm giao điểm của d và d’ bằng cách giải hệ phương trình. 8/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ CHÉO nhau. Phương pháp:  .  a Chỉ ra một điểm M thuộc d và một vectơ chỉ phương của d. Chỉ ra một điểm M’ thuộc d’ và một vectơ chỉ phương a' của d’.      a,a'  .MM' 0  Chứng minh:  ..  VẤN ĐỀ 15: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG. Cách tính: Để tính khoảng cách giữa hai mp song song (P) và (Q) ta làm như sau:  Chọn điểm M thuộc (P).. d   P  ,  Q   d  M,  Q   . Ax 0  By 0  Cz 0  D. 2  VẤN ĐỀ 16: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG.  Chọn điểm M thuộc d.. A  B2  C2. .. d  d,d '  d  M,d ' .  . VẤN ĐỀ 17: ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG THẲNG. Cho đường thẳng d có phương trình tham số: Cần nhớ:  Đường thẳng là tập hợp vô số điểm..  x x0  at   y  y0  bt  z z  ct 0 . .. M  x 0  at; y 0  bt;z 0  ct .  Nếu chọn điểm M thuộc d thì điểm M có tọa độ là: VẤN ĐỀ 18: GÓC. 1/ Góc giữa hai đường thẳng là góc giữa hai vectơ chỉ phương.. .. 1.

(15)    a.a'  cos= cos a,a'    a . a'. . . Chú ý:. 00  90 0 .. 2/ Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai vectơ pháp tuyến..   n.n '  cos= cos n,n '    n . n'. . . 0 0 Chú ý: . 3/ Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến.. 0  90.  a.n  sin= cos a,n    a.n.  . 0 Chú ý: VẤN ĐỀ 19: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT PHẲNG (P) VÀ MẶT CẦU (S).  Bước 1: Xác định tâm I và bán kính r của mặt cầu (S).. . Bước 2: Tính khoảng cách d từ tâm I đến mp(P): o. TH1:. o. TH2:. o. TH3:. 0  90 0 .. d d  I,  P  . .. d  r  (P)  (S)=. (hay (P) và (S) không có điểm chung).. d r  (P) tiếp xúc cới mặt cầu (S).. d  r  (P) cắt (S) theo thiết diện là một đường tròn (C).. Cách xác định tâm và bán kính đường tròn(C). - Bước 1: Gọi H là tâm của (C). Khi đó H chính là giao điểm của đường thẳng d đi qua tâm I và vuông góc mp(P). - Bước 2: Gọi r’ là bán kính của (C). . 2. 2. 2. 2. 2. Khi đó: r ' r  d  r '  r  d . Cần nhớ: H là hình chiếu vuông góc của I lên (P) nên tam giác IMH vuông tại H. Với: r=IM, d=IH=. d  I,  P  .  Bài 1: Tìm tọa độ điểm M và tính. và r’=MH.. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN. OM. biết:. 1.

(16)     1. OM 5i   2j  7k.  2. OM  3k.     3. OM i  3j.  4. AMi 3j  k , A(1;-1;2).  5. AM  i  k , A(-1;-1;3).   4. AM  i  2j  k , A(0;-1;-2)  OM Bài 2: Tìm tọa độ điểm M và tính biết:   1. MA 2MB với A(2;1;0), B(-2;0;1).   2. -3MA 2MB với A(2;1;4), B(-2;3;1). 1 2 3. MA  MB 3 2 với A(2;1;0), B(-2;0;1). Bài 3:.   1. a  2;1; 4  , b   6; 0;3 .. Câu 1: Tính góc giữa hai vectơ: Câu 2: Xét sự cùng phương của các cặp vectơ sau..   1. a  1;1;1 , b  2;2;2  ,   2. a  2; 4;6  , b  2; 4; 0    3. a  1;3;1 , b  2; 7;2    4. a  1;2; 0  , b  2; 4; 0    5. a  0;1;2  , b  0; 4;8    6. a   1;2;9  , b  0;3;1.   2. a  0; 0;1 , b  2; 0;2 . ..   a  4; 4; 4  , b  3;3;3    a  1;3; 0  , b  2;  6; 0    a  1;  3;  1 , b   2;  7;  2    a  0; 4;  8 , b  0;  2; 4    a  0;  1;3 , b  0;2;6    a   5; 6; 9  , b  0;3;3. Bài 4: Cho tam giác ABC biết A(-4;-2;0), C(3;-2;1).  B(-1;-2;4),  1.. Tính góc giữa hai vectơ. 2.. Tính góc giữa hai vectơ. 3. Bài 5: Cho Bài 6: Cho Bài 7: Cho. AB, AC .   BA, BC .   CA, CB ..  Tính góc giữa haivectơ   a  m;6;  5 , b  m;  m;  1 . Tìm m để a  b .     a  m;3;  2  , b  m;  m;  1 a . Tìm m để  b .     a  m;1;6  , b  m;  m;1 a . Tìm m để  b .. Chứng minh tam giác vuông Bài 8: Cho ba điểm A(1;-3;0), B(1;-6;4), C(13;-3;0). Chứng minh tam giác ABC vuông. Bài 9: Cho ba điểm A(-1;1;2), B(0;1;1), C(1;0;4). Chứng minh tam giác ABC vuông. Bài 10: Cho ba điểm A(1;0;3), B(2;2;4), C(0;3;-2). Chứng minh tam giác ABC vuông. Bài 11: Cho ba điểm A(1;1;0), B(0;2;0), C(0;0;2). Chứng minh tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh tam giác cân. Bài 12: Cho tam giác ABC biết A(1;1;1), B(-1;1;0), C(3;1;2). 1. Chứng minh tam giác ABC cân tại đỉnh A. 2. Tính chu vi tam giác ABC. 3. Tính diện tích tam giác ABC. Bài 13: Cho tam giác ABC biết A(2;1;0), B(-1;0;1), C(0;3;-2). 1. Chứng minh tam giác ABC cân. 4. Tính chu vi tam giác ABC. 5. Tính diện tích tam giác ABC. Chứng minh tam giác đều Bài 14: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều. Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.. 1.

(17) Bài 15: Cho ba điểm A(1;1;0), B(0;1;1), C(1;0;1). Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều. Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành. Bài 16: Cho ba điểm A(-2;0;0), B(0;-2;0), C(0;0;-2). Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều. Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành. Bài 17: Cho ba điểm A(-3;-3;0), B(0;-3;-3), C(-3;0;-3). Chứng minh  ABC là tam giác đều. Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành. MẶT CẦU Xác định tâm và bán kính mặt cầu Bài 18: Xác định tâm và bán kính mặt cầu (S). 2. 2. 2. 1.  x-1   y  2    z  3 4 2. 2. 2. 2.  x+1   y  2    z  3 9 2. 2. 3.  x-2   y 2   z  1 2 2. 2. 4. x 2   y  3   z  3 36 2. 2. 5.  x+2    y  3  z 2 16 6. x 2  y 2  z2 3 Bài 19: Xác định tâm và bán kính mặt cầu (S).. 1. x 2  y 2  z 2  2x  4y  6z  2 0 2. x 2  y 2  z 2  2x  4y  6z  1 0 3. x 2  y 2  z 2  4x  2y  4z  2 0 4. x 2  y 2  z 2  x  y  z 0 5. x 2  y 2  z 2  3x  y  5z  2 0 6. x 2  y 2  z 2  2x  4z 0 7. x 2  y 2  z 2  4y  2z  1 0 8. x 2  y 2  z 2  2x  2 0 9. x 2  y 2  z 2  4y 0. Viết phương trình mặt cầu: Viết phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính Bài 20: Viết phương trình mặt cầu: 1. Viết phương trình mặt cầu (S) biết tâm I(2;-1;1) và bán kính bằng 3. 2. Cho ba điểm A(1;2;1), B(2;0;1), C(-1;0;-2). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là điểm A và bán kính bằng độ dài đoạn thẳng BC. Bài 21: Viết phương trình mặt cầu: 3. Viết phương trình mặt cầu (S) biết tâm I(-1;-1;-1) và đường kính bằng 16. 4. Cho ba điểm A(-1;2;1), B(2;0;-1), C(-1;0;-2). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là điểm B và đường kính bằng độ dài đoạn thẳng AC. Bài 22: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là điểm A(1;-2;3) và đi qua điểm B(0;2;-1). Bài 23: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa độ và đi qua điểm A(2;-1;9). Bài 24: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là điểm M(2;-1;3) và đi qua gốc tọa độ. Bài 25: Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB, A(1;2;3), B(-3;2;-1). Bài 26: Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính MN, M(1;-2;-3), N(-3;2;1). Bài 27: Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính EF, E(-1;4;-2), F(-3;2;2). Viết phương trình mặt cầu có tâm I và tiếp xúc mặt phẳng (P). Bài 28: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) và tiếp xúc mặt phẳng (P):2x-2y-z-1=0. Bài 29: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(-1;-2;-3) và tiếp xúc mặt phẳng (P):2x+2y+z-3=0. Bài 30(Đề thi đại học giao thông vận tải năm 99): Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa độ và tiếp xúc mặt phẳng (P): 16x-15y12z-75=0. Bài 31: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I là trung điểm AB và tiếp xúc mặt phẳng (P): 2x-2y-z-27=0. Biết A(1;2;-2), B(3;2;2). Bài 32: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I là trọng tâm tam giác ABC và tiếp xúc mặt phẳng (P): 2x-2y-z-27=0. Biết A(1;2;-2), B(3;2;2), C(2;2;9).. 1.

(18) Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm hay mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. Bài 33: Viết phương trình mặt cầu (S) qua 4 điểm A(2;0;0), B(0;4;0), C(0;0;0), O(0;0;0). Bài 34: Viết phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A(1;1;1), B(1;2;1), C(1;1;2), D(2;2;1). Bài 35: Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD, biết A(3;2;6), B(3;-1;0), C(0;-7;3), D(-2;1;-1). Bài 35(ĐH Huế 96): Cho bốn điểm A(1;0;1), B(2;1;2), C(1;-1;1), D(4;5;-5). Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng (P) hoặc mặt phẳng tọa độ hoặc trục tọa độ. Bài 36: Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A(0;1;0), B(1;0;0), C(0;0;1) và có tâm thuộc mặt phẳng (P): x+y+z-3=0. Bài 37: Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A(7;1;0), B(-3;-1;0), C(3;5;0) và có tâm thuộc mặt phẳng (P): 18x-35y-17z-2=0. Bài 38: Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) và có tâm thuộc mặt phẳng (P): 2x+2y+2z-6=0. Bài 39: Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A(1;2;-4), B(1;-3;1), C(2;2;3) và có tâm thuộc mặt phẳng (Oxy). Bài 40: Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm A(1;-5;-4), B(1;-3;1), C(-2;2;-3) và có tâm thuộc mặt phẳng (Oxz). Bài 41: Viết phương trình mặt cầu (S) qua hai điểm A(3;1;0), B(5;5;0) và có tâm thuộc trục Ox. Bài 42: Viết phương trình mặt cầu (S) qua hai điểm A(3;-1;2), B(1;1;-2) và có tâm thuộc trục Oz. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Mặt phẳng đi qua một điểm và có vectơ pháp tuyến Bài 43: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;2;3) và vuông góc với đường thẳng BC, biết B(-;2;1;3), C(-1;-2;-3). Bài 44: Cho hai điểm A(2;1;0), B(3;-1;0). Viết phương trình mặt (P) vuông góc với AB tại A. Bài 45: Cho ba điểm A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;2). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với BC. Bài 46: Cho hai điểm A(2;1;0), B(-2;-3;4). Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Bài 47: Cho hai điểm A(-2;3;0), B(-2;-3;-4). Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Bài 48: Cho hai điểm A(2;1;0), B(-4;-1;4). Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Bài 49: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ và vuông góc với đường thẳng. x 2  t  y 1  2t z 1  2t . d: . Bài 50: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua trung điểm đoạn thẳng AB và vuông góc với đường thẳng.  x t   y 1 z 1  2t . d: , biết A(1;2;3), B(3;2;1). Bài 51: Cho ba điểm A(2;1;0), B(3;-1;-2), C(1;-2;-1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với. x  1 y z 1   2 1 2 .. đường thẳng d: Bài 52: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;-2;3) và song song với mp(Q): 2x-2y-z-1=0. Bài 53: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ và song song với mặt phẳng (Q): 2x-y-10=0. Bài 54: Cho hai điểm M(-1;-2;-3), N(-3;-2;-1). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua trung điểm của đoạn thẳng MN và song song với mặt phẳng (Q): 3x-y+z-10=0. Bài 55: Cho ba điểm A(2;1;0), B(3;-1;-2), C(1;-2;-1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trọng tâm tam giác ABC và song song với mặt phẳng (Q): y-2z-1=0. Bài 56: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Bài 57: Cho ba điểm A(-2;0;0), B(0;-2;0), C(0;0;-2). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua ba điểm A, B, C. Bài 58: Cho ba điểm A(1;1;1), B(-1;-1;-1), C(0;1;0). Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Bài 59: Cho ba điểm A(-2;0;2), B(2;-2;0), C(0;-2;2). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua ba điểm A, B, C. Bài 60: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng A(0;1;1), B(-1;0;1), C(2;0;1). Bài 61: Cho ba điểm A(0;-1;-1), B(-1;1;1), C(2;0;-1). Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Bài 62: Cho hai điểm A(2;-1;0), B(-1;2;1) .Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm O, A, B . Bài 63: Cho ba điểm A(0;-1;-1), B(-1;1;1), C(4;3;-3). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trọng tâm tam giác ABC, gốc tọa độ và điểm A . Mặt phẳng qua một điểm và có hai vectơ có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng.. Bài 64: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A(2;0;-1) và đường thẳng d:. x 2  t  y 1  2t z 1  2t . .. 1.

(19) x  1 y z 1   2 1 2 .. Bài 65: Viết phương trình mặt phẳng(P) đi qua gốc tọa độ và chứa đt d: Bài 66: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2;-1;-3) và chứa trục Ox. Bài 67: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2;-1;-3) và chứa trục Oy. Bài 68: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2;-1;-3) và chứa trục Oz. Bài 69: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(2;-1;-1), B(1;0;1) và vuông góc với mặt phẳng (Q): 2x-y-z-1=0. Bài 70: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(1;1;1), B(2;1;1) và vuông góc với mặt phẳng (Q): 2x-y-1=0. Bài 71: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(0;1;0), B(1;0;1) và vuông góc với mặt phẳng (Q): 2x-3y-2z-1=0..  x 2  x  2  2t    y 2t , d':  y  4 z 1  2t z 3  t  . Bài 72: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đt cắt nhau d: Bài 73: Cho bốn điểm A(1;1;1), B(1;2;1), C(1;1;2), D(2;2;1). 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa AC và song song với BD. 2. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa DC và song song với AB. 3. Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa BC và song song với AD. Bài 74: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau. d:.  x  1  t x 1 y 2 z  4    , d':  y  t 2 1 3 z  2  3t . .. .. Bài 75: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d:. Bài 76: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d:. x 1 y 2 z 3   1 2 3 x 1  y  4  2t z 3  t . và song song với đường thẳng d’:. và song song với đường thẳng d’:. x 2  2t  y  1  t z 1 . x 1  t  y t z 1  t . x 3  3t  y 1  2t z  2 . .. ..  x 1   y 1  t z 3  t . Bài 77: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d: và song song với đường thẳng d’: . Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng . Bài 1: Tính khoảng cách từ điểm M(-1;2;-3) lần lượt đến các mặt phẳng sau: 1/ 2x-2y-z-10=0 2/ -2x-2y+10=0 3/ x-2y-2z=0 4/ 3x-2y-z+2=0 5/ x-y-1=0 6/ 2x-3z=0 Bài 2: Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P): -x+2y-2z-33=0 Bài 3: Tính khoảng cách từ trung điểm của đoạn AB đến mp(P): x-y-z-1=0 , với A(1;0;2),B(-1;2;4). Bài 4: Cho tam giác ABC với A(1;2;3), B(-1;-2;-3), C(3,-9,27) và mặt phẳng (P): 2x-2y-z=0. Tính khoảng cách từ tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC đến mặt phẳng (P). Bài 5: Cho tam giác ABC với A(1;-2;-3), B(-1;2;3), C(-3,-9,15) và mặt phẳng (P): 2x-2y-z=0. 1/ Tính khoảng cách từ tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC đến mặt phẳng (P). 2/ Tính khoảng cách từ trung điểm của đoạn thẳng AB đến mp(P). 3/ Tính khoảng cách từ trung điểm của đoạn thẳng BC đến mp(P). PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Dạng 1: Viết phương trình tham số và chính tắc đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt Bài 1: Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng đi qua 2 điểm A(1;2;-1), B(2;-3;1). Bài 2: Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng đi qua 2 điểm M(4;-2;0), N(0;-2;1). Bài 3: Cho tam giác ABC với A(1;-2;-3), B(-1;2;3), C(-3,-9,15). Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và trọng tâm G của tam giác ABC. Bài 4: Cho tam giác ABC với A(1;-2;-3), B(-1;2;3), C(-3,-9,15). Viết phương trình đường thẳng d đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB và trọng tâm G của tam giác ABC. Bài 5: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(-1;2;-1) và gốc tọa độ.. 1.

(20) Bài 6: Viết phương trình đường thẳng d đi qua 2 điểm A(1;2;3), B(-1;-2;-3). Bài 7: Viết phương trình đường thẳng d đi qua 2 điểm B(-1;2;3), C(-3,-9,15). Bài 8: Viết phương trình đường thẳng d đi qua 2 điểm B(-1;-2;-3), C(3,-9,27). Bài 9: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(-1;0;-2) và gốc tọa độ. CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP Bài 1: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm E(1;0;2), M(3;4;1) và N(2;3;4). 1/ Viết phương trình chính tắc của đường thẳng MN.. (). 2/ Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm E và vuông góc với đường thẳng MN. Bài 2: Trong không với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(1;2;3) và mặt phẳng (P) có phương trình : 2x-3y+6z+35=0 . 1/ Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mp(P) . 2/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M và song song với mp(P) . 3/ Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(P) . Bài 3: Trong không gian Oxyz cho điểm M(1;-2;0) , đường thẳng d có phương trình.  x 1  2t   y t z  1  3t . là : và mp(P) có phương trình là 2x-y+z=0 . 1/ Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P) . 2/ Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm M và vuông góc với mp(P). 3/ Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(P) . Bài 4: Trong không gian Oxyz cho các điểm M(1;-2;0), N(-3;4;2) và mặt phẳng (P) có phương trình : 2x+2y+z-7=0 . 1/ Viết phương trình đường thẳng MN. 2/ Tính khoảng cách từ trung điểm I của đoạn thẳng MN đến mặt phẳng (P). Bài 5: Trong không gian Oxyz cho điểm A(2;-1;3) và mặt phẳng (P) có phương trình :x-2y-2z-10=0. 1/ Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P). 2/ Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và vuông góc với mp(P). Bài 6: Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(4;3;2), B(3;0;0), C(0;3;0) và D(0;0;3) . 1/ Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và trọng tâm G của tam giác BCD. 2/ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng BC. Bài 7: Trong không gian Oxyz cho điểm A(3;-2;-2) và mp(P) có phương trình 2x-2y+z-1=0 . 1/ Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(P) . 2/ Viết phương trình của đường thẳng d đi qua điểm A và vuông góc với mp(P). 3/ Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Bài 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC với A(1;4;-1), B(2;4;3) và C(2;2;-1). 1/ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng BC. 2/ Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành..  x 1  2t   y  3  t z 6  t . Bài 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm M(1;0;2), N(3;1;5) và đường thẳng d có phương trình: . 1/ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d. 2/ Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm M và N. 3/ Tính khoảng cách giữa hai điểm M và N. Bài 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(-1;-1;0) và mặt phẳng (P) có phương trình: x+y-2z-4=0. 1/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M và song song với mp(P). 2/ Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mp(P). Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Bài 11: Trong không gian Oxyz cho hai điểm E(1;-4;5), F(3;2;7). 1/ Viết phương trình mặt cầu đi qua điểm F và có tâm là E. 2/ Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng EF. Bài 12: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(2;0;0), B(0;3;0), C(0;0;6). Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. 1/ Tìm tọa độ trọng tâm G. 2/ Viết phương trình mặt cầu đường kính OG. Bài 13: Trong không gian Oxyz cho điểm E(1;2;3) và mặt phẳng (P) có phương trình x+2y-2z+6=0. 1/ Viết phương trình mặt cầu có tâm là gốc tọa độ và tiếp xúc với mặt phẳng (P). 2/ Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm E và vuông góc với mp(P). Bài 14: Lập phương trình mặt cầu có tâm I(1;1;5) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) có phương trình 2x+2y+z+6=0 . Bài 15: Lập phương trình mặt cầu có tâm I(1;2;3) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) có phương trình x-2y+2z+12=0 .. 2.

(21) ( x  1)2  ( y  1)2  (z  5)2 25. Bài 16: Cho mặt cầu (S) có pt : 1/ Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu (S). 2/ Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm M(1;1;10).. x 2  y 2  z2  4 x  2 y  21 0. Bài 17: Cho mặt cầu (S) có pt : 1/ Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu (S). 2/ Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm M(1;-3;1). Bài 18: Cho mặt phẳng (P): 2x-2y-z-27=0 .Viết phương trình mặt cầu tâm là gốc tọa độ và mặt cầu tiếp xúc ,mặt phẳng (P). Bài 19: Cho mặt phẳng (P): 2x+2y-z-2=0 .Viết phương trình mặt cầu tâm là điểm I(1;0;2)và mặt cầu tiếp xúc ,mặt phẳng (P). Bài 20: Cho mặt phẳng (P): 2x+2y+z=0 .Viết phương trình mặt cầu tâm là điểm M(-1;0;2) và mặt cầu tiếp xúc ,mặt phẳng (P). Bài 21: Cho mặt phẳng (P): 2x-2y=0 .Viết phương trình mặt cầu tâm là điểm A(1;2;-2) và mặt cầu tiếp xúc ,mặt phẳng (P). TÌM TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Bài 1: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng:. 1/. 2/. d:.  x 1  t   y 3  t  z 2  t . và mp(P): 2x+y+2z=0.. d:.  x 12  4t   y 9  3t  z 1  t . và mp(P): 3x+5y-z-2=0=0..  x  2  t   y 1  2t  z  2t . 3/ d: và mp(P): x+2y-2z-9=0=0. Bài 2: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng:. 1/. d:. 2/. d:. 3/. d:. x  3 y 1 z  3   2 1 1 và mp(P): x+2y-z+5=0. x 2 y z 3   1 2 2 và mp(P): 2x+y-z-5=0. x  2 y 1 z  1   2 3  5 và mp(P): 2x+y+z-8=0.. TÌM TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG Bài 3: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và d’:. 1/. 2/. 3/. d:.  x 1  2t   y 2  t  z  1  3t . và d’:.  x 2  t '   y 1  2t '  z 1  t '   x  1  t   y  t  z  2  3t . x 1 y2 z 4   1 3 và d’: d:  2  x 0  x  2  2t '    y 1  y 1  z 1  t  z 0  . d:. và d’:. 2.

(22) 4/.  x 1  2t '   y 2  t '  z  1  3t ' . d:. x 2 y 1 z 1   1 2 1. d:.  x 1  t   y 3  t  z 2  t . và mp(P): 2x+y+2z=0.. d:.  x 12  4t   y 9  3t  z 1  t . và mp(P): 3x+5y-z-2=0=0.. d:.  x  2  t   y 1  2t  z  2t . d:.  x 1  2t   y 2  t  z  1  3t . và d’: TÍNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Bài 4: Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:. 1/. 2/. 3/. và mp(P): x+2y-2z-9=0=0. TÍNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG Bài 5: Tính góc giữa đường thẳng và đường thẳng. 1/. 2/. d:. 3/. d:. 4/. d:. và d’:.  x 2  t '   y 1  2t '  z 1  t '   x  1  t   y  t  z  2  3t . x 1 y2 z 4   2 1 3 và d’:  x 0  x  2  2t '    y 1  y 1  z 1  t  z 0   và d’:. x 2 y 1 z 1   1 2 1.  x 1  2t '   y 2  t '  z  1  3t ' . và d’: TÍNH GÓC GIỮA MẶT PHẲNG VÀ MẶT PHẲNG. Bài 6: Tính góc giữa hai mặt phẳng: 1/ (P): 2x-2y-z-10=0 và (Q): x-3y+4z-1=0 2/ (P): x+2y-1=0 và (Q): 3y-2z-5=0. 3/ (P): -x+2y-z+10=0 và (Q): x+2z-2=0. CHỨNG MINH 2 ĐƯỜNG THẲNG CẮT NHAU. Cách giải: Ta đi giải hệ phương trình tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng.. Ví dụ : Chứng minh hai đường thẳng d:. -. Xét hệ phương trình:.  x  3  2t   y  2  3t  z 6  4t . và d’: Giải.  x 5  t '   y  1  4t '  z 20  t ' .  3  2t 5  t ' (1)   2  3t  1  4t ' (2) 6  4 20  t ' (3) . cắt nhau .. .. 2.

(23) 2t  t ' 8   3t  4t ' 1. t 3  t '  2. Từ (1) và (2) suy ra . Thay giá trị t vào (3) ta thấy thỏa mãn . Vậy hai đường thẳng d và d’ cắt nhau tại M(3;7;18). Bài 1: Chứng các dường thẳng sau cắt nhau:. 1/. d:. 2/. d:. 3/. d:.  x 1  2t   y 2  t  z  1  3t . và d’:.  x 2  t '   y 1  2t '  z 1  t '   x  1  t   y  t  z  2  3t . x 1 y2 z 4   2 1 3 và d’:  x 0  x  2  2t '    y 1  y 1  z 1  t  z 0   và d’:. CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU. Để chứng minh hai đường thẳng d và d’ chéo nhau ta chứng minh: Với M thuộc d và M’ thuộc d’ .. Ví dụ : Chứng minh hai đường thẳng d:.  x 3  t   y 1  t  z 2  2t .  x  t '   y 2  3t '  z 2t ' . và d’: Giải. Đường thẳng d qua điểm M(3;1;2) có vectơ chỉ phương. -. Đường thẳng d’ qua điểm M’(0;2;0) có vectơ chỉ phương. -. Tính.      a, a ' (  8;  4; 2), MM ' (  3;1;  2)      a, a ' .MM ' 24  4  4  16 0  . Tính Vậy hai đường thẳng d và d’ chéo nhau. Bài 1: Chứng minh các đường thẳng sau chéo nhau:. 2/. chéo nhau.  a  1' 1' 2  .  a '   1;3; 2 . -. 1/.      a, a ' .MM ' 0   .. d:.  x  2t   y  5  3t  z 4 . d:.  x 1  t   y 2  2t  z 3t . và. .. .. x 1 y 2 z   2 1 d’: 2  x 1  t   y 3  2t  z 1 . và d’: III/ CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI NHAU. Cách giải : Chứng minh.    a.a ' =0. Bài 1: Chứng minh hai đường thẳng d:. (chứng minh tích vô hướng bằng 0).  x 1  t   y 2  3t  z 3  t . và d’:.  x 2  2t '   y  2  2t '  z 1  4t ' . vuông góc với nhau. 2.

(24) Bài 2: Chứng minh hai đường thẳng d:.  x 5  t   y  3  2t  z 4t . Bài 3: Chứng minh hai đường thẳng d:. x 1 y 2 z   2 1 1. và d’:.  x 9  2t   y 13  3t  z 1  t . vuông góc với nhau. x y 5 z  4   3 1 và d’:  2. chéo nhau. BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ ÔN THI TÔT NGHIỆP -----------------------------------------------------------------Bài 1: Cho mặt cầu (S) có đường kính AB biết rằng A(6;2;-5), B(-4;0;7). 1/ Tìm tọa độ tâm I, bán kính r và viết phương trình mặt cầu (S). 2/ Lập phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S) tại A. 3/ Lập phương trình mặt phẳng (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại B.. ( x  3)2  ( y  2)2  ( z  1) 2 100. Bài 2: Cho mặt cầu (S): và mặt phẳng (P): 2x-2y-z+9=0. 1/ Xác định tâm và bán kính mặt cầu (S). 2/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi tiếp xúc mặt cầu và song song mặt phẳng (P). 3/ Viết phương trình mặt cầu (S’) tâm trùng với mặt cầu (S) và tiếp xúc mặt phẳng (P). Bài 3: Cho ba điểm A(1;0;1), B(0;1;0), C(0;1;1). a/ Viết phương trình mặt phẳng (ABC). c/ Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm O,A,B,C. Bài 4: Lập phương trình ngoại tiếp tứ diện OABC biết A(-1;2;3), B(3;-4;5), C(5;6;-7). Bài 5: Cho bốn điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(-2;1;-1). a/ Chứng mính bốn điểm A,B,C,D là bốn đỉnh một tứ diện. b/ Tìm góc giữa hai đường thẳng AB và CD. c/ Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra độ dài đường cao hạ từ đỉnh A của tứ diện. Bài 6: Cho bốn điểm A(-2;6;3), B(1;0;6), C(0;2;-1), D(1;4;0). a/ Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện. b/ Tính độ dài đường cao AH của tứ diện ABCD. c/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa AB và song song với CD. Bài 7: Cho bốn điểm A(3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1), D(-1;1;2). a/ Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện. b/ Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A và tiếp xúc mặt phẳng (BCD). c/ Tìm tọa độ tiếp điểm của (S) và mặt phẳng (BCD). Bài 8: Cho bốn điểm A(1;0;-1), B(3;4;-2), C(4;-1;1), D(3;0;3). a/ Chứng minh bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng. b/ Viết phương trình mặt phẳng (ABC) c/ Viết phương trình mặt cầu tâm là điểm D và tiếp xúc với mp(ABC). d/ Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. e/ Tính thể tích tứ diện ABCD..  x 1  t   y t  z  t .  x 2t '   y  1  t '  z t ' . Bài 9: Cho hai đường thẳng d: và d’: . a/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ chéo nhau. b/ Tính góc giữa hai đường thẳng d và d’ c/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và song song với d’..  x  1  3t   y 1  2t  z 3  2t .  x t '   y 1  t '  z  3  2t ' . Bài 10: Cho hai đường thẳng d: và d’: . a/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ cùng thuộc một mặt phẳng. b/ Tính góc giữa hai đường thẳng d và d’ c/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d’. Bài 11: Cho bốn điểm A(-1;2;0), B(-3;0;2), C(1;2;3), D(0;3;-2). a/ Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và phương trình tham số của đường thẳng AD. b/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa AD và song song với BC. Bài 12 : Cho hai mặt phẳng (P): 4x+y+2z+1=0 và (Q): 2x-2y+z+3=0. a/ Chứng minh hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau. b/ Tính góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q). c/ Tìm điểm M’ đối xứng với M(4;2;1) qua mặt phẳng (P). d/ Tìm điểm N’ đối xứng với N(0;2;4) qua măth phẳng (Q).. 2.

(25)  x 1  2t   y 2  t  z 3  t . Bài 13: Cho đường thẳng d: và mặt phẳng (P): 2x+y+z=0. a/ Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). b/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A và vuông góc với d. c/ Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P). Bài 14: Lập phương trình tham số của đường thẳng d. a/ Đi qua hai điểm A(1;0;-3), B(3;-1;0)..  x 1  2t   y 2  t  z 3  t . b/ Đi qua điểm M(2;3;-5) và song song với đường thẳng d’: c/ Đi qua gốc tọa độ và vuông góc mặt phẳng (P): 2x-5y-1=0. Bài 15: Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P). a/ Đi qua điểm A(1;-2;1) và vuông góc với AB biết B(-2;6;0).. ..  x 1  2t   y 2  t  z 3  t . b/ Đi qua trung điểm của A, B và vuông góc với đường thẳng d: c/ Đi qua gốc tọa độ và song song với mp(Q): 2x-8z-99=0. d/ Qua ba điểm A(1;0;1), B(1;1;0), C(0;1;1). e/ Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(1;2;1), B(3;2;3).. f/ Chứa đường thẳng d:.  x 1  2t   y 2  t  z 3  t . và song song đường thẳng d’:.  x 1  2t   y 2  t  z 3  t . biết A(1;2;3), B(1;-2;-3)..  x 1  t   y 2  2t  z 3 . ..  x 1  t   y 2  2t  z 3 . g/ Chứa hai đường thẳng d: và d’: . h/ Đi qua hai điểm A(1;0;1), B(5;3;2) và vuông góc mặt phẳng (R): 2x-y+z-7=0..  x 1  t   y 2t  z 3  t .  x 2  2t '   y 3  4t '  z 5  2t ' . Bài 16: Cho hai đường thẳng d: và d’: . a/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ song song với nhau. b/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d’..  x 1  t   y 2  3t  z 3  t .  x 2  2t '   y  2  t '  z 1  3t ' . Bài 17: Cho hai đường thẳng d: và d’: . a/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ cắt nhau. Tìm tọa độ giao điểm của d và d’. b/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d’..  x 5  t   y  3  2t  z 4t .  x 9  2t '   y 13  3t '  z 1  t ' .  x 1  2t   y  1  3t  z 5  t .  x 1  3t '   y  2  2t '  z  1  2t ' . Bài 18: Cho hai đường thẳng d: và d’: . a/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ vuông góc với nhau. . b/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d’.. Bài 19: Cho hai đường thẳng d:. và d’:. .. 2.

(26) a/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ chéo nhau. b/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d’. c/ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;1) và vuông góc với d. Bài 20: Cho điểm A(1;-1;1) và mặt phẳng (P): 2x-2y-z-1=0. 1/ Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P). Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với (P). 2/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A và song với (P). Tính khoảng cách giữa (P) và (Q). 3/ Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với (P). Xác định hình chiếu vuông góc của A lên (P)..  x 1  2t   y  t  z  2 . Bài 22: Cho điểm M(-2;1;0) và đường thẳng d: . 1/ Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua M và song với d. 2/ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và vuông góc với d. Xác định hình chiếu vuông góc của M lên d. Bài 23: Cho ba điểm A(1;-2;1), B(-1; 0;1), C(3;2;-5). Gọi I là trung điểm AB và G là trọng tâm tam giác ABC. 1/ Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm G, I. 2/ Viết phương trình mặt cầu tâm I và qua G. 3/ Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mp(ABC) tại G. 4/ Tìm điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.. x 1 y z 1   2 1 1 .. Bài 24: Cho hai điểm A(1;2;2), B(3;-2;0) và đường thẳng d: 1/ Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A,B. 2/ Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với d.Tìm giao điểm H của (P) và d. Tính độ dài đoạn AH. 3/ Gọi I là trung điểm của AB. Viết phương trình đường thẳng OI. Bài 25: Cho điểm A(0;-1;2) và mặt phẳng (P): x-2y-2z-1=0. 1/ Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (P). Tính độ dài đoạn AH. 2/ Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với (P). 3/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A và song song với (P). Tính khoảng cách giữa (P) và (Q). CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC Bài 1: ĐHBK năm 96. Cho tứ diện ABCD với A(3;2;6), B(3;-1;0), C(0;-7;3), D(-2;1;-1). 1. Chứng minh rằng ABCD có các cặp cạnh đối vuông góc với nhau. 2. Tính góc giữa đường thẳng AD và mặt phẳng (ABC). 3. Thiết lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.. x 2  y 2  z 2  2x  4y  4z 0. Bài 2: CĐSP Hà Nội 97. Cho mặt cầu (S) có pt: . 1. Xác định tọa độ tâm và tính bán kính của mặt cầu. 2. Gọi A, B, C lần lượt là giao điểm của(khác gốc tọa độ) của mặt cầu với các trục Ox, Oy, Oz. Viết phương trình mặt phẳng (ABC). 3. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ tâm mặt cầu đến mp(ABC). Xác định tọa độ điểm H. Bài 3: ĐHGTVT 99. Cho mặt phẳng (P): 16x-15y-12z+75=0. 1. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa độ và tiếp xúc mặt phẳng (P). 2. Tìm tọa độ tiếp điểm H của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S). 3. Tìm điểm đối xứng với gốc tọa độ O qua mặt phẳng (P) Bài 4: ĐH Huế 96. Cho bốn điểm A(1;0;1), B(2;1;2), C(1;-1;1), D(4;5;-5). 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua D và vuông góc với mp(ABC). 2. Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD. Xác định tâm và bán kính mặt cầu (S). Tính diện tích xung quanh của mặt cầu (S). Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp mặt cầu (S). Bài 5: ĐH GTVT 98. Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) có phương trình:. x 2  y 2  z2  2x  4y  6z  2 0. và song song với mặt phẳng. (Q): 4x+3y-12z+1=0. Bài 6: ĐH Thủy lợi 96. Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) có phương trình:. x 2  y 2  z 2  10x  2y  26z  113 0 x  5 y  1 z  13 d:   , 2 3 2 Bài 7: ĐH KT 95. Cho mặt cầu (S): (P): 2x-2y-z+9=0.. và song song với hai đường thẳng:.  x=-7+3t  d': y=-1+2t z=8 .  x  3. 2. . 2. 2.   y  2    z  1 100. và mặt phẳng. 2.

(27) 1. Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C). 2. Xác định tâm và tính bán kính đường tròn (C).. x 2  y 2  z 2 4. Bài 8: ĐH Luật 2000. Cho mặt cầu (S): và mặt phẳng (P): x+z=2. Chứng minh rằng (P) cắt mặt cầu (S). Xác định tọa độ tâm và bán kính đường tròn (C) là giao tuyến của (P) và (S). Bài 9: ĐH SP KB-D 2000. Trong không gian Oxyz cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ sao cho A trùng với gốc tọa độ O, B(1;0;0), D(0;1;0), A’(0;0;1). Gọi M là trung điểm AB và N là tâm của hình vuông ADD’A’.Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua các điểm C, D’, M, N.. x 2  y 2  z 2  2x  2 0. Bài 10: ĐHDL 97. Cho mặt cầu (S): và mặt phẳng (P): x+z+1=0. 1. Tính bán kính và tọa độ tâm mặt cầu (S). 2. Tính bán kính và tọa độ tâm của đường tròn (C) là giao của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S). Bài 11: ĐHSP Vinh 99. Cho điểm I(1;2;-2) và mặt phẳng (P): 2x+2y+z+5=0. Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I sao cho giao của (S) và (P) là đường tròn có chi vi bằng 8  . Bài 12: ĐHBK KA 2000. Cho hính chóp S.ABC với S(3;1;-2), A(5;3;-1), B(2;3;-4), C(1;2;0). 1. Chứng minh rằng: Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều và ba mặt bên là các tam giác vuông cân. 2. Tìm tọa độ điểm D đối xứng với điểm C qua đường thẳng AB.. 3.. Viết phương trình mặt cầu tâm D và có bán kính. r  18 . x  3 y 1 z  3   2 1 1 .. Bài 13: ĐHCĐ 97. Cho mặt phẳng (P): x+2y-z+5=0 và đt d: 1. Tìm tọa độ giao điểm H của d và (P). 2. Tính góc giữa d và (P). 3. Viết phương trình đường thẳng d’ nằm trong (P) đi qua giao điểm H và vuông góc.  ad '.  ad '  ad '.     ad   ad '  ad ,n P    nP. với đường thẳng d. HD: Gọi là VTCP của d’ khi đó . Bài 14: ĐHNN 97. Cho hai điểm A(1;2;3), B(4;4;5). Viết phương trình đường thẳng AB. Tìm giao điểm H của đường thẳng AB và mặt phẳng (Oxy). HD: Mp(Oxy) có pt: z=0.. x 1  y 2t z 4  2t . Bài 15: ĐH Huế 98: Cho điểm A(2;-1;1) và đường thẳng d: 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với d. 2. Xác định điểm B đối xứng với A qua d.. .. Bài 16: ĐH Vinh 98. Lập phương trình đường thẳng d qua A(3;2;1) vuông góc với đường thẳng d’: d’.. x y z 3   2 4 1. Bài 17: ĐHTM 2000. Lập phương trình đường thẳng d qua A(2;-1;0) vuông góc với đường thẳng d’: Bài 18: ĐHTM 98. Cho mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(0;0;1), B(-1;-2;0) và C(2;1;-1). 1. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P). 2. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (P). 3. Xác định chân đường cao hạ từ A xuống BC của tam giác ABC. Tính thể tích tứ diện OABC.. x 3t  y  1  9t z  1  6t . HD: Để xác định chân đường cao ta có 2 cách: Cách 1: Viết pt đt BC, H thuộc BC suy ra tọa độ điểm H, áp dụng Viết pt đt BC, viết pt mp(Q) qua A và vuông góc với BC, tìm giao điểm H của đt BC và mp(Q). Bài 19: HVNH TPHCM 99: Cho bốn điểm A(-1;3;2), B(4;0;-3), C(5;-1;4), D(0;6;1). 1. Viết pt tham số đường thẳng BC. Hạ AH vuông góc BC. Tìm tọa độ điểm H. 2. Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (BCD). Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).. và cắt đường thẳng. ..   AH.BC 0 . Cách 2:. 2.

(28) x 1  2t  y 2  t z 3t . Bài 20: ĐHBK HN 98. Cho đường thẳng d: và mp(P): 2x-y-2z+1=0. 1. Tìm tọa độ các điểm thuộc d sao cho khoảng cách từ mỗi điểm đó đến mặt phẳng (P) bằng 1. 2. Gọi K là điểm đối xứng với của điểm I(2;-1;3) qua đường thẳng d. Xác định tọa độ điểm K.. x 1 y  2 z  2   3 2 2 .. Bài 21: ĐHBK 97. Cho điểm M(1;2;-1) và đường thẳng d: Gọi N là điểm đối xứng với M qua đường thẳng d. Tính độ dài đoạn thẳng MN.. x 1  t  y t z  1 . Bài 22: Xác định hình chiếu vuông góc của A(1;2;-1) lên d: . Bài 23: HV Kỹ Thuật QS 98. Cho bốn điểm A(4;1;4), B(3;3;1), C(1;5;5), D(1;1;1). 1. Tìm hình chiếu vuông góc của D lên mặt phẳng (ABC). 2. Tính thể tích tứ diện ABCD. 3. Viết phương trình đường vuông góc chung của AC và BD. Bài 24: ĐHQG TPHCM 99: Cho điểm A(-2;4;3) và mặt phẳng (P): 2x-3y+6z+19=0 1. Viết phương trình tổng quát của mp(Q) qua A và song song (P). Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q). 2. Hạ AH vuông góc với (P). Viết phương trình tham số của đường thẳng AH. Tìm tọa độ điểm H.. Bài 25: ĐHBK 99. Cho đường thẳng d: 1. Tìm giao điểm của d và (P). 2. Tính góc giữa d và (P).. x 1 y  1 z  3   1 2 2. x  2 y 1 z  1   2 3 5. Bài 26: Cho đường thẳng d: 1. Tìm giao điểm của d và (P). 2. Tính góc giữa d và (P).. và mặt phẳng (P): 2x-2y+z-3=0.. và mặt phẳng (P): 2x+y+z-8=0..  x 2  2t   y  1  t z 1 . x 1  y 1  t ' z 3  t ' . Bài 27: ĐH NN 97. Cho hai đường thẳng d: và d’: . 1. Chứng minh d và d’ chéo nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và song song d’. 2. Tình khoảng cách giữa d và d’. 3. Viết phương trình đường vuông góc chung của d và d’.. x 1 y  1 z  2 x-2 y  2 z   , d':   2 3 1 2 5 2.. Bài 29: PVBC TPHCM 99. Cho hai đt d: 1. Chứng minh d và d’ chéo nhau. 2. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và song song d’. 3. Viết phương trình đường vuông góc chung của d và d’.. x=-1+t x 1 y2 z 4    , d': y=-t 2 1 3 z=-2+3t . Bài 30: ĐHKTQD 97. Cho hai đường thẳng d: 1. Chứng minh d và d’ cắt nhau. Tìm giao điểm của d và d’. 2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua d và d’.. Bài 31: ĐHSP Qui Nhơn 99. Cho hai đường thẳng 1. Chứng minh d và d’ song song với nhau.. .. x 5  2t x=3+2t   d : y 1  t , d': y=-3-t z 5  t z=1-t   .. 2.

(29) 2. Viết phương trình mặt phẳng chứa d và d’. Bài 32: HVBCVT 94. Viết phương trình đường thẳng qua điểm M(-1;2;-3) vuông góc với giá vectơ và cắt đường thẳng. d:. x  1 y 1 z  3 x 1 y  2 z  3     3 2  5 . ĐS: 2 3 6. Bài 33: ĐHQG 96. Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(0;1;1) vuông góc với đường thẳng d:. x  1  y  1  t z  t . x  1 y 2 z   3 1 1. và cắt đường. x y 1 z 1   1 1 2 .. thẳng d’: .ĐS: Bài 34: ĐHDL 97. Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(1;-1;0) và cắt cả hai đường thẳng d:. x y 1 x  1 x+1 y z   , d':   1 1 2 1 2 1 . Chú ý: Chuyển d và d’ về pt tham số với hai tham số khác nhau.. Bài 35: Viết phương trình đường thẳng qua gốc tọa độ và cắt cả hai đường thẳng. x 1  2t x=2+s   y 2  t , d': y=-3+2s z  3  3t z=1+3s   .. d: Bài 36: ĐHTCKT 99. Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A(1;1;-2) song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d’.. (P): x-y-z-1=0, d: . x 1 y  1 z  2   2 1 3 ..  a  ad         a  n P ,ad  a  n P.  HD: Ta có: Bài 37: ĐHDL 98. Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A(0;1;1) và vuông góc với hai đường thẳng.  x  1 x  1 y 2 z  d1 :   , d 2 : y  1  t 8 1 1 z  t  . Bài 38: ĐHXD 98. Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P):. x+y+z=1 và cắt cả hai đường thẳng:. x  3t x  1 y 1 z  d1 :   , d 2 : y  1 2 1 1 z  1  3t  . x 1  t x=0   d : y  t , d': y=0 z 0 z=2+s   HD: Gọi B, C là. Bài 39: Viết phương trình đường thẳng l qua điểm A(1;1;0) và cắt cả hai đường thẳng: giao điểm của l với d và d’. A, B, C thẳng hàng ….. Bài 40: ĐH Huế 99. Cho ba điểm A(1;3;2), B(1;2;1), C(1;1;3). Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác đó. Bài 41: HVNH 2000. Cho hai điểm A(0;0;-3), B(2;0;-1) và mặt phẳng (P): 3x-8y+7z-1=0. 1. Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng qua hai điểm A, B với mặt phẳng (P). 2. Tìm tọa độ điểm C nằm trên (P) sao cho tam giác ABC là tam giác đều.. HD. Gọi pháp thế.. C  (P).  C  x 0 ; y 0 ;z 0  , AÙp duïng: AB=BC AC=AB .  2 2 1 ÑS: C  2;-2;-3  , C   ;  ;    3 3 3 . Chú ý: Ta giải hệ pt bằng phương. 2.

(30) x y  1 z 3   3 4 1 .. Bài 42: ĐHKT 97. Cho điểm A(1;2;1) và đường thẳng d: 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d. 2. Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d. Bài 43: ĐHTL 99. Cho điểm A(-1;2;3) và hai mặt phẳng (P): x-2=0, (Q): y-z-1=0. Viết phương trình mặt phẳng (R) qua A và vuông góc với hai mặt phẳng (P) và (Q). Bài 44: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(1;2;3), B(2;2;3) và vuông góc với mặt phẳng (Q): x+2y+3z+4=0. Bài 45: Viết pt mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, biết. 1. A(5;1;3), B(1;6;2), C(5;0;4), D(4;0;6). 2. A(1;1;1), B(-2;0;2), C(0;1;-3), D(4;-1;0). Bài 46. ĐHCĐ 99. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(2;1;4), B(-1;-3;5). Bài 47. ĐHDL 97. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ và vuông góc với hai mặt phẳng (Q): x-y+z-7=0, (R): 3x+2y-12z+5=0. CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC SAU NĂM 2000. x  1 y 3 z  3   1 2 1. Bài 48. KA 2005. Cho đường thẳng d: trình đường thẳng d’đi qua A nằm trong (P) và vuông góc d’.. và mp(P): 2x+y-2z+9=0. Tìm giao điểm A của d và (P). Viết phương. x=12+3t x  1 y  2 z 1  d:   , d': y=-t 3 1 2 z=10+2t  . Mặt phẳng tọa độ Oxz cắt hai đường thẳng d,. Bài 49: KD 2005. Cho hai đường thẳng d’ lần lượt tại A, B. Tính diện tích tam giác OAB (O là gốc tọa độ).. Bài 50: KD 2006. Cho điểm A(1;2;3) và hai đường thẳng d: đường thẳng. . x 2 y 2 z  3   2 1 1. và d’:. x  1 y  1 z 1   1 2 1 . Viết phương trình. qua điểm A vuông góc với d và cắt d’.. d: Bài 51: KA 2007. Cho hai đường thẳng 1. Chứng minh d và d’ chéo nhau.. x y 1 z2   2 1 1 , d’:. x  1  2t  y 1  t z 3 . .. 2. Viết phương trình đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng (P) và cắt cả hai đt d, d’ Bài 52: KB 08. Cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1). 1. Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C.. x y z 1   1 1 2. Bài 53: CĐ 08. Cho điểm A(1;1;3) và đường thẳng d: 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với d. Tìm tọa độ M thuộc d sao cho tam giác MOA cân tại O. Bài 54. KD 08. Cho bốn điểm A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3), D(3;3;3). 1. Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D. 2. Tìm tọa độ tam đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.. x 1 y z 2   2 1 2 . Xác định hình chiếu vuông góc của A lên d.. Bài 55: KD 08. Cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng d: Bài 56. KB 09. Cho tứ diện ABCD có A(1;2;1), B(-2;1;3), C(2;-1;1), D(0;3;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P).. x 2  y 2  z 2  2x  4y  6z  11 0. Bài 57. KA09. Cho mặt phẳng (P): 2x-2y-z-4=0 và mặt cầu (S): . Chứng minh (P) cắt (S) theo một đường tròn. Xác định tâm và bán kính đường tròn. Bài 58. KD 09. Cho ba điểm A(2;1;0), B(1;2;2), C(1;1;0) và mp(P): x+y+z-20=0. Xác định điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P).. x2 y 2 z   1 1 1. Bài 58. KD 09. Cho đường thẳng d: và mp(P): x+2y-3z+4=0. Viết phương trình đường thẳng nằm trong (P) cắt d và vuông góc với d. Bài 59. CĐ 09. Cho hai mặt phẳng (P): x+2y+3z+4=0, (Q): 3x+2y-z+1=0 và điểm A(1;1;1). Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng (P) và (Q). Bài 59. CĐ 09. Cho tam giác ABC với A(1;1;0), B(0;2;1) và trọng tâm G(0;2;-1). Viết phương trình đường thẳng d qua điểm C và vuông góc mặt phẳng (ABC). Bài 60. CĐ 10. Cho hai điểm A(1;-2;3), B(-1;0;1) và mp(P): x+y+z+4=0.. 3.

(31) 1.. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A lên (P).. 2. Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính bằng và mặt cầu tiếp xúc mặt phẳng (P).. AB 6 , có tâm thuộc đường thẳng AB. x y 1 z   2 1 1. Bài 60. CĐ 10. Cho đường thẳng d: và mp(P): 2x-y+2z-2=0. 1. Viết phương trình mặt phẳng chứa d và vuông góc với (P). 2. Tìm điểm M thuộc d sao cho M cách đều gốc tọa độ O và (P). Bài 61: KD 10. Cho hai mặt phẳng (P): x+y+z-3=0, (Q): x-y+z-1=0. Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với mp(P) và (Q) và khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (R) bằng 2.. Bài 61: KD 10. Cho hai đường thẳng d: bằng 1.. x 3  t  y t z t . d': và. x 2 y 1 z   2 1 2 . Xác định M thuộc d sao cho khoảng cách từ M đến d’.  x  2 y  z  4 0  x  2 y  2 z  4 0 Bài 62: Trong không gian cho 2 đường thẳng d: .  x 1  t   y 2  t  z 1  2t . vaø d’: mặt phẳng (P) chứa d và song song d’ . ĐS: MP(P): 2x-z=0 .ĐH KA 02 Baøi 63: Trong khoâng gian cho ba ñieåm A(2;0;1) ,B(1;0;0),C(1;1;1) vaø maët phaúng (P) : x+y+z-2=0 Haõy vieát phöông trình maët caàu ñi qua A,B,C vaø coù taâm thuoäc maët phaúng (P) . ÑH KD 04 . ÑS:. x 2  y 2  z 2  2 x  2 z  1 0. . Haõy vieát phöông trình. .. x  1 y 3 z  3   1 2 1. Baøi 64: Trong khong gian cho ñt d: vaø maët phaúng (P): 2x+y-2z+9=0 . 1. Hãy tìm tọa độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) baèng 2 . ÑH KA 05 . ÑS: I(-3;5;7),I’(3;-7;1) .. x  1 y  2 z 1   1 2 Baøi 65: Trong khoâng gian cho 2 ñt d: 3.  x  y  z  2 0  x  3 y  12 0 vaø d’: . 1/ Chứng minh d và d’ song song với nhau . 2/ Viết phương trình mặt phẳng chứa cả d và d’ . ĐS : 15x+11y-17z-10=0 . ÑH KD 05 .. x y  1 z 1   1 1 Baøi 66:Trong khoâng gian cho ñieåm A(0;1;2) vaø 2 ñt d: 2. vaø d’: mặt phẳng (P) qua A , đồng thời song song với d và d’ . ĐS : x+3y+5z-13=0 . Baøi 67: Trong khoâng gian cho ñieåm A(1;2;3) vaø ñt d: d . ÑS : A’(-1;-4;1) .. x y  1 z 2   1 1 Baøi 68: Cho 2 ñt d: 2. x 2 y2 z 3   2 1 1.  x 1  t   y  1  2t  z 2  t . . Vieát phöông trình. . Hãy tìm điểm A’ đối xứng với A qua.  x  1  2t   y 1  t  z 3 . vaø d’: . 1/ Chứng minh d và d’ chéo nhau . 2/ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ , đồng thời song song với d và d’ .. x 1 y2 z   1 2 . Hãy viết phương trình đường Baøi 69: Trong khoâng gian cho hai ñieåm A(1;4;2),B(-1;2;4) vaø ñt d:  1 x y 2 z 2   1 1 . thẳng d’ đi qua trọng tâm của tam giác OAB và vuông góc với mp(OAB) .ĐS : 2 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. 3.

(32)  x 1  2t   y 2  t z 3t . Bài 1: Cho d: và mp(P): 2x-y-2z+1=0. 1. Tìm các điểm M thuộc d sao cho khoảng cách từ M đến (P) bằng 3. 2. Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua giao điểm của d và (P) và gốc tọa độ. Bài 2: Cho hai điểm A(0;0;4), B(2;0;0) và mp(P): 2x+y-z+5=0. 1. Chứng tỏ rằng mặt phẳng (P) cắt đường thẳng AB. 2. Viết phương trình mặt cầu (S) qua ba điểm O, A, B, biết khoảng cách từ tâm I đến mp(P). 5 6. bằng . Bài 3: Cho hai điểm A(0;0;1), B(2;0;1). Tìm điểm C nằm trên mặt phẳng Oxy sao cho cho tam giác ABC là tam giác đều. Bài 4: Cho hai điểm A(3;0;2), B(1;-1;0) và mp(P): x-2y+2z-3=0. Tìm điểm C thuộc (P) sao cho tam giác ABC cân tại B. Bài 5: Cho 3 điểm A(1; 1; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 2) . 1. Lập phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ và vuông góc với BC. Tìm giao điểm của đường thẳng AC và mp(P). 2. Chứng minh tam giác ABC vuông. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC Bài 6: Cho hai điểm A(0;0;-3), B(2;0;-1), (P): 3x-8y+7z-1=0. Tìm C thuộc (P) sao cho tam giác ABC là tam giác đều. Bài 7: Cho hai điểm A(6;0;0), B(0;3;0) và mp(P): x+2y-3z-6=0 1. Lập phương trình đường thẳng nằm trong (P) vuông góc với AB tại A. 2. Tìm C thuộc (P) sao tam giác ABC vuông tại A..  x t  d : y 1  2t z 2  t . Bài 8: Cho và (P): x+3y+2z+2=0. Viết phương trình đường thẳng d song song với (P) đi qua điểm M(2;2;4) và cắt d. Bài 9: Tìm trên trục Oz điểm M cách đều điểm A(2;3;4) và mặt phẳng (P): 2x+3y+z-17=0.. x 1 y z 2   3 2 3 .. Bài 10: Cho hai điểm A(1;-3;-1), B(-2;1;3) và đường thẳng d: 1/ Chứng minh đường thẳng OA vuông góc với đường thẳng d. 2/ Tìm điểm C nằm trên trục Oz sao cho tam giác ABC vuông tại C. Bài 11: Cho điểm A(3;-2;-2) và mp(P): 2x-2y+z-1=0. 1. Tính khoảng cách từ A đến (P). 2. Viết phương trình mặt phẳng (Q) sao cho (Q) song song với (P) và khoảng cách giữa (P) và (Q) bằng khoảng cách từ A đến (P). Bài 12: Cho M(1;2;3) và mp(P): 2x-3y+6z+35=0. Tính khoảng cách từ M đến (P). Tìm tọa độ điểm N thuộc trục Ox sao cho độ dài đoạn thẳng NM bằng khoảng cách từ điểm M đến mp(P).. 3.

(33) PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Dạng 1: Đường thẳng qua một điểm cắt và vuông góc với một đường thẳng:. Bài toán 1: Cho đường thẳng.  x  x0  at  d :  y  y0  bt  z  z  ct 0 . và điểm A(x;y;z). Nhận xét:phương trình đường thẳng d’ qua A cắt d và vuông góc với d. Viết Vì đường thẳng d cắt d’ nên ta gọi B là giao điểm của d và d’. -. Khi đó đường thẳng d’ trùng với đường thẳng AB. Nếu ta tìm được B thì ta viết được pt đt AB.. Để tìm B ta dựa vào tính chất sau: Phương pháp: Cách 1:. -.       d  d '  a    a. AB 0. Bước 1: Gọi B là giao điểm của d và d’, vì B thuộc d nên:.    x0  at ; y0  bt ; z0  ct    AB  ...;...;....    d  d '  a    a. AB 0 . Giải pt ta tìm được t rồi suy ra B. Bước 2: Vì. Bước 3: Viết phương trình đường thẳng AB đó chính là pt đường thẳng d’. Cách 2:. Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với d. Bước 2: Tìm giao điểm B của d và (P). Bước 3: Viết phương trình đường thẳng AB đó chính là pt đường thẳng d’. Dạng 2: Đường thẳng qua một điểm cắt một đường thẳng và vuông góc với một đường thẳng.. Bài toán 2: Cho đường thẳng.  x x0  at  d :  y  y0  bt  z z  ct 0 . và đường thẳng d’:.  x  x '0  a ' t '  d ' :  y  y '0  b ' t '  z z '  c ' t ' 0 . và điểm A(x;y;z). Viết phương trình đường. . thẳng qua A cắt d và vuông góc d’. Nhận xét: -. Vì đường thẳng. . cắt d nên ta gọi B là giao điểm của. . và d.. . -. Khi đó đường thẳng trùng với đường thẳng AB. Nếu ta tìm được B thì ta viết được pt đt AB. . -. Để tìm B ta dựa vào tính chất sau:.     d '    a'  .a' 0. 1.

(34) Phương pháp: Cách 1: -. -.  và d. Vì B thuộc d nên:    x0  at ; y0  bt ; z0  ct    AB  ...;...;....      d '    a'  .a' 0 Giải pt ta tìm được t rồi suy ra B. Bước 2: Vì Bước 3: Viết phương trình đường thẳng AB đó chính là pt đường thẳng  . Bước 1: Gọi B là giao điểm của. Cách 2: Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với d’. Bước 2: Tìm giao điểm B của d và (P).. Bước 3: Viết phương trình đường thẳng AB đó chính là pt đường thẳng  . Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và cắt 2 đường thẳng.. Bài toán 3: Cho đường thẳng.  x x0  at  d :  y  y0  bt  z z  ct 0 . và đường thẳng d’:.  x  x '0  a ' t '  d ' :  y  y '0  b ' t '  z z '  c ' t ' 0 . và điểm A(x;y;z). Viết phương trình đường. thẳng  qua A cắt d và d’. Nhận xét: -. Vì đường thẳng. . . cắt d và d’ nên ta gọi B, C là giao điểm của. với d và d’ .. Khi đó để viết pt đường thẳng  ta đi viết pt đường thẳng AB hoặc pt đường thẳng AC hoặc pt đường thẳng BC. -  Để tìm tọa độ điểm B và C ta dựa vào tính chất sau: Do A, B, C thẳng hàng nên hai vectơ -. AB, AC. cùng phương.. Để tìm t và t’ ta lập tỉ số hoặc áp dụng.  AB, AC. cùng phương.    AB, AC  0  0;0;0    .. Phương pháp: -. Bước 1: Gọi B, C lần lượt là giao điểm của. . với d và d’. Vì. B  d , C  d'. nên:.    x0  at ; y0  bt ; z0  ct    C  x '0  a ' t '; y '0  b ' t '; z '0  c ' t '    AB  ...;...;....    AC  ...;...;....  AB, AC Bước 2: Do A, B, C thẳng hàng nên hai vectơ. cùng phương. Ta lập tỉ số, rồi lập hệ pt với ẩn là t và t’, giải hệ pt với ẩn là t và t’ tìm được t và t’. Suy ra B và C. Bước 3: Viết pt đường thẳng AB hoặc AC hoặc BC. Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng cắt hai đường thẳng và song song với một đường thẳng. 2.

(35)  x x0  at  d :  y  y0  bt  z z  ct 0 . Bài toán 4: Cho đường thẳng. Viết phương trình đường thẳng Nhận xét: -.  . Vì đường thẳng. đó để viết pt đường thẳng -. và đường thẳng d’:. AB, a ''. và đường thẳng.  x  x ''0  a '' t ''  d '' :  y  y ''0  b '' t ''  z  z ''  c '' t '' 0 . cắt d và d’, song song với đường thẳng d’’.. . cắt d và d’ nên ta gọi A, B là giao điểm của. với d và d’ .Khi. ta đi viết pt đường thẳng AB.. Để tìmtọa  độ điểm A và B ta dựa vào tính chất sau: Do. hai vectơ vectơ -. .  x  x '0  a ' t '  d ' :  y  y '0  b ' t '  z z '  c ' t ' 0 . cùng phương.. Để tìm t và t’ ta lập tỉ số hoặc áp dụng.  AB, a ''. . song song với d’’ nên.     AB, a '' 0  0;0;0    .. cùng phương. Phương pháp: -. Bước 1: Gọi A, B là giao điểm của. . với d và d’.  A  x0  at ; y0  bt ; z0  ct     B  x '0  a ' t '; y '0  b ' t '; z '0  c ' t '   AB  ...;...;.....  AB, a ''. Bước 2: Do  song song với d’’ nên hai vectơ vectơ cùng phương.Ta lập tỉ số, rồi lập hệ pt với ẩn là t và t’, giải hệ pt với ẩn là t và t’ tìm được t và t’. Suy ra A và B. Bước 3: Viết pt đường thẳng AB. Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng cắt hai đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng.. Bài toán 5: Cho đường thẳng phương trình đường thẳng. .  x x0  at  d :  y  y0  bt  z z  ct 0 . và đường thẳng d’:.  x  x '0  a ' t '  d ' :  y  y '0  b ' t '  z z '  c ' t ' 0 . và mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D=0. Viết. cắt d và d’, vuông góc với (P).. Nhận xét: -. Vì đường thẳng. đó để viết pt đường thẳng -. cắt d và d’ nên ta gọi A, B là giao điểm của. AB, nP. . với d và d’ .Khi. ta đi viết pt đường thẳng AB.. Để tìmtọađộ điểm A và B ta dựa vào tính chất sau: Do. hai vectơ vectơ -.  . cùng phương.. Để tìm t và t’ ta lập tỉ số hoặc áp dụng.  AB, nP. . vuông góc với (P) nên. cùng phương.    AB, nP  0  0;0;0   . .. 3.

(36) Phương pháp: -. Bước 1: Gọi A, B là giao điểm của. . với d và d’.  A  x0  at ; y0  bt ; z0  ct     B  x '0  a ' t '; y '0  b ' t '; z '0  c ' t '   AB  ...;...;.....  AB, nP. Bước 2: Do  vuông góc với (P) nên hai vectơ cùng phương. Ta lập tỉ số, rồi lập hệ pt với ẩn là t và t’, giải hệ pt tìm được t và t’. Suy ra A và B. Bước 3: Viết pt đường thẳng AB. Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với hai đường thẳng.. Bài toán 6: Cho đường thẳng.  x x0  at  d :  y  y0  bt  z z  ct 0 . và đường thẳng d’:.  x  x '0  a ' t '  d ' :  y  y '0  b ' t '  z z '  c ' t ' 0 . và điểm A(x;y;z). Viết phương trình đường. . thẳng qua A vuông góc với d và d’. Nhận xét: -. Vì. -. . Ta có:. vuông  góc  với d và d’ nên hai vectơ có giá vuông góc với. . là.  ad , ad '. ..   a  ad      a    ad , ad '  a  ad '. Như vậy để tìm VTCP của đường thẳng ta đi tìm hai vectơ có giá vuông góc với đường thẳng rồi lấy tích có hướng của hai vectơ đó ta được vectơ chỉ phương của đường thẳng. Chú ý: . a ,a. Nếu d và d’ song song với nhau thì hai vectơ d d ' cùng phương, ta phải giải bằng cách khác. Dạng 7: Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với hai đường thẳng.. và mặt phẳng (P). Viết pt đường thẳng. . qua A(x;y;z) nằm trong (P) và vuông góc với. vuông góc với d và nằm trong (P) nên hai vectơ có giá vuông góc với giá. . là. Bài toán 7: Cho đường thẳng d. Nhận xét:.   ad , nP. Ta có:. Vì. .  x x0  at  d :  y  y0  bt  z z  ct 0 . ..    a  ad     a  ad , nP  a  nP. 4.

(37) Bài toán 8: Cho đường thẳng với d. Nhận xét:.  ad , nP. Ta có:. Vì. .  x x0  at  d :  y  y0  bt  z z  ct 0 . và mặt phẳng (P). Viết pt đường thẳng. vuông góc với d và song song (P) nên hai vectơ có giá vuông góc với giá.  . qua A(x;y;z) song song với (P) và vuông góc. là. ..    a  ad    a  ad , nP   a  nP. .. Dạng 8: Viết phương trình đường vuông góc của của hai đường thẳng chéo nhau:.  x x0  at  d :  y  y0  bt  z z  ct 0 . Bài toán 9: Cho đường thẳng chéo nhau vuông góc chung của hai đường thẳng d và d’. Nhận xét:. . -. Do d’.. -. Như vậy để viết pt đường thẳng. Bước 1: Gọi A, B là giao điểm của Bước 2: Suy ra tọa độ điểm A, B.. . . và. ta đi viết pt đường thẳng AB..   d     d '. Để tìm tọa độ điểm A, B ta dựa vào tính chất sau: Phương pháp: -.   d    d '. là đường vuông góc chung của d và d’ nên:. . và d’:.  x x '0  a ' t '  d ' :  y  y '0  b ' t '  z z '  c ' t ' 0 . . Viết phương trình đường thẳng. . là đường. cắt d và d’. Do đó ta gọi A, B là giao điểm của. . với d và.  a  a.   a .a 0  ad    d  ad ' a .ad ' 0. với d và d’..   d     d '.  a  a.   a .a 0  ad    d  ad ' a .ad ' 0. -. Bước 3: Tìm t và t’ áp dụng. -. Bước 4: Viết phương trình đt AB đó chính là pt đt. .. .. TÌM TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Bài 1: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng:. 1/. 2/. d:.  x 1  t   y 3  t  z 2  t . và mp(P): 2x+y+2z=0.. d:.  x 12  4t   y 9  3t  z 1  t . và mp(P): 3x+5y-z-2=0=0.. 5.

(38)  x  2  t   y 1  2t  z  2t . 3/ d: và mp(P): x+2y-2z-9=0=0. Bài 2: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng:. 1/. d:. 2/. d:. x  3 y 1 z  3   2 1 1 và mp(P): x+2y-z+5=0. x 2 y z 3   1 2 2 và mp(P): 2x+y-z-5=0. x  2 y 1 z  1   2 3  5 và mp(P): 2x+y+z-8=0.. 3/ d: TÌM TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG Bài 3: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và d’:. 1/. 2/. 3/. d:.  x 1  2t   y 2  t  z  1  3t . và d’:.  x 2  t '   y 1  2t '  z 1  t '   x  1  t   y  t  z  2  3t . x 1 y2 z 4   1 3 và d’: d:  2  x 0  x  2  2t '    y 1  y 1  z 1  t  z 0  . d:. và d’:. x 2 y 1 z 1   1 2 1.  x 1  2t '   y 2  t '  z  1  3t ' . 4/ d: và d’: TÍNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Bài 4: Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:. 1/. 2/. d:.  x 1  t   y 3  t  z 2  t . và mp(P): 2x+y+2z=0.. d:.  x 12  4t   y 9  3t  z 1  t . và mp(P): 3x+5y-z-2=0=0..  x  2  t   y 1  2t  z  2t . 3/ d: và mp(P): x+2y-2z-9=0=0. TÍNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG Bài 5: Tính góc giữa đường thẳng và đường thẳng. 1/. d:.  x 1  2t   y 2  t  z  1  3t . và d’:.  x 2  t '   y 1  2t '  z 1  t ' . 6.

(39) 2/. d:. 3/. d:.  x  1  t   y  t  z  2  3t . x 1 y2 z 4   2 1 3 và d’:  x 0  x  2  2t '    y 1  y 1  z 1  t  z 0   và d’:. x 2 y 1 z 1   1 2 1.  x 1  2t '   y 2  t '  z  1  3t ' . 4/ d: và d’: TÍNH GÓC GIỮA MẶT PHẲNG VÀ MẶT PHẲNG Bài 6: Tính góc giữa hai mặt phẳng: 1/ (P): 2x-2y-z-10=0 và (Q): x-3y+4z-1=0 2/ (P): x+2y-1=0 và (Q): 3y-2z-5=0. 3/ (P): -x+2y-z+10=0 và (Q): x+2z-2=0. CHỨNG MINH 2 ĐƯỜNG THẲNG CẮT NHAU. Cách giải: Ta đi giải hệ phương trình tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng.. Ví dụ : Chứng minh hai đường thẳng d:. -. Xét hệ phương trình:.  x  3  2t   y  2  3t  z 6  4t . và d’: Giải.  x 5  t '   y  1  4t '  z 20  t ' .  3  2t 5  t ' (1)   2  3t  1  4t ' (2) 6  4 20  t ' (3) . 2t  t ' 8   3t  4t ' 1. cắt nhau .. .. t 3  t '  2. Từ (1) và (2) suy ra . Thay giá trị t vào (3) ta thấy thỏa mãn . Vậy hai đường thẳng d và d’ cắt nhau tại M(3;7;18). Bài 1: Chứng các dường thẳng sau cắt nhau:. 1/. 2/. d:. d:.  x 1  2t   y 2  t  z  1  3t . và d’:.  x 2  t '   y 1  2t '  z 1  t '   x  1  t   y  t  z  2  3t . x 1 y2 z 4   2 1 3 và d’:  x 0  x  2  2t '    y 1  y 1  z 1  t  z 0  . 3/ d: và d’: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU.. Để chứng minh hai đường thẳng d và d’ chéo nhau ta chứng minh: Với M thuộc d và M’ thuộc d’ ..      a, a ' .MM ' 0   .. 7.

(40) Ví dụ : Chứng minh hai đường thẳng d:.  x 3  t   y 1  t  z 2  2t .  x  t '   y 2  3t '  z 2t ' . và d’: Giải. chéo nhau.  a  1' 1' 2  .  a '   1;3; 2 . -. Đường thẳng d qua điểm M(3;1;2) có vectơ chỉ phương. -. Đường thẳng d’ qua điểm M’(0;2;0) có vectơ chỉ phương. -. Tính.      a, a ' (  8;  4; 2), MM ' (  3;1;  2)      a, a ' .MM ' 24  4  4  16 0   .. .. Tính Vậy hai đường thẳng d và d’ chéo nhau. Bài 1: Chứng minh các đường thẳng sau chéo nhau:. 1/. d:.  x  2t   y  5  3t  z 4 . và.  x 1  t   y 2  2t  z 3t . x 1 y 2 z   2 1 d’: 2  x 1  t   y 3  2t  z 1 . 2/ d: và d’: III/ CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI NHAU Cách giải : Chứng minh.    a.a ' =0. (chứng minh tích vô hướng bằng 0). Bài 1: Chứng minh hai đường thẳng d:.  x 1  t   y 2  3t  z 3  t . Bài 2: Chứng minh hai đường thẳng d:.  x 5  t   y  3  2t  z 4t . và d’:.  x 2  2t '   y  2  2t '  z 1  4t ' . và d’:. x 1 y 2 z   2 1 1.  x 9  2t   y 13  3t  z 1  t . vuông góc với nhau. vuông góc với nhau. x y 5 z  4   3 1 và d’:  2. Bài 3: Chứng minh hai đường thẳng d: chéo nhau BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ ÔN THI TÔT NGHIỆP -----------------------------------------------------------------Bài 1: Cho mặt cầu (S) có đường kính AB biết rằng A(6;2;-5), B(-4;0;7). 1/ Tìm tọa độ tâm I, bán kính r và viết phương trình mặt cầu (S). 2/ Lập phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S) tại A. 3/ Lập phương trình mặt phẳng (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại B.. ( x  3)2  ( y  2)2  ( z  1) 2 100. Bài 2: Cho mặt cầu (S): và mặt phẳng (P): 2x-2y-z+9=0. 1/ Xác định tâm và bán kính mặt cầu (S). 2/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi tiếp xúc mặt cầu và song song mặt phẳng (P). 3/ Viết phương trình mặt cầu (S’) tâm trùng với mặt cầu (S) và tiếp xúc mặt phẳng (P). Bài 3: Cho ba điểm A(1;0;1), B(0;1;0), C(0;1;1). a/ Viết phương trình mặt phẳng (ABC). c/ Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm O,A,B,C. Bài 4: Lập phương trình ngoại tiếp tứ diện OABC biết A(-1;2;3), B(3;-4;5), C(5;6;-7). Bài 5: Cho bốn điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(-2;1;-1). a/ Chứng mính bốn điểm A,B,C,D là bốn đỉnh một tứ diện. b/ Tìm góc giữa hai đường thẳng AB và CD. c/ Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra độ dài đường cao hạ từ đỉnh A của tứ diện. Bài 6: Cho bốn điểm A(-2;6;3), B(1;0;6), C(0;2;-1), D(1;4;0). a/ Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện. b/ Tính độ dài đường cao AH của tứ diện ABCD.. 8.

(41) c/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa AB và song song với CD. Bài 7: Cho bốn điểm A(3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1), D(-1;1;2). a/ Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện. b/ Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A và tiếp xúc mặt phẳng (BCD). c/ Tìm tọa độ tiếp điểm của (S) và mặt phẳng (BCD). Bài 8: Cho bốn điểm A(1;0;-1), B(3;4;-2), C(4;-1;1), D(3;0;3). a/ Chứng minh bốn điểm A,B,C,D không đồng phẳng. b/ Viết phương trình mặt phẳng (ABC) c/ Viết phương trình mặt cầu tâm là điểm D và tiếp xúc với mp(ABC). d/ Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. e/ Tính thể tích tứ diện ABCD..  x 1  t   y t  z  t .  x 2t '   y  1  t '  z t ' . Bài 9: Cho hai đường thẳng d: và d’: . a/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ chéo nhau. b/ Tính góc giữa hai đường thẳng d và d’ c/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và song song với d’..  x  1  3t   y 1  2t  z 3  2t .  x t '   y 1  t '  z  3  2t ' . Bài 10: Cho hai đường thẳng d: và d’: . a/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ cùng thuộc một mặt phẳng. b/ Tính góc giữa hai đường thẳng d và d’ c/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d’. Bài 11: Cho bốn điểm A(-1;2;0), B(-3;0;2), C(1;2;3), D(0;3;-2). a/ Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và phương trình tham số của đường thẳng AD. b/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa AD và song song với BC. Bài 12 : Cho hai mặt phẳng (P): 4x+y+2z+1=0 và (Q): 2x-2y+z+3=0. a/ Chứng minh hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau. b/ Tính góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q). c/ Tìm điểm M’ đối xứng với M(4;2;1) qua mặt phẳng (P). d/ Tìm điểm N’ đối xứng với N(0;2;4) qua măth phẳng (Q)..  x 1  2t   y 2  t  z 3  t . Bài 13: Cho đường thẳng d: và mặt phẳng (P): 2x+y+z=0. a/ Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). b/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A và vuông góc với d. c/ Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P). Bài 14: Lập phương trình tham số của đường thẳng d. a/ Đi qua hai điểm A(1;0;-3), B(3;-1;0)..  x 1  2t   y 2  t  z 3  t . b/ Đi qua điểm M(2;3;-5) và song song với đường thẳng d’: c/ Đi qua gốc tọa độ và vuông góc mặt phẳng (P): 2x-5y-1=0. Bài 15: Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P). a/ Đi qua điểm A(1;-2;1) và vuông góc với AB biết B(-2;6;0).. ..  x 1  2t   y 2  t  z 3  t . b/ Đi qua trung điểm của A, B và vuông góc với đường thẳng d: c/ Đi qua gốc tọa độ và song song với mp(Q): 2x-8z-99=0. d/ Qua ba điểm A(1;0;1), B(1;1;0), C(0;1;1). e/ Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(1;2;1), B(3;2;3).. biết A(1;2;3), B(1;-2;-3).. 9.

(42) f/ Chứa đường thẳng d:.  x 1  2t   y 2  t  z 3  t . và song song đường thẳng d’:.  x 1  2t   y 2  t  z 3  t .  x 1  t   y 2  2t  z 3 . ..  x 1  t   y 2  2t  z 3 . g/ Chứa hai đường thẳng d: và d’: . h/ Đi qua hai điểm A(1;0;1), B(5;3;2) và vuông góc mặt phẳng (R): 2x-y+z-7=0..  x 1  t   y 2t  z 3  t .  x 2  2t '   y 3  4t '  z 5  2t ' . Bài 16: Cho hai đường thẳng d: và d’: . a/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ song song với nhau. b/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d’..  x 1  t   y 2  3t  z 3  t .  x 2  2t '   y  2  t '  z 1  3t ' . Bài 17: Cho hai đường thẳng d: và d’: . a/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ cắt nhau. Tìm tọa độ giao điểm của d và d’. b/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d’..  x 5  t   y  3  2t  z 4t .  x 9  2t '   y 13  3t '  z 1  t ' .  x 1  2t   y  1  3t  z 5  t .  x 1  3t '   y  2  2t '  z  1  2t ' . Bài 18: Cho hai đường thẳng d: và d’: . a/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ vuông góc với nhau. . b/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d’.. Bài 19: Cho hai đường thẳng d: và d’: . a/ Chứng minh hai đường thẳng d và d’ chéo nhau. b/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d’. c/ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;1) và vuông góc với d. Bài 1: Lập phương trình tham số của đường thẳng d. 1/ Đường thẳng d đi qua hai điểm A(1;0;-3), B(3;-1;0)..  x 1  2t   y 2  t  z 3  t . 2/ Đường thẳng d đi M(2;3;-5) và song song với đường thẳng d’: 3/ Đường thẳng d đi qua gốc tọa độ và vuông góc mặt phẳng (P): 2x-5y-1=0. Bài 2: Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P). 1/ Mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;-2;1) và vuông góc với AB biết B(-2;6;0). 2/ Mặt phẳng (P) đi qua trung điểm của A, B và vuông góc với đường thẳng. d:. ..  x 1  2t   y 2  t  z 3  t . biết A(1;2;3), B(1;-2;-3). 3/ Mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ và song song với mp(Q): 2x-8z-99=0. 4/ Mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(1;0;1), B(1;1;0), C(0;1;1). 5/ Mặt phẳng (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(1;2;1), B(3;2;3). Bài 3: Cho hai điểm (1;-2;0), B(1;2;2). Lập phương trình mặt cầu (S). 1/ Mặt cầu (S) có tâm A và đi qua điểm B. 2/ Mặt cầu (S) có đường kính AB. BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN. 1.

(43) Dạng 1: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng . Bài 1:.  x 1  2t   y 2  t  z 3t . 1/ Cho đường thẳng d: và mặt phẳng (P): 2x-y+5z-4=0=0 Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P).. 2/ Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d:.  x  3  2t   y 1  t  z  1  4t . và mp (P): 2x-y+4z+10=0.. x  2 y 1 z  1   3 5 Bài 2: Cho đường thẳng d: 2. và mặt phẳng (P): 2x+y+z-8=0 a/ Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d. b/ Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P).. x  3 y  4 z 3   2 1 Bài 3: Cho đường thẳng d: 1. và mặt phẳng (P): 2x+y+z-1=0 Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P).. x  1 y  2 z 1   1 1 1. Bài 4: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d: và mặt phẳng (P): x+y+z-2=0. Dạng 2: Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng . Bài 1: Tính khoảng cách từ điểm M(-1;2;-3) lần lượt đến các mặt phẳng sau: 1/ 2x-2y-z-10=0 2/ -2x-2y+10=0 3/ x-2y-2z=0 4/ 3x-2y-z+2=0 5/ x-y-1=0 6/ 2x-3z=0 Bài 2: Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P): -x+2y-2z-33=0 Bài 3: Tính khoảng cách từ trung điểm của đoạn AB đến mp(P): x-y-z-1=0 , với A(1;0;2),B(-1;2;4). Bài 4: Cho tam giác ABC với A(1;2;3), B(-1;-2;-3), C(3,-9,27) và mặt phẳng (P): 2x-2y-z=0. Tính khoảng cách từ tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC đến mặt phẳng (P). Bài 5: Cho tam giác ABC với A(1;-2;-3), B(-1;2;3), C(-3,-9,15) và mặt phẳng (P): 2x-2y-z=0. 1/ Tính khoảng cách từ tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC đến mặt phẳng (P). 2/ Tính khoảng cách từ trung điểm của đoạn thẳng AB đến mp(P). 3/ Tính khoảng cách từ trung điểm của đoạn thẳng BC đến mp(P). PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Dạng 1: Viết phương trình tham số và chính tắc đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt Bài 1: Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng đi qua 2 điểm A(1;2;-1), B(2;-3;1). Bài 2: Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng đi qua 2 điểm M(4;-2;0), N(0;-2;1). Bài 3: Cho tam giác ABC với A(1;-2;-3), B(-1;2;3), C(-3,-9,15). Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và trọng tâm G của tam giác ABC. Bài 4: Cho tam giác ABC với A(1;-2;-3), B(-1;2;3), C(-3,-9,15). Viết phương trình đường thẳng d đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB và trọng tâm G của tam giác ABC. Bài 5: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(-1;2;-1) và gốc tọa độ. Bài 6: Viết phương trình đường thẳng d đi qua 2 điểm A(1;2;3), B(-1;-2;-3). Bài 7: Viết phương trình đường thẳng d đi qua 2 điểm B(-1;2;3), C(-3,-9,15). Bài 8: Viết phương trình đường thẳng d đi qua 2 điểm B(-1;-2;-3), C(3,-9,27). Bài 9: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(-1;0;-2) và gốc tọa độ. Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và song song với một đường thẳng cho trước.. Bài 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua gốc tọa độ và song song với đường thẳng d’:.  x  3  2t   y 1  t  z  1  4t . Bài 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(-1;0;2) và song song với đường thẳng d’:. ..  x  3  2t   y 1  3t  z  1  4t . .. 1.

(44) x  2 y 1 z  1   2 3 5. Bài 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB và song song với đường thẳng d’: với A(1;2;3), B(-3;0;-1) Bài 4: Cho tam giác ABC với A(1;-2;-3), B(-1;0;3), C(-3,-9,2). Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác ABC và song song với đường thẳng. x  3 y  4 z 3   1 2 1 .. d’: Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một mặt phẳng cho trước. Bài 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua gốc tọa và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình: 2x-3y-4z-1=0. Bài 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(1;-2;0) và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình: 2x+y-2z-2=0. Bài 3: Cho hai điểm A(1;-2;3) và B(-1;2;0) . Viết phương trình đường thẳng d đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB và vuông góc mặt phẳng (P): x-2y-1=0. Bài 4: Cho A(0;-1;1), B(1;0;1), C(2;4;-2) .Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc mặt phẳng (P): 2y-2z-1=0. Bài 5: Cho A(0;-1;1), B(1;0;1), C(2;4;-2) .Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc mặt phẳng đi qua 3 điểm A,B,C. Bài 6: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(-1;2;-1) và vuông góc mp(Oxy). Bài 7: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm B(1;0;-2) và vuông góc mp(Oxz). Bài 8: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(0;-2;2) và vuông góc mp(Oyz). PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm  không  thẳng hàng.. . Cách giải: Mp(ABC) có vectơ pháp tuyến là n  AB  AC Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng A(0;1;1), B(-1;0;1), C(2;0;1). Bài 2: Cho ba điểm A(0;-1;-1), B(-1;1;1), C(2;0;-1). Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Bài 3: Cho hai điểm A(2;-1;0), B(-1;2;1) .Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm O, A, B . Bài 4: Cho ba điểm A(0;-1;-1), B(-1;1;1), C(4;3;-3). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trọng tâm tam giác ABC, gốc tọa độ và điểm A . Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và song song với một mp cho trước. Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ và song song mp(Q):2x-3y-4z-10=0 Bài 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và song song mp(Q):-3y-4z-1=0. Bài 3: Cho hai điểm A(2;-1;1), B(-4;3;1) . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB và song song với mp(Q):2x-y+1=0. Bài 4: Cho ba điểm A(0;-1;-1), B(-1;1;1), C(4;3;-3). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua trọng tâm tam giác ABC và song song mp(Q) : 2z-1=0. Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước. Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ và vuông góc với đường thẳng. x  1 y  2 z 1   1 1 1. d: . Bài 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm N(-1;-2;1) và vuông góc với đường thẳng.  x  3  2t   y 1  t  z  1  4t . d: . Bài 3: Cho hai điểm A(2;-1;1), B(-4;3;1) . 1/ Viết phương trìn mặt phẳng qua A và vuông góc với AB. 2/ Viết phương trình mặt phẳng qua B và vuông góc với AB. 3/ Viết phương trình qua gốc tọa độ và vuông góc với AB. 4/ Viết phương trình mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB và vuông góc với AB . Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1;-2;1) và vuông góc với đường thẳng. x y  2 z 1   2 1 4. d: . Bài 5: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm N(-1;3;-2) và vuông góc với đường thẳng. d:.  x  3   y  t  z  1  4t . . MẶT CẦU. Dạng 1: Xác định tâm và bán kính mặt cầu: Bài 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu:. 1.

(45) 2. a/. 2. 2. ( x - 1) +( y +1) +( z - 2) = 7 . 2. b/. 2. ( x + 3) + y 2 +( z +1) = 81 2. c/. x 2 + y 2 +( z + 9) = 144 x 2 + y 2 + z 2 = 169. d/ . Bài 2: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu:. a/. x 2 + y 2 + z 2 - 2x + 3y - 4z - 1 = 0. b/. x 2 + y2 + z 2 +14x - 10y - z = 0. c/. x 2 + y 2 + z 2 - 2x + 3 = 0 .. d/. x 2 + y 2 + z 2 - 14x - z - 2 = 0 .. e/. x 2 + y 2 + z 2 + 3x + 4y - 5z + 6 = 0. f/. x 2 + y 2 + z 2 - 2x + 4y - 3 = 0. 1.

(46) Dạng 2: Lập phương trình mặt cầu. 1/ Biết tâm I(1;2;-1) và bán kính r=2. 2/ Biết tâm A(0;-1;-2) và mặt cầu qua điểm A(0;-1;1) 3/ Biết tâm là trung điểm của đoạn thẳng và mặt cầu đi qua gốc tọa độ . 4/ Biết mặt cầu có tâm I(1;2;-1) và tiếp xúc mặt phẳng (P): 2x-2y-z-1=0. 5/ Biết mặt cầu có tâm là gốc tọa độ và mặt cầu tiếp xúc mặt phẳng (P): -2x-2y+z-99=0. 6/ Biết mặt cầu có tâm là điểm A(2;-1;2) và mặt cầu tiếp xúc mặt phẳng (P): x-2y-2z-1=0. BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: Cho ba điểm A(-3;0;0), B(0;-3;0), C(0;0;-3). a/ Chứng minh ba điểm A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.Tính diện tích tam giác ABC. b/ Viết phương trình mặt phẳng (ABC). c/ Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC . d/ Viết phương trình mặt phẳng đi qua một đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện. e/ Viết phương trình mặt phẳng trung trực của các cạnh của tam giác ABC. f/ Viết phương trình đường thẳng đi qua một đỉnh và song với đường thẳng chứa cạnh còn lại.. x  1 y  2 z 1   1 1 2. Bài 2: Cho đường thẳng d: và điểm M(1;-2;1) . 1/ Viết phương trình tham số của đường thẳng d. 2/ Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua điểm M và song song với d. 3/ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d. 4/ Tìm tọa độ giao điểm của đt d và mặt phẳng (P). Suy ra điểm M’ đối xứng với M qua d. 5/ Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d . Bài 3: Cho mặt phẳng (P): 2x+3y-z-1=0 và điểm E(-1;2-1). 1/ Viết phương trình mp(Q) đi qua điểm E và song song với mp(P). 2/ Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm E và vuông góc với mặt phẳng (P). 3/ Tìm tọa độ giao điểm của d và mp(P). Suy ra điểm E’ đối xứng với E qua (P). 4/ Tính khoảng cách từ điểm E đến mặt phẳng (P).. 1.

(47)

hinh hoc giai tich

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về