Bài tập vật lý 1 trường tĩnh điện có lời giải

Điện học
Chơng 1: Trờng tĩnh điện

1-1.

Tìm lực hút giữa hạt nhân và electron trong nguyên tử Hyđrô. Biết rằng bán kính
nguyên tử Hyđrô là 0,5.10-8 cm, điện tích của electron e = -1,6.10-19 C.

Giải:
Sử dụng công thức lực tơng tác giữa hai điện tích của định luật Culông (với điện tích của
electron và hạt nhân hyđrô qe = - qp = -1,6.10-19C, khoảng cách r = 0,5.10-10m):
F=

1-2.

k q 1 q 2 9.10 9.(1,6.10 −19 ) 2
=
≈ 9,23.10 −8 N
r2
(0,5.10 −10 ) 2

Lực đẩy tĩnh điện giữa hai proton sẽ lớn hơn lực hấp dẫn giữa chúng bao nhiêu lần,
cho biết điện tích của proton là 1,6.10-19C, khối lợng của nó bằng 1,67.10-27 kg.

Giải:
Theo công thức của định luật Culông và định luật vạn vật hấp dẫn, ta có:
F1 =


1-3.

kq 2
;
r2

vµ

F2 = −

Gm 2
r2

F1
kq 2
9.10 9.(1,6.10 −19 ) 2
=
=
≈ 1,25.10 36 (lần )
2
11
27 2
F2 Gm
6,67.10 .(1,67.10 )

Hai quả cầu đặt trong chân không có cùng bán kính và cùng khối lợng đợc treo ở
hai đầu sợi dây sao cho mặt ngoài của chúng tiếp xúc với nhau. Sau khi truyền cho
các quả cầu một điện tích q0 = 4.10-7C, chúng đẩy nhau và góc giữa hai sợi dây bây
giờ bằng 600. Tính khối lợng của các quả cầu nếu khoảng cách từ điểm treo đến tâm
quả cầu bằng l = 20 cm.

Khoa VËt LÝ, tr−êng §H Khoa Häc, §H Thái Nguyên

CuuDuongThanCong.com

/>

Giải:
Do các quả cầu là giống nhau nên điện tích mỗi quả cầu nhận đợc là:

T
2
Fđ

P

q1 = q 2 =

q0
= 2.10 7 C
2

Hai quả cầu cân bằng khi:
P + Fd + T = 0

Khi đó, dễ dàng nhận thấy:
với

P = mg

vµ

Fd =

tgα =

Fd
P

kq1 q 2
kq 02
=
2
r2
4(2l. sin α )

q 02
q 02
kq 02
⇒ tgα =
⇒ P=
=
4πεε 0 .16l 2 sin 2 α .P
64πεε 0 l 2 sin 2 α .tgα 16l 2 . sin 2 α .tgα

Thay sè:

(
)
( ) ( )
2

1.9.10 9. 4.10 −7
P=
= 0,157( N )
16.0,2 2. sin 2 30 0 .tg 30 0
⇒

1-4.

m=

P 0,157
=
= 0,016(kg ) = 16( g )
g
9,81

Tính khối lợng riêng của chất làm quả cầu trong bài 1-3. Biết rằng khi nhúng các quả
cầu này vào dầu hỏa, góc giữa hai sợi dây bây giờ chỉ bằng 540 ( = 2 đối với dầu
hỏa).

Giải:
Khoa Vật Lí, trờng ĐH Khoa Học, ĐH Thái Nguyên

CuuDuongThanCong.com

/>

Từ kết quả bài 1-3, ta đ có đối với quả cầu đặt trong không khí thì:
q 02
P=

64 1 0 l 2 sin 2 α 1 .tgα 1

(1)

Khi nhóng c¸c quả cầu vào dầu hoả, mỗi quả cầu sẽ chịu thêm tác dụng của lực đẩy
Acsimét P1 hớng ngợc chiều với trọng lực. Do đó, bằng tính toán tơng tự bài trên, ta thu
đợc:
q 02
P P1 =
64 2 0 l 2 sin 2 2 .tg 2

(2)

Mặt khác:
P = mg = ρVg ; P1 = ρ 0Vg

(3)

Tõ (1), (2) vµ (3), ta cã:
P − P1 ε 1 sin 2 α 1 .tgα 1 ρ − ρ 0
=
=
P
ε 2 sin 2 α 2 .tgα 2
ρ

⇒ ε 1 sin 2 α 1 .tgα 1 .ρ = ε 2 sin 2 α 2 .tgα 2 ( ρ − ρ 0 )

ε 2 . sin 2 α 2 .tgα 2
⇒ ρ = ρ0 .

ε 2 . sin 2 α 2 .tgα 2 − ε 1.sin 2 α1.tgα1
Thay sè víi: ε 1 = 1; ε 2 = 2; α 1 = 30 0 ; α 2 = 27 0 ; ρ 0 = 800(kg / m 3 )
ρ=

1-5.

2. sin 2 27 0.tg 27 0
.800 = 2550(kg / m 3 )
2. sin 2 27 0.tg 27 0 − sin 2 30 0.tg 30 0

Hai qu¶ cầu mang điện có bán kính và khối lợng bằng nhau đợc treo ở hai đầu sợi
dây có chiều dài bằng nhau. Ngời ta nhúng chúng vào một chất điện môi (dầu) có
khối lợng riêng 1 và hằng số điện môi . Hỏi khối lợng riêng của quả cầu () phải
bằng bao nhiêu để góc giữa các sợi dây trong không khí và trong điện môi là nh
nhau.

Giải:
Khoa Vật Lí, trờng ĐH Khoa Học, ĐH Thái Nguyên

CuuDuongThanCong.com

/>

Sử dụng các tính toán đ làm ở bài 1-4, vµ thay ρ 0 = ρ1 , ε 2 = ε , ε 1 = 1 , ta cã:
ρ = ρ1 .

ε .sin 2 α 2 .tgα 2
= ρ1
ε .sin 2 α 2 .tgα 2 − sin 2 α 1 .tgα1

ε
ε−

sin 2 α 1 .tgα
sin 2 α 2 .tgα 2

Víi điều kiện góc lệch giữa các sợi dây trong không khí và chất điện môi là nh nhau hay:
1 = α 2 ⇒ sin 2 α 1 .tgα1 = sin 2 2 .tg 2

biểu thức trên trở thành:
=

1-6.


1

1

Một electron điện tích e, khối lợng m chuyển động đều trên một quỹ đạo tròn bán
kính r quanh hạt nhân nguyên tử Hyđrô. Xác định vận tốc chuyển động của electron
trên quỹ đạo. Cho e = -1,6.10-19C, m = 9,1.10-28kg, khoảng cách trung bình từ electron
đến hạt nhân là r = 10-8cm.

Giải:
Êlêctrôn chuyển động xung quanh hạt nhân theo quỹ đạo tròn dới tác dụng của lực hớng
tâm chính là lực Culông.

Fht = FCoulomb
v2

e2
m
=
r
4 0 r 2




v2 =



r.e 2
e2
=
m.4 0 r 2 4πεε 0 mr

v=

e2
4πεε 0 mr

=

e
2 πεε 0 mr

Thay sè, ta cã:
v=

1,6.10 −19
−12

−31

2 π .1.8,86.10 .9,1.10 .10

−10

= 1,6.10 6 (m / s )

Khoa VËt LÝ, tr−êng §H Khoa Học, ĐH Thái Nguyên

CuuDuongThanCong.com

/>

1-7.

Tại các đỉnh A, B, C của một hình tam giác ngời ta lần lợt đặt các điện tích điểm: q1
= 3.10-8C; q2 = 5.10-8C; q3 = -10.10-8C. Xác định lực tác dụng tổng hợp lên điện tích
đặt tại A. Cho biÕt AC = 3cm, AB = 4cm, BC = 5cm. Các điện tích đều đặt trong
không khí.

F1

A

F
F2

B

C

Giải:
Ta có:
+ Lực F1 của q2 tác dụng lên q1:
F1 =

q1q 2
3.10 8.5.10 −8
=
= 8,4.10 −3 ( N )
2
−12
−2 2
4πεε 0 rAB 4π .1.8,86.10 .(4.10 )

+ Lực F2 của q3 tác dụng lên q1:
F2 =

q1q3
3.10 −8.10.10 −8
=
= 30.10 −3 ( N )
2
4πεε 0 rAC

4π .1.8,86.10 −12.(3.10 − 2 ) 2

+ DƠ dµng nhËn thÊy:

BC 2 = AB 2 + AC 2

VËy, tam gi¸c ABC vuông tại A. Khi đó:
- Lực F có phơng hợp với cạnh AC một góc xác định bởi:
tg =

F1 8,4.10 −3
=
≈ 0,28 ⇒ α = 15 0 42'
−3
F2 30.10

- Chiều của F nh hình vẽ.
- Độ lớn của lực đợc tính bằng:
Khoa Vật Lí, trờng ĐH Khoa Học, ĐH Thái Nguyên

CuuDuongThanCong.com

/>

F = F12 + F22 = (8,4.10 −3 ) 2 + (30.10 −3 ) 2 = 3,11.10 −2 ( N )

1-8.

Có hai điện tích bằng nhau và trái dấu. Chứng minh rằng tại mọi điểm cách đều hai
điện tích đó, phơng của lực tác dụng lên điện tích thử q0 song song với đờng thẳng

nối hai điện tích đó.

Giải:
Gọi là đờng trung trực của đoạn thẳng AB nối hai điện tích q1 và q2 bằng nhau và trái
dấu. Xét ®iƯn tÝch thư q0 (cïng dÊu víi ®iƯn tÝch ®Ỉt tại B) đặt tại C nằm trên . Ta có:
F1 =

q1q0
4πεε 0 (B C ) 2

=

q 2 q0

= F2

4πεε 0 ( AC ) 2

F1

C

F


F2
A

B

Xét thành phần của tổng hợp lùc F däc theo ∆:
F∆ = F1 cos α − F2 cos α = ( F1 − F2 ) cos = 0

Vậy, F chỉ có thành phần hớng theo phơng vuông góc với , hay F song song với
đờng thẳng nối hai điện tích q1 và q2.

F = F1 sin α + F2 sin α =

1-9.

2 q1q0

sin α

4πεε 0  l AB  2


 2 sin α 

=

2 q1q0 sin 3
2
0l AB

Tìm lực tác dụng lên một điện tích điểm q = (5/3).10-9C đặt ở tâm nửa vòng xuyến bán
kính r0 = 5cm. tích điện đều với điện tích Q = 3.10-7C (đặt trong chân không).
Khoa Vật Lí, trờng ĐH Khoa Học, ĐH Thái Nguyên

CuuDuongThanCong.com

/>

Giải:
Ta chia nửa vòng xuyến thành những phần tử dl mang điện
tích dQ. Chúng tác dụng lên điện tích q lực dF. áp dụng nguyên
lý chồng chất lực, ta có:
Fx = ∫ dF sin α ;

y
dl

Fy = ∫ dF cos α

(nưa vßng xun)

q dFx

(nưa vßng xun)

ro

Ta cã:

víi

dF =

dQ.q
4πεε 0 r02

dQ =

Q
dl ;
πr0

⇒ dF =

Qq
2

4π εε 0 r02

α
dF

x

dl = r0 .dα
dα

Do tính đối xứng, ta thấy ngay Fy = 0, nên

2

F = Fx =

∫π 4π

−

Qq
2

2
0 0

εε r

cos α .dα =

Qq
2

2π εε 0 r02

2

Thay sè:
F=

3.10 −7.(5 / 3).10 −9
= 1,14.10 − 3 ( N )
2
−12
−2 2
2.π .1.8,86.10 .(5.10 )

1-10. Cã hai ®iƯn tích điểm q1 = 8.10-8C và q2 = -3.10-8C đặt cách nhau một khoảng d =

10cm trong không khí (hình 1-1). Tính:
1. Cờng độ điện trờng gây bởi các điện tích đó tại các điểm A, B, C. Cho biết:
MN = d = 10cm, MA = 4cm, MB = 5cm, MC = 9cm,
NC = 7cm.
2. Lực tác dụng lên điện tích q = -5.10-10C đặt tại C.

Khoa Vật Lí, trờng ĐH Khoa Học, ĐH Thái Nguyên

CuuDuongThanCong.com

/>

C

q1

q2

M

B

A

N

Hình 1-1

Giải:
1. áp dụng nguyên lý chồng chất điện trờng:

+ Điện trờng do q1 và q2 gây ra tại A cïng ph−¬ng cïng chiỊu:
EC1
C

α
EB
B

E A = E A1 + E A2 =

EA =

q1
4πεε 0 ( AM )

2

EC2

q1

+

M

A

EA

EC

α
q2
N

q2
4πεε 0 ( AN ) 2

 8.10−8
1
3.10 −8 


+
4π .1.8,86.10 −12  (4.10 − 2 ) 2 (6.10 − 2 ) 2 

= 52,5.10 4 (V / m)

+ Điện trờng do q1 và q2 gây ra tại B cùng phơng ngợc chiều:
E B = E B1 − E B2 =

EB =

q1
4πεε 0 ( BM )

2

−

q2
4πεε 0 ( BN ) 2

 8.10 −8
1
3.10 −8 

 = 27,6.10 4 (V / m)
−
−12 
−2 2
−2 2 
4π .1.8,86.10  (5.10 )
(15.10 ) 

+ Ph−¬ng, chiỊu cđa EA và EB đợc xác định nh trên hình vẽ.
Dùng định lý hàm số cos, ta thu đợc:
Khoa Vật Lí, trờng ĐH Khoa Học, ĐH Thái Nguyên

CuuDuongThanCong.com

/>

EC = EC21 + EC22 − 2 EC1 EC 2 cos α

Ta còng cã:
MC 2 + NC 2 − MN 2 9 2 + 7 2 − 10 2
=
= 0,23
MN = MC + NC − 2 MC.NC. cos α ⇒ cos α =

2 MC.NC
2 .9 .7
2

2

2

8.10 −8
=
=
= 8,87.10 4 (V / m)
−12
−2 2
2
4πεε 0 (CM )
4π .8,86.10 .(9.10 )
q1

EC

1

EC =
2

q2
3.10−8
=
= 5,50.10 4 (V / m)

−12
−2 2
2
4πεε 0 (CN )
4π .8,86.10 .(7.10 )

VËy:
EC = (8,87.10 4 ) 2 + (5,50.10 4 ) 2 − 2.8,87.10 4.5,50.10 4.0,23 = 9,34.10 4 (V / m)

Để xác định phơng của EC, ta xác định góc là góc giữa EC và CN theo định lý hµm sè sin:

EC

1

sin θ

=

EC
⇒
sin α

E C sin α

sin θ =

1

EC

8,87.104. 1 − (0,23) 2
sin θ =
= 0,92 ⇒ θ = 67 009'
4
9,34.10
2. Ta cã: FC = q.EC = 5.10 −10.9,34.10 4 = 0,467.10 −4 ( N )
ChiỊu cđa lùc FC ngợc với chiều của điện trờng EC trên hình vẽ.
1-11. Cho hai điện tích q và 2q đặt cách nhau 10 cm. Hỏi tại điểm nào trên đờng nối hai
điện tích ấy điện trờng triệt tiêu.

Giải:
Trên đờng nối hai điện tích, điện trờng do chúng gây ra luôn cùng phơng ngợc chiều
nên ta có:
E = E1 E2 =

q
2
0 1

4πεε r

−

2q
2
0 2

4πεε r

=

1 2
 − 
4πεε 0  r12 r22
q

Khoa Vật Lí, trờng ĐH Khoa Học, ĐH Thái Nguyªn

CuuDuongThanCong.com

/>

Giả sử tại điểm M cách điện tích q một khoảng r, điện trờng triệt tiêu. Điểm M cách điện
tích 2q một khoảng là (l-r) với l là khoảng cách giữa q và 2q.

E=

1
2
2
=0
4 0 r
(l − r ) 2 
q

⇒

1
2

−
=0
2
r
(l − r ) 2

⇒

l − r = 2r

⇒

r=

l
1+ 2

=

⇒ (l − r ) 2 = 2 r 2

10
4,14(cm)
1+ 2

Vậy, điện trờng giữa hai điện tích q và 2q triệt tiêu tại điểm M nằm trên đờng nối hai
điện tích tại vị trí cách điện tích q là 4,14 (cm).
1-12. Xác định cờng độ điện trờng ở tâm một lục giác đều cạnh a, biết rằng ở sáu đỉnh
của nó có đặt:
1. 6 điện tích bằng nhau và cùng dấu.

2. 3 điện tích âm và 3 điện tích dơng về trị số đều bằng nhau.

Giải:
1. Nếu ta đặt tại sáu đỉnh của lục giác đều các điện tích bằng nhau và cùng dấu, thì các cặp
điện tích ở các đỉnh đối diện sẽ tạo ra tại tâm các điện trờng bằng nhau nhng ngợc chiều,
nên chúng triệt tiêu lẫn nhau. Do vậy, điện trờng tổng cộng tại tâm lục giác bằng không.
E0 = 0 (do tính đối xứng)
2. Để đặt ba điện tích dơng và ba điện tích âm cùng độ lớn vào sáu đỉnh của lục giác đều,
ta có ba cách xếp nh sau:
a) Các điện tích âm và dơng đợc đặt xen kẽ với nhau:
Ta nhận thấy: các cặp điện trờng (E1, E4), (E2, E5) và (E3, E6) cùng phơng cùng chiều và
các ®iƯn tr−êng cã cïng ®é lín.

Khoa VËt LÝ, tr−êng §H Khoa Học, ĐH Thái Nguyên

CuuDuongThanCong.com

/>

5

Các cặp điện tích 1-4, 2-5 và 3-6 tạo ra các điện trờng

E25

bằng nhau và hợp với nhau các góc bằng 1200 (Hình vẽ).

O

Các cặp điện tích 1-4, 2-5 và 3-6 tạo ra các điện trờng bằng

nhau nh hình vÏ:
4πεε 0 a

2

=

3

2

5

6

q

E14
4

πεε 0 a

1

O

q
E36

2πεε 0 a 2

2

3
5

4

2

1

E25

Ta cã thÓ dễ dàng tính đợc: điện trờng tổng cộng E hớng
theo phơng của điện trờng E14 và có độ lớn bằng:
E = 2 E14 =

E14

E36

b) Các điện tích dơng và âm đặt liên tiếp:

q

1200

4

Do tính đối xứng nên điện trờng tổng hợp có giá trị bằng
0.

E14 = E25 = E36 = 2 E1 = 2

6

E14

c) Các điện tích đặt nh trên hình bên:
3

6

1

O

2

Hai cặp điện tích cùng dấu đặt tại các đỉnh đối diện tạo ra tại
O các điện trờng có cùng độ lớn nhng ngợc chiều. Do đó,
điện trờng do hai cặp điện tích 2-5 và 3-6 tạo ra tại O là bằng không. Vậy, điện trờng tại O
bằng điện trờng do cặp điện tích 1-4 tạo ra tại O:
E = E14 =

q
2 0 a 2

1-13. Trên hình 1-2, AA là một mặt phẳng vô hạn tích điện đều với mật độ điện mặt =

4.10-9C/cm2 và B là một quả cầu tích điện cùng dấu với điện tích trên mặt phẳng. Khối
lợng của quả cầu bằng m = 1g, ®iƯn tÝch cđa nã b»ng q = 10-9C. Hái sợi dây treo quả
cầu lệch đi một góc bằng bao nhiêu so với phơng thẳng đứng.

Khoa Vật Lí, trờng ĐH Khoa Học, ĐH Thái Nguyên

CuuDuongThanCong.com

/>

A


B

A

Hình 1-2

Giải:
Tại vị trí cân bằng:
T +F+P=0

Trong đó:

P = mg ;

F = Eq =

σq

2εε 0

Tõ h×nh vÏ ta thÊy:
tgα =
⇒

F
4.10 −5.10 −9
σq
=
=
= 0,2309
P 2εε 0 mg 2.1.8,86.10 −12.10 − 3.9,81

α = 130
A

T
F

A
P

R

1-14. Một đĩa tròn bán kính a = 8cm tích điện đều với mật độ điện mặt = 10-8C/m2.
1. Xác định cờng độ điện trờng tại một điểm trên trục của đĩa và cách tâm đĩa một đoạn
b = 6cm.
2. Chøng minh r»ng nÕu b → 0 th× biểu thức thu đợc sẽ chuyển thành biểu thức tính
cờng độ điện trờng gây bởi một mặt phẳng vô hạn mang điện đều.

Khoa Vật Lí, trờng ĐH Khoa Học, ĐH Thái Nguyên

CuuDuongThanCong.com

/>

3. Chøng minh r»ng nÕu b 〉〉 a th× biĨu thức thu đợc chuyển thành biểu thức tính cờng
độ điện trờng gây bởi một điện tích điểm.

Giải:
dE

dE2
A

dE1

b

dq

r

O

1. Chia đĩa thành từng dải vành khăn có bề rộng dr. Xét dải vành khăn có bán kính r (rVành khăn có điện tích tổng cộng:
dQ = .2r.dr

Chia vành khăn thành các ®iƯn tÝch ®iĨm dq. Chóng g©y ra ®iƯn tr−êng dE tại A. Theo

định lý chồng chất điện trờng, điện trờng tại A bằng tổng tất cả các giá trị dE đó.
Điện trờng dE có thể phân thành hai thành phần dE1 và dE 2 . Do tính đối xứng nên tổng
các thành phần dE1 bằng không. Vậy:
dE r = dE 2 = ∫ dE cos α , víi α là góc giữa dE và OA


dEr =

dq
b
b
.
=
2
2
2
2
4 0 r + b
4πεε 0 r 2 + b 2
r +b

(

)

(

)

3/ 2

.dQ =

bσ .r.dr

(

2εε 0 r 2 + b 2

§iƯn tr−êng do cả đĩa gây ra tại A là:
b
E = dEr =
2εε 0

a

∫ (r
0

r.dr
2

+b

)

2 3/ 2

a


σ 
bσ 
1
1
1 −
=
− 2
 =
2
2εε 0 
2εε 0 
r +b 
1 + a 2 / b2
0

Khoa Vật Lí, trờng ĐH Khoa Học, ĐH Thái Nguyên

CuuDuongThanCong.com

/>




)

3/ 2




10 −8
1
1 −
E=
−12 
2
2
2.8,86.10 
1 + (8.10 − 2 ) / (6.10 −2 )



 ≈ 226 (V / m )



2. NÕu cho b → 0, ta cã:
σ 
1
1 −
b → 0 2εε
1 + a2 / b2
0 

E = lim


σ
 =
 2εε 0

§iƯn tr−êng khi b → 0 cã biĨu thøc giống với điện trờng do mặt phẳng tích điện đều gây ra.

3. Nếu b a, áp dụng công thức gần ®óng:
a2
≈1− 2
2b
1 + a2 / b2
1

VËy: E =

a 2  σ .a 2
q
σ  
σ .(πa 2 )


1
1
−
−
=
=
=
 
2 
2
2
2εε 0   2b  4εε 0b

4πεε 0b
4πεε 0b 2

§iƯn tr−êng khi b〉〉 a cã biĨu thøc gièng víi ®iƯn trờng do một điện tích điểm gây ra.

1-15. Một mặt hình bán cầu tích điện đều, mật độ điện mặt = 10-9C/m2. Xác định cờng
độ điện trờng tại tâm O của bán cầu.

Giải:
dE
h

O
dh

Chia bán cầu thành những đới cầu cã bỊ réng dh (tÝnh theo ph−¬ng trơc cđa nã). Đới cầu
đợc tích điện tích:
dQ =

.2rh .dh 2rh .dh
=
= 2R.dh.
cos
(rh / R )

với là góc giữa mặt đới cầu và trục đối xứng của đới cầu.
Khoa Vật Lí, trờng ĐH Khoa Học, ĐH Thái Nguyên

CuuDuongThanCong.com

/>

Tính tơng tự nh phần đầu của bài 1-14, ta tính đợc điện trờng dE do đới cầu gây ra tại
O có hớng nh hình vẽ và có độ lớn b»ng:
dE =

h

(

2
h

4πεε 0 r + h

)

2 3/ 2

.dQ =

h.2πσR.dh
4πεε 0 R 3

Lấy tích phân theo h từ 0 đến R, ta cã:
R

σ .h.
σ  h2 
σ

E = ∫ dE = ∫
dh
=
=

2
2 
2εε 0 R
2εε 0 R  2 
4εε 0
0
R

0

Coi ε = 1 , ta cã:

E=

10 −9
= 28,2 (V / m)
4.1.8,86.10 12

1-16. Một thanh kim loại mảnh mang điện tích q = 2.10-7C. Xác định cờng độ điện trờng
tại một điểm nằm cách hai đầu thanh R = 300cm và cách trung điểm thanh R0 =
10cm. Coi nh điện tích đợc phân bố đều trên thanh.
Giải:
q
l

Chia thanh thành những đoạn nhỏ dx. Chúng có điện tích là: dq = dx =

q
2 R 2 R02

dx

dE
dE2
dE1
0
R



R0

l/2

x

Xét điện trờng dE gây ra do đoạn dx gây ra tại điểm đang xét. Ta có thể tách dE thành hai
thành phần dE1 và dE 2 . Điện trờng tổng cộng E là tổng tất cả các điện trờng dE đó. Do
tính đối xứng nên tổng tất cả các thành phần dE1 bằng không. Ta có:

Khoa Vật Lí, trờng ĐH Khoa Học, ĐH Thái Nguyên

CuuDuongThanCong.com

/>

dE2 =
=

dq
4πεε 0 r

. cos α =

qR0

(

4πεε 0l R02 + x 2

E = ∫ dE 2 =

⇒

2

l/2

∫

−l / 2

=

q

4πεε 0lR 0

Thay sè:

)

3/ 2

R0
q
1
.
. dx
2
2
2
2
4πεε 0 R0 + x
R0 + x l

(

)

dx
α0

qR 0
4πεε 0 l(R 02 + x 2 )

3/ 2

qR 0
R0
dx =
dα
2
2
2
2
3/ 2
∫
x = R tgα 4πεε l
cos
.(
R
+
R
tg
)
α
α
0 −α
0
0
0

0

α0

α
q
∫ cosα .dα = 4πεε lR [sin α ]− α
0

0

−α 0

E=

0

=
0

2q sin α 0
q
l
q
=
.
=
4πεε 0lR 0 2πεε 0lR 0 2R 4πεε 0 RR 0

2.10 −7
≈ 6.103 (V / m)
4π .1.8,86.10 −12.3.0,1

1-17. Mét mặt phẳng tích điện đều với mật độ . Tại khoảng giữa của mặt có một lỗ hổng
bán kính a nhỏ so với kích thớc của mặt. Tính cờng độ điện trờng tại một điểm
nằm trên đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng và đi qua tâm lỗ hổng, cách tâm đó
một đoạn b.

Giải:
Ta có thể coi mặt phẳng tích điện có lỗ hổng không tích điện nh một mặt phẳng tích điện
đều mật độ và một đĩa bán kính a nằm tại vị trí lỗ tích điện đều với mật độ -.
+ Điện trờng do mặt phẳng tích điện đều gây ra tại điểm đang xét là:
E1 =


2 0

+ Điện trờng do đĩa gây ra tại điểm đang xét là: (xem cách tính trong bài 1-14)
E2 =

1

1 −
2εε 0 
1 + a 2 / b2





+ §iƯn tr−êng do mặt phẳng và đĩa gây ra cùng phơng và ngợc chiều nên:
E = E1 E2 =

2 0 1 + a 2 / b 2

Khoa VËt LÝ, tr−êng §H Khoa Học, ĐH Thái Nguyên

CuuDuongThanCong.com

/>

1-18. Một hạt bụi mang một điện tích q2 = -1,7.10-16C ở cách một dây dẫn thẳng một
khoảng 0,4 cm và ở gần đờng trung trực của dây dẫn ấy. Đoạn dây dẫn này dài
150cm, mang điện tích q1 = 2.10-7C. Xác định lực tác dụng lên hạt bụi. Giả thiết rằng
q1 đợc phân bố đều trên sợi dây và sự có mặt của q2 không ảnh hởng gì đến sự phân
bố đó.

Giải:
Xét mặt Gaox là mặt trụ đáy tròn bán kính R0 có trục trùng với sợi dây, chiều cao h (h l)
ở vùng giữa sợi dây và cách sợi dây một khoảng R0 l, ta có thể coi điện trờng trên mặt trụ
là đều. Sử dụng định lý Otxtrôgratxki-Gaox, ta có:
E.2R0 .h =


E=

q0

0

=

1 q1h
.
0 l

q1
2 0 R0l

Lực điện tác dụng lên hạt bụi là:
q1q2
1,7.10 −16.2.10 −7
F = Eq2 =
=
≈ 10−10 ( N )
−12
−3
2πεε 0 R0l 2π .1.8,86.10 .4.10 .1,5

1-19. Trong ®iƯn tr−êng cđa mét mặt phẳng vô hạn tích điện đều có đặt hai thanh tích điện
nh nhau. Hỏi lực tác dụng của điện trờng lên hai thanh đó có nh nhau không nếu
một thanh nằm song song với mặt phẳng còn thanh kia nằm vuông góc với mặt phẳng.

Giải:
Lực tác dụng lên thanh n»m song song lµ:
F1 = ∑ Fi = ∑ q Ei

và lực tác dụng lên thanh nằm vuông góc là:
F2 = ∑ Fk = ∑ q Ek

Do ®iƯn tr−êng do mặt phẳng vô hạn tích điện đều gây ra là ®iƯn tr−êng ®Ịu nªn:
Ei = Ek

⇒ F1 = F2

Khoa VËt Lí, trờng ĐH Khoa Học, ĐH Thái Nguyên

CuuDuongThanCong.com

/>

Vậy, lực tác dụng lên hai thanh là nh nhau.
1-20. Một mặt phẳng vô hạn mang điện đều có mật độ điện tích mặt =2.10-9C/cm2. Hỏi
lực tác dụng lên một đơn vị chiều dài của một sợi dây dài vô hạn mang điện đều. Cho
biết mật độ điện dài của dây = 3.10-8C/cm.

Giải:
Ta thấy, lực tác dụng lên dây không phụ thuộc vào cách đặt dây trong điện trờng. Ta có:

2 0

+ Điện trờng do mặt phẳng gây ra là:

E=

+ Điện tích của dây là:

q = L

Vậy, lực tác dụng lên mỗi đơn vị chiều dài dây là:
F = Eq =

σλL 2.10 −5.3.10 −6.1
=
≈ 3,4( N )
2εε 0 2.1.8,86.10 12

1-21. Xác định vị trí của những điểm ở gần hai điện tích điểm q1 và q2 tại đó điện trờng
bằng không trong hai trờng hợp sau đây: 1) q1, q2 cïng dÊu; 2) q1, q2 kh¸c dÊu. Cho
biÕt khoảng cách giữa q1 và q2 là l.

Giải:
Véctơ cờng độ ®iƯn tr−êng t¹i mét ®iĨm M bÊt kú b»ng
E = E1 + E2

với E1 và E2 là các véctơ cờng độ điện trờng do q1, q2 gây ra.
Để E = 0, thì ta phải có:
x

M

q1

E1 = E2
q2

l

+ Hai điện trờng E1 và E2 cùng phơng, M phải nằm trên đờng thẳng đi qua điểm đặt các
điện tích.
Khoa Vật Lí, trờng ĐH Khoa Học, ĐH Thái Nguyên

CuuDuongThanCong.com

/>

+ Hai điện trờng E1 và E2 cùng độ lớn:

E1 = E 2
q1

⇒

4πεε 0 x 2

=

2

4πεε 0 (l − x )

2

q
x
=± 1
l−x
q2

⇒

±l

⇒

x=

q1
q2

q1
(l − x )
q2

⇒x=±

=

q1
q2

1±

q
 x 
⇒
 = 1
q2
l−x

q2

q1

q1 ±

q2

l

+ Hai điện trờng E1 và E2 ngợc chiều:
1. Nếu q1, q2 cùng dấu thì M phải nằm giữa hai điên tÝch:
0< x
⇒ x=

q1
q1 + q2

l

2. NÕu q1, q2 kh¸c dÊu thì M phải nằm ngoài hai điện tích:
x < 0 hay x > l

x=

q1
q1

l
q2

1-22. Giữa hai dây dẫn hình trụ song song cách nhau một khoảng l = 15cm ngời ta đặt một
hiệu điện thế U = 1500V. Bán kính tiết diện mỗi dây là r = 0,1cm. H y xác định

cờng độ điện trờng tại trung điểm của khoảng cách giữa hai sợi dây biết rằng các
dây dẫn đặt trong không khí.

Giải:
Ta đi xét trờng hợp tổng quát: nếu gọi khoảng cách từ điểm M đến trục dây dẫn thứ nhất
là x thì cờng độ điện trờng tại M là:
E=


l

+
=
2 0 x l x  2πεε 0 x(l − x)
1

Khoa VËt LÝ, tr−êng ĐH Khoa Học, ĐH Thái Nguyên

CuuDuongThanCong.com

/>

với là mật độ điện dài trên dây. Mặt kh¸c:
dU = - Edx
⇒

U = − ∫ Edx =

⇒

λ=

l−r
1 
λ l −r  1
λ
[ln x − ln(l − x )] = λ ln l − r 
 +
dx =
∫
2πεε 0 r  x l − x 
2πεε 0
r
πεε 0  r 

πεε 0U
l −r 
ln

 r 

ThÕ λ vµo biĨu thức cờng độ điện trờng và thay x = l/2, ta cã:
E=

Thay sè:

1

l

.

πεε 0U

l  l −r 
2πεε 0 l 
. l −  ln

2  2  r 
E=

=

2U
l −r 
l. ln

 r 

2.1500
≈ 4.103 (V / m )
 0,149 
0,15. ln

 0,001 

1-23. Cho hai ®iƯn tÝch ®iĨm q1 = 2.10-6C, q2 = -10-6C đặt cách nhau 10cm. Tính công của
lực tĩnh điện khi điện tích q2 dịch chuyển trên đờng thẳng nối hai điện tích đó xa
thêm một đoạn 90cm.

Giải:
Ta có: Công của lực tĩnh điện khi dịch chuyển điện tích q2 từ điểm A đến điểm B lµ:
A = q2.(VA – VB)
VËy:

 q1

q2
l.q1q2
 =
A = q2 
−
 4πεε 0 r 4πεε 0 (l + r )  4πεε 0 r (l + r )

Thay sè:

A=

(

)

0,9. − 10 −6 .2.10 −6
≈ −0,162( J )
4π .1.8,86.10 −12.0,1.1

DÊu trõ thể hiện ta cần thực hiện một công để đa q2 ra xa điện tích q1.

Khoa Vật Lí, trờng ĐH Khoa Học, ĐH Thái Nguyên

CuuDuongThanCong.com

/>

1-24. Tính công cần thiết để dịch chuyển một điện tích q = (1/3).10-7C từ một điểm M cách
quả cầu tích điện bán kính r = 1cm một khoảng R = 10cm ra xa vô cực. Biết quả cầu
có mật độ điện mặt = 10-11C/cm2.

Giải:
Công của lực tĩnh điện khi dịch chuyển điện tích là:
A = q.(VA VB)
Vậy:

Q
Q 
qQ
 =
A = q.
−
(do R2 = ∞)
 4πεε 0 R1 4πεε 0 R2  4πεε 0 R1
=

Thay sè:

A=

q.4π .r 2 .σ
σqr 2
=

4πεε 0 (r + R ) εε 0 (r + R )

(

)

2

10 −7.(1 / 3).10 −7. 10 −2
≈ 3,42.10 7 (J )
12
2
1.8,86.10 .11.10

1-25. Một vòng dây tròn bán kính 4cm tích điện đều với điện tích Q = (1/9).10-8C. Tính điện
thế tại:
1. Tâm vòng dây.
2. Một điểm M trên trục vòng dây, cách tâm của vòng dây một đoạn h = 3cm.

Giải:
Chia vòng dây thành những đoạn vô cùng nhỏ dl mang điện tích dq. Điện thế do điện tích
dq gây ra tại điểm M trên trục vòng dây, cách tâm của vòng dây một đoạn h là:
dV =

dq
4 0 R 2 + h 2

Điện thế do cả vòng gây ra tại M là:
V = dV = ∫

dq
2

4πεε 0 R + h

2

=

Q
4πεε 0 R 2 + h 2

1. Điện thế tại tâm vòng (h =0):

Khoa Vật Lí, trờng ĐH Khoa Học, ĐH Thái Nguyên

CuuDuongThanCong.com

/>

VO =

Q
4πεε 0 R

=

(1 / 9).10−8
4π .1.8,86.10 −12.4.10 − 2

= 250(V )

2. Điện thế tại M (h = 3cm):
VH =

Q
4 0 R 2 + h 2

(1 / 9).10−8

=

4π .1.8,86.10 −12

= 200(V )

(4.10 ) + (3.10 )
−2 2

−2 2

1-26. Mét ®iƯn tích điểm q = (2/3).10-9C nằm cách một sợi dây dài tích điện đều một
khoảng r1 = 4cm; dới tác dụng của điện trờng do sợi dây gây ra, điện tích dịch
chuyển theo hớng đờng sức điện trờng đến khoảng cách r2 = 2cm, khi đó lực điện
trờng thực hiện một công A = 50.10-7J. Tính mật độ điện dài của dây.

Giải:
Ta có:

Vậy:

dA = q.dV

dA = q.( Edr ) = −q.
A = ∫ dA = −

λ=

λ=

qλ
2πεε 0

λ
dr
2πεε 0 r

r2

dr

∫r
r1

=−

qλ
2πεε 0

(ln r2 − ln r1 ) =

qλ
2πεε 0

ln

r1
r2

2πεε 0 A
r
q. ln 1
r2
2.π .1.8,86.10 −12.50.10 −7
≈ 6.10 − 7 (C / m )
4
9
(2 / 3).10 . ln
2

1-27. Trong chân không liệu có thể có một trờng tĩnh điện mà phơng của các véctơ cờng
độ điện trờng trong cả khoảng không gian có điện trờng thì không đổi nhng giá trị
lại thay đổi, ví dụ nh thay đổi theo phơng vuông góc với các véctơ điện trờng
(hình 1-3) đợc không?

Khoa Vật Lí, trờng ĐH Khoa Học, ĐH Thái Nguyên

CuuDuongThanCong.com

/>

E
Hình 1-3

Giải:
A

B

E
D

C

Xét đờng cong kín hình chữ nhật nh hình vÏ, ta cã:
dV = − E.dl

⇒

VA − VA = −

∫ E.dl
ABCDA



= − ∫ E.dl + ∫ E.dl + ∫ E.dl + ∫ E.dl 
BC
CD
DA
 AB

= −(E1 .AB + 0 − E 2 .CD + 0)
= (E 2 − E1 )l = 0
Vậy: Nếu phơng của véctơ cờng độ điện trờng không đổi thì giá trị của nó cũng phải
không đổi trong toàn bộ không gian. Không có điện trờng nào nh nêu trong đề bài.
1-28. Tính điện thế gây ra bởi một quả cầu dẫn điện mang điện q bằng cách coi điện thế tại
một điểm A nào đó bằng tổng các điện thế do từng điện tích điểm gây ra, trong các
trờng hợp sau:
1. Tại một điểm nằm trên quả cầu.
2. Tại một điểm nằm trong quả cầu.
3. Tại một điểm nằm ngoài quả cầu cách bề mặt của nó một đoạn bằng a.

Giải:
Khoa Vật Lí, trờng ĐH Khoa Học, ĐH Thái Nguyên

CuuDuongThanCong.com

/>

r

R
h

x

O

A

Chia quả cầu thành những vòng dây tích điện có chiều dầy dh vô cùng nhỏ bán kính
r = R 2 h 2 đợc tích điện với mật độ ®iƯn mỈt σ =
dq = σ .dS = σ .

q
. Điện tích của vòng dây là:
4R 2

2r.dh
cos

với là góc giữa mặt vòng dây và trục của nó. Dễ thấy:
cos =

r
R

dq =

q
q.dh
.2R.dh =
2

4R
2R

Tính tơng tự bài 1-25, điện thế do vòng dây gây ra tại điểm A cách tâm O một khoảng x
nh hình vẽ là:
dV =

dq
4 0 r 2 + (h + x )

2

=

q.dh
8πεε 0 R r 2 + h 2 + x 2 + 2hx

=

qdh
8πεε 0 R R 2 + x 2 + 2hx

VËy, ®iƯn thế do cả mặt cầu gây ra là:
V = dV =

R

∫ 8πεε

−R

q.dh
2
2
t=R
0 R R + x + 2hx

2

 q

q
=
( R + x − R − x ) =  4πεεq 0 R
8πεε 0 xR

 4πεε 0 x

=2

+ x + 2 hx

q

(R+ x)2

16πεε 0 xR ( R −∫x ) 2

( R + x) 2
dt

q
=
.2 t
t 16πεε 0 xR
(R − x )2

[ ]

(x ≤ R )
(x > R )

1. §iƯn thÕ tại tâm quả cầu (x = 0) và trên mặt cầu (x = R):
V=

q
4 0 R

2. Điện thế tại điểm nằm ngoài quả cầu, cách mặt cầu một khoảng là a (x = R + a):
V=

q
4πεε 0 (R + a )

Khoa Vật Lí, trờng ĐH Khoa Học, ĐH Thái Nguyên

CuuDuongThanCong.com

/>

1-29. Tính điện thế tại một điểm trên trục của một đĩa tròn mang điện tích đều và cách tâm

đĩa một khoảng h. Đĩa có bán kính R, mật độ điện mặt .

Giải:
Chia đĩa thành những phần tử hình vành khăn bán kính x, bề rộng dx. Phần tử vành khăn
mang điện tích dq = .dS = .2xdx . Theo bài 1-25, điện thế do hình vành khăn gây là:
dq

dV =

4 0 x 2 + h 2

=

2xdx
4 0 x 2 + h 2

=

σxdx
2εε 0 x 2 + h 2

Điện thế do cả đĩa gây ra:
R

V = dV = ∫
0

VËy: V =

σ

2εε 0

σxdx
2εε 0 x 2 + h 2

(R

2

+ h2 − h

=2

t = x +h2

σ
4εε 0

R2 +h2

∫

h

2

R 2 + h2
dt

=

2 t
t 4 0
h2

[ ]

)

1-30. Khoảng cách giữa hai bản tụ điện là d = 5cm, cờng độ điện trờng giữa hai bản
không đổi và bằng 6.104V/m. Một electron bay dọc theo đờng sức của điện trờng từ
bản này sang bản kia của tụ điện với vận tốc ban đầu bằng không. Tìm vận tốc của
electron khi nó bay tới bản thứ hai của tụ điện. Giả thiết bỏ qua ảnh hởng của trọng
trờng.

Giải:
Công của lực điện trờng gia tốc cho electron là: A = eU = eEd.
Mặt khác:

A=



v2 =

1
1
1
mv 22 − mv12 = mv 22
2
2

2

(do v1 = 0)

2A
2eEd
2.1,6.10 −19.6.10 4.5.10 −2
=
=
≈ 3,26.107 (m / s )
−31
m
m
9,1.10

Khoa VËt LÝ, trờng ĐH Khoa Học, ĐH Thái Nguyên

CuuDuongThanCong.com

/>