CỰC TRỊ HÀM SỐ KHI BIẾT BẢNG XÉT DẤU
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.7 MB, 21 trang )
NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TỐN THEO 4 MỨC ĐỘ
DẠNG TOÁN 5: CỰC TRỊ HÀM SỐ KHI BIẾT BẢNG XÉT DẤU
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Định nghĩa: Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên khoảng a; b và điểm x0 a; b
a) Nếu tồn tại số h 0 sao cho f x f x0 với mọi x x0 h ; x0 h và x x0 thì ta nói hàm số
y f x đạt cực đại tại x0 .
b) Nếu tồn tại số h 0 sao cho f x f x0 với mọi x x0 h ; x0 h và x x0 thì ta nói hàm số
y f x đạt cực tiểu tại x0 .
Nếu hàm số y f x đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của
hàm số ; f x0 được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, còn điểm M x0 ; f x0 được
gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.
Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị: Giả sử hàm số y f x đạt cực trị tại điểm x0 . Khi đó, nếu
y f x có đạo hàm tại điểm x0 thì f x0 0 .
Chú ý:
+) f x có thể bằng 0 tại điểm x0 nhưng hàm số f không đạt cực trị tại điểm x0 .
+) Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số khơng có đạo hàm.
+) Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc tại đó hàm số
khơng có đạo hàm.
Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị: Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 . Khi đó, nếu hàm số f
có đạo hàm tại điểm x0 thì f ' x0 0 .
+) Nếu f ' x 0 trên khoảng x0 h; x0 và f ' x 0 trên khoảng x0 ; x0 h thì x0 là một điểm cực
đại của hàm số f x .
+) Nếu f ' x 0 trên khoảng x0 h; x0 và f ' x 0 trên khoảng x0 ; x0 h thì x0 là một điểm cực
tiểu của hàm số f x .
Giả sử y f x có đạo hàm cấp 2 trong khoảng x0 h; x0 h với h 0. Khi đó:
+) Nếu f ' x0 0, f x0 0 thì hàm số y f x đạt cực đại tại x0 .
+) Nếu f ' x0 0, f x0 0 thì hàm số y f x đạt cực tiểu tại x0 .
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Nhận dạng bảng biến thiên, nhận dạng hàm số.
Đếm số điểm cực trị biết đồ thị
Đếm số điểm cực trị biết bảng biến thiên.
Tìm điểm cực trị khi biết BBT, đồ thị.
Tìm điểm cực trị khi biết phương trình y , y .
…
BÀI TẬP MẪU
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA
Trang 1
NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TỐN THEO 4 MỨC ĐỘ
Cho hàm số f x có bảng xét dấu của đạo hàm f x như sau:
Hàm số f x có bao nhiêu điểm cực trị
C. 2 .
D. 3 .
Phân tích hướng dẫn giải
1. DẠNG TỐN: Đây là dạng tốn tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
2. HƯỚNG GIẢI:
B1: Từ bảng biến thiên đã cho, xét xem hàm số có xác định tại x0 và đạo hàm có đổi dấu khi qua x0 hay
A. 4 .
B. 1 .
không?
B2: Nếu điểm x0 thỏa mãn Bước 1, ta nói điểm x0 là điểm cực đại hay điểm cực tiểu (nếu cần).
Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:
Lời giải
Chọn A
Dựa vào bảng xét dấu f x , ta có: f x đổi dấu khi đi qua các điểm x 2 ; x 1 ; x 3 và x 5 .
Vậy, hàm số đã cho có 4 điểm cực trị.
Bài tập tương tự và phát triển:
Mức độ 1
Câu 1. Cho hàm số y f x xác định trên
và có bảng xét dấu của đạo hàm như sau.
Khi đó số cực trị của hàm số y f x là
A. 3 .
B. 2 .
Chọn A
Do hàm số xác định trên
C. 1 .
Lời giải
D. 4 .
và có biểu thức đạo hàm đổi dấu ba lần tại x1 ; x2 ; x3 nên hàm số
y f x có ba cực trị.
Câu 2.
Cho hàm số 𝑓(𝑥) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:
Hàm số có bao nhiêu điểm cực tiểu ?
A. 2 .
B. 3 .
C. 0 .
Lời giải
D. 1 .
Chọn A
Dựa vào bảng xét dấu f x , ta có: f x đổi dấu từ sang khi đi qua các điểm x 1 ;
Câu 3.
x 4.
Vậy, hàm số đã cho có 2 điểm cực tiểu.
Cho hàm số f x có bảng xét dấu của f x như hình vẽ
Hàm số đã cho đạt cực đại tại
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA
Trang 2
NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TỐN THEO 4 MỨC ĐỘ
B. x 1 .
A. x 3 .
C. x 1 .
D. y 1 .
Lời giải
Chọn B
Dựa vào bảng xét dấu f x , ta có: f x đổi dấu từ sang khi đi qua các điểm x 1 .
Câu 4.
Nên hàm số đã cho đạt cực đại tại x 1 .
Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.
Giá trị cực đại của hàm số đã cho là
A. y 1.
B. x 0 .
D. x 1 .
C. y 0 .
Lời giải
Chọn A
Dựa vào BBT ta thấy giá trị cực đại của hàm số đã cho là y 1.
Câu 5.
Cho hàm số f x xác định trên
và có bảng xét dấu f x như hình bên. Khẳng định nào
sau đây sai?
B. Hàm số đạt cực đại tại x 3 .
D. Hàm số có hai điểm cực trị.
Lời giải
A. Hàm số đạt cực tiểu tại x 2 .
C. x 1 là điểm cực trị của hàm số.
Chọn B
Bảng biến thiên của hàm số
x
f x
3
0
1
0
2
0
f x
Dựa theo BBT, ta thấy phương án B sai.
Câu 6.
Cho hàm số y
f x liên tục trên
và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hỏi hàm số đó có bao
nhiêu điểm cực trị?
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA
Trang 3
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
A. 0 .
B. 3 .
50 BÀI TOÁN THEO 4 MỨC ĐỘ
C. 1 .
Lời giải:
D. 2 .
Chọn D
Dựa vào đồ thị, ta có bảng biến thiên:
Câu 7.
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số có 2 điểm cực trị.
Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Giá trị cực đại của hàm số bằng
A. 1 .
Câu 8.
B. 2 .
C. 1 .
Lời giải
D. 0 .
Chọn A
Dựa vào đồ thị của hàm số ta có hàm số đạt cực đại tại x 0 và giá trị cực đại bằng 1 .
Cho hàm số y f x liên tục trên
và có bảng xét dấu của f x như sau:
Tìm số cực trị của hàm số y f x
A. 3.
B. 0.
C. 2.
Lời giải
D. 1.
Chọn C
Dựa vào bảng xét dấu của f x ta thấy f x đổi dấu 2 lần.
Câu 9.
Vậy số điểm cực trị của hàm số là 2 .
Cho hàm số y f (x ) liên tục trên và có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ.
0
x
1
0
f'(x)
2
0
4
0
Hàm số y f (x ) có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 4 .
B. 1 .
C. 2 .
Lời giải
D. 3 .
Chọn A
f x đổi dấu 4 lần khi qua các điểm 1;0;2;4 nên hàm số có 4 điểm cực trị.
TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA
Trang 4
NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TỐN THEO 4 MỨC ĐỘ
Câu 10. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ.
y
4
f(x)=x^3-3x^2+4
f(x)=4
x(t)=3 , y(t)=t
x
2
-
Trên 1;3 đồ thị hàm số y f x có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 3 .
C. 0 .
B. 1 .
D. 2 .
Lời giải
Chọn D
Quan sát đồ thị hàm số trên ta thấy đồ thị hàm số có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu
trong khoảng 1;3 lần lượt là 0; 4 và 2; 0 . Vậy hàm số có 2 điểm cực trị trong khoảng
1;3 .
Mức độ 2
Câu 1.
Cho hàm số f x có đạo hàm trên
và có bảng xét dấu f x như sau
Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Hàm số y f x đạt cực trị tại x 2 .
B. Hàm số y f x đạt cực đại tại x 1 .
C. Hàm số y f x đạt cực tiểu tại x 1 .
D. Hàm số y f x có hai điểm cực trị.
Lời giải
Chọn A
f x không đổi dấu qua x 2 . Suy ra, hàm số không đạt cực trị tại x 2 .
Câu 2.
Cho hàm số y f x , có đạo hàm là f x liên tục trên
và hàm số f x có đồ thị như
hình dưới đây.
Hỏi hàm số y f x có bao nhiêu cực trị ?
A. 1.
B. 0.
TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA
C. 3.
D. 2.
Trang 5
NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TỐN THEO 4 MỨC ĐỘ
Lời giải
Chọn C
x a
Ta có f x 0 x b (Trong đó 2 a 0 b c 2 )
x c
Ta có bảng xét dấu
Dựa vào bảng xét dấu ta thấy hàm số y f x có 3 cực trị.
Câu 3.
Cho hàm số y f x . Hàm số y f x có đồ thị trên một khoảng K như hình vẽ bên.
Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. 1.
B. 2.
C. 4.
Lời giải
D. 3.
Chọn B
Dựa vào đồ thị của hàm số y f x , ta có bảng xét dấu:
Như vậy: trên K , hàm số y f x có điểm cực tiểu là x1 và điểm cực đại là x2 , x3 không
Câu 4.
phải là điểm cực trị của hàm số.z
Cho hàm số y f x liên tục trên
x
-∞
f '(x)
Kết luận nào sau đây đúng
A. Hàm số có 4 điểm cực trị.
C. Hàm số có 2 điểm cực trị.
1
0
và có bảng xét dấu f x như sau:
2
+
3
+
4
0
+∞
+
B. Hàm số có 2 điểm cực đại.
D. Hàm số có 2 điểm cực tiểu.
Lời giải
Chọn D
Dựa vào bảng xét dấu, ta có:
f x đổi dấu 3 lần khi qua các điểm 1,3, 4 . Suy ra loại phương án A.
f x đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm 1; 4 và đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm
Câu 5.
3 . Suy ra hàm số có 2 điểm cực tiểu.
Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau:
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA
Trang 6
NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TỐN THEO 4 MỨC ĐỘ
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số đã cho có một điểm cực tiểu và khơng có điểm cực đại.
B. Hàm số đã cho có một điểm cực đại và có một điểm cực tiểu.
C. Hàm số đã cho có một điểm cực đại và khơng có điểm cực tiểu.
D. Hàm số đã cho khơng có cực trị.
Lời giải.
Chọn A
Hàm số không xác định tại x1 nên x1 không là điểm cực trị.
Tại x2 hàm số không có đạo hàm nhưng vẫn xác định, đồng thời đạo hàm đổi dấu từ ' ' qua
' ' khi qua x2 nên x2 là điểm cực tiểu.
Câu 6.
Cho hàm số y f x có bảng xét dấu f x như sau
Chọn khẳng định sai.
A. Hàm số f x đạt cực đại tại x 3 .
B. Hàm số f x nghịch biến trên 3 .
C. Hàm số f x đồng biến trên 3; .
D. f x 0 , x
.
Lời giải
Chọn A
Từ bảng xét dấu f x ta có bảng biến thiên như sau:
Dựa vào BBT, hàm số f x đạt cực đại tại x 0 . Suy ra A sai.
Câu 7.
Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên
và có bảng xét dấu f x như sau. Tìm khẳng
định đúng?
A. Hàm số đạt cực đại tại x 1 và đạt cực tiểu x 2 .
B. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1 .
C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1 và giá trị nhỏ nhất bằng 0 .
D. Hàm số có đúng một cực trị.
Lời giải.
TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA
Trang 7
NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TỐN THEO 4 MỨC ĐỘ
Chọn A
Từ bảng xét dấu, ta có bảng biến thiên:
Câu 8.
Từ bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực đại tại x 1 và đạt cực tiểu x 2 .
Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên \ 1 và có bảng biến thiên như hình dưới đây.
.
Câu 9.
Hãy chọn khẳng định đúng.
A. Hàm số đạt cực đại tại x 1 , cực tiểu tại x 0 .
B. Hàm số có GTLN bằng 1 và GTNN bằng 1 .
C. Hàm số có 3 cực trị.
D. Hàm số đạt cực đại tại x 1 , cực tiểu tại x 0 .
Lời giải.
Chọn D
Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực đại tại x 1 , cực tiểu tại x 0 .
Cho hàm số y f x . Biết f x có đạo hàm là f x và hàm số y f x có đồ thị như
hình vẽ bên. Kết luận nào sau đây là đúng?
A. Đồ thị của hàm số y f x chỉ có hai điểm cực trị và chúng nằm về hai phía của trục hoành.
B. Hàm số y f x chỉ có hai điểm cực trị.
C. Hàm số y f x đồng biến trên khoảng 1;3 .
D. Hàm số y f x nghịch biến trên khoảng ; 2 .
Lời giải:
Chọn C
Vì y 0 có ba nghiệm phân biệt nên hàm số hàm số y f x có ba điểm cực trị. Do đó loại
hai phương án A và B .
Vì trên ; 2 thì f x có thể nhận cả dầu âm và dương nên loại phương án D .
Vì trên 1;3 thì f x chỉ mang dấu dương nên y f x đồng biến trên khoảng 1;3 .
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA
Trang 8
NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TỐN THEO 4 MỨC ĐỘ
Câu 10. Cho hàm số y f x liên tục trên
và có bảng xét dấu f x như sau. Kết luận nào sau đây
đúng.
A. Hàm số có hai điểm cực trị.
B. Hàm số đã cho có đúng một điểm cực trị.
C. Hàm số đã cho khơng có giá trị cực đại.
D. Hàm số đã cho khơng có giá trị cực tiểu.
Lời giải:
Chọn A
Từ bảng xét dấu f x , ta có bảng biến thiên như sau:
Từ bảng biến thiên, hàm số y f x có 2 điểm cực trị là x 1 và x 2 .
Lưu ý: Tại x 2 , hàm số liên tục và đạo hàm f x đổi dấu từ âm qua dương.
Mức độ 3
Câu 1. Hàm số y f x xác định, liên tục trên
và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ.
Hàm số y f x có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 6 .
C. 3 .
Lời giải:
B. 4 .
D. 5 .
Chọn D
y f x y f x nên số cực trị của hàm y f x cũng chính là số cực trị của
hàm số y f x (vì số lần đổi dấu của đạo hàm là như nhau)
Quan sát bảng xét dấu của hàm y f x ta thấy đạo hàm đổi dấu 5 lần.
Vậy hàm số y f x có 5 điểm cực trị.
Câu 2.
Hàm số y f x liên tục trên
và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ. Hỏi hàm số
y f 2 x 1 có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 3 .
B. 2 .
C. 1 .
Lời giải:
D. 4 .
Chọn B
Chọn f x x 1 x 2 x 3 f 2 x 1 2 x. 2 x 2 . 2 x 3
3
Ta có y 2 f 2 x 1 4 x. 2 x 2 . 2 x 3 ; y 0 x 0;1;
2
Vậy hàm số đã cho có điểm cực trị.
TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA
Trang 9
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
Câu 3.
Cho hàm số y f x có đạo hàm trên
50 BÀI TỐN THEO 4 MỨC ĐỘ
và có bảng xét dấu f x như sau
Hỏi hàm số y f x 2 2 x có bao nhiêu điểm cực tiểu?
A. 4 .
B. 2 .
C. 3 .
Lời giải:
D. 1 .
Chọn D
Đặt g x f x 2 2 x . Ta có g x 2 x 2 f x 2 2 x .
x 1
x 1
x 1
2
2
x 2 x 2
x 2x 2 0
x 1 2
.
g x 0 2
2
x 2x 1
x 2x 1 0
x 1
x 3
x 2 2 x 3
x 2 2 x 3 0
Trong đó các nghiệm 1, 1, 3 là nghiệm bội lẻ và 1 2 là nghiệm bội chẵn. Vì vậy hàm số
g x chỉ đổi dấu khi đi qua các nghiệm 1, 1, 3 .
Ta có g 0 2 f 0 0 (do f 0 0 ).
Bảng xét dấu g x
Vậy hàm số y f x 2 2 x có đúng 1 điểm cực tiểu là x 1 .
Câu 4.
Cho hàm số f x có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
1
Đặt g x f x 2 x3 2 x 2 3x 2021 . Khẳng định nào sau đây đúng?
3
A. Hàm số y g x đạt cực đại tại x 1 .
B. Hàm số y g x có
điểm cực trị.
C. Hàm số y g x nghịch biến trên khoảng 1; 4 .
D. g 5 g 6 và g 0 g 1 .
Lời giải
Chọn A
Ta có y f x 2 x 2 4 x 3
f x 2 0 x 1;1;3
x2 4 x 3 0 x 1 x 3 .
Ta có bảng xét dấu:
TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA
Trang 10
NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TỐN THEO 4 MỨC ĐỘ
(kxđ: không xác định)
Dựa vào bảng xét dấu, ta suy ra g x đạt cực đại tại x 1 .
Câu 5.
Cho hàm số y f x liên tục trên
y f x
, hàm số y f ' x có đồ thị như hình vẽ. Hàm số
2020 2021x
có số điểm cực trị là:
2020
A. 4 .
D. 1 .
C. 2 .
Lời giải
B. 3 .
Chọn A
Ta có:
2020 2021x
2021
y ' f ' x
2021
2020
2021
y ' 0 f ' x
2020
y f x
Dựa vào hình vẽ ta nhận thấy phương trình f ' x
2021
có 4 nghiệm phân biệt
2020
Vậy hàm số có 4 điểm cực trị
2020
2 nên dựa vào đồ thị nhìn thấy đường thẳng nằm trong vùng từ
Lưu ý: Do 1
2021
từ đó quan sát thấy có 4 nghiệm.
Câu 6.
đến 2
Cho hàm số y f x có bảng xét dấu f x . Hàm số y f x 3 có bao nhiêu điểm cực trị
B. 6 .
A. 5 .
Chọn C
C. 3 .
Lời giải
D. 1 .
y f x 3 1 , Đặt t x 3 , t 0 . Thì 1 trở thành: y f t t 0 .
Có t
x 3
2
tx/
x 3
x 3
2
Có yx/ tx/ f / t
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA
Trang 11
NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TỐN THEO 4 MỨC ĐỘ
x 3
x 3
/
t
0
x
/
/ /
y x 0 tx f t 0 /
t 2 L x 7
f t 0
t 4
x 1
Lấy x 8 có t / 8 f / 5 0 , đạo hàm đổi dấu qua các nghiệm đơn nên ta có bảng biến thiên:
-∞
x
_
y/
0
+∞
7
3
-1
_
+
0
+∞
+
+∞
CĐ
y
CT
CT
Dựa vào BBT thì hàm số y f x 3 có 3 cực trị.
Câu 7.
Hàm số y f x liên tục trên
và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ.
Hàm số y f 2020 x 2021 có bao nhiêu điểm cực đại?
A. 2 .
C. 3 .
Lời giải:
B. 1 .
D. 0 .
Chọn A
Hàm số y f x có 2 điểm cực đại Hàm số y f 2019 x 2020 có 2 điểm cực đại.
Câu 8.
Cho hàm số y f x có đạo hàm f x trên khoảng ; . Đồ thị của hàm số y f x
như hình vẽ
Đồ thị của hàm số y f x có bao nhiêu điểm cực đại, cực tiểu?
2
A. 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.
C. 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.
B. 1 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.
D. 3 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.
Lời giải:
Chọn A
Từ đồ thị hàm số ta có bảng biến thiên
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA
Trang 12
NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TỐN THEO 4 MỨC ĐỘ
f x 0
2
.
y f x y 2 f x . f x 0
f x 0
x x1
x 0
Quan sát đồ thị ta có f x 0 x 1 và f x 0 x 1 với x1 0;1 và x2 1;3 .
x x2
x 3
f x 0
x 3;
f x 0
x 0; x1 1; x2 3;
Suy ra y 0
x 0; x1 1; x2
f x 0
f x 0
Từ đó ta lập được bảng biến thiên của hàm số y f x
2
Suy ra hàm số có 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.
Câu 9.
Cho hàm số y f x có đồ thị hình bên. Hàm số y f x có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 3 .
B. 1 .
C. 2 .
Lời giải:
D. 5 .
Chọn A
Đồ thị hàm số y f x được suy ra từ đồ thị C của hàm số y f x như sau:
+ Giữ nguyên phần đồ thị C năm bên phải trục Oy .
+ Bỏ phần đồ thị C nằm bên trái trục Oy .
+ Lấy đối xứng phần đồ thị C nằm bên phải trục Oy qua Oy .
Đồ thị hàm số y f x là hợp của hai phần trên.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA
Trang 13
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
Vậy hàm số y f x có
50 BÀI TỐN THEO 4 MỨC ĐỘ
điểm cực trị.
Câu 10. Cho hàm số y f x liên tục trên
và có đồ thị như hình vẽ. Hỏi đồ thị hàm số y f x
có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?
B. 3 .
A. 5 .
D. 4 .
C. 2 .
Lời giải:
Chọn A
Ta có đồ thị hàm y f x như hình vẽ sau:
Từ đồ thị ta thấy ngay đồ thị hàm số có năm điểm cực trị.
Mức độ 4
Câu 1.
Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên
, bảng biến thiên của hàm số f ' x như sau:
Số điểm cực trị của hàm số y f x 2 2 x là
B. 5 .
A. 4 .
D. 7 .
C. 1 .
Lời giải
Chọn B
x 1
Ta có y 2 x 2 f x 2 2 x 0
2
f ' x 2 x 0
x 2 2 x a 1
Từ BBT ta thấy phương trình 1 x 2 2 x b 1;1
2
x 2 x c 1
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA
1
.
2
3 .
4
Trang 14
NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TỐN THEO 4 MỨC ĐỘ
Đồ thị hàm số y x 2 2 x có dạng
Từ đồ thị hàm số y x 2 2 x ta thấy phương trình (2) vơ nghiệm; phương trình ( ) ; phương
trình (4) đều có 2 nghiệm phân biệt.
Do đó y 0 có 5 nghiệm đơn phân biệt. Vậy hàm số y f x 2 2 x có 5 điểm cực trị.
Câu 2.
Cho hàm số bậc bốn f x có bảng xét dấu như sau:
Số điểm cực trị của hàm số g x x 4 f x 1 là
2
A. 11 .
B. 9 .
C. 7 .
Lời giải
D. 5 .
Chọn B
Ta chọn hàm f x 5 x 4 10 x 2 3 .
Đạo hàm
g x 4 x3 f x 1 2 x 4 f x 1 f x 1 2 x3 f x 1 2 f x 1 xf x 1 .
2
x 0
2 x3 f x 1 0
f x 1 0
Ta có g x 0
.
2 f x 1 xf x 1 0
2 f x 1 xf x 1 0
x 1 1, 278
x 1 0, 606
4
+) f x 1 0 * 5 x 1 10 x 1 3 0
x 1 0, 606
x 1 1, 278
Phương trình có bốn nghiệm phân biệt khác 0 .
t x 1
+) 2 f x 1 xf x 1 0 2 5t 4 10t 2 3 t 1 20t 3 20t 0
t 1,199
t 0, 731
30t 4 20t 3 40t 2 20t 6 0
t 0, 218
t 1, 045
Phương trình có bốn nghiệm phân biệt khác 0 và khác các nghiệm của phương trình * .
TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA
Trang 15
NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TỐN THEO 4 MỨC ĐỘ
Vậy số điểm cực trị của hàm số g x là 9 .
Câu 3.
có đạo hàm f x liên tục trên
Cho hàm số y f x liên tục trên
và có bảng xét dấu
như hình vẽ bên
Hỏi hàm số y f x 2 2 x có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?
C. 9 .
Lời giải
B. 7 .
A. 4 .
Chọn C
Tập xác định của hàm số: D
y h x f x
D. 11 .
.
x
2 x . . 2 x 2.
x
* y h x f x 2 x
2
2
x 1
x 1
x 1
x 2
x 1
2
x 2
.
h x 0 x 2 x 0
x 1 2
2
x 2 x 1
x 1 2
2
x 2 x 2
x 1 3
x 1 3
Ta thấy phương trình h x 0 có 8 nghiệm đơn 1 .
h x không tồn tại tại x 0 mà x 0 thuộc tập xác định đồng thời qua đó h x đổi dấu 2 .
Từ 1 và 2 suy ra hàm số đã cho có 9 điểm cực trị.
Câu 4.
Cho hàm số y f x là một hàm đa thức có bảng xét dấu f x như sau
Số điểm cực trị của hàm số g x f x 2 x
B. 3 .
A. 5 .
Chọn A
C. 1 .
Lời giải
D. 7 .
Ta có g x f x 2 x f x x . Số điểm cực trị của hàm số f x bằng hai lần số
2
điểm cực trị dương của hàm số f x cộng thêm .
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA
Trang 16
NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TỐN THEO 4 MỨC ĐỘ
1
1
x 2
x
2
Xét hàm số h x f x 2 x h x 2 x 1 f x 2 x 0 x 2 x 1
.
1 5
2
x 2
x x 1
Bảng xét dấu hàm số h x f x 2 x
Hàm số h x f x 2 x có 2 điểm cực trị dương, vậy hàm số
g x f x 2 x f x x có 5 điểm cực trị.
2
Câu 5. Hình vẽ là đồ thị hàm số y
f x .
Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y
f x
điểm cực trị. Tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng
A. 9 .
B. 12 .
C. 15 .
D. 18 .
Lời giải
Chọn B
Tịnh tiến đồ thị hàm số y f x sang phải đơn vị, ta được đồ thị hàm số y
Do đó đồ thị hàm số y
f x
f x 1.
m với m nguyên dương ta phải tịnh tiến đồ thị hàm số
f x 1 lên trên m đơn vị
Để thỏa mãn điều kiện đề bài thì đồ thị hàm số y
(khơng phải là điểm cực trị của chính nó), do đó 3
Câu 6.
m có 5
f x 1 có 3 cực trị và có 4 giao điểm với Ox.
Để được đồ thị hàm số y
y
1
Cho hàm số y
f x xác định trên
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA
m
f x 1
6
S
m cắt Ox tại đúng 2 điểm
3;4;5 .
và có bảng biến thiên như sau:
Trang 17
NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TỐN THEO 4 MỨC ĐỘ
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y
m có
C. 0 m 1 .
Lời giải
B. m 0 .
A. m 0 .
f x
điểm cực trị
D. 0 m 1 .
Chọn A
Xét đồ thị y
f x
m khi m thay đổi thì đồ thị hàm số sẽ tịnh tiến dọc theo trục Oy .
Từ bảng biến thiên ta thấy y
Câu 7.
f x đồ thị hàm số đã cho có 2 điểm cực trị nằm bên phải trục
Oy . Suy ra hàm số y
f x
Để hàm số y
m có
f x
m có 5 điểm cực trị.
điểm cực trị thì phương trình f x
nghiệm phân biệt 1 m 0 0 m 1 .
Cho hàm số y f x liên tục và xác định trên
m
0 phải có 6
có đồ thị đạo hàm y f x như hình vẽ.
Hỏi hàm số y f x x 1 có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?
B. 1 .
A. 4 .
D. 3 .
C. 2 .
Lời giải
Chọn C
f 1 2 x ,
Đặt y g x f 1 ,
f 2 x 1
2 f 1 2 x , x ;0
x ;0
x 0;1 g x 0,
x 0;1
x 1;
x 1;
2 f 2 x 1 ,
2 f 1 2x
Xét g x 0
g x
0 khi x
0
2f
khi x
2x 1
0
;0
0;1
khi x
1;
1
2
3
Xét phương trình 1 g x 2 f 1 2 x 0 với x ;0 thì 1 2 x
1;
. Dựa
vào đồ thị hàm số ta thầy phương trình g x 2 f 1 2 x 0 có 1 nghiệm duy nhất và
f 1 2 x đổi dấu tạ nghiệm đó.
Xét phương trình 2 , phương trình này có vố số nghiệm bằng 0 trên nửa đoạn 0; 1 , do đó
hàm số khơng có cực trị.
Xét phương trình 3 , g x 2 f 2 x 1 0 với x 1; thì 2 x 1
1;
. Dựa vào
bảng biến thiên ta thấy phương trìn g x 2 f 2 x 1 0 có 1 nghiệm duy nhất và
f 2 x 1 đổi dấu tại nghiệm đó.
Do đó hàm số y g x f x x 1 có 2 điểm cực trị.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA
Trang 18
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
Câu 8.
Cho hàm số y
50 BÀI TỐN THEO 4 MỨC ĐỘ
f x có đạo hàm f ' x
x 1
B. 17 .
x2
2 x , với mọi x
f x2
giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y
A. 15 .
2
8x
. Có bao nhiêu
m có 5 điểm cực trị?
C. 16 .
Lời giải
D. 18
Chọn D
Ta có: g ' x
8 . f ' x2
2x
Mà f ' x
x 1
Suy ra *
x2
2
x2
8x
x2
8x
m 1
x
2
8x
m
x
2
8x
m 2
8x
2
2x
m 1
x 1 x x
2
x2
8x
4
x
0
m
f ' x2
2; x
m x2
8x
8x
0 (*)
m
. (I)
R.
m 2
0
0 (1)
0
(2) .
0 (3)
Qua các nghiệm của phương trình ( ) (nếu có) thì g ' x đều khơng đổi dấu. Do đó ta khơng
xét phương trình ( ).
Để hàm số đã cho có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình (2);( ) có 2 nghiệm phân biệt
khác 4.
16 m 0
16 m 2 0
m 16
16 m 0
18 m 0
Kết hợp m
Câu 9.
Z
có 15 giá trị m cần tìm.
Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên
. Đồ thị hàm số y f x như hình vẽ bên.
2
2
Hàm số y f x 4 x x 4 x có bao nhiêu điểm cực trị thuộc khoảng 5;1 ?
B. 4 .
A. 5 .
Chọn A
g x 2x 4 f x
C. 6 .
Lời giải
D. 3 .
2
2
Đặt g x f x 4 x x 4 x
2
4 x 2 x 4 2 x 4 f x 2 4 x 1 .
2 x 4 0
2
x 4 x 4
(1)
Ta có g x 0 2
.
x 4x 0
(2)
x 2 4 x a 1;5 (3)
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA
Trang 19
NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TỐN THEO 4 MỨC ĐỘ
Xét phương trình x 2 4 x a 1;5 , ta có BBT của hàm số y x2 4 x trên 5;1 như sau:
Suy ra (1) có nghiệm kép x 2 , (2) có 2 nghiệm phân biệt x 4; x 0 , (3) có 2 nghiệm
phân biệt x x1; x x2 khác 2; 0; 4 . Do đó phương trình g x 0 có 5 nghiệm trong đó
có x 2 là nghiệm bội ba, các nghiệm x 4; x 0 ; x x1; x x2 là các nghiệm đơn.
Vậy g x có 5 điểm cực trị.
Câu 10. Cho hàm số
y f x , hàm số
y f x
có đồ thị như hình bên. Hàm số
5sin x 1 (5sin x 1)
g ( x) 2 f
3 có bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng (0;2 ) .
2
4
2
A. 9 .
B. 7 .
C. 6 .
Lời giải
D. 8 .
Chọn B
5sin x 1 5
Ta có: g ( x) 5cos xf
cos x 5sin x 1 .
2
2
5sin x 1 5
g ( x) 0 5cos xf
cos x 5sin x 1 0
2
2
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA
Trang 20
NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU
50 BÀI TỐN THEO 4 MỨC ĐỘ
cos x 0
5sin x 1
5sin x 1
f
2
2
cos x 0
cos x 0
5sin x 1 3 cos x 0
sin x 1
2
5sin x 1 6
5sin x 1
1
1 5sin x 1 2 sin x
2
5
2
5sin x 1 1
1
5sin x 1 3
sin x
2
3
3
5sin x 1 2
5sin x 1
3
1
sin x
2
5
x x 3
2
2
cos x 0
3
x
sin x 1
2
1
1
1
sin x x arc sin x 2 arc sin , ( Vì 0 x 2 ).
5
5
5
1
1
1
sin x
x arc sin x arc sin
3
3
3
3
3
3
sin x
x arc sin x arc sin
5
5
5
Suy phương trình g x 0 có 9 nghiệm, trong đó có nghiệm x
3
là nghiệm kép.
2
Vậy hàm số y g x có 7 cực trị.
TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA
Trang 21
