Tài liệu THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIÊN, KHỐI CẦU docx

Luyện thi đại học
1
THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIÊN, KHỐI CẦU.

Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = b, AB = BC = CA = a. Tính thể tích
khối chóp đó theo a, b?
Bài 2. Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ biết rằng thể tích tứ diện ACB’D’ là a
3
?
Bài 3. Cho hình chóp S.ABC. Trên các đoạn thẳng SA, SB,SC lần lượt lấy các điểm A’,
B’, C’ khác với S. Chứng minh rằng:
SA'B'C'
SABC
V
SA ' SB' SC '
.
VSASBS
=
C

Bài 4. Tính thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ biết rằng A’A, A’B, A’D đôi một vuông
góc và A’A = a, A’B = b, A’D = c.
Bài 5. Cho tam giác đều cạnh a. Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC)
tại A lấy điểm M. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, K là trực tâm của tam giác
BCM.
a. Chứng minh rằng
MC mp(BHK) và HK mp(BCM)⊥ ⊥
.
b. Khi M thay đổi trên d, tìm giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện KABC.
Bài 6. Cho hai đường thẳng chéo nhau d và d’. Đoạn thẳng AB có đọ dài a trượt trên d,
đoạn thẳng CD có độ dài b trươctj trên d’. Chứng minh rằng thể tích khối tứ diện ABCD

không đổi.
Bài 7. Cho lăng trụ tam giác đều ABC,A’B’C’ có chiều cao h và AB’ vuông góc với
BC’. Tính thể tích của khối lăng trụ theo h?
Bài 8. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’ = a, AD = b và ∠ACD = α.
Tính thể tích khối chóp C’.BCD’A’ theo a, b, α.
Bài 9. Cho tứ diện đều cạnh a. Chứng minh rằng tâm các mặt của nó là các đỉnh của
một tứ diện đều và tính thể tích tứ diện đó theo a.
Bài 10. Cho hình chóp A.BCD có DA, DB, DC đôi một cuông góc với nhau và DA = a,
DB = b, DC = c. Tính diện tích tam giác ABC theo a, b, c.
Bài 10. Cho điểm M trong góc tam diện vuông Oxyz có khoảng cách từ M tới các mặt
(Oyz), (Ozx), (Oxy) lần lượt là a, b, c. Mặt phẳng (α) qua M cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại
A, B, C. Tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích tứ diện OABC.
Bài 11. Cho tứ diện đều cạnh a. M là một điểm nằm trong tứ diện. Chứng minh rằng
tông khoảng cách từ M tới các mặt của tứ diện là một số không đổi.
Nguyễn Văn Giang Phone: 0978.678.755
Thể tích khối đa diện, khối cầu
2
Bài 12. Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với BC và AD tạo với mặt đáy (BCD)
một góc 60
0
, biết diện tích tam giác BCD bằng S. Một mặt phẳng (α) qua BC vuông góc
với AD và cắt AD tại E. Tính diện tích tam giác BCE theo S.
Bài 13. Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau và AB = a,
AC= b, AD = c. Tính bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD.
Bài 14. Cho M là một điểm nằm trong tứ diện ABCD. Các đường thẳng MA, MB, MC
lần lượt cắt các mặt đối diện tại A’, B’, C’, D’. Tìm giá trị nhở nhất của biểu thức
MA MB MC MD
T
MA'MB'MC'MD'
=+++

Bài 15. Cho hình chóp S.ABC có thể tích bằng 8. Gọi B’ là trung điểm của SB, C’ là
trung điểm của SC. Tính thể tích khối chóp A.BCC’B’.
Bài 16. Cho hình chóp S.ABC có SA = a, AB = b, BC = c và ba đoạn thẳng đó đôi một
vuông góc. Tính bán kính mặt cầu đi qua bồn điểm S, A, B, C và thể tích của khối cầu
đó.
Bài 17. Ba cạnh cuả một tam giác có độ dài 13, 14, 15. Một mặt cầu tiwwps xúc với ba
cạnh tại các tiếp điểm nằm trên ba cạnh đó. Tính thể tích khối cầu đó, biết khoảng cách
từ tâm khối cầu tới mặt phẳng chứa tam giác bằng 3.
Bài 18. Cho mặt cầu (O;R). Chứng minh rằng tập hợp điểm S sao cho từ đó có thể kẻ
tới mặt cầu (O;R) ba tiếp tuyến đôi một vuông góc là một mặt cầu. Hãy tính tỷ số thể
tích của hai khối cầu đó.
Bài 19. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các góc phẳng tại đỉnh A bằng 60
0
và các
cạnh AB = AD = AA’ = a.
a. Chứng minh rằng tồn taị mặt cầu tiếp xúc với sáu mặt của hình hộp.
b. Tính diện tích của mặt cầu và thể tích của khối cầu đó.
Bài 20. Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD tâm O có cạnh bằng a. Trên đường
thẳng Ax vuông góc với (P) ta lấy một điểm S tùy ý và dựng mặt phẳng (Q) đi qua A và
vuông góc với SC. Mặt phẳng (Q) cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. ChỨNG minh
khi S di chuyển trên Ax thì bảy điểm A, B, C, D, B’, C’, D’ luôn luôn thuộc mặt cầu cố
định. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.
Bài 21. Một mặt cầu nội tiếp hình nón có bán kính đáy là 5a, đường cao là 13a. Tính thể
tích khối cầu đó.
Bài 22. Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD = a, ∠BAC = 90
0
, ∠DAB = ∠DAC =
60
0

. Tính diện tích của mặt cầu đi qua bốn đỉnh của tứ diện và thể tích của khối cầu đó.
Bài 23. Trong mp(P) cho đường tròn (C) đường kính AB = 2R, tâm O. Gọi O’ là điểm
đối xứng với O qua A. Dựng O’z vuông góc vơi (P), trên đó lấy O’T = 2R.
Nguyễn Văn Giang Phone: 0978.678.755
Luyện thi đại học
3
a. Xác định tâm I của mặt cầu (S) đi qua T cắt (P) theo giao tuyến là đường tròn
(C)
b. Gọi OI =x. Tính x theo R. Tính thể tích của khối cầu (S).
Bài 24. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, mặt bên hợp với mặt
đáy một góc ϕ. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.Bài 21.
Bài 25. Cho tứ diện S.ABC có SA, SB, SC vuông góc với nhau đôi một và có độ dài lần
lượt là a, b, c. Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Bài 26. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân, AB = AC = a, mặt phẳng
(SBC) vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) và SA = SB = a.
a. Chứng minh tam giác SBC vuông.
b. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp thình chóp, biết SC=x.
Bài 27. Cho tứ diện S.ABC có các cạnh bên SA = SB = SC = d và ∠ASB = 120
0
,
∠BSC = 60
0
, ∠ASC = 90
0
.
a. Chứng minh tam giác ABC vuông.
b. Tính thể tích tứ diện S.ABC.
c. Tính bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện S.ABC.
Bài 28. Cho tứ diện ABCD có AB = BC = AD = CA = DB =
a2

và CD = 2a. Xác
định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Bài 29. Lập phương trình mặt cầu trong mỗi trường hợp sau:
a. Tâm I(0; 1; -1) và đi qua điểm M(2; 3; -4)
b. Có đường kính AB, với A(1; -2; 3), B(5; 6; -1)
c. Tâm I(1; -1; 2) tiếp xú với mặt phẳng (Oxz)
d. Tâm I(3; -4; 6) tiếp xúc với trục hoành.
e. Có tâm I thuộc Oy và đi qua 2 điểm A(1; 0; 0), B(1; 2; 1).
Bài 30. Tìm tâm và bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện O.ABC, biết A(1; 0; 0), B(0; 2; 0),
C(0; 0; 3).
Bài 31. Tính bán kính mặt cầu trong mỗi trường hợp sau:
a. Tâm I(2; 1; 3) và tiếp xúc với đường thảng qua A(3; 0; 4), B(1; 2; -3).
b. Tâm I(-2; 1; -1) và tiếp xúc với mặt phẳng qua ba điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0),
C(0; 0; 1).
Nguyễn Văn Giang Phone: 0978.678.755