on tap KSHS

<span class='text_page_counter'>(1)</span>BÀI 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 1. Định nghĩa: Hàm số f đồng biến trên K  [x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) < f(x2)] Hàm số f nghịch biến trên K  [x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) > f(x2)] 2. Điều kiện cần: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I. a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f(x)  0, x  I b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f(x)  0, x  I 3. Điều kiện đủ: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I. a) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I. b) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I. c) Nếu f(x) = 0, x  I thì f không đổi trên I (hàm hằng số). Ch ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó. VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau: – Tìm tập xác định của hàm số. – Tính y. Tìm các điểm mà tại đó y = 0 hoặc y không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn) – Lập bảng xét dấu y (bảng biến thiên). Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. VD: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 3 2 4 3 a) y  x  3 x  9 x  5 b) y  x  2 x  2 x  1 x 1 y x 1 c). x 2  2x  2 y x 1 d). 2 e) y  4  x. f) y  x 4  x BÀI TẬP VỀ NHÀ. Baøi 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 2 a) y  2 x  4 x  5. b). y. x2 5 x 4 4. 3 2 d) y x  2 x  x  2 3 2 f) y  x  3 x  4 x  1 4. 2. h) y  x  2 x  3 k) m) o). y. 2x  1 x 5. y 1 . 2 e) y (4  x )( x  1) 1 y  x 4  2 x2  1 4 g). 1 1 y  x4  x2  2 10 10 i) l). 1 1 x. y  x  3 . 2 c) y x  4 x  3. n) 1 1 x. y. x 1 2 x. y y. 2 x 2  x  26 x 2. 4 x 2  15 x  9 3x. p) Baøi 2. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> y. 4 3 2 a) y  6 x  8 x  3 x  1. y c) y e). x2  x 1. b) y. 2. x  x 1. x2  1 x2  4. 2x  1. d). x2. x f) y  x  3  2 2  x. 2. x  3x  2. g) y  2 x  1 . 3 x. 2 h) y  x 2  x. 2 i) y  2 x  x VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định) Cho hàm số y  f ( x, m) , m là tham số, có tập xác định D..  Hàm số f đồng biến trên D  y  0, x  D.  Hàm số f nghịch biến trên D  y  0, x  D. Từ đó suy ra điều kiện của m. Chú ý: 1) y = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm. 2 2) Nếu y ' ax  bx  c thì: a  0 y ' 0, x  R     0 . a  0 y ' 0, x  R     0  Nếu a có tham số m thì ta xét riêng trường hợp: a = 0. 2 3) Định lí về dấu của tam thức bậc hai g( x ) ax  bx  c :  Nếu  < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a..  Nếu  = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x =. . b 2a ).  Nếu  > 0 thì g(x) có hai nghiệm x1, x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a.. 2 4) So sánh các nghiệm x1, x2 của tam thức bậc hai g( x ) ax  bx  c với số 0:   0   0   x1  x2  0   P  0 0  x1  x2   P  0 S  0 S  0  . x  0  x2  P  0  1 (hay ac < 0) VD1: Định m để hàm số luôn đồng biến 3 2 a) y  x  3 x  mx  m 3 2 b) y mx  (2m  1) x  (m  2) x  2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> c). y. mx  4 xm y. x 2  mx  3 m x. VD2: Định m để hàm số luôn nghịch biến: 3 2 VD3: Định m để hàm số y  x  3x  (m  1) x  4m nghịch biến trong (- 1; 1) 3 2 2 VD4: Định m để hàm số y  x  (m  1) x  ( 2m  3m  2) x tăng trên (2;) 3 2 VD5: Định m để hàm số y  x  3x  mx  m nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1. BÀI TẬP VỀ NHÀ Baøi 1. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn đồng biến trên từng khoảng xác định (hoặc tập xác định) của nó:. 3 a) y x  5 x  13. x3 y   3x 2  9 x  1 3 b). 2x  1 y x 2 c). x2  2x  3 y x 1 d) y. x 2  2mx  1 x m. e) y 3 x  sin(3 x  1) f) Baøi 2. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định (hoặc tập xác định) của nó: a) y  5 x  cot( x  1) b) y cos x  x c) y sin x  cos x  2 2 x Baøi 3. Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác định (hoặc từng khoảng xác định) của nó: 3 2 a) y  x  3mx  (m  2) x  m b). c) f). y. xm x m. y. x 2  2mx  3m 2 x  2m. d). y. y. mx  4 x m. x 3 mx 2   2x 1 3 2 e). y. x 2  2mx  1 x m. Baøi 4. Tìm m để hàm số: 3 2 a) y  x  3 x  mx  m nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1.. 1 1 y  x 3  mx 2  2mx  3m  1 3 2 b) nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 3. 1 y  x 3  (m  1) x 2  (m  3) x  4 3 c) đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 4. Baøi 5. Tìm m để hàm số:. a). y. x3  (m  1)x 2  (m  1) x  1 3 đồng biến trên khoảng (1; +).. 3 2 b) y x  3(2m  1) x  (12m  5) x  2 đồng biến trên khoảng (2; +).. c). y. mx  4 (m 2) x m đồng biến trên khoảng (1; +)..

<span class='text_page_counter'>(4)</span> d) e). y. x m x  m đồng biến trong khoảng (–1; +).. y. x 2  2mx  3m 2 x  2m đồng biến trên khoảng (1; +)..  1   2 x 2  3x  m y   ;   . 2x 1 f) nghịch biến trên khoảng  2 VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau:  Chuyển bất đẳng thức về dạng f(x) > 0 (hoặc <, ,  ). Xét hàm số y = f(x) trên tập xác định do đề bài chỉ định.  Xét dấu f (x). Suy ra hàm số đồng biến hay nghịch biến.  Dựa vào định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến để kết luận. Chú ý: 1) Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của f (x) thì ta đặt h(x) = f (x) và quay lại tiếp tục xét dấu h (x) … cho đến khi nào xét dấu được thì thôi. 2) Nếu bất đẳng thức có hai biến thì ta đưa bất đẳng thức về dạng: f(a) < f(b). Xét tính đơn điệu của hàm số f(x) trong khoảng (a; b). VD 1: Chứng minh sin x  x, x  0 VD 2: Chứng minh. sin x  x . x3 , x  0 6 BÀI TẬP VỀ NHÀ. Baøi 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:. a). x. x3 2 1   sin x  x , với x  0 sin x  tan x  x , với 0  x  6 3 2 b) 3.   sin x  tan x  2 x , với 0  x  2 2 c) d) Baøi 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau: tan a a   , với 0  a  b  2 a) tan b b x  tan x, với 0  x . b). a  sin a  b  sin b, với 0  a  b .  2.  2 c) Baøi 3. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 2x  sin x  , với 0  x   2 a) a  tan a  b  tan b, với 0  a  b . b). x. x3 x3 x5  sin x  x   , với x  0 6 6 120.  2 c) Baøi 4. Chứng minh các bất đẳng thức sau: x sin x  cos x  1, với 0  x . x a) e  1  x , với x  0. c). ln(1  x )  ln x . 1 , với x  0 1 x. b) ln(1  x )  x , với x  0.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> . . 2 2 d) 1  x ln x  1  x  1  x. *********HẾT*********.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>