De HSG Toan 820162017 48

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chuyên đề i: Biến đổi biểu thức đại số a – biển đổi biểu thức nguyên I. Một số hằng đẳng thức cơ bản 1. (a  b)2 = a2  2ab + b2 ; (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ; (a1 + a 2 + ... + a n )2 = 2 2 2 = a1  a 2  ...  a n  2(a1a 2  a1a 3  ...  a1a n  a 2a 3  ...  a 2a n  ...  a n  1a n ) ; 2. (a  b)3 = a3  3a2b + 3ab2  b3 = a3  b3  3ab(a  b); (a  b)4 = a4  4a3b + 6a2b2  4ab3 + b4 ; 3. a2 – b2 = (a – b)(a + b) ; a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) ; an – bn = (a – b)(an – 1 + an – 2b + an – 3b2 + … + abn – 2 + bn – 1) ; 4. a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) a5 + b5 = (a + b)(a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b5) ; a2k + 1 + b2k + 1 = (a + b)(a2k – a2k – 1b + a2k – 2b2 – … + a2b2k – 2 – ab2k – 1 + b2k) ; II. B¶ng c¸c hÖ sè trong khai triÓn (a + b)n Tam gi¸c Pascal §Ønh 1 Dßng 1 (n = 1) 1 1 Dßng 2 (n = 2) 1 2 1 Dßng 3 (n = 3) 1 3 3 1 Dßng 4 (n = 4) 1 4 6 4 1 Dßng 5 (n = 5) 1 5 10 10 5 1 Trong tam giác này, hai cạnh bên gồm các số 1 ; dòng k + 1 đợc thành lập từ dòng k (k ≥ 1), ch¼ng h¹n ë dßng 2 ta cã 2 = 1 + 1, ë dßng 3 ta cã 3 = 2 + 1, 3 = 1 + 2, ë dßng 4 ta cã 4 = 1 + 3, 6 = 3 + 3, 4 = 3 + 1, Khai triÓn (x + y) n thµnh tæng th× c¸c hÖ sè cña c¸c h¹ng tö lµ c¸c sè trong dßng thø n cña b¶ng trªn. Ngêi ta gäi b¶ng trªn lµ tam giác Pascal, nó thờng đợc sử dụng khi n không quá lớn. Chẳng hạn, với n = 4 thì : (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 vµ víi n = 5 th× : (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 10ab4 + b5 II. C¸c vÝ dô VÝ dô 1. §¬n gi¶n biÓu thøc sau : A = (x + y + z)3 – (x + y – z)3 – (y + z – x)3 – (z + x – y)3. Lêi gi¶i A = [(x + y) + z]3 – [(x + y) – z]3 – [z – (x – y)]3 – [z + (x – y)]3 = [(x + y)3 + 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 + z3] – [(x + y)3 – 3(x + y)2z + 3(x + y)z2 – 3 z]– – [z3 – 3z2(x – y) + 3z(x – y)2 – (x – y)3] – [z3 + 3z2(x – y) + 3z(x – 2 y) + (x – y)3] = 6(x + y)2z – 6z(x – y)2 = 24xyz VÝ dô 2. Cho x + y = a, xy = b (a2 ≥ 4b). TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau : a) x2 + y2 ; b) x3 + y3 ; c) x4 + y4 ; d) x5 + y5 Lêi gi¶i.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> a) b) c) d). x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y) = a3 – 3ab x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (a2 – 2b)2 – 2b2 = a4 – 4a2b + 2b2 (x2 + y2)(x3 + y3) = x5 + x2y3 + x3y2 + y5 = (x5 + y5) + x2y2(x + y) Hay : (a2 – 2b)(a3 – 3ab) = (x5 + y5) + ab2  x5 + y5 = a5 – 5a3b + 5ab2 Chó ý : a6 + b6 = (a2)3 + (b2)3 = (a3)2 + (b3)2 a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) – a3b3(a + b) = (a2 + b2)(a5 + b5) – a2b2(a3 + b3) Ví dụ 3. Chứng minh các hằng đẳng thức : a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) ; b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) Lêi gi¶i a) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 + c3 – 3abc – 3a2b – 3ab2 = (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2] – 3ab(a + b + c) = (a + b + c) [(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab] = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) b) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = [(a + b + c)3 – a3] – (b3 + c3) = (b + c)[(a + b + c)2 + (a + b + c)a + a2] – (b + c)(b2 – bc + c2) = (b + c)(3a2 + 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)] = 3(a + b)(b + c)(c + a) VÝ dô 4. Ph©n tÝch biÓu thøc sau thµnh nh©n tö : A = x3 – 3(a2 + b2)x + 2(a3 + b3) Lêi gi¶i 2 3 §Æt S = a + b vµ P = ab, th× a2 + b2 = S - 2P ; a3 + b3 = S - 3SP . V× vËy : 3 3 2 3 2 3 A = x3 – 3( S - 2P )x + 2( S - 3SP ) = (x - S ) - (3S x - 3S ) + (6Px - 6SP). 2 2 2 = (x - S)(x + Sx + S ) - 3S (x - S) + 6P(x - S) 2 2 = (x - S)(x + Sx - 2S + 6P) = (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a + b)2 + 6ab] = (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a2 VÝ dô 5. Cho x + y + z = 0. Chøng minh r»ng : 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) Lêi gi¶i V× x + y + z = 0 nªn x + y = –z  (x + y)3 = –z3 Hay x3 + y3 + 3xy(x + y) = –z3  3xyz = x3 + y3 + z3 Do đó : 3xyz(x2 + y2 + z2) = (x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(y2 + z2) + y3(z2 + x2) + z3(x2 + y2) 2 2 2 Mµ x + y = (x + y) – 2xy = z2 – 2xy (v× x + y = –z). T¬ng tù : y2 + z2 = x2 – 2yz ; z2 + x2 = y2 – 2zx. V× vËy : 3xyz(x2 + y2 + z2) = x5 + y5 + z5 + x3(x2 – 2yz) + y3(y2 – 2zx) + z3(z3 – 2xy) = 2(x5 + y5 + z5) – 2xyz(x2 + y2 + z2) 5 5 5 Suy ra : 2(x + y + z ) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (®pcm). Bµi tËp. 1. Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö : a) x3 + 4x2 – 29x + 24 ; b) x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 ;.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 2.. 3. 4. 5. 6. 7.. 8.. c) (x2 – x + 2)2 + (x – 2)2 ; d) 6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x + 1 ; e) x6 + 3x5 + 4x4 + 4x3 + 4x2 + 3x + 1. Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö : a) x8 + x4 + 1; b) x10 + x5 + 1 ; c) x12 + 1 ; Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö : a) (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 ; b) (x + y + z)5 – x5 – y5 – z5. Cho a + b + c = 0 vµ a2 + b2 + c2 = 14. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : A = a4 + b4 + c4. Cho x + y + z = 0 vµ xy + yz + zx = 0. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : B = (x – 1)2007 + y2008 + (z + 1)2009. 2 2 2 Cho a – b = 4c . Chøng minh r»ng : (5a – 3b + 8c)(5a – 3b – 8c) = (3a – 5b)2. Chøng minh r»ng nÕu (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 = = (x + y – 2z)2 + (y + z – 2x)2 + (z + x – 2y)2 th× x = y = z. a b = x y. 2 2 2 2 2 a) Chøng minh r»ng nÕu (a + b )(x + y ) = (ax + by) vµ x, y kh¸c 0 th× 2 2 2 2 2 2 2 b) Chøng minh r»ng nÕu (a + b + c )(x + y + z ) = (ax + by + cz) vµ x, y, z kh¸c a b c = = x y z. 0 th×. 9. Cho x + y + z = 0. Chøng minh r»ng : a) 5(x3 + y3 + z3)(x2 + y2 + z2) = 6(x5 + y5 + z5) ; b) x7 + y7 + z7 = 7xyz(x2y2 + y2z2 + z2x2) ; c) 10(x7 + y7 + z7) = 7(x2 + y2 + z2)(x5 + y5 + z5). 10.Chứng minh các hằng đằng thức sau : a) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 ; b) x4 + y4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2. 11. Cho c¸c sè a, b, c, d tháa m·n a2 + b2 + (a + b)2 = c2 + d2 + (c + d)2. Chøng minh r»ng : a4 + b4 + (a + b)4 = c4 + d4 + (c + d)4 12. Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = 1. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : C = a2 + b9 + c1945. 13. Hai sè a, b lÇn lît tháa m·n c¸c hÖ thøc sau : a3 – 3a2 + 5a – 17 = 0 vµ b3 – 3b2 + 5b + 11 = 0. H·y tÝnh : D = a + b. 14. Cho a3 – 3ab2 = 19 vµ b3 – 3a2b = 98. H·y tÝnh : E = a2 + b2. 15. Cho x + y = a + b vµ x2 + y2 = a2 + b2. TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau : a) x3 + y3 ; b) x4 + y4 ; c) x5 + y5 ; d) x6 + y6 ; e) x7 + y7 ; f) x8 + y8 ; g) x2008 + y2008.. Chuyên đề i: Biến đổi biểu thức đại số a – biển đổi phân thức hữu tỉ VÝ dô 5..

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 3n +1 a) Chøng minh r»ng ph©n sè 5n + 2 lµ ph©n sè tèi gi¶n nN ; n2 + 4 A= n + 5 (nN). Cã bao nhiªu sè tù nhiªn n nhá h¬n 2009 sao b) Cho ph©n sè cho phân số A cha tối giản. Tính tổng của tất cả các số tự nhiên đó. Lêi gi¶i a) §Æt d = ¦CLN(5n + 2 ; 3n + 1)  3(5n + 2) – 5(3n + 1)  d hay 1  d  d = 1. 3n +1 VËy ph©n sè 5n + 2 lµ ph©n sè tèi gi¶n. 29 29 A=n- 5+ n + 5 . §Ó A cha tèi gi¶n th× ph©n sè n + 5 ph¶i cha tèi gi¶n. b) Ta cã Suy ra n + 5 ph¶i chia hÕt cho mét trong c¸c íc d¬ng lín h¬n 1 cña 29. V× 29 lµ sè nguyªn tè nªn ta cã n + 5  29  n + 5 = 29k (k  N) hay n = 29k – 5. Theo điều kiện đề bài thì 0 ≤ n = 29k – 5 < 2009  1 ≤ k ≤ 69 hay k{1; 2;…; 69} Vậy có 69 số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện đề bài. Tổng của các số này là : 29(1 + 2 + … + 69) – 5.69 = 69690. 1 1 1 1 + + = VÝ dô 6. Cho a, b, c ≠ 0 vµ a + b + c ≠ 0 tháa m·n ®iÒu kiÖn a b c a + b + c . Chứng minh rằng trong ba số a, b, c có hai số đối nhau. Từ đó suy ra rằng : 1 1 1 1 + + = a 2009 b 2009 c2009 a 2009 + b 2009 + c2009 . Lêi gi¶i 1 1 1 1 1 1 1 1 + + = + + =0 Ta cã : a b c a + b + c  a b c a + b + c a +b a +b c(a + b + c) + ab + =0 (a + b). =0 ab c(a + b + c) abc(a + b + c)   éa + b = 0 éa =- b ê ê êb + c = 0 êb =- c ê ê êc + a = 0 êc =- a  (a + b)(b + c)(c + a) = 0  ë ë  ®pcm. 1 1 1 1 1 1 1 + 2009 + 2009 = 2009 + + 2009 = 2009 2009 2009 b c a (- c) c a Từ đó suy ra : a 1 a. 2009. +b. 2009. +c. 2009. =. a. 2009. 1 1 = 2009 2009 2009 + (- c) + c a.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 1. +. 1. +. 1. =. 1. b c a + b + c2009 .  a VÝ dô 7. §¬n gi¶n biÓu thøc : ö 1 æ 1 1ö 3 æ 1 1÷ 6 æ 1 1ö ÷ ç ç ç A= + + + + + ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ (a + b)4 è ÷ ça 2 b 2 ÷ ça b ø èa 3 b 3 ø ø (a + b)5 è (a + b)3 ç . Lêi gi¶i 2 §Æt S = a + b vµ P = ab. Suy ra : a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = S - 2P 3 a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = S - 3SP . 1 1 a +b S 1 1 a 2 + b 2 S 2 - 2P + = = ; 2+ 2= 2 2 = ; ab P a b ab P2 Do đó : a b 1 1 a 3 + b 3 S 3 - 3SP + = 3 3 = . a 3 b3 ab P3 1 S 3 - 3SP 3 S 2 - 2P 6 S . + 4. + 5. 3 P3 S P2 S P Ta cã : A = S = S 2 - 3P 3(S 2 - 2P) 6 (S 4 - 3S 2 P) + (3S 2 P - 6P 2 ) + 6P 2 S4 + + 4 = = 4 3 S 2 P3 S4P2 S P S 4P3 S P 1 1 = 3 3. 3 ab Hay A = P VÝ dô 8. Cho a, b, c lµ ba sè ph©n biÖt. Chøng minh r»ng gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña x : (x - a)(x - b) (x - b)(x - c) (x - c)(x - a) S(x) = + + (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) . Lêi gi¶i C¸ch 1 x 2 - (a + b)x + ab x 2 - (b + c)x + bc x 2 - (c + a)x + ca S(x) = + + (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) = Ax2 – Bx + C 1 1 1 A= + + (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) ; víi : 2009. 2009. 2009. 2009. 2009. a +b b +c c +a + + (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) ; ab bc ca C= + + (c - a)(c - b) (a - b)(a - c) (b - c)(b - a) B=.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> A=. b - a +c - b +a - c =0 (a - b)(b - c)(c - a) ;. Ta cã : (a + b)(b - a) + (b + c)(c - b) + (c + a)(a - c) B= (a - b)(b - c)(c - a) b 2 - a 2 + c2 - a 2 + a 2 - c2 = =0 (a - b)(b - c)(c - a) ; ab(b - a) + bc(c - b) + ca(a - c) ab(b - a) + bc[(c - a) + (a - b)] + ca(a - c) = (a - b)(b - c)(c - a) (a - b)(b - c)(c - a) (a - b)(bc - ab) + (c - a)(bc - ca) (a - b)(b - c)(c - a) = = =1 (a - b)(b - c)(c - a) (a - b)(b - c)(c - a) . VËy S(x) = 1x (®pcm). C¸ch 2 Đặt P(x) = S(x) – 1 thì đa thức P(x) là đa thức có bậc không vợt quá 2. Do đó, P(x) chØ cã tèi ®a hai nghiÖm. NhËn xÐt : P(a) = P(b) = P(c) = 0  a, b, c lµ ba nghiÖm ph©n biÖt cña P(x). §iÒu nµy chØ x¶y ra khi vµ chØ khi P(x) lµ ®a thøc kh«ng, tøc lµ P(x) = 0 x. Suy ra S(x) = 1 x  ®pcm. 1 x + =3 x VÝ dô 9. Cho . TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau : 1 1 1 1 A = x2 + 2 B = x3 + 3 C = x4 + 4 D = x5 + 5 x ; x ; x ; x . a) b) c) d) Lêi gi¶i 2 1 æ 1ö A = x2 + 2 = ç x+ ÷ ÷ ç ÷- 2 = 9 - 2 = 7 ç è ø x x a) ; C=. ö æ 1÷ ö 1 æ 1÷ ç B = x + 3 =ç x+ ÷ 3 x + = 27 - 9 = 18 ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø x x x b) ; 2 1 æ2 1 ö C = x4 + 4 = ç x + 2÷ ÷ ç ÷- 2 = 49 - 2 = 47 ç è ø x x c) ; 3. 3. æ2 1 ö æ3 1 ö 1 1 5 ÷ ç A.B = ç x + 2÷ x + = x + + x + = D +3 ÷ ÷ ç ç 3 5 ÷ç ÷ ç è ø è ø x x x x d)  D = 7.18 – 3 = 123. 2 ax + b c = + 2 2 Ví dụ 10. Xác định các số a, b, c sao cho : (x +1)(x - 1) x +1 x - 1 . Lêi gi¶i.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> ax + b c (ax + b)(x - 1) + c(x 2 +1) (a + c)x 2 + (b - a)x + (c - b) + = = 2 2 x + 1 x 1 (x + 1)(x 1) (x 2 +1)(x - 1) Ta cã : 2 2 Đồng nhất phân thức trên với phân thức (x +1)(x - 1) , ta đợc : ìï a + c = 0 ï ïí b - a = 0 Û ïï ïîï c - b = 2. ìï a =- 1 ï ïí b =- 1 2 - x- 1 1 ïï = 2 + 2 ïîï c = 1 . VËy (x +1)(x - 1) x + 1 x - 1 . Bµi tËp. n 3 + 2n 2 - 1 P= 3 n + 2n 2 + 2n + 1 . 16. Cho ph©n thøc a) Rót gän P ; b) Chứng minh rằng nếu n là số nguyên thì giá trị của phân thức tìm đợc trong câu a) t¹i n lu«n lµ mét ph©n sè tèi gi¶n. 17. a) Chøng minh r»ng c¸c ph©n sè sau tèi gi¶n víi mäi sè tù nhiªn n : 12n +1 ; 30n + 2. n.. n 3 + 2n ; n 4 + 3n 2 +1. 2n +1 2n 2 - 1 .. n 7 + n 2 +1 8 b) Chøng minh r»ng ph©n sè n + n +1 kh«ng tèi gi¶n víi mäi sè nguyªn d¬ng. n2 + 5 c) TÝnh tæng c¸c sè tù nhiªn n nhá h¬n 100 sao cho n + 1 lµ ph©n sè cha tèi gi¶n. 18. TÝnh c¸c tæng sau : 3 5 2n +1 A= + + ... + 2 2 (1.2) (2.3) [n(n +1)]2 ; a) 1 1 1 1 + 2 + 4 + ... + 2n 2 +1 2 + 1 2 +1 2 +1 ; b) 1 1 1 1 C= + + ... + 1.4 4.7 7.10 (3n +1)(3n + 4) ; c) 1 1 1 D= + + ... + 1.3 2.4 n.(n + 2) ; d) B =1 +. E= e). 1 1 1 1 + + + ... + 1.2.3 2.3.4 3.4.5 (n - 1)n(n +1) ;.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> F= f). 1.2! 2.3! n.(n +1)! + 2 +... + 2 2 2n (k! = 1.2.3…k). (a 2 + b 2 + c2 )(a + b + c)2 + (bc + ca + ab)2 A= (a + b + c)2 - (ab + bc + ca) 19. Rót gän : . (a + 2b)3 - (a - 2b)3 3a 4 + 7a 2b 2 + 3b 4 B= : 4 3 3 (2a + b) (2a b) 4a + 7a 2 b 2 + 3b 4 . 20. Rót gän : 21.Thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh : x 2 - yz y 2 - zx z 2 - xy + + y +z z +x x +y 1+ 1+ 1+ x y z ; a) a(a + b) a(a + c) b(b + c) b(b + a) c(c + a) c(c + b) + + + a- b a- c + b- c b- a + c- a c- b 2 2 (b - c) (c - a) (a - b)2 1+ 1+ 1+ (a b)(a c) (b c)(b a) (c - a)(c - b) ; b) c) a + b - 2c b + c - 2a c + a - 2b + + 3 3 3 (a - b) (c - a)(c - b) (b - c) (a - b)(a - c) (c - a) (b - c)(b - a) + 2 + 2 + 2 3 3 2 3 3 2 3 3 a - b a + ab + b b - c b + bc + c c - a c + ca + a 2 . 3a - 2b 3b - a + 2a + 5 b- 5 ; 22. a) BiÕt a – 2b = 5, h·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : 5a - b 3b - 3a Q= 3a + 7 2b - 7 ; b) BiÕt 2a – b = 7, h·y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : 2a - b 5b - a R= + 3a - b 3a + b . c) BiÕt 10a2 –3b2 + 5ab = 0 vµ 9a2 – b2 ≠ 0, h·y tÝnh : 23. Cho a + b + c = 0. TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau : 1 1 1 A= 2 + 2 + 2 2 2 2 2 a +b - c b +c - a c + a2 - b2 ; a) P=. a2 b2 c2 B= 2 + 2 + 2 2 2 2 2 a b c b c a c - a2 - b2 ; b).

<span class='text_page_counter'>(9)</span> 1 1 1 1 + + ... + + A 1(2n - 1) 3(2n - 3) (2n - 3).3 (2n - 1).1 = 1 1 1 B 1 + + + ... + 3 5 2n - 1 24.Rót gän biÓu thøc : . a b c a2 b2 c2 + + =1 + + =0 25.Cho b + c c + a a + b . Chøng minh r»ng b + c c + a a + b . a b c + + =0 x y z 26. Cho a + b + c = 0, x + y + z = 0 vµ . Chøng minh r»ng 2 2 ax + by + cz2 = 0. 1 1 5 7 27. Cho x2 – 4x + 1 = 0. TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc A = x5 + x vµ B = x7 + x . x2 x2 x = 2008. M= 4 N= 4 2 x + x 2 +1 vµ x - x 2 +1 . 28. Cho x - x +1 TÝnh a - 1 a - 1 a - 1 a2 = 1 a3 = 2 a n = n- 1 a1 + 1 ; a 2 +1 ; … ; a n- 1 + 1 . 29. Cho d·y sè a1, a2, a3, … sao cho : a) Chøng minh r»ng a1 = a5. b) Xác định năm số đầu của dãy, biết rằng a101 = 108.. Chuyên đề Ii: phân tích đa thức thành nhân tử I- Ph¬ng ph¸p t¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö kh¸c: Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö. a, x 2  5 x  6. d, x 2  13 x  36. b, 3 x 2  8 x  4. e, x 2  3 x  18. c, x 2  8 x  7. f, x 2  5 x  24. g , 3x 2  16 x  5. h, 8x 2  30 x  7. i, 2x 2  5 x  12. k, 6x 2  7 x  20. Bµi 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> 1, x3  5 x 2  8 x  4. 2, x 3  2 x  3. 3, x 3  5 x 2  8 x  4. 4, x3  7 x  6. 5, x3  9 x 2  6 x  16. 6, 4x 3  13 x 2  9 x  18. 7, x 3  4 x 2  8 x  8. 8,  x 3  6 x 2  6 x  1. 9, 6x3  x 2  486 x  81. 10, x 3  7 x  6. 11, x 3  3 x  2. 12, x 3  5 x 2  3x  9. 13, x 3  8 x 2  17 x  10. 14, x 3  3 x 2  6 x  4. 15, x 3  2 x  4. 16, 2x 3  12 x 2  17 x  2. 17, x3  x 2  4. 18, x 3  3 x 2  3 x  2. 19, x 3  9 x 2  26 x  24. 20, 2x3  3 x 2  3 x  1. 21, 3x 3  14 x 2  4 x  3. 22, x 4  2 x 3  x 2  x  1. II- Ph¬ng ph¸p thªm vµ bít cïng mét h¹ng tö 1) Dạng 1: Thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu của hai b×nh ph¬ng: A2 – B2 = (A – B)(A + B) Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> 2. 1, (1  x 2 )2  4 x(1  x 2 ) 2,  x 2  8   36 3, x 4  4. 4, x 4  64. 5, 64x 4  1. 6, 81x 4  4. 7, 4x 4  81. 8, 64x 4  y 4. 9, x 4  4 y 4. 10, x 4  x 2 1. 2) D¹ng 2: Thªm bít cïng mét h¹ng tö lµm xuÊt hiÖn thõa sè chung Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:. 1, x 7  x 2  1. 2, x 7  x5  1. 3, x5  x 4 1. 4, x5  x  1. 5, x8  x 7 1. 6, x 5  x 4  1. 7, x 5  x  1. 8, x10  x 5  1. III- Phơng pháp đổi biến Bµi 1:Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö 1, x( x  4)( x  6)( x  10)  128 2, (x 1)( x  2)( x  3)( x  4)  24. 3, ( x 2  4 x  8)2  3x( x 2  4 x  8)  2 x 2. 4, ( x 2  x) 2  4 x 2  4 x  12. 5, x 2  2 xy  y 2  2 x  2 y  15. 6, (x  a)( x  2a)( x  3a)( x  4a)  a 4. 7, 6 x 4  11x 2  3. 8, ( x 2  x)2  3( x 2  x)  2. 9, x 2  2 xy  y 2  3 x  3 y  10. 10, ( x 2  2 x) 2  9 x 2 18 x  20. 11, x 2  4 xy  4 y 2  2 x  4 y  35. 12, (x  2)( x  4)( x  6)( x  8)  16.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Bµi 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö 1, x 4  6 x 3  7 x 2  6 x  1. 2, ( x 2  y 2  z 2 )( x  y  z ) 2  ( xy  yz  zx ) 2. IV- Ph¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng Phơng pháp: Trớc hết ta xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại. VÝ dô: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:. a, P = x 2 ( y  z )  y 2 ( z  x)  z 2 ( x  y ) b, Q =a(b  c  a)2  b(c  a  b)2  c(a  b  c)2  (a  b  c) (b  c  a)(c  a  b). Gi¶i 2. 2. a, Gi¶ sö thay x bëi y th× P = y ( y  z )  y ( z  y ) 0 Nh vËy P chøa thõa sè x – y Ta lại thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P không đổi(ta nói đa thức P có thể hoán vị vòng quanh bởi các biến x, y, z). Do đó nếu P đã chúa thùa số x – y thì còng chóa thõa sè y – z, z – x. VËy P ph¶i cã d¹ng P = k(x – y)(y – z)(z – x).Ta thÊy k ph¶i lµ h»ng sè(kh«ng chóa biÕn) v× P cã bËc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z còn tích (x – y)(y – z)(z – x) cũng có bậc ba đối với tập hợp các biến x, y, z. Vì đẳng thức. x 2 ( y  z )  y 2 ( z  x)  z 2 ( x  y) k ( x  y)( y  z )( z  x) đúng với mọi x, y, z nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng, chẳng hạn x = 2, y = 1, z = 0 ta đợc k = -1 VËy P =- (x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x - z) C¸c bµi to¸n Bµi 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: M a(b  c  a ) 2  b(c  a  b)2  c (a  b  c)2  (a  b  c )(b  c  a )(c  a  b) N a(m  a)2  b(m  b) 2  c(m  c) 2  abc , víi 2m = a+ b + c.. Bài 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> a ) A (a  b  c)(ab  bc  ca )  abc. b) B a (a  2b)3  b(2a  b)3 . c)C ab( a  b)  bc(b  c)  ac(a  c). d ) D (a  b)(a 2  b2 )  (b  c )(b 2  c 2 )  (c  a )(c 2  a 2 ) e) E a 3 (c  b 2 )  b3 (a  c 2 )  c3 (b  a 2 )  abc(abc  1). f ) f a (b  c )3  b(c  a )3  c (a  b)3 . g )G a 2b 2 (a  b)  b 2 c 2 (b  c)  a 2 c 2 (c  a). h) H a 4 (b  c )  b 4 (c  a )  c 4 (a  b).. V-Phong pháp hệ số bất định Bài 1: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a ) A  x 4  6 x 3  12 x 2  14 x  3 b) B 4 x 4  4 x 3  5 x 2  2 x  1 c )C 3x 2  22 xy  11x  37 y  7 y 2  10 d ) D x 4  7 x 3  14 x 2  7 x  1 e) E x 4  8x  63. Bµi tËp: VÝ dô . Ph©n tÝch biÓu thøc sau thµnh nh©n tö : A = x3 – 3(a2 + b2)x + 2(a3 + b3) Lêi gi¶i 2 3 §Æt S = a + b vµ P = ab, th× a2 + b2 = S - 2P ; a3 + b3 = S - 3SP . V× vËy : 3 3 2 3 2 3 A = x3 – 3( S - 2P )x + 2( S - 3SP ) = (x - S ) - (3S x - 3S ) + (6Px - 6SP) 2 2 2 = (x - S)(x + Sx + S ) - 3S (x - S) + 6P(x - S). 2 2 = (x - S)(x + Sx - 2S + 6P) = (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a + b)2 + 6ab] = (x – a – b)[x2 + (a + b)x – 2(a2. Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö : f) x3 + 4x2 – 29x + 24 ; g) x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 ; h) (x2 – x + 2)2 + (x – 2)2 ; i) 6x5 + 15x4 + 20x3 + 15x2 + 6x + 1 ; j) x6 + 3x5 + 4x4 + 4x3 + 4x2 + 3x + 1. f) x8 + x4 + 1; g) x10 + x5 + 1 ; h) x12 + 1 ; i) (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 ; k) (x + y + z)5 – x5 – y5 – z5..

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Chuyên đề Iii: Xác định đa thức 1) §Þnh lÝ BªZu: D trong phÐp chia ®a thøc f(x) cho nhÞ thøc x - a b»ng f(a) (gi¸ trÞ cña f(x) t¹i x = a): f (x)=( x − a) q( x )+ f (a) (Beout, 1730 - 1783, nhµ to¸n häc Ph¸p) HÖ qu¶: NÕu a lµ nghiÖm cña ®a thõc f(x) th× f(x) chia hÕt cho x - a. áp dụng: Định lí BêZu có thể dùng để phân tích một đa thức thành nhân tử. Thực hiện nh sau: Bớc 1: Chọn một giá trị x = a nào đó và thử xem x = a có phải là nghiệm của f(x) kh«ng. Bớc 2: Nếu f(a) = 0, theo định lí BêZu ta có: f ( x)=(x − a) p(x ) §Ó t×m p(x) thùc hiÖn phÐp chia f(x) cho x - a. Bớc 3: Tiếp tục phân tích p(x) thành nhân tử nếu còn phân tích đợc. Sau đó viết kÕt qu¶ cuèi cïng cho hîp lÝ. Dạng 1: Tìm đa thức thơng bằng phơng pháp đồng nhất hệ số(phơng pháp hệ số bất định), phơng pháp giá trị riêng , thực hiện phép chia đa thức. *Phơng pháp1: Ta dựa vào mệnh đề sau đây : NÕu hai ®a thøc P(x) vµ Q(x) b»ng nhau: P(x) = Q(x) th× c¸c h¹ng tö cïng bËc ë hai ®a thøc ph¶i cã hÖ sè ph¶i cã hÖ sè b»ng nhau. VÝ dô: P(x)=ax 2+2 bx −3 ; Q(x)=x2 − 4 x − p NÕu P(x) = Q(x) th× ta cã: a = 1(hÖ sè cña lòy thõa 2) 2b = - 4 (hÖ sè cña lòy thõa bËc 1) - 3 = - p (hÖ sè h¹ng tö bËc kh«ng hay h¹ng tö tù do) *Ph¬ng ph¸p2: Cho hai ®a thøc P(x) vµ Q(x) tháa m·n deg P(x) > deg Q(x) Gäi th¬ng vµ d trong phÐp chia P(x) cho Q(x) lÇn lît lµ M(x) vµ N(x) Khi đó ta có: P( x)=Q(x) . M (x )+ N (x) (Trong đó: deg N(x) < deg Q(x)) (I) Vì đẳng thức (I) đúng với mọi x nên ta cho x lấy một giá trị bất kì : x=α ( α là hằng số). Sau đó ta đi giải phơng trình hoặc hệ phơng trình để tìm các hệ số cña c¸c h¹ng tö trong c¸c ®a thøc ( §a thøc th¬ng, ®a thøc chia, ®a thøc bÞ chia, sè d). VÝ dô: Bµi 1(PhÇn bµi tËp ¸p dông) Gäi th¬ng cña phÐp chia A(x) cho x + 1 lµ Q(x), ta cã: a2 x 3+3 ax 2 −6 x − 2 a=( x+1).Q(x ) . Vì đẳng thức đúng với mọi x nên cho x = -1 ta dược: a=− 2 a=3 2 −a + 3 a+6 −2 a=0 ⇒ − a2+ a+6=0 ⇒ ¿ Với a = -2 thì A=4 x 3 − 6 x 2 −6 x + 4 , Q( x)=4 x 2 − 10 x + 4 Với a = 3 thì A=9 x 3 +9 x 2 − 6 x − 6 ,Q(x )=9 x 2 − 6. *Ph¬ng ph¸p 3:Thùc hiÖn phÐp chia ®a thøc (nh SGK) Bµi tËp ¸p dông 2 3. 2 Bài 1: Cho đa thức A( x) a x  3ax  6 x  2a(a  Q) . X¸c định a sao cho A(x) chia hết cho x + 1..

<span class='text_page_counter'>(15)</span> 4. 3. Bµi 2: Ph©n tÝch ®a thøc P( x) x  x  2 x  4 thµnh nh©n tö, biÕt r»ng mét nh©n tö cã 2 d¹ng: x  dx  2 Bµi 3: Víi gi¸ trÞ nµo cña a vµ b th× ®a thøc : x 3+ ax2 +2 x+ b chia hÕt cho ®a thøc: 2 x + x +1 . H·y gi¶i bµi to¸n trªn b»ng nhiÒu c¸ch kh¸c nhau. Bài 4: Xác định giá trị k để đa thức: f ( x)=x 4 − 9 x 3 +21 x 2+ x +k chia hết cho đa thức: g( x)=x 2 − x −2 . Bài 5: Tìm tất cả các số tự nhiên k để cho đa thức: f (k )=k 3+2 k 2+15 chia hết cho nhị thức: g(k )=k +3 . Bài 6: Với giá trị nào của a và b thì đa thức: f ( x)=x 4 −3 x 3 +3 x 2+ ax+b chia hết cho đa thức: g( x)=x 2 −3 x +4 . Bài 7: a) Xác định các giá trị của a, b và c để đa thức: P( x)=x 4 +ax 2+ bx +c 3 Chia hết cho x −¿3¿ . b) Xác định các giá trị của a, b để đa thức: Q(x)=6 x 4 − 7 x 3+ ax2 +3 x +2 chia hết cho đa thức M (x)=x 2 − x +b . c) Xác định a, b để P(x)=x3 +5 x 2 − 8 x+ a chia hết cho M (x)=x 2 + x +b . x 3 − ax2 + bx − c=(x −a)( x −b)( x −c ) Bài 8: Hãy xác định các số a, b, c để có đẳng thức: Bài 9: Xác định hằng số a sao cho: a) 10 x2 −7 x +a chia hết cho 2 x −3 . b) 2 x 2 +ax +1 chia cho x − 3 dư 4. c) ax 5+ 5 x 4 − 9 chia hết cho x −1 . Bài 10: Xác định các hằng số a và b sao cho: a) x 4 +ax 2+ b chia hết cho x 2 − x +1 . b) ax 3+ bx 2 +5 x −50 chia hết cho x 2+3 x +10 . ¿2 . c) ax 4 + bx2 +1 chia hết cho x −1 ¿ 4 2 d) x +4 chia hết cho x + ax+b . Bài 11: Tìm các hăng số a và b sao cho x 3+ ax+b chia cho x+ 1 thì dư 7, chia cho x − 3 thì dư -5. Bài 12: Tìm các hằng số a, b, c sao cho ax 3+ bx 2 +c chia hết cho x+ 2 , chia cho 2 x −1 thì dư x+ 5 . Bài 13: Cho đa thức: P( x)=x 4 + x 3 − x 2 +ax +b và Q(x)=x2 + x −2 . Xác định a, b để P(x) chia hết cho Q(x). Bài 14: Xác định a và b sao cho đa thức P( x)=ax 4 + bx3 +1 chia hết cho đa thức 2. x −1 ¿ Q(x)=¿. Bài 15: Cho các đa thức P( x)=x 4 − 7 x3 + ax2 +3 x+ 2 và Q( x)=x2 − x +b . Xác định a và b để P(x) chia hết cho Q(x).. Chuyên đề IV: xác định đa thức.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Dạng 2: Phương pháp nội suy NiuTơn Phương pháp: Để tìm đa thức P(x) bậc không quá n khi biết giá trị của đa thức tại n + 1 điểm C1 , C2 , C3 ,⋯ , Cn +1 ta có thể biểu diễn P(x) dưới dạng: P( x)=b0 +b 1 (x −C 1)+b 2 (x −C 1)( x −C 2)+⋯+b n (x −C 1)( x −C 2) ⋯(x −C n ) Bằng cách thay thế x lần lượt bằng các giá trị C1 , C2 , C3 ,⋯ , Cn +1 P(x) ta lần lượt tính được các hệ số b0 , b1 , b2 ,⋯ , bn .. vào biểu thức. Bµi tËp ¸p dông Bài 1: Tìm đa thức bậc hai P(x), biết: P(0)=25 , P(1)=7 , P(2)=− 9 . Giải Đặt P( x)=b0 +b 1 x +b2 x ( x −1) (1) Thay x lần lượy bằng 0; 1; 2 vào (1) ta được:. b 0=25 7=25+ b1 ⇔b1=−18 −9=25 −18 . 2+ b2 . 2 .1 ⇔ b 2=1. Vậy, đa thức cần tìm có dạng: P( x)=25 −18 x+ x (x −1)⇔ P (x)=x 2 −19 x+25 . Bài 2: Tìm đa thức bậc 3 P(x), biết: P(0)=10 , P(1)=12 , P(2)=4 , P(3)=1 Hướng dẫn: Đặt P( x)=b0 +b 1 x +b2 x ( x −1)+b3 x ( x −1)(x − 2) (1) Bài 3: Tìm đa thức bậc ba P(x), biết khi chia P(x) cho ( x − 1),( x − 2),( x −3). đều được. dư bằng 6 và P(-1) = - 18. Hướng dẫn: Đặt P( x)=b0 +b 1 ( x −1)+b2 (x −1)(x −2)+b3 ( x −1)(x − 2)( x −3) (1) P(−1)=0. Bài 4: Cho đa thức bậc bốn P(x), thỏa mãn: P( x)− P( x −1)=x (x +1)(2 x +1),(1) a) Xác định P(x). ❑ b) Suy ra giá trị của tổng S=1 . 2. 3+2 .3 . 5+…+n (n+1)(2n+ 1),(n ∈ N ) . Hướng dẫn: Thay x lần lượt bằng 0; 1; 2; 3 vào (1), ta được : P(−1)− P(−2)=0⇔ P(−2)=0 , P(0)− P(−1)=0 ⇔ P (0)=0 P(1)− P(0)=1 .2 . 3 ⇔ P(1)=6 P(2)− P(1)=2 .3 . 5⇔ P(2)=36 P( x)=b0 +b 1 (x+1)+b2 ( x +1)x +b3 ( x +1)x (x −1)+ b4 (x +1)x ( x −1)( x −2) (2). Đặt Thay x lần lượt bằng -1; 0; 1; 2; -2 vào (2) ta được: 0=b0 0=b 1 ⇔ b1=0, 6=b2 . 2. 1⇔ b2=3, 36=3. 3 .2+ b3 . 3 .2 . 1⇔ b3=3. 0=3.( −1)( −2)+ 3.(− 1)(− 2)(−3)+b4 (−1)(−2)(−3)(− 4)⇔ b 4=. Vậy, đa thức cần tìm có dạng:. 1 2.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> 2. x+1 ¿ (x +2) 1 1 P( x)=3(x +1) x+ 3(x +1) x (x −1)+ ( x +1)x (x − 1)( x −2)= x ¿ 2 2. (Tuyển chọn bài thi HSG Toán THCS) Bài 5: cho đa thức P(x)=ax 2+ bx +c ,(a , b , c ≠ 0) . Cho biết 2 a+3 b+6 c=0 1 1) Tính a, b, c theo P(0) , P 2 , P(1) .. 2) Chứng minh rằng:. () 1 P(0) , P ( ) , P(1) 2. Bài 6: Tìm một đa thức bậc hai, cho biết:. Chuyên đề V: Tớnh. không thể cùng âm hoặc cùng dương. P (0)=19 P(1)=85 P(2)=1985. chia hết với số nguyên. 1. Kiến thức cần nhớ 1. Chøng minh quan hÖ chia hÕt Gäi A(n) lµ mét biÓu thøc phô thuéc vµo n (n  N hoÆc n  Z) a/ Để chứng minh A(n) chia hết cho m ta phân tích A(n) thành tích trong đó cã mét thõa sè lµ m + Nếu m là hợp số ta phân tích m thành tích các thừa số đôI một nguyên tố cùng nhau rồi chứng minh A(n) chia hết cho tất cả các số đó + Trong k sè liªn tiÕp bao giê còng tån t¹i mét sè lµ béi cña k b/. Khi chøng minh A(n) chia hÕt cho n ta cã thÓ xÐt mäi trêng hîp vÒ sè d khi chia m cho n * VÝ dô1: C/minh r»ng A=n3(n2- 7)2 – 36n chia hÕt cho 5040 víi mäi sè tù nhiªn n Gi¶i: Ta cã 5040 = 24. 32.5.7 A= n3(n2- 7)2 – 36n = n.[ n2(n2-7)2 – 36 ] = n. [n.(n2-7 ) -6].[n.(n2-7 ) +6] = n.(n3-7n – 6).(n3-7n +6) Ta l¹i cã n3-7n – 6 = n3 + n2 –n2 –n – 6n -6 = n2.(n+1)- n (n+1) -6(n+1) =(n+1)(n2-n-6)= (n+1 )(n+2) (n-3) T¬ng tù : n3-7n+6 = (n-1) (n-2)(n+3) d Do đó A= (n-3)(n-2) (n-1) n (n+1) (n+2) (n+3) Ta thÊy : A lµ tÝch cña 7 sè nguyªn liªn tiÕp mµ trong 7 sè nguyªn liªn tiÕp: Tån t¹i mét béi sè cña 5 (nªn A  5 ) Tån t¹i mét béi cña 7 (nªn A  7 ) Tån t¹i hai béi cña 3 (nªn A  9 ) Tồn tại 3 bội của 2 trong đó có bội của 4 (nên A  16) Vậy A chia hết cho 5, 7,9,16 đôi một nguyên tố cùng nhau  A 5.7.9.16= 5040 VÝ dô 2: Chng minh r»ng víi mäi sè nguyªn a th× : a/ a3 –a chia hÕt cho 3 b/ a5-a chia hÕt cho 5 Gi¶i:.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> a/ a3-a = (a-1)a (a+1) lµ tÝch cña c¸c sè nguyªn liªn tiÕp nªn tÝch chia hÕt cho 3. b/ A= a5-a = a(a2-1) (a2+1)  C¸ch 1: Ta xÕt mäi trêng hîp vÒ sè d khi chia a cho 5 NÕu a= 5 k (k  Z) th× A 5 (1) NÕu a= 5k 1 th× a2-1 = (5k2 1) 2 -1 = 25k2  10k 5  A 5 (2) NÕu a= 5k 2 th× a2+1 = (5k 2)2 + 1 = 25 k2 20k +5  A 5 (3) Tõ (1),(2),(3)  A 5,  n  Z C¸ch 2: Ph©n tÝch A thµnh mét tæng cña hai sè h¹ng chia hÕt cho 5 : + Mét sè h¹ng lµ tÝch cña 5 sè nguyªn liªn tiÕp + Mét sè h¹ng chøa thõa sè 5 Ta cã : a5-a = a( a2-1) (a2+1) = a(a2-1)(a2-4 +5) = a(a2-1) (a2-4) + 5a(a2-1) = a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2)- 5a (a2-1) Mµ = a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2) 5 (tÝch cña 5 sè nguyªn liªn tiÕp ) 5a (a2-1) 5 Do đó a5-a 5 * C¸ch 3: Dùa vµo c¸ch 2: Chøng minh hiÖu a 5-a vµ tÝch cña 5 sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho 5. Ta cã: a5-a – (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) = a5-a – (a2- 4)a(a2-1) = a5-a - (a3- 4a)(a2-1) = a5-a - a5 + a3 +4a3 - 4a = 5a3 – 5a 5  a5-a – (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) 5  a5-a 5(TÝnh chÊt chia hÕt cña mét Mµ (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) 5 hiÖu) c/ Khi chøng minh tÝnh chia hÕt cña c¸c luü thõa ta cßn sö dông c¸c h»ng đẳng thức: an – bn = (a – b)( an-1 + an-2b+ an-3b2+ …+abn-2+ bn-1) (H§T 8) an + bn = (a + b)( an-1 - an-2b+ an-3b2 - …- abn-2+ bn-1) (H§T 9) - Sö dông tam gi¸c Paxcan: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 ….. Mỗi dòng đều bắt đầu bằng 1 và kết thúc bằng 1 Mỗi số trên một dòng (kể từ dòng thứ 2) đều bằng số liền trên cộng với số bên tr¸i cña sè liÒn trªn. Do đó: Với  a, b  Z, n  N: an – bn chia hÕt cho a – b( a b) a2n+1 + b2n+1 chia hÕt cho a + b( a -b) (a+b)n = Bsa +bn ( BSa:Béi sè cña a) (a+1)n = Bsa +1 (a-1)2n = Bsa +1 (a-1)2n+1 = Bsa -1.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> * VD3: CMR víi mäi sè tù nhiªn n, biÓu thøc 16 n – 1 chia hÕt cho 17 khi vµ chØ khi n lµ sè ch½n. Gi¶i: + C¸ch 1: - NÕu n ch½n: n = 2k, k  N th×: A = 162k – 1 = (162)k – 1 chia hÕt cho 162 – 1( theo nhÞ thøc Niu T¬n) Mµ 162 – 1 = 255 17. VËy A 17 - NÕu n lÎ th× : A = 16n – 1 = 16n + 1 – 2 mµ n lÎ th× 16n + 1 16+1=17 (H§T 9)  A kh«ng chia hÕt cho 17 +C¸ch 2: A = 16n – 1 = ( 17 – 1) n – 1 = BS17 +(-1)n – 1 (theo c«ng thøc Niu T¬n) - NÕu n ch½n th× A = BS17 + 1 – 1 = BS17 chia hÕt cho 17 - NÕu n lÎ th× A = BS17 – 1 – 1 = BS17 – 2 Kh«ng chia hÕt cho 17 VËy biÓu thøc 16n – 1 chia hÕt cho 17 khi vµ chØ khi n lµ sè ch½n,  n  N d/ Ngoài ra còn dùng phơng pháp phản chứng, nguyên lý Dirichlê để chứng minh quan hÖ chia hÕt.  VD 4: CMR tån t¹i mét béi cña 2003 cã d¹ng: 2004 2004 ….2004 Gi¶i: XÐt 2004 sè: a1 = 2004 a2 = 2004 2004 a3 = 2004 2004 2004 ………………………. a2004 = 2004 2004…2004 2004 nhãm 2004 Theo nguyªn lý Dirichle, tån t¹i hai sè cã cïng sè d khi chia cho 2003. Gọi hai số đó là am và an ( 1  n <m 2004) thì am - an 2003 Ta cã: am - an = 2004 2004……2004 000…00 m-n nhãm 2004 4n hay am - an = 2004 2004……2004 . 104n m-n nhãm 2004  mµ am - an 2003 vµ (104n , 2003) =1 nªn 2004 2004……2004 2003 m-n nhãm 2004 2. T×m sè d * VD1:T×m sè d khi chia 2100 a/ cho 9 b/ cho 25 Gi¶i: a/ Luü thõa cña 2 s¸t víi béi cña 9 lµ 23 = 8 = 9 – 1 Ta cã : 2100 = 2. 299= 2. (23)33 = 2(9 – 1 )33 = 2(BS9 -1) ( theo nhÞ thøc Niu T¬n) = BS9 – 2 = BS9 + 7 VËy 2100 chia cho 9 d 7 b/ Luü thõa cña 2 gÇn víi béi cña 25 lµ 2 10 = 1024 =1025 – 1.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Ta cã: 2100 =( 210)10 = ( 1025 – 1 )10 = BS 1025 + 1 = BS 25 +1 (theo nhÞ thøc Niu T¬n) VËy 2100 chia cho 25 d 1 * VD2: T×m 4 ch÷ sè tËn cïng cña 51994 khi viÕt trong hÖ thËp ph©n Gi¶i: C¸ch 1: Ta cã: 1994 = 4k + 2 vµ 54 = 625 Ta thÊy sè tËn cïng b»ng 0625 khi n©ng lªn luü thõa nguyªn d¬ng bÊt k× vÉn tËn cïng b»ng 0625 Do đó: 51994 = 54k+2=(54)k. 52 = 25. (0625)k = 25. (…0625)= …5625 - C¸ch 2: T×m sè d khi chia 51994 ch 10000 = 24.54 Ta thÊy 54k – 1 = (54)k – 1k chia hÕt cho 54 – 1 = (52 + 1) (52 - 1) 16 Ta cã 51994 = 56(51988 – 1) + 56 mµ 56 54 vµ 51988 – 1 = (54)497 – 1 chia hÕt cho 16  ( 51994)3. 56(51988 – 1)chia hÕt cho 10000 cßn 56= 15625  51994 = BS10000 + 15625  51994 chia cho 10000 d 15625 VËy 4 ch÷ sè tËn cïng cña 51994 lµ 5625 3. T×m ®iÒu kiÖn chia hÕt * VD1: Tìm số nguyên n để giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị của biÓu thøc B: A = n3 + 2n2- 3n + 2; B = n2 – n Gi¶i: n3 + 2n2- 3n + 2 n2 – n n3 – n 2 n+3 3n2 - 3n + 2 3n2 – 3n 2 2 Ta cã: n3 + 2n2- 3n + 2 = (n2 – n)(n + 3) + n  n Do đó Giá trị của A chia hết cho giá trị của B  n2 – n  Ư(2)  2 chia hÕt cho n(n – 1)  2 chia hÕt cho n 2. Ta cã b¶ng: n n–1 n(n – 1) thøc B. 1 0 0 Lo¹i VËy víi n = -1, n = 2 th× gi¸ trÞ cña biÓu. -1 2 -2 -2 1 -3 2 2 6 T/m T/m Lo¹i thøc A chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu.  VD 2: T×m sè nguyªn n dÓ n5 + 1 chia hÕt cho n3 + 1 Gi¶i:.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> n5 + 1 n3 + 1  n5 + n2 – n2 + 1 n3 + 1  n2(n3 + 1)- ( n2 – 1)   n3 + 1  (n – 1)(n + 1) (n+1)(n2 – n + 1)  n – 1 n2 – n + 1  n(n – 1) n2 – n + 1 Hay n2 – n n2 – n + 1  (n2 – n + 1) – 1 n2 – n + 1  1 n2 – n + 1 XÐt hai trêng hîp: + n2 – n + 1 = 1  n2 – n = 0  n(n – 1) = 0  n = 0, n = 1 thö l¹i thÊy t/m đề bài + n2 – n + 1 = - 1  n2 – n + 2 = 0 , kh«ng cã gi¸ trÞ cña n tho¶ m·n  VD 3: T×m sè tù nhiªn n sao cho 2n - 1 chia hÕt cho 7 Gi¶i: Ta cã luü thõa cña 2 gÇn víi béi cña 7 lµ 23 = 8 = 7 + 1 NÕu n = 3k (k  N) th× 2n - 1= 23k – 1 = (23)k – 1 = 8 k - 1k 8 – 1 = 7 NÕu n = 3k + 1(k  N) th× 2n - 1 = 23k+1 – 1 = 8k . 2 – 1= 2(8k – 1) + 1 = 2. BS7 + 1  2n - 1 kh«ng chia hÕt cho 7 NÕu n = 3k +2(k  N) th× 2n - 1 = 23k+2 – 1= 4.23k – 1 = 4( 8k – 1) + 3 = 4.BS7 + 3  2n - 1 kh«ng chia hÕt cho 7 VËy 2n - 1 7  n = 3k (k  N). Chuyên đề V: Tớnh. chia hết với số nguyên. 2. Bµi tËp Bµi 1: Chøng minh r»ng: a/ n3 + 6n2 + 8n chia hªt ch 48 víi mäi sè n ch½n b/ n4 – 10n2 + 9 chia hÕt cho 384 víi mäi sè n lÎ Gi¶i a/ n3 + 6n2 + 8n = n(n2 + 6n + 8) = n( n2 + 4n + 2n + 8) = n[n(n + 4) + 2(n + 4)] = n(n+2)(n + 4) Víi n ch½n, n = 2k ta cã: n3 + 6n2 + 8n = 2k(2k + 2)(2k + 4) = 8.k. (k + 1)k + 2) 8 b/ n4 – 10n2 + 9 = n4 – n2 – 9n2 + 9 = n2(n2 – 1)- 9(n2 – 1) = (n2 – 1)(n2 - 9) = (n – 1)(n+1)(n-3)(n+3) Víi n lÎ, n = 2k +1, ta cã: n4 – 10n2 + 9 = (2k +1 – 1)(2k + 1+1)(2k + 1 – 3)( 2k + 1 +3) = 2k(2k+2)(2k-2)(2k+4)= 16k(k+1)(k-1)(k+2) 16 Bµi 2: Chøng minh r»ng a/ n6 + n4 -2n2 chia hÕt cho 72 víi mäi sè nguyªn n b/ 32n – 9 chia hÕt cho 72 víi mäi sè nguyªn d¬ng n Gi¶i: Ta cã: A= n6 + n4 -2n2 = n2(n4+n2 -2)= n2(n4 + 2n2 –n2 – 2)= n2[(n2 +2)- (n2 +2)] = n2(n2 + 2)(n2 – 1)..

<span class='text_page_counter'>(22)</span> Ta l¹i cã: 72 = 8.9 víi (8,9) = 1 XÐt c¸c trêng hîp: + Víi n = 2k  A = (2k)2(2k + 1) (2k -1)(4k2 +2) = 8k2(2k + 1) (2k -1)(2k2 +1) 8 + Víi n = 2k +1  A = (2k + 1)2(2k +1 – 1)2= (4k2 + 4k +1)4k2 8 Tơng tự xét các trờng hợp n = 3a, n= 3a  1 để chứng minh A 9 VËy A 8.9 hay A 72 Bµi 3: Cho a lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3. Chøng minh r»ng a 2 – 1 chia hÕt cho 24 Gi¶i: V× a2 lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3 nªn a lÎ  a2 lµ sè chÝnh ph¬ng lÎ  a2 chia cho 8 d 1  a2 – 1 chia hÕt cho 8 (1) MÆt kh¸c a lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3  a kh«ng chia hÕt cho 3  a2 lµ sè chÝnh ph¬ng kh«ng chia hÕt cho 3  a2 chia cho 3 d 1  a2 – 1 chia hÕt cho 3 (2) Mµ (3,8) = 1 (3) Tõ (1), (2), (3)  a2 – 1 chia hÕt cho 24 Bµi 4: Chøng minh r»ng: NÕu sè tù nhiªn a kh«ng chia hÕt cho 7 th× a6 -1 chia hÕt cho 7 Gi¶i: Bài toán là trờng hợp đặc biệt của định lý nhỏ Phéc ma: - D¹ng 1: NÕu p lµ sè nguyªn tè vµ a lµ mét sè nguyªn th× a p – a chia hÕt cho p - D¹ng 2: NÕu a lµ mét sè nguyªn kh«ng chia hÕt cho sè nguyªn tè p th× a p-1-1 chia hÕt cho p ThËt vËy, ta cã a6 -1 = (a3 + 1) (a3 - 1) NÕu a = 7k 1 (k  N) th× a3 = ( 7k  1)3 = BS7  1  a3 - 1 7 NÕu a = 7k 2 (k  N) th× a3 = ( 7k  2)3 = BS7  23 = BS7  8  a3 - 1 7 NÕu a = 7k 3 (k  N) th× a3 = ( 7k  3)3 = BS7  33 = BS7  27  a3 + 1 7 Ta lu«n cã a3 + 1 hoÆc a3 – 1 chia hÕt cho 7. VËy a6 – 1 chia hÕt cho 7 Bµi 5: Chøng minh r»ng: NÕu n lµ lËp ph¬ng cña mét sè tù nhiªn th× (n-1)n(n + 1) chia hÕt cho 504 Gi¶i: Ta có 504 = 32 . 7.8 và 7,8,9 nguyên tố cùng nhau từng đôi một Vì n là lập phơng của một số tự nhiên nên đặt n = a3 CÇn chøng minh A=(a3-1)a3(a3 + 1) chia hÕt cho 504 Ta cã: + NÕu a ch½n  a3 chia hÕt cho 8 NÕu a lÎ  a3-1vµ a3 + 1 lµ hai sè ch½n liªn tiÕp  (a3-1) (a3 + 1) chi hÕt cho 8 VËy A 8 , 19a9  n  N (1) + NÕu a 7  a3 7  A 7 NÕu a kh«ng chia hÕt cho 7 th× a6 – 1 7  (a3-1) (a3 + 1) 7(§Þnh lÝ PhÐc ma) VËy A 7 ,   n  N (2) + NÕu a 3  a3 9  A 9 NÕu a kh«ng chia hÊe cho 3  a = 3k 1  a3 = ( 3k  3)3= BS9 1  a3 – 1 = BS9+1 – 1 9 a3 + 1 = BS9- 1 + 1 9.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> VËy A 9 ,   n  N (3) Tõ (1), (2), (3)  A 9 ,   n N Bài 6: Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức sau là số nguyên tố: a/ 12n2 – 5n – 25 b/ 8n2 + 10n +3 n3  3n c/ 4. Gi¶i: a/ Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: 12n2 – 5n – 25 = 12n2 +15n – 20n – 25 = 3n(4n + 5) – 5(4n +5) = (4n +5)(3n –5) Do 12n2 – 5n – 25 lµ sè nguyªn tè vµ 4n +5 > 0 nªn 3n – 5 > 0. Ta lại có: 3n – 5 < 4n +5(vì n  0) nên để 12n2 – 5n – 25 là số ngyên tố thì thừa sè nhá ph¶i b»ng 1 hay 3n – 5 = 1  n = 2 Khi đó, 12n2 – 5n – 25 = 13.1 = 13 là số nguyên tố. VËy víi n = 2 th× gi¸ trÞ cña biÓu thøc 12n2 – 5n – 25 lµ sè nguyªn tè 13 b/ 8n2 + 10n +3 = (2n – 1)(4n + 3) Biến đổi tơng tự ta đợc n = 0. Khi đó, 8n2 + 10n +3 là số nguyên tố 3 n3  3n c/ A = 4 . Do A lµ sè tù nhiªn nªn n(n + 3) 4.. Hai sè n vµ n + 3 kh«ng thÓ cïng ch½n. VËy hoÆc n , hoÆc n + 3 chia hÕt cho 4 - NÕu n = 0 th× A = 0, kh«ng lµ sè nguyªn tè - NÕu n = 4 th× A = 7, lµ sè nguyªn tè -NÕu n = 4k víi k  Z, k > 1 th× A = k(4k + 3) lµ tÝch cña hai thõa sè lín h¬n 1 nªn A lµ hîp sè - NÕu n + 3 = 4 th× A = 1, kh«ng lµ sè nguyªn tè - NÕu n + 3 = 4k víi k  Z, k > 1 th× A = k(4k - 3) lµ tÝch cña hai thõa sè lín h¬n 1 nªn A lµ hîp sè. n3  3n VËy víi n = 4 th× 4 lµ sè nguyªn tè 7. Bµi 7: §è vui: N¨m sinh cña hai b¹n Một ngày của thập kỷ cuối cùng của thế kỷ XX, một nhờ khách đến thăm trờng gặp hai häc sinh. Ngêi kh¸ch hái: - Cã lÏ hai em b»ng tuæi nhau? B¹n Mai tr¶ lêi: - Kh«ng, em h¬n b¹n em mét tuæi. Nhng tæng c¸c ch÷ sè cña n¨m sinh mçi chóng em đều là số chẵn. - Vậy thì các em sinh năm 1979 và 1980, đúng không? Ngời khách đã suy luận thế nào? Gi¶i: Ch÷ sè tËn cïng cña n¨m sinh hai b¹n ph¶I lµ 9 vµ 0 v× trong trêng hîp ngùoc l¹i th× tæng c¸c ch÷ sè cña n¨m sinh hai b¹n chØ h¬n kÐm nhau lµ 1, kh«ng thÓ cïng lµ sè ch½n. Gäi n¨m sinh cña Mai lµ 19a9 th× 1 +9+a+9 = 19 + a. Muèn tæng nµy lµ sè ch½n th× a  {1; 3; 5; 7; 9}. HiÓn nhiªn Mai kh«ng thÓ sinh n¨m 1959 hoÆc 1999. VËy Mai sinh n¨m 1979, b¹n cña Mai sinh n¨m 1980.. Chuyên đề VI: Tam giác – phân giác. 1. Các bài toán tổng quát về đờng phân giác.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> 1/ Cho  ABC với AB > AC . Điểm M ( khác A ) thuộc đường phân giác trong và N ( khác A ) thuộc đường phân giác ngoài của góc A . Chứng minh rằng : a/ AB – AC > MB – MC b/ AB + AC < NB + NC . 2/ Ba đường phân giác trong AD , BE , CF của  ABC gặp nhau tại O . Từ O dựng OG vuông góc với BC . a/Chứng minh góc BOD = góc COG . b/Tính goùc BOC theo A . c/Tính goùc GOD theo goùc B vaø goùc C . 3/ Cho  ABC , các đường phân giác AA’, BB’, CC’. Gọi L là giao điểm của AA’ và B’C’ , K là giao điểm của CC’ và A’B’ . Chứng minh : BB’ là phân giác của goùc KBL . 4/ Cho  ABC có dộ dài 3 cạnh là a,b,c và l a , lb , lc là độ dài 3 đường phân giác ứng với các cạnh BC , CA , AB . Chứng minh :. 1 1 1 1 1 1 + + < + + a b c la lb lc. HƯỚNG DẪN. E c. A. <2c. Chuù yù vaø nhaän xeùt : + Ta có thể tạo ra một đoạn thẳng bằng b+c bằng cách từ B vẽ tia Bx // Ac cắt AC tại E . 1. b+c. 1. 1. + Ta chứng minh l > 2 bc = 2 c + 2b (1) ( và tương tự a C B D la với các trường hợp còn lại ) bằng cách tính BE ( liên a quan đến b , c , la ) . Qua B vẽ đường thẳng song song với đường thẳng AD cắt CA tại E .  ABE caân taïi E . Xeùt  ABE ta coù : BE < AB + AE = 2AB = 2c . c. b. BE CE = AD AC 1 b+c 1 1 AD. CE l a (b+ c) > = + (1) = < 2c  BE= AC  l 2 bc 2 c 2b b a 1 1 1 1 1 1 > + (3) Chứng minh tương tự ta có : l > 2 a + 2 c (2) lc 2 b 2 a b. Xeùt  CBE ta coù : AD // BE . Lấy (1) + (2) +(3) suy ra điều phải chứng minh . 5/ Cho tam giác ABC có các phân giác AY , BZ , CX . Chứng minh rằng : AX BY CZ + + ≥3 XB YC ZA.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> HƯỚNG DẪN Nhaän xeùt vaø chuù yù : + Bài toán cho các đường phân giác nên hãy chú ý đến tính chất đường phân giác của tam giác . + Bài toán yêu cầu chứng minh một bất đẳng. A thức đếnB. Z. X Y. nên hãy chú ý đến các BĐT trong đó chú ý. C. BÑT Coâsi . AX BY CZ ; ; XB YC ZA AX BY CZ 3 AX BY CZ + + ≥3 XB YC ZA XB YC ZA AX BY CZ + + ≥3 XB YC ZA. Aùp dụng bất đẳng thức Cosi cho 3 số dương Theo tính chất đường phân giác : AX BY CZ b c a = XB YC ZA a b c. Do đó. ta coù :. √. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c tức  ABC đều . 6/ Cho  ABC , ba đường phân giác trong AD , BE , CF . Chứng minh điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều là SDEF = ¼ SABC . 8/ Cho  ABC có độ dài ba cạnh là a , b , c . Vẽ các phân giác AD , BE , CF .Chứng minh SDEF  ¼ SABC , dấu “=” xảy ra   ABC đều . 2.TÍNH ĐỘ LỚN CỦA GÓC 1/ Cho  ABC , các đường phân giác trong BD , CE . Tính số đo các góc của tam giaùc neáu BDE = 240 , CED = 180 . 2/ Cho  ABC , caùc goùc B vaø C coùù tæ leä 3 : 1 , phaân giaùc cuûa goùc A chia dieän tích tam giaùc theo tæ soá 2: 1 . Tính caùc goùc cuûa tam giaùc . 3.HAI ĐƯỜNG PHÂN GIÁC 1/ Cho  ABC có hai đường phân giác trong BD , CE cắt nhau tại I . Biết ID = IE . Chứng minh rằng hoặc  ABC cân tại A hoặc BAC = 600 . HƯỚNG DẪN A.

<span class='text_page_counter'>(26)</span> E’ D. E I. C B AI là đường phân giác của góc A . Khi đó hai  IEA và  IDA có thể xảy ra hai trường hợp : a/  IEA =  IDA . Khi đó : BAD = CAE ; AD = AE ; BDA = CEA   ABD =  ACE ( g – c – g )  AB = AC   ABC caân taïi A . b/  IEA và  IDA không bằng nhau   ABC không cân ở A . Không mất tính tổng quát ta giả sử : C > B . Lấy điểm E’ trên AB sao cho IE’ = IE = ID .   IE’E caân  IE’E = IEE’  BEI = IE’A = IDA Xét tứ giác ADIE có : D + E = 1800  A + DIE = 1800  A + BIE = ICB + IBC  2A = 2ICB + 2IBC = C + B . Maø BIE + DIE = 180 0 vaø A + B + C = 1800  A + 2A = 1800  A = 600 . 4.CỰC TRỊ 1/ Cho  ABC với AB  AC và AD là đường phân giác trong . Lấy điểm M trên cạnh AB và điểm N trên cạnh AC sao cho BM.CN = k không đổi ( k < AB 2 ) . Xác định vị trí của M , N sao cho diện tích của tứ giác AMDN là lớn nhất . HƯỚNG DẪN Nhaän xeùt : 1/ BM + CN  2 BM .CN 2/ SAMDN = SAMD + SADN 3/ M. A. M. H. Bk H. K N. 1 ñv. E. Haï DH , DK vuông Dgóc với AB và B C AC . Ta coù : DH = DK = haèng soá ( AD laø phaân giaùc cuûa goùc A ) 2SAMDN = 2SADM + 2SADN = DH.AM + DK.AN = DH( AM + AN ) = DH [AB+AC – (BM+CN)] (1).

<span class='text_page_counter'>(27)</span> Aùp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương BM , CN : BM + CN  2 √ BM. CN=2 √ k , daáu “ = “ xaûy ra  BM = CN . Thay vaøo (1) ta được : 2SAMDN  DH(AB+AC- 2 √ k ) Diện tích tứ giác AMDN lớn nhất khi BM = CN = √ k < AB  AC . Lúc đó SAMDN = ½ (AB+AC - 2 √ k ) . Dễ dàng dựng được các đoạn thẳng BM , CN theo hệ thức BM2 = CN2 = k.1 ( trong đó 1 chỉ 1 đơn vị dài ) . Cách dựng : Trên BC lấy E sao cho BE = 1 . trên BF lấy H sao cho BH = k . Dựng đường tròn đường kính BE , dựng tia Hx vuông góc với BE cắt đường tròn tại M. BM có độ dài cần dựng .. Chuyên đề VIi: Tam giác - đờng cao -trung tuyến. I.Các bài toán về đờng cao 1/ Cho  ABC có a > b > c . Chứng minh : a/ ha < hb < hc b/ a + ha  b + hb 2/ Cho  ABC có ba cạnh là a , b , c và ba đường cao là ha , hb , hc . Chứng minh raèng neáu 1 1 1 1 1 1 + + = + + ha hb hc √ p( p − a) √ p( p − b) √ p( p − c). thì tam giác ABC là tam giác đều ( p. là nửa chu vi của  ABC . 3/ Chứng minh rằng nếu một tam giác cóù 2 cạnh không bằng nhau thì tổng của cạnh lớn hơn và đường cao tương ứng lớn hơn tổng của cạnh nhỏ và đường cao tương ứng . 4/ Cho  ABC có các đường cao AA’ , BB’ , CC’ . Chiếu A’ lên AB , AC , BB’ và CC’ tại I , J , K , L . Chứng minh 4 điểm I , J , K , L thẳng hàng . 5/ Cho  ABC , đường cao AH . Gọi C’ là điểm đối xứng của H qua AB . Gọi B’ là điểm đối xứng của H qua AC . Gọi giao điểm của B’C’ với AC và AB là I và K . Chứng minh BI và CK là đường cao của  ABC . . ĐƯỜNG CAO – CHU VI TAM GIÁC 1/ Chứng minh rằng mọi  ABC ta đều có : p2  ha2 + hb2 + hc2 ( p là nửa chu vi tam giaùc ABC ) 2/ Cho  ABC . Xác định các điểm M , N , P theo thứ tựï thuộc các cạnh BC , CA , AB sao cho chu vi  MNP laø nhoû nhaát . ĐƯỜNG CAO - BẤT ĐẲNG THỨC - CỰC TRỊ.

<span class='text_page_counter'>(28)</span> 1/ Cho 2 điểm A , B cóùá định và điểm M di động sao cho  MAB cóù 3 góc nhọn . Gọi H là trực tâm của  AMB , K là chân đường cao vẽ từ M . Tìm giá trị lớn nhaát cuûa KH.KM . TAM GIÁC – ĐƯỜNG CAO - PHÂN GIÁC 1/ Đường cao và đường phân giác vẽ từ đỉnh A của ABC tạo thành một góc . Tính góc đo theo các góc B và C của tam giác ABC ( hoặc chứng minh góc đó bằng nửa hiệu của hai góc B và C ) HƯỚNG DẪN A Chuù yù vaønhaän xeùt : + D luôn nằm giữa H và trung điểm M ( sẽ chứng minh B H D E C ở phần sau ) + Tìm cách tạo ra một góc bằng B – C hoặc tính B-C . Cách 1 : Từ A vẽ tia AE sao cho CAE = BAH . Suy ra : HAD = DAE , HAE = 2 HAD B = 900 – BAH C = 900 – HAE - CAE B – C = HAE = 2 HAD Caùch 2 : B = 900 – BAH C = 900 – CAH B – C = CAH - BAH = CAD + HAD – ( BAD – HAD ) = 2 HAD 1.1/ Cho  ABC và đường phân giác CE . Từø C kẻ đường thẳng vuông góc với CE cắt cạnh AB kéo dài tại D. Chứng minh rằng góc EDC bằng nửa hiệu của các góc A vaø B . 1.2/ Đuờng phân giác ngoài kẻ từ đỉnh A của  ABC tạo với cạnh BC một góc 30 0 . Tìm hieäu cuûa caùc goùc C vaø B ( Cho AB  AC ) . 1.3/ Chứng minh rằng trong một tam giác nếu hiệu các góc ở đáy bằng 90 0 thì đường phân giác trong và đường phân giác ngoài của góc ở đỉnh bằng nhau . II. TAM GIAÙC - TRUNG TUYEÁN 1/ Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta có : 4 5 (mamb + mbmc + mcma ) < ab + bc + ca <. HƯỚNG DẪN A. 20 9 (mamb + mbmc + mcma ).

<span class='text_page_counter'>(29)</span> P. N G. Q. B M C + Trong moïi tam giaùc ta coù : ma + mb + mc < a + b + c  ma2 + mb2 + mc2 + 2(ma + mb + mbmc + mcma ) < a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ca ) ( 1 ) 2 a. 2 b. 2. Do : m + m + mc =. 2. 2. 3 a +3b +3c 4. 2. a2 +b2 +c 2 + 2 ( ab + bc + ca ) 4 ab+ bc+ ca + 2 ( ab + bc + ca ) 2. Neân ( 1 )  2(mamb + mbmc + mcma ) < < . 4 5 (mamb + mbmc + mcma ) < ab + bc + ca ( * ). + Keû PQ // AM ; AM , BN , CP laø 3 trung tuyeán cuûa  ABC .  PQG coù 3 caïnh laø 1. 1. 1. a. b. c. : 3 ma ; 3 mb ; 3 mc vaø 3 trung tuyeán laø 4 ; 4 ; 4 . Aùp dụng bất đẳng thức ( * ) vào  PQG ta có : 4 a b b c c a . + . + . ¿ ( 5 4 4 4 4 4 4. ma  ab + bc + ca <. 1. 1. 1. 1. 1. 1. < 3 ma . 3 mb + 3 mb . 3 mc + 3 mc . 3. 20 9 (mamb + mbmc + mcma ) .. 2/ Cho  ABC , trung tuyeán AM . Moät caùt tuyeán  quay quanh troïng taâm G caét AB , AC tại P và Q . Chứng minh :. AB AC + AP AQ. khoâng phuï thuoäc vò trí cuûa  .. 3/ Tam giác ABC có ¼ AC < AB < 4AC . Một đường thẳng đi qua trọng tâm G của  ABC , cắt các cạnh AB , AC lần lượt tại E , F . Hãy xác định vị trí điểm E sao cho AE + AF đạt giá trị nhỏ nhất . ( Mở rộng bài trên ) 4/ Cho  ABC , trung tuyến AD . Từø điểm M bất kỳ trên BD vẽ đường thẳng song song với AD cắt AB tại E , cắt AC tại F . Chứng minh : 2AD = ME + MF . HƯỚNG DẪN Chuù yù vaø nhaän xeùt : + 2AD = ME + MF . ME+MF =2 AD. + Tạo ra đoạn thẳng bằng ME + MF ..

<span class='text_page_counter'>(30)</span>