De HSG Toan 820162017 70

<span class='text_page_counter'>(1)</span>§Ò thi hsg líp 8 SỐ 1 MÔN TOÁN Thời gian: 120 phút Bài 1(3 điểm): Tìm x biết: a) x2 – 4x + 4 = 25 x −17 x −21 x+ 1 b) 1990 + 1986 + 1004 =4. c) 4x – 12.2x + 32 = 0 1 1 1. Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi một khác nhau và x + y + z =0 . Tính giá trị của biểu thức:. A=. yz xz xy + 2 + 2 2 x + 2 yz y +2 xz z +2 xy. Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương. Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm.. HA '. HB' HC '. a) Tính tổng AA ' + BB ' + CC '. b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN. IC.AM. c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức. AB+ BC+CA ¿2 ¿ đạt giá trị nhỏ nhất? Ơ¿ ¿.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ĐÁP ÁN  Bài 1(3 điểm): a) Tính đúng x = 7; x = -3 điểm ) b) Tính đúng x = 2007 điểm ) ⇔ 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 c) 4x – 12.2x +32 = 0 ( 0,25điểm ) ⇔ 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = 0 ⇔ (2x – 8)(2x – 4) ( 0,25điểm ) ⇔ (2x – 23)(2x –22) = 0 ⇔ 2x –23 = 0 hoặc 2x –22 ( 0,25điểm ) ⇔ 2x = 23 hoặc 2x = 22 ⇔ x = 3; x ( 0,25điểm ). (1 (1 = 0 = 0 = 0 = 2.  Bài 2(1,5 điểm): 1 1 1 + + =0 x y z. ⇒. ) x2+2yz = ( 0,25điểm ) Tương tự: ( 0,25điểm ). xy+yz+ xz =0 ⇒ xy+yz+ xz=0 xyz. x2+yz–xy–xz y2+2xz. =. =. ⇒ yz = –xy–xz. x(x–y)–z(x–y). (y–x)(y–z). ;. z2+2xy. ( 0,25điểm. =. (x–y)(x–z). =. yz xz xy Do đó: A= ( x − y )(x − z) + ( y − x)( y − z ) + (z − x )(z − y). ( 0,25điểm ). Tính đúng A = 1 điểm ). ( 0,5.  Bài 3(1,5 điểm): Gọi abcd là số phải tìm a, b, c, d (0,25điểm) Ta có:. abcd=k 2 2 (a+1)(b+ 3)( c+5)(d+ 3)=m abcd=k 2. với k, m. N,. 0 ≤ a , b , c , d ≤9 , a ≠ 0. N, 31<k <m<100 (0,25điểm) abcd +1353=m2. ⇔ ⇔ (0,25điểm). Do đó: m2–k2 = 1353 ⇒ (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 (0,25điểm) m+k = 123 m+k = 41 ⇒ hoặc m–k = 11 m–k = 33. (z–x)(z–y). ( k+m < 200 ).

<span class='text_page_counter'>(3)</span> m = 67 ⇔. m = 37 k = 56. hoặc. k =. 4. (0,25điểm) Kết. luận. đúng. =. abcd. 3136. (0,25điểm)  Bài 4 (4 điểm): Vẽ hình đúng (0,25điểm) a). 1 . HA ' . BC S HBC 2 HA ' = = ; S ABC 1 AA ' . AA ' .BC 2. (0,25điểm). S HAB HC '. S HAC HB '. Tương tự: S =CC ' ; S =BB ' ABC ABC (0,25điểm). HA ' HB' HC ' S HBC SHAB S HAC + + = + + =1 AA ' BB ' CC ' S ABC S ABC SABC. (0,25điểm). b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC = ; = ; = IC AC NB BI MA AI. (0,5điểm ). BI AN CM AB AI IC AB IC . . = . . = . =1 IC NB MA AC BI AI AC BI ⇒ BI . AN . CM=BN . IC. AM. (0,5điểm ) (0,5điểm ). c)Vẽ Cx CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx (0,25điểm) -Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm) - Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD BC + CD (0,25điểm) - Δ BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2 ⇒ AB2 + AD2 (BC+CD)2 AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2 4CC’2 (BC+AC)2 – AB2 (0,25điểm) Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 -Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2 AB+ BC+CA ¿2 ¿ ⇔ Ơ¿ ¿ Đẳng thức xảy ra ⇔ BC = AC, AC = AB, AB = BC ⇔ Δ ABC đều. (0,25điểm) ⇔ AB = AC =BC.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Kết luận đúng (0,25điểm). *Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, nếu chính xác thì hưởng trọn số điểm câu đó. §Ò thi hsg líp 8 SỐ 2 MÔN TOÁN Thời gian: 120 phút Bài 1 (4 điểm) Cho biểu thức A =. (. 3. 2. 1− x 1−x −x : 1−x 1 − x − x 2+ x 3. ). với x khác -1 và 1.. a, Rút gọn biểu thức A. b, Tính giá trị của biểu thức A tại x c, Tìm giá trị của x để A < 0.. ¿ −1. 2 . 3.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Bài 2 (3 điểm) 2. 2.  a  b   b  c   c  a  Cho. 2. 4. a 2  b 2  c 2  ab  ac  bc . .. Chứng minh rằng a=b=c . Bài 3 (3 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình. Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó. Bài 4 (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = a 4 − 2 a3 +3 a2 −4 a+5 . Bài 5 (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ABC bằng 600, phân giác BD. Gọi M,N,I theo thứ tự là trung điểm của BD, BC, CD. a, Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh. b, Cho AB = 4cm. Tính các cạnh của tứ giác AMNI. Bài 6 (5 điểm) Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N. a, Chứng minh rằng OM = ON. 1. 1. 2. b, Chứng minh rằng AB + CD =MN . c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích). Tính SABCD. Đáp án Bài 1( 4 điểm ) a, ( 2 điểm ). Với x khác -1 và 1 thì : 3. 0,5đ. 2. (1 − x )(1+ x) 1 − x − x+ x : 2 1−x ( 1+ x )(1 − x+ x )− x (1+ x) (1− x)(1+ x + x 2 − x) (1 − x )(1+ x) : = 1− x (1+ x )(1− 2 x + x 2) 1 2 = (1+x ): (1− x) = (1+ x 2)(1 − x). A=. KL b, (1 điểm). 0,5đ 0,5đ 0,5đ.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 5 2 − ¿ 3. 0,25đ. 2 5 Tại x = −1 3 = − 3 thì A = 5 1+¿ − 1 −(− ). [. 3. ]. ¿. 25 5 (1  )(1  ) 9 3 = 34 8 272 2 ¿ . = =10 9 3 27 27. 0,25đ 0,5đ. KL c, (1điểm). Với x khác -1 và 1 thì A<0 khi và chỉ khi (1+ x 2)(1 − x)< 0 (1) Vì 1+ x 2> 0 với mọi x nên (1) xảy ra khi và chỉ khi 1− x< 0 ⇔ x >1 KL. 0,25đ 0,5đ 0,25đ. Bài 2 (3 điểm). Biến đổi đẳng thức để được 2. 2. 2. 2. 2. 0,5đ 2. 2. 2. 2. a +b −2 ab+ b +c − 2 bc+ c + a + 2ac=4 a + 4 b + 4 c − 4 ab −4 ac − 4 bc Biến đổi để có (a2 +b 2 − 2ac )+(b2 + c2 −2 bc)+(a 2+ c2 −2 ac)=0 2 a − c ¿ =0 2 Biến đổi để có b −c ¿2 +¿ (*) a− b ¿ +¿ ¿ 2 a −b ¿ ≥ 0 b − c ¿2 ≥ 0 ; a − c ¿2 ≥ 0 ; với mọi a, b, c Vì ; ¿ ¿ ¿ a −b ¿ 2=0 ; b − c ¿2=0 và a − c ¿2=0 ; nên (*) xảy ra khi và chỉ khi ¿ ¿ ¿. Từ đó suy ra a = b = c. 0,5đ 0,5đ. 0,5đ 0,5đ 0,5đ. Bài 3 (3 điểm). Gọi tử số của phân số cần tìm là x thì mẫu số của phân số cần tìm là x+11.. 0,5đ. x. Phân số cần tìm là x +11 (x là số nguyên khác -11) x−7. Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số 4 đơn vị ta được phân số x +15 (x khác -15). 0,5đ. Theo bài ra ta có phương trình x +11 = x − 7 Giải phương trình và tìm được x= -5 (thoả mãn). 0,5đ. x. x +15. 5 Từ đó tìm được phân số − 6 KL. 1đ 0,5đ. Bài 4 (2 điểm). Biến đổi để có A= a2 (a2+ 2)−2 a(a2 +2)+(a 2+2)+3 2. a −1 ¿ +3 = (a2 +2)(a 2 −2 a+1)+3=(a 2+ 2)¿. 0,5đ 0,5đ.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Vì a +2>0 2. ∀a. và. a −1 ¿2 ≥0 ∀ a ¿. nên. a −1 ¿2 ≥0 ∀ a (a 2+2)¿. 0,5đ. do đó. 2. a −1 ¿ +3 ≥ 3 ∀ a 2 ( a +2)¿. Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a −1=0 KL. 0,25đ 0,25đ. ⇔ a=1. Bài 5 (3 điểm) B. N. M. A I. D. a,(1 điểm). C. Chứng minh được tứ giác AMNI là hình thang Chứng minh được AN=MI, từ đó suy ra tứ giác AMNI là hình thang cân. 0,5đ 0,5đ. b,(2điểm). 0,5đ. 4 √3 8 √3 cm ; BD = 2AD = cm 3 3 1 4 √3 cm AM = 2 BD=¿ 3 4 √3 cm Tính được NI = AM = 3 1 8 √3 4 √3 DC=¿ cm , MN = cm DC = BC = 2 3 3 8 √3 cm Tính được AI = 3. Tính được AD =. 0,5đ 0,5đ 0,5đ. Bài 6 (5 điểm) B. A. M. a, (1,5 điểm). O. N. C. D. OM OD Lập luận để có AB = BD OD. OC. Lập luận để có DB =AC. ,. ON OC = AB AC. 0,5đ 0,5đ.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> OM ON = AB AB b, (1,5 điểm) ⇒. ⇒. OM DM OM AM = = Δ ADC để có (1), xét AB AD DC AD 1 1 AM+ DM AD = =1 Từ (1) và (2) ⇒ OM.( AB + CD ) ¿ AD AD 1 1 Chứng minh tương tự ON. ( AB + CD )=1 1 1 1 1 2 từ đó có (OM + ON). ( AB + CD )=2 ⇒ AB + CD =MN b, (2 điểm) S AOB OB S BOC OB S AOB S BOC = = =¿ ⇒ ⇒ , S AOD OD S DOC OD S AOD S DOC S AOB . S DOC =S BOC . S AOD Chứng minh được S AOD =S BOC S AOD ¿ 2 ⇒ S AOB . S DOC =¿ Thay số để có 20082.20092 = (SAOD)2 ⇒ SAOD = 2008.2009. Xét. Δ ABD để có. 0,5đ. OM = ON (2). Do đó SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172 (đơn vị DT). 0,5đ. 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ.

<span class='text_page_counter'>(9)</span>