Luan VanSKKN 18

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (441.59 KB, 107 trang )

(1)Phần I: PHẦN MỞ ĐẦU I. Lí do chọn đề tài Quá trình dạy học được tiến hành bằng sự kết hợp giữa hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của học sinh. Lâu nay chúng ta thường chú ý đến chất lượng của hoạt động dạy. Trong khi dự giờ, rút kinh nghiệm ta thường phân tích nhiều về những khía cạnh hoạt động của thầy ở trên lớp như: chất lượng bài giảng, khả năng lôi cuốn học sinh học tập, phong thái, cách trình bày... Điều đó là cần thiết, vì giáo viên là người điều khiển, tổ chức quá trình dạy học. Nhưng việc ít quan tâm hoặc quan tâm không đầy đủ, sâu sắc đến hoạt động học của học sinh lại là một thiếu sót lớn. Nhân cách của học sinh, trong đó có kết quả trí dục, chính là chất lượng sản phẩm mà nhà trường đào tạo cho xã hội. Vì vậy, cần thiết phải chú ý đến hoạt động học, trước hết phải bồi dưỡng cho học sinh năng lực học tập bộ môn. Trong quá trình giảng dạy, chúng tôi nhận thấy thực tế dạy - học bộ môn toán ở trường THCS hiện nay có một số điểm: do chương trình dài và do hạn chế về thời gian, giáo viên chưa chú trọng đúng mức, học sinh tính toán còn kém, nên quá trình rèn luyện và nâng cao kĩ năng giải các bài toán cho học sinh chưa có hiệu quả cao, đa số các em phải học thêm ngoài giờ lên lớp để có điều kiện trao đổi các bài tập ngoài sách giáo khoa. Phần lớn học sinh chưa có những biện pháp phù hợp để rèn luyện kĩ năng và các em thường gặp khó khăn trong các bài tập tổng hợp ôn tập cuối chương. Vậy Dạy-Học nội dung: Bồi dưỡng năng lực giải các bài toán về " Phép nhân và chia đa thức "như thế nào để đạt kết quả tốt nhất? Phù hợp với học sinh đại trà? Đồng thời đáp ứng được nhu cầu học tập của học sinh khá giỏi. Vì vậy, chúng tôi đi vào nghiên cứu đề tài này nhằm đề xuất một vài biện pháp bồi dưỡng năng lực giải toán để các em học sinh tham khảo và tự rèn luyện. Đồng thời đi sâu tìm hiểu một vài phương pháp giải bài tập qua đó giúp chúng tôi có được vốn kiến thức để có thể giảng dạy tốt bộ môn Toán ở trường THCS. Hiểu được tầm quan trọng của vấn đề, bằng kinh nghiệm dạy và học toán chúng tôi chọn đề tài này..

(2) II. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu các tài liệu và thực tiễn giảng dạy tại một số trường THCS ở tỉnh Sóc Trăng với mục đích: - Giúp học sinh có cơ sở lựa chọn một số biện pháp phù hợp để rèn luyện và nâng cao kĩ năng giải toán. - Hướng dẫn học sinh tự rèn luyện, giúp các em nắm được các biện pháp cơ bản phục vụ cho việc giải bài tập toán. - Giúp học sinh chủ động, tích cực và sáng tạo hơn trong học tập. III. Nhiệm vụ nghiên cứu - Đề ra các biện pháp bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh. - Phân chia ra các dạng bài tập, tìm ra những sai lầm mà học sinh thường mắc phải và đề xuất các biện pháp khắc phục. IV. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu tài liệu: đọc kĩ nội dung chương I - Đại số 8 “Phép nhân và phép chia đa thức”, nghiên cứu sách bài tập và các dạng bài tập nâng cao. - Phương pháp quan sát: theo dõi quá trình học tập của học sinh trong quá trình dạy. - Phương pháp thực nghiệm: hướng dẫn học sinh giải một vài bài tập cụ thể. V. Phạm vi nghiên cứu - Phạm vi nghiên cứu: Chương trình đại số 8, cụ thể là chương I: “Phép nhân và phép chia đa thức” toán 8 tập I. - Đối tượng nghiên cứu: Một số biện pháp bồi dưỡng năng lực giải các bài toán về “ Phép nhân và chia đa thức”. - Địa bàn nghiên cứu: Trường THCS Mỹ Tú - Tỉnh Sóc Trăng..

(3) VI. Cấu trúc đề tài * Lời nói đầu * Phần I: Phần mở đầu * Phần II: Nội dung đề tài Chương I: Cơ sở lí luận và thực tiễn 1.1 Thế nào là năng lực giải toán 1.2 Rèn luyện năng lực giải toán 1.3 Hệ thống các dạng bài tập của chương 1.4 Thực trạng về việc dạy và học phép nhân và phép chia đa thức thông qua dạy đại số 8 tại một số trường THCS của tỉnh Sóc Trăng Chương II: Các biện pháp rèn luyện và nâng cao kĩ năng giải toán cho học sinh 2.1 Cơ sở xây dựng các biện pháp 2.2 Các nguyên tắc xây dựng các biện pháp 2.3 Các biện pháp rèn luyện và nâng cao kĩ năng giải bài toán cho học sinh 2.4 Các bài tập vận dụng tổng hợp Chương III: Thực nghiệm * Phần III: Kết luận.

(4) PHẦN II: NỘI DUNG ĐỀ TÀI Chương I: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Thế nào là năng lực giải toán? 1.1.1 Bài toán và giải toán 1.1.1.1 Bài toán - Polya viết: “Bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìm hiểu một cách có ý thức, phương tiện thích hợp để đạt tới mục đích trong thấy rõ ràng nhưng không thể đạt được ngay”. [2, tr 17] - Rubinstein cho rằng: “một vấn đề hay một tình huống có vấn đề được xác định trước hết ở chổ trong nó có cái chưa biết, cũng tức là cái lỗ hỏng cần được lấp đầy, có cái x nào đó cần được thay bởi giá trị tương ứng. Như vậy một tình huống có vấn đề luôn luôn chứa cái gì đó là ẩn - trong quan hệ với cái đã cho - cần được xác định dưới dạng hiện”, “bài toán là sự phát biểu vấn đề thành lời”. [2, tr 18] - Ta hiểu bài toán là yêu cầu cần có để đạt mục đích nào đó. Mục đích nêu trong bài toán có thể là một tập hợp bất kì (các số, các hình, các biểu thức, phương trình...) hoặc sự đúng đắn của một hoặc nhiều kết luận. 1.1.1.2 Lời giải một bài toán - Lời giải một bài toán là tập hợp đã xếp thứ tự các thao tác cần thực hiện để đạt được mục đích nêu ra trong bài toán đó. - Một bài toán có thể có một hoặc nhiều cách giải khác nhau. - Yêu cầu của bài toán: đầy đủ, rõ ràng, không có sai lầm, lập luận phải có căn cứ xác định, logic. 1.1.1.3 Sự phức tạp và cái khó của bài toán - Sự phức tạp của bài toán thể hiện ở sự phức tạp của cái đã cho, của cái phải tìm hoặc của lời giải. Nó thể hiện ở chỗ có nhiều thành tố tạo thành, liên quan đến nhiều lĩnh vực chuyên môn. - Cái khó của bài toán có tính tương đối và phụ thuộc vào người giải bài toán đó. Cái khó thể hiện trên ba phương diện: khó hiểu, khó tìm lời giải và khó trình bày lời giải..

(5) 1.1.2 Năng lực Năng lực là tổ hợp các thuộc tính độc đáo của cá nhân phù hợp với những yêu cầu của một hoạt động nhất định, đảm bảo cho hoạt động đó có kết quả (theo trang 193 Sách tâm lý học đại cương). 1.1.2.1 Các mức độ của năng lực [1, tr 22] - Năng lực là một mức độ nhất định của khả năng con người, biểu thị khả năng hoàn thành có kết quả một hoạt động nào đó. - Tài năng là mức độ của năng lực cao hơn, biểu thị sự hoàn thành một cách sáng tạo một hoạt động nào đó. - Thiên tài là mức độ cao nhất của năng lực, biểu thị ở mức độ kiệt xuất, hoàn thành nhất của những vĩ nhân trong lịch sử nhân loại. 1.1.2.2 Phân loại năng lực [1, tr 23] - Năng lực chung là năng lực cần thiết cho nhiều lĩnh vực hoạt động khác nhau (những thuộc tính về thể lực, trí tuệ.). - Năng lực riêng biệt là sự thể hiện độc đáo các phẩm chất riêng biệt, có tính chuyên môn, nhằm đáp ứng yêu cầu của một lĩnh vực hoạt động chuyên biệt với kết quả cao: năng lực toán học, năng lực thơ, văn, hội họa... 1.1.3 Năng lực giải toán [2, tr 25] Từ định nghĩa năng lực chuyên biệt ta có thể hiểu: năng lực giải toán là sự thể hiện độc đáo các phẩm chất riêng biệt nhằm đáp ứng yêu cầu của hoạt động toán học với kết quả cao. Năng lực toán học là sự kết hợp các kĩ năng giải toán và sự tư duy logic. 1.1.3.1 Kĩ năng giải toán - Kĩ năng là khả năng vận dụng các kiến thức (khái niệm, phương pháp, quy tắc..) để giải quyết một nhiệm vụ mới. [5, tr 102].

(6) - Theo đó ta có thể hiểu kĩ năng giải toán là khả năng vận dụng kiến thức toán học (khái niệm, định lí, tính chất....) vào việc giải một bài toán. - Cấu trúc của kĩ năng gồm: mục đích, cách thức, điều kiện thực hiện. - Rèn luyện kĩ năng thông thường qua sự vận dụng kiến thức để giải quyết các bài toán một cách thường xuyên. 1.1.3.2 Tư duy - Tư duy là một quá trình tâm lí phản ánh thuộc tính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính chất quy luật của sự vật và hiện tượng trong hiện thực khách quan, mà trước đó ta chưa biết. [1, tr 92] - Ở mức độ nhận thức cảm tính con người chỉ phản ánh các thuộc tính trực quan cụ thể bên ngoài, phản ánh trực tiếp bằng các giác quan những sự vật hiện tượng đang tác động. Dựa vào nhận thức đó, tư duy phản ánh những thuộc tính bên trong, những mối liên hệ của sự vật, hiện tượng những cái con người chưa biết cần tìm tòi và giải quyết. a) Những đặc điểm của tư duy [1, tr 7] - Tính “Có vấn đề” của tư duy: tư duy chỉ xảy ra trong những tình huống có vấn đề khi cần giải quyết một nhiệm vụ nào đó. - Tư duy có mối liên hệ chặt chẽ với ngôn ngữ: ngôn ngữ là công cụ để tư duy. Sản phẩm của tư duy là những khái niệm, phán đoán suy luận những biểu đạt bằng ngôn ngữ. - Tính gián tiếp của tư duy: tư duy phản ánh các sự vật, hiện tượng gián tiếp qua ngôn ngữ. - Tính trừu tượng và khái quát của tư duy: tư duy có khả năng trù xuất khỏi sự vật, hiện tượng những thuộc tính, dấu hiệu cụ thể, cá biệt,… chỉ giữ lại những cái bản chất nhất, chung cho nhiều sự vật hiện tượng và trên cơ sở đó khái quát các sự vật hiện tượng riêng lẻ khác nhau nhưng có chung những thuộc tính bản chất thành một nhóm.

(7) - Tính lý tính của tư duy: chỉ có tư duy mới giúp con người phản ánh bản chất của các sự vật, hiện tượng, những mối liên hệ có tính quy luật của chúng. - Tư duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính: nhận thức cảm tính làm nảy sinh tình huống có vấn đề và cung cấp các yếu tố cấn thiết cho tư duy. b) Quá trính tư duy gồm 4 bước [1, tr 8] - Bước 1: Xác định vấn đề, biểu đạt nó thành nhiệm vụ của tư duy. - Bước 2: Huy động tri thức, vốn kinh nghiệm, liên tưởng, hình thành giả thiết và cách giải quyết vấn đề. - Bước 3: Xác định giả thiết trong thực tiễn, nếu giả thiết đúng thì qua bước sau, nếu sai thì phủ định nó và hình thành giả thiết mới. - Bước 4: Quyết định, đánh giá kết quả, đưa ra sử dụng. c) Các thao tác tư duy cơ bản - Phân tích - tổng hợp + Phân tích là dùng trí óc chia cái toàn thể ra thành từng phần hoặc tách ra từng thuộc tính hay khía cạnh riêng biệt nằm trong cái toàn thể đó. + Tổng hợp là dùng trí óc hợp các phần của cái toàn thể hoặc kết hợp lại những cái thuộc tính những khía cạnh khác nhau nằm trong cái toàn thể đó. - So sánh là xác định sự giống nhau và khác nhau giữa các sự vật, hiện tượng. Muốn so sánh hai sự vật hiện tượng thì phải phân tích các dấu hiệu, các thuộc tính, đối chiếu các dấu hiệu các thuộc tính đó với nhau rồi tổng hợp lại xem chúng có gì giống và khác nhau. - Trừu tượng hóa - khái quát hóa + Khái quát hóa là dùng trí óc tách ra cái chung trong các đối tượng, sự kiện hoặc hiện tượng. + Trừu tượng hóa: khi ta khái quát hóa, tách ra cái chung, gạt bỏ cái riêng và chỉ khảo sát cái chung này còn cái riêng ta không để ý tới. Đó là trừu tượng hóa..

(8) + Cụ thể hóa là tìm một ví dụ minh họa cho cái chung đó, tức là tìm một cái riêng mà cái này thỏa mãn những tính chất của cái chung đã xác định. 1.1.4 Phương pháp chung tìm lời giải một bài toán Dưới những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý của G.Pôlya (1975) ta có thể đưa ra phương pháp chung tìm lời giải một bài toán như sau: 1.1.4.1 Tìm hiểu nội dung bài toán: Giả thiết là gì? Kết luật là gì? Hình vẽ minh họa ra sau? Sử dụng kí hiệu như thế nào? Phát biểu bài toán dưới nhiều dạng khác nhau để hiểu rõ bài toán? Thuộc dạng toán nào? Kiến thức cơ bản cần có là gì? 1.1.4.2 Xây dựng chương trình giải: chỉ rõ các bước cần tiến hành theo một trình tự hợp lý - Bước 1: Thực hiện vấn đề gì? - Bước 2: Giải quyết vấn đề gì? - Bước 3:........................... - ........................................ 1.1.4.3 Thực hiện chương trình giải: trình bày bài làm theo các bước đã được chỉ ra, chú ý sai lầm thường gặp trong tính toán, trong biểu đạt ... 1.1.4.4 Kiểm tra và nghiên cứu lời giải - Xét xem có sai lầm gì không? - Có phải biện luận kết quả tìm được hay không? - Nếu là bài toán có nội dụng thực tiễn thì kết quả tìm được có phù hợp với thực tiễn không? - Nghiên cứu những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề. 1.1.5 Các mức độ tư duy của học sinh về đại số - Mức độ 1: Học sinh nắm và vận dụng được các định nghĩa, quy tắc, tính chất vào giải các bài tập đơn giản..

(9) - Mức độ 2: Học sinh vận dụng kiến thức cơ bản vào các bài tập theo hướng vận dụng ngược. - Mức độ 3: Học sinh vận dụng kiến thức vào giải các bài tập tổng hợp. - Mức độ 4: Học sinh vận dụng kiến thức vào giải các bài tập nâng cao. 1.2 Rèn luyện năng lực giải toán 1.2.1 Các vấn đề chung về rèn luyện năng lực giải toán 1.2.1.1 Ba mức độ tiếp cận kiến thức toán học ở học sinh a) Nhận biết: Đây là mức độ thấp nhất trong lĩnh vực kiến thức vì chỉ yêu cầu học sinh sử dụng trí nhớ để nhận ra đối tượng mà không cần giải thích. b) Thông hiểu: Đây là mức độ cao hơn, yêu cầu học sinh chẳng những nhận biết được mà còn phải giải thích được. c) Vận dụng: Đây là mức độ cao nhất, đòi hỏi học sinh vận dụng kiến thức, sử dụng phương pháp, nguyên lý hay ý tưởng để giải quyết một vấn đề nào đó. 1.2.1.2 Ba mức độ của kĩ năng tương ứng với ba mức độ tiếp cận kiến thức toán học của học sinh a) Bắt chước: Bắt chước là khả năng lặp lại được hoạt động qua quan sát hướng dẫn trực tiếp. b) Thao tác: Thao tác là thực hiện theo đúng trình tự hoạt động đã đựơc quan sát, hướng dẫn trước đó. c) Chính xác: Chính xác là hoạt động hợp lí loại bỏ các động tác thừa, tự điều chỉnh hành động, rèn suy luận lôgíc, tư duy lôgíc. 1.2.2 Đổi mới phương pháp dạy học hiện nay - Phương pháp dạy học hiện nay là lấy người học làm trung tâm, chuyển đổi phương pháp thông báo tái hiện sang tổ chức, điều khiển hoạt động nhận thức của học sinh nhằm để học sinh tích cực, chủ động chiếm lĩnh tri thức, tự giác, chủ động, tinh thần hợp tác, kĩ năng vận dụng kiến thức vào trong thực tiễn: tạo niềm tin, niềm.

(10) vui, hứng thú trong học tập, giáo viên chỉ là người định hướng, tổ chức cho học sinh hoạt động. Trước phương pháp dạy và học đó thì việc hướng dẫn cho học sinh tự học, tự rèn luyện là vấn đề cấp thiết. Các yêu cầu khi đổi mới phương pháp dạy học ở THCS hiện nay là: - Phát huy tính tích cực chủ động của học sinh: + Giáo viên cần khơi dậy hết tiềm năng của học sinh. + Lấy mặt mạnh, mặt tốt của học sinh để kích thích hứng thú học tập, khắc phục những mặt yếu kém, tôn trọng ý kiến học sinh, định hướng nhưng không áp đặt học sinh. + Giúp học sinh tự tiếp cận chiếm lĩnh tri thức một cách nhanh chống, rèn luyện khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề. + Áp dụng các phương pháp dạy học tích cực: dạy học đặt - giải quyết vấn đề, dạy học hợp tác theo nhóm. - Yêu cầu khi soạn bài: + Xây dựng hệ thống câu hỏi dẫn dắt học sinh giải quyết vấn đề. + Chọn các bài tập cơ bản và chỉ ra các mối liên hệ giữa các bài toán, các kiến thức có liên quan, đưa ra kế hoạch tự học cho học sinh. + Tìm các bài tập ngoài sách giáo khoa, các bài tập nâng cao nhưng vẫn phù hợp với trình độ của học sinh. - Công việc của giáo viên: gợi ý để các em tham gia trả lời các câu hỏi, tổ chức làm việc cá nhân và theo nhóm, khẳng định kết quả của học sinh, đưa ra kiến thức và phương pháp giải cho học sinh (nếu cần). - Công việc của học sinh: trả lời câu hỏi và giải bài tập, trao đổi khi gặp khó. khăn, báo cáo kết quả tự giải của bản thân và của nhóm, tự kiểm tra đánh giá. 1.3 Hệ thống các dạng bài tập của chương: Phép nhân và phép chia đa thức 1.3.1 Cơ sở phân loại bài tập.

(11) - Dựa vào ba mức độ tiếp cận kiến thức toán học của học sinh THCS. - Dựa vào các dạng toán mà học sinh được học trong chương trình SGK. - Dựa vào sự khai thác sâu các vấn đề của các dạng toán nâng cao. 1.3.2 Các dạng bài tập 1.3.2.1 Dạng 1: NHÂN ĐA THỨC a) Quy tắc i) Nhân đơn thức với đa thức Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau. Vậy phép nhân đơn thức A với đa thức B1 + B2, được minh họa bởi: A.(B1 + B2) = A.B1 + A.B2 Từ đó, ta có ngay công thức mở rộng: A.(B1 + B2 + .... + Bn) = A.B1 + A.B2 + .... + A.Bn. (1). Và vì phép nhân có tính chất giao hoán nên ta cũng có: (B1 + B2 + .... + Bn)A = B1.A + B2.A+ .... + Bn.A. (2). ii) Nhân đa thức với đa thức Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.(tại đây thông thường cần thực hiện phép rút gọn). Vậy phép nhân đa thức A1 + A2 với đa thức B1 + B2 được trình bày bởi: (A1 + A2)( B1 + B2) = A1(B1 + B2) + A2(B1 + B2) = A1B1 + A1B2 + A2B1 + A2B2 iii) Nhân hai đa thức một biến đã sắp xếp Muốn nhân hai đa thức một biến đã sắp xếp, ta trình bày như sau: - Đa thức nọ viết dưới đa thức kia. - Kết quả của phép nhân mỗi số hạng của đa thức thứ hai với đa thức thứ nhất được viết riêng trong một dòng..

(12) - Các đơn thức đồng dạng được xếp vào cùng một cột. - Cộng theo từng cột. * Chú ý: Vì đây là các đa thức đã được sắp xếp, do đó nếu có tình trạng khuyết một hoặc nhiều bậc trung gian nào đó thì lúc viết vào phép nhân phải để trống một khoảng ứng với bậc khuyết ấy, để minh họa chúng ta xét các ví dụ sau: b) Phương pháp giải toán Ví dụ 1: Thực hiện phép nhân a) 3x2(x2 - 3x + 2) b) (2x2 - y - 3xy)4xy2 Giải a) Sử dụng công thức (1) ta có ngay: 3x2(x2 - 3x + 2) = 3x2.x2 - 3x2 .3x + 3x2. 2 = 3x4 - 9x3 + 6x2 b) Sử dụng công thức (2) ta có ngay: (2x2 - y - 3xy)4xy2 = 2x2.4xy2 - y.4xy2 - 3xy.4xy2 = 8x3y2 - 4xy3- 12x2y3 * Chú ý: Khi thực hiện phép nhân cần chú ý đến dấu của từng đơn thức tham gia ở mỗi phép toán để đặt dấu “+” hoặc dấu “-” cho thích hợp. Ví dụ 2: Thực hiện phép tính: a) (x3 + 3x2y - 2xy2)( - 3x2y) b) 2x3 - 6x2 - 2x(x2 - 3x + 2) Giải a) Ta có ngay: (x3 + 3x2y - 2xy2)(-3x2y) = x3.(-3x2y) + 3x2y.(-3x2y) - 2xy2(-3x2y) = - 3x 5y - 9x4y2 + 6x3y3 b) Ta có ngay: 2x3 - 6x2 - 2x(x2 - 3x + 2) = 2x3 - 6x2 - 2x.x2 - 3x.(- 2x) + 2.(- 2x) = 2x 3 - 6x2 - 2x3 + 6x2 - 4x = - 4x * Nhận xét + Trong câu b cần lưu ý đến thứ tự thực hiện phép tính: - Trước hết phải nhân đơn thức -2x với đa thức x2 - 3x + 2 - Sau đó thực hiện phép cộng đa thức. + Có hai cách xét các phép tính ở biểu thức b, cụ thể: - Xét biểu thức là hiệu của 2x3 - 6x2 và x2 - 3x + 2.

(13) - Hoặc xét biểu thức là tổng của 2x3 - 6x2 và 2x(x2 - 3x + 2). Lời giải theo cách này gọn hơn. Ví dụ 3: Thực hiện phép nhân: (x + y)(x2 - xy + y2) Giải Ta có: (x + y)(x2 - xy + y2) = x(x2 - xy + y2) + y(x2 - xy + y2) = x3 - x2y + xy2 + x2y - xy2 + y3 = x3 + y3 * Nhận xét Như vậy, ví dụ trên còn có thể được phát biểu dưới dạng: “Chứng minh rằng: (x + y)(x2 - xy + y2) = x3 + y3 ” và để thực hiện yêu cầu này chúng ta đi biến đổi vế trái thành vế phải bằng phép nhân đa thức với đa thức. Ví dụ 4: Thực hiện phép nhân: (3x - 5)(2x + 11) - (2x + 3)(3x + 7) Giải Ta có: (3x - 5)(2x + 11) - (2x + 3)(3x + 7) = 3x(2x + 11) - 5(2x + 11) - 2x(3x + 7) - 3(3x + 7) = 6x2 + 33x - 10x - 55 - 6x2 - 14x - 9x - 21 = - 76 * Nhận xét - Để thực hiện phép nhân trên chúng ta cần hết sức chú ý tới việc đặt dấu “ + ” hoặc dấu “ - ” cho thích hợp. - Như vậy nội dung của thí dụ trên còn có thể được phát biểu dưới dạng: “Chứng minh rằng biểu thức: (3x - 5)(2x + 11) - (2x + 3)(3x + 7) không phụ thuộc vào x” và để thực hiện yêu cầu này chúng ta đi biến đổi biểu thức bằng phép nhân đa thức với đa thức. Ví dụ 5: Thực hiện phép nhân: 3(x - 1)(x - 2) - x(3x + 1)(1 - x) Giải Ta có thể lựa chọn một trong hai cách thực hiện sau: Cách 1: Ta có 3(x - 1)(x - 2) - x(3x + 1)(1 - x) = 3(x2 - 2x - x + 2) - x(3x - 3x2 + 1 - x).

(14) = 3x2 - 6x - 3x + 6 - 3x2 + 3x3 - x + x2 = 3x3 + x2 + 10x + 6 Cách 2: Ta có 3(x - 1)(x - 2) - x(3x + 1)(1 - x) = (3x - 3)(x - 2) - (3x2 + x)(1 - x) = 3x2 - 6x - 3x + 6 - 3x2 + 3x3 - x + x2 = 3x3 + x2 + 10x + 6 * Nhận xét Ở ví dụ này, để nhân ba đơn thức, đa thức ta thấy: - Trong cách 1 ta nhân hai đa thức với nhau trước, sau đó nhân kết quả với đơn thức. - Trong cách 2 ta nhân đơn thức với đa thức trước, sau đó nhân hai đa thức lại với nhau. Ví dụ 6: Thực hiện phép nhân hai đa thức đã sắp xếp: P = 2x3 - x + 1 và Q = x2 + 1 Giải Ta viết:. x. 2x3. -x+1 x2. 2x3. +. +1. -x+1. 2x5 - x3 + x2 2x5 + x3 + x2 - x + 1 Vậy, ta được: P.Q = (2x3 - x + 1)(x2 + 1) = 2x5 + x3 + x2 - x + 1 * Nhận xét Nếu đa thức có nhiều biến, ta có thể chọn một biến làm biến chính và sắp xếp theo biến ấy, thí dụ đa thức x 2 + y2 + xy khi được sắp xếp theo lũy thừa giảm của biến x sẽ là x2 + xy + y2, từ đó áp dụng phương pháp trên để nhân hai đa thức, ví dụ sau đây sẽ minh họa ý sau c) Sử dụng phép nhân đa thức để giải toán Bài toán 1: Chứng minh rằng biểu thức n(3n - 1) - 3n(n - 2) luôn chia hết cho 5 với mọi số nguyên n. Giải Ta biến đổi biểu thức về dạng: n(3n - 1) - 3n(n - 2) = 3n2 - n - 3n2 + 6n = 5n.

(15) Điều đó khẳng định biểu thức luôn chia hết cho 5 với mọi số nguyên n. * Nhận xét Trong ví dụ trên, bằng việc sử dụng phép nhân đa thức với đa thức chúng ta đã thực hiện việc đơn giản biểu thức ban đầu rồi thấy được tính chia hết của nó. Bài toán 2: Cho a, b là hai số tự nhiên, biết a chia cho 3 dư 2 và b chia cho 3 dư 1. Chứng minh rằng a.b chia cho 3 dư 2. Giải Ta có: Vì a chia cho 3 dư 2, nên a = 3p + 2, p. N. Vì b chia cho 3 dư 1, nên b = 3q + 1, q. N. Từ đó ta suy ra: a.b = (3p + 2)(3q + 1) = 9pq + 3p + 6q + 2 Do đó a.b chia cho 3 dư 2 * Nhận xét Trong ví dụ trên, chúng ta đã sử dụng kết quả: “Nếu a chia cho b dư c thì a = k.b + c”. Bài toán 3: Thực hiện phép nhân, rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức: P = (x2 + y2)(x2y + y3) - y(x4 + y4) với x =. 1 2. và y = 3. Giải Thực hiện phép nhân ta được: P = (x2 + y2)(x2y + y3) - y(x4 + y4) = x2(x2y + y3) + y2(x2y + y3) - x4y + y5 = x4y + x2y3 + x2y3 + y5 - x4y - y5 = 2x2y3 Khi đó với x = Vậy P =. 27 2. 1 2. và y = 3 ta nhận được: P = 2.. tại x =. 1 2. 1 2. 2. (). .33 =. 27 2. và y = 3.. * Nhận xét Ví dụ trên thường chỉ được phát biểu dưới dạng: “Tính giá trị của biểu thức P với x = phải thực hiện theo các bước: - Bước 1: Rút gọn biểu thức.. 1 2. và y = 3” khi đó chúng ta cần biết rằng.

(16) - Bước 2: Thay giá trị tương ứng của các biến từ đó nhận được giá trị của biểu thức. Bài toán 4: Tìm x, biết: (3x - 4)(2x + 1) - (6x + 5)(x - 3) = 3. (1). Giải Ta có: (3x - 4)(2x + 1) - (6x + 5)(x - 3) = 3x(2x + 1) - 4(2x + 1) - 6x(x - 3) - 5(x - 3) = 6x2 + 3x - 8x - 4 - 6x2 + 18x - 5x + 15 = 8x + 11 Khi đó (1) có dạng 8x + 11 = 3 ⇔ 8x = - 8 ⇔ x = - 1 Vậy x = - 1 thỏa mãn điều kiện đầu bài. * Nhận xét Như vậy, việc sử dụng phép nhân đa thức với đa thức cho phép chúng ta giải được phương trình. Bài toán 5: Chứng minh rằng: (x - y)(x2 + xy + y2) = x3 - y3 Giải Ta có ngay: (x - y)(x2 + xy + y2) = x(x2 + xy + y2) - y(x2 + xy + y2) = x3 + x2y + xy2 - x2y - xy2 - y3 = x 3 - y3 * Nhận xét Như vậy, việc sử dụng phép nhân đa thức với đa thức cho phép chúng ta chứng minh được đẳng thức. 1.3.2.2 Dạng 2: NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ a) Bình phương của một tổng i) Quy tắc Cho A, B là hai biểu thức tùy ý thì ta có đẳng thức (A + B)2 = A2 + 2AB + B2. .. Đọc là: “Bình phương của một tổng hai biểu thức bằng bình phương của biểu thức thứ nhất cộng hai lần tích của biểu thức thứ nhất với biểu thức thứ hai và cộng với bình phương biểu thức thứ hai”..

(17) Để chứng minh hằng đẳng thức, ta thực hiện phép biến đổi: VT = (A + B)2 = (A + B)(A + B) = A(A + B) + B(A + B) = A2 + AB + B2 + AB = A2 + 2AB + B2 đpcm. Trong nhiều trường hợp, ta sử dụng công thức: (A + B)2 = (A - B)2 + 4AB thí dụ với yêu cầu: “ Tính giá trị của (A + B)2 biết A - B = p và AB = q ”. Mở rộng: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca (a + b + c + d)2 = a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2bc + 2cd + 2da tương tự như vậy ta có thể khai triển bình phương của một tổng 5, 6, 7,.., n số hạng. ii) Sử dụng đẳng thức giải toán Ví dụ 1 a) Tính (10a + 5)2 b) Hãy chỉ ra ứng dụng của khai triển trên. Giải a) Ta có: (10a + 5)2 = 10a2 + 100a + 25 b) Nếu ta viết tiếp: (10a + 5)2 = 100a(a + 1) + 25 (*) Từ (*) ta nhận thấy -Vế trái là bình phương của một số có tận cùng bởi chữ số 5 với số hàng chục bằng a. -Vế trái cho thấy để có kết quả ta cần tính a(a + 1) rồi viết tiếp số 25 vào bên phải. Tương tự chúng ta có thể vận dụng kiến thức trong ví dụ trên để tính nhẩm. 152, 252 , 352, 452, 552, 652, 752, 852, 952. Ví dụ 2: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng: a). 1 2 x +x+1 4.

(18) b) (x2 + 4x + 4) + 2(x + 2) + 1 Giải a) Ta có:. 1 2 x +x+1= 4. 1 x 2. 2. ( ). 1 .x 2. ( ). + 2.. .1 + 12 =. (. 1 x+ 1 2. 2. ). b) Ta có thể trình bày theo hai cách sau Cách 1: Ta biến đổi: (x2 + 4x + 4) + 2(x + 2) + 1 = (x + 2)2 + 2(x + 2) + 1 = (x + 2 + 1) 2 = ( x + 3)2 Cách 2: Ta biến đổi: (x2 + 4x + 4) + 2(x + 2) + 1 = x2 + 4x + 4 + 2x + 4 + 1 = x 2 + 6x + 9 = (x + 3)2 Ví dụ 3: Tìm hệ số a sao cho P = x2 + 2ax + 4 là bình phương của một tổng. Giải Để P là bình phương của một đa thức ta cần có các trường hợp: - Trường hợp 1: Xét với: x2 + 2ax + 4 = (x + 2)2 = x2 + 4x + 4 Suy ra 2a = 4 ⇔ a = 2 - Trường hợp 2: Xét với: x2 + 2ax + 4 = (- x + 2)2 = x2 - 4x + 4 Suy ra 2a = 4 ⇔ a = - 2 Vậy với a = ± 2 thỏa mãn điều kiện đầu bài. Ví dụ 4: Biết số tự nhiên a chia cho 3 dư 2, chứng minh rằng a2 chia cho 3 dư 1. Giải Vì a chia cho 3 dư 2, nên đặt a = 3p + 2, p. N. Khi đó: a2 = (3p + 2)2 = 9p2 + 12p + 4 = 9p2 + 12p + 3 + 1 Suy ra a2 chia cho 3 dư 1 * Chú ý: Nếu ta có: + P = a2 + c. c (a2. 0). ⇒ Pmin = c, đạt được khi a = 0..

(19) + P = c - a2. c (a2. 0). ⇒ Pmax = c, đạt được khi a = 0.. Từ đó ta có thể sử dụng tổng bình phương để thực hiện đòi hỏi “Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức ” Ví dụ sau đây sẽ minh họa ứng dụng này. Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 2x2 + 8x + 9 Giải Ta biến đổi P về dạng: P = 2x2 + 8x + 9 = 2(x2 + 4x) + 9 P = 2(x2 + 4x + 4) + 1 = 2(x + 2)2 + 1. 1. Suy ra Pmin = 1, đạt dược khi x = - 2 b) Bình phương của một hiệu i) Quy tắc Ta có: (A - B)2 = A2 - 2AB + B2. (2). Đọc là: “Bình phương của một hiệu hai biểu thức bằng bình phương của biểu thức thứ nhất trừ hai lần tích biểu thức thứ nhất với biểu thức thứ hai và cộng với bình phương của biểu thức thứ hai”. Để chứng minh hằng đẳng thức, ta có thể lựa chọn một trong hai cách: Cách 1: Thực hiện phép biến đổi: VT = (A - B)2 = (A - B)(A - B) = A(A - B) - B(A - B) = A2 - AB - AB + B2 = A2 - 2AB + B2, đpcm Cách 2: Tận dụng hằng đẳng thức về bình phương của một tổng: VT = (A - B)2 = [A + (- B)]2 = A2 + 2A(- B) + (- B)2 = A2 - 2AB + B2, đpcm Trong nhiều trường hợp, ta sử dụng công thức: (A - B)2 = (A + B)2 - 4AB thí dụ với yêu cầu: “ Tính giá trị của (A - B)2 biết A + B = p và AB = q ” Mở rộng: (a - b - c)2 = a2 + b2 + c2 - 2ab + 2bc - 2ca (a + b - c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab - 2bc - 2ca tương tự như vậy ta có thể khai triển bình phương của một hiệu 5, 6, 7,.., n số hạng..

(20) * Lưu ý: Ta luôn có: (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 = B2 - 2BA + A2 = (B - A)2. ii) Sử dụng đẳng thức giải toán Ví dụ 1: a) Tính (3x - 4y)2 b) Tính nhẩm 992 Giải a) Ta có: (3x - 4y)2 = (3x)2 - 2.3x.4y + (4y)2 = 9x2 - 24xy + 16y2 b) Ta có: 992 = (100 - 1)2 = 1002 - 2.100 + 1 = 9801. Ví dụ 2: Tính giá trị của biểu thức: P = (x2 + 4xy + 4y2) - 2(x + 2y)(y - 1) + (y2 - 2y + 1) với x + y = 10 Giải Ta biến đổi P về dạng: P = (x2 + 4xy + 4y2) - 2(x + 2y)(y - 1) + (y2 - 2y + 1) = (x + 2y)2 - 2(x + 2y)(y - 1) + (y - 1)2 = (x + 2y - y + 1)2 = (x + y + 1)2 Suy ra P = (10 + 1)2 = 121 Ví dụ 3: a) Tính: (a - b - c)2 b) Áp dụng tính: (x2 - x - 1)2 Giải a) Ta có: (a - b - c)2 = [ ( a −b ) − c ]. 2. = (a - b)2 - 2(a - b)c + c2. = a2 - 2ab + b2 - 2ac + 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 - 2ab + 2bc - 2ca b) Áp dụng ta được: (x2 - x - 1)2 = x4 + x2 + 1 - 2x2.x - 2x2.1 + 2.x.1 = x4 - 2x3 - x2 + 2x + 1 * Nhận xét Ta có thể sử dụng kết quả của hằng đẳng thức (a + b + c) 2 để chứng minh hằng đẳng thức trên, từ đó ta có thể tính (a + b - c )2, (a - b + c)2..

(21) Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = 12x - 3x2. Giải Ta có: P = 12x - 3x2 = - 3(x2 - 4x) = 12 - 3(x2 - 4x + 4) = 12 - 3(x - 2)2. 12. Suy ra PMax = 12, đạt được khi (x - 2)2 = 0 ⇔ x = 2 Ví dụ 5: Rút gọn các biểu thức: (x - y + z)2 + (z - y)2 - 2(x - y + z)(z - y). Giải Ta có: (x - y + z)2 + (z - y)2 - 2(x - y + z)(z - y) = (x - y + z - z + y)2 = x2 Ví dụ 6: Chứng minh rằng: (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 + (ad - bc)2 = x2 Giải Ta có thể lựa chọn một trong hai cách giải sau: Cách 1: Biến đổi vế phải của đẳng thức: VP = (ac + bd)2 + (ad - bc)2 = a2c2 + abcd + b2d2 + a2d2 - abcd + b2c2 = a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2 = (a2c2 + a2d2) + (b2d2 + b2c2) = a2(c2 + d2) + b2(d2 + c2) = (a2 + b2)(c2 + d2) đpcm. Cách 2: Biến đổi vế trái của đẳng thức: VT = (a2 + b2)(c2 + d2) = a2c2 + a2d2 + b2d2 + b2c2 = (a2c2 + b2d2) + (a2d2 + b2c2) = (a2c2 + 2abcd + b2d2) + (a2d2 - 2abcd + b2c2) = (a2 + b2)(c2 + d2) đpcm. * Nhận xét Thực hiện phép tính ở vế trái biến đổi để mỗi đẳng thức có được kết quả của vế phải sau đó kết luận: “vế trái bằng vế phải. Đẳng thức đã được chứng minh”. c) Hiệu hai bình phương i) Quy tắc. A2 - B2 = (A + B)(A - B). Đọc là: “Hiệu của bình phương biểu thức thứ nhất và bình phương biểu thức thứ hai bằng tích của tổng hai biểu thức với hiệu của biểu thức thứ nhất trừ đi biểu thức thứ hai ”. Để chứng minh hằng đẳng thức, ta có thể lựa chọn một trong hai cách: Cách 1: Thực hiện phép biến đổi: VP = (A + B)(A - B) = A(A - B) + B(A - B) = A2 - AB + AB - B2 = A2 - B2, đpcm.

(22) Cách 2: Thực hiện phép thêm bớt: VP = A2 - B2 = A2 - AB + AB - B2 = A(A - B) + B(A - B) = (A + B)(A - B), đpcm ii) Sử dụng đẳng thức giải toán Ví dụ 1: Thực hiện phép tính: 3(x + 1)2 - 2(x - 3)2 - (x + 2)(x - 2). Giải Ta có: 3(x + 1)2 - 2(x - 3)2 - (x + 2)(x - 2) = 3(x2 + 2x + 1) - 2(x2 - 6x + 9) - (x2 - 4) = 18x - 11 * Nhận xét Thứ tự thực hiện phép tính trên như sau: + Bình phương của x + 1 rồi mới nhân với 3 + Bình phương của x - 3 rồi mới nhân với - 2 Ví dụ 2: Tính giá trị của biểu thức: P = (x + y)2 - (x - y)2 với xy =. 1 . 4. Giải Ta biến đổi P về dạng đơn giản theo các cách: Cách 1: Ta có P = (x + y)2 - (x - y)2 = (x2 + 2xy + y2) - (x2 - 2xy + y2) = 4xy Cách 2: Ta có: P = (x + y)2 - (x - y)2 = [ ( x + y )−( x − y ) ] Suy ra P = 4.. 1 4. [( x + y )+(x − y ) ] = 4xy. =1. Ví dụ 3: Tính nhanh giá trị của biểu thức: P = (22 + 42 + 62 +...+ 1002) - (12 + 32 + 52 + .... 992) Giải P = (22 + 42 + 62 +...+ 1002) - (12 + 32 + 52 + .... 992) = (22 - 12) + (42 - 32) + (62 - 52) + ....+ (1002 - 992) = 3 + 7 + 11 + ....+ 199 = (3 + 7 + 11 + ....+ 199 =. 50(3+199) 2. 50(3+199) 2. kiến thức này thuộc chương trình lớp 6). Ví dụ 4: a) Biến đổi thành tích biểu thức sau: (x2 - 8) + 36..

(23) b) Từ kết quả trên hãy tìm n. N để (n2 - 8)2 + 36 là số nguyên tố.. Giải a) Ta có: (x2 - 8)2 + 36 = x4 - 16x2 + 64 + 36 = x4 + 100 - 16x2 = x4 + 100 + 20x2 - 36x2 = (x2 + 10)2 - 36x2 = (x2 + 10 - 6x)(x2 + 10 + 6x) b) Theo câu a, ta có: (n2 - 8)2 + 36 = (n2 + 10 - 6n) (n2 + 10 + 6n) Để (n2 - 8)2 + 36 là số nguyên tố điều kiện cần là: n2 + 10 - 6n = 1 ⇔ n2 - 6n + 9 ⇔ (n - 3)2 = 0 ⇔ n = 3 Thử lại, với n = 3 ta được: (n2 - 8)2 + 36 = 37 là số nguyên tố. Vậy với n = 3 thỏa mãn điều kiện đầu bài. * Nhận xét Trong lời giải của ví dụ trên ta đã sử dụng kết quả: “Số nguyên tố là số chỉ có ước là 1 và chính nó” tức là “Số a là số nguyên tố thì a chỉ có thể biểu diễn a = 1.a” Do đó, nếu số a có dạng: a = a1.a2 thì điều kiện để a là số nguyên tố là: 1 = a1 < a2. d) Lập phương của một tổng i) Quy tắc (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 Đọc là: “Lập phương của một tổng hai biểu thức bằng lập phương của biểu thức thứ nhất, cộng ba lần tích bình phương của biểu thức thứ nhất với biểu thức thứ hai, cộng ba lần tích biểu thức thứ nhất với bình phương của biểu thức thứ hai, cộng lập phương của biểu thức thứ hai.” Để chứng minh hằng đẳng thức, ta có thể lựa chọn một trong hai cách: Cách 1: Thực hiện phép biến đổi: VT = (A + B)3 = (A + B)(A + B)2 = (A + B)(A2 + 2AB + B2) = A(A2 + 2AB + B2) + B(A2 + 2AB + B2) = A3 + 2A2B + AB2 + A2B + 2AB2 + B3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3.

(24) Cách 2: Thực hiện phép tách: VP = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 = (A3 + 2A2B + AB2) + (A2B + 2AB2 + B3) = A(A2 + 2AB + B2) + B(A2 + 2AB + B2) = A(A + B)2 + B(A + B)2 = (A + B)2(A + B) ii) Sử dụng đẳng thức giải toán Ví dụ 1: a) Tính (x + 2y)3 b) Tính nhẩm 113 Giải a) Ta có: (x + 2y)3 = x3 + 3.x2.2y + 3.x.(2y)2 + (2y)3 = x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3 b) Ta có: 113 = (10 + 1)3 = 103 + 3.102.1 + 3.10.12 + 13 = 1331 Ví dụ 2: Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương của một tổng: a) x3 + 9x2 + 27x + 27 b) 3 √ 3 x3 +18x2 +12 √ 3 x + 8 Giải a) Ta có: x3 + 9x2 + 27x + 27 = x3 + 3.x2.3 + 3.x.32 + 33 = ( x + 3)3 * Nhận xét: Nếu yêu cầu của bài toán được phát biểu dưới dạng: “Giải phương trình: x3 + 9x2 + 27x + 27, ” khi đó ta nhận được: ( x + 3)3 = 0 suy ra x = - 3. b) Ta có: 3 √ 3 x3 +18x2 + 12 √ 3 x + 8 = ( √ 3 x)3 + 3.( √ 3 x)2.2 + 3. √ 3 x.22 + 23 = ( √ 3 x + 2)3. Ví dụ 3: Tính giá trị của biểu thức: P = (x3 + 3x2 + 3x + 1) + 3(x2 + 2x + 1)y + 3(x + 1)y2 + y3 với x + y = 9 Giải Ta có: P = (x3 + 3x2 + 3x + 1) + 3(x2 + 2x + 1)y + 3(x + 1)y2 + y3 = (x + 1)3 + 3(x + 1)2y + 3(x + 1)y2 + y3 = (x + 1 + y)3 Suy ra P = (9 + 1)3 = 1000.

(25) Ví dụ 4: Chứng minh rằng nếu a + b + c + d = 0 thì: a3 + b3 + c3 + d3 = 3(b + d)(ac - bd) Giải Ta giả thiết ta có: a + b + c + d = 0 ⇔ a + c = - (b + d) ⇔ (a + c)3 = - (b + d)3 ⇔ a3 + c3 + 3ac(a + c) = - b3 - d3 - 3bd(b + d) ⇔ a3 + b3 + c3 + d3 = -3ac(a + c) - 3bd(b + d). = 3ac(b + d) - 3bd(b + d) = 3(b + d)(ac - bd). e) Lập phương của một hiệu i) Quy tắc. Ta có: (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3. Đọc là: “Lập phương của một hiệu hai biểu thức bằng lập phương biểu thức thứ nhất trừ ba lần tích bình phương biểu thức thứ nhất với biểu thức thứ hai cộng ba lần tích biểu thức thứ nhất với bình phương biểu thức thứ hai trừ lập phương biểu thức thứ hai” Để chứng minh hằng đẳng thức, ta có thể lựa chọn một trong ba cách: Cách 1:Thực hiện phép biến đổi: VT = (A - B)3 = (A - B)(A - B)2 = (A - B)(A2 - 2AB + B2) = A(A2 - 2AB + B2) - B(A2 - 2AB + B2) = A3 - 2A2B + AB2 - A2B + 2AB2 - B3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 Cách 2: Thực hiện phép tách VP = A3 - 2A2B - A2B + AB2 + 2AB2 - B3 = (A3 - 2A2B + AB2) - (A2B - 2AB2 + B3) = A(A2 - 2AB + B2) - B(A2 - 2AB + B2) = A(A - B)2 - B(A - B)2 = (A - B)2(A - B) = (A - B)3, đpcm Cách 3: Tận dụng hằng đẳng thức về lập phương của một tổng: VT = (A - B)3 = [A + (- B)]3 = A3 + 3A2(- B) + 3A(- B)2 + (- B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3, đpcm.

(26) Trong một vài trường hợp, ta lựa chọn cách viết: (A - B)3 = A3 - B3 - 3AB(A - B) ii) Sử dụng đẳng thức giải toán Ví dụ 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương của một hiệu a) 8 - 12x + 6x2 - x3 b) x6 - 3x5 + 3x4 - x3 Giải a) Ta có: 8 - 12x + 6x2 - x3 = 23 - 3.22.x + 3.2.x2 - x3 = (2 - x)3 b) Ta có: x6 - 3x5 + 3x4 - x3 = (x2)3 - 3.(x2).x + 3.x2.(x)2 - x3 = (x2 - x)3 Ví dụ 2: Chứng minh rằng: (x + y)(x2 - xy + y2) + (x - y)(x2 + xy + y2) = 2x3 Giải Ta có: VT = (x + y)(x2 - xy + y2) + (x - y)(x2 + xy + y2) = x3 + y3 + x3 - y3 = 2x3 Ví dụ 3: Tính giá trị của biểu thức: P = (x3 - 3x2y + 3xy2 - y3) - 6(x2 - 2xy + y2) + 12(x - y) - 8 với x - y = 12 Giải Ta có: P = (x3 - 3x2y + 3xy2 - y3) - 6(x2 - 2xy + y2) + 12(x - y) - 8 = (x - y)3 - 3(x - y)2.2 + 3(x - y).22 - 23 = (x - y - 2)3 Suy ra: P = (12 - 2)3 = 1000 Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức: A = (a + b + 1)3 - (a + b - 1)3 - 6(a + b)2 Giải Ta thấy biểu thức a + b được lặp lại nhiều lần, để cho gọn, ta đặt a + b = x. Do đó: A = (x + 1)3 - (x - 1)3 - 6x2 = x3 + 3x2 + 3x + 1 - ( x3 - 3x2 + 3x - 1) - 6x2 = x3 + 3x2 + 3x + 1 - x3 + 3x2 - 3x + 1 - 6x2 = 2 * Nhận xét Hãy so sánh cách giải trên với cách giải thông thường sau để thấy ưu điểm của lời giải bằng cách đổi biến như trên. Cách 1: Ta viết A = (a + b + 1)(a + b + 1)(a + b + 1) - (a + b - 1)(a + b - 1)(a + b - 1) - 6(a + b)(a + b) = ......= Cách 2: Ta viết:.

(27) A = [ ( a+b)+1 ]. 3. - [( a+b)− 1 ]. 3. - 6(a + b)2. = [(a + b)3 + 3(a + b)2 + 3(a + b) + 1] - [(a + b)3 - 3(a + b) + 3(a+b) - 1] 6(a2 +2ab + b2) = ......= f) Tổng hai lập phương i) Quy tắc. A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2). Đọc là: “Tổng hai lập phương bằng tổng hai biểu thức nhân với bình phương thiếu của hai biểu thức đó”. Để chứng minh hằng đẳng thức, ta có thể lựa chọn một trong hai cách: Cách 1: Thực hiện phép biến đổi: VP = (A + B)(A2 - AB + B2) = A(A2 - AB + B2) + B(A2 - AB + B2) = A3 - A2B + AB2 + A2B - AB2 + B3 = A3 - B3 Cách 2: Ta có: (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 ⇔ A3 + B3 = (A + B)3 - 3AB(A + B) = (A + B)[(A + B)2 - 3AB]. = (A + B)(A2 - AB + B2), đpcm Trong nhiều trường hợp, ta sử dụng công thức: A3 + B3 = (A + B)3 - 3AB(A + B). Thí dụ với yêu cầu: “Tính giá trị của A3 + B3 biết A + B = p và AB = q ”. Mở rộng: “Tổng hai lũy thừa cùng bậc lẻ ” A2n + 1 + B2n + 1 = (A + B)(A2n - A2n - 1B + ....... - AB2n - 1 + B2n) Từ đó suy ra được một hệ quả quen thuộc rằng: “Nếu a, b. Z và a + b. 0 thì a2n + 1 + b2n + 1 chia hết cho a + b với ∀ n. ii) Sử dụng đẳng thức giải toán Ví dụ 1: Viết các đa thức sau dưới dạng tích a) 8x3 + 1 b) x3 - (x - y)3 Giải a) Ta có: 8x3 + 1 = (2x)3 + 1 = (2x + 1)[(2x)2 - 2x.1 + 1]. N”.

(28) = (2x + 1)(4x2 - 2x + 1) b) Ta có: x3 - (x - y)3 = x3 + (y - x)3 = (x + y - x)[x2 - x(y - x) + (y - x)2] = y(3x2 - 3xy + y2) Ví dụ 2: Chứng minh rằng: a3 + b3 = (a + b)[(a - b)2 + ab] Giải Ta có thể lựa chọn một trong hai cách trình bày sau: Cách 1: Biến đổi vế trái của đẳng thức: VT = a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) = (a + b)[(a2 - 2ab + b2) + ab] = (a + b)[(a - b)2 + ab], đpcm Cách 2: Biến đổi vế phải của đẳng thức: VP = (a + b)[(a2 - 2ab + b2) + ab] = (a + b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3, đpcm Ví dụ 3: Biết x + y = 7 và xy = 10 .Tính giá trị của biểu thức: P = (x + y)(x2 + y2)(x3 + y3) Giải Biến đổi biểu thức B về dạng P = (x + y)(x2 + y2)(x3 + y3) = (x + y)[(x + y)2 - 2xy][(x + y)3 - 3xy(x + y)] Khi đó với x + y = 7 và xy = 10, ta nhận được: P = 7.(72 - 2.10)(73 - 3.10.7) = 7.29.133 = 26999. Ví dụ 4: Tìm x, biết: (x + 2)(x2 - 2x + 4) - x(x2 + 2) = 0 Giải Ta có: (x + 2)(x2 - 2x + 4) - x(x2 + 2) = (x + 2)(x2 - x.2 + 22) - x(x2 + 2) = x3 + 8 - x3 - 2x = 8 - 2x Khi đó ta được: 8 - 2x = 0 ⇔ 2x = 8 ⇔ x = 4 Vậy, với x = 4 thỏa mãn điều kiện đầu bài. g) Hiệu hai lập phương i) Quy tắc. A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2).

(29) Đọc là: “Hiệu hai lập phương bằng hiệu hai biểu thức nhân với bình phương thiếu của tổng hai biểu thức đó”. Để chứng minh hằng đẳng thức, ta có thể lựa chọn một trong hai cách: Cách 1: Thực hiện phép biến đổi VP = (A - B)(A2 + AB + B2) = A(A2 + AB + B2) - B(A2 + AB + B2) = A3 + A2B + AB2 - A2B - AB2 - B3 = A3 - B3, đpcm Cách 2: Tận dụng hằng đẳng thức về tổng hai lập phương: VT = A3 + (- B)3 = [A3 + (- B)][A2 - A(- B) + (- B)2] = (A - B)(A2 + AB + B2), đpcm Trong nhiều trường hợp, ta sử dụng công thức: A3 - B3 = (A - B)3 + 3AB(A - B). thí dụ với yêu cầu: “Tính giá trị của A3 - B3 biết A - B = p và AB = q”. Mở rộng: Hiệu hai lũy thừa tổng quát: An - Bn = (A - B)(An -1 + An - 2B + ....+ ABn - 2 + Bn - 1), với n. N. Từ đó suy ra được hai hệ quả quen thuộc: 1. an - 1 = (a - 1)(an - 1 + an - 2 + ....+ a + 1), với n 2. “ Nếu a, b. Z và a. N. b thì an - bn chia hết cho a - b với ∀ n. N ”.. ii) Sử dụng đẳng thức giải toán Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức: (x - 1)(x + 1)(x2 - x + 1)(x2 + x + 1) Giải Ta có: (x - 1)(x + 1)(x2 - x + 1)(x2 + x + 1) = [(x -1)(x2 + x + 1)][( x + 1)(x2 - x + 1)] = (x3 + 1)(x3 - 1) = x6 - 1 Ví dụ 2: Chứng minh các đẳng thức sau: a) (x + y + z)3 - (x + y - z)3 - (x + z - y)3 - (y + z - x)3 = 24xyz b) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) c) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) Giải.

(30) Để chứng minh một đẳng thức ta có thể biến đổi từ vế này đến vế kia hoặc tính riêng từng vế rồi so sánh kết quả của hai vế: a) Vế trái của đẳng thức có thể được viết lại thành: [(y + z) + x]3 - [( y + z) - x ]3 - [x + (y - z)]3 + [x - (y - z)]3 Áp dụng các hằng đẳng thức: (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 ⇒ (A + B)3 - (A - B)3 = 2B3 + 6A2B ⇒. (A + B)3 + (A - B)3 = 2A3 + 6AB2. Ta có [(y + z) + x]3 - [( y + z) - x ]3 = 2x3 + 6x(y + z)2. [x + (y - z)]3 + [x - (y - z)]3 = 2x3 + 6x(y - z)2. Trừ vế với vế ta được: [(y + z) + x]3 - [( y + z) - x ]3 - [x + (y - z)]3 + [x - (y - z)]3 = 6x(y + z)2 - 6x(y - z)2 = 24xyz đpcm b) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 + c3 – 3abc – 3a2b – 3ab2 = (a + b + c)[(a + b)2 – (a + b)c + c2] – 3ab(a + b + c) = (a + b + c) [(a + b)2 – (a + b)c + c2 – 3ab] = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) đpcm c) (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = [(a + b + c)3 – a3] – (b3 + c3) = (b + c)[(a + b + c)2 + (a + b + c)a + a2] – (b + c)(b2 – bc + c2) = (b + c)(3a2 + 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)] = 3(a + b)(b + c)(c + a) đpcm 1.3.2.3 Dạng 3: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thành thừa số) là phép biến đổi đa thức cho trước thành tích của những đơn thức hoặc đa thức: A = A1.A2...An a) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung i) Phương pháp: Giả sử cần phân tích A + B thành nhân tử, ta đi xác định trong A và B nhân tử chung C, khi đó: A + B = C.A1 + C.B1 = C.(A1 + B1).

(31) Cách làm như vậy được gọi là phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung. ii) Ví dụ vận dụng Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 8xy2 - 2x2y Giải Ta thấy: 8xy2 = 2xy.4y 2x2y = 2xy.x Như vậy hai hạng tử của đa thức đều có nhân tử chung là 2xy, do đó có thể viết: 8xy2 - 2x2y = 2xy.4y - 2xy.x = 2xy(4y - x). *Chú ý: Nhiều khi cần đổi dấu để làm xuất hiện nhân tử chung Ta có tính chất A = - (-A) thí dụ như đa thức: 3x(y - z) + (z - y)(x + 2y) sẽ được viết là: 3x(y - z) - (y - z)(x + 2y) từ đó thấy xuất hiện nhân tử chung (y - z). Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 2x(x - 1) - x(1 - x)2 - (1 - x)3. Giải Ta có ngay: 2x(x - 1) - x(1 - x)2 - (1 - x)3 = 2x(x - 1) - x(x - 1)2 + (x - 1)3 = (x - 1)[2x - x(x - 1) + (x - 1)2] = (x - 1)(2x - x2 + x + x2 - 2x + 1) = (x - 1)(x + 1) * Chú ý: Nhiều em học sinh khi thực hiện mắc phải lỗi đổi dấu (1 - x)2 = (x - 1)2 Hãy nhớ rằng : A2n = (- A)2n và A2n + 1 = - (- A2n + 1) với n là số tự nhiên. Ví dụ 3: Tìm x, biết: 2x(x - 3) - 5(3 - x) = 0.

(32) Giải Ta có: 2x(x - 3) - 5(3 - x) = 2x(x - 3) + 5(x - 3) = (x - 3)(2x + 5) Nên ta được: (x - 3)(2x + 5) = 0. (*). Từ (*) tính được các nghiệm số x = 3 và x =. −5 2. b) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách dùng hằng đẳng thức i) Phương pháp: Việc sử dụng hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử thường đi theo hai hướng: + Hướng 1: Biến đổi đa thức ban đầu về dạng quen thuộc của hằng đẳng thức. + Hướng 2: Sử dụng hằng đẳng thức để làm xuất hiện nhân tử chung hoặc xuất hiện hằng đẳng thức mới. Cách làm như vậy được gọi là phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức. ii) Ví dụ vận dụng Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) 27 + 8x3 b) y6 - 64x6 Giải a) Ta có: 27 + 8x3 = 33 + (2x)3 = (3 + 2x)[32 - 3.2x + (2x)2] = (3 + 2x)(9 - 6x + 4x2) b) Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau: Cách 1: Ta có: y6 - 64x6 = (y2)3 - (4x2)3 = (y2 - 4x2)[(y2)2 + y2.4x2 + (4x2)2] = (y2 - 4x2)(y4 + 4x2y2 + 16x4) = (y - 2x)(y + 2x)(y4 + 4x2y2 + 16x4).

(33) Cách 2: Ta có: y6 - 64x6 = (y3)2 - (8x3)2 = (y3 - 8x3)(y3 + 8x3) = [y3 - (2x)3][y3 + (2x)3] = (y - 2x)(y2 + 2xy + 4x2)(y + 2y)(y2 - 2xy + 4x2) * Nhận xét Như vậy, thông qua ví dụ trên phần b) ta thấy ngay được việc lựa chọn hướng biến đổi theo hằng đẳng thức một cách thích hợp sẽ nhận được kết quả tốt hơn. Ví dụ 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 4x2 - 4x + 1 - y2 - 8y - 16 Giải Ta có: 4x2 - 4x + 1 - y2 - 8y - 16 = [(2x)2 - 2 .2x + 12] - (y2 + 2.y.4 + 42) = (2x - 1)2 - (y + 4)2 = [(2x - 1) - (y + 4)][(2x - 1) + (y + 4)] = (2x - y - 5)(2x + y + 3) * Chú ý: Ta thấy ngay đa thức trên có thể được cho dưới dạng thu gọn 4x2 - 4x - y2 - 8y - 15 khi đó chúng ta cần sử dụng phép tách hệ số - 15 = 1 - 16, đó chính là ý tưởng của phương pháp trong bài toán 3. Ví dụ 3: Chứng minh rằng: (n4 - 1) ⋮ 8 với n là số tự nhiên lẻ bất kì.  Giải Ta có: (n4 - 1) = (n2)2 - 1 = (n2 - 1)(n2 + 1) = (n - 1)(n + 1)(n2 + 1) Khi đó vì n là số tự nhiên lẻ nên (n - 1) và (n + 1) là hai số tự nhiên chẳn liên tiếp. Trong hai số tự nhiên chẳn liên tiếp bao giờ cũng có một số chia hết cho 4 và số còn lại chia hết cho 2. Vậy (n - 1)(n + 1) ⋮ 8, suy ra (n4 - 1) ⋮ 8 *Chú ý: Với số tự nhiên n, ta có: * 2n, 2n + 2 được gọi là hai số tự nhiên chẳn liên tiếp. * 2n - 1, 2n + 1 được gọi là hai số tự nhiên lẻ liên tiếp..

(34) c) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử i) Phương pháp: Cho đa thức A + B + C + D Nếu A, B, C, D không có nhân tử chung thì hãy thử với: A + B và C + D hoặc các phép giao hoán khác. Tức là nhóm các hạng tử có nhân tử chung lại với nhau hoặc tạo thành một hằng đẳng thức để làm xuất hiện nhân tử chung của đa thức. Cách làm như vậy được gọi là phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử. Và từ ý tưởng tổng quát trên chúng ta thấy ngay rằng đối với một đa thức có thể có nhiều cách nhóm những hạng tử thích hợp. Tuy nhiên, không thể nhóm hai hạng tử bất kì lại với nhau mà phải nhóm hai hạng tử nào đó có nhân tử chung và khi phân tích mỗi nhóm thành nhân tử, mỗi nhóm lại có nhân tử chung. ii) Ví dụ vận dụng Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 3xy - z - 3x + yz Giải Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau: Cách 1: Ta có: 3xy - z - 3x + yz = (3xy - 3x) + (yz - z) = 3x(y - 1) + z(y - 1) = (y - 1)(3x + z) Cách 2: Ta có: 3xy - z - 3x + yz = (3xy + yz) - (z + 3x) = y(3x + z) - (z + 3x) = (y - 1)(3x + z) Ví dụ 2: Tìm x, biết: x4 - 2x3 + x2 - 2x = 0 Giải Ta đi phân tích đa thức thành nhân tử, có thể lựa chọn một trong hai cách sau: Cách 1: Ta có x4 - 2x3 + x2 - 2x = (x4 - 2x3) + (x2 - 2x) = x3(x - 2) + x(x - 2) = (x - 2)(x3 + x) = (x - 2)x(x2 + 1). Cách 2: Ta có: x4 - 2x3 + x2 - 2x = (x4 + x2) - (2x + 2x3) = x2(x2 + 1) - 2x(x2 + 1) = (x2 + 1)(x2 - 2x) = (x - 2)x(x2 + 1). Từ đó, ta được: (x - 2)x(x2 + 1) = 0, suy ra x = 0 hoặc x = 2.

(35) Ví dụ 3: Chứng minh rằng (n4 - 4n3 - 4n2 + 16n) ⋮ 384 với n là số tự nhiên chẳn lớn hơn 4. Giải Ta có: n4 - 4n3 - 4n2 + 16n = (n4 - 4n3) - (4n2 - 16n) = n3(n - 4) - 4n(n - 4) = n(n - 4)(n2 - 4) = n(n - 4)(n - 2)(n + 2) Khi đó vì n là số tự nhiên chẳn lớn hơn 4 nên có thể đặt: n = 2k + 2, k. 1. Suy ra n4 - 4n3 - 4n2 + 16n = (2k + 2)(2k + 2 - 4)( 2k + 2 - 2)( 2k + 2 + 2) = 16(k - 1)k(k + 1)(k + 2) Ta có (k - 1), k, (k + 1) và (k + 2) là bốn số tự nhiên liên tiếp, do đó tích của chúng chia hết cho 2.3.4. Vậy 16(k - 1)k(k + 1)(k + 2) ⋮ 16.2.3.4 Suy ra: n4 - 4n3 - 4n2 + 16n ⋮ 384 * Nhận xét Cũng có thể nhóm theo cách: n4 - 4n3 - 4n2 + 16n = (n4 - 4n2) - (4n3- 16n) = n2(n2 - 4) - 4n(n2 - 4) = (n2 - 4)(n2 - 4n) = n(n - 2)(n + 2)(n - 4) Ví dụ 4: Tính giá trị của biểu thức: P = y2 + xy + x + 2y + 1 với x = 100 và y = 99. Giải Ta có: P = y2 + xy + x + 2y + 1 = (xy + x) + (y2 + 2y + 1) = x(y + 1) + (y +1)2. = (y + 1)(x + y + 1). Suy ra: P = (99 + 1)(100 + 99 + 1) = 100.200 = 20000. d) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách tách một hạng tử thành nhiều hạng tử i) Phương pháp: Cho đa thức: A + B + C Nếu không thể sử dụng các phương pháp trong các bài toán 1, 2, 3 thì hãy thử với (A + B1) và (C + B2) trong đó B = B1 + B2. Phương pháp được mở rộng khi thay vai trò của B bằng A hoặc C..

(36) Cách làm như vậy được gọi là phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách tách một hạng tử thành nhiều hạng tử. ii) Ví dụ vận dụng Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 - 2x - 3 Giải Ta có thể lựa chọn một trong các cách sau: Cách 1: (Sử dụng phép tách theo B). Ta có: x2 - 2x - 3 = x2 + x - 3x - 3 = (x2 + x) - (3x + 3) = x(x + 1) - 3(x + 1) = (x + 1)(x - 3) Cách 2: (Sử dụng phép tách theo A). Ta có: x2 - 2x - 3 = 3x2 - 2x2 - 2x - 3 = (3x2 - 3) - (2x2 + 2x) = 3(x2 - 1) - 2x(x + 1) = 3(x + 1)(x - 1) - 2x(x + 1) = (x + 1)[3(x - 1) - 2x] = (x + 1)(x - 3). Cách 3: (Sử dụng phép tách theo C). Ta có: x2 - 2x - 3 = x2 - 2x - 2 - 1 = (x2 - 1) - (2x + 2) = (x - 1)(x + 1) - 2(x + 1) = (x + 1)(x - 1 - 2) = (x + 1)(x - 3). Cách 4: (Sử dụng phép tách tạo hằng đẳng thức). Ta có: x2 - 2x - 3 = x2 - 2.x.1 + 1 - 4 = (x - 1)2 - 4 = (x - 1 - 2)(x - 1 + 2) = (x + 1)(x - 3). * Nhận xét Để việc vận dụng đạt hiệu quả cao nhất, thông qua ví dụ trên để tổng quát phương pháp phân tích thành nhân tử cho các đa thức dạng: * x2 + bx + c * ax2 + bx + c..

(37) Từ đó có thể vận dụng cho đa thức dạng P2 + b.P + c Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (x + y)2 - 8(x + y) + 12 Giải Ta có: (x + y)2 - 8(x + y) + 12 = (x + y)2 - 2.(x + y).4 + 16 - 4 = [(x + y) - 4]2 - 22 = (x + y - 4)2 = (x + y - 4 - 2) (x + y - 4 + 2) = (x + y - 6)(x + y - 2). * Nhận xét - Lời giải trên sử dụng phép tách để tạo thành hằng đẳng thức, ngoài ra hướng dẫn các em học sinh thực hiện thêm việc phân tích bằng phép tách theo A, B, C. - Phương pháp tách để tạo thành hằng đẳng thức cho phép thực hiện được yêu cầu xác định về dấu của đa thức. Để minh họa chúng ta xét ví dụ sau: Ví dụ 3: Chứng minh rằng đa thức sau luôn dương với mọi giá trị của x: x2 - x + 1 Giải 1 Ta có: x - x + 1 = x - 2.x. + 2 2. Vì. 2. 1 2. 2. (). +. 3 = 4. 2. ( ) x−. 1 2. 1 x− 2. ( ). +. 2. 3 4. 1 2. ( ). 0 với mọi giá trị của x, nên. x−. 2. +. 3 . 4 3 4. với mọi giá. trị của x Vậy x2 - x + 1 luôn dương với mọi giá trị của x. * Chú ý: Qua ví dụ trên các em học sinh có thể thực hiện được yêu cầu “ Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức P = x2 - x + 1” Thật vậy: P=. 1 x− 2. 2. ( ). +. 3 4. 3 4. suy ra Pmin =. 3 , đạt dược khi x = 4. 1 2.

(38) Chúng ta sẽ minh họa thêm việc thực hiện yêu cầu về tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của đa thức bằng ví dụ sau: Ví dụ 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2x2 + xy - y2 Giải Ta có thể lựa chọn một trong các cách sau: Cách 1: Ta có: 2x2 + xy - y2 = x2 + x2 + xy - y2 = (x2 - y2) + (x2 + xy) = (x - y)(x + y) + x(x + y) = (x + y)(2x - y). Cách 2: Ta có: 2x2 + xy - y2 = 2x2 + 2xy - xy - y2 = (2x2 + 2xy) - (xy + y2) = 2x(x + y) - y(x + y) = (x + y)(2x - y). Cách 3: Ta có: 2x2 + xy - y2 = 2x2 + xy - 2y2 + y2 = (2x2 - 2y2) + (xy + y2) = 2(x2 - y2) + y(x + y) = 2(x - y)(x + y) + y(x + y) = (x + y)(2x - y) * Chú ý: Phương pháp tách một hạng tử được mở rộng tự nhiên cho trường hợp cần tách nhiều hạng tử trong đa thức. Để minh họa chúng ta xem xét ví dụ sau: Ví dụ 5: Tìm x, biết: x3 - 6x2 - x + 30 = 0. Giải Ta có: x3 - 6x2 - x + 30 = x3 - 8x2 + 2x2 + 15x - 16x + 30 = (x3 + 2x2) - (8x2 + 16x) + (15x + 30) = x2(x + 2) - 8x(x + 2) + 15(x + 2) = (x + 2)(x2 - 8x + 15) = (x2 + 2)(x2 - 3x - 5x + 15) = (x + 2)[x(x - 3) - 5(x - 3)] = (x + 2)(x - 3)(x - 5) Từ đó, ta được: (x + 2)(x - 3)(x - 5) = 0 suy ra x = - 2 hoặc x = 3 hoặc x = 5. Ví dụ 6: Chứng minh rằng: (n4 - 6n3 + 27n2 - 54n + 32) ⋮ 2 với n Giải Ta có: n4 - 6n3 + 27n2 - 54n + 32 = n4 - n3 - 5n3 + 5n2 + 22n2 - 22n - 32n + 32. Z..

(39) = (n - 1)(n3 - 5n2 + 22n - 32) = (n - 1)( n3 - 2n2- 3n2 + 6n + 16n - 32) = (n - 1)(n - 2)(n2 - 3n + 16) Bởi (n - 1) và (n - 2) là hai số tự nhiên liên tiếp, do đó tích của chúng chia hết cho 2, Do đó: (n4 - 6n3 + 27n2 - 54n + 32) ⋮ 2 với n. Z.. e) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách thêm bớt cùng một hạng tử i) Phương pháp: Để đặt vấn đề, ta hãy bắt đầu với việc khai triển đa thức: (x2 + 2x + 2)( x2 - 2x + 2) = (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x) x2 − 4 x2 = (x2 + 2)2 - 4x2 = x4 + 4 + 4⏟ ❑. = x4 + 4. Thêm và bớt. Khi đó với yêu cầu ngược lại “ Hãy phân tích đa thức x 4 + 4 thành nhân tử ” chúng ta cần thực hiện theo chiều ngược lại các bước ở trên và ở đó có sự xuất hiện của hạng tử 4x2 và - 4x2. Cách làm như vậy đựơc gọi là phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách thêm bớt cùng một hạng tử thích hợp. ii) Ví dụ vận dụng: Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 + 1. Giải Ta có: x4 + 1 = x4 + 1 + 2x2 - 2x2 = (x4 + 1 + 2x2) - 2x2 = (x2 + 1)2 - ( √ 2 x)2 = (x2 + 1 - √ 2 x)( (x2 + 1 + √ 2 x) = (x2 - √ 2 x + 1)(x2 + √ 2 x + 1). * Chú ý: Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử được mở rộng tự nhiên khi cần thêm, bớt nhiều hạng tử, để minh họa chúng ta xem xét ví dụ sau: Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x8 + x + 1. Giải Ta có: x8 + x + 1 = x8 + x4 - x4 + x2 - x2 + x + 1 - 1 + 1 = (x8 + x4 + 1) - (x4 + x2 + 1) + (x2 + x + 1). (1).

(40) Trong đó: x4 + x2 + 1 = x4 + 2x2 - x2 + 1 = (x4 + 2x2 + 1) - x2 = (x2 + 1)2 - x2 = (x2 + 1 - x)(x2 + 1 + x) = (x2 - x + 1)(x2 + x + 1). (2). x8 + x4 + 1 = x8 + 2x4 - x4 + 1 = (x8 + 2x4 + 1) - x4 = (x4 + 1)2 - (x2)2 = (x4 + 1 - x2)(x4 + 1 + x2) = (x4 - x2 + 1)(x4 + x2 +1) = (x4 - x2 + 1)(x2 - x + 1)(x2 + x + 1). (3). Thay (2), (3) vào (1), ta được: x8 + x + 1 = (x8 + x4 + 1) - (x4 + x2 + 1) + (x2 + x + 1) = (x4 - x2 + 1)(x2 - x + 1)(x2 + x + 1) - (x2 - x + 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[(x4 - x2 + 1) (x2 - x + 1) - (x2 - x + 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x6 - x5 + x3 - x2 + 1). f) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp i) Phương pháp: Để đặt vấn đề, ta hãy bắt đầu với việc phân tích đa thức x2y - 4xy + 4y - 4y3 = y(x2 - 4x + 4 - 4y2). Bước 1. = y[(x2 - 4x + 4) - 4y2]. Bước 2. = y[(x - 2)2 - (2y)2]. Bước 3. = y(x - 2 + 2y)(x - 2 - 2y). Bước 4. Như vậy, để phân tích đa thức trên thành nhân tử chúng ta cần thực hiện qua bốn bước và ở đó: Bước 1: Chúng ta sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung. Bước 2: Chúng ta sử dụng phương pháp nhóm nhiều hạng tử. Bước 3: Chúng ta sử dụng phương pháp dùng hằng đẳng thức. Bước 4: Chúng ta sử dụng phương pháp dùng hằng đẳng thức..

(41) Điều đó có nghĩa là để phân tích đa thức thành nhân tử trong nhiều trường hợp chỉ sử dụng đơn thuần từng phương pháp đã biết trong phương pháp 1, 2, 3, 4 và phương pháp 5 không thể thực hiện được. Cách làm như vậy được gọi là phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp ii) Ví dụ vận dụng Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 - x2 + 2x + 2 Giải Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau: Cách 1: Ta có: x4 - x2 + 2x + 2 = x4 - 2x2 + x2 + 2x + 1 + 1 = (x4 - 2x2 + 1) + (x2 + 2x + 1) = (x2 - 1)2 + (x + 1)2 = (x + 1)2(x - 1)2 + (x + 1)2 = (x + 1)2[(x - 1)2 + 1] = (x + 1)2( x2 - 2x + 2). Cách 2: Ta có: x4 - x2 + 2x + 2 = (x4 - x2) + (2x + 2) = x2(x2 - 1) + 2(x + 1) = x2(x - 1)(x + 1) + 2(x + 1) = (x + 1)[x2(x - 1) + 2] = (x + 1)(x3 - x2 + 2) = (x + 1)[(x3 + 1) - (x2 - 1)] = (x + 1)(x + 1)(x2 - x + 1 - x + 1) = (x + 1)(x2 - 2x + 2) Yêu cầu: Nếu yêu cầu được phát biểu dưới dạng: “Tìm x, biết: x4 - x2 + 2x + 2 = 0” em sẽ lựa chọn phương pháp nào? Vì sao? Và khi đó nghiệm bằng bao nhiêu? Ví dụ 2: Tìm x, biết: x9 + x8 - x - 1 Giải Ta có: x9 + x8 - x - 1 = (x9 + x8) - (x + 1) = x8(x + 1) - (x + 1) = (x + 1)(x8 - 1) = (x + 1)(x4 - 1)(x4 + 1).

(42) = (x + 1)(x2 - 1)(x2 + 1)(x4 + 1) = (x + 1)(x - 1)(x + 1)(x2 + 1)(x4 + 1) Từ đó, ta được: (x + 1)(x - 1)(x + 1)(x2 + 1)(x4 + 1) = 0 Suy ra x = - 1 hoặc x = 1. Ví dụ 3: a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = a4 + b4 + c4 - 2a2b2 - 2b2c2 - 2c2a2 b) Hãy xác định dấu của A khi a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Giải a) Ta có: A = a4 + b4 + c4 - 2a2b2 - 2b2c2 - 2c2a2. = (a4 + 2a2b2 + b4) - (2b2c2 + 2c2a2) + c4 - 4a2b2 = (a2 + b2)2 - 2(a2 + b2)c2 + c4 - 4a2b2 = (a2 + b2 - c2)2 - 4a2b2 = (a2 + b2- c2- 2ab)(a2 + b2 - c2 + 2ab)= [(a2 + b2 -2ab) - c2][(a2 + b2 +2ab) - c2] = [(a - b)2 - c2][(a + b)2 - c2] = (a - b - c)(a - b + c)(a + b - c)(a + b + c) b) Khi a, b, c là ba cạnh của một tam giác, ta có: a - b - c < 0, a - b + c > 0, a + b - c > 0, a + b +c > 0. Do đó A < 0 * Nhận xét Chúng ta có thể đưa ra cách nhóm khác để phân tích A thành nhân tử và hãy so sánh với cách làm trên. 1.3.2.4 Dạng 4: CHIA ĐA THỨC a) Quy tắc i) Mở đầu: Ta có: xm : xn = xm - n, ∀ x. 0, m, n. Am : An = Am - n, ∀ A ii) Chia đơn thức cho đơn thức. N, m. 0, m, n. n. N, m. n..

(43) Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (trường hợp A chia hết cho B) ta thực hiện như sau: + Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B. + Chia mỗi lũy thừa trong A cho lũy thừa của cùng một biến trong B. + Nhân các kết quả tìm được với nhau. iii) Chia đa thức cho đơn thức Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp các hạng tử của A chia hết cho B) ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau. iv) Chia đa thức một biến đã sắp xếp Muốn chia đa thức A cho đa thức B (trường hợp A và B là các đa thức một biến đã được sắp xếp) ta thực hiện như sau: - Bước 1: Đặt phép chia. - Bước 2: Chia hạng tử bậc cao nhất của đa thức bị chia cho hạng tử bậc cao nhất của đa thức chia, giả sử nhận được thương là C1. - Bước 3: Lấy C1 nhân với đa thức chia, kết quả nhận được viết dưới đa thức bị chia.Thực hiện phép trừ hai đa thức này để nhận được số dư. - Bước 4: Đặt vai trò số dư là số bị chia, ta quay trở lại bước 2 cho tới khi nhận đựơc số dư có bậc nhỏ hơn số chia. * Chú ý: Người ta cũng chứng minh được rằng đối với hai đa thức tùy ý A và B của cùng một biến (B. 0), tồn tại hai đa thức duy nhất Q và R sao cho:. A = B.Q + R Với R = 0 hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B. Với R = 0 ta nói A chia hết cho B. Với R. 0 ta nói A không chia hết cho B (phép chia có dư ).. b) Phương pháp giải toán.

(44) Ví dụ 1: Thực hiện phép chia: a) 10x3y2z : (- 4xy2z) b) (x2 + x + 1)8 : (x2 + x + 1)3 Giải 10 x 3 y 2 z 5 . . 2 . =− x2 −4 x y z 2. a) 10x3y2z : (- 4xy2z) =. b) (x2 + x + 1)8 : (x2 + x + 1)3 = ( x 2+ x +1 ). 8− 3. = (x2 + x + 1)5. * Chú ý: Khi đã thành thạo quy tắc chia đơn thức cho đơn thức chúng ta có thể bỏ một số phép tính trung gian, chẳng hạn:. 3 xy 3 z 4 3 =− yz 4 . 2 2 −2 xy. Ví dụ 2: Thực hiện phép chia: (4x3 - 3x2y + 5xy2) :. 1 x 3. Giải Ta có: (4x3 - 3x2y + 5xy2) :. 1 x 3. = 12x2 - 9xy + 15y2. Ví dụ 3: Thực hiện phép chia: [2(y - x)3 - 2(y - x)2 + (x - y)] : (y - x) Giải Ta viết lại: [2(y - x)3 - 2(y - x)2 - (y - x)] : (y - x) = 2(y - x)2 - 2(y - x) - 1 Ví dụ 4: Thực hiện phép chia: (x3 + 4x2 + 6x + 4) : (x + 2) Giải Ta có:. _. x3 + 4x2 + 6x + 4. x+2. x3 + 2x2. x2 + 2x + 2. _. 2x2 + 6x + 4 2x2 + 4x _. 2x + 4.

(45) 2x + 4 0 Ví dụ 5: Thực hiện phép chia: (2x3 - 3x2 - 3) : (x2 - 1) Giải Ta có:. _. 2x3 - 3x2 2x3 _. -3 - 2x. x2 - 1 2x - 3. - 3x2 + 2x - 3 - 3x2. +3 2x - 6. Tới đây, phép chia không thể tiếp tục, vì bậc của số dư thấp hơn bậc của số chia. Vậy, ta nhận được: (2x3 - 3x2 - 3) = (x2 - 1)(2x + 3) + 2x - 6. Ví dụ 6: Tìm thương Q và dư R sao cho A = B.Q + R, Biết: A = 4x3 - 3x2 + 1 và B = x2 + 2x - 1 Giải 3 2 _ 4x - 3x. +1. 4x3 + 8x2 - 4x _. x2 + 2x - 1 4x - 11. -11x2 + 4x + 1 -11x2 - 22x + 11 26x - 10. Vậy, ta được: Q = 4x - 11 và R = 36x - 10 Do đó: 4x3 - 3x2 + 1 = (x2 + 2x - 1)(4x - 11) + 26x - 10 c) Sử dụng phép chia đa thức để giải toán.

(46) Bài toán 1: Tính giá trị của các biểu thức: P = x3n : x3n - 2 , với n. 1 và x = -. 1 . 8. Giải 1 , ta có: P = x3n : x3n - 2 = x3n - (3n - 2) = x2 =. Với n. 1 8. 2. ( ) −. =. 1 . 64. Bài toán 2: Tìm x, biết: (2ax3 - 3ax2) : ax2 = 5, với a là hằng số khác 0. Giải Ta có: (2ax3 - 3ax2) : ax2 = 2x - 3. Từ đó ta nhận được: 2x - 3 = 5 ⇔ x = 4 Vậy x = 4 thỏa mãn điều kiện đầu bài. Bài toán 3: Tìm số tự nhiên n để mỗi phép chia sau là phép chia hết: a) x4 : x2n b) xny3 : x2yn+1 Giải a) Để phép chia x4 : x2n là phép chia hết điều kiện là: 4. 2n. ⇔ 2. Vậy, điều kiện là n. n N và n. 2 ( cụ thể ta nhận được n = 0, n = 1, n = 2). b) Để phép chia xny3 : x2yn + 1 là phép chia hết, điều kiện là: ¿ n≥ 2 3 ≥n+ 1 ¿{ ¿. ⇔. ¿ n ≥2 n ≤2 ¿{ ¿. ⇔. n=2. Vậy, điều kiện là n = 2. Bài toán 4: Tìm m sao cho đa thức x4 - 3x3 - 6x2 - 7x + m.

(47) Chia hết cho đa thức x2 - 2x + 1 Giải Thực hiện phép chia đa thức x4 - 3x3 - 6x2 - 7x + m cho đa thức x2 - 2x + 1, ta được: x4 - 3x3 - 6x2 - 7x + m = (x2 - 2x + 1)( x2 - x + 3) + m - 3 Từ đó, để x4 - 3x3 - 6x2 - 7x + m chia hết cho x2 - 2x + 1 điều kiện là: m-3=0 ⇔ m=3 Vậy m = 3 thỏa mãn điều kiện đầu bài. * Nhận xét Trong lời giải trên, việc tìm điều kiện của tham số để đa thức A chia hết cho đa thức B được thực hiện theo các bước: Bước 1: Thực hiện phép chia A cho B để có được dư R. Bước 2: Tìm điều kiện để R = 0. Cách làm này rất đúng, chỉ có điều trong những trường hợp riêng việc thực hiện bước 1 là rất phức tạp, và chúng ta hoàn toàn có thể khắc phục được vấn đề này thông qua kết quả của định lí: “Số dư của phép chia đa thức f(x) cho x - a là f(a) ”. Các ví dụ tiếp theo sẽ minh họa cho việc sử dụng định lí này. Bài toán 5: Cho f(x) = 4x2 - 6x + m a) Không thực hiện phép chia, hãy tìm phần dư của phép chia f(x) cho x - 3. b) Tìm m để f(x) chia hết cho x - 3. Giải a) Ta có, phần dư của phép chia f(x) cho x - 3 là: f(x) = m + 18 b) Để f(x) chia hết cho x - 3 điều kiện là: m + 18 = 0 ⇔ m = - 18 Vậy, với m = - 18 thỏa mãn điều kiện đầu bài. * Nhận xét.

(48) Như vậy, thông qua ví dụ trên chúng ta đã bước đầu biết cách vận dụng định lí về phần dư. Ví dụ tiếp theo sẽ gồm 2 câu, với mục đích + Câu a) giúp ôn tập lại việc sử dụng định lí để tìm phần dư. + Câu b) minh họa việc vận dụng sáng tạo hơn và người ta đặt tên cho phương pháp ở đây là “Phương pháp giá trị riêng”. Bài toán 6: Tìm đa thức f(x), biết f(x) chia cho x + 4 dư 9, f(x) chia cho x - 3 dư 2 và f(x) chia cho x2 + x - 12 có thương bằng x2 + 3 và có dư. Giải Với giả thiết f(x) chia cho x2 + x - 12 và có thương bằng x2 + 3 và có dư, ta nhận được: f(x) = (x2 + x - 12)( x2 + 3) + ax + b Chọn các giá trị riêng của x sao cho: x2 + x - 12 = 0 ⇔ (x - 3)(x + 4) = 0 ⇔ x = 3 hoặc x = - 4 Khi đó: - Với giả thiết f(x) chia cho x + 4 dư 9, ta được: f(-4) = 9 ⇔ - 4a + b = 9 (2) - Với giả thiết f(x) chia cho x - 3 dư 2, ta được: f(3) = 2. ⇔ 3a + b = 2. (3) Từ (2), (3) ta nhận đựơc a = - 1 và b = 5 Suy ra f(x) = (x2 + x - 12)( x2 + 3) - x + 5 = x4 + x3 - 9x2 + 2x - 31. Bài toán 7: Cho f(x) = x3 - 4x2 + 5x - 2 và g(x) = x - 1 Biết rằng f(x) chia hết cho g(x). Hãy tìm thương của phép chia đó bằng cách chia thông thường và bằng phương pháp hệ số bất định. Giải * Cách chia thông thường:. x3 - 4x2 + 5x - 2. x-1.

(49) x 3 - x2. x2 - 3x + 2. - 3x2 + 5x - 2 - 3x2 + 3x 2x - 2 2x - 2 0 Đặt phép chia ta tìm được thương là: x2 - 3x + 2 * Tìm thương bằng phương pháp hệ số bất định: Vì f(x) ⋮ g(x) gọi đa thức thương là q(x) ta có: f(x) = g(x).q(x) Mà f(x) là đa thức bậc 3, g(x) là đa thức bậc nhất nên q(x) là đa thức bậc 2 có dạng tổng quát ax2 + bx + c. Nên: x3 - 4x2 + 5x - 2 = (x - 1)(ax2 + bx + c) = ax3 + bx2 + cx - ax2 - bx - c = ax3 + (b - a)x2 + (c - b)x - c ¿ a=1 b − a=− 4 Suy ra c − b=5 −c=− 2 ¿{{{ ¿. ⇒. ¿ a=1 b=−3 c=2 ¿{{ ¿. Vậy q(x) = x2 - 3x + 2. 1.4 Thực trạng về việc dạy và học phép nhân và phép chia đa thức thông qua dạy đại số 8 tại một số trường THCS của tỉnh Sóc Trăng Qua thực tế giảng dạy và thông qua phiếu khảo sát đối với giáo viên đang giảng dạy Toán 8 tại trường và đề kiểm tra về khả năng làm bài tập của học sinh, trình độ nhận thức, vận dụng và đặc biệt là khả năng giải toán phép nhân và chia đa thức của học sinh cũng như việc áp dụng chúng để giải một số bài toán liên quan trong quá trình dạy học còn nhiều hạn chế,điều đó có thể do nhiều nguyên nhân, song theo chúng tôi trước khi áp dụng đề này có thể một số nguyên nhân chính sau đây:.

(50) Một là: Khả năng phân tích, rèn kĩ năng giải toán của một số giáo viên còn nhiều hạn chế. Hai là: Đối với dạng toán này nếu giáo viên không khéo léo khi giảng dạy sẽ làm cho học sinh nhàm chán, thụ động và máy móc khi vận dụng. Ba là: Giáo viên thiếu những điều kiện thuận lợi, thiếu thời gian để rèn luyện và nâng cao kĩ năng tìm lời giải, chưa kích thích học sinh chủ động sáng tạo. Bốn là: Giáo viên dạy theo phương pháp mới đã yêu cầu các em chuẩn bị bài trước ở nhà. Vì không có đủ thời gian, lại thêm hỏng một số kiến thức cơ bản ở lớp dưới như bảng cửu chương chưa nắm vững. Nên phần đông các em khi thực hiện phép nhân và chia đa thức thường sai lầm về số và dấu của các phép tính. Năm là: Có nhiều em phải phụ giúp gia đình buổi còn lại nên các em cảm thấy mệt mỏi khi chuẩn bị học bài, làm bài cho ngày học hôm sau, điều kiện học tập còn chưa tốt nên khi học phép nhân và chia đa thức các em tính toán rất kém. Sáu là: Phân phối chương trình đôi lúc phân bổ quá dồn dập có tuần kiểm tra một tiết liên tục mấy môn đưa đến tình trạng các em học qua loa, học vẹt vì vừa phải học bài kiểm tra vừa phải chuẩn bị bài mới cho ngày học hôm sau nên các em không hệ thống hóa được kiến thức, các quy tắc và tính chất HS không vận dụng được..

(51) Chương II CÁC BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH 2.1 Cơ sở xây dựng các biện pháp - Về động cơ học tập: hoạt động học tập được học sinh xem như để thỏa mãn nhu cầu nhận thức. - Về chu ý: để thu hút sự chú ý của học sinh nên tổ chức các hoạt động học tập hợp lí, không để thời gian cho học sinh phân tán chú ý. - Về ghi nhớ: ghi nhớ có ý nghĩa dần thay thế ghi nhớ máy móc. - Về tư duy: tư duy trừu tượng khái quát ngày càng phát triển dù tư duy hình tượng -cụ thể vẫn giữ vai trò quan trọng. - Về quan hệ giao tiếp: học sinh THCS có quan niệm mình là người lớn và có nhu cầu được đối xử như một người lớn, học sinh thích khẳng định mình. 2.2 Nguyên tắc xây dựng các biện pháp - Phải xuất phát từ cơ sở bồi dưỡng năng lực tư duy, tương thích với nội dung chương trình và sách giáo khoa. - Phải đảm bảo phù hợp với cấu trúc logic của nội dụng, phương pháp, kết hợp với lý thuyết dạy học truyền thống và hiện đại để bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh. - Phải đảm bảo thống nhất vai trò chủ đạo của thầy và trò. 2.3 Các biện pháp bồi dưỡng năng lực giải bài toán cho học sinh Qua thực tế dạy học giải bài tập của học sinh cùng với hệ thống các dạng bài tập của chương, ta có các biện pháp sau để bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh. 2.3.1 Biện pháp 1: Tập cho HS vận dụng các thao tác khái quát hóa, đặt biệt hóa, tương tự.

(52) 2.3.1.1 Biện pháp Từ những sự kiện cụ thể riêng biệt ta so sánh đối chiếu các sự kiện với nhau để phát hiện ra các sự kiện chung rồi khái quát hóa thành kết luận tổng quát, khái quát hóa, đặt biệt hóa là hai quá trình đối lập nhau nhưng thống nhất với nhau. 2.3.1.2 Yêu cầu - Cần phát triển vấn đề một cách toàn diện ở nhiều khía cạnh khác nhau. - Phát triển nội dung và kết quả của các vấn đề để định hướng giải quyết các vấn đề đặt biệt, tương tự, các vấn đề tổng quát. - Sau khi giải xong phải rút kinh nghiệm, đề xuất vấn đề mới, thao tác tương tự thao tác đặt biệt hóa giúp học sinh mò mẫm đi đúng hướng. 2.3.1.3 Bài tập vận dụng Bài toán 1: Thực hiện các phép tính sau: a) (a - b)(a6 + a5b + a4b2 + a3b3 + a2b4 + ab5 + b6) b) (x + y)(x5 - x4y + x3y2 - x2y3 + xy4 - y5) c) (c - d)(cn - 1 + cn - 2d + .....+ cdn - 2 + dn - 1) d) (x + y)(x2k - x2k - 1y +.....+ x2y2k - 2 - xy2k - 1 + y2k) Giải a) Ta có: (a - b)(a6 + a5b + a4b2 + a3b3 + a2b4 + ab5 + b6) = a7 + a6b + a5b2 + a4b3 + a3b4 + a2b5 + ab6 - a6b - a5b2 - a4b3 - a3b4 - a2b5 - ab6 - b7 = a 7 - b7 b) Ta thực hiện tương tự như bài toán trên, ta có: (x + y)(x5 - x4y + x3y2 - x2y3 + xy4 - y5) = = x6 - x5y + x4y2 - x3y3 + x2y4 - xy5 + x5y - x4y2 + x3y3 - x2y4 + xy5 - y6 = x6 - y6..

(53) c) Trường hợp tổng quát ta cũng thực hiện tương tự: (c - d)(cn - 1 + cn - 2d + .....+ cdn - 2 + dn - 1) = cn + cn - 1d + .....+ c2dn - 2 + cdn - 1 - cn - 1d - cn - 2d2 - .....- cdn - 1 - dn) = c n - dn. d) (x + y)(x2k - x2k - 1y +.....+ x2y2k - 2 - xy2k - 1 + y2k) = x2k + 1 - x2k y +.....+ x3y2k - 2 - x2y2k - 1 + xy2k + x2ky - x2k - 1 y2 +.....+ x2y2k - 1 - xy2k + y2k + 1 = x2k + 1 + y2k + 1. Bài toán 2: Chứng minh các đẳng thức sau: a) (a3b3 - 1)(a3b3 + 1) - a6b6 = - 1 b) (a + b)(a4 - a3b + a2b2 - ab3 + b4) = a5 + b5. c) (x - y)(xn - 1 + xn- 2y +.....+ xyn - 2 + yn - 1) = xn - yn. d) (a - 1)(a9 + a8 + a7 + ... + a2 + a + 1) + 1 = a10 Giải Khi gặp bài toán này ta thực hiện phép tính ở vế trái (vế phức tạp) biến đổi để mỗi đẳng thức có được kết quả của vế phải (vế đơn giản) sau đó kết luận: “Vế trái bằng vế phải”. Đẳng thức được chứng minh. a) VT = (a3b3 - 1)(a3b3 + 1) - a6b6 = a6b6 + a3b3 - a3b3 - a6b6 - 1 = - 1 = VP. b) VT = (a + b)(a4 - a3b + a2b2 - ab3 + b4) = a5- a4b + a3b2 - a2b3 + ab4 + a4b - a3b2 + a2b3 - ab4 + b5 = a5 + b5 = VP. c) VT = (x - y)(xn - 1 + xn - 2y +.....+ xyn - 2 + yn - 1) = xn + xn- 1y +.....+ x2yn - 2 + xyn - 1 - xn- 1y - xn- 2y2 -.....- xyn - 1 - yn = xn - yn = VP. d) VT = (a - 1)(a9 + a8 + a7 + ... + a2 + a + 1) + 1 = a10 + a9 + a8 + ... + a3 + a2 + a - a9 - a8- a7 -... - a2 - a - 1 + 1 = a10 = VP..

(54) Bài toán 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì: a) n(n + 1)(2n + 1) ⋮ 6 với mọi n. N. b) n(n - 7) - (n + 2)(n - 3) ⋮ 6 với mọi n. N. c) (n + 3)(n - 3) - (n + 9)(n + 3) ⋮ 12 với mọi n. N. d) (2n + 1)(2n + 1) + 4(2n + 1) + 5 ٪ 8 với mọi số nguyên lẻ Giải a) Ta phân tích bài toán thành một tổng các số hạng chia hết cho 6. n(n + 1)(2n + 1) = n(n + 1)[(n + 2) + (n - 1)] = n(n + 1)(n + 2) + n(n + 1)(n - 1) Tích của ba số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng chia hết cho 6. n(n + 1)(n + 2) ⋮ 6 , n(n + 1)(n - 1) ⋮ 6 [n(n + 1)(n + 2) + n(n + 1)(n - 1)]. ⋮ 6 với mọi n. N. Vậy n(n + 1)(2n + 1) ⋮ 6 đpcm. * Chú ý: Trong n số nguyên liên tiếp có 1 và chỉ 1 số chia hết cho n. b) Thực hiện phép tính tương tự để có kết quả là: - 6n + 6 = - 6(n - 1) ⋮ 6 c) Thực hiện phép tính tương tự để có kết quả: - 12(n + 3) ⋮ 12 d) Thực hiện phép tính tương tự để có kết quả là: 4n2 + 12n + 5 Vì n lẻ nên đặt n = 2k + 1 thay vào kết quả trên tiếp tục biến đổi ta được: 16k2 + 40k + 21 (k. N). 16k2 ⋮ 8 ; 40k ⋮ 8 ; 21 ٪ 8 nên (16k2 + 40k + 21) ٪ 8 Vậy (2n + 1)(2n + 1) + 4(2n + 1) + 5 ٪ 8 với mọi số nguyên lẻ n. Bài toán 4: Chứng minh rằng: a. Tích của 2 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2 b. Tích của 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 6.

(55) Giải a. Trong 2 số nguyên liên tiếp bao giờ cũng có 1 số chẵn  Số chẵn đó chia hết cho 2. Vậy tích của 2 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2. Tích 2 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2 nên tích của 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 2 b. Trong 3 số nguyên liên tiếp bao giờ cũng có 1 số chia hết cho 3.  Tích 3 số đó chia hết cho 3 mà (1; 3) = 1 Vậy tích của 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 6. Bài toán 5: Chứng minh rằng: Tổng lập phương của 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 9 Giải Gọi 3 số nguyên liên tiếp lần lượt là: n - 1, n, n+1 Ta có: A = (n - 1)3 + n3 + (n + 1)3 = 3n3 - 3n + 18n + 9n2 + 9 = 3(n - 1)n (n+1) + 9(n2 + 1) + 18n Ta thấy (n - 1)n (n + 1)  3  3(n - 1)n (n + 1)  9 ¿ 9(n2+ 1) ⋮ 9 mà 18 n⋮ 9  A  9 (Đpcm) ¿{ ¿. Bài toán 6: Chứng minh rằng: n4 - 4n3 - 4n2 +16n  384 với n chẳn, n  4 Giải Vì n chẳn, n  4 ta đặt n = 2k, k  2 Ta có n4 - 4n3 - 4n2 + 16n = 16k4 - 32k3 - 16k2 + 32k = 16k(k3 - 2k2 - k + 2) = 16k(k - 2)(k - 1)(k + 1) Với k  2 nên k - 2, k - 1, k + 1, k là 4 số tự nhiên liên tiếp nên trong 4 số đó có 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 4  (k - 2)(k - 1)(k + 1)k  8.

(56) Mà (k - 2)(k - 1)k  3 ; (3, 8) = 1  (k - 2)(k - 1)(k + 1)k  24  16(k - 2)(k - 1)(k + 1)k  (16, 24) Vậy n4 - 4n3 - 4n2 +16n  384 với n chẳn, n  4 Bài toán 7: Chứng minh rằng a) 817 - 279 - 913 chia hết cho 405 b) 122n + 1 + 11n + 2 chia hết cho 133 Giải a) 817 - 279 - 913 = (34)7 - (33)9 - (32)13 = 328 - 327 - 326 = 326(32 - 3 -1) = 326.5 Mà 405 = 34. 5 Do đó 326.5 chia hết cho 34 .5 hay (817 - 279 - 913 ) chia hết cho 405 b) 122n + 1 + 11n + 2 = 122n .12 + 11n.112 = 12.144n + 11n . 121 = 12(144n - 11n) + 12.11n + 121.11n = 12(144n - 11n) + 11n(12 + 121) = 12.133n + 11n.133 Mỗi số hạng đều chia hết cho 133 Vậy (122n + 1 + 11n + 2) chia hết cho 133 Bài toán 8: Chứng minh các đẳng thức sau: a) x3 + y3 + z3 = 3xyz + (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - xz - yz ) b) (x2 + x + 1)(x5- x4 + x3- x + 1) = x7 + x5 + 1 Giải a) x3 + y3 + z3 = 3xyz + (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - xz - yz ) Ta có: (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - xz - yz ) = x(x2 + y2 + z2 - xy - xz - yz ) + y(x2 + y2 + z2 - xy - xz - yz ) + z(x 2 + y2 + z2 - xy - xz - yz ) = x3 + xy2 + xz2 - x2y - x2z - xyz + x2y + y3 + yz2 - xy2 - xyz - y2z + x2 z + y2z + z3 - xyz - xz2 - yz2 = x3 + y3 + z3 - 3xyz.

(57) Thay kết quả này vào vế phải của đẳng thức ta được vế trái b) (x2 + x + 1)(x5 - x4 + x3 - x + 1) = x7 + x5 + 1 Thực hiện phép tính vế trái: (x2 + x + 1)(x5 - x4 + x3 - x + 1) = x2(x5 - x4 + x3 - x + 1) + x(x5 - x4 + x3 - x + 1) + (x5 - x4 + x3 - x + 1) = x 7 - x6 + x5 - x3 + x2 + x6 - x5 + x4 - x 2 + x + x 5 - x 4 + x3 - x + 1 = x7 + x5 + 1 Bằng vế phải 2.3.2 Biện pháp 2: Tập cho học sinh nhìn vấn đề dưới nhiều góc độ khác nhau 2.3.2.1 Biện pháp - Giúp học sinh nhìn một vấn đề dưới nhiều góc độ khác nhau, trong những mối quan hệ khác nhau, từ đó có cách giải quyết phù hợp và sáng tạo. - Nhìn vấn đề dưới nhiều góc độ khác nhau, giải quyết vấn về dưới nhiều khía cạnh, biện luận các khả năng có thể xảy ra. 2.3.2.2 Yêu cầu Phát hiện và biết phân tích vấn đề, từ đó làm xuất hiện các trường hợp cần giải quyết. 2.3.2.3 Bài tập vận dụng Bài toán 1: Chứng minh rằng các biểu thức sau đây luôn luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến x. a) x2 - 8x + 25 b) x2 + x + 5 c) (x - 5)(x - 7) + 6 Giải Theo đề bài ta chứng minh biểu thức luôn nhận giá trị dương, nhưng thật ra ta biến đổi mỗi biểu thức thành một bình phương của một nhị thức cộng với một số dương. Dựa vào bình phương của nhị thức thì luôn luôn không âm với mọi giá trị của biến để lập luận:.

(58) a) x2 - 8x + 25 = x2 - 8x + 16 + 9 = (x - 4)2 + 9 (x - 4)2. 0 với mọi x ; 9 > 0. Nên (x - 4)2 + 9 > 0 với mọi x Tức là x2 - 8x + 25 luôn luôn nhận giá trị dương với mọi x 1 2. 2. ( ). 2. b) Lập luận tương tự câu a: x + x + 5 =. x+. +. 19 4. c) Lập luận tương tự câu a: (x - 5)(x - 7) + 6 = (x - 6)2 + 5 Tương tự ta có thể giải các bài toán sau: a) A = 4x2 - 4x + 5 > 0 với mọi số thực x b) B = 5x - x2 - 7 < 0 với mọi số thực x c) (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 + (ad - bc)2 với a, b, c, d là các số thực Bài toán 2: Cho a + b = S, a.b = P. Hãy biểu diễn theo S và P các biểu thức a) A = a3 + b3 b) B = a2 + b2 c) C = a2 + ab + b2 Giải a) Ta thực hiện phép biến đổi: A = a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) = (a + b)[(a + b)2 - 3ab] = S(S2 - 3P) Với các câu b và c cũng biến đổi tương tự: b) B = a2 + b2 = S2 - 2P c) C = a2 + ab + b2 = S2 - P Bài toán 3: Tìm bốn số tự nhiên liên tiếp biết rằng tích của chúng bằng 120. Giải Gọi n là một số tự nhiên thì tích của 4 số tự nhiên liên tiếp là:.

(59) (n - 1)n(n + 1)(n + 2) = 120 ⇔. (n2 + n)(n - 1)(n + 2) = 120. ⇔. (n2 + n)(n2 + n - 2) = 120. ⇔. (n2 + n)(n2 + n) - 2(n2 + n) = 120. ⇔. (n2 + n)2 - 2(n2 + n) + 1 = 121. ⇔. (n2 + n - 1)2 = 112. ⇔. n2 + n - 1 = 11. ⇔. (n - 3)(n + 4) = 0. Vì n. ⇔. n2 + n - 12 = 0. N nên n + 4 > 0. Suy ra chỉ có n - 3 = 0. ⇒. n=3. Vậy 4 số tự nhiên liên tiếp phải tìm là 2, 3, 4, 5 Thử lại 2 . 3 . 4 . 5 = 120 Bài toán 4: a) Cho P = 30(319 + 318 + 318 +....+ 312 + 32) + 1 Chứng minh rằng P là một số chính phương. b) Cho n = 2k + 1 (k. N). Chứng minh rằng n2 + 4n + 5 không chia hết cho 8. Giải a) Đặt a = 31 ⇒ 30 = a - 1 và 32 = a + 1 Ta có: P = (a - 1)(a9 + a8 + a7 +.....+ a2 + a + 1) + 1 = a10 - 1 + 1 = a10 = (a5)2 P = (31)2 b) n = 2k + 1 k. N. Thì n2 + 4n + 5 = (2k + 1)2 + 4(2k + 1) + 5 = 4k2 + 4k + 1 + 8k + 4 + 5 = 4k2 + 4k + 8k + 10 = 4k(k + 1) + 8(k + 1) + 2 k và k + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên tích k(k + 1) ⋮ 2 ⇒. 4k(k + 1) ⋮ 8 ; 8(k + 1) ⋮ 8 ; 2 ٪ 8.

(60) Vậy 4k(k + 1) + 8(k + 1) + 2 ٪ 8 Tức là n2 + 4n + 5 không chia hết cho 8 với n = 2k + 1 (n là số lẻ) Bài toán 5: Một tam giác có độ dài các cạnh là a, b, c cho biết: a = x2 - y2 ; b = 2xy ; c = x2 + y2. a) Tam giác có ba cạnh là a, b, c như trên là tam giác gì? b) Với x, y là hai số tự nhiên có x > y và xy = 6. Tìm giá trị a, b, c sao cho a2 + b2 = c2. Giải a) Ta có: a = x2 - y2. ⇒ a2 = x4 - 2x2y2 + y4. b = 2xy. ⇒ b2 = 4x2y2. c = x 2 + y2. ⇒ c2 = x4 + 2x2y2 + y4. (1). a2 + b2 = x4 - 2x2y2 + y4 + 4x2y2 = x4 + x2y2 + y4 Từ (1) và (2) ⇒ a2 = b2 + c2 Vậy tam giác có ba cạnh a, b, c như trên là tam giác vuông (theo định lý Pytago) b) Với x. N, x > y và xy = 6. Thì hoặc x = 6, y = 1 hoặc x = 3, y = 2. - Nếu x = 6, y = 1 thì a = 36 - 1 = 35. ⇒ a2 = 1225. b = 2.6 = 12. ⇒ b2 = 144. c = 36 + 1 = 37. ⇒ c2 = 1369. ⇒ a2 + b2 = c2. - Nếu x = 3, y = 2 thì a = 9 - 4 = 5. ⇒ a2 = 25. b = 2.3.2 = 12 ⇒ b2 = 144 c = 9 + 4 = 13 ⇒ c2 = 169. (2).

(61) ⇒. a2 + b2 = c2. Vậy các giá trị a, b, c phải tìm là (35, 12, 37) hoặc (5, 12, 13). 2.3.3 Biện pháp 3: Tập cho học sinh biết vận dụng lý thuyết vào thực tiễn, hệ thống hóa kiến thức 2.3.3.1 Biện pháp - Học sinh có cái nhìn tổng thể các kiến thức trong chương, các dạng bài tập thường gặp. - Ở mỗi dạng các em biết cách hình thành và hệ thống phương pháp giải đồng thời các em mở rộng ra các trường hợp mới, bài tập mới. - Các em vận dụng lý thuyết vào giải các bài toán thực tế. 2.3.3.2 Yêu cầu Giúp các em ôn tập, tổng kết hệ thống hóa, khái quát hóa kiến thức sau một chương, một phần, các em thấy được mối quan hệ giữa các phần đã học với nhau. Bên cạnh đó các em nắm được kiến thức cơ bản, ứng dụng vào thực tiễn thông qua các mô hình toán học. 2.3.3.3 Bài tập vận dụng Bài toán 1: Chứng minh rằng a) Với mọi số n. Z thì (2n + 1)2 - 1 chia hết cho 8.. b) Hiệu bình phương của hai số lẻ liên tiếp thì chia hết cho 8. c) Hiệu bình phương của hai số chẳn liên tiếp chia hết cho 4. Giải Vận dụng những phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, đưa biểu thức về dạng tích của hai số nguyên liên tiếp để giải: a) (2n + 1)2 - 1 = (2n + 1 - 1)(2n + 1+ 1) = 2n (2n + 2) = 4n(n + 1).

(62) n và n + 1 là hai số nguyên liên tiếp nên bao giờ cũng có một số chia hết cho 2 tức là 4n(n + 1) ⋮ 2. Đặt n(n + 1) = 2k (k. N) thì 4n(n + 1) = 4.2k = 8k ⋮ 8. Vậy (2n + 1)2 - 1 ⋮ 8. b) Gọi 2k là một số chẳn thì 2k + 1 và 2k + 3 là hai số lẻ liên tiếp. Theo đề bài ta phải chứng minh: (2k + 3)2 - (2k + 1)2 ⋮ 8. Phân tích đa thức trên ta đựơc: 4k2 + 12k + 9 - 4k2 + 4k - 1 = 16k - 8 = 8(2k - 1) ⋮ 8 ⇒ (2k + 3)2 - (2k + 1)2 ⋮ 8.. c) Cách làm tương tự như câu b. Bài toán 2: Chứng minh rằng: a) a2 + 4a + 5 > 0 với mọi giá trị của a. b) x2 + y2 + z2 - 2xy + 2xz - 2yz + 4 > 0 với mọi x, y, z. c) (5a + 1)2 +(5a + 2)2 chia hết cho 5 với mọi a. Giải Trước hết ta chứng minh rằng với mọi số thực A ta luôn có A2 Thật vậy, nếu A = 0 thì A2 = 0, nếu A. 0.. 0 thì A2 = A.A là tích của hai số cùng dấu. nên A2 > 0. Bây giờ ta biến đổi biểu thức thành dạng sau: a) a2 + 4a + 5 = a2 + 4a + 4 + 1 = (a + 1)2 + 1 (a + 1)2. 0 với mọi giá trị của a và 1 > 0. ⇒ (a + 1)2 + 1 > 0 với mọi giá trị của a. b) x2 + y2 + z2 - 2xy + 2xz - 2yz + 4 = (x - y + z)2 + 4 (x - y + z)2. 0 với mọi giá trị của x, y, z và 4 > 0. ⇒ (x - y + z)2 + 4 > 0 với mọi x, y, z. c) Khai triển hai bình phương của tổng rồi thu gọn thành một tổng có ba số hạng mà.

(63) mỗi số đều chia hết cho 5. 50a2 + 30a + 5 = 5(10a2 + 3a + 1) ⋮ 5 với mọi a Bài toán 3: Chứng minh rằng a) a2 + b2 + c2 + d2 + f2 b) x2 + y2. a(b + c + d + f) với mọi a, b, c, d, f. xy + x + y - 1 với mọi x , y. c) (a2 + c2)(b2 + d2) - (ab + cd)2. 0 với mọi a, b, c, d Giải. a) Chuyển biểu thức bên phải sang biểu thức bên trái, biến đổi thành một tổng các bình phương của một nhị thức a2 + b2 + c2 + d2 + f2 ⇔. a(b + c + d + f). a2 + b2 + c2 + d2 + f2 - a(b + c + d + f) 2. ⇔ (. a 4. ⇔ (. a 2. 2. a - ab + b ) + ( 4 2. - b)2 + (. a 2. (1) 0 2. a - ac + c ) + ( 4 2. - c)2 + (. a 2. - d)2 + (. a 2. 2. a - ad + d ) + ( 4 2. - b)2. - af + f2). 0 với mọi a, b, c, d, f.. Bất đẳng thức này đúng. Vậy (1) đã được chứng minh. b) Nhân cả hai vế với 2 rồi chuyển biểu thức bên phải sang bên trái, biến đổi thành tổng của các bình phương x2 + y2. xy + x + y - 1. ⇔ 2x2 + 2y2. (1). 2xy + 2x + 2y - 2. ⇔. 2x2 + 2y2 - 2xy - 2x - 2y + 2. ⇔. (x2 - 2xy + y2) + (x2 - 2x + 1) + (y2 - 2y + 1). ⇔. (x - y)2 +(x - 1 )2 + (y - 1)2. 0 0. 0 với mọi x, y. Bất đẳng thức này đúng. Vậy (1) đã được chứng minh. c) Tương tự thực hiện phép tính để biến đổi vế trái thành bình phương của một hiệu (bc - ad)2. 0. 0.

(64) Bài toán 4: Chứng minh rằng Cho hai số a, b: a a+b ≥ √ ab 2. a). 0;b. (bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm). b) (a + b)(ab + 1) c) a + b +. 0. Chứng minh rằng:. 4ab. 1 2. √a + √b Giải. a) Ta có: ( √ a - √ b )2 ⇒. a - 2 √ ab + b. 0. ⇒ ( ⇒. 0. √ a )2 - 2 √ a . √ b + ( √ b )2 a+b. 0. 2 √ ab. a+b ≥ √ ab 2. ⇒. (1) a+b 2. là trung bình cộng của a và b; √ ab là trung bình nhân của a và b với điều. kiện a, b không âm. b) Do a. ,b. 0 nên ab. 0.. Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho a + b và ab + 1 ta có: a+b. 2 √ ab. (1). ab + 1. 2 √ ab .1. (2). Nhân hai bất đẳng thức (1) và (2) vế với vế ta được: (a + b)(ab + 1). 2 √ ab .2 √ ab .1. (a + b)(ab + 1). 4ab đpcm.. c) Biến đổi vế trái: VT = a + b +. 1 2. =. (a+ 14 )+(b+ 41 ).

(65) Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: a+. 1 4. 2. 1 = 4. √. a.. √. 1 b . =√ b 4. √a. (1) b+. 1 4. 2. ❑. (2) Cộng (1) Và (2) ta được: a + Hay a + b +. 1 ≥ 2. 1 +b+ 4. 1 4. √ a+ √ b. ❑. √ a+√ b . Đpcm. Bài toán 5: Chứng minh rằng Nếu (a + b + c + d)(a - b - c + d) = (a - b + c - d)(a + b - c - d) thì. a b = c d. Giải Cách 1: Vận dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ, ta có: (a + b + c + d)(a - b - c + d) = (a - b + c - d)(a + b - c - d) = (a + b + c + d)(a - b - c + d) - (a - b + c - d)(a + b - c - d) = [ ( a+d )+(b+ c) ]. [( a+d )−(b+ c)] - [( a− d )−(b − c) ]. [( a− d )+(b − c)]. = (a + d)2 - (b + c)2 + (b - c)2 - (a - d)2 = 0 Suy ra 4ad = 4bc ⇔ ad = bc hay. a b = c d. Cách 2: Vận dụng tỉ lệ thức đã học ở lớp 7 ta có: Theo tính chất. A C = B D. suy ra. A+ B C+ D = A−B C− D. Đặt A = a + b + c + d ; B = a + b - c - d C=a-b+c-d ;. a+b+ c+ d a − b+c −d = a+b − c − d a − b −c +d. D=a-b-c+d.

(66) Ta được. a+b a − b = c+ d c −d. hay. a b c d  a b c d. do đó. a c = b d. Bài toán 6: Xác định các hệ số a, b sao cho đa thức sau viết được dưới dạng bình phương của một đa thức nào đó x4 + 2x3 + 3x2 + ax + b Giải Giả thiết rằng: x4 + 2x3 + 3x2 + ax + b = (x2 + cx + d)2 * Xét trường hợp: x4 + 2x3 + 3x2 + ax + b = (x2 + cx + d)2 = x4 + c2x2 + d2 + 2cx3 + 2dx2 + 2cdx = x4 + 2cx3 + x2(c2 + 2d) + 2cdx + d2 Vận dụng phương pháp đồng nhất hệ số hai vế ta có: ¿ 2 c=2 2 c + 2 d=3 2 cd=a 2 b=d ¿{{{ ¿. ¿ c=1 d =1 a=2 b=1 ¿{{{ ¿. ⇒. * Xét trường hợp: x4 + 2x3 + 3x2 + ax + b = (- x2 + cx + d)2 Ta được: a = 2 ; b = 1 ; c = d = - 1 Vậy x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1 = (x2 + x + 1)2 = (- x2 - x - 1)2 Bài toán 7: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác vuông với a là cạnh huyền. Chứng minh rằng: a3 > b3 + c3 Giải Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác vuông với a là cạnh huyền Nên a > b và a > c.

(67) Theo định lí Py-ta-go, ta có: a2 = b2 + c2 Ta có nhận xét: a3 = a2.a = (b2 + c2).a = b2.a + c2.a > b2.b + c2.c = b3 + c3, đpcm * Nhận xét Ở đây, ta còn có kết quả tổng quát hơn: “Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác vuông với a là cạnh huyền, ta luôn có: an > bn + cn, với n. N và n > 2”. Bài toán 8: Tìm các chữ số a, b sao cho a 56 b  45 Giải Sử dụng các dấu hiệu chia hết cho 5 và cho 9 ở lớp 6: Ta thấy 45 = 5.9 mà (5 ; 9) = 1 để a 56 b  45  a 56 b  5 và 9 Xét a 56 b  5  b  {0 ; 5} Nếu b = 0 ta có số a 56 b  9  a + 5 + 6 + 0  9  a + 11  9 a=7 Nếu b = 5 ta có số a 56 b  9  a + 5 + 6 + 5  9  a + 16  9 a=2 Vậy: a = 7 và b = 0 ta có số 7560 a = 2 và b = 5 ta có số 2560 Bài toán 9: Cho số N = dcba chứng minh rằng: a. N  4  (a + 2b)  4 b. N  16  (a + 2b + 4c + 8d)  16 với b chẳn c. N  29  (d + 2c + 9b + 27a)  29 Giải Sử dụng các dấu hiệu và các tính chất chia hết ở lớp 6, ta có: a. N  4  ab  4  10b + a  4  8b + (2b + a)  4  a + 2b  4 b. N 16  1000d + 100c + 10b + a 16.

(68)  (992d + 96c + 8b) + (8d + 4c + 2b + a) 16  a + 2b + 4c + 8d 16 với b chẵn c. Có 100(d + 3c + 9b + 27a) - dbca  29 mà (1000, 29) =1 dbca  29.  (d + 3c + 9b + 27a)  29. Bài toán 10: Tìm tất cả các số có 2 chữ số sao cho mỗi số gấp 2 lần tích các chữ số của số đó. Giải Sử dụng dấu hiệu chia hết cho 2, ở lớp 6: Gọi ab là số có 2 chữ số Theo bài ra ta có: ab = 10a + b = 2ab (1) ab  2  b {0; 2; 4; 6; 8}. Thay vào (1) a = 3; b = 6 2.3.4 Biện pháp 4: Chú trọng câu hỏi gợi ý hướng dẫn học sinh giải bài tập 2.3.4.1 Biện pháp Đặt vấn đề khuyến khích cả lớp tập trung suy nghĩ giải quyết vấn đề gặp phải trong quá trình học. Hướng dẫn và tập cho các em có thói quen động não với hệ thống câu hỏi dẫn dắt từ đơn giản đến phức tạp, tính chất câu hỏi phải rõ ràng, chính xác, đa dạng. Những câu hỏi chính: + Hiểu bài toán: Cái gì chưa biết? Những gì đã cho? Dữ kiện của bài toán là gì? Có thể thỏa mãn được bài toán hay không? Diễn tả nội dung bài toán bằng kí hiệu toán học, diễn tả bài toán trên hình vẽ. + Đề ra chương trình giải: có biết một bài toán tương tự bài toán này không? Có thể sử dụng nó để giải quyết không? Có thể phát biểu bài toán dưới dạng khác không? Thử giải bài toán gần giống nó? Có sử dụng hết giả thiết của bài toán chưa? + Thực hiện chương trình giải: Thử lại một chi tiết của chương trình? Có thấy chi tiết này là đúng không? Có thể chứng minh nó đúng không? Tổng quan các.

(69) bước giải một bài toán. + Phân tích lời giải: Thử lại kết quả? Thử lại sự lập luận? Có cách giải nào khác không? Có thể tạo ra được một bài toán mới không? Kiểm tra sự phù hợp của lời giải. Đề xuất vấn đề có liên quan bằng cách xét tương tự, khái quát hóa, đặt biệt hóa, lật ngược vấn đề. 2.3.4.2 Yêu cầu Đặt câu hỏi là phương pháp rất quan trọng, giúp học sinh vận dụng các khái niệm, quy tắc, giúp giáo viên kiểm tra và sửa lỗi cho học sinh ngay tại chỗ. Đồng thời cung cấp cho giáo viên thông tin phản hồi từ phía học sinh. 2.3.4.3 Bài tập vận dụng Bài toán 1: Cho A = 6(x2 + y2 + z2 - xy - yz - xz). B = (x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 Hãy chứng minh rằng nếu A = B thì x = y = z Huớng dẫn giải a) Đây là dạng toán nào? Cách giải ra sao? - Đây là dạng toán chứng minh đẳng thức. - Cách giải: để chứng minh một đẳng thức ta có thể biến đổi từ vế này đến vế kia hoặc biến đổi riêng từng vế rồi so sánh kết quả của hai vế. b) Ta biến đổi vế trái A = 6(x2 + y2 + z2 - xy - yz - xz) = 3(2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2xz) = 3(x2 - 2xy + y2) + (x2 - 2xz + z2) + (y2 - 2yz + z2) A = 3[(x - y)2 + (x - z)2 + (y - z)2] c) Nếu A = B thì: 3[(x - y)2 + (x - z)2 + (y - z)2] = (x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 Suy ra: (x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 = 0.

(70) ⇒. x-y = y-z = z-x=0. Tức là x = y = z. Bài toán 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên a khác 0 thì: A = (a + 1)(a + 3)(a + 5)(a + 7) + 15 chia hết cho a + 6. Hướng dẫn giải a) Đây là bài toán chứng minh sự chia hết, để giải bài toán trước tiên ta phải làm gì? Ta phân tích và biến đổi A về dạng sau: A = (a + 1)(a + 3)(a + 5)(a + 7) + 15 = (a + 1)(a + 7)(a + 3)(a + 5) + 15 = (a2 + 8a + 7)(a2 + 8a + 15) + 15 = (a2 + 8a + 7)(a2 + 8a + 7 + 8) + 15 b) Ta nhận xét các thừa số của biểu thức là các đa thức bậc hai, nếu ta giữ nguyên như thế thì khó nhìn ra nên ta đặt a2 + 8a + 7 = x, ta có: A = x(x + 8) + 15 = x2 + 8x + 15 = (x + 3)(x + 5). (1). Thay x = a2 + 8a + 7 vào (1) A = (a2 + 8a + 10)( a2 + 8a + 12) = (a2 + 8a + 10)( a2 + 2a + 6a + 12) = (a2 + 8a + 10)[a(a + 2) + 6(a + 2)] = (a2 + 8a + 10)(a + 2)(a + 6) ⋮ (a + 6) Vậy A ⋮ (a + 6) với mọi số a. N. * Chú ý: Để giải các bài toán chia hết, ta sử dụng các phương pháp sau đây: Phương pháp 1: - Sử dụng dấu hiệu chia hết Phương pháp 2: - Sử dụng tính chất chia hết Trong n số nguyên liên tiếp có 1 và chỉ 1 số chia hết cho n. Phương pháp 3: Sử dụng phương pháp phân tích thành nhân tử Phương pháp 4: Biến đổi biểu thức cần chứng minh về dạng tổng.

(71) Bài toán 3: Hãy tìm các số hạng A và B trong đa thức sau để phép chia sau đây là phép chia hết. (9x3 + A + B + 1) : (3x2 + x + 1) Hướng dẫn giải a) Yêu cầu bài toán là gì? Nó tương tự dạng toán nào? Bài toán yêu cầu tìm các số hạng A và B để phép chia đã cho là phép chia hết. Đây là dạng toán chứng minh sự chia hết. b) Ta có: Để tìm các số hạng A, B còn thiếu trong mỗi đa thức, ta thực hiện phép chia hai đa thức: _. 9x3 + A + B + 1. 3x2 + x + 1. 9x3 + 3x2 + 3x. 3x. (A - 3x2) + (B - 3x) + 1 c) Nếu phép chia đã cho là phép chia hết thì (A - 3x 2) + (B - 3x) + 1 phải chia hết cho 3x2 + x + 1. Khi đó số hạng thứ hai của thương là 1 Suy ra: (A - 3x2) + (B - 3x) + 1 = 3x2 + x + 1 ⇒. ⇒. A - 3x2 = 3x2 B - 3x = x. ⇒. A = 6x2. B = 4x. Vậy đa thức bị chia là: 9x3 + 6x2 + 4x + 1. Bài toán 4: Tìm các số tự nhiên n sao cho n3 + 3n2 + 4 chia hết cho n + 2 Hướng dẫn giải a) Đề bài yêu cầu ta tìm gì? Thực hiện cách giải như thế nào? Đề bài yêu cầu tìm số tự nhiên n để phép chia là phép chia hết. Đây cũng là dạng toán chứng minh sự chia hết, sử dụng các dấu hiệu chia hết ở lớp 6. b) Ta tiến hành thực hiện phép chia như sau.

(72) n3 + 3n2. _. +4. n+2. n3 + 2n2 n2. _. n2 + n - 2 +4. n2 + 2n - 2n + 4. _. - 2n - 4 8 Vậy n3 + 3n2 + 4 = (n + 2)(n2 + n - 2) + 8 Muốn n3 + 3n2 + 4 chia hết cho n + 2 thì 8 ⋮ (n + 2) Vì n là số tự nhiên nên n + 2. 2. n + 2 phải là ước lớn hơn hoặc bằng 2 của 8 U(8). 2 là : 2 ; 4 và 8. Nếu n + 2 = 2 ⇒ n = 0 n+2=4. ⇒. n=2. n+2=8. ⇒. n=6. Vậy với n = 0, n = 2 hoặc n = 6 thì n3 + 3n2 + 4 chia hết cho n + 2. Bài toán 5: Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c luôn có: a2 + b2 + c2. ab + bc + ca Hướng dẫn giải. a) Đây là bài toán chứng minh bất đẳng thức A > B, ta thực hiện cách làm như thế nào? Cách giải: + Phương pháp 1 - Hướng 1: Dùng định nghĩa chứng minh A - B > 0..

(73) - Hướng2: Thực hiện các phép biến đổi tương đương: ( A > B ⇔ C> D⇔ .. . ⇔ E> F ) để biến đổi bất đẳng thức ban đầu về một bất đẳng thức đúng, biến đổi và đưa đến bất đẳng thức cần chứng minh. - Hướng 3: Xuất phát từ bất đẳng thức đúng. + Phương pháp 2: Sử dụng tính chất bắc cầu: A > C và C > B. + Phương pháp 3: Phương pháp chứng minh phản chứng, được áp dụng với các bài toán yêu cầu chứng minh ít nhất một bất đẳng thức trong các bất đẳng thức đã cho là đúng hoặc sai. + Phương pháp 4: Phương pháp hình học, bằng việc sử dụng tính chất: “ Nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì: a + b > c và c”. b) Ta có ba cách trình bày như sau: Cách 1: Ta biến đổi bất đẳng thức như sau: a2 + b2 + c2 - ( ab + bc + ca) ⇔. ⇔. 0. (. a2 b2 b2 c2 c2 a2 − ab+ + − bc+ + − ca+ ≥0 2 2 2 2 2 2. (. a b 2 b c 2 c a 2 − + − + − ≥ 0 luôn đúng. √2 √2 √2 √2 √2 √2. )(. ) (. )(. ) (. ). ). Cách 2: Ta biến đổi bất đẳng thức như sau: 2(a2 + b2 + c2). 2(ab + bc + ca). ⇔ (a2 + b2 - 2ab) + (b2 + c2 - 2bc) + (c2 + a2 - 2ca). ⇔ (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2. Cách 3: Ta luôn có:. 0 luôn đúng.. 0. |a − b| <.

(74) a −b ¿ 2 ≥ 0 ¿ b − c ¿2 ≥ 0 ¿ c −a ¿ 2 ≥ 0 ¿ ¿{{ ¿ ¿. ¿ a +b − 2ab ≥ 0 b2 +c 2 −2 bc ≥ 0 c2 + a2 − 2ca ≥ 0 ¿{{ ¿ 2. ⇔. 2. (I). Cộng theo vế các bất phương trình trong hệ (I), ta được: 2(a2 + b2 + c2) - 2(ab + bc + ca) 0 ⇔ a2 + b2 + c2 - ( ab + bc + ca). Bài. toán. 6:. Chứng. 0 minh. rằng. với. mọi. n. N*. luôn. có:. 1 1 1 + +.. .+ <1 1 . 2 2. 3 n ( n+1 ). Hướng dẫn giải a) Đây là dạng toán nào? - Đây là dạng toán chứng minh bất đẳng thức luôn đúng. b) Sử dụng tính chất nào để giải? Theo tính chất đã học ở lớp 6, ta nhận xét rằng: c) Do đó: VT = = 1−. 1 1 1 = − k k +1 k ( k +1 ). 1 1 1 1 1 1 1 1 + +.. .+ = 1 − + − +.. .+ − 1 . 2 2. 3 2 2 3 n n+1 n ( n+1 ). 1 n+ 1< 1. ( )(. ) (. ). Đpcm. 2.3.5 Biện pháp 5: Tập cho học sinh biết giải quyết vấn đề bằng nhiều cách khác nhau và lựa chọn cách giải tối ưu nhất 2.3.5.1 Biện pháp.

(75) - Những bài toán nhiều khi có một cách giải dài dòng và phức tạp chỉ mang tính chất mò mẫm khó hiểu thì ta có thể nghỉ ngay rằng có một cách giải khác sáng sủa và cho kết quả nhanh chóng. - Đa số các em thường không chấp nhận một cách giải quen thuộc hoặc duy nhất, luôn tìm tòi và đề xuất nhiều cách giải khác nhau cho một bài toán, giáo viên có nhiệm vụ định hướng cho các em, đặt biệt là chỉ ra được lời giải tối ưu và sáng tạo. 2.3.5.2 Yêu cầu Học sinh phải biết hệ thống hóa kiến thức, vận dụng thành thạo các kĩ năng, thủ thuật một cách chắc chắn, mềm dẽo, linh hoạt, tâp hợp nhiều cách giải và tìm được một cách giải tối ưu nhất, từ đó phát hiện vấn đề mới, rèn luyện tính chuyên cần, yêu thích bộ môn toán, rèn luyện tính nhuần nhuyễn, linh hoạt của tư duy. 2.3.5.3 Bài tập vận dụng Bài toán 1: Cho đa thức f(x) = x3 - 2x2 + ax + b. Tìm a và b biết rằng f(x) chia (x - 1) dư - 2, nếu chia cho x - 2 thì dư 4. Giải Cách 1: Chia f(x) cho x - 1 được dư là: b + a - 1 Chia f(x) cho x - 2 được dư là: b + 2a ¿ b+ a− 1=− 2 b+2 a=4 Đặt: ¿{ ¿ ⇒. b=-a-1. (1). b = - 2a + 4. (2). Từ (1) và (2) ⇒ - a - 1 = -2a + 4 ⇔ - a + 2a = 4 + 1 ⇔ a = 5 và b = - 5 - 1 = 6 Vậy f(x) = x3 - 2x2 + 5x - 6.

(76) Cách 2: Áp dụng định lý Bezout. f(x) chia x - 1 dư - 2 tức là: f(1) = - 2 ⇒ 13 - 2.12 + a.1 + b = -2. -1+a+b=-2 ⇒ b+a-1=-2 f(x) chia x - 2 dư - 2 tức là: f(2) = 4 ⇒. 23 - 2.22 + 2a + b = 4. ⇒ b + 2a = 4. Đến đây tiếp tục giải như cách 1 để tìm a và b. * Nhận xét Cách 1 là cách làm này rất đúng, nhưng chỉ có điều trong những trường hợp riêng việc thực hiện là rất phức tạp đòi hỏi HS phải có sự linh hoạt. Ở cách 2 là cách giải ngắn gọn nhất nhưng đòi hỏi HS phải biết vận dụng định lí Bezout. Bài toán 2: Tìm ba số tự nhiên chẳn liên tiếp, biết tích của hai số sau lớn hơn tích của hai số đầu là 192. Giải Cách 1: Theo đề bài ta có hai cách giải: Gọi một số tự nhiên chẳn là n thì số chẳn trước nó là n - 2 và số tự nhiện chẳn sau nó là n + 2.Theo đề bài ta có: n(n + 2) - (n - 2)n = 192 ⇒ n2 + 2n - n2 + 2n = 192 ⇒. 4n = 192. ⇒ n = 192 : 4 = 48. Vậy ta được ba số tự nhiện chẳn liên tiếp thỏa mãn đầu bài là: 46 , 48, 50. Cách 2: Gọi 2x, 2x + 2, 2x + 4 là ba số tự nhiên chẳn liên tiếp (x Theo đề bài ta có: (2x + 2)(2x + 4) = 2x(2x + 2) + 192 ⇔. 4x2 +8x + 4x +8 = 4x2 +4x +192. ⇔. 8x = 184. ⇔ x = 23. Vậy ta được ba số đã cho thỏa mãn đầu bài là :46 , 48, 50.. N).

(77) * Nhận xét Hai cách giải trên đều lập luận chặc chẽ và việc tính toán cũng đơn giản hơn, nhưng đòi hỏi HS phải biết cách gọi để thỏa mãn điều kiện của đề bài. Bài toán 3: Xác định các hằng số a và b sao cho: a) x4 + ax2 + b chia hết cho x2 - x + 1 b) ax3 + bx2 + 5x - 50 chia hết cho x2 + 3x - 10 c) x3 + ax + b chia hết cho x 2 + x - 2 Giải a) Cách 1: Làm phép chia ta được thương bằng x2 +x +a, dư: (a -1)x + ( b - a) Muốn chia hết thì đa thức dư phải đồng nhất bằng 0: hay (a -1)x + ( b - a) = 0 Do đó ta có: a = 1, b = a = 1 Vậy a = b = 1 Cách 2: Thương của phép chia có dạng x2 + cx + b nhân nó với x2 - x + 1 rồi đồng nhất với x4 + ax2 + b. Ta được:. ¿ c − 1=0 b − c+1=a c −b=0 ¿{{ ¿. suy ra a = b = c = 1. b) Cách 1: Đặt phép chia tương tự như câu a. Cách 2: Đồng nhất (x2 + 3x - 10)(ax + 5) với đa thức bị chia, ta được: ¿ 3 a+5=b 15 −10 a=5 ¿{ ¿. ⇒. ¿ a=1 b=8 ¿{ ¿. Cách 3: Xét ax3 + bx2 + 5x - 50. (x + 5)(x - 2).Q(x).

(78) Lần lượt cho x = - 5 và x = 2, ta đựơc: ¿ −125 a+25 b=75 8 a+4 b=40 ¿{ ¿. ⇔. ¿ −5 a+ b=3 2 a+b=10 ¿{ ¿. ⇔. ¿ a=1 b=8 ¿{ ¿. c) Thực hiện phép chia: Cách 1: _ x3 _ x 3 + x2 _. + ax + b. x 2 + x -2. - 2x. x-1. -x2 + (a +2)x + b -x2 -. x+ 2 (a + 3)x + (b - 2). Để chia hết, đa thức dư phải bằng 0 với mọi giá trị của x nên: ¿ a+3=0 b −2=0 ¿{ ¿. ⇔. ¿ a=−3 b=2 ¿{ ¿. Vậy với a = -3 và b = 2 thì x3 + ax + b chia hết cho x 2 + x - 2 Cách 2: Phương pháp hệ số bất định Đa thức bị chia có bậc 3, đa thức chia có bậc 2 nên thương là một nhị thức bậc nhất, hạng tử cao nhất là x3 : x2 = x . Gọi thương của phép chia là x + c, ta có: x3 + ax + b = ( x 2 + x - 2)(x + c) x3 + ax + b = x3 + (c + 1)x2 + (c - 2)x - 2c.

(79) ¿ c+1=0 c − 2=a −2 c=b ¿{{ ¿. Hai đa thức trên bằng nhau nên:. ⇔. ¿ c =−1 a=−3 b=2 ¿{ { ¿. Vậy a = - 3 , b = 2 thì x3 + ax + b chia hết cho x 2 + x - 2 thương là x - 1 Cách 3: Phương pháp giá trị riêng: Gọi thương của phep chia x3 + ax + b cho x 2 + x - 2 là Q(x), ta có: x3 + ax + b = (x 2 + x - 2).Q(x) Vì đẳng thức đúng ∀ x nên lần lượt cho x = 1 và x = - 2, ta đựơc: ¿ 1+ a+b=0 −8 − 2a+ b=0 ¿{ ¿. ⇔. ¿ a+b=− 1 −2 a+b=8 ¿{ ¿. ⇔. ¿ a=−3 b=2 ¿{ ¿. Vậy a = - 3 , b = 2 thì x3 + ax + b chia hết cho x 2 + x - 2 thương là x - 1 * Nhận xét Cách 1 đặt phép chia thông thường nhưng nhiều khi đa thức có bậc lớn và có nhiều tham số khi đó phép chia rất phức tạp. Tuy nhiên ở cách 2 dùng phương pháp hệ số bất định thì việc tính toán có nhiều thuận lợi nhưng HS dễ nhầm lẫn trong việc chọn thương của phép chia để đồng nhất. Ở cách 3 là việc vận dụng sáng tạo hơn và người ta đặt tên cho phương pháp ở đây là “Phương pháp giá trị riêng”.Đây là cách giải tối ưu nhất. Bài toán 4: Phân tích thành thừa số: A = ab(a - b) + bc(b - c) + ca(c - a) Giải Cách 1: a) Phương pháp xét giá trị riêng: Nếu ta thay a bởi b thì : A = 0 + bc(b - c) + ca(c - a) = 0 nên A chia hết cho (a - b). Do vai trò của a, b, c như nhau trong đa thức nên A chia hết cho = (a - b)(b - c)(c - a)..

(80) Trong phép chia đó, đa thức bị chia A có bậc 3 đối với tập hợp các biến, đa thức chia (a - b)(b - c)(c - a). Có bậc ba đối với tập hợp các biến nên thương là hằng số k Trong hằng đẳng thức: ab(a - b) + bc(b - c) + ca(c - a) = k(a - b)(b - c)(c - a) Ta cho các biến nhận giá trị riêng a = 2, b = 1, c = 0, ta được: 2.1.1 + 0 + 0 = k.1.1.(-2) , do đó -2k = 2 ⇒ k = - 1 Vậy A = ab(a - b) + bc(b - c) + ca(c - a) = (a - b) (b - c) (c - a) Cách 2: A = ab(a - b) + bc(b - c) + ca(c - a) = ab(a - b) + b2c - bc2 + ac2- a2c = ab(a - b) - bc2 + ac2 - a2c + b2c = ab(a - b) + c2(a - b)- c(a + b)(a - b) = (a - b) [ a(b− c )− c (b −c ) ] = (a - b) (b - c)(c - a) Cách 3: Bằng cách thêm bớt các hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung, ta có lời giải sau:. Tách b - c = - [ (a− b)+( c − a) ] A = ab(a - b) - bc [ ( a− b)+(c − a) ]. + ca(c - a). = b(a - b)(a - c) + c(c - a)(a - b) = (a - b)(a - c)(b - c) * Nhận xét Đối với bài toán trên việc xét giá trị riêng và thực hiện tính toán như cách 1 rất phức tạp HS dễ nhằm lẫn trong tính toán. Ở cách 2 nhận thấy việc tính toán đặt nhân tử chung rất gần gũi đưa về tích các thừa số nhưng cách 3 giải ngắn gọn hơn cách 1 và 2. Nên cách 2 là cách giải nhanh và chính xác hơn. Bài toán 5: Chứng minh rằng với x, y nguyên thì: A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y(x + 4y) + y4 là một số chính phương. Giải Cách 1: Từ A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y(x + 4y) + y4 A = [ (x + y )( x+ 2 y ) ]. [( x +3 y )( x+ 4 y )] + y4. A = (x2 + 3xy + 2y2).(x2 + 7xy + 12y2) + y4 Sau khi khai triển và rút gọn, ta đựơc:.

(81) A = x4 + 10x3y + 35x2y2 + 50xy3 + 25y4 A = (x4 + 10x3y +25x2y2 ) + (10x2y2 + 50xy3) + 25y4 A = (x2 + 5xy)2 + 2.5y2.(x2 + 5xy) + 25y4 A = ((x2 + 5xy) + 5y2)2 = (x2 + 5y2 + 5xy)2 Cách 2: A = [ ( x + y )(x+ 4 y ) ] . [ ( x +2 y)(x +3 y ) ] + y4 A = (x2 + 5xy + 4y2).(x2 + 5xy + 6y2) + y4 Ta nhận xét, nếu ta nhân vào thì rất phức tạp trong tính toán, vì thừa số (x2 + 5xy + 6y2) = (x2 + 5xy + 4y2 + 2y2) , vì vậy ta đặt t = x2 + 5xy + 4y2 Vậy A = (t + y2)2 = (x2 + 5xy + 5y2)2 * Nhận xét Cách 1 là cách giải trực tiếp rất phức tạp trong tính toán HS khó nhìn ra hằng đẳng thức vì bước thứ 4 đòi hỏi HS phải linh hoạt. Ở cách 2 đặt ẩn phụ là cách giải hay thường áp dụng cho những bài toán phức tạp nên đối với bài toán trên cách giải 2 là cách giải ngắn gọn nhất. Bài toán 6: Cho hai đa thức: A = 98m + m3 - 6m5 + m6 - 26 + 10m4 B = 1 - m + m3 a) Chứng minh rằng với mọi giá trị nguyên của m thì thương của phép chia A cho B là một bội số của 6. b) Xác định giá trị nguyên của m để đa thức dư bằng 0. Giải Cách 1: a)Thực hiện phép chia A cho B ta được thương là: m3 - 6m2 + 11m - 6 và dư là 17m2 + 81m - 20 Có m3 - 6m2 + 11m - 6 = m3 - m2 - 5m2 + 5m + 6m - 6 = m2(m - 1) - 5m(m - 1) + 6(m - 1) = (m - 1)(m2 - 5m + 6 ).

(82) = (m - 1)[(m2 - 2m) - (3m - 6 )] = (m - 1) [ m(m− 2)−3( m−2) ] = (m - 1)(m - 2)(m - 3) Kết quả là tích của ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6. Vậy thương của phép chia là một bội của 6. Cách 2: Ta có thể phân tích bài toán 6 tương tự như bài toán 3 biện pháp 2 chứng minh như sau: m3 - 6m2 + 11m - 6 = m3 - m - 6m2 + 12m - 6 = m(m2 - 1) - 6m2 + 12m - 6 = (m - 1)m(m + 1) - 6(m2 -2m + 1) = (m - 1)m(m + 1) - 6(m - 1)2 Từ đó ta thấy biểu thức đã cho chia hết cho 6 b) Giải phuơng trình sau: 17m2 + 81m - 20 = 0 = 17m2 - 4m + 85m - 20 = m(17m - 4) + 5(17m - 4) = 0 = (17m - 4)(m + 5) = 0 Vì m. Z nên m = - 5 để cho dư bằng 0.. * Nhận xét Ở hai cách trên sử dụng phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách một hạng tử. Nên nhìn chung việc biến đổi đưa về bài toán có cách giải cả hai cách đều có mức độ khó như nhau. 2.3.6 Biện pháp 6: Quan tâm những sai lầm của học sinh và cách khắc phục 2.3.6.1 Biện pháp - Trong dạy học toán học sinh thường mắc sai lầm về chiếc lược, về cách thức, về lôgíc, về vận dụng định lí, định nghĩa, khái niệm, công thức... - Ở mỗi dạng sai lầm đều có hướng khắc phục. Nhìn chung có 3 huớng chính: cho các em nắm vững kiến thức về logíc, cho các em nắm vững kiến thức cở bản, cho các em nắm vững một số phương pháp giải của các dạng toán cơ bản. 2.3.6.2 Yêu cầu.

(83) - Điều quan trọng nhất của vấn đề là các em phải tự mình tìm thấy sai lầm và tự mình phải khắc phục, các em phải biết tâm đắc tự mình phấn đấu vươn lên thì độ bền và độ chắc chắn mới cao, từ đó các em mới thấy mình linh hoạt và sáng tạo hơn trong học tập cũng như trong tự đánh giá bản thân và đánh giá các bạn. - Ở học sinh THCS thường thì độ chính chắc ở các em chưa cao nên khi sữa chửa sai lầm ta không nêu tên cụ thể em nào nhưng phải giáo dục uốn nắn những sai lầm đó đúng lúc. 2.3.6.3 Bài tập vận dụng Bài toán 1: Khi giải bài tập: “Xét xem đa thức A = 5x 4 - 4x3 + 6x2y có chia hết cho đơn thức B =2x2 hay không ”, Hà trả lời: “A không chia hết cho B vì 5 không chia hết cho 2”, Quang trả lời: “A chia hết cho B vì mọi hạng tử của A đều chia hết cho B”. Cho biết ý kiến của em về lời giải của hai bạn. Giải Hà trả lời sai vì 5 : 2 là phần hệ số, trong khi đó đối với phần biến thì mọi hạng tử của A đều chia hết cho đơn thức B. Vậy Quang nói đúng. * Nhận xét Sai lầm của Hà ở đây là đã chia phần hệ số với nhau, phần hệ số không chia hết thì kết luận là sai. Hà chưa nắm được quy tắc chia đa thức cho đơn thức. Cần nhấn mạnh lại rằng một đa thức chia hết cho một đơn thức khi từng hạng tử của đa thức đều chia hết cho đơn thức chia. Bài toán 2: Khi thực hiện phép chia (4x 4 - 8x2y2 + 12x5y) : (- 4x2), bạn Hoa viết: (4x4 - 8x2y2 + 12x5y) = - 4x2(- x2 + 2y2 - 3x3y) nên (4x4 - 8x2y2 + 12x5y) : (- 4x2) = - x2 + 2y2 - 3x3y Em hãy nhận xét xem bạn Hoa giải đúng hay sai? Giải.

(84) Bạn Hoa giải đúng vì ngoài qui tắc ta có thể phân tích đa thức thành nhân tử, mà có chứa nhân tử là đơn thức rồi thực hiện tương tự như chia một tích cho một số. * Nhận xét Cần nhấn mạnh cho các em rằng trước khi thực hiện phép chia ngoài áp dụng quy tắc ta cũng có thể phân tích đa thức thành nhân tử mà có chứa nhân tử là đa thức chia, lời giải theo cách này gọn hơn. Bài toán 3: Đức viết: x2 - 10x + 25 = (x - 5)2 Thọ viết: x2 - 10x + 25 = (5 - x)2 Hương nêu nhận xét: Thọ viết sai, Đức viết đúng. Sơn nói: Qua ví dụ trên mình rút ra được một hằng đẳng thức rất đẹp! Hãy nêu ý kiến của em. Sơn rút ra được hằng đẳng thức nào? Giải Hai bạn đều đúng vì x2 - 10x + 25 = 25 - 10x + x2 ⇔ (x - 5)2 = (5 - x)2. Từ đó ta rút ra nhận xét: (A - B)2 = (B - A)2 * Nhận xét Có thể thấy rằng nhiều em học sinh khi thực hiện luôn mắc phải lỗi đổi dấu: (1 - x)2 = - (x - 1)2 Hãy nhớ rằng: A2n = (- A)2n A2n+1 = - (-A)2n+1 với n. N. Bài toán 4: Khi thảo luận nhóm, một bạn ra đề bài: Hãy phân tích đa thức x4 - 9x3 + x2 - 9x thành nhân tử Bạn Thái làm như sau: x4 - 9x3 + x2 - 9x = x(x3 - 9x2 + x - 9) Bạn Hà làm như sau: x4 - 9x3 + x2 - 9x = (x4 - 9x3) + (x2 - 9x) = x3(x - 9) + x(x - 9) = (x - 9)(x3 + x) Bạn An làm như sau: x4 - 9x3 + x2 - 9x = (x4 + x2) - (9x3 + 9x) = x2(x2 + 1) - 9x(x2 + 1) = (x2 + 1)(x2 - 9x) = x(x - 9)(x2 + 1).

(85) Hãy nêu ý kiến của em về lời giải của các bạn. Giải Bạn Thái và bạn Hà giải sai vì cả hai bạn đều phân tích chưa triệt để, mặc dù hai bạn đều có hướng biến đổi đúng, chỉ có bạn An là giải đúng. * Nhận xét Việc phân tích đa thức thành nhân tử (hay thành thừa số) là phép biến đổi đa thức đó từ dạng một tổng các đơn thức thành một tích của một đơn thức với một đa thức hay tích của hai hay nhiều đa thức, do đó việc phân tích phải triệt để, vận dụng linh hoạt các tính chất giao hoán, kết hợp, tính chất phân phối của phép nhân, phép cộng và các hằng đẳng thức đáng nhớ, đôi khi phải dùng cả phép chia hai đa thức. Bài toán 5: Điền vào dấu ... để biểu thức trở thành bình phương của một tổng: 4x2y2 + ... + 9 Giải Ta có các cách suy luận như sau: Cách 1: Coi 4x2y2 và 9 là bình phương của số thứ nhất và số thứ hai, ta thấy: 4x2y2 = (2xy)2 và 9 = 32. Do đó ta điền vào dấu ... hai lần tích của 2xy và 3 Vậy 4x2y2 + ... + 9 = (2xy)2 + 2.2xy.3 + 32 = (2xy + 3)2. Trong cách điền này, ta thay ... bởi 12xy. Cách 2: Xét 9 là bình phương của 3, còn 4x2y2 là hai lần tích của số thứ nhất là. 2 2 2 2 2 2 x y với số thứ hai là 3. Khi đó: 4x2y2 = 2. x y .3 3 3. Vậy: 4x2y2 + ... + 9 = 2.. 2 2 2 2 2 22 2 2 2 x y .3 +( x y ) + 32 = ( x y + 3)2 3 3 3. Trong cách điền này, ta thay ... bởi. 4 4 4 xy 9. Cách 3: Xét 4x2y2 là bình phương của 2xy, còn 9 là hai lần tích của số thứ nhất là 2xy với số thứ hai là. 9 . Khi đó: 9 = 2.2xy. 4 xy. Vậy: 4x2y2 + ... + 9 = (2xy)2 +. 9 4 xy. 2. ( ). + 2.2xy.. 9 4 xy 9 = 4 xy. (. 2 xy +. 9 4 xy. 2. ).

(86) 81 16 x 2 y 2. Trong cách điền này, ta thay ... bởi * Nhận xét. Các hằng đẳng thức luôn luôn đúng và được sử dụng rất nhiều Bài toán 6: Hãy điền vào chổ trống để những hằn đẳng thức sau đúng: a) ... + 6xy + 9y2 = (x + ... )2 b) x2 + ... + 4y2 = ( ... + ... )2 Giải 2. a) Ta có: ... + 6xy +. 3 y¿ ¿ 2 x +. .. ¿ 2 x +. .. ¿ ⇔ . ..+2 . x . . 3 y +¿ ⏟ SuyraA= x 2. 9 y =¿ ¿. ⇒. 2 x2 + 6xy + 9y2 = x+ 3 y ¿. ¿. 2 y ¿2 ¿ 2 .. .+. .. ¿ b) Ta có: x2 + ... + .. .+. .. ¿2 ⇔ x 2+. . .+ ¿ 4 y2 =¿ ¿ A=x ⇒ x2 + 4xy + 4y2 =. 2. x+ 2 y ¿ ¿. * Nhận xét Học sinh thường nhầm lẫn và không biết đưa về dạng hằng đẳng, cần nhấn mạnh hằng đẳng thức là một công cụ hữu ích giúp ta trong việc tính toán, đơn giản biểu thức... Bài toán 7: Tìm đa thức dư trong phép chia sau (x1992 + x198 + x19 + x + 1) : ( x2 - 1) Giải.

(87) Trong phép chia đa thức, bậc của đa thức dư bao giờ cũng phải nhỏ hơn bậc của đa thức chia .Ở đây đa thức chia là đa thức bậc 2 nên đa thức dư chỉ có thể có bậc cao nhất là 1 (có dạng ax +b). Gọi thương của đa thức là Q(x) thì ta có đẳng thức: (x1992 + x198 + x19 + x + 1) = ( x2 - 1)Q(x) + (ax + b). (*). Để tìm a và b trong đa thức dư ax + b ta cần: Cho x = 1 ta đựơc 5 = a + b. (1). Cho x = -1 ta được 1 = -a + b. (2). Suy ra a = 2 và b = 3 . Vậy đa thức dư phải tìm là 2x + 3 * Nhận xét Đây là bài toán tìm đa thức dư, giả sử cho 2 đa thức A và B trong đó B  0 ta luôn tìm được hai đa thức Q và R duy nhất sao cho: A = BQ + R Với 0  bậc R  bậc B nếu R 0 Trong đó: A là số bị chia, B là số chia, Q là thương, R là số dư Bài toán 8: Chứng minh rằng: (a + b + c)3 = a3 +b3 +c3 +3(a + b)(b + c)(c + a) Áp dụng thu gọn biểu thức sau:A = (a + b + c)3 - (a + b - c)3 - (b + c - a)3 - (c + a - b)3 Giải a) (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a) Ta sẽ chứng minh: (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) VT= (a + b + c)3 – a3 – b3 – c3 = [(a + b + c)3 – a3] – (b3 + c3) = (b + c)[(a + b + c)2 + (a + b + c)a + a2] – (b + c)(b2 – bc + c2) = (b + c)(3a2 + 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)] = 3(a + b)(b + c)(c + a) bằng VP. Áp dụng: Ta đặt. ¿ x =a+b − c y=b +c − a z=c +a − b }} ¿. ⇒ x+y+z=a+b+c. A = (a + b + c)3 - (a + b - c)3 - (b + c - a)3 - (c + a - b)3 = (x + y + z)3 - x3 - y3 - z3 = 3(x + y)(y + z)(z + x) = 24abc.

(88) * Nhận xét Đây là dạng toán chứng minh đẳng thức không có điều kiện, đa số các em thường dùng phương pháp chung là biến đổi vế trái (vế phức tạp) thành vế phải (vế đơn giản), cần nhấn mạnh với các em rằng có thể biến đổi 2 vế bằng biểu thức trung gian hoặc biến đổi vế phải bằng vế trái. Bài toán 9: Chứng minh rằng đa thức: a) x50 + x 49 + x48 + .....+ x2 + x + 1 chia hết cho đa thức x16 + x15 + x14 + .....+ x2 + x + 1 b) x79 + x78 + x77 + .......+ x2 + x + 1 chia hết cho đa thức x19 + x18 + x17 + ......+ x2 + x + 1 Giải a)Vận dụng những phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đưa bài toán về dạng tích như sau : Gọi A = x50 + x 49 + x48 + .....+ x2 + x + 1 B = x16 + x15 + x14 + .....+ x2 + x + 1 Ta biến đổi biểu thức A như sau A = (x50 + x 49 +...+ x34) + (x33 + x32 + ...+ x17) + (x16 + x15+ ...+ x + 1) A = x34(x16 + x15 + x14 +....+ x2 + x +1) + x17(x16 + x15 + x14 +....+ x2 + x + 1) + (x16 + x15 + x14 +....+ x2 + x + 1) A = (x34 + x17 + 1)( x16 + x15 + x14 +....+ x2 + x + 1) Tức là A =(x34 + x17 + 1). B Vậy A ⋮ B b) Vận dụng những phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đưa bài toán về dạng tích như sau: Gọi A = x79 + x 78 + x77 + .....+ x2 + x + 1 B = x19 + x18 + x17 + .....+ x2 + x + 1.

(89) Ta biến đổi biểu thức A như sau: A = (x79 + x 78 +...+ x60) + (x59 + x58+ ...+ x40) + (x39 + x38 + ...+ x20) + (x19 + x18 + x17 +....+ x2 + x + 1) A = x60(x19 + x18 + x17 +....+ x2 + x +1) + x40(x19 + x18 + x17 +....+ x2 + x + 1) + x20(x19 + x18 + x17 +....+ x2 + x +1) + (x19 + x18 + x17 +....+ x2 + x + 1)) A = (x60 + x40 + x20 + 1). (x19 + x18 + x17 +....+ x2 + x + 1) Vậy A ⋮ B. Tức là A = (x60 + x40 + x20 + 1). B * Nhận xét. Sai lầm của các em đó là vì các em thường đã quen sắp phép chia theo cách thông thường đều đó phức tạp với đa thức có bậc. 4 . Vì vậy cần nhấn mạnh với. các em rằng đối với các đa thức có bậc lớn hơn 4 ta có thể thực hiện như sau: Giả sử chứng minh an  k Ta có thể phân tích an chứa thừa số k hoặc phân tích thành các thừa số mà các thừa số đó chia hết cho các thừa số của k. 2.4 Các bài tập vận dụng tổng hợp Bài toán 1: Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a) (a + b + c). ( 1a + b1 + 1c ). 9. b) a2(1 + b2) + b2(1 + c2) + c2(1 + a2). 6abc.. Hướng dẫn giải a) Ta có: a, b, c là ba cạnh của tam giác nên a > 0, b > 0, c > 0. ⇒. a >0 ; b. b >0 ; a. a >0 ; c. Biến đổi vế trái: (a + b + c). c >0 ; a. ( 1a + b1 + 1c ). =. b >0 ; c. c >0 . b. a+b+ c a+b+ c a+b+ c + + a b c.

(90) =1+. b c + a a. +1+. a c + b b. b a b a a c b c + = 3 +( + ) + ( + ) +( + ). c c a b c a c b. +1+. Theo bất đẳng thức Côsi, ta có: b a + a b. 2. √. a c + c a. b a =2; . a b. 2. √. a c =2; . c a. b c + c b. 2. √. b c =2 . c b. b a a c b c + ) +( + ) +( + ) 9 a b c a c b. Suy ra: 3 + ( Hay (a + b + c). ( 1a + b1 + 1c ). 9 đpcm. b) Thực hiện phép tính ở vế trái và chuyển biểu thức ở vế phải sang vế trái ta được: a2(1 + b2) + b2(1 + c2) + c2(1 + a2). 6abc.. ⇔ a2 + a2b2 + b2 + b2c2 + c2 + c2d2 - 6abc. 0. ⇔ a2 -2abc + (bc)2 + b2 - 2abc + (ac)2 + c2 - 2abc + (ab)2 ⇔ (a - bc)2 + (b - ac)2 + (c - ab)2. 0. 0. Bất đẳng thức này đúng suy ra bất đẳng thức đã cho đúng. Bài toán 2: Chứng minh rằng với mọi x, y ta luôn có: a) x2 + y2 + 1 b) x4 + y4. xy + x + y xy3 + x3y. c) 3(x2 + y2 + z2). (x + y + z)2 với mọi x, y, z. Hướng dẫn giải. a) Nhân cả hai vế với 2 rồi chuyển biểu thức bên phải sang bên trái, biến đổi thành tổng của các bình phương. x2 + y2 + 1. xy + x + y. ⇔ 2x2 + 2y2 + 2 ⇔. (1). 2xy + 2x + 2y. 2x2 + 2y2 - 2xy - 2x - 2y + 2. 0.

(91) ⇔. (x2 - 2xy + y2) + (x2 - 2x + 1) + (y2 - 2y + 1). ⇔. (x - y)2 + (x - 1 )2 + (y - 1)2. 0. 0 với mọi x, y.. Bất đẳng thức này đúng. Vậy (1) đã được chứng minh. Tương tự ta có thể giải câu a theo cách khác: Ta có: x2 + y2. 2xy , x2 + 1. 2x , y2 + 1. 2y. Cộng ba bất đẳng thức trên vế với vế ta được: 2x2 + 2y2 + 2. 2xy + 2x + 2y. ⇒ x2 + y 2 + 1. xy + x + y (đpcm). 2ab ⇒ x2 + y2. b) Từ a2 + b2. 4x2y2. xy3 + x3y = xy(y2 + x2) Mà. x2 + y2 2. x2 + y2 (x2 + y2) 2. ⇒. xy 2. ( x2 + y 2 ). Hay ⇔. mà ⇔. 4. x +y + x2 y2 2 2. x y. 2. x4 + y4. 4. 2. x + y +2 x y 2. xy3 + x3y ⇔. 2 4. 4. xy (x2 + y2) 2. xy3 + x3y. xy3 + x3y 4. x +y 2. 4. 4. x +y 2. ⇔. 4. +. 4. x +y 2. 4. xy3 + x3y. xy3 + x3y (đpcm). c)Ta có: x 2+ y 2 ≥ 2xy;. 2. 2. y +z ≥. 2yz; x 2+ z 2 ≥ 2xz. Cộng ba bất đẳng thức trên vế với vế: 2 x 2 +2 y 2+ 2 z 2 ≥ 2 xy +2 yz+ 2 xz Thêm vào 2 vế của bất đẳng thức trên biểu thức x2 + y2 + z2. 3x2 + 3y2 + 3z2. 2xy + 2yz + 2xz + x2 + y2 + z2. 3(x2 + y2 + z2). (x + y + z)2 với mọi x, y, z. đpcm. Bài toán 3: Phân tích ra thừa số:.

(92) a) [(a2 + b2)(c2 + d2) + 4abcd]2 - 4[cd(a2 + b2) + ab(c2 + d2)]2 b) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 c) Áp dụng kết quả câu b để rút gọn biểu thức sau: M = (x + y + z)3- (x + y - z)3- (y + z - x)3 - (z + x - y)3 Hướng dẫn giải a) Áp dụng bình phương của hai số để phân tích ra thừa số: [(a2 + b2)(c2 + d2) + 4abcd]2 - 4[cd(a2 + b2) + ab(c2 + d2)]2 = [(a2 + b2)(c2 + d2) + 4abcd - 2cd(a2 + b2) - 2ab(c2 + d2)] [(a2 + b2)(c2 + d2) + 4abcd + 2cd(a2 + b2) + 2ab(c2 + d2)] = [(a2 + b2)(c2 + d2 - 2cd) - 2ab(c2 + d2 - 2cd)]. [(a2 + b2)(c2 + d2 + 2cd) + 2ab(c2 + d2 + 2cd)] = [(a2 + b2)(c - d)2 - 2ab(c - d)2][(a2 + b2)(c + d)2 + 2ab(c + d)2] = (c - d)2(a - b)2(c + d)2(a + b)2 b) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = [(a + b + c)3 - a3] - (b3 + c3) = (a + b + c - a)[(a + b + c)2 + a(a + b + c) + a2] - (b + c)(b2 - bc + c2) = (b + c)((a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc + a2 + ab + ac + a2) - (b + c)(b2 - bc + c2) = (b + c)(3a2 + b2 + c2 + 3ab + 2bc + 3ac - b2 + bc - c2) = (b + c)((3a2 + 3ab + 3ac + 3bc) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)] = 3(b + c)(a + b)(a + c) c) Đặt ẩn số phụ để biến đổi biểu thức M có dạng như biểu thức của câu b. M = (x + y + z)3- (x + y - z)3- (y + z - x)3 - (z + x - y)3 Đặt: x + y - z = a y+z-x=b z+x-y=c.

(93) ⇒ a + b + c = x + y + z. Thay vào M ta có:. M = (a + b + c)2 - a3 - b3 - c3. Theo kết quả câu b thì M = 3(b + c)(a + b)(a + c) Thay các biểu thức của a, b, c ở trên M = 3(y + z - x + z + x - y)( x + y - z + y + z - x)( x + y - z + z + x - y) = 3.2z.2y.2x M = 24xyz Bài toán 4: Chứng minh rằng nếu:a > 0; b > 0; c > 0 thì: 1 a+b. 1 b+c. +. 1 c+ a. +. 3 a+b+ c. >. Hướng dẫn giải Do a > 0; b > 0; c > 0 nên a + b + c > 0. Ta phải chứng minh:. 1 a+b. 1 b+c. +. 1 c+ a. +. >. 3 a+b+ c. Nhân cả hai vế với a + b + c ta được: (a + b + c) ¿¿. ⇔. a+b+ c a+ b. ⇔ ⇔. Hay. 1+ c a+b. +. c a+b. +. 1 a+b. +. 1 b+c. a+b+ c b+ c. +. a+b+ c c +a. +1+. a b+c. +. a b+c. +1+. b c+ a. +3>3. 1 c+ a. +. ¿ >3. >3. b c+ a. >3. Bất đẳng thức này đúng vì a, b, c đều lớn hơn 0 c a+b. +. a b+c. +. b c+ a. >0. Bài toán 5: Hãy chứng tỏ rằng các đa thức sau đây không phân tích được ra thừa số: a) x2 + 8x + 20.

(94) b) x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 14 c) x2 - 4x + y2 - 2y + 7 Hướng dẫn giải Ta biến đổi mỗi đa thức đã cho thành một bình phương cộng với một số thực để chứng tỏ mỗi đa thức đó luôn nhận giá trị khác 0 với mọi giá trị của biến thì đa thức đó không thể phân tích ra thừa số trong tập số thực R. a) x2 + 8x + 20 = (x + 4)2 + 4 > 0 với mọi x Nên x2 + 8x + 20 không phân tích được ra thừa ra thừa số b) x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 14 = (x + y + z)2 + 14 > 0 với mọi x, y, z c) x2 - 4x + y2 - 2y + 7 = x2 - 4x + 4 + y2 - 2y + 1 + 2 = (x - 2)2 + (y - 1)2 + 2 > 0 với mọi x, y Bài toán 6: Chứng tỏ rằng, nếu a, b, c là các số đo các cạnh một tam giác vuông với a là độ dài cạnh huyền, thì các số x = 9a + 4b + 8c; y = 4a + b + 4c và z = 8a + 4b + 7c cũng là những số đo các cạnh của một tam giác vuông khác. Hướng dẫn giải Vì a, b, c là các số đo các cạnh của một tam giác nên a > 0, b > 0, c > 0 .Do đó ta cũng có x > 0, y > 0, z > 0 . Hơn nữa ta có: x2 = (9a + 4b + 8c)2 = ((9a + 4b) + 8c)2 x2 = (9a + 4b)2 + 2. (9a + 4b).8c + (8c)2 x2 = (9a)2 + 2.9a.4b + (4b)2 + 144ac + 64bc + 64c2 ⇒ x2 = 81a2 + 16b2 + 64c2 +72ab + 144ac + 64bc. (1). Tương tự y2 = ((4a + b) + 4c)2 = (4a + b)2 + 2.(4a + b).4c + (4c)2 ⇒. y2 = 16a2 + b2 + 16c2 + 8ab + 32ac + 8bc. (2).

(95) z2 = ((8a + 4b) + 7c)2 = (8a + 4b)2 + 2. (8a + 4b).7c + (7c)2 ⇒ z2 = 64a2 + 16b2 + 49c2 + 64ab + 112ac + 56bc. (3). Từ (1), (2) và (3) ta có: x2 - y2 - z2 = a2 - b2 - c2 Vì a là độ dài cạnh huyền và b, c là độ dài hai cạnh góc vuông . Nên a2 = b2 + c2 suy ra a2 - b2 - c2 = 0. Do đó, ta có: x2 = y2 + z2 Điều này nghĩa là x là độ dài cạnh huyền y, z là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông Bài toán 7: Cho các số a, b, c không đồng thời bằng không (tức là có ít nhất một số khác 0). Chứng minh rằng có ít nhất một trong các biểu thức dứơi đây có giá trị dương.. M = (a + b + c)2 - 8ab N = (a + b + c)2 - 8bc Q = (a + b + c)2 - 8ac Hướng dẫn giải. Trước hết ta khai triển (a + b + c)2 (a + b + c)2 = ((a + b)2 + c)2 = (a + b)2 + 2.( a + b).c + c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc Thay vào các biểu thức M, N, Q ta được: M + N + Q = 3( a2 + b2 + c2) - 2(ab + ac + bc) = a2 + b2 + c2 + ( a2 + b2 - 2ab) + ( a2 + c2 - 2ac ) + (b2 + c2 - 2bc) = a2 + b2 + c2 + (a - b)2 + (a - c)2 + (b - c)2 Do a, b, c không đồng thời bằng 0 nên a2 + b2 + c2 >0 ngoài ra (a - b)2. 0 , (a - c)2. 0, (b - c)2. 0 nên M + N + Q > 0. Tổng ba số M, N, Q dương thì ít nhất có một số dương (bởi vì nếu không có số nào dương thì tổng của ba số không thể lớn hơn 0).

(96) Bài toán 8: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: ab(a + b - 2c) + bc(b + c - 2a) + ac(a + c - 2b) 0 Hướng dẫn giải Biến đổi bất phương trình về dạng: a+b −2 c b+ c − 2 a c +a −2 b + + ≥0 c a b a b b c c a ⇔ + + + + + ≥6 c c a a b b. Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho vế trái ta được: a b b c c a 6 a b b c c b + + + + + ≥6. . . . . . =6 c c a a b b c c a a b a. √. đpcm. a b b c c a = = = = = ⇔ a=b=c c c a a b b. Dấu bằng xảy ra khi. Bài toán 9: Cho hai số a, b 0 . a. Nếu a + b = k, k là hằng số, tính giá trị lớn nhất của ab b. Nếu ab = k, k là hằng số, tính giá trị nhỏ nhất của a + b Hướng dẫn giải a. Theo bất đẳng thức Côsi ta có: a + b 2 √ ab. ⇔ ab. Từ đó suy ra (ab)Max =. 2. k 4. a+b 2 k 2 = 2 4. ( ). , đạt được khi a = b =. k . 2. b. Theo bất đẳng thức Côsi ta có: a + b 2 √ ab=2 √ k Từ đó suy ra (a + b)Min = 2 √ k , đạt được khi a = b =. k 2. * Nhận xét Qua ví dụ trên chúng ta thấy rằng: - Trong số các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông là hình có diện tích lớn nhất..

(97) - Trong số các hình chữ nhật có cùng diện tích thì hình vuông là hình có chu vi nhỏ nhất.. CHƯƠNG III: THỰC NGHIỆM 3.1. Mục đích thực nghiệm Vận dụng các biện pháp về nhân chia đa thức trên vào việc hướng dẫn học sinh giải một số dạng bài tập về nhân chia đa thức đa thức. Nhằm rút ra những mặt ưu và nhược điểm để có thể bổ sung và xây dựng biện pháp hoàn thiện hơn, từ đó nâng cao được khả năng nhân chia đa thức cho học sinh. 3.2. Nội dung thực nghiệm.

(98) Qua thực tế giảng dạy môn toán 8, chúng tôi nhận thấy học sinh đa số đều thực hiện việc nhân chia đa thức rất hạn chế, nên chúng tôi mạnh dạng đưa việc bồi dưỡng nhân chia đa thức ở bộ môn Toán 8 vào trong quá trình giảng dạy của mình 3.3. Tiến trình thực nghiệm 3.3.1 Trong dạy lý thuyết - Cho học sinh hoạt động nhóm: thường chia lớp làm 4 nhóm cho các em thi đua với nhau và chấm điểm, nội dung là cho các em giải bài tập chấm hỏi, trả lời câu hỏi, giải bài tập củng cố hoặc bài tập luyện tập. - Ghép hình: dùng để tìm ra một nội dung định lí (bằng trực quan) hoặc ý tưởng chứng minh định lí. - Hỏi - đáp: giáo viên đặt các câu hỏi, học sinh trả lời và từng bước tìm hiểu các nội dung của bài. 3.3.2 Trong giải bài tập - Ở các tiết bài tập thường chúng em chỉ giải các bài tập trong SGK, SBT nên các biện pháp chỉ áp dụng ở mức đơn giản. - Tập cho học sinh vận dụng các thao tác khái quát hóa, đặt biệt hóa, tương tự: chủ yếu là cho học sinh giải một bài tập cụ thể (không quá khó) bằng số sau đó tổng quát lên cho HS giải các bài toán tương tự nhưng cho dưới dạng chữ. - Tập cho học sinh biết nhìn vấn đề dưới nhiều góc độ khác nhau: cho học sinh làm các bài tập trong SGK, rồi cho các em giải các bài tập trong SBT cũng ở dạng đó nhưng được cho dưới dạng câu hỏi khác. - Tập cho học sinh biết vận dụng lý thuyết vào thực tiễn, hệ thống hóa kiến thức: việc hệ thống hóa kiến thức của học sinh chỉ trong các tiết luyện tập hoặc tiết ôn tập chương, còn các kiến thức cũ khác chỉ được nhắc lại trong quá trình giải bài tập, các bài toán thực tế cũng còn hạn chế. - Chú trọng câu hỏi gợi ý hướng dẫn học sinh giải bài tập: đây là biện pháp được sử dụng thường xuyên nhất trong các tiết bài tập vì khi các em gặp khó khăn trong.

(99) lúc giải bài tập thì giáo viên chỉ có thể hướng dẫn các em bằng hệ thống câu hỏi. Tuy nhiên đối với các bài tập ở SGK thì các em thường không cần hướng dẫn hoặc chỉ cần định hướng sơ. - Tập cho học sinh biết giải quyết vấn đề bằng nhiều cách khác nhau và lựa chọn cách giải tối ưu: biện pháp này không thường xuyên vì thời gian lên lớp còn hạn chế, có những bài tập (định lí) có nhiều cách giải (cách chứng minh) nhưng giáo viên chỉ giới thiệu qua với các em rồi cho các em về nhà giải chứ không làm tại lớp. - Quan tâm đến những sai lầm của học sinh và tìm cách khắc phục: qua các bài tập học sinh trình bày trên bảng hoặc qua hoạt động nhóm, giáo viên phát hiện và sữa các lỗi mắc phải của học sinh. 3.4 Nhận xét kết quả áp dụng các biện pháp 3.4.1 Ưu điểm - Khi áp dụng các biện pháp trên thì đa số học sinh đều giải đựơc các bài tập. - Các em có thể tự giải một số bài tập khó mà không cần sự hướng dẫn của giáo viên. 3.4.2 Hạn chế - Có một vài biện pháp không đạt đến mục tiêu đề ra vì thời gian trên lớp có hạn nên giáo viên chỉ hướng dẫn cho các em về nhà làm, nhưng còn một bộ phận các em chưa quan tâm đến các vấn đề đó, các em chỉ cần có lời giải là dừng lại. - Đa số các em đều có sách giải hoặc SBT nên các em thường không kiên nhẫn trong việc rèn luyện và nâng cao kĩ năng giải toán. - Giáo viên không có điều kiện kiểm tra vở bài tập của các em một cách thường xuyên nên có một số sai lầm của các em giáo viên không kịp thời khắc phục. 3.5 Ý kiến đề xuất - Tăng thêm thời gian làm bài tập tại lớp cho HS để GV có điều kiện kiểm tra, giải thích những thắc mắc của các em về kiến thức cũng như cách trình bày lập luận..

(100) - Phải đặt yêu cầu là tất cả các em phải giải và hiểu được 80% các bài tập ở SGK,vì đó là các bài tập cơ bản. - Giáo viên nên đưa ra một cách trình bày thống nhất cho mỗi dạng bài tập để các em có cách trình bày rõ ràng không thiếu sót. - Kiểm tra việc học ở nhà của học sinh bằng cách phân công kiểm tra vở bài tập và để nắm được mức độ hiểu bài của học sinh. Giáo viên nên thường xuyên cho ban cán sự lớp tra 15 phút đầu giờ và chọn ra một bài chấm cột điểm kiểm tra miệng thay vì chỉ gọi một hai em lên trả bài đầu giờ. - Vì các em còn học rất nhiều môn, thời gian tự học cho môn toán là có hạn nên nếu lượng bài tập quá nhiều thì có thể cho các em làm bài tập theo nhóm nhưng phải đảm bảo là nếu kiểm tra bất kì một bạn nào thì bạn phải hiểu được bài tập đó. - Với bài tập nâng cao thì giáo viên nên đưa ra và hướng dẫn cho các em về nhà tự nghiên cứu, không giải ngay tại lớp kể cả các bài tập do các em đưa ra, nhưng bài tập phải phù hợp với nội dụng mà các em đang học và nằm trong khả năng của các em. - Trong các đề kiểm tra nên có 40% là trắc nghiệm và 60% là tự luận (nên cho cho tự luận để biết được khả năng vận dụng kiến thức, cách trình bày và lập luận của các em) - Khuyến khích tinh thần học tập của các em bằng cách tạo cơ hội cho các em lấy điểm trong các giờ giải bài tập.. 3.6 Kết quả thử nghiệm Trong quá trình thực hiện áp dụng đề tài này chúng tôi tiến hành khảo sát câu hỏi dạng trắc nghiệm và tự luận với nội dung kiến thức nói về việc “Bồi dưỡng năng lực giải các bài toán về: Phép nhân và chia đa thức” tại điểm trường THCS Mỹ Tú của tỉnh Sóc Trăng với ba lớp, tổng số 68 học sinh đạt được kết quả như sau::.

(101) * Kết quả khảo sát: Lớp. Số. Điểm. HS. 10. 9. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1. 8A1. 34. 3. 4. 6. 6. 5. 10. 0. 0. 0. 0. 8A2. 34. 2. 3. 7. 8. 7. 7. 0. 0. 0. 0. Tổng. 68. 5. 7. 13 14. 12 17. 0. 0. 0. 0. Qua bảng khảo sat cho thấy số học sinh sau khi được bồi dưỡng thì không có em nào bị điểm dưới trung bình, số điểm cao không nhiều nhưng đa số đều đạt từ trung bình trở lên.. Phần III: PHẦN KẾT LUẬN Đề tài “Bồi dưỡng năng lực giải các bài toán về “Phép nhân và chia đa thức” nhằm giúp các em có cơ sở tự rèn luyện. Những biện pháp đưa ra không phải bất kì em học sinh nào cũng áp dụng được. Vì tính cách và trình độ của mỗi em khác nhau. Vì vậy theo chúng em đối với học sinh THCS, lớp học thường là một lớp đại trà có em giỏi và cũng có em không giỏi, cho nên vấn đề áp dụng các biện pháp cần có sự.

(102) lựa chọn và kết hợp giữa các biện pháp một cách thích hợp. Và quan trọng hơn là các em tự lựa chọn biện pháp phù hợp với mình. Chính vì lẽ đó với đề tài này chúng tôi chỉ mong muốn làm được cái gì đó để góp phần giúp học sinh lẫn giáo viên THCS Mỹ Tú có phương pháp giải toán một cách sáng tạo. Riêng đối với học sinh, chúng tôi còn mong muốn rằng: “Bồi dưỡng năng lực giải các bài toán về “Phép nhân và chia đa thức” sẽ là nền tảng vững chắc để các em học tốt ở các lớp sau. Vì vậy để dạy tốt nâng cao chất lượng dạy học "Bồi dưỡng năng lực giải các bài toán về " Phép nhân và chia đa thức "giáo viên cần phải kết hợp các phương pháp dạy học tích cực để tạo ra tình huống sự phạm, bài toán nhận thức hay nhất, nhằm tích cực hóa hoạt động giải toán của học sinh. Qua việc nghiên cứu đề tài chúng tôi nhận thấy giải được một bài toán đã khó và hướng dẫn học sinh tìm ra lời giải còn khó hơn. Chính vì vậy, bản thân mỗi chúng tôi cần rèn luyện nhiều hơn về trình độ cũng như năng lực truyền thụ. Trong điều kiện áp dụng đề tài trong quá trình giảng dạy chúng tôi nhận thấy còn một số hạn chế nên việc áp dụng các biện pháp chưa có hiệu quả cao, có thể có những biện pháp không phù hợp với học sinh THCS vấn đề này chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu và khắc phục.. PHIẾU LẤY Ý KIẾN CỦA GIÁO VIÊN Nhằm tìm hiểu về việc bồi dưỡng năng lực giải bài toán cho HS ở trường THCS, đây cũng là đề tài nghiên cứu tốt nghiệp đại học của nhóm chúng tôi, mong quý thầy (cô) giúp đỡ chúng tôi bằng cách trả lời các câu hỏi dưới đây theo quan điểm của mình, chúng tôi xin chân thành cảm ơn. 1. Theo thầy (cô) có cần thiết bồi dưỡng cho học sinh không?.

(103) a. Cần thiết. b. Không cần thiết. c. Rất cần thiết. d. Ý kiến khác. 2. Khi bồi dưỡng cho học sinh thì thầy (cô) bồi dưỡng trong những nội dung nào? a. Trong giải bài tập.. b. Trong dạy kiến thức mới.. c. Trong phương pháp giải. d. Cả 3 ý trên. 3. Thầy (cô) gặp khó khăn gì khi bồi dưỡng giải bài tập cho học sinh? a. Không đủ thời gian. b. Học sinh học không đồng đều. c. Do chương trình dài. d. Học sinh tính toán còn kém. 4. Theo thầy (cô) hệ thống các bài tập trong SGK có đáp ứng được việc bồi dưỡng năng lực giải bài tập cho học sinh không? a. Có. b. Không. c. Chưa đủ. d. Ý kiến khác. 5. Theo thầy (cô) những tài liệu nào sẽ giúp ích cho thầy (cô) khi bồi dưỡng năng lực cho học sinh? a. Sách tham khảo. b. Sách bài tập. c. Sách cơ bản và nâng cao. d. Sách rèn luyện kĩ năng giải toán. 6. Theo thầy (cô) có nên bồi dưỡng năng lực đối với học sinh thầy (cô) không? a. Có. b. Không. c. Cần thiết. d. Ý kiến khác. 7. Hệ thống các dạng bài tập trong sách bài tập bồi dưỡng năng lực theo thầy (cô) có đầy đủ chưa? a. Đầy đủ. b. Không đầy đủ. c. Qua loa. d. Ý kiến khác. 8. Biện pháp bồi dưỡng năng lực trong giải bài tập theo (cô) có đầy đủ chưa? a. Đầy đủ. b. Không đầy đủ. c. Qua loa. d. Ý kiến khác. 9. Theo thầy (cô) trong các biện pháp bồi dưỡng năng lực sau biện pháp nào thầy (cô) cho là phù hợp với học sinh?.

(104) a. Quan tâm những sai lầm của học sinh và cách khắc phục b. Tập cho HS vận dụng các thao tác khái quát hóa, đặt biệt hóa, tương tự. c. Tập cho học sinh nhìn vấn đề dưới nhiều góc độ khác nhau d. Ý kiến khác 10. Thầy (cô) thường dùng các phương pháp suy luận nào trong giải toán? a. Phân tích và tổng hợp. b. Quy nạp. c. So sánh. d. Tương tự. 11. Theo thầy (cô) có nên quan tâm đến sai lầm của học sinh trong giải toán không? a. Có. b. Không. c. Rất cần thiết. d. Ý kiến khác. 12. Khả năng phân tích, bồi dưỡng năng lực giải toán của thầy (cô) như thế nào? a. Hạn chế. b. Tương đối. c. Phù hợp. d. Tốt. 13. Thầy (cô) có thường hướng dẫn học sinh giải toán bằng nhiều cách khác nhau và lựa chọn cách giải tối ưu không? a. Có. b. Không. c. Rất cần thiết. d. Ý kiến khác. 14.Trong giảng dạy thầy (cô) có chú trọng đến việc đặt câu hỏi gợi ý hướng dẫn học sinh giải bài không? a. Có. b. Không. c. Rất ít. d. Ý kiến khác. 15. Trong giảng dạy theo thầy (cô) có nên tập cho học sinh biết giải quyết vấn đề bằng nhiều cách khác nhau và lựa chọn cách giải tối ưu nhất không? a. Có. b. Không. c. Đôi khi nên tập. d. Ý kiến khác. 16. Theo thầy (cô) khi giải bài tập ta có nên tập cho học sinh biết vận dụng lý thuyết vào thực tiễn, hệ thống hóa kiến thức? a. Có. b. Không. c. Rất cần thiết. d. Ý kiến khác.

(105) 17. Trong giảng dạy theo thầy (cô) để bồi dưỡng cho học sinh những năng lực cơ bản thì phải làm gì? a. Tích cực gọi HS lên bảng b. Yêu cầu HS trật tự, yên lặng trong giờ học c. Yêu cầu HS ghi chép bài một cách cẩn thận d. Ý kiến khác 18. Theo thầy (cô) yêu cầu nào là cơ bản đối với người giáo viên trong bồi dưỡng cho học sinh những năng lực? a. Phải có cách truyền thụ tốt. b. Biết hướng dẫn học sinh giải quyết vấn đề. c. Dạy học phải sát đối tượng. d. Ý kiến khác. 19. Theo thầy (cô) hoạt động nào là bồi dưỡng năng lực cho học sinh? a. Dùng máy chiếu thay cho viết bảng. b. Tổ chức cho HS hoạt động nhóm. c. Hướng dẫn HS từng bước giải quyết vấn đề. d. Tích cực gọi HS lên bảng. 20. Theo thầy (cô) bồi dưỡng năng lực cho học sinh có cần chú trọng câu hỏi gợi ý hướng dẫn HS giải bài tập không? a. Có. b. Không. c. Rất quan trọng. d. Ý kiến khác. ĐỀ KIỂM TRA I/ PHẦN TRẮC NGHIỆM: ( Khoanh tròn câu trả lời đúng nhất) 2 2 2 2 Câu 1: Kết quả của phép tính 20a b c : (5ab c ) là 2 A.4abc B. 20ac C. 20ac. 2 D. 4ac.

(106) 1 ( x  y)2 Câu 2: Kết quả của phép tính 2 là 1 2 1 2 1 2 x  y2 x  2 xy  y 2 x  xy  y 2 A. 4 B. 4 C. 4. 1 2 x  2 xy  y 2 D. 2. 3 Câu 3: Kết quả của phép tính (2a  b) là 3 3 3 2 2 3 A. 8a  b B. 2a  3a b  3ab  b 3 2 2 3 3 2 2 3 C. 8a  12a b  6ab  b D. 8a  12a b  6ab  b 2. Câu 4: Kết quả của phép tính (3x  12) : ( x  2) là A. 3( x  2) B. 3( x  2) C. x  2 2 3 Câu 5: Giá trị của biểu thức P  3a b tại a  1, b 1 là A.3 B.-3 C. -18 4 Câu 6: Kết quả của phép phân tích đa thức x  x thành nhân tử là 3 A. x(1  x ). D. x  2 D. 18. 2 B. x(1  x)(1  x  x ). 2 2 C. x(1  x)(1  x  x ) D. x(1  x)(1  x  x ) 2 Câu 7: Tập hợp các giá trị của x để 5 x 2 x là. 2   B.  5 . 0. 5   C.  2 . A.   Câu 8: Điền đa thức thích hợp vào chổ chấm(…).  2 0;  D.  5 . n3  n (...)( x 2  x  1) x3  3 x 2  3 x  2. II/ TỰ LUẬN(6 điểm) Câu 1: Làm các phép tính sau:. a )(2 x  1)(3 x  1)  (6 x  1)( x  1). b)(3 x3  3 x 2  1) : (3 x  1) c)(a  1)( a 2  a  1)  ( a  1)(a  1). Câu 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a )4ab  a 2  3a  12b b) x 3  3x 2  3 x  1  27 y 3 3 Câu 3: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên lẻ n thì n  n luôn chia hết cho 24. TÀI LIỆU THAM KHẢO ***.

(107) [1]. Nguyễn Ngọc Bảo - Hà Thị Đức - Giáo trình tâm lý học đại cương - giáo trình CĐSP. [2]. Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy - Phương pháp dạy học các nội dung môn toán, NXB giáo dục. [3]. Lê Thị Hương - Nguyễn Kiếm - Hồ Xuân Thắng - Những bài tập cơ bản và nâng cao chọn lọc lớp 8 tập I, NXB Đại học sư phạm. [4]. TS. Vũ Thế Hựu - Những bài toán cơ bản và nâng cao lớp 8, NXB giáo dục. [5]. Lê Văn Học - Giáo trình tâm lí học lứa tuổi và sư phạm - giáo trình CĐSP. [6]. TS. Nguyễn Văn Lộc - Những vấn đề cơ bản toán 8 NXB giáo dục. [7]. Nguyễn Đức Tấn - Giải bằng nhiều cách các bài toán lớp 8, NXB tổng hợp thành phố Hồ Chí Minh. [8]. Đỗ Đức Thái - Đỗ Thị Hồng Thúy - Bồi dưỡng toán 8, NXB giáo dục. [9]. Bộ giáo dục và đào tạo - Chuyên đề dạy học sinh tự lực tiếp cận kiến thức bộ môn Toán học. [10]. Bộ giáo dục và đào tạo - Chuyên đề đổi mới phương pháp dạy học môn toán ở THCS nhằm rèn luyện và năng cao kĩ năng giải toán cho học sinh. [11]. Bộ giáo dục và đào tạo: SGK và SBT toán 8 tập I , NXB giáo dục. .....................

(108)

Luan VanSKKN 18

Trích đoạn

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về