Bài tập lớn cơ học môi trường liên tục (2)

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Trần Văn Liên (2011), Cơ học môi
trường liên tục, NXB Xây dựng, Hà Nội
2. Lê Ngọc Hồng, Lê Ngọc Thạch (1997),
Cơ sở cơ học môi trường liên tục và lý
thuyết đàn hồi, NXB KHKT, Hà Nội.
3. Tô Văn Tấn (1991), Lý thuyết đàn hồi,
NXB KHKT, Hà Nội.
4. Đào Huy Bích (1979), Lý thuyết đàn
hồi, NXB ĐH và THCN, Hà Nội.
5. Nhữ Phương Mai, Nguyễn Nhật Thăng
(2003), Bài tập đàn hồi ứng dụng, NXB
Giáo dục, Hà Nội.
6. Mase G.E. (1970), Theory and
problems of continuum mechanics,
McGraw – Hill.


CHƯƠNG MỞ ĐẦU
0.1. Khái niệm về Cơ học môi trường liên tục (CHMTLT)
0.1.1. Đối tượng, mục đích, phạm vi
-

Đối tượng: vật thể hữu hạn (vĩ mơ) có cấu tạo vật chất liên tục và khoảng
cách giữa các điểm thay đổi, gọi là môi trường liên tục (MTLT), “continuum”
hay vật thể (mơi trường) có biến dạng: CT nhà, cầu, đường, máy móc, dịng
sơng, khí quyển, đại dương,... thuộc lĩnh vực XD, GT, thủy lợi, mơi trường, máy,...

Mục đích: thiết lập các tính chất, quy luật cân bằng/chuyển động (Cơ học).
Phạm vi: mở rộng Cơ học lý thuyết cho vật thể có biến dạng gồm đàn hồi,
dẻo, chất lỏng-khí, thủy lực, SBVL, CHKC, cơ học đất,...

+Cơ học lượng tử (vi mô) là cơ học của các nguyên tử, hạt quark,...(< 10−10 m)
+Cơ học vĩ mơ (vật thể hữu hạn: nhìn thấy, quan sát được) gồm:
Cơ học vật rắn (tuyệt đối) là Cơ học của vật thể KHÔNG biến dạng
CHMTLT là Cơ học của vật thể CÓ biến dạng:
Cơ học vật rắn biến dạng: đàn hồi, dẻo, từ biến, phá hủy,...
Cơ học chất lỏng, chất khí: lý tưởng, Newton,..
Cơ học cho mơi trường plasma (dạng vật chất thứ tư)
+Cơ học vũ trụ (năm ánh sáng): lý thuyết dây, vụ nổ Big Bang, dãn nở vũ trụ,...
-


CHƯƠNG MỞ ĐẦU
Cơ học vật rắn biến dạng gồm:
Lý thuyết đàn hồi:
Phân theo quan hệ vật lý: Tuyến tính/Phi tuyến
Phân theo dạng kết cấu: Thanh, tấm, vỏ, khối
SBVL, CHKC: kết cấu hệ thanh tuyến tính
Lý thuyết dẻo: đàn dẻo, chảy dẻo,...(nhiều lý thuyết)
Lý thuyết từ biến: già, tái bền, di truyền,...(nhiều lý thuyết)
Lý thuyết phá hủy: tuyến tính, phi tuyến,...(nhiều lý thuyết)

0.1.2. Cách tiếp cận, phương pháp, nội dung
- Cách tiếp cận từ tổng quát đến cụ thể (trừu tượng) ≠ cách tiếp cận
SBVL là từ cụ thể kết cấu hệ thanh làm việc đàn hồi tuyến tính ->
các giả thiết SBVL làm đơn giản hóa tính tốn (kỹ thuật)
- Phương pháp nghiên cứu lý thuyết: cơng cụ tốn học mạnh, tổng
quát, suy luận logic -> khó hiểu nhưng SV có cái nhìn tổng qt
- Nội dung: nghiên cứu tính chất cơ học của MTLT (ứng suất, biến
dạng, chuyển vị) khi chịu tác dụng của các lực ngoài

CHƯƠNG MỞ ĐẦU
0.2. Các giả thiết cơ bản
0.2.1. Quan điểm vĩ mô
- Vật chất cấu tạo từ các nguyên tử, phân tử: có thể dùng Cơ học lượng tử,
động lực học phân tử,... nhưng phức tạp
- Quan điểm vĩ mô: chỉ chú ý đến các quá trình, các hiệu ứng và các tính chất
quan trọng đối với vật thể vĩ mô (hữu hạn) mà ta quan sát, sử dụng được
0.2.2. Các giả thiết của CHMTLT
- Môi trường là liên tục: môi trường chiếm chỗ không gian một cách liên tục
(vật chất lấp đầy không gian vật thể chiếm chỗ) --> dùng phép tính vi phân
- Khơng gian Euclide 3 chiều: xây dựng được một hệ tọa độ Descartes duy
nhất cho mọi điểm không gian. Phân biệt điểm không gian và điểm vật chất:
+ “Điểm” chỉ vị trí trong khơng gian cố định
+ “Phần tử”, “chất điểm” hay “hạt” để chỉ vật chất chứa trong thể tích vơ
cùng bé của mơi trường liên tục
- Thời gian tuyệt đối, lý tưởng, trôi qua như nhau đối với mọi người quan sát
trong các hệ quy chiếu qn tính tách biến khơng gian và thời gian

→ CHMTLT là cơ học Newton cho vật thể có biến dạng


CHƯƠNG 1: KHÁI NIỆM VỀ TEN XƠ
1.1. Khái niệm vô hướng, véc tơ và ten xơ

- Vô hướng: được đặc trưng bằng một con số theo một đơn vị đo đã chọn
như nhiệt độ, khối lượng, tỷ khối, năng lượng, độ ẩm,...
- Véc tơ: được đặc trưng không những bằng con số chỉ số đo của nó theo
một đơn vị đo xác định, mà cịn bằng hướng của nó trong không gian
như chuyển vị của chất điểm, vận tốc, gia tốc, lực,...

- Ten xơ: đặc trưng cho trạng thái của vật thể như trạng thái biến dạng,
trạng thái ứng suất của môi trường liên tục, sự phân bố các mômen
quán tính đối với các trục khác nhau đi qua điểm nào đó của vật thể rắn,
năng xung lượng của trường điện từ, độ cong của mỗi điểm trong không
gian phi Euclide,...:
+ Ten xơ là đại lượng bao hàm cả các đại lượng vô hướng và véc tơ.
+ Ten xơ không phụ thuộc vào cách chọn hệ tọa độ dùng để mô tả
+ Các qui luật vật lý và cơ học thường được biểu diễn dưới dạng các hệ
thức ten xơ, cho phép ta thiết lập các quy luật bất biến
+ Ten xơ được dùng hiệu quả trong cơ học và vật lý (CHMTLT, LT
tương đối hẹp và rộng Enstein,...)


CHƯƠNG 1: KHÁI NIỆM VỀ TEN XƠ
∂ϕ  ∂ϕ 
∂ϕ 
1.2. Trường vô hướng
e +
e +
e
∂x
∂x
∂x
 gradϕ
- Gradient: φ ( x1 , x2 , x3 , t ) = const; gradφ =∇φ =∂φ e1 + ∂φ e2 + ∂φ e3 ; ν = gradϕ =  ∂ϕ   ∂ϕ   ∂ϕ 
∂x1
∂x2
∂x3



 + 
 + 
2
2
2
x
x
x
∂
∂
∂






- Toán tử Laplace ∆ ∆ϕ = ∂ ϕ + ∂ ϕ + ∂ ϕ = 0
∂x12 ∂x22 ∂x32
- PT điều hòa
∂
∂
∂  ∂ ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ 

=0
∆ ϕ = 
+
+
+
+

- PT song điều hòa:
∂x
∂x  ∂x
∂x
∂x 
 ∂x
 ±1  ±1 
±1 
- Mặt phẳng nghiêng đều 3 trục ( a = b = c ) ν = 3 e + 3 e + 3 e
1.3. Véc tơ và trường véc tơ
1.3.1. Phép tính véc tơ: tổng, hiệu, tích vơ hướng, tích véc tơ, tích hỗn hợp
1.3.2. Biến đổi các
thành
phần véc tơ khi quay trục
 

1

1

2

3

2

1

2

2

2

2
1

2
2

2
3

2

2

2

2

2
1

2
2

2
3

1

cij = cos( xi′ , x j ) = cos(ei′ , e j ) = ei′e j


 e1′ 
 
e2′ 
e′ 
 3



 c11 c12 c13   e1 
 e1 
 

  
=
c
c
c
e
C
e2  ;



 21 22 23  2
e 

 c c c  e 
 31 32 33   3 
 3

 

cij′ = cos( xi , x ′j ) = cos(ei , e′j ) = ei e′j


 e1 
 
e2 
e 
 3

 cos θ

C =  − sin θ
 0


−1
=
C′ C=
CT



 c11′ c12′ c13′   e1′ 
 e1′ 

 
 
 ′
′ c23
′  e2′  C′ e2′ 
=
c
c
21
22


e′ 
 c′ c′ c′  e′ 
 31 32 33   3 
 3
3
3
  3 

′
′
ai = a.ei = a.∑ cij e j = ∑ cij a.e j =∑ cij a j
i =1

i =1

sin θ
cos θ
0

i =1

0

0
1 

2

3

3

2

2

2

3

2


CHƯƠNG 1: KHÁI NIỆM VỀ TEN XƠ
1.3.3. Trường véc tơ
- Đive (phân kỳ) div(a ) = ∇.a = ∂∂ax

∂a 2 ∂a3

+
∂x 2 ∂x3
1



 e1
e2
e3 




∂
∂
∂   ∂a3 ∂a 2    ∂a1 ∂a3    ∂a 2 ∂a1  

e + 
e + 
e
rot (a ) = ∇ × a = det
=
−
−
−
 ∂x1 ∂x 2 ∂x3   ∂x 2 ∂x3  1  ∂x3 ∂x1  2  ∂x1 ∂x 2  3
a
a3 
a2
 1

1

-

Rơta (xốy)

+

1.4. Ten xơ trong hệ tọa độ Descartes
1.4.1. Hệ thống phần tử. Quy tắc chỉ số Einstein
- Hệ thống hạng 1 có 3 phần tử: a1 , a2 , a3
- Hệ thống hạng 2 có 9 phần tử: a11 , a12 , a13 , a21 , a22 , a23 , a31 , a32 , a33
- Quy tắc chỉ số Einstein: trong một đơn thức
+ Chỉ số tự do: chỉ số lặp lại 1 lần:
3
ai bi = a1b1 + a 2 b2 + a3 b3 = ∑ ai bi
+ Phép lấy tổng: chỉ số lặp lại 2 lần
i =1
- Hệ thống đối xứng: aij = aji . Phản xứng: aij = -aji
1.4.2. Định nghĩa ten xơ
- Ten xơ hạng 0: không thay đổi khi biến đổi trục tọa độ: khối lượng, nhiệt độ
- Ten xơ hạng 1: thay đổi theo quy luật ai′ = cij a j . Véc tơ là ten xơ hạng 1 và
ngược lại ten xơ hạng 1 được xem là các véc tơ


CHƯƠNG 1: KHÁI NIỆM VỀ TEN XƠ
Ten xơ hạng 2: thay đổi theo luật aij′ = cik c jl akl. Ten xơ hạng 2 có thể viết dưới
dạng ma trận nhưng không phải mọi ma trận đều là ten xơ: ( aij′ ) = C ( aij ) C T
1.4.4. Các phép tính đại số ten xơ
- Tổng các ten xơ cùng hạng: cijk=aijk±bijk - Phép cuộn các ten xơ: cij= aikjk

- Phép nhân các ten xơ: cijklm=aijkblm
- Phép hoán vị chỉ số: bjki= aijk
1.4.5. Giá trị chính và phương chính của ten xơ hạng hai đối xứng
- Phương chính: véc tơ aijνj đồng phương νi: (aij − aδ ij )ν j = 0 , a là giá trị chính
- Phương trình đặc trưng (có 3 cách giải):
a13 
 a11 − a a12
-

I1 (aij ) = aii = a11 + a22 + a33

I 2 (aij ) = a11a 22 + a 22 a33 + a33 a11 − a122 − a 232 − a312

I 3 (aij ) = det (aij ) = a11a 22 a33 + 2a12 a 23 a31 − a11a 232 − a 22 a312 − a33 a122

- Nếu ten xơ hạng 2 là đối xứng thì ln
tồn tại 3 phương chính vng góc lẫn
nhau với 3 giá trị chính là các số thực
 a11

 a21
a
 31

a12
a22
a32

a13   a1
 

a23  ⇔  0
a33   0

0
a2
0

0

0
a3 


det (aij − aδ ij ) = det a21
 a
 31


a22 − a a23  = 0
a32 a33 − a 

a 3 − I1a 2 + I 2 a − I 3 = 0

2
π
1
2
 I1 ( aij )  − 3I 2 ( aij ) cos  ϑ − 
a1 =
I1 ( aij ) +


3
3 
3

2
1
2
π
 I1 ( aij )  − 3I 2 ( aij ) cos  ϑ + 
a2 =
I1 ( aij ) +


3
3
3

2
1
2
 I1 ( aij )  − 3I 2 ( aij ) cos ϑ
a3 =
I1 ( aij ) −

3
3 

27 I 3 ( aij ) + 2  I1 ( aij )  − 9 I1 ( aij ) I 2 ( aij ) 
π

cos 3ϑ =
; 0 ≤ϑ ≤ 
−
3
3
2

2  I1 ( aij )  − 3I 2 ( aij )
3

{

}


CHƯƠNG 1: KHÁI NIỆM VỀ TEN XƠ
Ví dụ: Xác định giá trị chính và phương chính của ten xơ hạng 2:
3
0 
4−a
Giải:

det ( aij − aδ ij ) = det  3
 0



2−a
0  = ( 6 − a ) ( 4 − a )( 2 − a ) − 32  = 0
0

6 − a 

Các giá trị chính: a1 = 3 + 10 ; a 2 = 6; a3 = 3 − 10
Phương chính với a1= 3 + 10 là hệ 4 phương trình có 3 ẩn:

(

 4 − 3 + 10


3



0




)

 4 3 0
(aij ) =  3 2 0 
 0 0 6



(

)

  4 − 3 + 10 ν + 3ν + 0ν =

0
2
3

 1

 ν 1  0 

 ν  0 
2 − 3 + 10
0
=
0




3ν 1 +  2 − 3 + 10 ν 2 + 0ν 3 =
 2
⇒


ν 3  0 

0ν + 0ν + 6 − 3 + 10 ν =
0
6 − 3 + 10 

0
2

 1

 3

ν 12 +ν 22 +ν 32 =
1
ν 12 +ν 22 +ν 32 =
1

3

(

0

)

(

(

)

)

(

)





Thu được: ν = ± ( 0.8112 0.5847 0 ) , chọn phương chính: ν = ( 0.8112 0.5847 0 ) .

v1   0.8112 0.5847 0 

Tương tự với 2 giá trị chính cịn lại.    

C = v 2  =  0
0
1
Ma trận các cô sin chỉ phương:
v   0.5847 − 0.8112 0 
3
  

Trong hệ tọa độ chính:

 3 + 10

(aij′ ) =  0

0




0
0 

=
và: aij′
6
0 

0 3 − 10 

( )

C=
( aij ) C T ; ( aij ) C T ( aij′ ) C


CHƯƠNG 2: TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG
2.1. Nghiên cứu chuyển động theo Lagrange và Euler
2.1.1. Hệ tọa độ đồng hành và hệ tọa độ quy chiếu

-

Hệ tọa độ đồng hành OX1X2X3 gắn chặt
với môi trường (tọa độ vật chất)






X  X 1 E1  X 2 E 2  X 3 E 3  X i E i

-

Hệ tọa độ quy chiếu ox1x2x3
(tọa độ không gian)






x  x1e1  x2 e2  x3e3  xi ei

Bài toán cơ bản của CHMTLT là xác định
xi  xi  X 1 , X 2 , X 3 , t  ; i  1,2,3
2.1.2. Chuyển vị
  


M 0 M  u  ui ei
u xX
2.1.3. Biến/quan điểm Lagrange: chọn X1, X2, X3 và thời gian t; dựa vào quỹ
đạo chuyển động của từng phần tử, từ đó nghiên cứu MTLT
2.1.4. Biến/quan điểm Euler: chọn x1, x2, x3 và thời gian t; dựa vào kết hợp
trường vận tốc, áp suất, nhiệt độ,.. tại điểm không gian để nghiên cứu MTLT


CHƯƠNG 2: TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG
Phân biệt quan điểm Lagrange và Euler

Lagrange – Nghiên cứu từng phần tử riêng biệt
của MTLT theo thời gian
-

Cần biết phương trình chuyển động từng
phần tử riêng biệt

-

Có rất nhiều phần tử phải xem xét

-

Mơi trường có biến dạng trong q trình

-

chuyển động

-

Thường dùng khi thiết lập các định luật vật lý

-

Hay dùng trong Cơ học vật rắn biến dạng

Euler – Nghiên cứu các đặc trưng của MTLT tại
1 điểm không gian
-

Kết hợp các trường vận tốc, áp suất, nhiệt độ,...

-

Phương trình chuyển động phức tạp hơn

-

Thuận tiện cho nghiên cứu thực nghiệm

-

Hay dùng trong Cơ học chất lỏng, chất khí


CHƯƠNG 2: TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG
2.1.5. Vận tốc, gia tốc chuyển động
-

 

 


dui x , t  ui x , t  ui x, t  
vi 


vk x , t 

dt
t
xk

Theo Euler
Toán tử đạo hàm vật chất: d      vk x, t 
dt

-



dui X , t
u i X , t
vi 

dt
t

dxi
v

 xi Theo Lagrange
Vận tốc: i
dt

t

xk

Gia tốc: đạo hàm vật chất của vận tốc chuyển động

Ví dụ 2.1.1: Cho phương trình chuyển động, tìm vận tốc, gia tốc













x1  X 1e t  X 3 e t  1 ; x2  X 2  X 3 e t  e t ; x3  X 3

Giải: Theo Lagrange









u1  x1  X 1  X 1 e t  1  X 3 e t  1 ; u 2  x2  X 2  X 3 e t  e t ; u3  x3  X 3  0
u

u
u
v1  1   X 1  X 3  et ; v2  2  X 3  et  e t  ; v3  3  0;
t
t
t

w1 

 2 u3
 2 u1
 2u2
t
t
t



X

X
e
;
w


X
e

e

;
w

0
1
3
2
3
3
t 2
t 2
t 2





Theo Euler: tìm hàm ngược X 1  x1e t  x3 e t  1 ; X 2  x2  x3 e t  e t  ; X 3  x3
Giải hệ



t

t



v1  x1e  x3 e  1  e







t

v

1



 0.v2  1  e





v2  e t  e t x3  0.v1  0.v2  e t  e t v3
v3  0









u1  x1  X 1  x1 1  e t  x3 1  e t ; u 2  x2  X 2  x3 e t  e t ; u3  x3  X 3  0
t

v

3







v1  x1  x3 ; v2  x3 e t  e t ; v3  0
w1  1.v1  0.v2  1.v3  x1  x3

w2  x3  et  e t   0.v1  0.v2   et  e t  .v3  x3  et  e t 
w3  0


CHƯƠNG 2: TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG
2.2. Ten xơ biến dạng trong hệ Descartes
2.2.1. Độ đobiến
tương đối
 dạng. Biến dạng dài
 
  X X
ds02  dX .dX 
.

dX i dX j
X i X j

Độ đo biến dạng ds 2  ds02
 x x X X
ds  ds  
.

.
 X k X l X k X l
2

2
0

  x x
ds 2  dx.dx 
.
dxi dx j
xi x j





 x x X X
2
2
.


.
 dX k dX l ; ds  ds0  
 x x x x

j
i
j
 i

Biến dạng dài tương đối

 


dxi dx j



ds  ds0
ds

1
ds0
ds0

2.2.2. Ten xơ biến dạng hữu hạn Green

 x x

 u

u
u u 
ds 2  ds02   i . i   kl dX k dX l   k  l  i . i dX k dX l  2Gkl dX k dX l
 X k X l

 X l X k X k X l 

2
2
2
u1 1  u1   u2   u3  
1  u1 u2  1  u1 u1 u2 u2 u3 u3 
G11 
 



 
 
  ; G12  
 

X 1 2  X 1   X 1   X 1  
2  X 2 X 1  2  X 1 X 2 X 1 X 2 X 1 X 2 


2
2
2
u2 1  u1   u2   u3  

1  u2 u3  1  u1 u1 u2 u2 u3 u3 
G22 
 



 

 
 
  ; G23  
X 2 2  X 2   X 2   X 2  
2  X 3 X 2  2  X 2 X 3 X 2 X 3 X 2 X 3 


2
2
2
u
u  1  u u1 u2 u2 u3 u3 
1  u   u   u  
1  u
G33  3   1    2    3   ; G31   3  1    1



X 3 2  X 3   X 3   X 3  
2  X 1 X 3  2  X 1 X 3 X 1 X 3 X 1 X 3 



Ý nghĩa: thành phần đường chéo: biến dạng dài theo các trục, thành phần
ngồi đường chéo: biến dạng góc giữa các trục


CHƯƠNG 2: TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG
2.2.3. Ten xơ biến dạng hữu hạn Almanxi


 u u j u k u k 
X k X k 
dxi dx j  2 Aij dxi dx j
ds 2  ds02    ij 
.
dxi dx j   i 

.


 x


x

x

x

x


x
i
j
j
i
i
j




2
2
2


u 1  u   u   u 
1  u u  1  u u u u u u 
A11  1   1    2    3   ; A12   1  2    1 1  2 2  3 3 
x1 2  x1   x1   x1  
2  x2 x1  2  x1 x2 x1 x2 x1 x2 



2
2
2
u2 1  u1   u2   u3  
1  u2 u3  1  u1 u1 u2 u2 u3 u3 
A22 

 



 

 
 
  ; A23  
x2 2  x2   x2   x2  
2  x3 x2  2  x2 x3 x2 x3 x2 x3 


2
2
2
u3 1  u1   u2   u3  
1  u1 u3  1  u1 u1 u2 u2 u3 u3 
A33 
 



 
 
  ; A31  
 

x3 2  x3   x3   x3  
2  x3 x1  2  x1 x3 x1 x3 x1 x3 




2.2.4. Ten xơ biến dạng bé Cauchy
Chuyển vị và đạo hàm của chuyển vị là bé
 không phân biệt biến Lagrange và Euler
  x j 



 ij 
X i
x j X i
x j
xi

Ten xơ biến dạng bé Cauchy
11 

u
u1
u
;  22  2 ;  33  3
x1
x2
x3

1  u u 
1  u u 
1  u u 

12   1  2  ;  23   2  3  ;  31   3  1 
2  x2 x1 
2  x3 x2 
2  x1 x3 

Độ dãn dài theo phương 
   ij i j  v1 v2

  11  12

v3   21  22

 31  32

 13  v1 
 
 23 v2 
 33 v3 


CHƯƠNG 2: TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG
Ten xơ quay

 u



u
1
j

ij  
 i 
2  X i X j 









phản xứng, có 3 thành phần độc lập


 



Chuyển vị của điểm u  du  u  r  dX   ij dX i e j
với r1  23 ; r2  31 ; r3  12
Ví dụ 2.2.1: Xác định ten xơ Green và Almanxi của ví dụ 2.1.1
Giải: Theo Lagrange









u1  x1  X 1  X 1 e t  1  X 3 e t  1 ; u 2  x2  X 2  X 3 e t  e t ; u3  x3  X 3  0

Ten xơ Green

Theo Euler:







 

 12 e 2t  1

Gij    0
 1 e 2t  e t
2





0
0
e t  e t

1
2



 
1
2

e
e




 et
t
1
 e t
2
2e 2t  2e t  1  e 2t
1
2



2t





e
e











u1  x1  X 1  x1 1  e t  x3 1  e t ; u 2  x2  X 2  x3 e t  e t ; u3  x3  X 3  0

Ten xơ Almanxi





 12 1  e 2t

Aij    0
 1 e t  e  2 t
2



 
1
2

Nếu bỏ qua thành phần phi tuyến
 et  1

Gij    0
 1 et  1
2



0
0
e t  e t

 
1
2

1
2



0
0
e t  e t

1
2

e


 

 ; A   

1
e t  e t
0



t

 
1
2




ij

t

 e 2t
t
1
 e t
2
1  2e  t  2e  2 t  e 2 t
1
2

1  e t
0
 1 1  e t
2





0
0
e t  e t

 
1
2










1  e  
e  e 
t

1
2



1
2

t

t

0





CHƯƠNG 2: TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG
2.3. Nghiên cứu trạng thái biến dạng tại một điểm của MTLT
2.3.1. Bất biến ten xơ biến dạng. Biến dạng chính. Phương chính

Áp dụng mục 1.4.6. tại mỗi điểm có 3 biến dạng chính và 3 phương chính
vng góc với nhau trước và sau biến dạng
Khi biến dạng bé: biến dạng chính là các giá trị cực trị của độ dãn dài
Biến dạng trung bình  tb  13 I1  ij   3
dV  dV0
Biến dạng thể tích

  11   22   33  I1  ij 
dV0
2.3.2. Ten xơ lệch và ten xơ cầu  ij   ijS   ijD

 

2.3.3. Cường độ biến dạng

S
ij

Cường độ biến dạng trượt


  tb

 0
 0


 

0

 tb
0

  ij   tb
0


0  ;  ijD    21
 
 tb 
31


 



 12
 13 

 ij   tb
 23 
 32
 ij   tb 

2 2 2 2
2
 11   22 2   22   33 2   33   11 2  6  122   232   312
 1   2   3  2  I 2  ijD 

3
3

Cường độ biến dạng

u 


3



2
3

 

 I 2  ijD 

2
3



 11   22 2   22   33 2   33   11 2  6 122   232   312 

Biểu diễn ten xơ lệch qua cường độ và ten xơ chỉ hướng biến dạng
Ten xơ chỉ hướng
biến dạng

 11 

3
2

 ijD   u  ij

2 11   tb 
2 22   tb 
2 33   tb 
2
2
2
;  22 
;  33 
;  12  12 ;  23  23 ;  31  31
3 u
3 u
3 u
3 u
3 u
3 u


CHƯƠNG 2: TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG
2.4. Các phương trình tương thích biến dạng Saint - Venant
Có 3 thành phần chuyển vị, có 6 thành phần biến dạng -> các thành
phần biến dạng có quan hệ để xác định chuyển vị là đơn trị và liên tục
 2 ij

 2 jl
 2 kl
 2 ik



 0 với ijkl = 1122, 2233, 3311, 1213, 2123, 3132
xk xl xi x j x j xl xi xk

Mơi trường đơn liên: các pt tương thích là điều cần và đủ
Môi trường đa liên: bổ sung điều kiện tại các lát cắt


CHƯƠNG 3: TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT
3.1. Mật độ khối lượng. Ngoại lực
∆m dm
Mật độ khối lượng ρ = lim ∆V = dV 




∆Q dQ
∆Q dQ
K = lim
=
Lực khối
Lực thể tích F = lim ∆V = dV →
∆m dm



∆R dR
=
P = lim
Lực mặt
∆S dS
Lực tập trung
3.2. Trạng thái ứng suất
Nội lực: Lượng thay đổi lực liên kết giữa các phần tử vật chất
trong môi trường liên tục chịu tác động của các tác động ngoại
lực, thay đổi nhiệt độ, chuyển vị cưỡng bức,...
Trạng thái ban đầu (khi chưa có tác động bên ngồi) nội lực trong
mơi trường liên tục bằng khơng
3.2.1. Trạng thái ứng suất tại một điểm
Để làm xuất hiện và xác định nội lực trong MTLT, ta dùng phương
pháp mặt cắt. Xét môi trường liên tục nằm cân bằng dưới tác
động của một hệ ngoại lực đặt trên nó.
∆V →0

∆m→0

ν

∆S →0

∆V →0


CHƯƠNG 3: TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT
Ứng suất toàn phần




∆P dP
=
pν = lim
∆A→0 ∆A
dA







pν = pv1e1 + pv 2 e2 + pv 3 e3 = σ ν + σ ξη


Ứng suất pháp σ ν , có 1 thành phần
vng góc mặt phẳng S

Ứng suất tiếp σ ξη , có 2 thành phần
nằm trong mặt phẳng S
Nguyên lý Cauchy:

3.2.2. Ký hiệu và quy ước
dấu ứng suất
 σ 11 σ 12 σ 13 
Ký hiệu:
(σ ij ) = σ 21 σ 22 σ 23 

σ

Quy ước dấu:
 31 σ 32 σ 33 
• Nếu pháp tuyến của mặt cắt (chỉ số thứ nhất i)
hướng theo chiều dương của trục i tương ứng
và chiều của ứng suất (chỉ số thứ hai j) cũng hướng
theo chiều dương của trục j tương ứng
thì ứng suất đó là dương.


CHƯƠNG 3: TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT
Nếu pháp tuyến của mặt cắt (chỉ số thứ nhất i) hướng theo chiều âm của
trục i tương ứng và chiều của ứng suất (chỉ số thứ hai j) cũng hướng theo
chiều âm của trục j tương ứng thì ứng suất đó là dương.
• Các trường hợp khác với những điều nêu trên thì ứng suất là âm
3.3. Phương trình vi phân chuyển động
3.3.1. Phương trình Navier - Cauchy
•

 ∂ 2 u1 
∂σ 11 ∂σ 21 ∂σ 31
+
+
+ F1 = 0 ρ 2 
∂x1
∂x 2
∂x3
 ∂t 
 ∂ 2u2 

∂σ 12 ∂σ 22 ∂σ 32
+
+
+ F2 = 0 ρ 2 
∂x1
∂x 2
∂x3
 ∂t 

 ∂ 2u3 
∂σ 13 ∂σ 23 ∂σ 33
+
+
+ F3 = 0 ρ 2 
∂x1
∂x 2
∂x3
 ∂t 

3.3.2. Định lý đối ứng của
ứng suất tiếp: σ ij = σ ji


CHƯƠNG 3: TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT
3.3.3. Điều kiện cân bằng trên biên
σ 11ν 1 + σ 21ν 2 + σ 31v3 =
Pν 1

σ 12ν 1 + σ 22ν 2 + σ 32 v3 =
Pν 2

σ 13ν 1 + σ 23ν 2 + σ 33v3 =
Pν 3
Ví dụ 3.3.1: Cho trường ứng suất
 x12 x2

(σ ij ) =  1 − x22 x1

0


(

)

(1 − x )x
2
2

1

x23 − 3 x2
3
0

0 

kN
0 
 cm 2
2 x32 

xác định lực thể tích trong MTLT
Giải:

(

) [(

[(

) ]

) ]

 ∂ x12 x 2 ∂ 1 − x 22 x1 ∂(0) 
 ∂σ 11 ∂σ 12 ∂σ 13 
F1 = −
+
+
+
+
 = −
 = −(2 x1 x 2 − 2 x1 x 2 ) = 0
x
x
x
x
x
x
∂

∂
∂
∂
∂
∂
2
3 
1
2
3 
 1


 ∂ 1 − x 22 x1
 ∂σ 12 ∂σ 22 ∂σ 32 
∂  x 23 − 3x 2  ∂(0) 
2
2
F2 = −
+
+
+
 = −
 = − 1 − x2 + x2 − 1 = 0

+
∂x1
∂x 2  3  ∂x3 
∂x 2
∂x3 


 ∂x1

(

( )

 ∂(0) ∂ (0) ∂ 2 x32 
 ∂σ 13 ∂σ 23 ∂σ 33 
kN
+
+
F3 = −
+
+
 = −
 = −4 x3
∂x3 
∂x 2
∂x3 
cm 3
 ∂x1
 ∂x1 ∂x 2

)


CHƯƠNG 3: TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT
3.4. Ten xơ ứng suất
3.4.1. Ứng suất toàn phần

 pν 1   σ 11 σ 12 σ 13 ν 1 
 
  
=
p
σ
σ
σ
Tại các điểm trong môi trường  ν 2   21 22 23 ν 2 
 p  σ
 ν 3   31 σ 32

σ 33 ν 3 



=
σ
ν
p
e
hay ν
ij i j

Theo dấu hiệu ngược lại của ten xơ suy ra: Trạng thái ứng suất tại một điểm
bất kỳ của môi trường liên tục được đặc trưng bởi một ten xơ hạng hai đối xứng
có sáu thành phần độc lập gọi là ten xơ ứng suất.
3.4.2. Ứng suất pháp và ứng suất tiếp
 
 

σ ν = pν .ν = σ ikν i ekν j e j = σ ikν iν j δ kj = σ ijν iν j
Giá trị ứng suất pháp
Véc tơ ứng suất pháp
Ứng suất tiếp

ν 1 

 
 
σ ν = σ ν .ν = σ νν = σ ν ν 2 
ν 



 3
σ = p −σ


ξη

ν

ν

Ví dụ 3.4.1: Cho ten xơ ứng suất
Xác định ứng suất pháp, ứng suất tiếp
tại điểm A(1,3,2) trên mặt phẳng tiếp xúc
với mặt trụ có phương trình 2 x12 + x22 = 11

 x12 x2


(σ ij ) =  1 − x22 x1

0


(

)

(1 − x )x
2
2

1

x23 − 3 x2
3
0

0 

kN
0 
 cm 2
2 x32 


CHƯƠNG 3: TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT
Giải: Đặt ϕ = 2 x12 + x22 − 11

--> Phương trình mặt trụ: ϕ=0.
Pháp tuyến ngoài của mặt tiếp xúc tại A(1,3,2)
(4 x1 2 x2 0)
 gradϕ
(4 6 0) = (0.5547 0.8321
ν =
=
=
gradϕ
(4 x1 )2 + (2 x2 )2 + 0 (4)2 + (6)2 + 0
Ten xơ ứng suất
Ứng suất toàn phần

 3 − 8 0
(σ ij ) =  − 8 6 0  kN2
 0
 cm
0
8



 3 −8 0  0.5547  −4.9923

 
 kN


p
ν =

pν =
 0.5547  2 ;
 −8 6 0   0.8321 =
 0 0 8   0   0  cm


 


(− 4.9923)2 + (0.5547 )2 + 0 = 5.0230 kN

Ứng suất pháp

 −4.9923 
kN
σν = ( 0.5547 0.8321 0 )  0.5547  = −2.3077 2 ;
cm


0


−4.9923 −1.2801

 
 

σ ξη = pν − σν =  0.5547  − −1.9201=
 0   0 


 



Kiểm tra:
 

σ ν .σ ξη



−3.7122 

 kN
 2.4748  2 ;
 0  cm



− 3.1722


= (− 1.2801 − 1.9201 0 ) 2.4748  = 0
 0




hay

cm 2

 0.5547   − 1.2801

 
 kN
σ ν = −2.3077 ×  0.8321  =  − 1.9201 2
cm
 0  
0 

 



Ứng suất tiếp

0)





2

σ ξη =

(− 3.7122)2 + (2.4748)2 + 0 = 4.4615



(4.4615)2 + (− 2.3077 )2

σ ξη + σ ν

2

=

kN
cm 2

= 5.0230 kN cm 2


CHƯƠNG 3: TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT
3.5. Nghiên cứu trạng thái ứng suất tại một điểm
3.5.1. Bất biến của ten xơ ứng suất. Phương chính, Ứng suất chính
Do ứng suất là ten xơ hạng 2 đối xứng nên áp dụng mục 1.4.6: tại mỗi điểm
của vật thể biến dạng luôn tồn tại ba mặt phẳng trực giao lẫn nhau với pháp
tuyến hướng theo phương chính, gọi là các mặt chính, trên các mặt chính này
chỉ có ứng suất pháp là các ứng suất chính (USC), khơng có ứng suất tiếp
Theo số ứng suất chính khác khơng, chia ra:
- TTUS đơn: 1 USC≠0
- TTUS phẳng: 2 USC ≠0
- TTUS khối: 3 USC ≠0
3.5.2. Giá trị cực trị của
ứng suất tiếp
σ2 −σ3
τ 1 σ=

ξη max,1
τ2
τ3

2
σ 3 − σ1
σ=
ξη max,2
2
σ1 − σ 2
σ=
ξη max,3
2


CHƯƠNG 3: TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT
3.5.3. Biểu diễn bằng vòng trịn Mohr
 4 3 0
Ví dụ 3.5.1: Cho ten xơ ứng suất (σ ij ) =  3 2 0  kN
cm 2


Xác định US toàn phần, US pháp và
 0 0 6
ứng suất tiếp trên mặt cắt có pháp tuyến ν (1 2 ,0,1 2 )
trong hệ tọa độ chính. Xác định ứng suất tiếp chính
 3 + 10 0
0 

 kN

′
(σ ij ) =  0 6 0  2

 cm
−
0
0
3
10


 3 + 10 0
0  1 2   4.3574 


 
 kN
6
0  0 = 0  2
pν =  0

 
 − 0.1147 cm
0
0
3
10
1
2
−


 



Giải: Ten xơ US trong
hệ tọa độ chính
US tồn phần

Giá trị ứng suất pháp

Ứng suất tiếp



σ ξη

 1
σν = 
 2

0

 4.3574 
1 
kN

 0
 = 3 2 ,véc
cm

2 

−
0
.
1147



1 2   2.2361 
 4.3574 

 




 kN
= pν − σ ν =  0
 − 3. 0  =  0 
2
− 0.1147 
1 2  − 2.2361 cm




 

(

6 − 3 − 10

Ứng suất tiếp chính τ1 =

2

)=
3 + 10
;τ
2

(

2

tơ US

)

1 2 
 kN

 
pháp σ ν = σ ν .ν = 3. 0  cm 2
1 2 




3 − 10 − 3 + 10
3 + 10 − 6
10 − 3 kN
=
=
− 10 ; τ 3 =
=
2
2
2 cm 2