TOM TAT CONG THUC TOAN ON THI THPT QUOC GIA

“Phải cùng, trái trái”

TÓM TẮT CÔNG THỨC ÔN THI QUỐC GIA MÔN TOÁN

2.Dấu của tam thức bậc hai: f ( x )  ax 2  bx  c(a  0)
ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
I.Các hằng đẳng thức đáng nhớ:
2

2

1. (a  b)  a  2ab  b

2

3

3

0
2

2

4. (a  b)  a  3a b  3ab  b

3

2. (a  b)2  a2  2ab  b 2

5. (a  b)3  a3  3a2 b  3ab2  b3

3. a2  b 2  (a  b)(a  b)

6. a3  b3  (a  b)(a 2  ab  b 2 )

7. a3  b3  (a  b)(a2  ab  b 2 )

0

x
f ( x)



x




cùng dấu a



2

II.Phương trình bậc hai: ax  bx  c  0(a  0)
1.Công thức nghiệm của phương trình bậc hai:   b2  4ac
   0 : Phương trình vơ nghiệm.
b
   0 : Phương trình có nghiệm kép: x1  x 2  

2a
   0 : Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

0

f ( x)

cùng dấu a

x


cùng dấu a

f ( x)

b
2a
0

x1


cùng dấu a

x2

0

trái dấu a

0


cùng dấu a

“Trong trái, ngoài cùng”
3.Dấu của đa thức bậc  3: Bắt đầu từ ô bên phải cùng dấu với hệ số a
của số mũ cao nhất, qua nghiệm đơn đổi dấu, qua nghiệm kép không đổi
dấu.
IV.Điều
kiện để tam thức không đổi dấu trên  .
Nếu “b chẵn” (ví dụ b  4;2 3;2m; 2(m  1);... ) ta dùng công thức
Cho tam thức bậc hai: f ( x )  ax 2  bx  c (a  0)
nghiệm thu gọn.

b
a  0
a  0
 '  b '2  ac  b '  
f ( x )  0x    
f ( x )  0x    
2


  0
  0

b  
b  

x1 
; x2 
2a
2a
2.Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai:

 '  0 : Phương trình vơ nghiệm.



a  0
a  0
f ( x )  0x    
f ( x )  0x    
  0
  0
V.Phương trình và bất phương trình chứa trị tuyệt đối

b'
 '  0 : Phương trình có nghiệm kép: x1  x2  
a
 '  0 : Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:




x1 

A
1.Phương trình : A  

 A

b '  '
 b '  '
; x1 
a
a

2

của phương trình bậc 2: ax  bx  c  0

 x1  1
Nếu a  b  c  0 thì phương trình có nghiệm: 
x  c
 2 a



 x1  1
Nếu a  b  c  0 thì phương trình có nghiệm: 
x   c
 2
a

B  0

A  B   A  B
 A  B


A  B
A  B 
 A  B
2.Bất phương trình:






5.Dấu của nghiệm số: ax  bx  c  0(a  0)
Phương trình có 2 nghiệm trái dấu x1  0  x2  P  0



Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt 0  x1  x2


VI.Phương trình và bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai
1.Phương trình:

  0

 P  0
S  0




ax  b

trái dấu a

b
a
0



B  0
A B
2
 A  B

 A  0( B  0)
A B
A  B
2.Bất phương trình:


III.Dấu của đa thức:
1.Dấu của nhị thức bậc nhất: f ( x )  ax  b(a  0)



A  B  A2  B 2  A2  B2  0  ( A  B )( A  B )  0
A  B  A 2  B 2  A2  B 2  0

Phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt x1  x2  0

x

 A  B
A B
A  B

 A  B
A B
A  B

  0

 P  0
S  0




A  B
A B
 A  B

A  B
A B
 A  B

2



A0



x1 , x2 thì:



, khi



3.Định lí Viet: Nếu phương trình bậc 2 ax 2  bx  c  0 có 2 nghiệm


b
 S  x1  x2  
a  “Tổng bà, tích ca”

 P  x .x  c
1 2

a
4.Các trường hợp đặc biệt của phương trình bậc 2:

A0

 A  0


A  B
A  B  

 A  0
   A  B

 Chú ý: ax  bx  c  0  a( x  x1 )( x  x2 ) với x1, x2 là hai nghiệm
2

, khi


cùng dấu a
1




B  0

 A  0
AB

  B  0
  A  B 2

tan 2 a 

Hệ quả: sin x .cos x 

sin3a  3sin a  4sin 3 a;cos3a  4 cos3 a  3cos a
8.Công thức biến đổi tích thành tổng:

A  0

A  B  B  0
 A  B2


1
 cos(a  b)  cos(a  b)
2
1
sin a sin b   cos(a  b)  cos(a  b)
2
cos a cos b 

A  0

A  B  B  0
 A  B2



1
sin(a  b)  sin(a  b)
2
9.Công thức biến đổi tổng thành tích:
sin a cos b 

A  0
A B
A  B

ab
ab
cos
2
2
ab
ab
cos a  cos b  2sin
sin
2
2
ab
ab
sin a  sin b  2sin
cos
2
2
ab
ab
sin a  sin b  2 cos
sin
2
2
10.Cung liên kết: Sin – bù; cos – đối; phụ – chéo; hơn kém  - tan,
cot.
 Hai cung bù nhau:  và   

sin(   )
 sin 
cos(   )
  cos
tan(   )
  tan 
cot(   )
  cot 
cos a  cos b  2 cos

A  0
A B
A  B
VII. LƯỢNG GIÁC
1.Định nghĩa giá trị lượng giác:

sin   OK



Hai cung đối nhau:  và 
cos( )
 cos 
sin(  )
  sin 
tan( )
  tan 
cot(  )
  cot 



Hai cung phụ nhau:  và

cos  OH
tan   AT
cot   BS

2.Các công thức lượng giác cơ bản:
sin 
3)sin 2   cos2   1
cos
cos
1
2)cot  
4)1  tan2  
sin 
cos2 
3.Các giá trị lượng giác đặc biệt:
1)tan  

1
sin 2 x
2

6.Công thức hạ bậc:
1  cos 2 x
1  cos 2 x
1  cos 2 x
sin 2 x 

; cos 2 x 
; tan 2 x 
2
2
1  cos2 x
7.Công thức nhân ba:

B  0

 A  0
AB

  B  0
  A  B 2


2 tan a
1  tan 2 a

5)1  cot 2  

1
sin 2 


2






sin      cos
2



cos      sin 
2



6)tan  .cot   1





tan      cot 
2



cot      tan 
2

Hai cung hơn kém  :  và   

sin    

  sin 

cos    

  cos

tan    

 tan 

cot    

 cot 

Hệ quả:

4.Công thức cộng:
cos(a  b)  cos a cos b  sin a sin b ;sin(a  b)  sin a cos b  sin b cos a

tan( x  k )

 sin x

 sin x
 cos x

 cos x
 tan x

cot( x  k )

 cot x

sin( x  k )

cos(a  b)  cos a cos b  sin a sin b ;sin(a  b)  sin a cos b  sin b cos a
tan a  tan b
tan a  tan b
tan(a  b) 
;tan(a  b) 
1  tan a tan b
1  tan a tan b
5.Công thức nhân đôi:
sin 2 a  2sin a cos a

cos( x  k )

cos 2 a  cos2 a  sin 2 a  2 cos 2 a  1  1  2 sin 2 a

2

, k chẵ n
, k lẻ
, k chẵ n
, k lẻ

k 
k 
k 
k 



Hai cung hơn kém


2

:  và  



sin    
2



cos    
2



tan    
2




cos x  0  x 

 cos



tan x  0  x  k

  sin 



cot x  0  x  k

  cot 
  tan 

11.Công thức tính sin x ,cos x ,tan x theo tan

x
:
2







sin x  cos x  2 sin  x    2 cos  x  
4
4





1  sin2x   sin x  cos x 



sin 4 x  cos4 x  sin 2 x  cos2 x





a sin 2 x  b sin x  c  0
a cos2 x  b cos x  c  0
a tan 2 x  b tan x  c  0



2

Ngoại lệ:  cos  cos(   )
14. Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác: Là phương trình
có dạng

2



6

2





2

a cot 2 x  b cot x  c  0

1
 2sin 2 x cos2 x  1  sin 2 2 x
2
4

2

2

4

sin x  cos  sin x  cos x sin x  sin x cos x  cos x

 Đặt:



t  sin x  t  cos x   Điều kiện 1  t  1

3
 1  sin 2 2 x
4
13.Phương trình lượng giác cơ bản

u  v  k 2
sin u  sin v  
u    v  k 2

u  v  k 2
cos u  cos v  
u  v  k 2

2

 cot   cot( )





sin x  cos x  2 sin  x     2 cos  x  
4
4


2
cot x  tan x 
s in2x

cot x  tan x  2cot 2 x

6

2




cot   tan    
2

c) Cách loại dấu trừ:
 sin   sin( )
 tan   tan( )

2t
1  t2
2t
x
thì: sin x 
;cos x 
tan x 
2
2
1 t
1  t2
1  t2
12.Một số công thức khác:
Nếu đặt t  tan







sin   cos    
2




cos  sin    
2



tan   cot    
2



“Sin góc lớn = cos góc nhỏ - Cos góc lớn = trừ sin góc nhỏ”



 k

2

b) Cách chuyển hàm:



cot    
2








2

t  tan x  t  cot x   Khơng có điều kiện t.

u  arcsin a  k 2
sin u  a  
u    arcsin a  k 2
Đặc biệt:

sin u  1  u   k 2
2
sin u  0  u  k

sin u  1  u    k 2
2





Phương trình có chứa cả tan x và cot x : Điều kiện x  k

a 2  b 2 ta được:

Chia 2 vế của phương trình cho

a
a2  b2

sin x 


a
Vì 
2
2
 a b

b
a 2  b2

c

cos x 

2

a 2  b2

2

 
b
  
2
2
  a b


  1 nên tồn tại 1 cung  sao cho



a
 cos 
2

a  b2
.

b
sin  

a2  b2


Khi đó phương trình trở thành:

tan u  tan v  u  v  k
tan u  a  u  arctan a  k
cot u  cot v  u  v  k
cot u  a  u  arccot a  k
Lưu ý:
a) Khi giải phương trình lượng giác ta phải đặt điều kiện nếu gặp
một trong hai trường hợp sau:
TH1: Phương trình có chứa hàm số tang hoặc cotang (trừ phương
trình bậc nhất và bậc hai theo 1 hàm số tang hoặc cotang)


Phương trình có chứa tan x : Điều kiện x   k
2
Phương trình có chứa cot x : Điều kiện x  k

2

 cos2 x  2cos2 x  1  1  2sin2 x
15. Phương trình bậc nhất đối vối sinx và cosx : Là phương trình có
dạng a sin x  b cos x  c .

u  arccos a  k 2
cos u  a  
u   arccos a  k 2
Đặc biệt:
cos u  1  u  k 2

cos u  0  u   k

2
cos u  1  u    k 2



Các công thức cần nhớ:
2
2
sin x  1  cos x
sin x  cos x  1   2
2
cos x  1  sin x
2

c

sin x.cos  sin  .cos x 

2

a b

2

 sin( x   ) 

c
2

a  b2

c
 1  a2  b2  c2
a2  b2
 Công thức cần nhớ: sin  cos   sin  cos  sin(   )
16.Phương trình thuần nhất bậc hai: là phương trình có dạng


Điều kiện có nghiệm:

a sin2 x  b sin x.cos x  c cos2 x  0 (*)



TH1: cos x  0  x 

2

TH2: Phương trình có chứa ẩn ở mẫu  Điều kiện: mẫu  0
sin x  0  x  k



2

 k

sin

2



x  1 thế vào (*)

TH2: cos x  0 . Chia 2 vế (*) cho cos2 x ta được phương trình bậc 2
theo tan x
3


Lưu ý: Phương trình a sin2 x  b sin x.cos x  c cos2 x  d với d  0
có thể đưa về dạng (*) bằng cách:



Đối với hàm phân thức y 

a sin2 x  b sin x.cos x  c cos2 x  d
 a sin2 x  b sin x.cos x  c cos2 x  d (sin2 x  cos2 x )

y' 

17. Phương trình đối xứng và phản xứng : là phương trình có dạng
a(sin x  cos x )  b sin x cos x  c  0





t  sin x  cos x  2 sin  x    Điều kiện  2  t  2

4

t2  1
2

 sin x cos x 

 sin x cos x 

1  t2
2
(ku)'  k .u '

( x )'  1

'

'

 u  v   u ' v '

 uv   u ' v  uv '

'

 u  u ' v  uv '
  
v2
v

'

 uvw   u ' vw  uv ' w  uvw '

( x n )'  n.x n 1

(u n )'  n.u n 1.u '

'



Vẽ đồ thị:

 1
1
    2 .v '
v
v
'
u'
u 
2 u

 

 

(sin u)'  cos u.u '

(sin x )'  cos x
(cos x )   sin x
(tan x )'  1  tan 2 x 

1
cos2 x

(cot x )'  (1  cot 2 x )  

1
sin 2 x

(tan u)'  (1  tan 2 u).u ' 
(cot u)'  

(eu )'  eu .u '

(a x )'  a x .ln a

(au )'  a u .ln a.u '

1
(ln x ) 
x

1
(ln u)  .u '
u

(log a x )' 

1
.u '
cos2 u

1
.u '  (1  cot 2 u).u '
sin 2 u

(e x )'  e x

'

Các dạng đồ thị của hàm số bậc bốn trùng phương
y  ax 4  bx 2  c(a  0)

a0

(log a u)' 

1
.u '
u ln a

a b
'
 ax  b 
c d
ad  cb



 
2
(cx  d )2
 cx  d  (cx  d )

y'  0
có 1
nghiệm
duy
nhất

a b 2
a c
b c
x 2
x
'
 ax 2  bx  c 
a' b'
a' c'
b' c'

 
2
(a ' x 2  b ' x  c ')2
 a' x  b' x  c' 

“anh bạn ăn cơm bằng chén”
IX.Các dạng toán về hàm số:

1.Các bước chung khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:(6 dấu *)

Tập xác định:
ax  b

Giới hạn (và tiệm cận đối với hàm phân thức y 
)
cx  d


a0

y'  0
có 3
nghiệm
phân
biệt

'

1
x ln a

a0

y'  0
vơ
nghiệm

(cos u)'   sin u.u '

'

a0

y'  0
có
nghiệm
kép

'

1
1
   2
x
x
'
1
x 
2 x

ad  bc
 0 (hoặc  0 ) x  D
(cx  d )2



Số
nghiệm

của
phương
trình
y'  0
y'  0
có 2
nghiệm
phân
biệt

VIII.Cơng thức tính đạo hàm:
(c )'  0



Các dạng đồ thị của hàm số bậc ba y  ax 3  bx 2  cx  d (a  0)



t  sin x  cos x  2 sin  x    Điều kiện  2  t  2
4




(cx  d )2

Bảng biến thiên:
Nhận xét về chiều biến thiên và cực trị.
Bảng giá trị:(5 điểm đối với hàm bậc 3, bậc 4; 6 điểm đối với

ax  b
hàm phân thức y 
)
cx  d

 Đặt :


a b
c d

ax  b
:
cx  d

Các dạng đồ thị của hàm số phân thức y 
y'  0

ax  b
(c  0, ad  bc  0)
cx  d

y'  0

Đạo hàm: y '


Đối với hàm bậc 3, bậc 4: Giải phương trình y '  0
tìm nghiệm.

2.Tìm điều kiện của tham số m để hàm số đơn điệu trên từng khoảng
xác định:
4


a.Hàm bậc 3: y  ax 3  bx 2  cx  d

xi  [a; b](i  1,2,3...)

Tập xác định D   .

 Tính y ( a ) , y ( b ) , y( xi )
 So sánh và kết luận.
b.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f ( x ) trên 1

Đạo hàm y '  3ax 2  2bx  c là 1 tam thức bậc 2.



 y'  0
Hàm số đồng biến trên   y '  0, x    
 ay '  0




 y'  0
Hàm số nghịch biến trên   y '  0, x    
 ay '  0

b.Hàm nhất biến: y 

khoảng hoặc nửa khoảng (a; b),(a;  ),(; b),[a; b),(a; b] …
 Tìm tập xác định.
 Tính đạo hàm y '
 Lập bảng biến thiên
 Dựa vào bảng biến thiên, so sánh và kết luận.
5.Tìm giao điểm của hai đường.
 Cho hai đồ thị (C1 ) : y  f1 ( x ) và (C2 ) : y  f2 ( x ) .

ax  b
cx  d



 d
Tập xác định D   \  
 c
Đạo hàm y ' 

f1 ( x )  f2 ( x ) (*)
Giải phương trình (*) ta được hoành độ giao điểm, thế vào
1 trong 2 hàm số y  f1 ( x ) hoặc y  f2 ( x ) được tung độ
giao điểm.
6.Tìm điều kiện của tham số m để hai đường cong cắt nhau với số điểm
cho trước.
 Cho hai đồ thị (C1 ) : y  f1 ( x ) và (C2 ) : y  f2 ( x ) .


ad  cb

có dấu phụ thuộc vào dấu của tử.
(cx  d )2



Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định
 y '  0, x  D  ad  cb  0 (Khơng có dấu “=”)
 Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định
 y '  0, x  D  ad  cb  0 (Khơng có dấu “=”)
3.Cực trị của hàm số:


 y '( x 0 )  0
Hàm số y  f ( x ) đạt cực trị tại x0  
 y ''( x 0 )  0



 y '( x0 )  0
Hàm số y  f ( x ) đạt cực đại tại x 0  
 y ''( x0 )  0



 y '( x 0 )  0
Hàm số y  f ( x ) đạt cực tiểu tại x 0  
 y ''( x 0 )  0



Phương trình hồnh độ giao điểm của (C1 ) và (C 2 ) là :

f1 ( x )  f2 ( x ) (*)
(C1 ) và (C 2 ) cắt nhau tại n điểm phân biệt khi và chỉ
khi phương trình (*) có n nghiệm phân biệt.
Lưu ý : Trục hồnh có phương trình y  0



7.Dùng đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình.
Cho đồ thị (C ) : y  f ( x ) . Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm
của phương trình h( x , m)  0 .

a.Hàm bậc 3: y  ax 3  bx 2  cx  d (a  0)

Biến đổi phương trình h( x , m)  0 về dạng f ( x )  g(m) (*).
Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của hai
 y  f ( x ) (C )
đồ thị : 
 y  g(m) (d )
 Bảng kết quả :
m
g(m)
Số giao điểm
Số nghiệm
…
…
…
…
Lưu ý: Nếu bài tốn chỉ u cầu tìm các giá trị của m để phương

trình có đúng 3 nghiệm, 4 nghiệm,… ta không cần lập bảng
kết quả như trên mà chỉ cần chỉ rõ các trường hợp thỏa đề
(Dựa vào đồ thị ta thấy (C) và (d) cắt nhau tại đúng 3 điểm,
đúng 4 điểm …)
8.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:
Cho hàm số y  f ( x ) có đồ thị là đường cong (C). Phương trình tiếp



2

 y '  3ax  2bx  c


Hàm số có 2 cực trị (cực đại và cực tiểu)  phương trình



 y '  0
y '  0 có 2 nghiệm phân biệt  
ay '  0
Hàm số khơng có cực trị  Phương trình y '  0 vơ nghiệm
 y '  0
hoặc có nghiệm kép  
ay '  0

b.Hàm bậc 4 trùng phương: y  ax 4  bx 2  c(a  0)

 y '  4ax 3  2bx
Ta có: y '  0  4ax 3  2bx  0

 2 x (2ax 2  b)  0

tuyến của đồ thị tại điểm M0 ( x0 ; y0 ) là: y  f '( x0 )( x  x 0 )  y0

x  0

2
2ax  b  0
(1)

 x0

Lưu ý: Ta phải tìm được 3 đại lượng:  y0  f ( x 0 )
 f '( x )
0


(2)

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hồnh độ tiếp điểm x 0

x  0
  2 b
x 
2a


Hàm số có 3 cực trị  Phương trình y '  0 có 3 nghiệm
phân biệt  Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0

b

0.
2a
 Hàm số có 1 cực trị  Phương trình y '  0 có 1 nghiệm
 Phương trình (2) vơ nghiệm hoặc có nghiệm kép bằng 0
b

0.
2a
4.Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f ( x ) xác


Hàm số liên tục trên đoạn [a; b]
Tính đạo hàm y ' .
Giải
phương
trình
y'  0 .

Tìm

các



Tính đạo hàm y '



Thay x0 vào y tính y0



Thay x0 vào y ' tính f '( x0 )



Phương trình tiếp tuyến: y  f '( x0 )( x  x 0 )  y0

Dạng 2: Viết phương tiếp tuyến khi biết tung độ tiếp điểm y0 .


Giải phương trình f ( x0 )  y0 tìm x0 .



Thay x0 vào y ' tính f '( x0 )



Phương trình tiếp tuyến: y  f '( x0 )( x  x 0 )  y0

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc k .

định trên 1 đoạn [a; b ]




Phương trình hồnh độ giao điểm của (C1 ) và (C 2 ) là :

nghiệm
5



Giả sử tiếp điểm là M0 ( x0 ; y0 )



Giải phương trình f '( x0 )  k tìm x0 .



Thay x0 vào y ta tìm được y0 .


2.Bất phương trình lơgarit:

Phương trình tiếp tuyến: y  f '( x0 )( x  x 0 )  y0



Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y  ax  b thì



Nếu tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y  ax  b(a  0)

log a f ( x )  b  f ( x )  a b nếu a  1

f '( x0 )  a .

loga f ( x )  b  f ( x )  a b nếu 0  a  1
 log a f ( x )  log a g( x )  f ( x )  g( x ) nếu 0  a  1
Lưu ý đặt điều kiện cho phương trình, bất phương trình mũ và
lôgarit:

am
 amn
an
1
an

a 
m

n

 a m .n

 ab 

n

m
 a  an
a n  n am

   n
b b
Các tính chất quan trọng:

n

 a n .b n

loga a  1

3)

log a b   log a b Đặc biệt: log a n b 

4)

log a b 

5)

6)

7)

1

x



log a b

8)
9)

loga b.logb c  log a c

x

a f ( x )  b  f ( x )  log a b

1

1
dx  .2 ax  b  C
a
ax  b



1

1 1
dx   .
C
a ax  b

 (ax  b)

 cos xdx  sin x  C

 cos(ax  b)dx  a .sin(ax  b)  C

 sin xdx   cos x  C

 sin(ax  b)dx   a .cos(ax  b)  C

1

log b



1 (ax  b) 1
dx  .
C
a
 1
1
1
 ax  b dx  a .ln ax  b  C


 (ax  b)

dx  2 x  C

2

x

1

a x  b  x  loga b

x  1
C
 1

1
1
 x 2 dx   x  C

 sin

log a

2

x

2

1

1

1

1

dx  tan x  C

 cos (ax  b) dx  a .tan(ax  b)  C

dx   cot x  C

 sin (ax  b) dx   a .cot(ax  b)  C

x

 e dx  e

x

C

2

1

1

2

e

ax  b

dx 

1 ax  b
.e
C
a

  e x dx  e x  C



x

dx 

x
C
ln 



ax  b

1  ax  b
dx  .
C
a ln 
t ( b)

b



Phương pháp đổi biến số dạng 1: I   f [t( x )].t '( x )dx 
a



f (t)dt

t ( a)

Một số cách đổi biến thường gặp:

 a f ( x )  a g ( x )  f ( x )  g( x )
2.Bất phương trình mũ:
a x  b  x  log a b nếu a  1
a f ( x )  b  f ( x )  log a b nếu a  1



 f (e )e dx  Đặt t  e
 f (sin x)cos xdx  Đặt t  sin x
 f (cos x)sin xdx  Đặt t  cos x

a f ( x )  b  f ( x )  log a b nếu 0  a  1



 a f ( x )  a g ( x )  f ( x )  g( x ) nếu 0  a  1
XII.Phương trình và bất phương trình lơgarit:

1.Phương trình lơgarit:

Đặt t  ln x

 f (ln x ) x dx 



a f ( x )  a g ( x )  f ( x )  g( x ) nếu a  1

1



a x  b  x  loga b nếu 0  a  1

log a x  b  x  a

1

 cos

1
loga b 
logb a





dx 

1

 Nếu 0  a  1 thì loga   loga     
XI.Phương trình và bất phương trình mũ:
1.Phương trình mũ:





 a.dx  ax  C

 x dx  ln x  C

1
log a b
n

10) a b  c b Đặc biệt: a a  b
Các tính chất quan trọng:
 Nếu a  1 thì log a   log a     





 f ( x)  0


log f ( x ) g( x )  Điều kiện:  f ( x )  1
 g( x )  0


1.dx  x  C


log a (bc)  log a b  log a c (lôgarit của tích bằng tổng các
lơgarit)
b
log a  log a b  log a c (lôgarit của thương bằng hiệu các
c
lôgarit)
logc b
loga b 
(đổi cơ số)
logc a

log c

a f ( x )  Khơng có điều kiện.

Đặt t  ax  Điều kiện: t  0
Đặt t  log a x  Khơng có điều kiện t
XIII.Cơng thức ngun hàm-tích phân
 Công thức nguyên hàm:
Nguyên hàm cơ bản
Nguyên hàm mở rộng

 Nếu 0  a  1 thì a  a     

2. Công thức lôgarit:
1) loga 1  0
2)






1

an  n a

Nếu a  1 thì a  a     



log a f ( x )  log a g( x )  f ( x )  g( x ) nếu a  1



am .an  am  n

a0  1

an 

log a x  b  x  a b nếu 0  a  1



1
thì f '( x0 ).a  1  f '( x0 )   .
a
X.Các công thức về lũy thừa và lôgarit:
1.Công thức lũy thừa:



log a x  b  x  a b nếu a  1



Lưu ý:


x

x

x

1

dx  Đặt t  tan x



 f (tan x ) cos



 f (cot x ) sin



Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có chứa



Khi tính tích phân dạng

2

x

1
2

x

dx  Đặt t  cot x

b

n

A thì đặt t  n A

b



log a f ( x )  b  f ( x )  a



loga f ( x )  loga g( x )  f ( x )  g( x )

o
6

 sin

m

x cosn xdx :

Nếu m và n chẵn ta dùng công thức hạ bậc.




o Nếu m chẵn, n lẻ ta đặt t  sin x .
o Nếu m lẻ, n chẵn ta đặt t  cos x .
Phương pháp đổi biến số dạng 2:


Hàm có chứa

a 2  x 2 thì đặt x  a sin t



Hàm có chứa

x 2  a 2 thì đặt x 



Hàm có chứa

2

2

2

Cho phương trình bậc hai az2  bz  c  0 ( a, b, c   và a  0 )

a
sin t



b

2

x1 

b

Tích phân từng phần:  u.dv  uv a   v.du
a

a

sin x 


Thứ thự ưu tiên: ln x  P( x )   cos x 
e x 





Phương pháp tính tích phân của hàm hữu tỉ:

P( x )

 Q( x ) dx

Bậc của P ( x )  Bậc của Q( x ) : Chia đa thức tử cho mẫu.



Bậc của P ( x )  Bậc của Q( x ) :  Phân tích mẫu thành tích

  0 : Phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt:



Tính diện tích hình phẳng
 Loại 1: Hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f ( x ) , trục
b

Công thức: S   f ( x ) dx
a

Loại 2: Hình phẳng (H) giới hạn bởi hai đồ thị đồ thị hàm số
y  f ( x ), y  g( x ) , hai đường thẳng x  a, x  b
b

Công thức: S   f ( x )  g( x ) dx
a

Tính thể tích vật thể trịn xoay: Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị
hàm số y  f ( x ) , trục hoành và hai đường thẳng x  a, x  b quay
quanh trục hoành tạo thành vật thể trịn xoay có thể tích là:
b

V    [ f ( x )]2 dx
a

XIV.Số Phức
1.Định nghĩa số phức: Số phức là 1 biểu thức có dạng z  a  bi , trong đó
a, b là các số thực, i 2  1 .

a: được gọi là phần thực
b: được gọi là phần ảo
 Tập hợp các số phức được ký hiệu là 
 Số phức có phần thực bằng 0 được gọi là số thuần ảo.
 Hai số phức bằng nhau: khi và chỉ khi có phần thực bằng nhau
a  a '
và phần ảo bằng nhau. a  bi  a ' b ' i  
“Thực
b  b '
bằng thực, ảo bằng ảo”
Môđun của số phức z  a  bi : z  a2  b 2




Số phức liên hợp: của số phức z  a  bi là z  a  bi
Phép cộng hai số phức:
(a  bi)  (a ' b ' i)  (a  a ')  (b  b ')i




Phép trừ hai số phức: (a  bi)  (a ' b ' i)  (a  a ')  (b  b ')i
Phép nhân hai số phức:
(a  bi).(a ' b ' i)  (aa ' bb ')  (ab ' ba ')i



Phép chia hai số phức:

b  
b  
; x2 
2a
2a

Khi giải phương trình trùng phương az4  bz2  c  0 trên tập số
z2   a(a  0)  z   ai

TỔ HỢP – XÁC SUẤT
I. Quy tắc đếm
1. Quy tắc cộng: Một cơng việc được hồn thành bởi một trong
hai phương án A hoặc B. Nếu có m cách thực hiện phương án A,
n cách thực hiện phương án B thì sẽ có m+n cách hồn thành
cơng việc.
2. Quy tắc nhân: Một công việc được thực hiện qua hai hành động
liên tiếp A và B. Nếu có m cách thực hiện hành động A, n cách thực
hiện hành động B thì sẽ có m  n cách hồn thành cơng việc.
Lưu ý: Đối với bài toán thành lập số ta phải xét hai trường hợp nếu
thỏa mãn 3 điều kiện sau:
 Đề cho có chữ số 0.
 Số cần tìm có các chữ số khác nhau.
 Số cần tìm là số chia hết cho 2 (số chẵn) hoặc số chia hết cho
5.
II.Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
1. Hoán vị: Từ n phần tử  sắp thứ tự
 Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n  1 ). Mỗi cách
sắp thứ tự n phần tử của tập A được gọi là một hoán vị của n
phần tử đó.
 Số hốn vị của n phần tử: Pn  n!  n(n  1)...2.1

n!: đọc là “n giai thừa”
2. Chỉnh hợp: Từ n  lấy k  sắp thứ tự
 Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n  1 ). Lấy ra k
phần tử và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó, mỗi kết quả
thu được được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử.
 Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:
n!
Ank 
 n(n  1)...(n  k  1) (0  k  n)
(n  k )!

1
1  1
1 




( x  a)( x  b) a  b  x  a x  b 



b
2a

phức  , ta đặt t  z2 (không cần điều kiện cho t )

hoành, hai đường thẳng x  a, x  b .







Đặ t
P( x )
P( x )
A
B
C




2
Q( x ) ( x  a) ( x  b) ( x  a)2 x  a x  b



  0 : Phương trình có nghiệm kép thực : x1  x2  

Chú ý:

và biến đổi theo cách sau:



b  i
b  i

; x2 
2a
2a



x1 



Đặc biệt:

  b2  4ac
  0 : Phương trình có 2 nghiệm phức phân biệt:

a  x hay a  x thì đặt x  a tan t
b



1 z

z z.z
2.Giải phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập số phức:
Số phưc nghịch đảo của z là:



3. Tổ hợp: Từ n  lấy k
 Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n  1 ). Lấy ra k

phần tử, mỗi kết quả thu được được gọi là một chỉnh hợp chập
k của n phần tử.
 Số các tổ hợp chập k của n phần tử:
n!
Cnk 
(0  k  n)
k !(n  k )!
III.Nhị thức Niu-tơn
 Công thức nhị thức Niu – tơn:

a  b

n

 Cn0 a n  Cn1 a n 1b  Cn2 a n  2 b2   
Cnk a n  k b k  ...  Cnn 1ab n 1  Cnn b n
n
 n

  Cnk a n  k b k    Cnk a k b n  k 
k 0
 k0


 Số hạng tổng quát: Cnk a n  k b k hoặc Cnk a k b n  k
IV.Xác suất
 Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí nghiệm,

z1 z1.z2


(nhân cả tử và mẫu cho z2 ).
z2 z2 .z2
7







một phép đo hay một sự quan sát hiện tương nào đó mà:
Kết quả của nó khơng đốn trước được.
Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có
thể xảy ra của phép thử đó.
Khơng gian mẫu: Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra
của một phép thử. Kí hiệu  (ơ-mê-ga).
Biến cố: Là một tập con của không gian mẫu.
Biến cố không  là biến cố không bao giờ xảy ra.
Biến cố chắc chắn  là biến cố ln xảy ra
Phép tốn trên các biến cố:
A  B : Hợp của các biến cố A và B ( A  B xảy ra
 A xảy ra hoặc B xảy ra).
A  B (hay A.B ): Giao của các biến cố A và B (
A  B xảy ra  A và B đồng thời xảy ra).
A  B   thì ta nói A và B là 2 biến cố xung khắc
(không đồng thời xảy ra).
-





1
1
1


AH 2 AB 2 AC 2
3. Tỉ số lượng giác của góc nhọn:



C

tan 
cot 

4. Lưu ý:


n( ) : Số phần tử của khơng gian mẫu.
Tính chất của xác suất:
P()  0, P()  1
0  P ( A)  1 , với mọi biến cố A.

-

Nếu
A
và

B
xung
khắc
thì:
P( A  B)  P ( A)  P (B ) (công thức cộng xác suất)

-

P A  1  P( A) , với mọi biến cố A.





S 

a
b
c


 2R
sin A sin B sin C

 2 2 b 2  2c 2  a 2
ma 
4

 2 2 a 2  2c 2  b 2
 Cơng thức tính độ dài trung tuyến: mb 

4

 2 2a 2  2b 2  c2
mc 
4

2. Hệ thức lượng trong tam giác vuông:

2

2

p( p  a)( p  b)( p  c) (Công thức Hê-rơng)
1
x tích 2 cạnh góc vng
2

Tam giác vng: S 



Tam giác đều: S 



Hình vng: S  Cạ nh2



Hình chữ nhật: S  dà i  rộng



Hình bình hành: S  đáy  cao hoặc S  AB.AD.sin A



Hình thoi: S  đáy  cao hoặc S  AB.AD.sin A hoặc



cạnh2 . 3
4

1
x tích 2 đường chéo
2

Hình thang: S 

(đá y lớ n  đá y bé)  cao
2

 Hình trịn: S   R 2
II.Các đường trong tam giác:
1.Đường trung tuyến_Trọng tâm
 Xuất phát từ đỉnh
 Qua trung điểm cạnh đối diện

C

H

caï nh 3
.
2



S

A

B

Đường cao của tam giác đều có độ dài bằng

5.Các cơng thức tính diện tích:
 Tam giác thường:
1
1
1
 S  aha  bhb  chc ( ha , hb , hc : độ dài 3 đường cao)
2
2
2
1
1
1
 S  ab sin C  ac sin B  bc sin A

2
2
2
abc
S 
4R
abc
 S  pr (r: bán kính đường trịn nội tiếp, p 
: nửa
2
chu vi)

a 2  b 2  c2  2bc cos A

Định lí cơsin: b 2  a 2  c2  2ac cos B
c2  a2  b2  2ab cos C


Định lí sin:

Hình vng có độ dài đường chéo bằng cạnh x 2 .
Cạnh huyển của tam giác vuông cân có độ dài bằng
cạnh góc vng x 2 .


b2  c 2  a2
cos A 
2bc



a2  c 2  b2
Hệ quả: cos B 
2ac


a2  b 2  c 2
cos C 
2ab



Đố i
(Đi học)
Huyề n
Kề

(Khó c hoài)
Huyề n
Đố i

(Đừ ng khóc)
Kề
Kề

(Kẹ o đây )
Đố i


Trong tam giác vng, đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh
góc vng có độ dài bằng ½ cạnh huyền




HÌNH HỌC PHẲNG
I. Một số cơng thức thường dùng trong hình học phẳng:
1. Hệ thức lượng trong tam giác: Cho ABC , ký hiệu
a, b, c: độ dài 3 cạnh
R: bán kính đường trịn ngoại tiếp




cos

(A và A xung khắc và A  A   )
n( A)
Xác suất của biến cố: P( A) 
n()
Trong đó:
n( A) : Số kết quả thuận lợi cho biến cố A.
-

A

AC
BC
AB

BC

AC

AB
AB

AC

sin 

A   \ A được gọi là biến cố đối của biến cố A.

-

α

B

A

2

 BC  AB  AC (địnhlí Pitago)
 AB2  BH .BC

G

AC 2  CH .BC

 AH 2  BH .CH
 AH .BC  AB. AC

B

8

M

C

AG 

2
1
AM ; GM  AM
3
3


* Tính chất:
 Cạnh – Cạnh – Cạnh
Nếu là tam giác vuông:
 Ba đường trung tuyến trong tam giác cắt nhau tại một điểm và
điểm này được gọi là trọng tâm của tam giác.
 Cạnh huyền – Góc nhọn
 Cạnh huyền – Cạnh góc vng
2
 Khoảng cách từ trọng tâm đến đỉnh bằng
độ dài đường IV.Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác
3
 2 góc bằng nhau

trung tuyến.
 1 góc bằng nhau xen giữa hai cạnh tỉ lệ
2.Đường cao_Trực tâm
 3 cạnh tỉ lệ
 Xuất phát từ đỉnh
Nếu là tam giác vng:
 Vng góc cạnh đối diện
 1 góc nhọn bằng nhau
A
 2 cạnh tỉ lệ
J
HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
I. Quan hệ song song:
H
1) Hai đường thẳng song song với nhau nếu chúng đồng phẳng và
khơng có điểm chung.
C
B
I
2) Đường thẳng d song song với mặt phẳng ( ) nếu d khơng nằm
* Tính chất:
trong ( ) và d song song với một đường thẳng d ' nằm trong
 Ba đường cao trong tam giác cắt nhau tại một điểm và điểm
( ) .
này được gọi là trực tâm của tam giác.
3.Đường trung trực_Tâm đường tròn ngoại tiếp
d
 Qua trung điểm một cạnh
 Vng góc với cạnh đó
d'

A


I
B

d  ( ) 

d  d '   d  ( )
d '  ( )

C

3)
* Tính chất:
 Ba đường trung trực trong tam giác cắt nhau tại một điểm,
điểm này cách đều 3 đỉnh của tam giác và đó là tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác.
4.Đường phân giác_Tâm đường tròn nội tiếp
 Xuất phát từ một đỉnh
 Chia góc ứng với đỉnh đó thành 2 góc bằng nhau
* Tính chất:
 Ba đường phân giác trong tam giác cắt nhau tại một điểm,
điểm này cách đều 3 cạnh của tam giác và đó là tâm đường
trịn nội tiếp tam giác.

Hai mặt phẳng song song với nhau nếu mặt phẳng này chứa hai
đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia.
a





a, b  ( ) 

a  b  M   ( )  ( )
a, b  ( ) 

A

II. Quan hệ vng góc:
1) Hai đường thẳng d và d ' vng góc với nhau nếu góc giữa

J
B



chúng bằng 900 .

C

2)

Đường phân giác của tam chia cạnh đối diện thành 2 đoạn tỉ lệ
với 2 cạnh kề 2 đoạn ấy

Đường thẳng d vng góc với mặt phẳng ( ) nếu d vng góc

với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng ( ) .

A

E

d

D

B

DB AB

;
DC AC

C

I
b

da



db

  d  ( )
ab I 

a, b  ( )

A

B

α

a

EB AB

EC AC

5.Đường trung bình
 Qua trung điểm hai cạnh

M

M

b

N
C

 MN / / BC


1

 MN  BC

2

Tính chất:
 Đường thẳng d vng góc với mặt phẳng ( ) thì d sẽ
vng góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng ( ) .
 (Định lý 3 đường vng góc) Cho đường thẳng d khơng
vng góc với mặt phẳng ( ) và đường thẳng a nằm trong
mặt phẳng ( ) . Khi đó, điều kiện cần và đủ để a vng góc
với d là a vng góc với hình chiếu d ' của d trên ( ) .

* Tính chất:
 Song song với cạnh đáy
1
 Có độ dài bằng
cạnh đáy
2
III.Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác
 Cạnh – Góc – Cạnh
 Góc – Cạnh – Góc
9


d

d
A

α

d'
α

3)

O

a

a  d  a  d'
Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu mặt này chứa một đường
thẳng vng góc với mặt kia.

d'

H

(d ,( ))  (d , d ')




Cách tìm góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng ( ) :
Tìm hình chiếu d’ của d trên ( ) .
Khi đó góc giữa d và ( ) bằng góc giữa d và d’:
Ta có thể trình bày như sau:
- Vì O  ( ) nên hình chiếu của O trên ( ) là O.



d

- Vì AH  ( ) nên hình chiếu của A trên ( ) là H.

 Hình chiếu của AO trên là HO



 ( AO
,( ))  ( AO
, HO )  AOH



3)

d  ( ) 
  ( )  (  )
d  (  )

Góc giữa hai mặt phẳng: Là góc giữa hai đường thẳng lần lượt
nằm trong 2 mặt phẳng, cùng vng góc với giao tuyến.


Tính chất:
 Hai mặt phẳng vng góc với nhau, nếu đường thẳng nào nằm
trong mặt phẳng này và vng góc với giao tuyến thì cũng sẽ
vng góc với mặt phẳng kia.

b

d

I

β

( )  ( )  d 

a  ( ), a  d   (( ),( ))  (a, b)
b  (  ), b  d 

a

d

α




( )  (  )

( )  ( )  d   a  ( )
a  ( ), a  d 
Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vng góc với mặt phẳng thứ ba
thì giao tuyến của chúng cũng vng góc với mặt phẳng thứ
ba đó.



Cách tìm góc giữa hai mặt phẳng ( ) và ( ) :
Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng ( ) và (  )



Tìm 2 đường thẳng a và b lần lượt nằm trong hai mặt phẳng ( )
và (  ) mà cùng vng góc với giao tuyến d.



Khi đó góc giữa hai mặt phẳng ( ) và (  ) bằng góc giữa hai

đường thẳng a và b.
IV. Khoảng cách:
1) Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:

d

α

a

A

β
H
α

Từ A kẻ AH  ( )  d ( A,( ))  AH
γ

-

( )  ( )



(  )  ( )
  d  ( )
( )  ( )  d 

Phương pháp tìm đoạn AH:
Chọn (hoặc dựng) mặt phẳng phụ ( ) chứa A và vng góc
với mặt phẳng ( ) theo giao tuyến là đường thẳng a.

Trong mặt phẳng ( ) , kẻ AH  a
 AH  ( )  d ( A,( ))  AH

III. Góc:
1) Góc giữa hai đường thẳng: Góc giữa hai đường thẳng a và b là
góc giữa hai đường thẳng cắt nhau a’ và b’ lần lượt song song
(hoặc trùng) với a và b.

β
A

b

a
a'

a

b'

H
α



(a, b)  (a ', b ')

2)

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Góc giữa đường thẳng d
và mặt phẳng ( ) là góc giữa d và hình chiếu d’ của d trên ( ) .
10

Lưu ý: Nếu AO  ( )  O thì

d ( A,( )) AO

d ( I ,( )) IO


S

A
I
α
O

K

D

C

H
O

2)

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
 Cách 1: Bằng độ dài đoạn vng góc chung của hai đường
thẳng đó.

A

B

Tính chất của hình chóp đều:
 Đường cao đi qua tâm của đáy.
 Các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau và hợp với đáy các
góc bằng nhau.
 Các cạnh bên hợp với đáy các góc bằng nhau.
Chú ý:
 Tứ giác đều là hình vng, ta thường vẽ là hình bình hành có
tâm là giao điểm của 2 đường chéo.
 Đối với tam giác đều ta vẽ tam giác thường có tâm là giao
điểm hai đường trung tuyến.

 Tứ diện đều là tứ diện có tất cả các cạnh đều bằng nhau.
2) Hình chóp có một cạnh bên vng góc với đáy:

a
M

N
b

MN được gọi là đoạn vng góc chung của hai đường thẳng a

S



M  a

và b nếu  N  b
 MN  a, MN  b

Cách 2: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng
khoảng cách giữa đường thẳng này với mặt phẳng song song
với nó chứa đường thẳng cịn lại.

D

A

b

M

B

α

A
a

B

d (a, b)  d (b,( ))  d ( M ,( ))  d ( M ,( ABC )) 

C

Chú ý: Giả thiết bài tốn có thể cho một trong hai dạng sau:
 SA  ( ABCD )
 (SAB ) và (SAD ) cùng vng góc với ( ABCD )

C

3VM . ABC
SABC

Trong đó ( ) là mặt phẳng chứa đường thẳng a và song song
với đường thẳng b và M là điểm tùy ý trên đường thẳng b.
V. Hình chóp – khối chóp:
Thể tích khối chóp bằng một phần ba diện tích dáy nhân với chiều
cao
1

V  Sđáy  cao
3
Một số lưu ý khi tính diện tích đa giác:
 Trong tam giác ABC, nếu M là điểm tùy ý trên cạnh BC ta có:
SABM BM

SABC BC

3)

(SAB )  ( ABCD )

(SAD )  ( ABCD )  SA  ( ABCD )
Ta có: 
(SAB )  (SAD )  SA

Cơ sở là định lý: “Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vng góc
với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng cũng vng
góc với mặt phẳng thứ ba đó”
Hình chóp có một mặt bên vng góc với đáy: thì đường cao
của mặt bên đó sẽ là đường cao của hình chóp.
S

A

A

D

H

B

B




C

M

Đường trung tuyến của tam giác chia tam giác thành hai phần
có diện tích bằng nhau.
Hai đường chéo hình bình hành chia hình bình hành thành 4
phần có diện tích bằng nhau.
A

D
O

B

C

VI. Các khối hình chóp thường gặp:
1) Hình chóp đều: Là hình chóp có đáy là đa giác đều và tất cả các
cạnh bên đều bằng nhau.

C

Chú ý:
 Cơ sở là định lý: “Hai mặt phẳng vng góc với nhau, nếu
đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vng góc với
giao tuyến thì cũng sẽ vng góc với mặt phẳng kia”
 Đường cao SH của SAB chính là đường cao của hình chóp
nên vẽ SH thẳng đứng.
 Thường bài tốn cho “ SAB là tam giác đều là nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy” ta trình bày như sau:
- Gọi H là trung điểm AB
- Vì SAB đều  SH là đường cao của SAB
 SH  AB
(SAB )  ( ABCD )

Ta có: (SAB )  ( ABCD )  AB  SH  ( ABCD )
 SH  (SAB), SH  AB

VII. Tỉ số thể tích của khối chóp: Cho khối chóp tam giác S.ABC. Trên ba
đường thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy 3 điểm A’, B’, C’ khác với S.

11


V  Sđáy  cao

S
C'
A'
B'
A

C

B

Ta có:

VS . A ' B ' C ' SA ' SB ' SC '

.
.
(Công thức này chỉ được dùng cho
VS . ABC
SA SB SC

khối chóp tam giác)
Các trường hợp đặc biệt:
 C  C'
S

A'

B'

A

C

B

VS. A ' B ' C
VS . ABC




SA ' SB '
.
SA SB

C  C '; B  B '

Tính chất của hình lăng trụ:
 Các cạnh bên song song và bằng nhau.
 Các mặt bên và mặt chéo là các hình bình hành.
 Hai đáy nằm trên hai mặt phẳng song song, là hai đa giác
bằng nhau, có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau.
1) Lăng trụ đứng: Là lăng trụ có cạnh bên vng góc với đáy.
Đối với hình lăng trụ đứng:
 Các cạnh bên cũng là đường cao.
 Các mặt bên là các hình chữ nhật và nằm trong mặt phẳng
vng góc với đáy.
2) Lăng trụ đều: Là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều
Đối với lăng trụ đều, các mặt bên là những hình chữ nhật bằng
nhau.
3) Hình hộp:
 Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành.
 Hình hộp đứng là hình hộp có cạnh bên vng góc với đáy.
 Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.
Thể tích hình hộp chữ nhật V  abc (a, b, c: 3 kích thước)

 Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng
nhau.
Thể tích hình lập phương V  a3 (a: độ dài cạnh)
X. Mặt cầu – Khối cầu:
1) Định nghĩa: Mặt cầu tâm I bán kính R được ký hiệu S(I;R) là tập
hợp tất cả các điểm trong không gian cách điểm I cố định một
khoảng R không đổi.
Mặt cầu cùng với phần khơng gian bên trong của nó được gọi là khối
cầu.

S

A'

A

C

B

VS. A ' BC
VS. ABC

2)

SA '

SA

Diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu:



2
Diện tích mặt cầu: S  4 R

4
Thể tích khối cầu: V   R3
3
VIII. Ứng dụng cơng thức thể tích để tìm khoảng cách từ 1 điểm đến 1 XI. Mặt trụ – Hình trụ - Khối trụ:
mặt phẳng:
1) Định nghĩa: Cho hình chữ nhật ABCD quay quanh cạnh AB khi
1
1
đó cạnh CD vạch thành một mặt trịn xoay được gọi là mặt trụ.
Ta có: VS . ABC  SABC .cao  SABC .d (S ,( ABC ))
3
3



 d (S,( ABC )) 

3VS. ABC
SABC

Tương tự:

d ( A,(SBC )) 

3VA.SBC

SSBC

d (B,(SAC )) 

3VB .SAC
SSAC

d (C ,(SAB )) 

3VC .SAB



SSAB

Trong đó: VA.SBC  VB .SAC  VC .SAB  VS . ABC
IX. Hình lăng trụ - khối lăng trụ:
Thể tích khối lăng trụ bằng diện tích đa giác đáy nhân với chiều
cao
A'

C'

2)
B'

Hai cạnh AD và BC sẽ vạch ra hai hình trịn bằng nhau, hình
tạo thành bởi mặt trụ và hai hình trịn này được gọi hình trụ.
Hai hình trịn này được gọi là hai đáy của hình trụ.
 Cạnh CD được gọi là đường sinh của hình trụ.

 Cạnh AB được gọi là trục của hình trụ.
 Khoảng cách giữa hai đáy được gọi là chiều cao của hình trụ.
 Hình trụ cùng với phần khơng gian bên trong của nó được gọi
là khối trụ.
Diện tích mặt trụ và thể tích khối trụ:


Diện tích xung quanh mặt trụ: Sxq  2 rl ( l : độ dài đường
sinh, r : bán kính đáy )

A
H

C

B

12


S
Δ

M

d
I
C

A

O
B



2
Diện tích tồn phần hình trụ: Stp  Sxq  2Sđáy  2 rl  2 r



2
Thể tích khối trụ: V  Sđáy .cao   r h ( h : chiều cao)

Gọi O là trung điểm của BC  O là tâm đường trịn ngoại tiếp

XII. Mặt nón – Hình nón - Khối nón:
1) Định nghĩa: Cho tam giác OIM vng tại I quay quanh cạnh IO
khi đó cạnh OM vạch thành một mặt tròn xoay được gọi là mặt
nón.

ABC .
Qua O dựng đường thẳng  vng góc với mp(ABC)   là trục
của đường tròn ngoại tiếp ABC .
Trong mp(SAO), dựng đường thẳng d là trung trực của SA.
Gọi I  d  
I  d  IA  IS
Ta có: 
I    IA  IB  IC
 IA  IB  IC  IS

Suy ra: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
2

1

Bán kính: R  IA  AO 2  OI 2   BC   AM 2
2



Hình 3: Hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều, SA  ( ABC )
.
S



2)

Cạnh IM vạch ra một hình trịn, hình tạo thành bởi mặt nón và
hình trịn này được gọi là hình nón. Hình trịn này được gọi là
mặt đáy của hình nón.
 Cạnh OM được gọi là đường sinh của hình nón.
 Cạnh OI được gọi là trục của hình nón. Độ dài đoạn OI được
gọi là chiều cao của hình nón.
 Điểm O được gọi là đỉnh của hình nón.
Diện tích mặt nón và thể tích khối nón:


Δ

M

d
I

C

A
O

Diện tích xung quanh mặt nón: Sxq   rl ( l : độ dài đường

J

sinh, r : bán kính đáy )


B

Diện tích tồn phần hình nón: Stp  Sxq  Sđáy   rl   r 2

Gọi J là trung điểm BC.
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC

1
1
 Thể tích khối nón: V  Sđáy .cao   r 2 h ( h : chiều cao)
3
3
XIII. Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp một số hình

chóp thường gặp
Hình 1: Hình chóp S.ABC có ABC vng tại B, SA  ( ABC ) .

Qua O dựng đường thẳng  vng góc với mp(ABC)   là trục
của đường tròn ngoại tiếp ABC .
Trong mp(SAJ), dựng đường thẳng d là trung trực của SA.
Gọi I  d  

Cách đặc biệt

I  d  IA  IS
Ta có: 
I    IA  IB  IC
 IA  IB  IC  IS
Suy ra: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

S

I

2

2 
Bán kính: R  IA  AO 2  OI 2   AJ   AM 2
3 

C

A

Hình 4: Hình chóp đều S.ABC.
S

B

Gọi I là trung điểm của SC.
SAC vuông tại A  IA  IS  IC (1)
M

BC  AB 
  BC  (SAB)  BC  SB
BC  SA 

d

 SBC vuông tại B  IB  IS  IC (2)
Từ (1) và (2)  IA  IB  IC  IS
Suy ra: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Bán kính: R  IS 

I

C

A
O

B

1

SC
2

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC  SO là trục của đường
tròn ngoại tiếp ABC
Trong mp(SAO), dựng đường thẳng d là trung trực của SA.

Hình 2: Hình chóp S.ABC có ABC vuông tại A, SA  ( ABC ) .
13


Gọi I  d  SO

 I  d  IA  IS
Ta có: 
 I  SO  IA  IB  IC
 IA  IB  IC  IS
Suy ra: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Bán kính: R  IS
Cách tính bán kính:
SMI # SOA (Vì là 2 tam giác vng có chung góc S)



  
II.Tọa độ của vectơ: u   x; y; z   u  xi  y j  zk
IS SM
SA.SM

 IS 





SA SO
SO
Đặc biệt: 0  (0;0;0), i  (1;0;0), j  (0;1;0), k  (0;0;1)

Hình 5: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng (hoặc
III.Tọa độ của điểm: M ( x; y; z)  OM  ( x; y; z) (x : hoành độ, y : tung
hình chữ nhật), SA  ( ABCD )
độ, z : cao độ)
Cách đặc biệt
Đặc biệt:
S
 M  (Oxy)  zM  0



I

D

A

B

C



M  (Oyz)  x M  0



M  (Oxz)  y M  0



M  Ox  yM  zM  0



M  Oy  x M  zM  0



M  Oz  x M  y M  0

Gọi I là trung điểm của SC.
SAC vuông tại A  IA  IS  IC (1)

Hình chiếu vng góc của điểm M ( x M ; y M ; zM ) lên:

BC  AB 
  BC  (SAB)  BC  SB
BC  SA 



Trục Ox là: M1 ( x M ;0;0)



Trục Oy là: M2 (0; yM ;0)



Trục Oz là: M3 (0;0; zM )



mp(Oxy) là: M12 ( x M ; yM ;0)



mp(Oxz) là: M13 ( x M ;0; zM )

 SBC vuông tại B  IB  IS  IC (2)
CD  AD 
  CD  (SAD)  CD  SD
CD  SA 

mp(Oyz) là: M23 (0; yM ; zM )


IV.Các công thức về tọa độ: Nếu a  (a1; a2 ; a3 ), b  (b1; b2 ; b3 ) thì:
 
 a  b  (a1  b1; a2  b2 ; a3  b3 )


 ka  (ka1; ka2 ; ka3 ), k  


 SCD vuông tại D  ID  IS  IC (3)
Từ (1), (2) và (3)  IA  IB  IC  ID  IS
Suy ra: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
1
SC
2
Hình 6: Hình chóp đều S.ABCD.

Bán kính: R  IS 

S

M



d
I



A

D

 a1  kb1


  a2  kb2
 a  kb
3
 3

O
B

C

Gọi O là giao điểm 2 đường chéo  SO là trục của đường trịn ngoại
tiếp hình vng ABCD.
Trong mp(SAO), dựng đường thẳng d là trung trực của SA.
Gọi I  d  SO

I  d  IA  IS
Ta có: 
I  SO  IA  IB  IC  ID
 IA  IB  IC  ID  IS
Suy ra: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Bán kính: R  IS
Cách tính bán kính:
SMI # SOA (Vì là 2 tam giác vng có chung góc S)


 a1  b1
 

a  b   a2  b2 “Hoành bằng hoành, tung bằng tung, cao
a  b

3
 3
bằng cao”
  



a cùng phương b (b  0)  tồn tại một số k sao cho: a  kb

IS SM
SA.SM

 IS 
SA SO
SO

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN OXYZ
I.Hệ tọa độ Oxyz: Gồm 3 trục Ox,Oy,Oz đôi một vuông góc nhau có véctơ
 
đơn vị lần lượt là: i, j, k



a1 a2 a3

 , (b1 , b2 , b3  0)
b1 b2 b3




Tọa độ vectơ AB  ( xB  x A ; yB  y A ; zB  zA )




x A  xB
 xI 
2

y A  yB

Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB:  yI 
2


zA  zB
 zI 
2



x A  xB  xC
 xG 
3

yA  yB  yC

 Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:  yG 
3



zA  zB  zC
zG 
3

V.Tích vơ hướng của hai vectơ:

14







Biểu thức tọa độ của tích vơ hướng: Nếu a  (a1; a2 ; a3 ),


b  (b1; b2 ; b3 ) thì: a.b  a1.b1  a2 .b2  a3 .b3 “Hoành nhân hoành+



tung nhân tung + cao nhân cao”
Ứng dụng:


2
2
2

 Độ dài vectơ: Nếu a  (a1; a2 ; a3 ) thì a  a1  a2  a2





2



2

AB  ( xB  x A )  (yB  yA )  (zB  zA )


Góc giữa hai vectơ:

a.b
 
cos(a, b )    
a.b





a1b1  a2 b2  a3b3

Điều kiện hai vectơ vng góc:
 


a  b  a.b  0  a1b1  a2 b2  a3b3  0


a  (a , a , a )
1
2
3
Định nghĩa: Cho hai vectơ  
. Tích có hướng của hai
b  (b1 , b2 , b3 )


vectơ a và b là 1 vectơ được xác định như sau:





[ a, b ]   a2
 b2

a3 a3
;
b3 b3

a1 a1 a2 
;
   a2 b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2 b1 
b1 b1 b2 



Nếu () có phương trình Ax  By  Cz  D  0 thì () có VTPT

là n  ( A; B; C )



Hai mặt phẳng song song với nhau thì VTPT của mặt này cũng
là VTPT của mặt kia, hai mặt phẳng vng góc nhau thì VTPT
của mặt này là VTCP của mặt kia.



Khoảng







cách

từ

M0  x0 ; y0 ; z0  đến

điểm

mặt

phẳng

Ax0  By0  Cz0  D

( ) : Ax  By  Cz  D  0 : d  M0 ,( ) 

A2  B2  C 2

mp(Oxy ) : z  0

Đặc biệt: mp(Oxz) : y  0
mp(Oyz) : x  0

Các dạng toán viết phương trình mặt phẳng: Để viết phương trình mặt
phẳng () ta cần xác định một điểm thuộc () và một VTPT của nó.



2

1

Thể tích tứ diện ABCD: VABCD 

A( x  x 0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )  0

a12  a22  a32 . b12  b22  b32

VI.Tích có hướng của hai vectơ:


Thể tích khối hộp ABCD.ABCD:
  
VABCD. A ' B ' C ' D '  [ AB, AD].AA '

1   
[ AB, AC ]. AD
6
VII.Phương trình tổng quát của mặt phẳng: Phương trình mặt phẳng đi

qua M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có VTPT n  ( A; B; C ) là:

Độ dài đoạn thẳng AB:
2

 

Diện tích hình bình hành ABCD: S ABCD   AB, AD 
1  
Diện tích tam giác ABC: SABC   AB , AC 
2

3

Quy tắc: 23-31-12
Cách tính tích có hướng của hai vectơ bằng máy tính
1.Máy 570VN PLUS

 ON  MODE  8  1  1: Nhập tọa độ Vectơ

a
 AC  MODE  8  2  1: Nhập tọa độ Vectơ

b
 AC  SHIFT  5  3  X  SHIFT  5
 4  =
2.Máy 570ES PLUS
 ON  MODE  8  1  1: Nhập tọa độ Vectơ

a
 AC  SHIFT  5  2  2  1: Nhập tọa độ

Vectơ b
 AC  SHIFT  5  3  X  SHIFT  5
 4  =
3.Máy 570MS
 ON  SHIFT  5  1  1  3: Nhập tọa độ

Vectơ a
 AC  SHIFT  5  1  2  3: Nhập tọa độ

Vectơ b
 AC  SHIFT  5  3  1  X  SHIFT
 5  32  =
Tính chất của tích có hướng:

 
 

 
 Nếu n   a, b  thì n  a và n  b
 


 

 Hai vectơ a và b cùng phương với nhau  [a, b]  0
  
 

 Ba vectơ a , b và c đồng phẳng với nhau  [a, b].c  0
  
( [a, b].c được gọi là tích hỗn tạp của ba vectơ)







(): A  x  x   B  y  y   C  z  z   0
 
Dạng 2: () đi qua điểm M  x ; y ; z  có cặp VTCP a , b :

Dạng 1: () đi qua điểm M x0 ; y0 ; z0 có VTPT n  A; B;C :
0

0

0

0

0

0


 
 Khi đó VTPT của () là n  [ a, b ] .



Dạng 3: () đi qua điểm M x0 ; y0 ; z0



và song song với mặt phẳng ():

Ax + By + Cz + D = 0:



 Khi đó VTPT n  VTPT n   ( A; B; C ) .

Dạng 4: () đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B, C:
n
B
A

C

α



 

 Khi đó VTPT của () là n   AB, AC 
Dạng 5: () là mặt phẳng trung trực của MN:
α

Ứng dụng của tích có hướng:
  
 A, B, C thẳng hàng   AB, AC   0


  
 A, B, C, D đồng phẳng   AB, AC  .AD  0


Suy ra A, B, C, D tạo thành tứ diện (không đồng phẳng)
  
  AB, AC  . AD  0



M

15

I

N


để
ủ
⃗ = ⃗
Dạng 6: () đi qua điểm M và vng góc với hai mặt phẳng cắt nhau (),
():

d1

():

d2

M
α

γ

β
nγ

nβ

Qua M




( ) : 


VTPT n  VTCPu d1 ,VTCPu d2 
Dạng 12: () chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d2 (d1,
d2 chéo nhau):

α




 Khi đó VTPT của () là n( )  VTPTn ,VTPTn 

d2

Dạng 7: () tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm H (() là tiếp diện của mặt
cầu (S) tại H):

d1
M
α

Qua M1  d1





( ) : 


VTPT n  VTCPu d1 ,VTCPu d2 

– Tìm tâm I của mặt cầu (S)

Dạng 13: () chứa đường thẳng d và 1 điểm M không nằm trên d:

Qua H


– ( ) : 
VTPT n( )  IH

ud

d

A

Dạng 8: () song song với mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  0 và tiếp
xúc với mặt cầu (S):

M

α

- Trên d lấy 1 điểm A

Qua M



- ( ) : 


VTPT n   AM ,VTCPu d 
Dạng 14: () chứa 2 đường thẳng cắt nhau d1, d2:
d2

– Vì () song song với ( ) nên phương trình mp() có dạng

α

Ax  By  Cz  m  0(m  D )

– Vì () tiếp xúc với mặt cầu (S) nên d ( I ,( ))  R

– Lấy một điểm M thuộc d1 hoặc d2  M  ().

 Giải

Qua M



– ( ) : 



VTPT n  VTCPu d1 ,VTCPu d2 

phương trình này ta tìm được m .



Dạng 9: () đi qua điểm M x0 ; y0 ; z0



d1

M

và vng góc với đường thẳng

Dạng 15: () chứa 2 đường thẳng song song d1, d2:

AB:

M1

α

d1
d2

M2

– Lấy M1 thuộc d1 và M2 thuộc d2
Qua M1




– ( ) : 
VTPT n   M1M2 ,VTCPu d 1 






 Khi đó VTPT của () là n  AB



Dạng 10: () đi qua điểm M x0 ; y0 ; z0



và vng góc với đường thẳng

Dạng 16: () chứa đường thẳng d và vng góc với mặt phẳng ():

 x  x0  at

d :  y  y0  bt :
 y  z  ct

0


β

d

ud

ud

M

α
α

– Lấy một điểm M thuộc d  M  ().



 Khi đó VTPT của () là n  VTCP u d  (a; b; c)
Dạng 11: () đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng d1, d2 chéo
nhau (hoặc cắt nhau):

Qua M



– ( ) : 
VTPT n  VTCPu d ,VTPT n  




VIII.Phương trình mặt cầu:
 Dạng 1: Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R:
( x  a)2  ( y  b)2  ( z  c)2  R 2


16

Dạng 2: Phương trình x 2  y 2  z2  2ax  2by  2cz  d  0 với


điều kiện a2  b2  c2  d  0 là phương trình mặt cầu tâm I(a; b;
c) và bán kính R = a2  b2  c 2  d
 Điều kiện mặt cầu S ( I , R ) tiếp xúc với mặt phẳng (P) là:
d ( I ,( P ))  R
Các dạng toán viết phương trình mặt cầu: Để viết phương trình mặt cầu
(S), ta cần xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu.
Dạng 1: Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R:
(S): ( x  a)2  ( y  b)2  (z  c )2  R 2
Dạng 2: Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) và đi qua điểm M:

 x  xo  at

d :  y  yo  bt
( t  )

z


z

ct
o

Dạng 2: d đi qua hai điểm A, B:

Qua A


d :
VTCP u d  AB
Dạng 3: d đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và song song với đường thẳng  cho
trước:

– Bán kính R = IM
Dạng 3: Mặt cầu (S) có đường kính AB:

Qua M0


d :
VTCP ud  VTCPu
Dạng 4: d đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và vng góc với mặt phẳng (P) cho
trước:


x A  xB
 xI 
2


y A  yB

– Tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB:  yI 
.
2


zA  zB
 zI 
2


Qua M0


d :
VTCP ud  VTPT nP
Dạng 5: d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q):

AB
.
2
Dạng 4: Mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D (mặt cầu ngoại tiếp tứ
diện ABCD):
– Giả sử phương trình mặt cầu
có dạng:
x 2  y 2  z2  2ax  2by  2cz  d  0 (S).
– Thay lần lượt toạ độ của các điểm A, B, C, D vào (S), ta được 4
phương trình.

– Giải hệ phương trình đó, ta tìm được a, b, c, d  Phương trình
mặt cầu (S).
Dạng 5: Mặt cầu tâm I(a; b; c) và tiếp xúc với mặt phẳng (P):
Ax  By  Cz  D  0 :

– Bán kính R = IA =

Q

nP
nQ
ud
d
P

–

( P )
Tìm toạ độ một điểm M  d: bằng cách giải hệ phương trình 
(Q)
(với việc chọn giá trị cho một ẩn, thường cho x  0 )

–

Qua M



d:
VTCP ud  VTPT nP ,VTPT nQ 

Dạng 6: d đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và vng góc với hai đường thẳng
d1, d2:

– Bán kính: R  d (I ,(P )) 

d

Aa  Bb  Cc  D
A2  B 2  C 2

d1

ud
ud1

IX.Phương trình của đường thẳng: Cho đường thẳng d đi qua điểm

M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có VTCP u  (a; b; c ) thì d có


 x  xo  at

Phương trình tham số là:  y  yo  bt

 z  zo  ct



Phương trình chính là:

ud 2
d2

Qua M0



d :


VTCP u d  VTCP u d1 ,VTCP u d2 

( t  )

x  x 0 y  y0 z  z0


(nếu a, b, c đều
a
b
c

khác 0)
Các dạng tốn viết phương trình đường thẳng: Để lập phương trình
đường thẳng d ta cần xác định một điểm thuộc d và một VTCP của nó.

Dạng 1: d đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có VTCP u  (a; b; c) :

Dạng 7: d qua M, song song (hoặc nằm trong mp(P)) và vng góc với

đường thằng :
Δ

nP
uΔ

d
P

Qua M



d :
VTCP u d  VTPT n P ,VTCPu  
17


Dạng 8: d nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng d1, d2:

I

d1

d2

d1

J
B

d

A

d2

P

–
–

–

Tìm các giao điểm A = d1  (P), B = d2  (P).
Khi đó d chính là đường thẳng AB.

Giả sử d cắt d1 tại I, d cắt d2 tại J.

 I  d1  I ( x1  a1t1; y1  a1t1; z1  c1t1 )
Vì 
,
 J  d2  I ( x2  a2t2 ; y2  a2t2 ; z2  c2t2 )
 
 IJ .u d1  0
– Giải hệ phương trình:   
ta tìm được t1 , t2 từ đó suy ra tọa
 IJ .u d2  0
độ I, J.
– d chính là đường thẳng qua 2 điểm I, J.

Dạng 13: d là hình chiếu của đường thẳng  lên mặt phẳng (P):
–

Dạng 9: d đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) , vuông góc và cắt đường thẳng :
P
M0 d

Δ
H

Q

d qua M 0 và hình chiếu H của M0 trên đường thẳng 

Δ
uΔ

Dạng 10: d đi qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và cắt hai đường thẳng d1, d2:

nP
Q

d

P

d2

–

d

P

M0

Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa  và vng góc với mặt
phẳng (P) bằng cách:

Qua M  

 
(Q) : 


VTPT nQ   n P , u  

d1

–

Gọi (P) = ( M 0 , d1 ) , (Q) = ( M 0 , d 2 ) .

–

Khi đó d = (P)  (Q). Do đó, VTCP của d là ud  nP , nQ  .



 

– Khi đó d = (P)  (Q).
Dạng 14: d đi qua điểm M, vng góc với d1 và cắt d2:

Dạng 11: d song song với  và cắt cả hai đường thẳng d1, d2:
Q

d1
d2

Δ

d2

N
d

P
d1

–

Gọi

(P)

là

mặt

phẳng

d

P

chứa

d1

song

song

– Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vng góc với d1.
– Tìm giao điểm N của (P) và d2
– Khi đó d chính là đường thằng qua 2 điểm MN
X.Cách tìm hình chiếu, điểm đối xứng.
:
 Tìm hình chiếu H của điểm M trên mặt phẳng (P):

Qua M1  d1


 
(P) : 


VTPT n p  u  , u d1 

–

Gọi

(Q)

là

mặt

M

M

phẳng

chứa

d2

song

song

:
H

Qua M2  d2



 
(Q) : 


VTPT nQ  u  , u d2 

P

M'

– Khi đó d = (P)  (Q).
Dạng 12: d là đường vng góc chung của hai đường thẳng
 x  x1  a1t
 x  x2  a2 t


và
d1 :  y  y1  b1t
d2 :  y  y2  b2 t chéo nhau:
z  z  c t
z  z  c t
1
1
2
2



–

Viết phương trình đường thẳng d qua M và vng góc với

Qua M


mp(P) bằng cách: d : 
VTCP u d  VTPT n p
–

Khi đó: H  d  (P )
Nếu bài tốn u cầu tìm M’ đối xứng với M qua mp(P), ta
có H là trung điểm của MM’ nên:
 xM '  2 xH  x M

 yM '  2 yH  yM

 zM '  2 zH  zM


18

Tìm hình chiếu H của điểm M trên đường thẳng d:


P
M



H

Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vng góc với d

Qua M


bằng cách: (P ) : 
VTPT n p  VTCP u d
–

cắt

Khi đó: H  d  ( P )
Nếu bài tốn u cầu tìm M’ đối xứng với M qua d, ta có H
là trung điểm của MM’ nên:
 x M '  2 x H  xM

 y M '  2 yH  y M
z  2z  z
H
M
 M'

hệ

phương

trình

 x1  a1t1  x2  a2t2


 y1  b1t1  y2  b2 t2 có 1 nghiệm.

 z1  c1t1  z2  c2t2
 

 u1 , u2   0


 d1 // d2  
 A  d2
 

 u1 , u 2   0


 d1  d2  
 A  d2
 
Đặc biệt: d1  d2  u d1 .u d2  0  a1a2  b1b2  c1c2  0

M'

–

d1

d

 


 u1 , u2   0


d2     
hoặc
 u1 , u2  . AB  0



XIV.Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu:
Cho mặt phẳng () và mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R.
 d (I ,( ))  R thì () và (S) khơng có điểm chung.

XI.Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng:
Cho hai mặt phẳng (P ) : A1 x  B1y  C1z  D1  0 và
(Q) : A2 x  B2 y  C2 z  D2  0


(P), (Q) cắt nhau  A1 : B1 : C1  A2 : B2 : C2



(P) // (Q) 

A1 B1 C1 D1



A2 B2 C2 D2

A1 B1 C1 D1



A2 B2 C2 D2


 
Đặc biệt: (P)  (Q)  n P  nQ  n P .nQ  0  A1 A2  B1B2  C1C2  0
XII.Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt phẳng:
Cho mặt phẳng (P): Ax  By  Cz  D  0 và đường thẳng d:




(P)  (Q) 

ta nói () tiếp xúc với (S) tại H. H được gọi là tiếp điểm, (P)
được gọi là tiếp diện của (S) tại H.

 x  x0  ta

 y  y0  tb

 z  z0  tc
Thay phương trình đường thẳng d vào phương trình mặt phẳng (P) ta
được 1 phương trình bậc nhất ẩn t:



mp(), bán kính của (C) là r  R 2  d 2 với d  d (I ,( )) .

 x  x1  a1t
 x  x2  a2 t


Cho hai đường thẳng d1 :  y  y1  b1t và d2 :  y  y2  b2 t
z  z  c t
z  z  c t
1
1
2
2



d1 qua A( x1; y1; z1 ) có VTCP u1  (a1; b1; c1 )

d2 qua B( x2 ; y2 ; z2 ) có VTCP u 2  (a2 ; b2 ; c2 )
A thuộc d2

u1 cùng phương u2

Xét A và d2

Tính [u1,u2]

[u1,u2]AB = 0
[u1,u2] ≠ 0

Tính [ u1,u2]AB

u1 khơng cùng phương u2



A khơng thuộc d2

[u1,u2]AB ≠ 0

 Muốn tìm tọa độ điểm H ta tìm hình chiếu của I trên mp().
d ( I ,( ))  R thì () và (S) cắt nhau theo giao tuyến là 1 đường
tròn (C). Tâm H của đường trịn (C) là hình chiếu của I trên

A( x0  at )  B( y0  bt )  C ( z0  ct )  D  0 (*)
 TH1: (*) có đúng một nghiệm thì d cắt (P)
 TH2: (*) vơ nghiệm thì d // (P)
 TH3: (*) có vơ số nghiệm thì d  (P)
 



Đặc biệt: d  ( P )  n p cùng phương u d   n P , u d   0


XIII.Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:

[u1,u2] = 0

d (I ,( ))  R thì () và (S) có 1 điểm chung H duy nhất. Khi đó

XV.Khoảng cách:
 Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (): Ax +
By + Cz + D = 0
M

d  M0 ,( ) 

d1 ≡ d2
d1 // d2

Ax0  By0  Cz0  D

α

A2  B 2  C 2



Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: Bằng khoảng
cách từ 1 điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.



Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song:
Bằng khoảng cách từ 1 điểm bất kỳ thuộc đường thẳng đến mặt
phẳng.

d1 cắt d2

d1 chéo d2

  
d1 chéo d2   u1 , u2  . AB  0



19


d

M


P
H





Khoảng cách từ một điểm M đến một đường thằng  :




Cách 1: Giả sử đường thẳng  đi qua M0 và có vectơ chỉ

phương là u . Ta có:

 
 M M ,u
 0

d  M, 

u





Cách 2:
P



M

Δ

H



 
a  b
Hai vectơ bằng nhau: a  b   1 1 “hoành bằng hoành,
a2  b2
tung bằng tung”

  
Tọa độ của a  b, ka :
 
a  b  (a1  b1; a2  b2 )

ka  (ka1; ka2 )

Cơng thức tính tọa độ của vectơ: AB  ( xB  x A ; yB  yA )

x A  xB
 x I 
2
I là trung điểm AB  
 y  y A  yB
 I
2

x A  x B  xC
 xG 
3
G là trọng tâm ABC  
 y  y A  yB  yC
 G
3
Tích vơ hướng của hai vectơ:
  
 
a.b  a . b .cos a, b



a.b  a1.b1  a2 .b2 “hoành x hoành + tung x tung”


 

– Tìm tọa độ hình chiếu H của M trên đường thẳng  .
– Khi đó d ( M ,  )  MH




Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song 1 và  2 :
Bằng khoảng cách từ 1 điểm tùy ý trên đường thẳng 1 đến



đường thẳng  2
P
M1

Δ1

H



Δ2

M2



d (1 ,  2 )  d ( M1 ,  2 )  MH


Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 1 và  2 :

Điều
kiện
vng
góc
giữa
hai
vectơ:
 

a  b  a.b  0  a1 .b1  a2 .b2  0
Độ dài của vectơ - khoảng cách giữa hai điểm:


a  (a1; a2 )  a  a12  a22


AB  AB  ( xB  x A )2  (yB  y A )2


 
a1.b1  a2 .b2
a.b
Góc giữa hai vectơ: cos a, b    

2
a.b
a1  a22 . b12  b22

 

Cơng thức tính diện tích tam giác:

 AB  ( x; y)

 AC  ( x '; y ')

SABC 

1 x y
1
 xy ' x ' y
2 x' y' 2



Cách 1: Giả sử đường thẳng 1 qua điểm M1 và có vectơ
II.Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

chỉ phương là u1 , đường thẳng  2 qua điểm M2 và có
1.Phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng:


Đường thẳng d qua điểm M0 ( x0 ; y0 ) , nhận u  (a; b) làm vectơ chỉ
vectơ chỉ phương là u2 . Ta có:

  
phương có:
 u , u  .M M
 1 2 1 2
 x  x0  at
d (1 ,  2 ) 
 
 Phương trình tham số là: 
u , u 
t  
1
2


 y  y0  bt



Cách 2: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 1
và  2 bằng khoảng cách giữa đường thẳng này đến mặt
phẳng song song với nó chứa đường thẳng kia.

M2
H

Δ2
Δ1 α



Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa 1 và song


song với  2 bằng cách:

–

Qua
M1


( ) : 

VTPT n( )  VTCP
Khi đó: d (1 ,  2 )  d ( M2 ,( ))


u 1 ,VTCP

Phương trình chính tắc:

A( x  x0 )  B( y  y0 )  0

M1
–

x  x0 y  y0

 a  0, b  0
a

b
2.Phương trình tổng quát của đường thẳng:
 Phương trình tổng quát của đường thẳng d qua điểm

M0 ( x0 ; y0 ) , nhận n  ( A; B) làm vectơ pháp tuyến là:



u 2 





HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG OXY
I.Các công thức tọa độ:


Cho hai vectơ a  (a1; a2 ); b  (b1; b2 )
20

Nếu đường thẳng

d có phương trình tổng quát

Ax  By  C  0 , thì vectơ pháp tuyến của (d) là n  ( A; B) .

Nếu đường thẳng d có vectơ pháp tuyến là n  ( A; B) thì d có



vectơ chỉ phương là u  ( B; A) hay u  (B;  A)

Nếu đường thẳng d có vectơ chỉ phương u  (a; b) thì d có


vectơ pháp tuyến là n  (b; a) hay n  (b; a)
Cho đường thẳng d có phương trình tổng qt
Ax  By  C  0 :

Nếu d’ song song với d thì d’ có phương trình là
Ax  By  m  0 (m  D )




Nếu d’ vng góc với d thì d’ có phương trình là
 Bx  Ay  m  0
3.Phương trình đường thẳng qua 1 điểm và có hệ số góc cho trước:

Cho

đường

thẳng

Ax  By  C  0

:

và

hai

điểm

M ( x M ; y M ), N ( x N ; yN )  .


Phương trình đường thẳng d qua điểm M0 ( x0 ; y0 ) , có hệ số góc k là:

M,
N
nằm
cùng
phía
đối
( Ax M  ByM  C )( Ax N  ByN  C )  0 .

với







y  y0  k ( x  x0 )

M,
N

nằm
khác
phía
đối
với


( Ax M  ByM  C )( Ax N  ByN  C )  0 .
4.Các dạng toán viết phương trình đường thẳng:
VII.Góc giữa hai đường thẳng:
 Để lập phương trình tham số và phương trình chính tắc của
Cho hai đường thằng
đường thẳng  ta cần xác định một điểm M0 ( x0 ; y0 )   và
1 : A1 x  B1y  C1  0

một VTCP u  (a; b) của .
 2 : A2 x  B2 y  C2  0
 x  x0  at
PTTS của : 
A1 A2  B1B2
 y  y0  bt
cos  1 ,  2  
2
A1  A22 B12  B22
x  x 0 y  y0
PTCT của :

(a, b  0)
VII.Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
a

b
Cho M0 ( x0 ; y0 ) và  : Ax  By  C  0
 Để lập phương trình tổng quát của đường thẳng  ta cần xác

định một điểm M0 ( x0 ; y0 )   và một VTPT n  ( A; B) của
Ax0  By0  C
d ( M 0 , ) 
.
A2  B 2
PTTQ của : A( x  x0 )  B( y  y0 )  0
IX.Tìm hình chiếu và điểm đối xứng của một điểm qua một đường thẳng
Dạng 1: Phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm A, B:
A

B

M

Qua A
 

AB : 
VTCP u  AB  VTPT n

d
H

Dạng 2: Viết phương trình đường cao AH của tam giác ABC.
A

Qua A
 
AH : 
VTPT n  BC

B

C

H

Dạng 3: Viết phương trình đường trung tuyến AM của tam giác ABC.

 x  xC yB  yC 
;
Vì M là trung điểm của BC nên M  B

2 
 2
A

Qua A
 

AM : 
VTCP u  AM  VTPT n

B

M

C

M'

Để tìm điểm H là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng d, ta thực
hiện như sau:
 Viết phương trình đường thẳng  qua M và vng góc với d,
bằng cách:
Qua M


:
VTCP u  VTPT nd
 Khi đó H = d  
Nếu bài tốn u cầu tìm M đối xứng với M qua d, ta có H là
trung điểm của MM nên:
 xM '  2 xH  xM

 xM '  2 yH  yM
X.Phương trình đường trịn trong mặt phẳng
 Dạng 1: Đường trịn tâm I(a;b) bán kính R:
( x  a)2  ( y  b)2  R 2 (C)

Dạng 4: Viết phương trình đường trung trực của AB.

 x  x B y A  yB 
;
Gọi M là trung điểm AB  M  A


2 
 2
d
A

B
M

Qua M
 
d :
VTPT n  AB





2
2
Dạng 2: Cho phương trình x  y  2ax  2by  c  0 *

2

2



Nếu a  b  c  0 thì * là phương trình đường trịn tâm I(a;b) bán
kính R  a2  b2  c .
XI.Các dạng tốn viết phương trình đường trịn

Để lập phương trình đường trịn (C) ta thường cần phải xác định tâm
I (a; b) và bán kính R của (C). Khi đó phương trình đường trịn (C)
là:
( x  a)2  ( y  b)2  R 2

V.Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:
Cho hai đường thẳng 1 : A1 x  B1y  C1  0 và  2 : A2 x  B2 y  C2  0

Dạng 1: (C) có tâm I và đi qua điểm A.

Toạ độ giao điểm của 1 và 2 là nghiệm của hệ phương trình:
 A1 x  B1y  C1  0
(1)

 A2 x  B2 y  C2  0

I
A

A
B
 1 cắt 2  hệ (1) có một nghiệm 1  1 (nếu A2 , B2 , C2  0 )
A2 B2
 1 // 2  hệ (1) vơ nghiệm

– Bán kính R = IA.
Dạng 2: (C) có đường kính AB.

A1 B1 C1



(nếu A2 , B2 ,C2  0 )
A2 B2 C2

 1  2  hệ (1) có vơ số nghiệm

B

A1 B1 C1


(nếu A2 , B2 ,C2  0 )
A2 B2 C2

I
A

 
 Đặc biệt: 1   2  n1  n2  A1 A2  B1B2  0

VI.Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng
21




 x  x B y A  yB 
;
– Tâm I là trung điểm của AB  I  A


2 
 2

Dạng 3: Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng
d : Ax  By  C  0

( xB  x A )2  ( yB  y A )2
AB

.
2
2
Dạng 3: (C) có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng .
– Bán kính R =

I



– Bán kính R = d ( I ,  ) .

-

Giả sử  là tiếp tuyến của đường trịn.
d
Vì
nên
phương
trình
 :  Bx  Ay  m  0

-

 là tiếp tuyến với (C)  d I ,   R  Tìm m

của

 

Dạng 4: Tiếp tuyến đi qua điểm M ( x0 ; y0 )

Dạng 4: (C) đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C (đường tròn
ngoại tiếp tam giác).
– Phương trình của (C) có dạng: x 2  y 2  2ax  2by  c  0 (*).
– Lần lượt thay toạ độ của A, B, C vào (*) ta được hệ phương trình.
– Giải hệ phương trình này ta tìm được a, b, c  phương trình của
(C).
Dạng 5: (C) đi qua hai điểm A, B và có tâm I nằm trên đường thẳng .
– Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB.
– Xác định tâm I là giao điểm của d và .
– Bán kính R = IA.
Dạng 6: (C) tiếp xúc với hai đường thẳng 1, 2 và có tâm nằm trên
đường thẳng d.

d (I , 1 )  d (I , 2 )
– Tâm I của (C) thoả mãn: 
.
I  d
– Bán kính R = d ( I , 1 ) .
Dạng 7: (C) đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng .

– Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB.

I  d
– Tâm I của (C) thoả mãn: 
.
d ( I , )  IA
– Bán kính R = IA.
Dạng 8: (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng  tại điểm B.
– Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB.
– Viết phương trình đường thẳng  đi qua B và vng góc với .
– Xác định tâm I là giao điểm của d và .
– Bán kính R = IA.
XII.Các dạng tốn viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn


Dạng 1: Tiếp tuyến của đường tròn tại 1 điểm M ( x0 ; y0 )
thuộc đường tròn.

Qua M


:
Vtpt n   IM


Dạng 2: Tiếp tuyến
d : Ax  By  C  0

song

song với đường thẳng

-

Giả sử  là tiếp tuyến của đường trịn.
 / /d
Vì
nên
phương
trình
 : Ax  By  m  0(m  C )

-

 là tiếp tuyến với (C)  d I ,   R  Tìm m

của

 

22

-

Giả sử  là tiếp tuyến qua M và có hệ số góc k.
 : y  k ( x  x 0 )  y0

-

 là tiếp xúc với (C) nên d I ,   R  Tìm k

 

Lưu ý: Nếu khơng tìm được 2 tiếp tuyến ta phải xét đường thẳng
 : x  x 0 (là đường thẳng qua M và khơng có hệ số góc)

 

Kiểm tra điều kiện tiếp xúc d I ,   R